（机械设计及理论专业论文）轴对称结构半解析法有限元分析.pdf

兰! ! 皇查丛兰堕主兰些堡奎塑垩 摘要 在电力、航空、冶金、化工等国民经济部门，广泛地使用着大量的动力机械或 热力设备，其中大部分构件都具有轴对称持征，但载荷、温度等不定都是轴对称 的。 本文针对旋转体结构轴对称的特点，采用半解析法，选用精度较高的四结点等 参环元，建立了旋转体在非轴对称温度场和非轴对称载荷作用下的有限元方程，采 用c + + 语言编写了软件，通过算倒验证了此种方法的正确性和可行性。为解决非轴 对称温度场和非轴对称载荷作用下的静力分析问题提供了一种工程实用的计算方 法。 最后，应用本文所提供的计算方法和程序，对某电厂汽轮机转子碰磨时温度、 变形和应力的情况进行了分析，给出了温度场和应力场分布。 关键词：轴对称体，有限元，f o u r ie r 级数热应力，半解析法 a b s t r a c t i ns o m en a t i o n a le c o n o m i c d e p a r t m e n t s ，s u c h a se l e c t r i c p o w e r ，a v i g a t i o n ， m e t a l l u r g y ，c h e m i c a li n d u s t r y a n de t c a l a r g ea m o u n to fd y n a m i cm a c h i n e sa n d t h e r m a le q u i p m e n t sa r eu s e d m o s to ft h e mh a v ea x i s y m m e t r i cc h a r a c t e r ，b u tl o a d a n dt e m p e r a t u r ea r en o ta l la x i s y m m e t r i c a c c o r d i n g t ot h e a x i s y m m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c so ft h er e v o l u t i o n t h e q u a s i a n a l y t i cf i n i t ee l e m e n tp r o c e d u r ew i t h4 - n o d ee l e m e n t i su s e dt oe s t a b l i s ht h e f i n i t ee l e m e n te q u a t i o no fr e v o l u t i o ni nn o n a x i s y m m e t r i ct e m p e r a t u r ef i e l da n d l o a d t h es o f t w a r ei sd e s i g n e dw i t hc + + p r o g r a m m i n g t h r o u g hs o m ee x a m p l e st h e c o r r e c t n e s sa n d f e a s i b i l i t y o ft h e p r o g r a mi s v a l i d a t e d a n a p p l i e de n g i n e e r i n g m e t h o di s p r e s e n t e dt oa n a l y s i st h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s so ft h e s t a t i c a n a l y s i s p r o b l e mt h a tl o a d e da s y m m e t r i ct e m p e r a t u r ef i e l da n dl o a d f i n a l l y ，t h et e m p e r a t u r e ，d i s t o r t i o n a n ds t r e s so ft u r b i n er o t o r sr u ba r e a n a l y z e db yu s i n g t h em e t h o da n d p r o g r a m t h a t p r o p o s e d i nt h e p a p e r ，t h e d i s t r i b u t i o no f t e m p e r a t u r ea n d s t r e s sf i e l d sa r eg i v e n l ib a o c h a n g ( m e c h a n i c a ld e s i g n & t h e o r y l d i r e c t e db yp r o f w a n gz h a n g q i & b y p r o f l ij i n y i n g k e y w o r d s ：a x i s y m m e t r i cb o d y ，f e m ，f o u r i e rp r o g r e s s i o n ，t h e r m a ls t r e s s ， q u a s i - a n a l y t i cf i n i t ee l e m e n t m e t h o d 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文轴对称结构半解析法有限元分 析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和 取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包 含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：夸室昌日期：翟堕! 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不 同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：垃 日期：2 0 “f 导师签名：乏壅亏 日期：2 口d f g 兰! ! 皇盎叁兰堡主堂堡笙l 一 1 1 课题背景和意义 第一章前言 在电力、航空、冶金、化工等国民经济部门，广泛地使用着大量的动力机械或 热力设备“，它们工作的可靠与否，直接关系到系统的安全性。在这些动力机械中， 存在着大量的轴类零件，如汽轮机转子等。轴的结构设计是否合理直接关系到与之 配合零部件的结构设计。在轴的结构设计中，如果强度裕度选择较大，轴的直径会 相应增大，而使得与之相配合的零件，如轴承、齿轮、联轴器、箱体等结构尺寸相 应增大，这样将导致整个机器的最终设计结构庞大，成本增加，经济效益降低，相 反，会导致轴未达到使用寿命而较早地疲劳破坏。因此，轴的设计是人们所重视的问 题之一。在轴的设计中，人们多采用常规的力学设计方法或有限元方法。在轴的常 规设计中，由于对轴上应力集中问题难以考虑周全，因而对结构变化复杂的部位是凭 经验或经验公式来加大结构尺寸以保证设计的安全性。由于这些零件的边界条件极 其复杂。采用解析方法一般很难得到其准确的应力分布。随着计算机技术的发展， 有限元法得到了人们的f 1 益重视。有限元法由于能够模拟几何形状复杂的结掏及方 便的处理各种边界条件，已经成为解决复杂物理场问题的有效方法。 随着我国国民经济的发展，对于能源的需求日益扩大。目前，我国的电力 于业 仍以火力发电为主。火力发电厂中的主要设备承受的都是高温、高压汽体或液体， 其主要的载苟之一是由于温度变化引起的热载荷 】。当机组启停或作变负荷运行时， 其介质温度变化剧烈。相应的，在锅炉汽包4 1 【”、汽轮机缸体7 1 、阀门8 1 【”、汽 轮机转子1 10 j 【l ”等部件中产生的热应力也会剧烈变化，这已经成为影响机组安全运行 及设备寿命的关键因素。为了确保电力设备的安全运行，详细了解这些设备的热应 力分布及变化规律是机组设计和运行部门的重要问题，只有准确地了解其热应力的 变化规律，才能给整个机组的安全运行和合理的寿命管理提供保证1 1 0 1 0 2 1 。这对于我 国电力行业乃至整个国民经济的发展有着重要的现实意义。 随着计算机技术的飞速发展，有限元法现已成为当今最有活力的广为流行的求 解工程、物理问题或偏微分方程的一种数值方法。有限元法出于能适应于不同形态 的边界，程序通用性强，这使之很快发展成为大规模通用软件，乃至出现软件的商 品化。现在有很多著名的有限元软件，如：m r a c 、a n s y s 、s a p 以及p a m s t a m 等软 件，轴的设计问题可以用有限元法把轴简化成杆单元柬计算分析。但由于轴类零件 结构变化复杂，如键槽、退刀槽、越程槽等。针对这些具体问题，上述有限元法软 件实用性降低，计算结果与实际相去甚远。当然s a p 5 可用三维实体等参单元解决 华北电力大学硕士学位论文 这类问题，但对于四五千个结点的三维问题，但其计算工作量是极其巨大的，再者 由于这类软件追求通用性，虽然其适用范围很广，但针对许多特殊的具体问题时， 许多情况下必须采取各种修补措旅。有时甚至无法解决，如轴对称结构承受非对称 载荷问题。在分析过程中，我们将采用位移有限元法作为数值计算方法，位移有限 元可以分为协调元“1 和非协调元1 【”】【”1 。对于轴对称体的分析，有限元法有如下的 优点”：第一点是，列式简单，计算效率高。特别适用于建立元素族。并且容易从 线性推广到非线性，便于程序设计及建立模型，分析模型。第二点是，可靠性好。 位移有眼元法能够保证单元的收敛性及坐标不变。分析轴对称体上作用的任意载 荷其处理问题的思路是：将外载荷沿0 方向展开成f o u r i e r 级数，同时，将与外 载荷相对应的位移也展开为相应形式的f o u r i e r 级数，在r z 域内进彳了有限元的 离散，这样，三维问题即化为若干个二维问题，这种方法称为半解析法。具体做法 是：设轴对称体上任意一点的载荷为p ( r ，0 ，z ) ，沿坐标轴r ，8 ，z 分解为三个 分量，并将它们沿e 方向展开成f o u r ie f 级数，通过分析，我们知道，任意一点 的载荷通过离散，由轴对称载荷，正对称载荷，反对称载荷三部分组成”。对于温 度边界条件，设轴对称体边界上任意一点的温度边界条件是t 。将它沿日方向展开 成f o u r i e r 级数，通过分析，我们知道，在意一点的温度边界条件通过离散由轴 对称温度边界条件，正对称温度边界条件和反对称温度边界条件三部分组成。 1 2 前人工作 近年来，随着科学技术的飞速发展，人们对轴对称体结构承受非轴对称载荷时 的情况进行了广泛的研究。当轴对称体结掏承受非轴对称载荷时，如果采用一般的 有限元法进行分析，属于三维问题。众所周知，三维问题由于未知量数目的增加， 将使整个问题的求解变得极其复杂。如果针对轴对称体结构这一特点，采用半解析 法，对结构进行部分离散，就可以将一个三维问题化为若干个二维问题来处理使 复杂问题简单化，大量地减少计算工作量”水”l 。文献 2 3 中采用半解析法对轴对 称结构在外力作用下进行了受力分析；文献 2 4 ：又采用此法对各向异性轴对称壳进 行了分析：文献 2 5 对轴对称多层复合材料旋转壳体进行了研究，文献 2 6 采用四 边形等参环元对轴对称复合材料缠绕结构进行了力学分析，但没有对热载荷问题进 行分析计算。 1 3 本文工作 常用的工程应力的计算方法有两类。e - a n 析法，应力计算的解析方法虽然 计算粕度高，并可以得到统一的应力表达式，但其分析问题受到限制，仪有少数工 华北电力大学硕士学位论文 程应力问题可得到其解析解。数值计算方法是解决工程应力问题的又一途径。本文 在前人工作的基础上，结合两者的优点，采用半解析法，选用四节点等参环元进行 分析计算，解决了非轴对称外载荷和非轴对称温度场作用下轴对称结构的工程计算 问题，为结构强度、刚度校核提供了一种理论依据。 本文主要工作内容如下： 1 半解析法在应力场中的应用： 推导了轴对称载荷、正对称载荷和反对称载荷作用下的单元刚度矩阵。建立了 轴对称、正对称及反对称载荷作用下的有限元方程。求解出位移和应力后，再按 f o u r i e r 级数进行叠加，即得到非轴对称载荷作用下旋转体的总位移和总应力。 2 半解析法在温度场中的应用： 推导了轴对称温度边界条件、正对称温度边界条件和反对称温度边界条件作用 下的单元刚度矩阵。建立了轴对称、正对称及反对称温度边界条件作用下的有限元 方程，得到了节点的温度。 3 算例与工程应用： 设计典型例题进行分析，通过和解析方法结果的比较，验证程序的正确性。作 为工程实例，分析了汽轮机转子碰磨时的局部温度场和热应力场，给出温度场等值 线图和热应力等值线图。对汽轮机转子强制冷却，且冷却介质温度上下有温差时， 汽轮机转子内的温度场和变形情况进行了分析，得到了转子内温度等值线图和整体 变形图。 坐! ! 堕垄盔望堕主兰生堡茎一 第二章半解析法在应力场中的应用 在工程实际问题中，通常将几何形状和约束条件都对称于某一固定轴的结构称 为轴对称结构。当轴对称结构上所作用的外载荷也对称于该对称轴时，则在外载荷 作用下所产生的位移、应变和应力也对称于该轴，这种问题称为轴对称问题。但是， 在几何轴对称的零件中，如果承受的载荷是非轴对称的，这时零件中所产生的位移、 应变和应力就失去了轴对称的性质，它们是，、：和0 的函效。这时应力分析就是一 般的空间问题，即三维问题。由于我们计算的零件，它的几何形状是一个轴对称体， 我们就有可能将其加以简化，正如在弹性力学中经典的计算方法那样，把载荷和位 移按三角级数展开，即把任意载荷展开成轴对称载荷、正对称载荷和反对称载荷。 在处理轴对称结构问题时，通常采用圆柱坐标( ，0 ，z ) ，以对称轴作为z 轴，轴 对称体上任意一点的位移为e7 ( 径向) ， ( 环向) ，( 轴向) 。 当轴对称体上作用有任意载荷时，其处理问题的思路为：将外载荷沿臼方向展， 开成f o u r i e r 级数，在r z 域内进行有限元的离散，这样，三维问题即化为二为问 题，这种方法称之为半解析法。 载荷沿p 方向的f o u r i e r 级数展开： 该轴对称体上任一点的载荷为p ( r ，0 ，z ) ，沿坐标轴r ，0 ，z 分解为三个分量f ( r ，护，z ) ，f 。( r ，0 ，z ) ，以及f ( r ，0 ，z ) ，并将它们沿护方向展开成f o u r ie r 级数， 见下式。 f = f 。+ c 。c o s n o + k s i n n o 日= jn - j 只= e 。+ c o s n o + s i n n o ；i”；l e = + 只自s i n n o + e 。c o s h o 同样，将相应的任意位移展开成下式 ( 2 1 ) “= “。+ “砌c o s n o + “舶s i n n ol 言“宅i w = w 。+ 心。c o s 门口+ w ms i n n 6 ( 2 2 ) 掣一l 1 = v o + 匕。s i n n o + v m c o s n o l h = l = i j 上式中f 。，c 。，y o 。以及。，w o 是前面讲过的轴对称的相应分量。其余 部分是非轴对称部分的分量。用。表示第疗级载荷在，方向上的分量，其中下标a 兰! ! 皇查查堂堕主堂丝堡苎一 表示正对称记号。凡。表示第n 级载荷在，反方向上的分量，其中下标b 表示反对称 记号。：和口方向的对称和反对称分量记号表示法也是如此。位移分量记号表示也 类似。式( 2 - - i ) 和( 2 - - 2 ) 的右端中f q 部分是正对称项，后面部分是反对称项。 这里所谓对称和反对称是指在几何轴对称上，取口= 0 的纵剖面来说的。 然后，采用四结点等参环元分别建立三种载荷作用下的有限元方程，求解出位 移、应力后，再按f o u r i e r 级数进行叠加，即得到非轴对称载荷作用下旋转体的总 位移和总应力。 2 1 轴对称载荷作用下四结点等参环元的单元刚度阵矩 当外载荷为轴对称载荷时，旋转体上的所有应力、应变和位移部与目无关，只 是r ，z 的函数，任一点的位移只有两个方向的分量，即沿- 方向的径向位移u 和 沿z 方向的轴向位移w ，由于轴对称，0 方向的位移v 恒等于零。因此，轴对称问 题是标准的二维问题。 在许多有限元分析软件中，由于三角形单元结构简单，又大都采用常应变，常 应力单元，所以计算简单、使用灵活、易于编程，再加上三角形单元能够比较好地 模拟计算区域的边界，因此被广泛地应用。但这种单元的计算精度不高在应力变 化很大的区域，比如应力集中的地方。或者网格不够密的地方，将会产生较大的误 差。如果增加网格的剖分密度，又会使基本未知数的数目过多，增加了计算工作量， 因此，为了提高计算精度和减少工作量，本文采用四边形等参单元来计算位移场和 应力场。四边形等参元可以通过插值函数来构造曲边单元，用以拟合实际边界，这 样可以更好的处理形状复杂的边界，并且采用四边形等参单元计算位移场和应力场 时，其精度、收敛性和稳定性均优于三角形单元口”，也能更好地反映应力的变化规 律。 四边形等参元的插值函数一般采用双线性函数，这样可以保证有限元解的收 敛性n ”，通过总体坐标和局部坐标之间的变换，将总体坐标中的蓝边单元变换为局 部坐标中的矩形单元，以提高解的精度，但为了确保能进行等参变换，在总体坐标 下所划分的四边形单元必须是凸四边形，而不能出现一内角大于石的四变形，否则 将不能保证总体坐标和局部坐标的一对应关系，同时，雅可比行列式l 卅在计算过 程中也将出现负值，从而在所对应的单元中得出错误的结果。因此，在对计算模型 进行剖分时，必须要保证所有单元为凸四边形单元，以保证计算结果的正确性。 2 1 1 等参环元的位移函数 当采用四节点等参环元时，在r z 平面归结为一个二维问题，单元取法如图2 一i 华北电力大学硕士学位论文 所示。 厅 3 同 ， 图2 一l 等参环元的取法 由等参环元的概念可知，在整体坐标r z 平丽上的所有曲边四边形单元，都可 以用坐标变换到孝一刁平面上，形成正方形单元，如图2 2 所示。 叩 图2 2 四边形变换为四节点正方形 设图2 2 中单元结点位移为： 占) 8 = 【“i ，w l ，“2 ，w 2 ，h3 ，w 3 ， 4 ，w 4 7 ( 2 3 ) 单元内任意一点处的位移为： 4 “。( r ，= ) = n ，“。= u o ( 告，叩) t = i 4 w 。( ) = n ，w ，= w o ( 舌，q f ，l 其中，n ，为四节点等参元的形函数，表达式如下： 6 ( 2 4 ) 一兰! ! 塑垄盔兰堡主兰堡垒奎一一一_ 一一。 n 2 = n 3 = n 4 = r z 坐标系与孝一，7 坐标系的变换公式为 去( 1 一f ) ( 1 一帮) 去( 1 + f ) ( 卜r 1 ) 去( 1 + 例+ 功 ；( i - 似1 + 叩) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中：，n ，为原曲边单元的结点坐标。 旋转体上所受的轴对称载荷为： ，= 麟爿 t ， 2 1 2 单元的应变和应力 在轴对称闯题中，各种量部是轴对称的，因此，只需考虑四个应力分量和凹个 应变分量，它们分别为 万) = o r ，仃：，o e ，r 。 2 ( 2 8 ) 占) = k ，占：，岛，& 】。 ( 2 9 ) 轴对称问题的几何方程为 扛 = 卦 把( 2 5 ) 式代入( 2 一1 0 ) 式，单元应变为 吲n o r o w o “0 盟o o o zo r ( 2 一1 0 ) 兰i ! 皇垄盔兰堕主堂! ! 堡苎二一 其中 t占，e：c明t国r：t且，最b，目，萎2 归，】- 阱 i = 1 ，2 ，3 ，4 陋】中的警和警可根据复合函数求导规则，按下列公式计算 ( 2 - 1 1 ) ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) 其中p 】为雅可比矩阵。由文献 2 9 可知，采用这种等参变换时，在数学上可以保证 等参变换的收敛性，在计算时可以得到合理的结果。 w 。陵 l 卅为雅可比矩阵行列式 ( 2 - 1 4 ) p - 1 为p 】的逆阵 ( 2 1 j ) ( 2 一l 6 ) o盟玉。盟帮 盟甜o m一，眦一 一面眦一卸 ，。l p 盟丹盟瑟 1，j 鱼鱼却鱼影堡卸 、l 鱼暂堡叻 、，l 一p = ，_，_，l 2 2厶 出一暂堡切坠叻 。 务嘭 = 堑! ! 皇立查堂堕主兰坚堡苎一 最后可求得： 把上式代入( 2 12 ) 式，即可求得几何矩阵陋】。 由物理方程，可求得单元应力为： 盯r = 【d 】叠 。= 【d i 口】r ( 2 1 s 其中， d 为弹性矩阵。 2 1 3 单元刚度矩阵 d 】_ c l lc 12 c 3 2 c l3 0 c 2 3 0 c 3 j 0 c 4 4 ( 2 - 1 9 ) 由虚功方程，可求得单元刚度矩阵为： 陆r = j 上陋i r 【d i 口p y = 2 丌i ，i 陋】r 【d i b 】j 卜d ( d u ( 2 - 2 0 ) 其中僻r 为8 x 8 阶的矩阵。 2 2 正对称载荷作用下四结点等参元环元单元刚度矩阵 当旋转体上作用有正对称载荷p 时 附，z ，俨隧 相应的位移为： 9 ( ， z ) c o s l o 凡f ( ，z ) c o s l 护 凡d ( r ，z ) s i n l o ( 2 - 2 1 ) 呲一却砒一却 五 厶 十 + 一西一比， 以 f i i l 丛西盟如 华北电力大学硕士学位论文 砸五班矧= “力，z ) c o s l o ( 2 2 2 ) 作有限元分析时，位移函数仅在r ，z 域内进行离散，将( 2 2 2 ) 式中各f o u r t e r 级数项展开的系数“，w t ，u 用单元结点位移表示，则： u t ( ) = n t u j w a r ，：) = 叫 v t ( r ，：) = n , v j ( 2 2 3 ) 其中“0 一，v f 是结点i 的位移分量j l ，w 。，v 的第l 阶f o u r ie r 级数展开项 的幅值，此时，它们就是待求的基本未知量。把( 1 - 2 3 ) 式代入( 卜2 2 ) 式后，得 f u ( r ，b z ) 1 w ( r 艘：) ： 【v ( r ，口，z ) j f “j c o s l o f = ll ；l n l w f c o s l o i - i ，= i | ，v js i n l 0 ，= ij - 1 = k ，2 ，。 其中谤 = 睇，w ，v ：r ， 】为形态整数。 f - c o s l o 0 0 l ，乍i o c o s l 8o l l 00 s i n l o j 2 2 1 单元的应变和应力 在非轴对称情况下，弹性体在圆柱坐标系下的几何方程为： 1 0 ( 2 2 4 ) 爿赶彰以 r，jikil ， 以 兰! ! 生垄盔兰堡主堂垡笙苎 扫 = 将( 2 2 4 ) 式代入( 2 - 2 5 ) 式，得到 其中 三维物理方程为： 瞳】= s ， 占。 e e 占c s o r 占：p t = d “ c ， o w 三 l ilo r ，ra p a ( 9 w a zo r 1o ra v- g r8 臼o rr lo wo w ra 0o z ，b 2 ，b 3 ，b 4 o 生s i n l 0 ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) p ，。= 陋，p ，。= p p ，p ，8 = p i b 。，b ：，见，b 。】f 萎 7 c z z s ， 其中 d 为弹性矩阵： ， o 0 、，ili，j。旧陌旧旧， 陋 。 p 。 州 盟玉 姗 垡丹 曰fs0c m ? 一， 省n ， 曲 憎。马，咖 一 v | k争警 旧 o | 宝 咝务 旧 册 枷 o 刍 一 忸 o。铷扣。 兰! ! 皇查点堂堕主兰篁堡苎 一 p l x 6 - 2 2 2 单元刚度矩阵： 由虚功原理可推得单元刚度矩阵为 肛7 】= l 陋r d i b b v = 8 】f d 】陋】卅，d 6 e 泓叩 七l 砭k ：t 七：七：k 。l 。i 尼ij i ；：七三七三i 七：，七：七：， 七：。j k 】是一个3 x 3 阶的子矩阵，其中的元素由下式计算 叱】= f 。f 。f 。陋玎【d 如j 】，归鲥刁 ( i ，j 由l 变化到4 ) i s l 雅可比矩阵的行列式由( 2 - 1 7 ) 式计算。 r 一一单元中任一点的径向坐标，由( 2 7 ) 式计算。 设： = 蚓= e 、 岛。 岛， b 4 l b 5 l 玩， 马2 b 2 2 马： 9 4 2 b 5 2 吃： b l j b ：3 b 3 b b b 盟c o s l o 口 o 盟c o s ，目 ， 皇丛c o s ，目 a z l - ns 0 1 2 o 一三s i n l o ， 0 o l - n , c o s ，口 ， 0 ( 掣一盟) 。i n f 口 o rr a n , s i n l 0 o z ( 2 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 瓯 称 q 已厶。 对 g e g g 巴又g 巴巳 p 曰 彰 “ 0 o 盟瑟 盟毋 华北电力大学硕七学位论文 | 4 。4 ：4 。4 。4 ，4 。 阻1 = 旧 _ i4 ，4 。4 ，4 。4 ，4 。i l 4 ，4 ：4 ；4 。4 ，4 。j 盟。始掣。d o 一三。伽 r晓r o型c o s ，矽o a oo ! c 。d o o p o n 一盟) s i 坩目 r c pr 把k 。j 和( f 代入( 2 3 1 ) 式，计算后得其中每一个元素为： ( 砖) = 耋影。( 蔷6 彳( k c m 。) j 矿 ( ：) ：= 主联：( 窆a ：c 。) d r 1j t l ( ：) = 耋影，( 善6 爿l k c m l 。) d 矿 ( = l _ 8 如( 篷。c 。) d r m = li = 1 ( 女= b 名( 。) d v m = ik = i ( = 耋( 酽6 “y ( 磁) ，：= 宝影：( 塞戥) d 矿 ( ) 。= l 宝影，( 6 一知c m 。) d 矿 考虑到三角函数的正交性： ”“1 t s i n l o c 。s l o d o = o t s i n 2l o d o = f c o s 2 l o d o - - x 以及】阵和陋】阵中的零元素： o 7 一ns i n o r 盟s i 口 晓 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 妇 o 盟岔 始 o 烈i 一 一兰! ! 皇塑盔堂堡主堂堡丝奎 最后得 爿；：= a 2 a z l = 4 3 = 鸣5 = 4 = 呜2 = 4 t = 0 旦! = 墨3 2 b 2 1 = 垦3 = b 2 = 蜀3 = 砖2 = 鼠1 = 0 ( 七；) t 。= 石 。f 。( 引幽；，c 。+ 爿。，c i ，+ 爿。；c l 。】。+ 蜀豳。c 3 ，+ 爿。，g ，+ 么，。g ；j + 碟【4 c ，+ a u c 。，+ 爿，；c 。】。+ 口 阻。，g ，】 j r d ( d q 弼) “= 厅f 磁g + 4 ，q ，+ a i 。g 。，+ k 。g 。+ 彳。，g ，+ a i 。c 4 。， + 阻。，c 。，h ， 耐玎 ( ) t ，= 厅 ，j ， 影k 。，c ，+ 一。，q ，+ 4 。c 3 。】+ 聪b ，g ，】。 t 磁k 。，q ，】删删，7 弼) ：t = 万f f ，f 尉k ：q ：+ 如c i 。，+ 影d ：g ：+ 4 ；q 】 + b ；l - ：c ，：+ 一：；c ；】+ b ；ld ：。c ；。 j l r d c d 玎 ( 杉) ：，= 厅f lf 。 戤妇：c 3 ：+ 彳：。c 3 。】。+ b 刍口：。c 5 。y + b ：3 a 。c 。 l j r d g d , 7 ( ) ，- = 万j ， 影阻。c ， 十b ；l 随，c 。 - 8 ：，【爿。c 4 3 l + b _ f i a ，q ，+ 爿。c 。 l s l r d ( d q ( = 厅“- c ， + k c3 + k ，c 。，+ 爿，。c 。 j f 州弘 ( 彤) ”= 厅f i ， 日，k ，c ，】。+ b 是- ，c ，+ _ ，。c ，。 + b ：3 a ，c 。，+ 爿，。c 。，) l j l ，d 彰叩 2 - 3 反对称载荷作用下四结点等参元环元单元刚度矩阵 当旋转体上仅作用有反对称载荷p 时 相应的位移为 f f p ( - z 0 ) = f c 乞 i f m 寸，z ) s i n l o ，k ( r ，z ) s i n l o 吒日( ，z ) c o s l o ( 2 3 6 ) 。向。埘。 、t)，j 力力力只幺只 p p p 兰! ! 皇塑奎堂堡堂笪鲨苎 万c ，z ，护，= 甓耋蓍 = “一，z ) s i n l o w 廿，z ) s i n l o y 小，z ) c o s l o 与正对称载荷分析方法相似，把( 2 - 2 3 ) 代入( 2 - 3 7 ) 得： 舯石舻f 黝l ： l v ( r ，0 ，z ) j 其中： 2 3 1 单元的 把( 2 3 8 ) 其中： 应变和 式代入 s n , w ：s i n l 0 4 ， 2 2 u , v ：c o s l 0 is i n l o o c 7 f 】_ l os i n 0 100 应力 ( 2 - 2 5 ) 式，得； 叠 = 占口 s 石 舟 z 8 ：圭防。，一b ：，一b ， n 3 j | ，n4 7 ( 2 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 3 9 ) 、f，0，j 一6一占一艿一万 pfns ， 一“ ；h。 一，一， 防 。 、j叫 o o 啷 、，l，j 一占一占一艿一万 ，ij，、，lilll 占 占 华北电力人学硕士学位论文 针 单元应力表达式与( 2 - 2 8 ) 式相同。 2 4 单元刚度矩阵 0 盟s i n ，臼 o g o o n ，。 二s i r l l 卯 0 nc o s l 0 ， o o ns i n l 0 ， 0 ( 掣+ 盟) c 。l o d rr 盟1 0 c o s l - - - o z ( 2 4 0 ) 反对称情况的单元刚度矩阵公式仍为( 2 3 7 ) 式，只是在计算 k i 时，陋】用 ( 2 - 4 0 ) 式，其它推导过程同正对称情况。在此略。 2 5 轴对称、正对称及反对称载荷作用下的有限元方程 三种载荷各自作用下的有限元方程形式都是样的，即 l 臣h j = r ( 2 - 4 1 ) 其中i 足j ：艮】，不同之处在于不同性质的载茹作用时其单元剐度矩阵辟，和结点 载荷列阵不葡。轴对称情况时，单元刚度矩阵k f 由式( 2 - 2 0 ) 给出，载荷由( 2 - 8 ) 式向结点移黄给出；正对称情况时，单元刚度矩阵l k r 由( 2 - 3 0 ) 给出，载荷由( 2 - 2 1 ) 式向结点移置给出；反对称情况时，单元刚度矩阵区r 由( 2 - 3 0 ) 给出，但其中的 几何矩阵 b 用( 2 - 4 0 ) 式代替，载荷由( 2 - 3 6 ) 式向结点移置给出。 1 6 佣 坩 删 湖 r 1 r ) 副 0 n 剑 a o 叭了 盟，巩i， 华北电力人学硕士学位论文 第三章非轴对称载荷作用下等效结点力的计算 用有限元分析结构问题时，必须将外载荷集中作用在结点上，形成结点载荷向 量。由于作用在结构上的外载荷不一定都在结点上，所以必须依据静力等效原则把 外载荷向结点进行移置。所谓静力等效，是指原载荷与移置后的结点载荷在任何虚 位移上所做的虚功相等。在确定的位移函数条件下，这种移置结果是唯一的，而且 由它们所引起的应力误差是局部的，不影响整体的应力分布。 r - - 忸r i3 一1 ) 在上一章已经给出有限元方程 k p = r ) ，其中f r 是由弹性体的全部单元上的 等效结点力集合而成，即忸 = 球 。现设作用在旋转体上的载荷由三部分组成， 即集中力 g ( 单位长度上的力) ，表面力 q ( 单位面积上的力) ，体积( p ( 单位体积 上的力) 。设弹性体上的虚位移为( 件 ，对应的结点虚位移为f 盯 ，由静力等效原理， 对任一单元有 ( p + r ) r = j ( 驴+ y ) 7 g d l + 且 ，) 。) 7 g ) 出+ i ( 驴y ) 7 p d v ( 3 - 2 ) 把扩 = 弦f 代入上式，消去虚位移后得： 尺) 。= ，) 。+ q 8 + p ) 。( 3 - 3 ) 其中： f r = i n 7 g d l 为集中力移置后的单元等效结点力。 q r = f n 7 白) 西 为表面力移置后的单元等效结点力。 户) = 】2 p d v 为体积力移置后的单元等效结点力。 当旋转体上作用有非轴对称的集中力，表面力，和体积力时，可以按第二章所叙述 的方法，先把各种力分别展开成f o u r i e r 级数，分解为轴对称、正对称和反对称载 荷，然后，分别向结点进行移置。 3 1 集中力等效结点载荷列阵的计算 设单元上任意点作用有集中载荷k = 毋，g 。，g 。n 作用点的坐标为t ，乙) 把 g 华北电力大学硕士学位论文 展开成f o u r i e f 级数 g ? g ： g ； v ) 阿( r ，z ) c o s l o 似) + 恒( ，z ) c o s l o 懈) j “1 陬懈) s i n l 0 现在分三种情况进行讨论： 3 1 1 当只考虑正对称情况时( 1 - - 0 时为轴对称) 单元上作用的正对称载荷为： 陆( w ，口) 。 乜 = t g ： ，d = 【g 。( 叫，臼) j 。 单元内任一点的虚位移为 刊牝 【vj 忙。 n j ? d ：c o s o f 叫c o s # m s i n o g ：( r ，z ) c o s l o g ：( r ，z ) c o s t o g ：( r ，z ) s i n l o r ，z ) s i n l oi r ，z ) s i n l o ( 3 4 ) r ，z ) c o s l o i 对于第l 阶展开项有虚位移： f 叫c o s t o 扩) 。= 圭 f c 。s l o ：杰m 阻q 谤y “_ l f v j s i n l oj ”1 其中：j 为第j 个结点的形函数 为第j 个结点的虚位移列阵 正对称外载衙为： 博( ，z ) c o s l o g - - 忙( ，z ) c o s l 0 ；阻怡 【g ；( ，z ) s i n l 0i 将第，阶的扩) 。及 g 代入虚功方程( 3 - 2 ) 式得： ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 一bob0一bo ，。，、。l 。h + 、，l，j，、l = 、lr， 、，、，、， p 驴目 z z z r ， ， ，l，l，l ， _ 目 g g g ，、l = 、-7g，1 = q v ， m m m ，j_1jt_l 。m 兰! ! 皇垄盔堂堡主堂垡笙苎 杰眙省f 豫宁：杰f 。沁b ，聊f y k k d 口 对于任意个结点i 有 消去虚位移后，得 遮= 誊心 f 一x 。g t c o s 2 1 0 l 删 净9 ， 【g ；s i n l o 氍( 砟( d 口 ( 3 1 0 ) 协( ，z ) 1 i 拯( ，z ) ( ，o ) 般裂 伊 ) c 拉p ，z ) ( f - o ) k o ，z ) j 当集中力作用在i 点时，( n 。) f = l ，其余三个( l i = 0 ，有 k 宁= 3 1 2 当仅考虑反对称项时 单元上作用的反对称载荷为 单元内任一点的虚位移为 矾 矾 1 9 鬣 氍 三； 葑 ( ，0 ) ( ，= o ) ( 3 一1 2 ) ( 3 一1 3 ) 。硝 口目臼； s s 1 0 o c c s -f g 占占 ，j、i【 ur陋 f l 护d t c 、，_：圹、 伊伊护， s s 1 o 0 c c s ；_y f p g g g ，1j，1，l 、j n n 。肘 ，、l 增 阳 坩 啪 础 一g g g 。 、l， 、j、，、j 伊口p ， ， ， z z z ， ， ， 工 卜 卜 ，l，l，l 毋& ，i、，l = 、tt，g 华北电力人学硕士学位论文 对于第，阶展开项有虚位移 反对称载荷为 n i 为第i 个结点的形函数。 卜， r r _ ， 其中： 万 = f 魍 fjf j z f ：s i n l 0 j 1 v ：s i n 0 m v ：c o s l 0 nh 。s i n l 8 nw ? s i n l 8 n 。v 。c o s l 0 ( 3 一1 4 ) ：4 ，臣。m ( 3 - 1 5 ， 叫彳拊 ：， 7 为第t 个结点的虚位移列阵 将第，阶的杪 c 和每j 及代入虚功方程( 3 2 ) 式得 ( 3 - 1 6 ) 喜( 侈：) 谚彳= 喜f 4 ( i 防玲：f ) 7 每拉d 护( 3 - i 7 ) 对于任意一个结点i 且消去虚位移后有 k 宁= f 4 ( ，) c g ：s i n 2 ，护 z s i n2 1 0 k d 目 ；：c o s 2 ，口 缈。( ，i 当集中力作用在i 点时，( m ) 。= l ，其余三个( m ) 。= o ，有 叫弘 3 1 3 集中力的f o u r i e r 级数展开 ；：( ，z ) - g ：( ，z ) i ：( ，z ) ( 3 一1 8 ) 集中力的f o u r i e r 级数展开是一个很特殊的情况，它对于目不收敛，但当用在 应力分析中时，对于位移和应力却得到收敛的解答i 。 2 0 。m。h = “i 了，、l 、i，j 力力力 p p p彰彭磊 ，、l 华北电力大学硕士学位论文 第一种处理方式： 当按等参环元求解结构问题时，要求作用在旋转体上的集中力为单位长度上的 力( k g m m ) ，设g 为集中力，作用在i 点，f o u r i e r 级数展开为： l g = g 。+ z g ，c o s l 0 + 画s i n t o ( 3 2 0 ) = 11 = 1 其中： 由于在工程实际中，有时会遇到作用在某点的集中力，其单位为千克或牛顿， 采用上述处理方式显得很不方便，因此可采用第二种方法， 第二种处理方式： 设有一集中力g 作用在i 点，假想此力均匀作用在2 目的弧段内( 0 l 。) ，集 度为亭( 如图3 一l 所示) ，则在2 0 的弧段内，g 与季有如下关系式： g = g r 2 0( 3 - 2 2