（概率论与数理统计专业论文）关于集值与模糊集值平稳过程、马氏过程的研究.pdf

摘要 本文主要研究了两部分的内容，第一部分研究了集值与模糊集值平稳过 程，由于模糍集值随机过程是集值随机过程的推广，在集煎平稳过程已有酶理 论基础上利用水平截集，将模糊集值过渡到集值，先给出了模糊集值平稳过 程的定义，并证明了模糊集值乎稳过程的其它各种性质。接着用嵌入酶方法及 应用s h a p l e y 。f o l k m a n 不等式证明了d 维欧氏空间酞d 中紧模糊集值平稳过程 豹遍历定理，其收敛是在强h a u s d o r f f 距离蜉意义下的收敛最后用两边夹 方法证明了酞d 中有界闭凸模糊集值平稳过程的遍历定理 本文的第二部分研究了集值与模糊集值马氏过程，首先介绍了集值马氏 过程的定义，等价定义，性质及其结构，然后给出了模糊集值马氏过程的定 义，并给出了模糊集值两氏过程等价定义及性质。最后证明了模糊集值马氏过 程与实值马氏过程的关系 关键词；集值随机变量；集值平稳过程；集值马氏过裰；模糊集值平稳过程； 模糊集值马氏过程 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt w om a j o rp a r t s t h ef i r s ti sa b o u ts e t - v a l u e da n df u z z y s e t v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s b e c a u s ew ec a nc o n s i d e rf u z z ys e t - v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e sa sag e n e r a l i z e ds e t - v s u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，o u rr e s u l t sa r eb a s e d o nt h er e s u l t so fs e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s f i r s t l yw ei n t r o d u c et h ed e f i n i - t i o no ff u z z ys e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s a n dw ep r o v et h ep r o p e r t i e so ff u z z y s e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s s e c o n d l yw ei n t r o d u c et h ee m b e d d i n gt h e o r e ma n d p r o v et h ee r g o d i ct h e o r e m so fc o m p a c tf u z z ys e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e si nd d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c er db yt h ee m b e d d i n gm e t h o da n ds h a p l e y f o l k m a n i n e q u a l i t y a n dt h ec o n v e r g e n c ei ss t r o n gc o n v e r g e n c ew i t hr e s p e c tt ot h em e t r i c 曙f i n a l l yw eu s e 。s a n d w i c h ”m e t h o da n dp r o v et h ee r g o d i ct h e o r e m so f b o u n d e dc o n v e xf u z z ys e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e si nd - d i m e n s i o n a le u c l i d e a n s p a c e 一 t h es e c o n dp a r ti sa b o u ts e t v a l u e da n df u z z ys e t v a l u e dm a r k o vp r o c e s s e s f i r s t l yw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fs e t v a l u e dm a r k o vp r o c e s s e s a n dw ei n t r o d u c et h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so f f u z z ys e t - v a l u e dm a r k o v p r o c e s s e s i na d d i t i o nw es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nf u z z ys e t v a l u e dm a r k o vp r o - c e s s e sa n dr e a l - v a l u e dm a r k o vp r o c e s s e s k e y w o r d s ：s e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ；s e t v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s ；s e t v a l u e dm a r k o vp r o c e s s e s ；f u z z ys e t - v a l u e ds t a t i o n a r yp r o c e s s e s ；f u z z ys e t v a l u e d m a r k o vp r o c e s s e s 一i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：麴：篮日期：遴苎鱼垫日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲处聋导师獬左壶塑吼趟业1 9 第1 章绪论 第1 章绪论 本文将主要研究两部分的内容：首先在集值平稳过程已有的研究成果上， 给出模糊集值平稳过程的定义，并证明模糊集值平稳过程的性质、表示定理和 遍历定理其次给出模糊集值马氏过程的等价定义，并阐明模糊集值马氏过程 与实值马氏过程的关系在讨论上述问题之前，首先来了解集值与模糊集值的 一些概念，集值与模糊集值随机过程，特别是集值平稳过程及马氏过程的发展 以及现有的研究成果 1 1 b a n a c h 空间上的集值与模糊集值随机变量 集值随机过程是以有限维欧氏空间或更一般地b a n a c h 空间的子集为值的 随机过程，它既描述了客观事物发展过程的随机性，又描述了事物发展过程状 态的不确定性近年来，集值随机变量和集值随机过程取得了很好的成果渗 见 i 】一 5 】) 在本文中我们始终假设( q ，p ) 是完备的概率空间，( 疋，i f ) 是可分 的b a n a c h 空间，刀为z 的对偶空间，s + 为彤的单位球面，历( e ) 为距离 空间e 的b o r e l 盯一代数，剌为d 维欧氏空间，其上的范数为”1 1 记爿的超 空间为 p ( x ) = a cx ：a 是非空闭集) p ，c ( 爿) = acz ：a 是非空闭凸集) p ( 加。) ( z ) = acx ：a 是非空( 弱) 紧( 凸) 集) 定义1 1 1y a p f ( x ) ，定义 d ( z ，a ) = i n f l l x 圳：可a ，比彤 北京工业大学理学硕士学位论文 称为a 的距离函数 定义1 1 2 任意v a ，b 耽( 疋) ，z 石，a 和b 的h a u s d o m 距离为： d 日( a ，b ) = m a x s u pd ( x ，b ) ，s u pd ( z ，a ) ) ， 盅j 4z 且 且i i a i i k = 妇( o ，a ) 距离空间( 耽( 彳) ，妇) 是完备可分的，且p 七。( z ) 是( 玑( z ) ，d 日) 的闭子 集 定义1 1 3v a f a x ) ，定义 s ( z + ，a ) = s u p ( z ，z ) ：z a ) ，比+ 彤+ 称为a 的支撑函数 定义1 1 4 如，a ) cp a x ) ，若 h ms ( z ，a ) = s ( 矿，a ) ，v x 4 疋 仃_ o o 则称( w ) j ma n = a n + o o 定义1 1 5 a n ，a cp ，( 疋) ，若 伽一l i m s u p a n = a = 8 一l i m i n f a n n , - - * o o 则称( k m ) l i ma n = a t l 0 0 0 定义1 1 6 设f ：q _ p ，( 疋) 为集值映射，如果任意开集gc 疋， f - 1 ( g ) = u q ：f ) ng o ) 是可测的，则称f 为集值随机变量 用m q ，卅表示为所有取值为p s ( x ) 的随机变量的全体，m ( 伽) 七。 q ，彤】表示 为所有取值为p ( 叫) 七。( 疋) 的随机变量的全体 令l 1 即，石】为b o c h n e r 可积的名值函数全体； 2 第1 章绪论 筇= f l 1 即，石】：，) f ) ) ； 盯( f ) = 盯 f - 1 ( g ) ：g 是开集，gcz ) 用丁表示正整数全体n 或非负实数全体瓞+ 所谓集值随机过程就是一族 以t 为参数的集值随机变量，记为 e ：t t ) 设t 是一指标集，对任意的t t ，令 肌= 盯( e ：s t ，8 t ) n 。= 盯( e ：s t ，8 t ) l 。 q ，n 。，：z = ( f ：q p f ( 。) ( 疋) ；f 是n 。有界可测可积) 任给开集gcz ，记l ( g ) = a p i ( x ) ：ang d ) ，称p ( x ) 上 以集族 j 。( g ) ：g 为开集 为子基的拓扑称为下拓扑，记作( p f ( x ) ，玩) ；称 p f ( x ) 上以集族 a p ( 疋) ：o t q ) ( 这里d 表示集合的闭包) 容易验证对任意的模糊集可，它的水平截集具有下面的性质： ( 1 ) m o = z ； ( 2 ) q 卢号p 卢cp 】q ； ( 3 ) = n 口 0 a = 0 北京工业大学理学硕士学位论文 其中( x 。，q ) s + x 0 ，1 ，s + 为z + 中的单位球 定义1 1 1 l 对于任意的钉l ，v 2 n ( 石) ，定义 螃( v l ，口2 ) = s u pd g ( v ? ，t ，芋) a e ( 0 ，1 】 则( r k ( z ) ，曙) 是完备的距离空间( 参见【3 0 】) 定义1 1 1 2 称x ：q _ f ( x ) 为模糊集值随机变量或模糊随机集，如果 对每个q ( o ，1 】，】口) = z 石：x ) ( z ) q ) 是集值随机变量称模 糊集值随机变量x 是可积的，如果趿。是非空的从 3 2 】中的定理1 3 1 可 知，x 可积当且仅当d ( 0 ，x l ( w ) ) l 1 【q ， o ，o o ) 若实值随机变量j l 】0 + i l k 是可积的，则称模糊集值随机变量x 是可积有界的( 有关更多的模糊集理论 方面的知识读者可参考文献【3 2 ，【4 5 】) 设l 1m ，p ；f k ( 疋) 】表示所有可积有界的f k ( x ) 一值随机变量的全体， l i q ，p ；f k 。( z ) 表示所有可积有界的f k 。( 疋) - 值随机变量的全体称两个 k ( 疋) - 值随机变量x ，y l 1 即，肛；n ( 疋) 】是相等的，如果对任意的口 ( o ，1 】，有】q ) = y q ( u ) a e ( p ) f 七( 石) 一值随机变量x 的期望表示为e 】， 它是f k ( x ) 中满足下面条件的模糊集：对每个o t ( 0 ，1 】， ，- ( e 【x 】) q = c l x q d p = c l e ( f ) ：，s x l 。) - ，q 其中闭包在z 中取，q 矧n = f l 1 f l ；疋 ：，) 】q ) ，a e ( p ) ) 由期 望的存在性定理( 参见【1 7 ， 3 0 】，【3 2 】) ，我们也有如下的等价定义： e 冈( z ) = s u p a ( 0 ，1 j ：z e x q ) 进而也有，对任意的o l ( 0 ，1 】，( e 历x ) q = e h ，其中历a 表示集合a 的凸闭包 6 第1 章绪论 !i二二。1_i、，i-一iii i i i ! 定义i i 1 3 模糊集值随机变量x 关于衫的子叮一代数研条件期望是满 足下面条件的模糊集值随机变量e i 硝】： ( d e x i 奶 是研可测的， ( 2 ) 对每个a 奶，厶e x l 霸l d p = 厶x d p ，每个a ( o ，1 1 , 如果e ( i l x o + i l k ) 0 0 ，则 e 吲奶圹= e x 。l 西】 定理i i 3 ( 3 2 ) 设( ：o t o ，1 1 ) 是l 1 q ，疋】上的一族集合，且 s o + = c l u 。( o ，1 】& ) ，设& ，s o + 是菲空闭凸的且满足下列条件 o ) s o = l 1 【q ，矧； ( 2 ) 0 n p 辛& c & ； ( 3 ) = n 品 8 q 则唯一存在y l 1 q ，p ；f k 。( 疋) 】，使得 。= ，l 1 q ，疋】：，( u ) y i 。( u ) ) = 咒 定义1 1 1 4 设7 是一个指标集，如果对于每个t t ，有唯一的模糊集 值随机变量咒与之对应，则称 x t ：t t 是一个模糊集值随机过程。 若t 是一个有序集， 玩：丁) 是的增子o r - 域流，对于每个t t ， x 。是玩可测的，则称 五：t t 为玩适应的模糊集值随机过程，记作 k ，只：7 一 集值平稳过程的发展简介 在实际的研究工作中，平稳过程是一类重要的随机过程所谓平稳过程， 直观地说，。平稳”指过程的统计特征不随时间的推移而变化此过程被广泛 7 北京工业大学理学硕士学位论文 地应用在生物、经济、自动控制等科学领域中而集值平稳过程是经典平稳过 程的推广有许多文章对此进行了深入的研究 定义1 2 1 设 r ：t 丁) 是一个集值随机过程，若对任意的佗 1 ，t l ，t 2 ，t n t ，s r ，使t l + s ，2 + 5 ，t n + s t 和彤的开集 g 1 ，g 2 ，瓯，有 p u ：f t ，ng t d ，1 i n ) = 尸 u ：f t 。+ 。ng i d ，1 i 礼) 则称 r ：t 丁) 是一个集值平稳过程 在随机过程的研究中，一个关键的问题就是满足某种性质的向量值选择 过程的存在性，而可测选择存在性结果在可测集值映射理论中是重要的工具， 同样地，在集值平稳过程的研究中，关键的问题是我们必须找到具有某种性质 的平稳选择过程，以及用这一列选择过程来表示集值平稳过程 定义1 2 2 设 r ：t t ) 是一个集值平稳过程， 2t t ) 是_ 个疋 值平稳过程，如果对任意的( t ，u ) t q ，有五) r ) ，则称 ：t t ) 是_ 【只：t 丁】的一个平稳选择 利用集值随机过程的某种性质的平稳选择，我们才能去表示一个集值平 稳过程，进而去研究集值平稳过程的分布函数理论、大数定律及其遍历性 1 9 9 6 年张文修等【3 6 】给出了集值平稳序列中实值平稳选择，证明了可以 取无界集值平稳过程的强大数定律和强遍历定理；1 9 9 6 、1 9 9 7 年汪荣明，汪 振鹏等人 8 】， 9 研究了集值平稳过程的构造，证明了保测变换半群与集值平 稳过程的相互对应关系；1 9 9 7 年汪荣明与汪振鹏 1 0 】证明了集值随机过程的 平稳选择及其表示定理，研究了集值平稳过程的大数定律和遍历性 1 3 集值马氏过程的发展简介 - 8 - 第1 章绪论 众所周知经典的马氏过程在随机过程理论中占有重要的位置，同样集值 马氏过程是集值随机过程中最重要的过程之一，它在数理经济系统、无穷维的 控制系统及其他数学领域中被广泛应用( 参见 1 一 5 】) 首先我们来看什么是 集值马氏过程 定义1 3 1 设 e ：t t ) 是一个集值随机过程，若对任意的t l t 2 t n ，有 p r 。l 口( e 。，e 。，r 。一。) ) = p r 。i o ( f t 。一。) ) 则称 f t ：t t ) 是集值马氏过程这一定义类似实值随机过程的马氏性 另外，徐明跃( 参见【3 3 】) 给出了集值马氏过程的等价定义如下： 设适应集随机过程 只，蜀：tet ) ，对v f l 。即，彤 ，有 e f i 玩】_ e f i a ( f t ) 】 则称 e ，玩：t t ) 为集值- 5 6 过程 1 9 9 6 年徐明跃在论文【7 中证h y j - f 集值马氏过程的马氏选择存在性及其 表示定理，还讨论了集值马氏过程与实值特征- 5 6 性的对应关系；2 0 0 1 、2 0 0 3 年周华任，李世楷在文章【3 4 】， 3 5 】中从集值马氏过程的最直观的定义出发，证 明了马氏过程的等价性定义，有了对集值马氏过程的本质较为完整的认识 另外引进了转移函数和集值齐次马氏过程的概念但是大量的工作例如集值 马氏过程的构造问题以及强马氏性等问题还需要做进一步研究 1 4模糊集值平稳过程与马氏过程的研究现状及本文要研究的问 题 随机过程论被广泛应用于信号处理、控制论和统计预测等领域，但是有时 系统所受到的周围环境影响的不确定性因素不仅具有随机性，而且具有模糊 9 北京工业大学理学硕士学位论文 性，因此模糊集值随机过程的研究越来越受到人们的重视模糊随机变量的概 念最早由k w a k e m a a k 在1 9 7 8 年提出，但当时的定义只是在一维欧氏空间给 出的有一定的局限性，且很难推广到多维空间上1 9 8 6 年p 谢和r a l e s c u 【3 0 】 利用水平截集是集值随机变量来定义模糊集值随机变量且利用集值随机变量 的研究结果给出了模糊集值随机变量的期望的定义他们还借助于紧凸集的 嵌入定理，将模糊集类所成空间等距同构地嵌入到某个b a n a c h 空间中，这就 将对模糊集性质的研究与b a n a c h 空间理论联系起来，建立了模糊集值随机变 量的数学理论框架，为以后的研究奠定了基础 李莉、冯玉湖【3 9 】讨论了模糊集值平稳过程的定义，建立了保测变换半 群与模糊集值平稳过程间的对应关系；宗云南、赵伟国在文章【4 0 】中讨论了 模糊集值平稳过程和模糊集值宽平稳过程的基本概念和性质但是关于模糊 集值平稳过程的遍历定理还没有人研究，这是本论文要研究的内容之一、 正如第三节指出，到目前为止集值马氏过程的研究尚处于研究初级阶段 关于模糊集值马氏过程的研究还未开始，本文将要对模糊集值马氏过程的定 义及其性质做初步探讨 由于模糊集的水平截集是普通集，在集值随机过程的理论基础上运用水 平截集这一有效工具，进而来研究模糊集值随机过程 1 5本文研究内容及论文结构 本篇文章主要由三章组成，其中第一章是绪论部分，属于准备工作，介绍 了有关集值、模糊集值随机变量的基本知识及其符号，集值平稳过程与马氏过 程的发展；模糊集值平稳过程及马氏过程研究现状，指出本文要研究的问题 第二章和第三章是本文的主要结果部分第二章首先在概述前人关于集值平 稳过程的定义、性质、表示定理及遍历定理的基础上，给出模糊集值平稳过程 的定义，并证明模糊集值平稳过程的性质其次用嵌入的方法证明d 维欧氏空 1 0 第1 章绪论 间r d 中紧模糊集值平稳过程的遍历定理；又用两边夹方法证明d 维欧氏空间 删中有界闭凸模糊集值平稳过程的遍历定理 第三章首先给出集值马氏过程的定义、性质与表示定理，在此基础上，利 用水平截集技术给出模糊集值马氏过程的定义，讨论模糊集值马氏过程的等 价命题，最后阐明模糊集值马氏过程与实值马氏过程的关系 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章集值与模糊集值平稳过程 2 1 集值平稳过程的等价命题、性质及表示定理 在实际的研究工作中，平稳过程是一类重要的随机过程有许多文章研究 了集值平稳过程的构造以及集值平稳过程的大数定律和遍历性( 参见【7 】， 8 】， 1 0 1 ， 3 6 】) 在本章中，首先介绍了集值平稳过程的等价命题、性质及表示定理接 着给出模糊集值平稳过程的定义及其相关性质，表示定理和遍历定理 首先给出集值平稳过程的定义及等价定义 定义2 1 1 称一个集值随机过程 f ：t t ) 是平稳的，如果v n n ，t l ，t 2 ，t n t 及v s ，使得t i + s t ，i = 1 ，2 ，几，b 1 ，b z ，b n 国奄 p u ：f t t b i ) = p ( u ：e t + 。j e i l ) 定义2 1 2 一个集值随机过程 r ：t t 是集值平稳过程的充要条件 是v n n ，t l ，t 2 ，t n t 及v s ，使得t t + 8 t ，i = 1 ，2 ，n ，和疋的闭 子集g ，岛，g 有 p u ：瓦og 0 ) = p u ：尻。+ sng 仍) 下面是集值平稳过程的性质 性质2 1 1 设 只：t t ) 为集值平稳过程，则对任意的z z ，z + z ， s ( z + ，r ) ：t t ) ， d ( z ，r ) ：t t ) ， l l f t l l k ：t t ) 是实值平稳过程 在经典平稳过程中，平稳序列与保测变换是一一对应的显然，集值平稳 过程的概念是经典平稳过程的推广在集值平稳过程中，汪荣明与汪振鹏( 参 见【1 0 】) 给出了集值平稳过程与保测变换半群的一一对应关系；集值平稳过程 的表示定理及遍历定理 1 2 第2 章集值与模糊集值平稳过程 定义2 1 3 称可测变换妒：( q ，p ) _ ( q ，p ) 为保测的，如果 ( 1 ) 对任意的be ，有妒_ 1 b ； ( 2 ) 对任意的b ，尸( 妒_ 1 b ) = p ( b ) 定义2 1 4 设 妒：t o ) 为( q ，p ) 上一族保测变换，若对任意的 a ，及s ，t20 ，有 妒。+ a = 妒s 妒t a = 妒t 妒s a 妒o a = a 则称 慨：t o ) 为( q ，p ) 上的保测变换半群 定义2 1 5 设= 碍) ：t t ) 是( q ( 订，( 订，p ( i ) 上的集值随机过程 ( i = 1 ，2 ) ，对v n n ，t l ，t 2 ，如t ，b 1 ，b 2 ，b n 留有 nn p 0 ) ( n ( u ：秽) e 驯= p ( 2 ) ( n ( u ：带鼠) ) i = li = l 则称f 1 和f 2 依分布等价记为f 1 忌f 2 定理2 1 1 ( 参见 8 】) ( 1 ) 设 帆：t o ) 是( q ，p ) 上的保测变抉半群， f o m q ，z ，令r = 仇f o ，则 r ：t t ) 是集值平稳过程 ( 2 ) 设 f t ：t t ) 是集值平稳过程，则必存在惟一一个o t 尻：t t ) 上的保测变换半群 慨：t o ) ，使得f t = 妒f o 其中o - t e ：t 丁) 是 仃 r ：t t ) 关于p 的完备化 引理2 1 1 ( c a s t a i n g 表示定理) 设z 为可分b a n a c h 空间，f ：q p y ( x ) 为闭集值可测映射，则存在f 的一列可测选择 厶) ，使得对于任意u q ，有 f ( u ) = c f 厶( u ) ：佗= 1 ，2 ，3 ，) 定义2 1 6 设z 为可分的b a n a c h 空间，称映射矽：p s ( x ) _ 疋为p ，( z ) 上的可测选择算子，若对于v a p ，( z ) ，有砂( a ) a ，且妒为( p ，( z ) ，玩) 上可测 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 定理2 1 2 ( 参见【1 1 】) 任给可分的b a n a c h 空间疋，存在p ，( 疋) 上的一列可 测选择算子 ，n 1 ) ，使得v 4 p s ( x ) ，有 a = c f 妒n ( a ) ，n 1 ) 定理2 1 3 ( 参见 1 0 ) 设 f t ：t t ) 是集值随机过程，则下面的结论是 等价的： ( 1 ) f t ：t t ) 是集值平稳过程； ( 2 ) 存在一列z 值平稳选择 丘七) ：t t ( 七1 ) ，使得 ( 2 1 ) f t ( w ) = c “矗”：七1 ) ，t t ( 2 2 ) 以，以扪，z 川，t t ) 是疋n 值平稳过程 2 2 集值平稳过程的遍历定理 定义2 2 1 设q o 是( q ，p ) 上的保测变换，若v a ，有妒a = a ，则 称a 为妒的不变集显然彩三 a ：a ，妒a = a ) 是盯一代数，称彩为 妒的不变盯一代数 定义2 2 2 r ：t t ) 为集值平稳过程， 饥：t o ) 是在盯7 尻：t t ) 上的保测变换半群，如果v f m q ，o t ( r ：t t ，p ；石】是 q o t ：t 0 ) 的 不变集，则称f 是关于 r ：t t ) 的不变集 定义2 2 3 r ：t t ) 为集值平稳过程，如果 r ：t t ) 的不变盯一 代数彩中的任意元素a 满足p ( a ) = 0 或p ( a ) = 1 ，则称 r ：t t ) 为遍 历的 引理2 2 1 设 r ：n n ) 是一个从( q ，p ) 到完备可分度量空间 ( 彳，p ) 的集值平稳过程，则存在t 7 t r ：n n ) 上的唯一保测变换妒，使得 妒( u ：r ( 0 3 ) 留) = ( u ：f n + t ( w ) 留) 1 4 第2 章集值与模糊集值平稳过程 定理2 2 1 ( 参见f l o 】) 设z 可分， e ：t 丁) 是三 。阮z 】值平稳过程， 彩为 r ：t t ) 的不变盯一代数，f ) m ( 伽) 。 q ，z 】，x , fv u q ，及每个 t 0 ，r ( u ) cf ( u ) ，有 ( k - m ) ( 伽) 骢；2e ) d t = e f o l 彩 特别地，若f t 是遍历的，则e f o i 钇 】= e f o ，从而 ( k 一训伽) 恕；z 1 脚) 班= e l e o 由此我们可以得到集值平稳序列的遍历定理 推论2 2 1 设疋+ 可分， r ：几0 ) 是l 。 q ，石 值平稳过程，彩为 r ：佗0 ) 的不变盯一代数，f ( u ) m ( 叫) 女。 q ，z ，对v o q ，及每个n 0 ， r ) cf ( o a ) ，有 ( k - m ) 恕而1 c f 三n 一彩】) 特别地，若r 是遍历的，则e f o i 钐 = e f o ，从而 ( k - m ) l i r an 玎1 c z 三 ) ：c f m 】) 2 3模糊集值平稳过程的遍历定理 在这一节中，我们将讨论模糊随机过程的一个重要过程，模糊集值平稳 过程的定义，结构以及性质规定本节是在l 1 即，p ；乳( z ) 】中讨论的，且 t = o ，+ 。o ) ，爿= 则，并设玩胃( n ( r d ) ) 是( r ( r d ) ，曙) 上生成的b o r e l 盯一 域 定义2 3 1 设 x t ：t t ) 为模糊集值随机过程，若对任意的n n ， t l ，t 2 ，t n t 及v s ，使t l + s ，t 2 + 8 ，t n + 8 t ， 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 b 1 ，b 2 ，玩玩胃( f 七( r d ) ) ，有 p u ：x t 。( u ) b 1 ，j k ( u ) b n ) = p u ：x t l + s ( 0 3 ) b 1 ，j k + 。( u ) 玩 则称 x t ：tet 为模糊集值平稳过程 下面，我们给出模糊集值平稳过程的几个性质 性质2 3 1 若 x t ：t t ) 为模糊集值平稳过程，则对任意的q ( o ，1 】， 冒：t t ) 是集值平稳过程 证明：因为 x t ：t t 为模糊集值平稳过程，所以v n n ，t l ，t 2 ，t n t ，和b x ，b 2 ，b n 锄胃( n ( 则) ) 有： p x t 。b i ，1 i 佗) = p x t ，+ 。b ，1 l 礼) 对任意给定的q ( o ，1 】，令厶：f k ( r d ) _ p k ( r d ) ，厶( x ) 一x q ( v x f k ( i r d ) ) ，则，q 是( f k ( r d ) ，曙) 到( p k ( r d ) ，妇) 上的连续映射因此由 p 醒b i ，1 i 佗) = p 配i 1 ( b i ) ，1 i 仃) = p x t , 怕石1 ( b i ) ，1 i 仃) = p 磙+ 。b i ，1 i n ) ， 可知对任意的q ( 0 ，1 】， 婵：t t ) 是集值平稳过程 口 性质2 3 2 设 咒：t t ) 为模糊集值平稳过程，则圳咒i i f ：t t ) 及 对任意的o t ( o ，l 】，z + 彤， 8 x 。( z + ，q ) ：t t ) 均是实值平稳过程 证明：令，( 五) = i l 五忙，则，为从f k ( x ) 到实数r 的可测映射，所以 v n n ，t l ，t 2 ，t n t 和b l ，b 2 ，b n 召( r ) 有 p ( x t 。) b 1 ，( x k ) b n ) = p 咒。，一1 ( b 1 ) ，x 。，一1 ( 鼠) ) = p x l + 。厂1 ( b 1 ) ，x 。厂1 ( 玩) = p s ( x ”。) b x ，( k + 。) b n 1 6 第2 章集值与模糊集值平稳过程 则删五忙：t t ) 是实值平稳过程同理我们可以令f ( x t ) = 8 x 。( z + ，0 1 ) ， 类似上面的方法我们可以证明对任意固定的o t ( o ，1 】，x + z + ， 8 x 。( z + ，q ) ： t t 是实值平稳过程 口 接下来，我们要讨论模糊平稳过程与保测变换半群的一一对应关系 定理2 3 1 ( 参见 3 9 1 ) ( 1 ) 设 饥：t 0 ) 为( q ，p ) 上的保测变换半 群，x o 为任意的模糊集值随机变量，令x t = x o ，则 x t ：t t ) 为模糊 集值平稳过程 ( 2 ) 设 x t ：t t ) 为模糊集值平稳过程，则必存在唯一个( q ，p ) 上的保测变换半群，使得x t = 饥x o 下面，我们给出模糊集值平稳过程的表示定理 定理2 3 2 设 五。：n o ) 是( q ，p ；f 惫。( 掣) ) 上的模糊集值平稳序 列，则对任意的o l ( o ，1 ，存在一列实值平稳序列 ( 臂) ( m ，k 1 ) ( n o ) ， 使得 叉：( u ) = c f ( 臂) 扪，k 1 ) ，佗o ，u q 证明： 任意的q ( o ，1 1 ，由定理2 1 3 知道存在一列平稳选择 ( 器) ( 七) ： k 1 ) ，使得 叉：( t g ) = c l ( 篇) 射，七1 ) ，佗0 ，u q 定理证毕 口 同理我们也可以得到连续参数模糊平稳随机过程的类似结论 简记j = 0 ，1 ，c ( s + ) 为上有界连续函数的全体定义一c = 一c ( z ，c ( s ) ) 是所有函数，：j c ( s ) 的全体，满足( 1 ) j f 是有界的，( 2 ) 厂在( 0 ，1 上是左连 续的，( 3 ) ，在0 点是右连续的，且在( 0 ，1 ) 上，有右极限c ( i ，c ( s + ) ) 是b a n a c h 空间，其上的范数为l i f l l 虿= s u p1 i f ( 口) l l c 为- l g a ，记百= ：虿( ，c ( s + ) ) ， 则我们有下列模糊集类的嵌入定理 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 引理2 3 1 ( 参见 3 2 】，定理6 1 2 ，注6 i 3 ) 设疋是可分的b a n a c h 空间，存 在一个映射歹：f k 。( z ) 一虿使得： ( i ) j 是等距映射，即 四( t ，l ，i 2 ) = f i j ( v 1 ) 一j ( 也) 慨t ，l ，v 2 f k 。( 疋) ， ( i i ) 对任意的t ，1 ，1 1 2 f k 。( 疋) ，7 ，t 0 ，有 j ( r u l + t v 2 ) = 巧v 1 ) + t j ( v 2 ) ， ( i f i ) j ( f 七。( z ) ) 是虿中的闭子集 事实上定义j ( v ) = 8 ，因此对任意的q ，有j ( ) ( 口) = s 。( ，o t ) c ( s ) = s ( ，【口】。) ，则j 满足上面的嵌入定理，且将( f 七。( z ) ，d 胃) 等距同构的嵌 入到c 中去 引理2 3 2 ( s h a p l e y - f o l k m a n 不等式) ( 参见 6 ) 设蜀，k 是r d 空间的 紧子集，则； d h ( zk t ，历( k ) ) v 伍m a x 。i i k , i i k 这个引理对任意的有限维线性空间都成立，在后面模糊集值平稳过程遍历定 理的证明过程中我们将要用到它 下面我们给出模糊集值平稳过程的遍历定理 定理2 3 4 设( 五。：n o ) cl 1 q ，f k ( r d ) 】是模糊集值平稳过程，万为 【k ：礼o ) 的不变y - - 代数，则： 熙曙( 南三，e 嘲j 动) = o 特别地，若是遍历的，则 熙曙( 击三，e 脚】) = o - 1 8 第2 章 集值与模糊集值平稳过程 证明：由嵌入定理知 曙( 熹塞历，e _ 讯i 团) = 恢南挚) 一邸 历i 动) 岵 = i 熹塞j 隅m b ( 豳例虿 _ 0 ( 仃一。o ) 由s h a p l e y - f o l k m a n 不等式我们有： 定理证毕 口 曙( 熹，e 同凰f 动) 曙( 熹三熹三历x m ) 蠕( 熹历，e 砜f 动) n 历程) m = o 埔( 六三历捌酬动) 锪s u p l 缅m a x 糌，1 72 ，砖 q ( 0 ，1 l 佗十lj + 曙( 击历k ，e _ i 动) 妇m a x ( 紫1 ，m = 0 ，1 2 ，礼) 一 l 礼+ 7 。7 - 7 7 。j 墒( 者砜，e 脚f 动) 南 碍 n 删 击 妇 珊 = 北京工业大学理学硕士学位论文 引理2 3 3 ( 参见 1 6 】) 对任意的t ，r ( 彤) ，存在个有限的0 = t o 1 0 ，由引理2 3 3 知存在一个n ，使得我们可以找到 0 ，1 】区间的一个有限 分划：0 = 0 1 0 q 1 q m = i ，满足：当佗n 时， 妇( e i x 占2 胃+ 】) e 进而对任意的o l k l o l o l k ，由三角不等式及两边夹不等式得： 妇( 击三霸捌胃 ) 妇( 南三磷，e i x ：+ ) + 妇( 熹圣睹。1 + 捌硎) d 日( 击三硝捌硎) 慨( 击三睹坩捌驴+ 】) + 2 d 日( e 田t + 】) 所以有： 蒜】d 日( 熹三霸捌胃】) 硷m a s x m d 日( 击皤，e 硎) + 蚴m a s x m 妇( 击睹。，e 瞄+ 】) 拙 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 定理得证 口 2 4 本章小结 本章首先给出了模糊集值平稳过程的定义，然后我们证明了模糊集值平 稳过程的任意q 水平截集是集值平稳过程，并证明了模糊集值平稳过程的其 它各种性质其次我们利用嵌入的方法并应用s h a p l e y f o l k m a