（生物医学工程专业论文）超声图像斑点研究及应用.pdf

东南大学博士学位论文 差、最小信噪比差值、最小相关系数与最大( 最小) 互信息等微分停止原则。此外， 还讨论了结构张量与微分张量，介绍了连续性增强与边缘保留结构张量，连续性增 强结构张量对于检测与分析具有流状结构的图象具有显著的效果，边缘保留结构张 量在微分过程中能较好地保留边缘。 基于斑点统计特征的反锐化掩模滤波方法，其滤波过程是各向同性的。我们对 其进行了深入分析与进一步演化，通过引入各向异性因子，将其转化为各向异性微 分滤波。通过计算机仿真斑点图象与真实超声图象的处理与量化分析，证明了这种 新的斑点抑制各向异性微分方法，在抑噪与保留边缘方面均具有良好的性能。 关键词斑点；散射密度；统计特征；自适应滤波；线边缘检测；小波多分辨 宰分析；软阈值抑噪；各向异性微分；停止原则；结构张量：连续性增强；边缘保 留 i i a b s t m c t a b s t r o c t t b e l 。ei sas p e c i a lk i n do fn o i s ec a l l e ds p e c k l ei nu l t r a s o n i ci m a g e s t h en a t u r eo f s p e c k l ep a t t e r nd e p e n d sm a i n l yo nt h en u m b e ro fs c a t t e r sp e rr e s o l u t i o nc e l lo rs c a t t e r n l b e rd e n s i t y ( s n d ) ，t h e i rs p a t i a ld i s t r i b u t i o na n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ei m a g i n g s y s t e m t h es t a t i s t i c so ft h es p e c k l ei sr a y l e i g h ，r i c a l na n dkd i s t r i b u t i o nr e p e c t i v e l yb y t i l es n do ft h es c a t t e r i n gm e d i u m n a k a g a m id i s t r i b u t i o np r o v i d e sab e t t e rm o d e lf o r t h e s t a t i s t i c so fs p e c k l ed u et oi t sc a p a b i l i t yo f d e s c r i p t i o na n dg e n e r a l i t y t h ed i f f e r e n tk i n d o fr o o d e l sa n di t sm o m e n ta r ea n a l y z e da n dm e a n st oe s t i m a t ep a r a m e t e r si np d ea r e b e c a u s et h ec l i n i c a lu l t r a s o u n d i m a g i n gs y s t e m sn o r m a l l ye m p l o yl o g a r i t h m i c c o n l p l e s s e dt or e d u c ed y n a m i cr a n g eo ft h ee n v e l o p e ，t h es p e c k l es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s c h a n g ed u r i n gc o m p r e s s i o n t h es t a t i s t i c so fs p e c k l ea r ed e v i s e da c c o r d i n gt ot h e o g r e i f l l m i cc o m p r e s s e dm o d e l s e v e l a lm e t h o d sf o rs u p p r e s s i n gs p e c k l ei s b r o u g h tf o w a r db a s e do ns t a t i s t i c so f s p e c k l ea n d a r ec o m b i n e dw i t hl i n ee d g ed e t e c t o r ( l e d ) t h el e d a p p l i e sl i n es e g m e n t s s h o r te n o u g hw i t hd i f f e r e n td i r e c t i o n st ol o c a l l ya p p r o x i m a t et h el i n e a r i t yi no r d e rt o c n h a n c ee d g e sa n dc e r t a i nf e a t u r e si nt h ei m a g e an o v e lm e t h o dn a m e da d a p t i v el i n e e d g ed e t e c t o r ( a l e d ) i su s e dt oi m p r o v ep r e f e r e n c eo f t h el e d al l e wm e t h o dn a m e dm u l t i s c a l en o n l i n e a r t h r e s h o l dn o i s es u p p r e s s i o na n de d g e e l l h ：l n c e n l e n ti sp r o p o s e d f i r s t l y , t h ei m a g ei sd e c o m p o s e db yw a v e l e t ，as o f tt h r e s h o l d b a s e do nl e v e la n dv a r i a n c eo fc o e f f i c i e n t si su s e dt os m o o t hs p e c k l ei nh i 曲f r e q u e n c y s e c o n d l t h ed e s p e c k l ei m a g ei sr e c o n s t r u c t e db yi n v e r s et r a n s f o r m f i n a l l y , t h ea l e d _ a p p l l e dt ot h er e c o n s t r u c t e di m a g ef o rp r e s e r v i n ga n de n h a n c i n ge d g e sa n dd e t a i l s a n i s o t r o p i c d i f f u s i o ns h o w sg o o d p e r f o r m a n c ei nn o i s es u p p r e s s i o na n de d g e i l l 东南大学博士学位论文 p r e s e r v a t i o n w ed i s c u s s e di t ss t a b i l i t ya n dd i f f u s i o ns t o pt i m e i tc a r lb ep r o v e dt h a tt h e a n i s o t r o p i cd i f f u s i o ni sap r o c e s sd i s s i p a t i n ge n e r g y 、而t l lt i m ei fae n e r g yf u n c t i o nw h i c h ti sr e l a t i v et og r a d i e n to fi m a g ei n t e n s i t yi si n t r o d u c e d w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o ra na n i s o t r o p i cd i f f u s i o nt ob ew e l lp o s e d s e v e r a lc r i t e r i o n so fo p t i m a ls t o p p i n gt i m e a r ed e v e l o p e d ，i n c l u d i n gm i n i m a lm e a ns q u a r ee r r o r ( m s e ) ，m i n i m a ls i g n a ln o i s e 1 a t i o ( s n r ) ，m i n i m a lc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n ta n dm i n i m a l ( m a x i m a l ) m u t u a li n f o r m a t i o n t h es t r u c t u r et e n s o ra n dd i f l u s i o nt e n s o ra r ed i s c u s s e da n dc o h e r e n c ee n h a n c e m e n t t e n s o ta l l de d g ep r e s e r v a t i o nt e n s o ra r ep r e s e n t e d t h ec o h e r e n c ee n h a n c e m e n tt e n s o ri s u s e f u lf o rd e t e c t i n ga n da n a l y z i n gf l o w l i k ep a t t e ma n dt h ee d g ep r e s e r v a t i o nt e n s o rc a r l b eu s e df o rp r e s e r v i n ge d g e se f f e c t i v e l y i h eu n s h a r pm a s kf i l t e rb a s e do ns t a t i s t i c so fs p e c k l ei si s o t r o p i c i ti se v o l v e db y a n i s o t r o p i cf a c t o r sa n dc o n v e r t e dt o a na n i s o t r o p i cf i l t e r t h ee f f e c t i v e n e s si ns p e c k l e m l p p r e s s i o nm a de d g e sp r e s e r v a t i o no ft h ep r o p o s e df i l t e ri sd e m o n s t r a t e do na s i m u l a t e d m a g ea n du l t r a s o u n di m a g e s k e ) ，w o r d ss p e c k l e ；s c a t t e rn u m b e rd e n s i t y ；s t a t i s t i c s ；a d a p t i v ef i l t e r ；l i n ee d g ed e t e c t o r ； w a v e l e tm u t i s c a l ea n a l y s i s ；s o f tt h r e s h o l dn o i s es u p p r e s s i o n ；a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ； s l o p p i n gt i m ec r i t e r i o n s ；s t r u c t u r et e n s o r ；c o h e r e n c ee n h a n c e m e n t ；e d g ep r e s e r v a t i o n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导卜| 进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 i 干1 。n 勺同忠对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：鞋日期：鞋 东南大学学位论文使用授权声明 尔南人学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 神1 1 乜子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文 的内弈相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 沦文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：扭导师签名：骂三z 堡一 日 期：2 q q 3 生2 旦 第一章绪论 1 1超声斑点 第一章绪论 超声图象具有实时性强、安全性高、价格便宜、方便等优点，在医学诊断与治 疗中得到广泛应用。但存在于超声图象中斑点，降低了图象的可分辨性，严重影响 了图象质量，尤其是使边缘与细节变得模糊，增加了医学诊断与治疗的难度。因而， 研究这种特殊斑点的特性，在此基础上，进一步研究如何抑制这种斑点，保留与增 强图象边缘与细节特征，以便准确地进行边缘检测、图象识别、分割与定位等具有 十分重要的意义。 超声成像系统中，发射的超声波经过介质的散射与反射形成的回波信号，实际 上是反向散射信号的连续累加。当介质表面不均匀或具有特殊的微结构特征时，具 囱- 定频率的超声波无法分辨，由此产生的散射信号形成了斑点。由于分辨单元内 的散射体是随机分布的，它们反向散射的能量也是随机的，因此，这种回波信号具 有一定的统计特性。 单位分辨单元的散射信号数量称为散射数密度，理想的情况是，每一分辨单元 包含大量的点散射体，其中任何一个自身并不产生强烈的反射信号，而且在单位范 围内，这些散射体的散射信号交叉部分是相同的。此时，斑点服从r a y l e i g h 分布5 1 ， 如f 常肝、心脏与胸部等。如果分辨单元中存在特定的组织或目标，则在反向散射 信号中出现很强的连续部分，此时回波信号的分布产生偏移，可由r i c i a n 与k 分布 描述叶 引，如发生病变的肝、肾等。n a k a g a m i 分布能更好地描述超声斑点的统计特 性，它具有更强的表达能力与通用性。在超声成像过程中，为了使回波输入信号与 显示发备的动态范围相匹配，对信号进行了对数压缩。考虑到信号的对数压缩特性， 它们的分布也发生了显著改变。 东南大学博士学位论文 1 2 超声斑点图象处理方法 埘于超声图象中的斑点，存在两种不同的观点。一种观点认为它是一种噪声， 影i i 向了图象的清晰度与质量，因而试图用各种方法来平滑这种斑点1o 】- 【2 0 。另外一 种观点则认为它是一种结构性的信号，反映了成像介质的结构信息，因此，可根据 其特性来区分正常与异常组织，确定病变部位等2 1 。【3 ”。这两种观点是从不同的角 度而得出的，尽管相差很大，但其目的是一致的，即为了更好地进行病灶识别、定 位、珍断与治疗。 滤波是降噪的常用方法，如l o u p a s 提出的自适应权系数中值滤波，k a r a m a n 提出的白适应斑点抑制滤波，k o o 提出的区域增长均值滤波等【9 】，这一类滤波方 法的共同特点是基于斑点的局部统计特征( 如均值、方差等) 与同质区域的特性。针 对超声信号的对数压缩特性，根据斑点的统计特征，d u t t 提出了一种自适应斑点抑 制滤波方法，g h o f r a m i 设计了一种基于n a k a g a m i 分布的斑点滤波方法【1 “。虽然 它们能较好地抑制斑点，但一些微小的边缘与细节也随之被平滑了。为此，我们提 出了一种自适应线边缘检测方法 ”，并将它应用于自适应斑点抑制滤波方法中，使 滤波过程具有方向性，增强了图象中的线性边缘与细微结构特征【3 1 。 近年来，人们提出了小波降噪方法，其基本思想是将图像变换到小波域，舍去 某些尺度部分，再进行逆小波变换，从而得到降噪图像。其中被舍弃的是小尺度部 分，因为在小波域，小尺度对应高频率，而噪声往往在高频部分。d o h o n o 在t 9 9 5 年提出了一种可变闽值降噪方法1 5 ，x i a n g 与z h a n g 将其应用到超声图像降噪处理 中l 1 ，z h a n g 等人提出了一种多尺度非线性处理方法【1 7 】，文献 1 8 在d o h o n o 与z o n g 等人的基础上提出了一种经过自适应权系数中值滤波预处理后的多尺度非线性阂 值处理方法。这些小波降噪方法对噪声的抑制能力较强，但在保留图像边缘与局部 细节方面的性能并不理想。我们将线边缘检测技术与多尺度小波抑噪方法相结合， 提出了一种新的多尺度非线性抑噪与边缘增强方法1 2 1 ，实验证明，这种方法在抑制 第一章绪论 廉点与保留边缘方面具有较强的能力。 1 3 本文主要研究内容 研究超声斑点的统计特性，根据散射密度的不同，得出了斑点的几种分布 模裂，如r a y l e i g h 分布、r i c i a n 分布、k 分布等，并推导出这几种统计模型的矩特 征： 应用n a k a g a m i 分布模型来描述斑点特性，该模型具有更强的表达能力与通 用性： 超声成像过程中，对回波信号进行了对数压缩，斑点的统计特性发生了改 变。刈服从各种分布的斑点，分析了它们经对数压缩后的分布与矩特征； 根据斑点的分布模型与矩特征，设计了几种自适应斑点抑制滤波方法； 基于斑点统计特征的斑点抑制滤波方法的缺点是不能有效地保留边缘与细 节，本文应用线边缘检测技术，以极短的线段来近似图象中的局部线性特征，并将 其应用到斑点滤波方法中，使滤波过程具有方向性，从而使斑点抑制滤波方法的性 能得到显著改善； 提出了一种基于小波多尺度分解的斑点抑制方法，该方法将线边缘检测技 术应用于小波多尺度分析与软阈值降噪过程，以使其在抑制斑点的同时，有效地保 留与增强边缘； 各向异性微分在抑制斑点与保留边缘方面均具有独特的性能，本文对其稳 定性、微分停止时间等特性进行了分析与讨论； 结构张量可以用于检测图象的局部连续性，分析图象的结构特征。将结构 张量引入各向异性微分中，从而得增强图象中某些感兴趣的特征，如图象边缘、连 续性较强与有规律的纹理特征等； 东南大学博士学位论文 - 对滤波方法中常用的反锐化模板滤波方法进行了分析，揭示了它与各向异 性微分的联系与区别，并对其进行了演化，通过引进各向异性权系数，使滤波过程 其有各向异性。在此基础上，设计了一种基于斑点统计特征的各向异性斑点抑制与 边缘保留方法。 第二章超声斑点统计特性 第二章超声斑点统计特性 超声成像是一个复杂的物理过程，如声波反射、吸收、连续散射，反向散射信 号( 回波信号) 的检测及图象显示等。超声设备就是通过检测位于分辨单元内大量散 射点的回波信号来获得成像介质的结构信息。成像介质内的散射体可认为是随机分 布的，它们的反向散射信号也是随机分布的。单位分辨单元内大量散射信号的连续 累加而形成了斑点，这种信号的累加过程可由随机场来描述，我们可以据此分析信 号的分布特性。 2 1 r a y l e i g h 分布 2 1 1 r a y l e i g h 分布模型 超声成像系统中，散射介质的回波信号是大量散射点产生的反向散射信号的累 加。假设每一散射点产生的散射信号为x ，相位偏移为臼，则它们的累加信号 或 其中i x = x e 一= 甲以 x = 专鹏 一x ， q 一而 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 东南大学博士学位论文 如果f ，( i = 1 2 n ) 独立列分布，0 ，也独立间分布，则x 的实鄱墨与虚部为： 以墨卜赤善- 1 以苣皿( c o s ( 2 4 ) 1 酗j ) = 击善聪坝s 吲 ( 2 - 5 ) 如果0 ，在卜石，石 内均匀分布，则e ( c o s ( 0 。) ) 与e ( s i n ( 0 。) ) 均为0 。因此 e ( x ，) = e ( x ，) = 0( 2 ，6 ) x 与x 的二阶矩 e ( 霹) = 而1 盎n - 1 e ( 专旬) e ( c o s 0 c o s o j ) 酗挣丽1 狞( 专白坝s i n 0 ，, s i n o j ) ( 2 _ 8 ) 利用f ，与0 ，独立同分布条件，s i n 2 0 ，+ c o s 20 = 1 ，则有 e ( x ；) ：e ( 霹) ：掣：盯： ( 2 9 ) 如果x ，与x ，不相关，则 e ( x ，x ，) = 0 ( 2 1 0 ) 当每个分辨单元内的散射体数量足够大( j 。) ，并且回波信号的相位在 - ， n i q q 均匀分布时，利用中心极限定理，实部墨与虚部x 的联合分布服从高斯分布， 其联合概率密度为 4 1 ： 慨剐= 嘉7 0 e x p ( 一o - 马 ( 2 1 1 ) z z 它们是两个均值为0 ，方差为仃2 的高斯密度函数的积，则 x = 、犀再_( 2 1 2 ) 其概率密度为 第二章 超声斑点统计特性 令_ ，= x2 ，则 x 0 其它 即，= p 寺其了 ( 21 4 ) 式称为r a y l e i g h 分布函数，如图2 1 所示 2 1 2 r a y l e i g h 分布的矩特征 r a y l e i g l a 分布的m 阶矩为 3 3 】： 图2 1r a y l e i g h 分布 ( 2 ，1 3 ) ( 2 1 4 ) 7 竺驴 一 必 嵌 兰矿q ，r、l | i 的以 东南大学博士学位论文 e ( x “) = f x 所p 御扰 = ( 2 0 - 2 ) “2f x , 2 e - x d x ( 2 1 5 ) = ( 2 0 - 2 ) , “f ( 1 + i m ) 定义信噪比r ( s i g n a l - t o n o i s e ，s n r ) ： e ( x 1 r = ：= = 2 = = = = = = = = = = = = = 一 q e ( x 2 ) 一e 2 ( x ) 分别取m = l ，2 代入( 2 1 5 ) 式，可得： ，：丝：1 9 1 ，= = = = = = 一2 j y l 4 2 一j r 2 0 - 定义归一化偶数矩r 2 。，并由( 2 1 4 ) 式可得： 铲器刊 则有 2 。2r i c i a n 分布 2 2 1r i c i a n 分布模型 r 4 = 2 ，r 6 = 6 f 2 1 6 ) r 2 1 7 ) ( 2 ，1 8 ) ( 2 1 9 ) r a y l e i 曲分布的假设是单位分辨单元内存在大量的散射体，且散射信号的交叉 部分是相同的。但是，当体内组织含有一些细微结构或发生病变时，散射信号中会 f 见非随机的连续部分，且散射信号交叉部分也不相同，此时，斑点的特性会发生 改变。 令s 为连续部分，由于它是非随机的，因此它仅仅是使服从r a y l e i g h 分布的信 号产生偏移，斑点的概率密度函数为 3 3 第二章超声斑点统计特性 眠剐= 嘉唧( 一竺1 等塑) ( 2 7 2 0 ) 令x = 、压再，则 p ( x ) = x 0 ( 2 2 1 ) 其它 其中i o ( x ) 表示阶数为0 的第一类修正b e s s e l 函数。 ( 2 2 1 ) 式称为r i c i m a 分布函数，如图2 2 所示。 令：一s ，当k = - o 时，r i c i a n 即为r a y l e i g h 分布，当 一o 。时，r i c i a n 分布转化 盯 为g a u s s i a n 分布。 2 2 2r i c i a n 分布的矩特征 r i c i a n 分布的m 阶矩为： e ( x ) = f x p c ：x ) d x ：r 等。卅等，i o ( 事) d x q 。2 2 应用合流超线几何函数( c o n n u e n th y p e r g e o m e t r i cf l l n c t i o n ) 的定义，可得 3 3 e ( x m ) = ( 2 n “2 吲一尹m ；一嘉 ( 2 2 3 ) 其中i f l a ；b ；c 】为合流超线几何函数。 = = ；一矿 、“ 等 p 羔矿仉 东南大学博士学位论文 分别耿m = l ，2 ，4 ，得到 图2 2r i c i a n 分布 e ( x ) - ( 2 一2 吲一了m ；l ；导】 = 盯而e x p ( - 告) ( ，+ 軎( 扫+ 嘉( 嘉) 其中1 0 ( ) 、i i ( ) 表示阶数分别为0 与1 的第一类修正b e s s e l 函数。 e ( x 2 、= 2 0 - 2 + j 2 e ( x 4 1 = 8 0 4 + 8 0 - 2 s 2 + j 2 我们可根据( 2 2 5 ) 与( 2 2 6 ) 式来估计s 2 与o2 ： 0 ：、压币巧丽 e ( x 2 、一s 2 f 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 ，2 7 ) ( 2 2 8 ) 第二章超声斑点统计特性 2 3k 分布 2 3 1k 分布模型 当单位分辨单元内的散射体数量较少，散射交叉部分不同时，r a y l e i g h 分布中 大鼙独立同分布的散射体这一条件并不满足1 2 1 【3 5 】 3 6 l ，根据中心极限定理推导得到 r a y l e i g h 分布的条件也因此失效。此时，可用k 分布来描述： 天。 尸( x ) 志c 争c m 仁2 ， 0 ，其它 其中盔( ) 是阶数为”为第二类修正b e s s e l 函数，c 为尺度参数，m 与散射数相 m = n ( 1 + v ) ，v 一1r 2 3 0 ) 其中为散射体数量，v 描述了散射信号交叉部分的的不一致性与影响回波信 号特性的有效散射数。 k 分布如图2 3 所示。 2 3 2k 分布矩特征 】 分布也可用下式表示【3 3 】： p ( x ) = f p r ( x y ) p ，( y ) a y 其中p 月( y ) 是方差为盯2 y m 的r a y l e i g h 分布： 州聊，= 筹e 册黔 ，l ( y ) 为g a n m a a 分布： ( 2 3 1 ) r 2 3 2 ) 东南大学博士学位论文 蹦加嵩e _ k 分布的m 阶矩为： 图2 3k 分布 ( 2 3 3 ) e ( x ) = f p ，( y ) e 。( x ( y ) ) 方 ( 2 3 4 ) e i t c 犁”( y ) ) f i jr a y l e i g h 分布的m 阶矩，r g ( 2 1 4 ) 式得： 酗= n ( y ) ( 簪2 i _ ( 1 + m 2 ) 砂 = ( 芝) m “等茅r y m + ”2le-ym 方( 2 3 5 )、 r f m l 0 。 ( 2 a2 ) r ( 1 + m 2 ) f ( m + m 2 ) 根据上式，可计算得到k 分布的归一化高阶矩 第二章超声斑点统计特性 _ = 器叫，+ 扫 = 器叫+ 寺 寺 我们可由上两式得到参数m 的两个解： m = 二_ r 4 2 m ，：! ! ! 塾 n o ( 23 8 ) 与( 2 3 9 ) 式为我们提供了估计k = 分布参数m 的方法。 2 4n a k a g a m i 分布 r 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) n a k a g a m i 分布最早出现在无线通信领域，p m s h a n k a r 将其引入到超声斑点图 象中f 8 ，其概率密度函数为： 皑，= 瓮笋唧c 一警， x 0 ( 2 4 0 ) m 0 5 其中m ，臼的定义为： 9 2 = e ( x 2 )( 2 4 1 ) m = e ( x 氅x 磐 ( 2 4 2 )m = 二亡三= lz 斗z 。一 。、2 当分辨单元内存在大量散射体，并且它们不相关时，如图2 4 ( a ) 所示。应用中 心极限定理，经推导可得，反向散射信号服从r a y l e i 曲分布。令( 2 4 0 ) 式中的m = l ， 【l ! | | 东南大学博士学位论文 则，= 百2 xe x p ( 一爿 ( 2 4 3 ) 可见，( 2 4 3 ) 式与( 2 1 3 ) 是相同的，因此，m = l 时，n a k a g a m i 分布转化为r a y l e i g h 分布。 考虑图2 4 ( b ) 的情形，散射区域存在较强的连续部分，假设它们之间的距离为 丑2 ，丑表示超声波中心频率对应的波长。此时，信号服从r i c i a n 分布8 1 职) = 事e 等张 ( 2 4 4 ) 盯。盯4 m 的值大于1 ，并且有 1 埘= 1 一南2 e r ( 2 _ 4 5 ) 埘 (2 + s 2 ) 2 、 当连续部分的距离为五4 或更小时，则信号由均值为0 方差分别为盯? 与仃；的两 部分组成，其概率密度函数为【8 p c x ，= 去e _ ( 筹篙 厶f 等怯+ 爿 c 2 4 6 ) c r 2 p ( x ) ：羔。弋可丽圳孚f 占+ 三1 i ( 2 函以l 斗i 口j | 上式为广义r i c i a n 分布，且对应n a k a g a m i 分布的参数0 5 m i 9 2 。 k 分布适合于描述单位分辨单元内散射体数量较少，散射交叉部分不同时斑 点的特性，此时s n d 1 0 ，s n r o ，但实际上，p 值会出现小于零的情况，由于三。为半正定相关 矩阵，声 0 则意味着瓦7 三一x 0 ，z( 4 2 1 ) 设 吁= 巧圆 ( 4 _ 2 2 ) 其中 表示张量积，为了得到l 2 ( r 2 ) 的标准正交基，有如下定理： 定理4 1设孵是l 2 ( 萨) 的二维可分的多分辨率分析，m ( y ) = 妒( x ) 妒( ) ，) ，矿( x ) 是一维多分辨率分析中与妒( x ) 对应的小波，则 1 ( x ，y ) = 妒( x ) 少( y )( 4 2 3 ) 矿2 ( x ，y ) = 矿 ) 妒( y )( 4 2 4 ) 3 ( x ，y ) = y ( 石) y ( y )( 4 2 5 ) 的平移和伸缩