（应用数学专业论文）n维凸多面体的对称变换群.pdf

ab s t r a c t i n t h i s p a p e r w es t u d y t h e s y m m e t r y g r o u p o f a g e n e r a l c o n v e x p o l y t o p e ( g e n e r a l i z e d p o l y h e d r a ) o f t h e n - d i m e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e 砂.d o m i n i q u e w e i g e l , r e n e e v e y s s e y r e , a n d j e a n - l o u i s c h a r o n 1 1 d i d s o m e w o r k o n t h i s t o p i c i n 1 9 8 0 , a n d g a v e a f o r m u l a t o c a l c u l a t e t h e o r d e r o f t h e s y m me t r y g r o u p o f a g e n e r a l c o n v e x p o l y t o p e ( s e e i n5 1 . 2 ) . we i n t r o d u c e s o m e b a c k g r o u n d s a n d we i g e l s w o r k i n c h a p t e r 1 . i n c h a r p t e r 2 w e t a k e a s t e p f o r w a r d o n we i g e l s f o r m u l a a n d p r o v e t h a t t h i s f o r m u l a i s r i g h t o n l y f o r r e g u l a r c o n v e x p o l y t o p e s , f o r a g e n e r a l p o l y t o p e , i t o n l y g i v e s a n u p p e r b o u n d o f t h e o r d e r o f t h e s y m m e t r y g r o u p . l a t e r , i n c h a p t e r 3 , w e i n t r o d u c e a n e w m e t h o d : t o c o m b i n e a p o l y t o p e w i t h a n e d g e - c o l o r e d c o m p l e t e g r a p h , a n d p r o v e t h a t t h e s y m m e t r y g r o u p o f t h e p o l y t o p e e q u a l s t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e c o r e s p o n d i n g e d g e - c o l o r e d c o m p l e t e g r a p h w h i c h s t a b i l i z e t h e c o l o r . c h a r p t e r 3 a l s o g i v e s t h e a l g o r i t h m o f h o w t o c a lc u l a t e t h e s y m m e t r y g r o u p , w i t h t h e i n p u t d a t a o f a l l t h e v e r t i c e s o f a g e n e r a l p o l y t o p e . t h e o r d e r s o f t h e s y m m e t r y g r o u p o f s o m e i m p o r t a n t p o l y t o p e s o b t a i n e d b y t h i s a l g o r i t h m a r e a l s o g i v e n i n t h i s c h a r p t e r . ma p l e a n d g a p p r o g r a ms a r e l i s t e d i n t h e a p p e n d i x . k e y w o r d s . p o l y t o p e , s y m m e t r y g r o u p , e d g e - c o l o r e d g r a p h 3 1 b a c k g r o u n d kn o w l e d g e 1 . 1 de fi n i t i o n s a n d n o t a t i o n s i n t h i s s e c t i o n w e fi r s t g i v e t h e d e fi n i t i o n s o f p o l y t o p e , r e g u l a r p o l y t o p e , a n d s y mme t r y g r o u p t w o - d i m e n s i o n a l p o l y t o p e s a r e p o l y g o n s . a p - g o n i s d e fi n e d a s a c i r c u i t o f p l i n e - s e g m e n t s a 1 a 2 , a 2 a 3 , ， a p a l , j o i n i n g c o n s e c u t iv e p a i r s o f p p o i n t s a t , a 2 , ， a p . a p l a n e p - g o n i s s a i d t o b e r e g u l a r i f i t is b o t h e q u i l a t e r a l a n d e q u i a n g u l a r . t h r e e - d i m e n s i o n a l p o l y t o p e s a r e p o l y h e d r a . a p o l y h e d r o n m a y b e d e fi n e d a s a fi n i t e c o n n e c t e d s e t o f p l a n e p o l y g o n s , s u c h t h a t e v e r y s i d e o f e a c h p o l y - g o n b e l o n g s a l s o t o j u s t o n e o t h e r p o l y g o n , w i t h t h e p r o v i s o t h a t t h e p o l y g o n s s u r r o u n d i n g e a c h v e r t e x f o r m a s i n g l e c i r c u i t . a c o n v e x p o l y h e d r o n i s s a i d t o b e r e g u l a r i f i t s f a c e s a r e r e g u l a r a n d e q u a l , w h i l e i t s v e r t i c e s a r e a l l s u r r o u n d e d a l i k e . a i n t h e p a pe r conve x s er i es: p o l y t o p e p o i n t 砂， i n n d i m e n s i o n ma y b e c o n s i d e r e d t o b e t h e g e n e r a l t e r m l i n e s e g m e n t ie r , p o l y g o n 衅， p o ly h e d r o n 衅， . . 二i n t h i s w e c o n s i d e r o n l y c o n v e x p o l y t o p e s . i t s f o r ma l d e fi n i t i o n i s a s f o l l o w : d e fi n i t i o n 1 . 1 a p o l y t o p e i s a fi n i t e c o n v e x r e g i o n o f n - d i m e n s i o n a l s p a c e e n c l o s e d b y a fi n i t e n u m b e r o f h y p e r p l a n e s . we d e n o t e a n - d i m e n s i o n a l p o l y t o p e a s ii n . b e f o r e w e d e fi n e t h e r e g u l a r i t y o f f l . , w e n e e d t o g i v e t h e d e fi n i t i o n o f t h e v e r t e x 万 9 。 二fi r s t . i f t h e m i d - p o i n t s o f a l l t h e e d g e s t h a t e m a n a t e f r o m a g i v e n v e r t e x o o f ii l i e i n o n e h y p e r p l a n e ( e . g ， i f t h e r e a r e o n l y 二 s u c h e d g e s , o r i f a l l t h e v e r t i c e s l i e o n a s p h e r e a n d a l l t h e e d g e s a r e e q u a l ) , t h e n t h e s e m i d - p o i n t s a r e t h e v e r t ic e s o f a n( 。一1 ) - d i m e n s i o n a l p o l y t o p e c a l l e d t h e v e r t e x fi g u r e o f f l a t o . d e fi n i t i o n 1 . 2 a p o l y t o p e i s s a i d t o b e r e g u l a r 扩i t s c e l ls a r e r e g u l a r a n d t it 。 二 i s a r e g u l a r v e r t e x fi g u r e a t e v e r y v e r t e x a n i s o m e t r y i s a p o i n t - t o - p o i n t t r a n s f o r m a t i o n o f e w h i c h c o n s e r v e s d is t a n ces . t h e s y mme t r y g r o u p o f a p o l y t o p e i s t h e s e t o f a l l t h e i s o m e t r i c s o f e “w h i c h g l o b a l l y s t a b i l i z e t h e p o l y t o p e . s i n c e w e d o n t c o u n t t r a n s l a t i o n s , i t c a n a l s o b e d e fi n e d a s t h e s u b g r o u p o f t h e o r t h o g o n a l g r o u p , w i t h o r i g i n a t t h e b a t,v c e n t e r o f t h e p o l y t o p e ( i .e . t h e a v e r a g e c o o r d i n a t e s o f t h e v e r ti n 、 ) ， f i x i n g 山( ， s e t o f v e r t i c e s . 4 1 . 2 we i g e l s r e s u l t i n 1 9 8 0 , d o m i n i q u e we i g e l , r e n e e v e y s s e y r e , a n d j e a n - l o u i s p u b l i s h e d t h e i r w o r k o n s y m m e t r y g r o u p o f p o l y t o p e ii . , a n d g a v e t h e f o r m u l a 1 . 1 t o c a l c u l a t e t h e o r d e r o f t h e s y mme t r y g r o u p . t h e o r d e r o f t h e s y mm e t r y g r o u p o f a p o l y t o p e i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f i m a g e s o f a b a s i s t , d e r i v e d f r o m t h e p o l y t o p e , g e n e r a t e d b y t h e g r o u p a c t i o n s . l e t t=( o , a , , a 2 , ， a n ) d e n o t e a b as i s o f e n , w h e r e o i s a n i n v a r i a n t p o i n t o f t h e p o l y t o p e . t , = f ( t ) d e n o t e s t h e t h e a ; d e n o t e n o f t h e v e r t i c e s o f t h e p o l y t o p e , a n d w h e r e i m a g e o f t u n d e r t h e i s o m e t r y f . t h is i m a g e t is a b a s is o f e ( f b e i n g b ij e c t i v e ) w h i c h i s d i s t i n c t f r o m t w h e n e v e r f i s n o t t h e i d e n t i t y . t o d e t e r m i n e a l l o f t h e i m a g e s o f t , w e w i l l s h o w t h a t i t w i l l s u ff i c e t o c o u n t t h e i m a g e s o f a l , t h e n t h e i m a g e s o f a 2 w h e n a , i s fi x e d , t h e n t h e i m a g e s o f a 3 w h e n a , a n d a 2 a r e fi x e d , . . . . t h e i m a g e s o f a l a r e t h e v e r t i c e s a ; o f t h e p o l y t o p e s u c h t h a t : d o , a l ) =d f ( o ) , f ( a 1 ) =d o , a , t h e p o i n t s a 1 a r e t h e r e f o r e s i t u a t e d a t t h e s a m e d i s t a n c e f r o m o as a l . w e c a l l t h e s e p o i n t s e q u i v a l e n t t o a l , a n d w e w i l l d e n o t e t h e i r n u m b e r b y n a w i t h n a , = n a l ( t h e s iz e o f a l s o r b i t ) . t h e im a g e s o f ( a , , a 2 ) a r e t h e s e g m e n t s ( a , a 2 ) s u c h t h a t d (a l , a l l =d a i , a 2 . t h e s e m a y b e o b t a i n e d b y d e t e r m i n i n g t h e n u m b e r o f i m a g e s o f a 2 , a , b e i n g fi x e d - t h u s , u n d e r t h e s u p p o s i t i o n t h a t a n i s o m e t r y t r a n s f o r m s a l i n t o a i , n o t e t h a t t h e n u m b e r o f i m a g e s o f a 2 w h e n a ll i s fi x e d c a n n o t d e p e n d o n t h e v e r t e x c h o s e n f r o m a m o n g t h e n . , p o i n t s e q u i v a l e n t t o a l . t h e n u m b e r n ( a l , a 2 ) o f i m a g e s o f ( a 1 , a 2 ) i s t h e r e f o r e w r i t t e n : n ( a , , a 2 ) =n . , n . , ( a , ) w h e r e n . , ( a , ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f i m a g e s o f a 2 w i t h a l fi x e d , t h a t i s , t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e p o l y t o p e s i t u a t e d a t t h e s a m e d i s t a n c e f r o m a 1 as a 2 . t h e n u m b e r o f i m a g e s o f ( a 1 , a 2 , a 3 ) i f o b t a i n e d i n t h e s a m e f a s h i o n : i t s u ff i c e s t o fi n d t h e i m a g e s o f a 3 w h e n a l a n d a 2 a r e fi x e d : t h u s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s s i t u a t e d a t t h e s a m e d i s t a n c e f r o m a , as a 3 a n d t h e s a m e .d i s t a n c e f r o m a 2 as a 3 , d e n o t e d n . , ( a , , a 2 ) t h e g e n e r a l f o r m u l a f o r t h e o r d e r 9 o f t h e s y m m e t r y g r o u p o f a p o l y t o p e i s t h u s : (ll) 9 =n . , n . , ( a l ) n . ,. ( a 1 , a 2 , ， a n - 1 2 fur t h e r s t u d y b a s e d o n we i g e l s wo r k 2 . 1 t h e s y mme t r y gr o u p o f r e g u l a x p o l y t o p e s i n t h i s s e c t i o n w e w i l l c o n s i d e r t h e o r d e r s o f t h e s y mm e t r y g r o u p s o f t h e r e g u l a r p o l y t o p e s . t h e r e a r e o n l y fi v e c o n v e x r e g u l a r p o l y h e d r a ( 3 d i m e n t i o n ) , a n d s i x c o n v e x r e g u l a r p o l y t o p e s i n f o u r d i m e n s i o n , i n fi v e o r h ig h e r d i m e n s i o n , t h e r e a r e o n ly t h r e e r e g u l a r p o l y t o p e s : s i m p l e x a, c r o s s p o l y t o p e 禹， a n d h y p e r c u b e 、. h . s . m . c o x e t e r l i s t e d o r d e r s o f t h e s y m m e t r y g r o u p s o f a l l t h e r e g u l a r p o l y t o p e s i n 3 a n d 4 d i m e n s i o n i n h i s b o o k ( 2 ) ， f o r t h o s e p o l y t o p e s i n fi v e o r h i g h e r d i m e n s i o n , h e a l s o g a v e a g e n e r a l f o r m u l a a s f o l l o w s : j p ,4 .,v ,w = n n - i n . - i ,n - 2 n 2 ,1 n 1 u( 2 .2 ) w h e r e 凡 m e a n s t h e n u m b e r o f j - s p a c e s i n t h e r e g u l a r p o ly t o p e , a n d 戈，* m e a n s e a c h j - s p a c e i s i n c i d e n t w i t h 凡，* o f t h e k - s p a c e s ( ， 0 k ) . n e x t w e w i l l s h o w t h a t we i g e l s f o r m u l a i s c o r r e c t f o r r e g u l a r p o l y t o p e s ; a n d i t i s e q u i v a l e n c e t o c o x e t e r s f o r m u l a 2 . 2 f i r s t , l e t s c h o o s e t h e b a r y c e n t e r o o f t h e p o l y t o p e , a n d t h e n v e r t i c e s o n t h e s a m e h y p e r p l a n e , w i t h a 1 a d j a c e n t t o a 2 , a 2 a d j a c e n t t o a 3 , ， a 。 一 ， a d j a c e n t t o a n , a s t h e b a s i s . s i n c e w e o n l y c o n s i d e r n o n - d e g e n e r a t e p o l y t o p e s , t h e s e n+1 v e r t i c e s c a n n o t b e c o p l a n a r a n d c a n b e a b a s i s i n甄 . f r o m n o w o n , w e w i l l u s e t h e d e n o t a t i o n吼一 1 a s t h e c e l l s o f t h e r e g u l a r p o l y t o p e i n n d i m e n s i o n , a n d c n _ 2 a s t h e c e l l s o f c n _ 1 ， 二 。 c 2 a r e t h e f a c e s , c 1 a r e t h e e d g e s , a n d c o a r e t h e v e r t i c e s . l e t 从 d e n o t e t h e n u m b e r o f 以 i n t h e r e g u l a r p o l y t o p e . s i n c e a l l t h e v e r t i c e s a r e a t t h e s a m e d i s t a n c e t o t h e o r i g i n o , w e c a n e a s i ly h a v e t h a t n a , e q u a l s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f t h e r e g u l a r p o l y t o p e , t h a t i s ! a , =a a : 1 ( a , ) i s t h e n u m b e r o f i m a g e s o f a 2 w h e n a , i s fi x e d . b e c a u s e o f t h e r e g u l a r i t c , a l l t h e v e r t i c e s a d j a c e n t t o o , m u s t h a v e t h e s a r n e d i s t a n c e t o a , ， t h u s 戈: ( : : ) e q u a l s t h e n u m b e r o f 、 d g e s j o i n t a t a l . t h a t i s , t h e m m l b e r o f c , s ! i n t i t t h e s a m e已 1 , ( a l , ( 1 2 ) i s t h e n u m b e r o f i l n a g e s o f a 3 二 ，h e n t h e a n d 山a l i h e o n l y v e r t e x o i l t h e f a c e、 、 h e r ( a , ， ( ， a n d a :, h e o . 1 a n d a _ a r e f i x e d . s i ll ( 二 、 l 1 ,; i s o n t h a t s a t i s f y t h i s c o n d i t i o n . 川( a c 1 1 f a c e 、 二 ， a l l t h e e d g e ( ( ， 1 1 2 )二 。 c a n fi n d s u c h a v e r t e x 八 认 3 ( ， 1 , ( 1 2 ) , t h e 1 1 11 11 山 。 ， o f f a c e , t h a t j o i n t a t t h e 1 n u n b e r o f 姚 s j o i n t a l t h e s a m e c 1 . s a 川ee d g e th u s w e k n o n a l a 2 . t h a t . i s 6 g e n e r a l l y , w e a t t h e s a me c i _ 2 h a v e t h a t n a , ( a , , a 2 , i n t h e n d i me n s i o n . . ， a i - 1 ) e q u a l s t h e n u m b e r o f c i _ 1 s , j o i n t p o l y t o p e b y t h e d e fi n i t i o n o f n a ; ( a , , a 2 , 1.i -1 n a i ( a 1 , a 2 , we c a n e a s i l y fi n d t h a t 从一 1 从一 1 ,i - 2 ni - 2 u s i n g t h e f o r m u l a 9 二n a i n a z ( a , ) .凡n ( a 1 , a 2 ， 二. ， 口 n - 1 we h a v e no 7 立 2 n - 1 n i,:- 2n o 1 1 = 2 j n i- 2 n n - 1 几 n - 1 _7 i_ 1 n i,*一 1 叶一. t h u s w e g o t t h e s a m e r e s u l t s a s f o r m u l a 2 . 2 . i t t e l l s u s t h a t t h e f o r m u l a 1 . 1 i s c o r r e c t f o r a l l t h e r e g u l a r p o l y t o p e s . 2 . 2 c o u n t e r e x a mp l e s o f no n r e g u l a r p o l y t o p e s a s t o n o n r e g u l a r p o l y t o p e s , we f o u n d t h a t f o r m u l a 1 . 1 i s n o t a l w a y s c o r r e c t , i t d e p e n d s o n h o w w e c h o o s e t h e b a s i s t二( 0 , a ! , a 2 ， 二， a n ) t h e s e l e c t i o n o f a p a r t i c u l a r b a s i s m a y y i e l d t o o l a r g e v a l u e f o r g . a n d f o r s o m e p o l y t o p e s , w e c a n n o t r e a c h t h e c o r r e c t r e s u l t n o ma t t e r h o w w e c h o o s e t h e b a s i s n o w w e w i l l g i v e t w o e x a m p l e s t o s h o w t h i s i n c o r r e c t n e s s e x a m p l e 2 . 1 ( s q u a r e - p y r a m i d ) a p y r a m i d o n a s q u a r e b a s e , a n d s e t i t s h e i g h t t o a c e r t a i n v a l u e s o t h a t i t s 万 : 。 v e r t i c e s a r e a t t h e s a m e d i s t a n c e t o i t s b a r y c e n t e r . f i i , 2 . 1 c l e a r l y t h e o r d e r o f s y m m e t r y g r o u p o f t h i s p y r a m id s h o u l d b e t h e s a m e a s a s q u a r e , t h a t i s , 8 , b u t i f w e u s e f o r m u l a 1 . 1 , w e g e t n a , =5 , a n d t h e v a l u e y i e l d 场 t h i s f o r m u l a i s a m u l t i p l e o f 5 a n d c a n n e v e r b e 8 . i n f a c t , t h e a p e x c a n n o t b e t h e i m a g e o f a n y o f t h e f o u r v e r t i c e s o n t h e b o t t o m a f t e r a n y i s o m e t r y . fr o m t h i s w e k n o w t h a t f o r m u l a 1 . 1 i s n o t r i g h t i f t h e v e r t i c e s w h ic h a r e e q u i d i s t a n c e t o t h e o r i g i n a r e n o t t r a n s i t i v e . b u t t h is r e s t r ic t i o n i s s t i l l n o t e n o u g h , h e r e i s a n o t h e r e x a m p l e o f w h i c h a l l t h e v e r t i c e s a r e t r a n s i t i v e b u t , i t s t i l l c a n n o t r e a c h t h e r i g h t v a l u e i f w e c h o o s e a c e r t a i n b a s i s . e x a m p l e 2 . 2 ( h e x a g o n - p r i s m) a r i g h t p r i s 。 二 o n a r e g u l a r h e x a g o n a l b a s e , w i t h a l l t h e e d g e s i n e q u a l l e n g t h . f i g 2 . 2 i t i s o b v i o u s t h a t t h e 1 2 v e r t i c e s a r e t r a n s i t i v e , a n d t h e o r d e r o f t h i s p o l y t o p e s h o u l d b e t w o t i m e s o f t h e o r d e r o f t h e s y m m e t r y g r o u p o f t h e r e g u l a r h e x a g o n , t h a t i s , 2 4 . r u n n i n g p r o g r a m a . 1 i n ma p l e , w e c a n c a l c u l a t e a l l t h e p o s s i b l e v a l u e s o f g ,y i e l d e d b y f o r m u l a 1 . 1 , b y c h o o s i n g a l l t h e p o s s i b l e b a s i s ( t h o s e 3 v e r t i c e s w h i c h a r e c o p l a n a r w i t h t h e o r i g i n a r e i g n o r e d b e c a u s e t h e y c a n n o t b e a b a s i s ) . a f t e r r e a d t h e p r o g r a m i n t o m a p l e , r u n t h e f o l l o w i n g c o mm a n d s : a : = 1 / 2 : b : = s g r t ( 3 ) / 2 : h e x a g o n p r i s m : 二 1 , 0 , a ， a , b , a ， - a , a , - b , a ， 1 , 0 , - a 一 1 , 0 , - a ， - a , - b , c a 1 m i n v a l u e ( h e x a g o n p r i s m ) ; b , a ， 一 1 , 0 , a ， - a , - b , a a , b ， 一 司 ， 一 a , b - a ， a ， - b , - a ， 0 - a ， , 0 , 0 t h e r e s u l t s a r e a s f o l l o ws 勺d人ou 324 矛罗 b asi s b a s i s basi s 2 ，3 3 ，2 3 ，们，9 二 111 8 b a s i s s ， 4 , 2 ， g = 7 2 a l l t h e v a l u e s o f g a r e i n t h e s e t : 3 6 , 2 4 , 4 8 , 7 2 1 t h e l a r g e s t g=7 2 t h e s m a l l e s t g=2 4 、 、 、c a n s e e t h a t c e r t a i n s e l e c t i o n s o f t h e b a s i s c a n y i e l d t o o l a r g e v a lu e s o f g . i n f a c t , i f w e c h o o s e t h e b a s i s 1 , 2 , 3 , w h e n w e c o u n t t h e i m a g e s o f e d g e l , 2 , s i n c e d ( 8 , 2 ) 二d ( 1 , 2 ) , e d g e 1 8 , 2 i s c o u n t e d , b u t f r o m t h e fi g u r e w e k n o w t h a t e d g e 8 , 2 i s t h e i n t e r s e c t o f t w o s q u a r e f a c e s , y e t e d g e l , 2 i s t h e i n t e r s e c t o f a h e x a g o n a n d a s q u a r e , 8 , 2 c a n n o t b e 1 , 2 s i m a g e e v e n i f t h e y h a v e t h e s a m e l e n g t h . t h i s i s w h y t h e y y i e l d a t o o l a r g e v a l u e 3 6 . ( s e e i n fi g u r e 2 . 2 ) . t h e s e t w o e x a m p l e s i n d i c a t e t h a t f o r m u l a 1 . 1 i s n o t a l w a y s c o r r e c t f o r a l l t h e n o n r e g u l a r p o l y t o p e s . 2 . 3 u p p e r - b o u n d a f t e r f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n , w e c a n fi n d t h a t t h e v a l u e y i e l d 饰 f o r m u l a 1