（应用数学专业论文）二维格上单种群模型的传播速度和行波解.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 在有无穷多个斑块且局部扩散的二维斑块格上，本文导出了带有时滞全局作用 的二维格单种群模型，该模型的主要特征是反应了扩散、非局部时滞及传播方向的 联合作用在研究了初值问题的适定性的基础上，建立了在波速c “( 口) 时波前 解的存在性，其中0 是任意固定的传播方向，并得到了对每个传播方向口，最小波 速“( 口) 与渐进传播速度一致的结论该文的主要发现是渐近传播速度不仅单调依 赖于成熟周期和成熟个体的扩散率而且依赖于传播方向这与空间变量连续时渐近 传播速度与方向无关的结论完全不同 用 关键词：行波解，上下解，时滞，格微分方程，传播速度，最小传播速度，全局作 4 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t ht h i sp a p e r w ed e r i v eal a t t i c em o d e lf o ras i n g l es p e c i e si nat w o - d i m e n s i o n a l p a t c he n w r o n m e n t 稍t hi n f i n i t en u m b e ro fp a t c h e sc o n n e c t e dl o c a l l yb yd i 伍l s i o n e wl a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nm o d e l sw i t hd e l a y e dg l o b a li n t e r a c t i o na r ed e v e l - o p e di nt w o - d i i n e n s i o n a lp a t c hd o m a i n t h ei m p o r t a n tf e a t u r eo ft h em o d e l si st h e r e f l e c t i o no ft h ej o i n te f f e c to ft h ed i f f u s i o nd y n a m i c s ，t h en o n l o c a ld d a y e de f f e c ta n d t h ed i r e c t i o no fp r o p a g a t i o n w es t u d yt h ew e l l - p o s e d n e s so ft h ei n i t i a l - v a l u ep r o b - l e ma n do b t a i nt h ee x i s t e n c eo fm o n o t o n et r a v e l i n gw a v e sf o rw a v es p e e dc 岛( 护) ， w h e r epi 8a n yf i x e dd i ：r e c t i o no fp r o p a g a t i o n i np a r t i c u l a r w es h o wt h a tt h ei n l n - i m a lw a v es p e e dc 。( 9 ) c o i n c i d e sw i t ht h ea s y m p t o t i cs p e e do fs p r e a df o ra n yf i x e d d i r e c t i o np o u rm a i nf i n d i n gh e r ei st h a tt h ea s y m p t o t i cs p e e do f s p r e a dd e p e n d so n n o to n l yt h em a t u r a t i o np e r i o da n dt h ed i f f u s i o nr a t eo fm a t u r ep o p u l a t i o nm o n o - t o n i c a l l yb u ta l s ot h ed i r e c t i o no fp r o p a g a t i o n w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h ec 珊t h a t t h es p a t i a lv a r i a b l ei sc o n t i n u o u s k e yw o r d s ：l a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t r a v e l i n gw a v e ，s p r e a d i n gs p e e d s ， m i n i m u mw a v es p e e d ，g l o b a li n t e r a c t i o n 5 兰州大学硕士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据，观点等，均已明 确注明出处除文中已经注鲳弓l 用的内容乡 。不包含任何其他个入或集体已经发表 或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担， 论文作者签名：二写l 聋_ l日期；五与k 上上卜 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学 本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有， 关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何 复制手段保存和汇编本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接 相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定， 论文作者签名；聿啦 导师签名： 3 孝碉司 日期：奄蚪 第一章前言 1 1 本文研究的背景 现代科学技术的发展很大程度上依赖于物理学、化学和生物学的成就和进展， 而这些学科自身的耩确化又是他们取得进展的重要保证学科的精确化往往是通 过建立数学模型来实现的，而大量的物理、化学和生物学等领域中的许多模型都可 以归结为所谓的反应扩散方程反应扩散方程有一类重要的解，就是形如( 霸t ) = 缸缸p + c t ) 的行波解在实际应用中，行波解可以很好的表现自然世界中的振荡现 象) ( 见叶其孝、李正元【5 7 】等) 例如在物理学中，行波解通常描述的是从一个平 衡点到另一个平衡点的转移过程等；在传染病模型的研究中，行波解表示一种传染 源通常以恒定速度在空间的传播如果证明了该传染病以最小波速传播，那么实际 传染病的防治中，只要人们离开传染病源的速度比行波解的最小波速大，就不会被 感染上该传染病在数学理论的研究中，行波解可以揭示方程本身的许多重要性质 例如，它可以作为某个方程的稳态解，在偏微分方程初值问题的行为分析中起着关 键作用因此行波解问题成为非线性偏微分方程的一个重要研究领域( 参见王明新 【5 1 1 叶其孝和李正元【5 7 】) 正如在前面提到的，最小传播速度在许多传染病的预防 和治疗中及其他模型中都有很重要的意义，因此关于反应扩散方程的最小波速问题 现在也是一个活跃的应用数学分支 偏微分方程是描述时空延伸演变过程的传统模型由于其研究很复杂长期以 来人们只能求简单的解并研究稳定性确定性的混沌现象出现后，导致很多人从偏 微中寻找奇怪吸引子或研究解的时空复杂性，但研究非常困难后转而研究吸引子的 维数而非其中的解与此同时，计算机模拟实验研究已逐渐成为研究复杂动力系统 的有效工具，而这需要把动力系统按事件和空间进行离散化主要的方法有三种；1 ) 将时间变量离散化；2 ) 将空f 司变量离散化；3 ) 将时间和空间变量都离散化偏放分 方程经2 ) 得到的常微分方程称为格微分方程，是格动力系统的特殊形式格动力系 统的严格数学研究起始于b u r d m o v i c h 和s i n a i 的1 9 8 8 年的文章【q ，现在已经是 活跃的数学研究领域格微分方程之所以引起许多学者的关注主要有两方面因素： 一是格微分方程可以应用到许多领域，二是许多格微分方程还可以看作反应扩敌方 程在格上的离散化，并且离散化后继承了更多的复杂性行为从建立模型的角度来 兰州大学硕士学位论文 看，对空间进行离散化是模型精确化的一条重要途径f 1 5 】因此对格上动力系统性 质的研究对于理解现实世界具有重要的意义关于格微分方程理论和应用的许多细 节方面，可以参考c h o w 【l o ，m a l l e t - p a r e t 【l l 】 一个有意义的问题是格微分方程和其连续衄题是不是有相同的动力学行为如 果确定，研究格微分方程就失去了意义事实上，已经证明格微分系统与其连续情况 的动力学行为有很大的差异。就行波解问题而言，我们已经知道一个反应扩散方程 如果对某个扩散系数d 存在行波解的话，就会对所有的扩散系数d 0 存在行波解 然而相应的情况并没有发生在离散情况( 参考 2 3 1 ) 其现实意义又是什么呢? 这一 问题可以由b e e l e r - r e u t e r 模型得到若干解释b e e l e r - r e u t e r 模型是在对心肌细胞 作用电位进行数学描述时得到的m k a w a t o 等2 4 1 通过数值模拟得出在d o 1 时传播失败( 即此时不存在相应的行波解) 1 9 8 7 年j p k e e n e r 【2 3 1 对离散兴 奋细胞耦合系统的研究得到了更保守的结果，即d o ， ( 1 2 ) 其中西( o ) = z | m ，盈o ) = 厶表示成熟个体扩散率和死亡率与年龄。无关；r 0 表 示种群的成熟年龄；t ，( t ，$ ) 譬j u ( t ，d ，z ) 如表示成熟个体的总数 钍似刊= 丽1e 一盯靴仁( t 1 枷e 一哮如 ( 1 3 ) 方程( 1 2 ) 结合( 1 3 ) 并令 6 ( 伽) = p w e 一“，叫0( 1 4 ) 被s o 等【4 4 】所研究并发现如果1 c ( 日) 在此假设下下面的结论成立 ( i ) 如果当a a r 时，有 ，。l 媳s u p 署坚喝( 8 ) e 以伪o ) 神 a l 时，有 l i m 跚p 磐懿媲( s ) ( j ) 。 0 则对任意的c ( 0 ，c 。( 口) ) ， 1 鬯碧m i n 缸恸( t ) i 陋c 0 8 p + js i n 口i d ) 伽+ 从定理的结论中，我们可以看出最小波速和渐进传播速度在每个传播方向上是一致 的第三章中通过寻找上下解和建立比较原理我们了证明了在出生函数b 满足在 【o ， + 】上单调时和在【0 ，1 】上指数拟单调( q m ) 时存在连接平凡平衡点和正平衡 点的单调行波解 定理1 , 3 假设6 ：r 斗一l 满足佛，则对每一个口【0 ，割，存在c 。( 口) 0 ， 在引理2 4 中给出，使得对每一个c 岛( p ) ，偿力存在单调行波解：r r 满 足边界条件 1 i m ( s ) = 0 和l i m 妒( s ) = t o + 并且我们在二维格上的结果可以推广到高维格上 5 第二章二维格上单种群模型的渐进波速 2 1 二维格模型的推导 假设u k d ( t ，a ) 表示在时间t 0 ，年龄a 0 和( 七，歹) 斑块上的种群的密度假 设斑块是由二维格上的所有整数点构成的并且种群的空间扩散只发生在与其最近 的斑块上，种群的扩散与相邻斑块上种群的密度的差分成正比在这种假设下，我 们得到如下的模型； 晏鲰j ( t ，口) + 未j ( t ，。) = d ( 。) 【钍h a d ( t ，b ) + i t k - l j ( 厶。) + 鲰j + - ( 厶。) + t 培j l ( t ，口) 一4 u k j ( t ，o ) 】一d ( a ) u t z ( t ，o ) ，( 2 1 ) t 0 ，( ，j ) z z 假设u k ，( t ，o o ) = o 对t o ，( 七，歹) z z 成立，因此啡j ( t ) = j 罗u k a ( t ，o ) 如存 在并表示在( 七，j ) 斑块上的成熟个体的总数根据( 2 1 ) 和成熟个体的扩散率和死 亡率与年龄无关的假设下，即 工k = d ( 口) ，砖。= d ( ，其中口【r ，) ， 我们得到 d w _ k 五j 一( t ) = t 培j ( t r ) + d 。【魄+ 1 j ) + w k - l j ( 扪 + t 帐j + l ( t ) + w k d l ( t ) 一4 砜j ( t ) 】一c k t 魄j ( t ) ( 2 2 ) 为了得到一个封闭系统，我们需要对u k j ( t ，r ) 进行计算 对固定的8 20 ，令 v z z ( t ) = u k a ( t ，t 一8 ) 其中s t s + r 由于只有成熟个体才能繁殖新生个体。我们有 ( s ) = 锹j ( s ，0 ) = b ( w k a s ) ) ， 其中6 ：r 0 - 一0 是出生函数由( 2 1 ) 得到 t d v z j ( t ) = 亟警型= o u k a 出( t , a ) 睁+ o u k 冼d ( t , a ) 胁。出d t出。 冼一4 6 兰州大学硕士学位论文 = o ( t s ) v l l j ( t ) + 仁l j ( t ) + 铅+ l ( t ) + i 铅一l ( t ) 一4 v z j ( t ) 】一d ( t s ) ( t ) 注意到函数0 ) 可以看作是由f o u r i e r 变换而来的周期函数v 5 ( t ，“，) ( 参见g o l d b e r g 【1 7 】和t i t c h m a r s h 4 9 1 ) 旷( t ，u ) 2 磊1 e 一怕( t ) ， ( t ) 2 去上。上。e + y 。( 柚) 咖，砒， 1 ，m 其中t 是虚数单位用离散的f o u r i e r 变换，我们可以得到 的离散谱 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 优_ o v ( t u ) = d o 一8 ) e 一如- + 沙+ e 一蛔+ 沙一4 】一d ( t s ) ) y ( t , o j ) 这个方程解的形式是 v ( t ，) = e - 4 ( s 卵粤抽卵字) e d “一， 如一片d 扛一曲如y ( s ，u ) 通过离散f o u r i e r 逆变换( 2 4 ) ，我们得到 = 嘉 e 怕妒u 灿 = 去e 吖m q 出仁 帆圳也警埘铆叫s 妣砒 其中锄= d 0 一s ) d z 注意到圪j ( s ) = u k d ( a ，o ) = 6 ( ”( 5 ) ) ，根据( 2 3 ) 有 伊( s ，) = 丽1 e 妻e 一慨) 6 ( 。( s ) ) 那么 = 南e 吖弘眦 h f 6 ( 一( s ) ) 沙一咖1 + o 一枇】e 山耐警抽2 警1 幽 m = 一n ；一 ，一_ 。一口 ( 2 5 ) 令 s = t np = e 一盯d o ) 出，口= d ( z ) d z ， ，r j o 兰州大学硕士学位论文 则由( 2 5 ) 得到 ( t ，r ) = 西舞6 ( 一 - - r ) ) 风一m ) c j n ) ， ( 2 6 ) 其中 凡( z ) = r e 蛔一缸。舻警如l = 2 e 一”c 0 6 l o l ，1 e ”“w l d 【，1 p ：= 2 q ) ，( 2 7 ) ，- f f j 0 ( z ) = r e e 如一缸面一半d 地= 2 e 一”c o s l w 2 e ”埘魄d 咙p ：= 2 a )( 2 8 ) ，一fj 0 其中z z 下面的引理给出风和的性质 引理2 1 假定函数风( z ) ( z ) 分别在仁刀和仁纠中给出那么 ( i ) 风( z ) = 艮( if1 ) ，( z ) = ( izj ) 其中z z ，即风( z ) 和( f ) 对任意的a 0 都是速向性函数： ( i i ) 去罂- - 0 0 风( j ) = 1 ，磊1 墨一。( z ) = 1 j ( i i i ) 如果a = 0 ，则对任意的z z ，艮( 1 ) 0 ，( z ) o ；如果o 0 ，则对任意的 f z ，, 6 0 ( t ) 0 ，( 1 ) 0 这个定理的证明类似于w e n g 等【5 4 ，引理2 1 1 ，因此我们省略 2 2 初值问题解的存在性、迷向性及比较原理 在这一节，我们要研究的是模型( 2 2 ) 初值问题解的存在性和迷向性为了方 便起见，我们给出一些记号 b n = 七，歹n ，妒+ j 2 n ，n n + ) ； 诺【一no 】= g ( 【r o 】，【0 ，团) ，诺【一r ，明= g ( 卜r ，【0 ，吲) ； w 女j ( t ) = w ( t ，七，) ，j z ； w ( t ) = w ( t ，) = 饥j ( t ) ) j z ； s u p pw ( t ，) = ( j ) 1 w c t ，七，) o ) 表示w ( t ，) 的紧支集； w ( t ) v c t ) 如果t 班j ( t ) v k a ( t ) j z ； w ( t ) 卜v ( t ) 如果w c t ) v ( t ) 并且对( 惫，j ) s u p pv ( t ，) ，茗f f w k j ( t ) j ( t ) ； 我们说在区间，上是迷向函数，如果对任意的七，j ，m 和n z 使得七2 + 歹2 = 户+ 舻，有饥j ( t ) = “j m ( t ) 其中t i r 兰州大学硕士学位论文 在本章的以下部分中，我们假设出生函数6 满足下面的性质： ( 风) b 连续并且满足 ( i ) 6 ( o ) = 0 ，v ( o ) 誓，对任意的1 l ，6 ( 叫) y ( o ) 们； ( i i ) 存在k 0 使得b 在【0 ，吲上是非减的，并且肋( ) = d 。们在( 0 ，吲上有唯 一的解加+ ： ( i 缸) 对任意的”，”r + ，j b ( w ) 一m t ，) i b ( o ) 1 w 一叫； ( i v ) 如果t t ，( o ，t i + ) ，有加) 1 1 3 7 , 如果埘( , w t - ，o o ) ，则有肋( 1 | ，) 0 ，f 口 w l ( t ) 在t 卜r 刀上连续，注意到如果w 岛，则有 0 f 磊【计1 ( t ) e - , t k + 4 d m k + 胪( k ) 】e 一5 ( “5 ) 幽 j 0 e 础耳+ ；f 4 k + 叼( 1 - - e - 以) = k 对t 【o ，即和b j z 成立因此矿( ) 冬岛- 对任意的伽岛和a 0 ，我们定义下面的范数 i i w l l ：= s u p 1 w k j ( t ) l e 一 对任意的w ，形岛，记机a t ) = 桃j ( t ) 一讯j ( t ) ，垂( t ) = 机j ( t ) ) ，则对t - r 0 有 确【一磁【形2 上8 一( 如( s ) + 风( s ) 一岛( s ) ) d s ， 由这个式子可以推出 l f 毛【吲0 ) 一f p 明( t ) l e 一 ，t s t g - a # e 一1 ( 一曲f j 机+ 1 j ( s ) i + i 九一l j ( s ) i + i 奴j + l ( s ) i + f 饥j 一1 ( s ) l l d s j 0 + 獬。量黑黼州阳阳胁 仁j 2 孥i i 雪i i ( 1 一沙) + 掣删 ( e - - e - a t ) 由于 恕兰争删。( 1 - e a t ) + - 掣1 1 圣1 1 一eh - e 枷) = o ， ( 2 1 3 ) 1 0 兰州大学硕士学位论文 而且昂在范数队下是一个b a n a e h 空间，由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 知f 叮是一个压 缩函数因此当a 0 充分大时f t 在品中有唯一的不动点彬这就证明了对任 意的t 0 ，( 2 1 0 ) 在【0 ，t i 上有唯一的解从而( 2 1 0 ) 在( 0 ，o o ) 上存在唯一的解 ( 2 1 0 ) 解的迷向性是由初值函数彤。在【一r ，o i 上的迷向性决定的这个性质 可以通过证明睇在_ s 中是闭的，并且f 骨( 岛) c 岛得到其中s 量是曲包含所 有在【一r ，o o ) 上迷向函数的子空间 最后，我们证明初值问题解半流是保序的假设对知，j z 和s 【一r ，o l ， w k d ( s ) 仇j ( s ) 记饥j ( t ) = v k j ( t ) 一w k j ( t ) 其中七，j z ，t 一r 则机j ( t ) 是 连续有界的因此, , i t ) ：= b u m j z 机j ( t ) 在【一r ，0 0 ) 上是连续的假设 0 满 足 毛 一+ 6 ，( o ) e m o t 假设存在t o 0 使得妒( t o ) 0 并且 b ( t o ) e m o t o = s u p 妒( t ) b m o ) 妒p ) e 一肘打，1 - f 0 ，t o ) ， t 一r 记 ( k 五) 墨1 是一列使妒h 矗( t o ) 0 的数则有h 驰- + 。妒h , h ( t o ) = 妒( 如) 记 t i ，墨l 是( o ，t o 中一列数使得 e 一腼幻帆j ( t ) 2t m e a x _ 、 e - m o t 饥删) -1 2 1 4 ) 由于 e - m o 幻饥j t i t o ) e - 肘i 句仇t 囊( t ) e 一肘豳妒( 如) e - m o t d w i t o ) ， 则有 e - m o ( t o 一“) 也i t o ) j i ( 岛) e - m o ( t o 一“) 伽( 如) ， 这意味着l i 驰一妒h j ( “) = 妒( t o ) 根据( 2 1 4 ) 对任意的i 1 ，有 o 面d l ! - m o 饥j i ( t ) ) i , - - - , r = e m o “函( 如) 一帆矗( 圳， 并且 痨( 如) 氓函( 岛) 一( 4 z ) m + c f r ，i ) 函( 如) + 4 d m ( 如) + p 6 ，( o ) m a x o ，妒( t t r ) ) 让i 一。o ，则有m o 妒( t o ) s - 枷( t o ) - t - i o ) e m 0 7 , 1 , i t o ) 由于妒( t o ) 0 ，则 有m o 一如+ p 6 ，( 0 ) e m o 这显然与假设矛盾因此我们证明了对t 0 ，有 j i t ) 1 k j ( t ) 这就证明了初值问题解半流的保序性 _ 1 1 兰州大学硕士学位论文 2 3 渐近传播速度 2 3 1 预备知识 渐近传播速度的概念首先是由a r o n s o n 和w e n b e r g e r 【2 ，3 ，4 】对反应扩散方 程提出，并由a r o s o n 【2 】应用到积分方程中d i e k m a n n 【1 4 和t h i e m e 4 6 】分别独 立地将这一概念推广到更一般一类的积分方程中，在【5 3 】中w e i n b e r g e r 证明了对 离散时间和具有平移不边性、保序性算子渐近传播速度的存在性最近t h i e m e 和 z h 8 0 将渐近传播速度和波前解的理论推广到一类非线性积分方程，而这类方程包 含许多时滞反应扩散人口模型梁和赵【3 0 】建立了关于单调半流的传播速度和波前 解的理论，并且能应用到比较原理成立的许多发展方程一个有意义的问题是这个 理论对格微分方程是否成立对一维格模型( 1 6 ) ，马世旺等酬给出了个肯定的 答案但对于二维情形，还没有人讨论在这篇文章中，我们运用马世旺等【3 4 】和翁 佩营等1 5 4 】在一维格微分方程中的方法和许多新技巧来证明二维格微分方程的渐 近传播速度的存在性，并证明了在每个传播方向上，渐近传播速度与最小波速一致 特别是我们发现渐近传播速度不仅单调依赖于成熟个体的成熟周期和扩散率，还依 赖于传播方向实际上，渐近传播速度依赖于传播方向这个性质，w e i n b e r g e r 曾经 在【5 3 】中指出过 2 3 2 渐近传播速度 用( 九c ，, w o ) 表示在平衡点t c ，o = 0 处的特征方程，其中 ( a ，c ，扩) = 一c a + d m ( e 1 。8 9 + e - a 。9 + 矿。m 9 + e 一1 。砸9 4 ) + 帮量圭一扣啡b 一如 p 【o ，孙 注记2 3 ：在本文下面的部分，我们将限制方向函数口【0 ，割实际上由三角 变换的性质和( a ，c ，扩) 的表达式，很容易发现口【o ，詈】实际上包括了p 【o ，2 7 r ) 中所有的方向 记 s ( a ) = 丽i 风( f ) e ”。和t ( a ) = 万1 ( g ) e 蛔咖9 兰州大学硕士学位论文 则有 掣叫口) 妒一p 一2 ) 由于s ( o ) = 1 ，因此 s ( a ) = e x p ( e 1 。“9 + e 一1 “9 2 ) n ) = e x p 2 a ( c o s h ( a c o s 0 ) 一1 ) 用同样的方法，我们有 t ( a ) = e x p ( 2 c e ( c o s h ( as i n0 ) 一1 ) ) 利用t ( q ) 和s ( a ) 的表达式，( a ，c ，t i ，o ) 可以约化为 ( c ，t t j o ) = ( o ) e x p 2 a c o s h ( a c 0 6 0 ) + c o s h ( a s i n 0 ) 一2 1 一a c r 一以+ d m 【e 1 ”9 + e - a “9 + 咖9 + e 一1 咖9 4 1 一 很显然a ( o ，c ，护) = p 6 ，( o ) 一如 0 对所有的c r 成立并且 1 i m ( a ，c ，t o o ) = + 通过计算我们得到 丝噤盟 o a 弦 对a r 成立并且 掣b = 一帅) c r c - - c ( 川0 ) r + 1 ) 0 成立因此( a ，c ，t u 0 ) 作为a 的函数是凸的对a ( a ，c ，埘o ) 关于c 微分， 则对所有的a 0 有 掣= * a 利( o ) 唧 2 a c o s h ( a c 删+ c o s h ( a s i n 0 ) 一2 】一胁 0 ，a ( a ，o o ，w o ) 0 根据上面的 讨论，下面这个引理是显然的 引理2 4 对固定的0 【o ，割存在一对c ( p ) 和k 使得 ( i ) ( k ，“徊) ，t l j o ) = 0 ，最( k ，c ( 口) ，牡，0 ) = o j 1 3 兰州大学硕士学位论文 ( i i ) 对0 o i ( i i i ) 对任意的c q ( p ) ，方程( k ，c ( 口) ，w 0 ) = 0 存在两个正实根0 a 1 0 i 对某些a 局，k ( a ) = 1 ) 在本节的下面部分我们将证明“( 口) 在( 2 1 0 ) 的解满足下面( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 意义下关于每个固定方向是渐近传播速度 和 l i r a s u p w k , j i f ) l l k c o s 0 + j s i n o i 矗 = 0 其中c ( c 。( ，o 。) ，( 2 1 5 ) t + l i m i n f m i n w l , j ( 1 ) l l k c o s o + j s i n o i 砑) t l ，+ 其中c ( 0 ，c ( 口) ) ( 2 1 6 ) t 定理2 5 假设w o = 喝) j z 其中t 喝诺【- r ，o 】r t j 别在卜r o 】上 是迷向函数并且假设对固定的0 【0 ，孔c c 。( 口) 在此假设下下面的结论成立 ( i ) 如果当a a 1 时，有 。 则 。3 1 ：! ：巴，。m 卜a ，x 州w 。( s ) e 一1 4 毋 a l 时，有 l h n s u p 。m 卜a r o j x w 。舯删世 “( p ) 取c l ( c + c a ) ，c ) 如果( i ) 成立，则根据t 趔( t ) 的定义，我 们可以选取面 0 使得 川k c o j ，+ 、r i - 。一 西嘲口 咖c l 砑 ( 2 1 7 ) 对所有的七，j z ，口【o ，i 】和t 一r 成立 不失一般性，我们可以假设a ( a 1 ，k ) 并选取c l ( c ( p ) ，c ) 使得( c l ，扩) = 0 则如( a ) = 1 并且对t 0 ，我们有 喇( t ) e 。忙”o + j t i n 帆t ) ，t e - 蛔弘面 1 + 【e - “9 + 矿“o + e - x t l a o + 矿如一】上8 似+ 蛔h 如 + ( o ) e x p 2 n ( c 0 8 h a c p + c 0 8 h a 咖口一2 ) 一a c l r e ( 蛔) 。幽 j oj 志 d m 【e - , x c o s p + c w o + e - , x i a o + 尹9 】 兰州大学硕士学位论文 + 6 + a c l d m e 一 。9 + 一瞄口+ e 一 - m p + e x 。血9 】 一g j ( o ) e x p ( 2 a ( c o s h a c o s 0 + c o s h a s i n 0 2 ) 一a c l r ) e 似+ 搬m 志 d m e - a e + 矿c o + e - a s i n o + e a s t a o + ( o ) e x p 2 a ( c o s h a c o s 0 + c o s h a s i n 0 2 ) 一a c l r + n ，c l ，t l ，o ) e ( k 1 弦 m l 。( a ) 0 ，我们在 = 垂= 饥j ) t j e z l 西幻c 杰 - r ，o 。) ) 上定义映 射 矿= 磁，k z 当圣m o o ，t t ，七，j z 时 t e 乙【垂】o ) 。i o e 一“( 山( t s ) + 邬。一8 ) ) 幽 引理2 , 6 考虑方程 矿( t ) 卜垂( t ) ， ( 2 1 8 ) 其中雪m o o ，t t ，满足 ( i ) 对任意的t ， 0 ，存在一个正数= ( ) n 使得对任意的f 【o t 1 ，s u p p 西( t ，) cb k j ( i i ) 如果 ，矗) ) 器lc r + x z x z ，( k ，矗) s 聊圣，) 并且u m ，一* ( k ，k ，矗) = ( t o ，b ，如) ，那么( 硒，j o ) s u p p 垂，- ) 兰州大学硕士学位论文 如果存在一个f 0 使得偿i o ) 的解满足 矸7 ( f + t ) 卜圣( t ) ，其中t 【o ，刁， 那么 w ，( 手+ t ) 卜西( t ) ，其中t 【o ，) 这个引理的证明类似于m a 等【3 4 】和w e n g 等【5 4 的证明，因此我们在这里省略 定义算子恐= j 己( 矗，z a ，如下 g o ( h ，z n ，a ，口) = e p 十埘5 d mk “”9 - - e 抽9 + e 以咖8 + 矿血9 】 + 南。毳脚m e x p ) ( 1 c 0 6 0 + q s i n 8 - c r ) 幽 1 一e 一埘r i k 【e 一1 “9 + “9 + e 以咖9 q - 咖9 】 + 研p h 芦丕舢m 唧 a ( c 0 8 0 + q s i n 0 - c r ) ) ， 我们有下面的引理 引理2 7 对任意的c ( o ，c ( 口) ) ，存在h ( 鲁，6 ，( o ) ) ，t 0 和n n 使得 g o ( h ，正 入，p ) 1 对所有的a r 成立 证明由算子g o ( h ，正 a ，口) 的定义知， 恐( ，z 一a ，p ) 恐( z a ，p ) 对a o 成立 因此我们只需要证明j 厶( 正n ，a ，p ) 1 对a 0 成立 我们发现对任意的t 0 ，h ( 譬，6 ，( o ) ) 和n n 琊m 刈) 业竺等茜掣( i - - e - d r ) _ + o o 当a _ + o 。 因此我们可以选取o o ，a 。 o ，7 l o ( 鲁，6 ，( o ) ) 和乃 o 使得致( 纸z a ，口) 1 在a 知，n n o ，h 和t t o 时成立 1 7 兰州大学硕士学位论文 如果引理2 7 的结论不成立，则存在 k ，t 露j ， k j ， k 满足kt6 ，( o ) ， 死t0 0 ，to o ， a 。 c 【0 ，知】和 恐( k ，冗，n ，k ，田1 ，t , = 1 ，2 ， 由于 a n 是有界的，我们可以选取一列子列 h ) 使得当七一o o 时a 一天 根据f a t o u 引理，我们有 1 0 ，定义在【o 矗】上的连续函数西= 西 ) ，使得 e 一如 d m 【叮( m + c s + c 0 8 口) + 口( m + c s c 0 6 + q ( m + c 5 + s 纽p ) j 0 + g 一咖刚+ 器弘丕伽m 洲m + 托刚仲圳+ 酣州 幽 q ( m ) 对任意的m z 成立，其中q ( m ) = q ( m ；函( f ) ；f ) 证明定义算子 l ( a ) 5 上6 一如 d t n 【e 以妇+ “砷+ e 以妇一“町+ e 以。斗嘲一+ e 以妇咖9 ) + 番。毳舢捌e 圳一帅删 d s 选取n n + 充分大使得一+ ( p ) ( t + r ) 1 对所有的a r 成立 记a = a 1 + t 屯则有 l ( a ) = a e l ( x ) 】+ i i n 【l ( 砷】， 1 8 兰州大学硕士学位论文 其中 和 r e l ( a ) 1 = d m e 一“e 一如( 。懈fc o s a 2 ( c s + c c e o ) + e h ( 一。呻c o s a 2 ( c s c o s o ) + e 一1 1 ( 。+ 缸9 ) c o s a 2 ( c s + s i n o ) + e - a 1 ( 。一m 9 ) c 0 6 a 2 ( c s s i n 口) ) d s + 茜p 毳肿 e 一“e h o 啊口咖一+ 弹+ 神c o s a 2 0 0 6 l + q s i n o + c s + c r ) 如， i m l ( a ) 】 = 一d m e 一“ e h ( 口+ 9 ) s i na 2 ( c s + 嘲p ) + e - ( 一埘9 ) s i na 2 ( c s c o so ) + e 一 1 ( 啊如m s i n a 2 ( c s + s i n 0 ) + e 一 l ( 删一。m s i n a 2 ( c s 一8 i n 口) ) d s + 器产毳舢川 e 一“e 一 ：o c o e 口+ q 。虹四+ 仃) s i n a 2 ( c o s o + q s i n o + c s + o r ) d 8 由于( a ) 0 和l i m l i - 。l c a ) = o o ，我们得出l ( a ) 可以达到其最小值，假设在 a = k 处达到则我们可以得到 ( 一) =一 e 一如 d m e 一“( 瑚+ 5 9 ( c s + c o s o ) + e 一( 翻一。口( c s c o s p ) + e 一汹+ | m 9 ( c 8 + s i n 0 ) + e - n ( “一咖9 ( c s 一咖6 ) 1 + 蒜p 毳脚川e 训刚埘蚪c o + q s i n o + c s + c r ) j 出 现在我们定义一个新函数日= 日( u ，e ) 如下： ， 1 1 日( ，f ) = ；i m 【l ( u ) 】当f 0 ， 【日( o ) 。躲日，f ) = ) 则日( k ，o ) = 0 ，并且等( k ，0 ) = ( 托) 0 由隐函数定理，则存在6 0 和定义在 【0 f 1 1 上的连续函数西= 西( ) ，其中历( o ) = 片使得当【o ，l 】时j ! r 馐) ，毒) = 0 兰州大学硕士学位论文 因此有 和 存在已 0 使得 当 和 有 由于 则 i m 【二( a ) 】l ；西健) 十= 0 ，其中f 【0 ，l 】， ( 2 2 0 ) l l e 【l ( a ) 】i 一例= l ( k ) 1 r e 【p ( f ) + f ) 】 1 当【o f 6 】 m 【o ，争，i t c 0 8 0 l + l q s i n 0 1 _ n , s 【0 刀， 。 e 岛：= 曲p 6 ，而南) 时 一i 7 r 一z c o s 口+ q 8 i n o m + l c o s o + q d m o + c s + c r m + c ( t + r ) + n 0 ， r ，b 0 争 a o 0 使得对任意的盯( 0 ，o o ) 和任意的t t 矿p 叫( t ) 卜盯蛋( t ) ，( 2 2 4 ) 其中圣( t ) = 机j ( t ) ) 忙j ) z 。z ，机a t ) = n ( 1 k e o s o + j s i n 0 1 ；o a ， ，b + d ) ， 证明假设选取h ( 鲁，6 ，( o ) ) ，t 0 和n 0 使得j g ( ，正，a ，口) 1 对 所有的a r 成立根据引理2 8 ，存在f 0 ，“，= 西( f ) 和以( 0 ，1 ) 使得( 2 2 2 ) 成立 选取b = 2 n + “( 口p + 1 假设是方程6 ( 叫) = h w 的最小正根则当 切( 0 ，o b ) 时b ( w ) 加选取a o ( 0 ，a h m - 1 ) ，假设盯( 0