（光学专业论文）飞秒啁啾类孤波的传输特性研究.pdf

摘旦 摘要 本文致力于对飞秒啁啾类孤波解的传输特性进行研究。首先， 介绍了描述飞秒啁啾类孤波在光纤中传输的基本方程一高阶 g i n z b u r g l a n d a u 方程；随后，我们利用拟解方法给出飞秒啁啾类 孤波解的解析表达式，并讨论该解在光纤系统中的传输特性。我们 以研究啁啾类孤波的稳定传输为目的，分别从解析理论和数值分析 两方面进行了详细的研究，获得了一些有益的结果。这为增大光孤 子通信系统的容量，提高通信速率提供了理论依据。 本文主要结果如下： 1 首先研究常系数的高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程。我们用拟解 法给出飞秒啁啾类孤波解的解析表达式，并利用变分法分析其线性 稳定性；同时通过数值模拟方法讨论飞秒啁啾类孤波解在参数扰动 下的稳定性以及相邻类孤波间的相互作用。结果发现：可以通过适 当地调节孤子的参数来实现光脉冲的稳定传输。作为特例，我们研 究了通过适当地调节孤子的啁啾参数来实现飞秒啁啾类孤波的稳 定传输。 2 从孤子控制的概念出发，对变系数的高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程进行初步地研究，用拟解法给出可变参数系统中飞秒啁啾类孤 波解的解析表达式。 关键词：g i n z b u r g l a n d a u 方程；变系数；啁啾类孤波解；变分法 快速傅立叶变换 ! ! ! i ! ! ! ! 一 a b s t r a c t w ew i l li n v e s t i g a t et h ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i co ft h ec h i 攀e d f 宅m t o s e c o n ds o l i t o n ，1 i k es o l u t i o n f i r s t l v ，w ep r e s e n tt h ef u n d a m e n t a l e q u a t i o nw h i c hg o v e r nm ec h i r p e df 龟m t o s o c o n ds o l i t o n l i k es o l u t i o n h i 曲e r o r d e r g i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ； t h e n ， b a s e do nt h e f u n d a m e n t a le q u a t i o n ，w ep r e s e mt h ec h i r p e d 叠m t o s e e o n ds o l i 幻n m l i k e s o l u t i o nb ya n s a t zm e t h o da n dd i s c u s 8t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t yo ft h e s o l i t o n l i k es o l u t i o ni no p t i c a l b er w es t u d yt h es t a b i l i t yo ft 量l e s o i i t o m i i k ew a v eb yt h ep e r t u r b a t i o nm e t h o da n dt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n ，a n dg e ts o m eu s o f u lr e s u l t s t k s er c s u i t sa r eh e l p 瓤lt o i m p r o v e t h ec o m m u n i c a t i o n c a p a c i t y ， a n dt o i n c r e a s em e c o m 趣u n i c a i o nb i tr 戤e 1 h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o i i o w s ： l i 曲o r d e rg i n z b u 毽一l a n d 3 ue q u a t i o nw i t he o n s a n te o e 燃e i e n t i s s n j d i e d f i r s t ，c h i r p e d e m t o s e c o n ds o l i t o n l i k os o l u t i o ni ne x p l i c i t f o r mi so b t a i n e d 姆u s i n ga n s a t zm t h o d ，a n d 斑e n 如el i n e a rs t a b i i i t yf o r t h es o l i t o n l i k es o i u t i o ni s a n a i v z e db vv a r i a t i o n a lm e t h o d b vd i r e c t n u m e r i c a is i m u i a t i o n s ，w ed i s e u s s 斑e 蛙拍i l i 砖o ft h es o l i t o n l i k e s o i u t i o na n di n t e r a c t i o nb e t w e e nn e i g h b o r i n gs o l i t o n 1 i k ow a v 0 8 t h e 怼s u l t ss h o wt h a to 秘e 糙a yf e a l i z e 氇es t a b l e f o p a g a t i o no ft h ep 毽l s e sb y a d j u s t i n gt h es y s t e mp a r a m e t e r s a sa ne x a m p i e ，w ec a nr e a l i z et h e s t a b l e 瓣s f 臻i s s i o no ft h es o i i t o n l i 受es o l u t i 。拄b ya ( # 硅或i n gt h ee h i 挚e d p a r a m e t e r 2 。8 3 s e do n 魏ee o n e e p to fs o l i t o 秘e o 珏钰蛩】。、v e o n s i d e ft h e h i g h e 卜o r d e rg i n z b u 蟪一l a n d a ue q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e m c i e n t ，a 1 1 d t h e e h i 攀e d 怒搬t o s e c o 珏d s o l i t o 轮+ l i k es o i 艇t i o n i 矬 e x l i e i t 勤f mi s o b t a i n e db vu s i n ga n s a t zm e t h o d k e y w o r d s ：g i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n ；v a r i a b l ee o e 燃c i e n t ； s o l i t o n l i k es o l u t i o n ；v a r i a t i o n a lm e t h o d ；f f t 第章前鬲 第一章前言 “s o l i t 。n ”是二十世纪最伟大的发现之一。最早是英国工程师s c o t tr u s s e l l 于1 8 3 4 年在河流中偶然发现的一种奇特的水波，称为“孤波”( s o l j t a r yw a v e ) 【lj 。由此丌始，物理学家和数学家们对这种现象进行了一个多世纪的深入研 究，建立了描述各种孤波现象的非线性方程f 2 。4 】。当孤立波的行为类似于粒子， 即其在相互作用之后保持各自的波形不变，并且保持能量和动量守恒，可将 其命名为“孤立子”或简称“孤子”j 。 1 1 历史背景及研究现状 光孤子的概念是h a s e g a w a 于1 9 7 3 年首先提出的【6 j 。他与t a p p e r c 一起从 理论上证明，任何无损光纤中的光脉冲在传输过程中能形变为孤子后稳定传 输。光纤中的j & 子是光纤色散与非线性相互作用的产物，服从非线性薛定谔 方程( n l s e ) 。1 9 8 0 年美国贝尔实验室的m o l l e n a u e r 等人利用色心激光器成 功地在实验上观察到亮孤子在光纤中的无畸变传输j ，又隔7 年，1 9 8 7 年 e m p l i t 等人观察到了暗孤子 8 1 0 与此同时，m o l l e n a u e r 等人提出了将光纤中的 孤子用作传递信息的载体，构建一种新的光纤通信方案，称为光孤子通信。 光孤子在显示出其潜在的应用价值后，立即引起了人们巨大的兴趣，由此掀 起了光纤孤子通信研究的热潮，其理论及实验得到了迅猛、全面的发展。 理论上，人们从麦克斯韦方程组出发，经过大量的研究，推导出了描述 光脉冲( 皮秒) 在光纤中传输所遵循的一般方程一非线性薛定谔方程【9 j 。对 于非线性薛定谔方程，早在1 9 7 2 年，前苏联著名科学家扎哈罗夫( z a k h a r o v ) 利用反散射变换法( i s t ) 巧妙地求解了该方程，获得了亮、暗孤子解【i “。 随着超短光脉冲技术的飞速发展，飞秒量级的光脉冲的传输特性已f 1 益成为 研究的热点课题之一。1 9 8 7 年，k o d a m a 等人就利用多重尺度法导出了飞秒 光脉冲在光纤中的传输演化方程一高阶非线性薛定谔方程【1 “。它与描述皮秒 光脉冲的非线性薛定谔方程的不同之处在于增加了不可忽略的三阶色散、自 陡峭和自频移等效应引起的附加项。这是一个高阶非线性偏微分方程，无论 在数学还是物理上都是较难处理的问题。此后，人们就陔方程采用各种方法 作了大量的解析及数值研究陋2 “。为了描述在不同情况下的孤子行为，人们 又相继提出了在不同微扰影响下的非线性薛定谔方程的修f 形式。基于标准 非线性薛定谔方程和逆散射理论，人们深入研究了理想孤子解的基本结构和 帅盹娟 特性，建立了研究光孤予传输的各种扰动理论方法，深入研究了光孤子的动 力学过程、动态演化特性、稳定性及稳态演化的条件和能力，建立了分析孤 子相互作用的各种理论方法，形成了比较完整的光孤予理论体系。 在应用方面，自从1 9 8 0 年m o l l e n a u e r 等人首次在实验中观察到亮孤子至 今，光孤子通信实验得到了飞速发展。 技术( e d f a ) 、动态孤子通信技术等 光孤子通信2 ”。 通过色散位移技术( d s f ) 、掺铒放大 已经实现了无误码无中继上万公里的 1 2 飞秒啁瞅类孤波研究的意义 对于光孤子通信系统的研究，我们极讨论皮秒脉冲和飞秒脉冲在均匀 和非均匀光纤中的传输特性【2 ”2 9 ，它们可以通过非线性薛定谔方程、高阶非 线性薛定谔方程以及含频率啁啾和损耗增益项的非线性薛定谔方程来描述。 但是，在这些模型中，只考虑了材料色散对光脉冲传输特性的影响，并没有 考虑介质中非线性增益效应对光脉冲传输特性的影响，特别地，忽略了损耗 和出介质非线性响应引起的自频移项的虚部。这虽然在许多实际应用中是可 行的，但是当上述情况不可忽略时，光脉冲存光纤中传输时必须要用放大增 益来补偿光纤的损耗。对于超短光脉冲，当其频率宽度和放大增益谱宽相当 时，增益带宽限制效应以及增益的非线性效应都将对光脉冲的传输特性产生 影响。在这种情况下，仅考虑色散型的非线性薛定谔方程和高阶非线性薛定 谔方程难以描述增益介质对光脉冲传输特性的影响。考虑到材料色散和非线 性增益等综合效应，描述光脉冲传输的非线性薛定谔方程或高阶非线性薛定 谔方程被修f 为g i n z b u r g l a n d a u 方程或高阶g i n z b u 瑁l a n d a u 方程，它们都 是复系数的非线性薛定谔方程。 g i n z b u r g l a l l d a u 方程是物理学领域研究最多的方程之一 2 9 3 。在光学中， 该方程首先是由b e i a n g e r 等人引入川，但是研究表明该方程的类脉冲解是不 稳定的。为了得到稳定的光脉冲解，h a u s 等人考虑了一个用来描述被动锁模 光纤激光器的模型口“，该模型由g i n z b u r g l a n d a u 方程加上线性增益项构成， 在一定的参数条件下有稳定的类孤波解存在。同时g a g n o n 等人从色散关系出 发导出了一般的高阶g i n z b u 娼l a n d a u 方程，利用扰动逆散射法给出了解析扰 动解并分析了其稳定性吲。近年来，对高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的研究逐渐 引起了人们的重视。最近，李仲豪等人利用拟解法给出了不含饱和吸收项的 销一市前i 高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的啁啾类孤波解，并通过数值模拟方法讨论了该解 的稳定性( 3 4 j 。阳慧平等人给出了这类方程的激波形式的解，并借助矩法讨论 了解的线性稳定性【3 5 。k a l a s h n i k o v 等人从实验和理论上详细研究了锁模 c ，”：y a g 激光器的谱性质，确证了三阶色散和受激r a m a n 散射引起的自频 移效应共存，并且三阶色散对于脉冲频谱的移动具有重要影响，这些研究为 进一步的实验观测提供了理论基础。 1 3 本文的主要内容 本文将从高阶g i n z b u 唱一l a n d a u 方程出发，以该方程的飞秒啁啾类孤波解 为基础讨论解的存在范围，并利用变分法解析地讨论该飞秒明啾类孤波解中 各参数的演化方程，同时利用线性稳定分析法讨论该解的稳定性。之后，通 过数值模拟的方法研究了该解的稳定性以及相邻类孤予间的相互作用。最后， 我们从孤子控制的概念出发，展丌对变系数的高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的研 究。 第二章给出高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的理论模型。在不考虑增益饱和的 | j i 提下对该方程进行求解，通过拟解法给出陔方程的啁啾类孤波解的解析表 达式，并讨论解的存在范围；最后通过变分法对该解进行线性稳定性分析。 第三章首先介绍快速傅立叶变换( f f t ) 的数值方法；随后用该方法模拟 飞秒啁啾类孤波的陡距离稳定传输，并详细讨论相邻孤子和多个孤子的演化 行为。 第四章对变系数的高阶g i n z b u r g l a n d 叭方程进行初步地研究，用拟解 法给出可变参数系统中飞秒嘣啾类孤波解的解析表达式。 帅晓娟 第二章飞秒啁瞅类孤波在光纤中的传输方程及稳定性分析 本章我们首先给出高阶g i n z b u r 2 l a n d a u 方程的理论模型。在不考虑增益 饱和的前提下对该方程进行求解，通过拟解法给出该方程的啁啾类孤波解的 解析表达式，并讨沦解的存在范围；最后通过变分法对该解进行线性稳定性 分析。 2 1 高阶g i n z b u r 譬一l a n d a u 方程的建立 首先，我们将导出一般形式的高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程剐。在缺少增益 放大的非线性色散介质中的色散关系，用k = 女i 山，蚓2j 柬表示介质中的非线性 色散，其中e ( f ，r ) = 矿( f ) e x p ( f 一泐。r ) 是电场，f 和r 是实际的物理空问 坐标和时间坐标，心是波数，。是负载频率，( f ，f ) 表示振幅。将t = b ，| e 川 在珊= o 和旷= o 处展成t a y l o r 级数，则有 t 2 ) = t 2 ) 砜+ 嘉( ，。) 畦貉( 甜飞) 2 + 吉雾咖n ) 1 渗m2 + 簖彬f ，( 2 ) 其中女。= 女妇。，o ) 。在这旱，我们假定电场是瞬时变化的，即川2 不显含时问r ， 这个假定稍后可以去掉。 接着，我们考虑增益介质对频率及非线性效应的依赖关系，这里我们考 虑带有标准均匀展宽的复l o r e n t z 链形状的增益放大介质，即 枷= 蒜， ( 2 地) 其中g 。 o 表示小信号增益，瓦= 一2 m ，是增益带宽参数，甜。表示增 益中心频率。同样地我们假定非线性增益变化是瞬时的，即g ：m2 不显含开= j 间 r ，这个假定稍后j j _ 以去掉。此时负载频率m 。变成模型巾的一个参考频率， 我们假定负载频率。是微弱的非共振频率，即珊。= 砌+ 由，同样地，将放 大增益g b ，州2j 在= 出。和矿= o 处展丌，在露( 砌) 2 o 。 在考虑到非线性介质中非瞬时变化的效应，即非线性延迟响应效应时。 首先在方程( 2 _ 1 5 ) 中做如f 形式的代换： 并川2 斗薪n f c ) 6 p 1 2 ) r ， ( 2 ) 其中6 和c 是常数，它们表示非线性的延迟响应部分。其次考虑系统的增益或 损耗饱和。由于非线性增益或损耗是与叫问相关的，具有一个长弛豫时间， 可以由场密度的积分来描述，这样我们在方程( 2 1 5 ) 中做如下形式的代换： g ：阡叶g ：阡垤l 盯批 ( 2 17 ) 口： 呻a ：盯蝎l 盯批 ( 2 1 8 ) 这里g ：m2 o 和口2 m2 o 。综合表达式( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 l8 ) ，方程( 2 1 5 ) 可以重新写成如下形式 一f 屹= ( g o 瓦巧一喀o + f 口o ) y + j ( 七；一g o 瓦一f 2 9 0 碍巧功) 一 一( 砧2 3 9 0 霜砌+ 曙。曙) 。一f ( w 6 + g 。霜+ f 4 9 0 对如) ， + ( a 矗。a l y i2 一g ：瓦巧甜一2 9 3 碍巧+ j g ：+ f g3 瓦一f 口2 ) 1 y f 2 y + f ( 挑；a 盯+ 9 2 埘9 2 霄胁) r l 一( 甜0 a 阡) ( 6 拙) y 2 i + ( 瞎3 一钓9 3 勋) y l 盯出+ ( 瞎，一2 踟曙豳) _ l 2 出，( 2 19 ) 最后，我们对方程( 2 1 9 ) 归一化。为此引入如下形式的归一化变量替换 r ：三一= 二学，：峰，c z ，t 。， 矿cr，r，=专j：jjii孑i纛”2“cz，。exc辔。画。r，c：， 师晓娟 这_ 甲，表示初始脉冲的宽度，并且假定 女j 一6 9 。巧6 o 。( 2 1 1 2 ) 经过变量替换( 2 11 0 ) 和( 21 1 1 ) ，力程( 2l9 ) 可写为如f 形式 m ：+ “，+ i “| 2 “= f j “一a “，+ j s “。+ ，z “【2 “十觑“。+ f 0 “i2 “1 + 如“0 “ 2j + ( 口十疋) “f 。h2 研+ ( d + 汜) i 。h ! 曲， ( 2 ，11 3 ) 其中j ，口，f ，z 和b ，c ，d ，e 是实数，五= + i 五，= “+ 啦，和v = v ，+ i l ，是复 数，它们分别有如下表达式 k 一6 9 。露面i 2 甄蹭占， 一6 9 。露面l 麓一丽嵩嘉磊 j ：型! 量! 堡 j 一 4 9 。对面 “一i i i 二i ；研 j2 f i _ = j ；两 一一丽篙慕等面 ，z ，= 一 2 9 2 巧砌 ( a a j 2 一占：兀西”一2 9 ，彳勃) 丁 c ( 舭。刮y 【2 ) l，=二二、-l ( 赫。a j 2 一g ，瓦西”一2 占，瓦2 ，) ， 一 6 ( a h b = ( 1 = d = ( 船。a i 矿j2 一占：7 j 矗一2 9 ，碍。勋) 丁 9 3 瓦抛) 7 1 孤。a j 矿j2 一g ：瓦面一2 9 ，巧巧 ( “ 一9 3 ) 丁 a 。a j y j2 一9 2 瓦j 如一2 9 3 7 7 锄 2 9 3 对面 涨。a i 矿l2 一g2 瓦& u 一2 9 ，7 孑面。 6 塑= 至 ! 壁型坠壅堡丝尘垄堑! 塑丝堑查堡丝鲎童：! 二! i 坌堑 这就是高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的一般形式，也称为复系数高阶非线性薛定 谔方程。陔方程考虑了材料色散和增益色散等非线性效应的综合影响，是描 述光脉冲在光纤中传输的一般模型。对于方程( 2 1 】3 ) ，g a g n o n 等人利用扰动 逆散射法给出了解析的扰动解并讨论了该扰动解的稳定性【3 3 】。 2 2 高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程的飞秒啁啾类孤波解 2 21 高阶g i n z b u 。g 一【a n d a u 方程的求鼹 在不考虑增益饱和效应，即码= 9 1 = o 时，方程( 21 1 3 ) 可以写成如f 简 单的形式： f “二+ “。+ 【“1 二“= f j “一仃+ f s “， + 讶盯“+ 协。+ 啦“l + 胁【 1 ， ( 2 ，1 )+ 讶“+ i “。+ 酬“卜j + j v “2l ，( 2 2 1 ) 其中各参数意义如下：j 0 ( 声】 一娄q f q + 4 墨q2 十2 玎+ 2 s q 一3 五f q 2 ) 多】， ( 2 ，3 1 4 ) 值得注意的怒，方稷( 2 3 9 ) ( 2 3 1 2 ) 与参数和k 无关，我们可以真接对其 求解。另井，方程( 2 3 。1 3 ) 霸( 2 3 1 4 ) 的右端只弓参数蠢，秘q 和有关，旦觚 方程( 2 ，3 9 ) ( 2 3 1 2 ) 中求得参数爿，口，q 和，我们就可以通过对方稷( 23 1 3 ) 和( 2 3 1 4 ) 赢接积分，求得p 和蟊随距离的演化。 容易验涎，由方程( 2 | 2 3 ) ( 2 2 。8 ) 所确定的孤子参数焉，吼，q 。和热给出 了方程( 23 9 ) ( 2 3 1 2 ) 的+ 组定态解，同时借助于条件( 229 ) 和( 22 1 0 ) ，方瑶 笫一章飞桫啁啾粪孤波n 光纤中曲传输方程搜稳定一阽分析 宰：风，罕：k 一岛q 。 d zd z 这意味着，方程( 2 - 39 ) ( 23 1 2 ) 的定态解和方程( 2 3 13 ) 和( 2 3 1 4 ) 一起能够导 出类孤子解( 2 22 ) 。特别地，如果我们只考虑群速度色散和非线性k e r r 效应， 而忽略其它的物理效应，即取占= 仃= e = z = 0 和咒= = 一0 ，在彳i 考虑啁 啾效应的情况下，方程组( 2 3 9 ) ( 2 _ 3 1 4 ) 被简化为 警= 窆= 警= 。，i 爿i = 叩，警= q ，筹= 一扣2 + ， 出出出 出 出2 ” 7 这将导出标准的非线性薛定谔方程的孤子解。 下面我们来讨论类孤子解( 2 2 2 ) 的稳定性，为此只需研究方程( 23 9 ) ( 23 1 2 ) 的定态解氏，q 。和风的稳定性。设 爿= 爿o + 4 ，7 7 = 7 7 0 + 7 7 ，q = q o + q ，= o 十卢，( 2 3 15 ) 其中鲋，叩，q 和是小量。将( 2 3 1 5 ) 代入到方程( 23 9 ) ( 23 1 2 ) 并线性 化，可以得到关于州，玎，q 和的如下形式的线性方程组 警。鲋蝈! q 蝈艘蝎。帆 掣：c 2 1 刨+ c 2 m + c 弘q + c 2 拌， d z ! 竺兰：c ”一+ c 3 2 _ + c ”q + c 3 4 ， 船 旦；旦：c 4 l 劁+ c 。2 叩十c 。3 q + c k ，( 2 3 1 6 ) 式中各系数分别为 c = 萼爿；( z 叫q 0 ) ， c t 。一吾鲁 9 ( 扣”+ 8 ( z 叫q o j 钥， c 1 3 = 以。【6 玎；( 5 五，+ 6 风一 ；) 8 ，爿；】， c 1 4 = 吉4 。野；【3 ( 1 十6 a ，q 。) 一2 ( s m ，q 。) 风 ， c 2 。= 罟彳0 叩o ( z 叫，q 。) c ：= 一罢爿：( z 叫，q 0 ) 3 两人学坝i 论艾 师晓娟 c 。一= 一罟卢，爿：呷。十丢，7 j ( 1 2 五，+ 18 丑，。一6 五，；) ， c ：。2 丢叩； 3 ( 】+ 6 五，q 。) + 4 p 一3 五，n 。) 成 ， c 。= 姜玎：爿。( 风6 ，一6 ：) ， ( 1 3 2 ：一导矾( 所+ 1 ) 6 。+ 兰爿概( 6 ：一成6 小 c ，：一昙_ ；( 所+ 1 ) ( p 一3 五，q 。) ， ( 1 ，。= 去叩；【。，v ；( 1 5 ，+ 1 0 五，风+ 五，卢：) + 2 爿j ( ，f ，+ p ，一，o 。) ， 4 q 1 = 爿。 1 + ，q o ( z 一，q o ) 风 ， = 一 誓 1 + “q 。一( z 叫，q 。) 成 ， j7 7 n 。 c a ，= 3 7 7 ；( 露+ 1 ) ( 五，风一2 见，) + 4 ；( ，+ ，成) ， c 。= 一 叩； 2 ( 3 + 2 卢；) p 一3 q 。) + ( 1 + 6 五，q 。) 成 。 在方程( 2 3 1 6 ) 中有四个未知量，它们确定了定态解的小偏离。由微分方程的 知识，我们可以知道，如果线性方程( 2 31 6 ) 的系数矩阵的四个本征值的实部全 部为负值，那么定态解爿。，吼，q 。和风是线性稳定的。但是，由于我们所考虑 的是一个四参数的系统，个完伞的稳定性分析是非常困难的。这里我们研 究一个典型的例子。 由第二节的例子我们可以知道，对于由( 2 2 1 1 ) 给定的一组系统参数，方 程( 22 3 ) ( 2 2 8 ) 分别给出了系统参数五，d ，z 和孤子参数q 。，爿。随。变化 的函数，并且通过数值计算发现当风 一o 9 1 2 ，一o 2 8 4 u o 4 0 5 ，o 4 4 1 时，类 孤子解( 2 2 2 ) 存在。进一步地，我们来研究定念解爿。，呷。，q 。和风线性稳定性。 由于在这组参数下，线性方程( 2 3 1 6 ) 的系数矩阵也是风的函数，所以我们可 以通过数值汁算得到它的本征值实部的最大值随成的变化。计算结果表明， 当成 一o9 1 2 ，一o 2 8 4 时，本征值实部的最大值全部为f 值，此时定态解 4 ，玑，q 。和风是线性不稳定的；而当风 o4 0 5 ，0 4 4 1 时，本征值实部的最 大值的演化如图2 2 所示。 定态解 ，q 。和成的线性稳定性最佳。此时，我们有j ：o 0 0 4 1 ， z 2o 1 7 2 9 9 ， ，= o 0 0 8 3 8 ，而对应的孤子参数分别为以：0 6 6 8 9 9 ， 第一章飞秒删啾类孤波m 光纤中的传输方程及稳定+ h 分析 7 0 = o5 3 3 ，q o = 一o0 5 5 8 4 ，。= o4 3 2 2 ，p o = 一o 0 4 6 6 7 9 和k o = 一0 ，2 4 0 6 9 。 一、。j 加4 竹 f 、| 、 ， 、 u4 u b0 4 1 u0 4 1 bu4 2 l l0 4 2 50 4 3 0u 4 u 们u c h l r pp a 陌m e t e r p o 倒2 2 系数矩阼的小 _ | u 值实部的皿人值n 卢。【o 4 0 5 ，o 4 4i 内的演化。 图2 3 给出了在这组参数条件下，并在初始振幅厶和啁啾风增加1 0 ，脉宽 倒数吼和频率q 。减少1 0 的情况f ，方程( 2 3 9 ) ( 23 1 2 ) 的解爿，叩，q 和 随距离的演化图。 m 暑 = e 膏 s 口 罩 。 竺 兰 06 5 丑06 0 璺o5 s 上 u 05 0 0 帖 04 0 o3 5 陛【23 方程( 539 ) ( 531 2 ) 的斛爿，玎，q 和卢随趴高的演化幽 24 本章小结 本章我们着重对高阶g i n z b u 唯一l a n d a u 方程展开研究。首先在不考虑增益 饱和的前提下用拟解法对该方程进行了求解，并讨论了解的存在范围；随后 通过变分法对该解进行了线性稳定性分析【4 。 t u 弧火学1 4 、1 论疋 帅境娟 第三章啁啾类孤波及相互作用的数值研究 本章我们酋先介绍快速傅立叶变换( f f t ) 的数值方法；随后用该方法模 拟飞秒啁啾类孤波的长距离稳定传输。并且详细讨论相邻孤子和多个孤子的 演化行为。 3 1 快速傅立叶变换( f f t ) 传输方程( 22 1 ) 是非线性偏微分方程，在一般情况下不适于解析求解， 除非是在能使用逆散射方法的某些特殊情况下j 有可能。因此为探讨光脉冲 在光纤中的传输特性，通常需作数值处理。现在广泛应用到解非线性色散介 质的脉冲传输问题的种数值方法是分步傅立叶变换法。这种方法由于采用 了有限傅立叶快速变换( f f t ) 算法，相对于大多数有限差分法有较快的速度。 为应用分步傅立叶变换算法处理高阶非线性薛定谔方程( 22 1 ) ，可先把该 方程改写为如下形式： 等：( 6 + 对) ，( 3 1 1 ) 坞 西= j + z 盯参+ ( 吾+ s 争+ 丑争， c ，固 矗 i2j 矗2a 3 、7 力：( ) i 。iz 盟粤+ ，) 掣，( 3 1 3 ) 这里西是线性算符，表示线性介质的色散和吸收；对是非线性算符，它决定 了脉冲传输过程中光纤的菲线性效应。 一一般来说，沿光纤的长度方向，色散和非线性效应对光脉冲是同时起作 用的。分步傅立叶方法通过假定在传输过程中，光场每通过一小段距离 ， 色散和非线性效应可分别作用，进而得到近似结果。更准确地说，从z 到z + 自 的传输过程中可分两步进行。第一步，仅有非线性作用，方程( 3 11 ) 中的西：0 ； 第二步，仅有色散作用，方程( 31 1 ) 中的膏= o 。其数学表达式为： t + ，) ze x p 协西) e x p 如疗k 0 ，) ，( 3 14 ) 其中指数算符e x p 协西) 的计算在频域内进行： e x p 协西归( z ，r ) = 扩。e x p k 西o ) 忙 曰( z ，) ， ( 31 5 ) 这罩，表示傅立叶变换，f 。1 表示傅立叶逆变换，西o ) 表示将方程( 3 1 2 ) 的 微分算符；代换为渤，棚为傅立叶变换下的频率。因为西( 泐) 在频域下是 销二幸啊啾类孤波及相且作用的数值训究 个数，故可直接计算( 315 ) 的值。这种方法既避免了求导运算又使用了快速傅 立叶变换算法，因此分步傅立叶变换法较大多数有限差分算法快一至两个数 量级。 为估计分步傅立叶变换方法的精度，如假定面与z 无关，方程( 3 1 1 ) 的一 个精确解为： 少( z + ，) = e x p 恤( 西+ 力) 扣o ，f ) ， ( 316 ) 对于算符j ，6 不对易，根据贝克一豪斯多夫( b a k e r - h a u s d o r f ) 公式有： 唧( 小x g ) 一。卜i + 拉6 + 去k 矗卜 ( 3 一7 ) 其中k ，5 仁晶一玩 比较方程( 3 1 4 ) 与( 3 1 6 ) 我们可以看到，分步傅立叶变换法忽略了算符 西和府的非对易性，把二：西，6 = a 前代入方程( 317 ) ，可得到由此产生的主 要误差来自于e x p 等瞄，力】 ，说明分步傅立叶法精确到分步步长h 的二阶项。 l 山j 为进一步提高精度，通常采用对称分步傅立叶法4 引，在这种算法中，将 非线性效应的作用点放在小区间的中l 司而不是边界上，具体地，方程( 3 1 4 ) 可用下式代替 ，小e x 牲叫唧腓x 一斟比也 ( 3 m ) 两次应用( 31 7 ) 可以看到，对称分步傅立叶变换法的精度提高到分步步| 殳的三 阶项 ，。本文将采用该方法作为数值模拟计算的基础。 3 2 数值模拟飞秒啁啾类孤波解的稳定性 为了验证我们的结果，我们采用对称分步傅里叶方法对g i n z b u 唱l a n d a u 方程( 2 2 1 ) 进行了直接地数值模拟，数值模拟结果如图3 1 所示，其中初始脉 冲如下： “( o ，f ) = 1 1 a s e c h ( o 9 w ) r9 风e x 阳1 q 。f ) ，( 32 1 ) 式中以：0 6 6 8 9 9 ，叩。：o 5 3 3 ，q 。= 一o 0 5 5 8 4 和风= 0 4 3 2 2 。从图中我们 可以看出经过2 0 0 个色散长度后，脉冲的形状趋于精确解，这与图2 3 所示结 果一致。 另外，图3 2 给出了白噪声对解的影响，初始脉冲取为： 些l i 叁望： ! ；造墨坚旦i ! i “) = 成 s e c h ( 仇f ) + o r a n d ( 拼嘲e x p f q 。“，f 3 22 ) m e t 刚3 i 方程( 2 21 ) 确训立厶条件( 置21 ) f 的胖的浈化蚓 m e f 篷32 方程( 2 2 。1 ) 稿- 辩豁舞伴( 3 2 ，2 ) 。f 翡解的演忧鹜。 其中r a n d 表示0 到1 之间的随机数。同样的，从图中我们可以看出经过3 0 0 个色散长度后，带有白嗓声脉冲的初始形状趋于精确解。这些事实澄明，类 孤子解是线性稳定f i 勺。 3 3 飞秒啁啾类孤波解稳定性的进一步数值分析 上一一节筏髑零巷用变分法讨论了瞬嗽类孤渡解f 2 2 2 ) 豁我穗稳定莨芝，并在一 组系统参数f 2 21 1 ) 的情况下，数值模拟验证了我们的结果，如图31 和3 2 所 示。需要醴鞲豹是，在图3 ，l 中我们的数僵模：| = l 只佼输了2 0 0 个邑散长度，霰 然扰动的初始脉冲f 3 2 ，1 ) 很快趋于精确解的形状，但是进一步地增加色散长 度，我们笈蕊扰动鲔初始脉冲( 3 21 ) 出现了分岔，如图3 3 b 所示。为了说蹋 数馕结果的可靠性，我们利用同样的方法摸拟了糖确鼹，劳传输了2 0 个色 散长度，结梁如图3 。3 a 所示。从图中可以看啦，数假结果与精确解相当一致， 这说明数煎计算的结果是可靠豹。另羚，从凰3 f 3 b 还可看出，扰动的切始脉 一釜三童堕燮篓坐丛丝塑= 皇；堑旦堕塑堕鲨塑 图33 当卢o = o4 3 2 2 时娄孤波斛( 22 2 ) 的k = 趴离演化剀， ( a ) 精确斛的模拟；( b ) 扰动的枷始脉冲( 3 21 ) 的浈化 冲( 3 2 1 ) 在约6 0 0 个色散长度之内可以稳定的传输，并且没有出现分衍。这一 事实说明，当啁啾参数风= o 4 3 2 2 时，类孤波解( 22 2 ) 的短距离演化是稳定 的。 幽34 当o = o4 2 时，类孤波斛( 222 ) 的k 趴离演化幽 那么，在什么情况下类孤波解( 2 2 2 ) 的演化是长距离稳定的? 为此我们模 拟了如下两种情况。 ( 1 ) 对于属大于o 4 1 7 且小于o 4 3 2 2 的情况。在这种情况下，我们取 风= o 4 2 。此时由方程( 223 ) ( 2 2 1 0 ) 可得系统的其它三个参数分别为 占= 一5 7 3 3 0 l o ，z = o 1 8 9 0 ，丑= o 0 0 7 8 ，而相应的孤子参数分别为 爿n = o 7 6 6 0 ，吼= o 6 1 3 0 ，q o = 一o0 5 4 1 ，卢o = o 4 2 ，p o = 一0 0 4 2 0 和 k 。= 一o - 3 1 6 2 。在同样的初始条件( 3 2 1 ) 下，我们模拟了脉冲的演化，数值结 果如图3 4 所示。从图中可以看出，类孤波解( 2 2 2 ) 的演化是长距离稳定的。 事实上，在文献中，我们曾取成= o 4 18 2 进行了数值模拟，在那早类孤波 解( 22 - 2 ) 的演化也是长距离稳定的。 旨鲁92s 山两人学坝1 论史 帅唬娟 ( 2 ) 对于屈，大于o 4 3 2 2 且小于o4 4 1 的情况。在这种情况下，我们取 卢。= o4 4 。此时对应的系统各参数分别为j = 20 8 3 5 1 0 ，z = o1 6 1 5 ， ，l ，= o 0 0 8 8 和孤子参数分别为爿。= o3 2 2 0 ，7 7 = 02 5 5 8 ，q 。= 一o 0 6 0 3 ， 风= o 4 4 ，风= 一o 0 5 8 4 和k = 一o 0 5 4 3 。数值结果如图3 5 所示。从图中可 以看出，除去一些小的周期的振荡外，类孤子解是长距离稳定的。 幽35 当n = 04 4 时t 类孤放删( 222 ) 的k 口| = i 离演化幽 以上两种情况表明，类孤子解( 22 2 ) 长距离的稳定性与啁啾参数的选取有 关。一般来说，对于一组给定的系统参数，我们可以通过调整脉冲的啁啾参 数来控制脉冲的稳定传输，这在光通信的实际应用中是非常重要的。 34 啁啾类孤波的相互作用 前面各节我们讨论了高阶g i n z b u 耀l a n d a u 方程的啁啾类孤波解的存在 性和稳定性，本节将研究啁啾类孤波解间的相互作用。为此，我们选定了一 组如【_ 垦| 34 所采用的系统参数。在这种情况f ，系统各参数分别为 盯= 00 6 2 9 3 ，g = o 5 0 9 6 7 ， 丑，= 一0 0 3 2 0 4 ，f l ，= o 0 4 1 3 7 ，z ，= 0 ， v ，= 0 ，v ，= 一o 0 2 5 6 ，占= 一5 7 3 3 0 x 1 0 ，z = o 1 8 9 0 ，五，= o 0 0 7 8 ， 而确定啁啾类孤波解( 22 2 ) 的振幅、脉宽、啁啾和频率的参数分别为 爿o = 0 7 6 6 0 ，叩o = o 6 1 3 0 ，卢o = o 4 2 ，q 。= 一0 0 5 4 l ， 同时考虑如下形式的初始入射脉冲 “( o ，) = s e c h ( f 一警) 川“乩e x p ( f q 。f ) z + 爿o s e c h 叩o “+ 兰 ) 】 ”假e x p ( 题1 0 f ) ，( 34 1 ) 这里的g 。表示相邻孤波的问距。我们分别取q 。= 1 4 ，1 2 ，1 0 - 8 进行了数值模拟， 数值结果如图3 6 所示。从图中可以看出，当相邻孤波的间距q 。：1 4 时，我 们发现相邻孤波几乎没有相互作用，可以稳定传输，如图3 6 a 所示。当口：1 2 丝兰童塑燮釜堡丝：! 塑皇堡旦盟垫堕型塑 ! g 目36 相邻孤波( 3d1 ) 对小同的孤波间隔的演化蚓，儿中参数如立中所小 时，我们发现相邻孤波有很微弱的相互作用，但是仍可以稳定的传输，如图 3 6 b 所示。当g o = l o 时，我们发现相邻孤波的相互作用了 一始增强。在开始时， 由于孤波之间的相互作用，导致振幅增大，之后逐渐减小，约5 0 0 个色散长 度后逐渐趋于平衡，此时由于孤波间的排斥作用致使孤子之间的距离略微增 大，但相邻孤波的间距保持不变，如图3 6 c 所示。进一步缩小相邻孤波的间 距，当g 。= 8 时，我们发现，由于孤波之间的相互作用，同样导致振幅刚一开 始迅速增大，但是在传输约5 0 0 个色散长度后变成了单孤波，同时振幅逐渐 减小趋于稳定，如图3 6 d 所示。上述的数值结果表明，随着相邻孤波的问距 的减小，它们之削的相互作用逐渐变大，直到当q 。= 8 时，相邻孤波不具有分 离演化的传输行为。 需要说明的是，我们这里的啁啾超短脉冲间的相互作用与通常的皮秒孤 子、飞秒孤子的相互作用不同，它们不会出现周期性离合，也不会出现孤子 的裂变，所以研究它具有重要的实际意义。 由于实际系统中传输的信息是大量的脉冲串，这就涉及到多个孤波之间 的相互作用。从上述的数值分析，我们可以看到，当相邻孤波的间距吼：1 4 时 是多个孤波传输的最为理想的间隔。在这种情况下，我们模拟了四个相邻孤 波和八个相邻孤波的相互作用，数值结果如图3 7 和3 8 所示。从图中可以看 出，多个孤波在传输过程中几乎没有相互作用，可以无畸保形传输。 师晓娟 幽37 岫个相邻孤波的演化等离图 蚓38 八个市h 邻孤波的演化等- 菏幽 3 5 本章小结 本章主要用数值方法模拟了啁啾类孤波解的长距离稳定传输。并且，通 过数值方法模拟了相邻孤波和多个孤波的演化行为。结果表明：当相邻孤波 的问距= 1 4 时，啁啾类孤波在光纤中可以无畸变传输45 1 。 第川市受系数啁啾娄孤波斛的初步 【】| _ 究 第四章变系数啁啾类孤波解的初步研究 4 1 变系数高阶复g i n z b u r g l a n d a u 方程 本节将展开对变系数高阶复g i n z b u 唱l a n d a u 方程的讨论，陔方程可以用 来描述非均匀光纤系统、色散管理孤子系统、孤子控制系统以及超短脉冲激 光系统等可变参数系统中光脉冲的传输特性。为讨论方便起见，我们略去增 益饱和效应