（应用数学专业论文）交替型脉冲微分系统的解及其稳定性、振动性.pdf

摘要 !：。二三：；。_-二耋：i：-j二竺!三：三02 乏? 礼) n z ：； r 0 ) = t2 9 q ) t 。，n o ，9 ) = 【0 + 1 ) 2 1 ( 3 ) 眠= o ，土1 ，土2 ，) ，厶= 2 n l ，2 n + 1 ) r ( t ) 可描述如下： 当t 2 扎一l ，2 扎) 时，r ( ) o ，这时方程( 1 ) 为滞后型的。因此，方程( 1 ) 在相邻两区间阶一1 ，2 n ) 与( 2 n ，2 n + 1 ) 是超前型与滞后型交替的 文献 1 和【2 中，作者分别就时滞微分方程( 1 ) 和 圣( t ) = n 茁( t ) + 6 z ( 2 ( t + 1 ) 2 】) ，o ，6 r ，o o( 1 ) 进行了研究，给出了一系列研究成果。文献 3 研究了具脉冲扰动的 时滞微分方程。本文受其启发，将脉冲方程( 2 ) 作用于时滞方程( 1 ) 和( 1 ) ，推广了文 1 、 2 】的结果。 在第二章系统地阐述了系统( 1 )( 2 ) 的解的存在唯一性定理并 证明之，且给出了其解的表示式；对方程( 1 ) 为变系数时的情形也作 出了讨论，得到了相应结果。 第三章主要讨论稳定性问题，给出了系统( 1 ) 一( 2 ) 及( 1 ) 一( 2 ) 平 凡解稳定的充分条件。 第四章研究了振动性问题，文中主要就方程( 1 ) 以及( 1 ) 中的系 数为变系数时的情形进行了讨论；同时也给出了系统( 1 ) 一( 2 ) 的解 振动的充要条件。 性 关键词： 交替型；微分方程；脉冲；稳定性；振动 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e sac l a s so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i l so f a l t e r n a 土e l ya d v a n c e da n dr e t a 苫d e d0 y p e ： 圣( t ) = a 。( f ) + b z ( 2 ( z + 1 ) 2 ) ，z ( o ) = q ，t o ，t 凡；n z ( 1 ) 。( 2 n l 一) 一z ( 2 n 一1 + ) = d 。( 2 n 1 ) ，n z( 2 ) w l l e r e 。 ) 兄ma n d ze x p r e s s e ss t a t ev a r i a b l e ；a 、 ba n dd a r e ”z m c o r l s t a n tm a t r i c e s ；ai sn o n s i g u l a rm a t r i c e s ，岛i sc o n s t a n tm - 、e c t o r zd e n o t e s i n t e g c rs e t ；【je x p r e s st h eg r e a t e s ti n t e g e rf u n c t i o n t h ea r g u m c n td e v i a t i o n ： 7 _ ( ”= t 一2 9 ( ) ，t 厶，n j ，9 ( 亡) = 【( 亡+ 1 ) 2 j 0 = o ，士1 ，士2 ，) ，厶= 2 n l ，2 n + 1 ) t h ea r g u m e n td e v i a t i o nr ( ) i sn e g a t i v ei nf 2 n l ，2 玎) ，s o ( 1 ) i ss a i dt o b eo fa d v a n c e dt y p e ；a n di ti sp o s i t i 、吧i n ( 2 礼，2 n + 1 ) ，s o ( 1 ) i s5 a i dt ob eo f r e t a r d e d t y p e t h e r e f o r e ( 1 ) i ss a i d t ob eo fa l t e r n a t e l y 也，p e i n 2 n 一1 ，2 n + 1 ) i np a p e r 1 a n d 2 ，t h ea u t h o r si n v e s t i g a t e dr e s p e c t i v l yr f d e ( 1 ) a n d 圣( ) = o z ( t ) + 妇( 2 ( f + 1 ) 2 ) ( 1 ) w h e r eo 加r ，。o t h ea u t h 。r sh a v ee s t 如l l s h e d 乞h e i rt h e o r e l n si np a p e r 【3 ，t h ed e l a ye q u a t i o nw i t hi m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n sh a v eb e e nd i s c u s s e d t h e 曲o v ep a p e r sa 矗色c tt h i sp a p e r t h i sp a p e ri m p o s e st h ei m p u l s i v ee q u a t i o no n d e l a ye q u a t i o n ( 1 ) a n d ( 1 ) a n dg e n e r a l i z e ss o m ek n o w nr e s u l t so f 1 】a n d 2 】 i n 吱l a p t e r2w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eu n l q u e n e s st h e o r e m so fs o l u t i o n s o fs y s t e m s ( 1 ) 一( 2 ) ，p r o v et h e s et h e o r e m sa n do b t a i nt h es o l u t i o n s t h ee q u a t i o n ( 1 ) w i t hv a r i a b l ec 。e 衢c i e n ti sa l s od i s c u s s e d i nd l a p t e r3 ，w eg e ts o m e ，l(、l t 1 1 e o r e m so fs t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fs y s 七e m s ( 1 ) 一( 2 ) a n d ( 1 ) 一( 2 ) s u 毋e 1 1 tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o rs t a b i l i t yo fo r d i n a r ys o l u t i o n o fs y s t e mw i t hc o n s t a n t c o e f 矗c i e n t i nc h a p e r4 ，w eh a v es t u d i e dt h ep r o b l e mo fo s c i l l a t i o no fs y s t e h l 慨 m a i n l yd i s c u s st h es y s t e mw i t hv a r i a b l ec o m c i e n ta n do b t a i nt h e o r e m so fo s c i l l a t i o n ；s u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o ni sg i v e nf o ro s c i l l a t i o no fs o i u t i o no f s y s t e m ( 1 ) 一( 2 ) k e y w o r d s ：a i t c r n a t e l yt y p e ；d i f k r e n t i a le q u a t i o n ；i m p u l s e ；u n i q u e n e s so fs o l u t i o n ； s t a b i l i t y ； o s c i l l a t i o n 独创性声明 v7 6 5 5 9 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得凄穆戈芬或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：缘鹰策 签字日期：州年r 月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解凄彳知戈弓有关保留、使用学位论文的规定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权私缸文苫可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、茫编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：绱考采 签字日期：0 “肆，月f2 ，日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：、扁州1p 毛 通讯地址：痛州芬陆毅苫誊 导师签名 签字魄沙厂年朋沙 电话：。n 7 。? 如罗7 j 邮编：j 祝c 椰 第一章绪论 5 1 1背景与意义 时滞系统存在于很多事物模型中，它们的运动规律都可以通过 时滞系统进行反映，如人口控制论中的l o g i s t i c 模型，生物种群中的 反馈控制以及医学中的麻疹传播模型等都属于时滞系统的范畴。通 过研究这些时滞系统，人们可以通过计算与分析事物的变化，解决 些生活中的难题。如通过对传染病模型的分析，人们可以估算与 预测出疫区病员的增长速度，这样可以入为地采取措施控制疫病的 蔓延。再比如，通过研究生物种群模型，人们可以较好地采用一些措 施，限制一些生物种群的增长速度及活动范围，更好地维持生态平 衡。目前时滞系统的研究已大量运用在化学、物理学、生物工程、 自动控制等领域中。 在自然界和科学技术领域的许多运动过程中，其运动状态在固 定或非固定时刻可能具有突变，这些突变持续时间与整个运动过程 持续时间相比是非常短暂的，可以认为是瞬间发生的，即这种突变 以脉冲的形式出现。所以用脉冲微分方程( 简记为i d e ) ，即包含脉 冲作用的微分方程来描述和刻画这些运动过程是很自然的，它比没 有脉冲的微分方程能更真实地反映这些发展过程。 脉冲微分方程的研究始于六十年代，近年来，脉冲微分方程的 理论已经得到了较大的发展。脉冲常微分方程( 简记为i o d e ) 或脉 冲时滞微分方程( 简记为i d d e ) 是刻化诸如物理、生物、工程、医 学、经济学等领域中许多现象的有效工具。 对含有时滞或脉冲的微分系统的研究，近二十年来已经引起了 许多学者的关注，并且已经取得了丰硕的成果【3 1 3 1 。 5 12本文所做的工作 早在上个世纪八十年代，k l c o o k e 和j w i e n e r 就对超前型与滞 后型交替的一维微分方程： 圣0 ) = n z ( t ) + 6 。( 2 ( t + 1 ) 2 ) ，。( o ) = c 七( 1 1 ) 进行了研究( 见文 2 】) 。到了上个世纪九十年代，i w r o d r i g u e s 将其 进行了推广，考虑多维的情形( 见文 1 1 ) ，即 窑( t ) = a z ( t ) + b z ( 2 ( + 1 ) 2 ) ，z ( o ) = q 、 ( 1 2 ) 本文受文 1 、 2 及 3 的启发，分别将方程( 1 1 ) 、( 1 2 ) 施以脉 冲作用，即将脉冲方程： 。( 2 n 一1 一) 一z ( 2 n 一1 十) = d 。z ( 2 n 一1 ) ， n z ( 1 3 ) 巨：= 篙蒹一 ! ：三二：；：! 三兰l 二) 兰2 三：l ? 。：乏? t n ，n z 其中z ( t ) 为状态变量；。，d ，c o r 为常量且8 o ，a ，b 为常数矩 阵，a 非奇异；g 渺为常向量；d 。和风分别表示与z x 有关的 实数和m 阶方阵，且d 。一1 ；z 为整数集， - 表示取整函数，偏 差变元： f ( t ) = t 一2 9 ( t ) ，t 厶， n o ， 9 ( t ) = ( t + 1 ) 2 0 = o ，土1 ，士2 ， ，厶= f 2 礼一1 ，2 n + 1 ) 7 _ ( t ) 可描述如下： 当t 2 n 1 ，2 n ) 时，7 _ ( ) o 。因 此，上述两系统在相邻两区间 2 n 一1 ，2 n ) 与( 2 扎，2 礼+ 1 ) 是超前型与 滞后型交替的。 研究方程，我们一般关心的是它的解。在第二章中，本文主要就 m 维系统 r l 圣( ) = a 。( 亡) + b z ( 2 ( + 1 ) 2 ) ，。( o ) = c b ，t o ，t n ，n z 1 l 上( 2 凡一1 一) 一z ( 2 n 一1 + ) = d 。z ( 2 n 一1 ) ， n z 的解的存在性进行了讨论。给出了其解存在的充分条件以及解的表 示式。对于时滞方程( 1 2 ) 为变系数时的情形也作了研究，得出了相 应的解的存在性定理。 解的稳定性是泛函微分方程理论研究中的一个主要方向。这里 说的解的稳定性，是指系统在条件做一定允许变化的时候，其解仍 呈现一种预定的状态。本文在第三章中研究了一维脉冲微分系统： r i 圣( t ) = 。( ) + 6 z ( 2 ( t + 1 ) 2 ) ，z ( o ) = c o ，t o ，t 几，佗z 1 iz ( 2 n 1 一) 一z ( 2 n 1 + ) = 矗。( 2 n 一1 ) ， 礼z 首先给出了其解的解析式，然后就其解本身进行分析，得到了其平 凡解渐近稳定的充分条件。利用矩阵的特征值法，我们对多维系统 ( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的解的渐近行为作了类似的探讨。 3 在第四章中，首先给出振动性的定义，就变系数的一维系统的 解及其振动性进行了研究，同时受文【1 引理的启发，对m 维系统 ( 12 ) 一( 1 3 ) 及其含变系数的情形进行了讨论，得到了相应的振动性结 果。 4 第二章一类交替型脉冲微分系统的解 研究方程，我们一般关心的是它的解。但作为泛函微分方程的 时滞系统其解一般不易求出或不存在解析形式。本章就m 维系统的 解的存在性进行讨论。 2 1预备知识 我们研究交替型脉冲微分系统； r l 圣( t ) = a 。( t ) + 丑。( 2 【( + 1 ) 2 】) ，z ( o ) = g ，o ，t n ，礼z ( 2 1 ) 1 iz ( 2 扎一1 一) 一z ( 2 札一1 + ) = d 。z ( 2 扎一1 ) ， 九z ( 2 2 ) 的解的存在唯一性。其中z ( f ) r “为状态变量；a ，b ，d 。兄m m 为 常数矩阵，a 非奇异，q 形。为常向量；z 为整数集，【 表示取 整函数丁( t ) ，口( t ) 如前所述。 在讨论解的存在唯一性之前，先给出相关定义与记号。 定义2 1 如果函数z ( t ) ：【o ，。) 一r “满足： 俐当t o ，t 礼( 钆z ) 时，。( t ) 连续可微且满足方程( 2 1 ) ； 俐对于n z ，z ( 2 n 一1 一) ，。( 2 礼一l + ) 存在，茁( t ) 在扛2 n 一1 处右 连续r 即z ( 2 扎一1 + ) = 。( 2 n 一1 ) ，且( 22 ) 式成立。 则称z ( t ) 为系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解。 为了书写方便，以后我们采用如下记号 5 日( t ) = e 4 6 + ( e m 一，) a 一1 b ， o ，| 4 1 为a 的逆 = ，+ d 。，玖兄。“= 1 ，2 ，n + 1 ) 为常数矩阵，i 为m 阶 单位矩阵。 兄。( t ) = e 丘4 ( s ) “5 ( + e 。e 一层4 ( “) “”月( s ) 如) ， n = o ，1 ，2 ， 22解的存在唯一性 定理2 1 若以，打( 1 ) ，日( 一1 ) 均为非奇异矩阵，则系统( 21 ) ( 22 ) 在 o ，。) 有唯一解： z ( ) = h ( r ( t ) ) 疗( 日_ 1 ( 一1 ) 疗1 h ( 1 ) ) c b ， t o ( 23 ) l = 9 ” 其中r ( t ) ，目( t ) 如( 3 ) 式所述；f 1 ，h - 1 ( 一1 ) 分别为止，日( 一1 ) 的逆矩 阵 证明：当z 如时，方程( 2 1 ) 可表示为： i ( ) = a z 0 ) + b 岛 对上式从o _ f 积分，有： 。( ) = e m + ( e m 一，) a 一1 b 岛= h ( t ) 岛，t 厶 令t - 1 一，并由( 2 2 ) 式，有： 日( 1 ) c b = z ( 1 一) = ( ，+ d - ) 。( 1 ) = z ( 1 ) ， 记z ( 1 ) = g l ，从而 g l = 打1 甘( 1 ) 岛 ( 2 4 ) 当t 厶时，不妨设z 。( t ) 为其上的一个解，并记。( 2 n ) = q 。，这 时方程( 2 1 ) 可写为：圣( t ) = a z 。( z ) + b q 。， 对上式从2 n _ t 积分，有： 6 。( t ) = e a ( 。一2 “+ ( e 且( 。一2 ”) a 一1 b c l 。= ( t 一2 n ) ( 了2 。( 2 5 ) 令t 。2 n + 卜并由( 2 ，2 ) 式，有 从而 日( 1 ) q 。= z 。( 2 n + l 一) = ( ，+ d 。+ 1 ) z 。( 2 n + 1 ) = 厶+ l c 。+ 1 岛。+ 。= j i ，日( 1 ) q 。 在( 2 。5 ) 式中令= 2 n 一1 ，有； q 。一l = z 。( 2 扎一1 ) = e a + ( c 一一一，) a 一1 b g 名。= h ( 一1 ) c i 。 由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 知 c 2 l = 厶：1 日( 1 ) 日_ 1 ( 一1 ) ，l f 2 6 ) ( 2 7 ) = 蹦1 日( 1 ) 日一1 ( 一1 ) 石1 h ( 1 ) 日一1 ( 一1 ) 巧1 日( 1 ) 日一1 ( 一1 ) g 结合( 2 4 ) ，( 26 ) 式，有： ( 乞。= 日- 1 ( 一1 ) 与1 日( 1 ) - 日。( 一1 ) j f l h ( 1 ) g = 兀j ：。旧- 1 ( 一1 ) f 1 h ( 1 ) ) 岛 将上式代入( 2 ，5 ) 式中，有： z n ( t ) = 日 一2 n ) ( 日“( 一1 ) f 1 日( 1 ) ) 岛， 厶 ( 2 8 ) l = ( 2 8 ) 与( 2 3 ) 等价定理证毕 口 定理2 2 若h ( 1 ) ，日( 一1 ) 均为非奇异阵，则系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 在 ( 一o 。，o 有唯一篇： z ( ) = 日( 7 - ( t ) ) 兀兰9 ( 。) ( 日一1 ( 1 ) 以何( 一1 ) ) g ， t o ； ( 6 ) 如果一b ，一b 均为非奇异阵，则系统( 2 1 ) 一( 2 ，2 ) 在( 一o 。，0 1 有唯一解： z ( t ) = ( ，+ b ( r ( t ) ) ) 兀喜g ( 。) ( ( + b ) 一1 ( ，一b ) ) g ，t 一 一 仃 印 唬 = 一 吣 佗 “ 坤 咖 厶 v l | 1 ) + r 吖 一 啦 n z 2 呱 、j 一 0 ， r | | 一 幻 孙 z z ，ii、i【 定义3 1 1 4 】若垤 o ，v t o ，| d ( ，t o ) ，v z o ，当恻j o ，j t t 。，z o ) o ，当i i z o 口( 如) ，t o + 丁( e t o ，z o ) 时，有f l z ( t ，t o ，z o ) | | o ，使得 阶( 蝴删“( 一1 ) 孵娶南l o ，v 如2o ，j 6 = m ，对v z o r ，当l l z o i l 6 时，对v t 兰 有： 【| z ( ，o ，t o l | l i a ，c o l l = m l l z o i l o ，当t 2 n 一1 ，2 n ) 时，方程( 4 1 ) 可表示为： ( 4 9 ) 不妨令最终 圣( t ) 一o ( ) z ( t ) 一6 0 ) z ( 2 礼) = o 上式又可写成： k e 一盛n ( 5 一一6 ( ) e 一丘n s 。( 2 n ) ：o 等式两边从t _ 2 n 积分，得： z ( 2 n ) 一z 0 ) e 一见d ( s ) 出一 詹“6 ( s ) e 一层n ( u ) 。u d s 】z ( 2 。) ：o 令u 2 扎一1 + ，由z ( t ) 的右连续性，有： 。( 2 n ) 一。( 2 扎一1 ) e 一尝n ( ) 出一 靡。6 ( s ) e 一层n ( “) d ud 5 】z ( 2 。) ：o 1 一 r r 整理得： 1 一扉，e 一正荆d “删茹( 2 n ) ：z ( 2 1 ) e 盘t 蜊。 由假设，最终z ( t ) o ，因此就有： 后；：1 u 1 e j 二。( 5 。5 出1 最终成立 或者写成： 溉8 “p 麝l e 一小5 。5 出s 1 与( 49 ) 式矛盾，从而系统是振动的定理证毕 口 下面给出定理4 2 的两个注解： 注1 对于最终z ( t ) 一1 ，趣恐2 n ，摩+ 1d ( t ) e j 二“。如出 ， ( 4 1 0 ) 则系统： f 未( t ) =a ( t ) z ( f ) + b ( t ) 。( 2 ( t + 1 ) 2 ) z ( 0 ) =岛，t2o ，t n ，n z 。( 2 n 1 一)一z ( 2 n 一1 十) = d 。z ( 2 礼一1 ) ，n z ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 的解是振动的 证明：不妨设。( t ) 为系统( 4 1 1 ) 一( 4 1 2 ) 的解，假设最终z ( t ) o 当t 矗时，方程： 士( ) = a 0 ) 。0 ) + b ( t ) z ( 2 【0 + 1 ) 2 】) ， 可写成： 圣( t ) = a ( t ) z ( 幻+ b ( 亡) 茁( 2 礼) 等式两边同乘以e 层4 ( 5 ) 如，有： e 一正a ( s ) 出( 士( t ) 一a ( ) z 0 ) ) ：e j 羔a s ) 出b ( ) z ( 2 n ) 上式两边从t - 2 n 积分，得： z ( 2 仉) 玎丘删s 。) = ( 厂e 一正删”b ( s ) d s ) 2 ( 2 ) 娶 里，得： z = e 麝俐。( z “e 一只蛳扎口( s ) d s ) z ( 2 n ) 令江2 n 一1 ，有： z ( 2 n 一1 ) ：e 廖。 ( z ) 出( ，一2 “e e 。s ) 4 s b ( f ) d ) z ( 2 ，t ) j 2 n l 因为最终。( t ) o ，所以最终有： 广e 一丘a ( s ) 如b ( t ) 出 一，0 粤巴打。，正+ 1e 一丘“5 出b 0 ) 出 ， ( 6 ) 风 一， 参考文献 1 lw r o d r l g u e ss y s t e m so fd i 行e r e n t i a le q l l a t i o n so fa l t e r n a t e l yr c t a r d e d a n da d v a n c e dt y p e j m a t h a n a l a p p l - ( 2 0 9 ) 1 9 9 7 ，1 8 0 1 9 0 2 k l c o o k ea n dj 、v i e n e r a ne q u a t i o n a l t e r n a t e l yo fr e t a r d e da n da d ， v a n c e d 谚p e p r o c a m e r m a t l s o c9 9 ( 1 9 8 7 ) ，7 2 6 7 3 2 3 申建华，庾建设具有脉冲扰动的非线性时滞微分方程 j 应用 数学，1 9 9 6 ，9 ( 3 ) ：2 7 2 2 7 7 ， 4 窦家维，李开泰，一类脉冲微分方程零解的稳定性 j ，系统科 学与数学，2 0 0 4 ，2 4 f 1 ) ：5 6 6 3 5 万安华等，脉冲时滞微分方程组振动性及渐近性【j ，兰州理工 大学学报，2 0 0 4 ，3 0 ( 3 ) ：1 1 9 1 2 3 6 丁卫平，一类脉冲时滞微分方程零解的稳定性 j ，西北师范大 学学报( 自然科学版) ，2 0 0 4 ，4 0 ( 1 ) ：8 一1 2 7 w a n gj u n ，t h eo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fa 】i n e a rj m p 抽v e d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n j 1 湖南师范大学自然科学学报，2 0 0 2 ， 2 5 ( 1 ) ：4 8 8 刘少平，具线性脉冲的微分系统的稳定性 j ，控制理论与应用， 2 0 0 4 ， 2 1 ( 4 ) ：5 4 9 5 5 2 9 郑祖庥，泛函微分方程理论【m 】，合肥：安徽教育出版社，1 9 9 4 l o l d a i ，s i n g u l a rc 。n t r o ls y s t e m s ，1 9 8 9 2 6 1 1 蒋威，退化、时滞微分系统 m 1 合肥：安徽大学出版社，1 9 9 8 1 2 j i a n gw e i ，z h e n gz u x i u ，t h es o l v a b i l i t yo ft h ed e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t hd e l a y j ) 数学季刊，2 0 0 0 ，1 5 ( 3 ) ：l 一7 1 3 周宗福，一般退