（系统工程专业论文）概率准则下投资组合的整数规划模型.pdf

中文文摘 中文摘要 马克维茨建立的证券投资组合的均值方差模型，对证券投资在理论上有者指 导意义，然而，由于其模型的局限性，尤其是假定与现实情况不符，使它在现实 应用中受到了很大的阻碍。 本文针对中国目前证券市场发展的具体状况，结合前人的研究成果提出了概 率准则下投资组合的整数规划模型，并给出了确定性等价类模型。对建立的整数 规划模型，因现有求解整数规划问题的方法有局限性，在求解本文建立的概率准 则下投资组合整数规划时几乎完全失效。为此，本文利用遗传算法结合随机模拟 技术求解，利用随机模拟的方法来计算准则函数值，以遗传算法作为寻优方法， 并在遗传算法中引入自适应思想，设计了基于自适应遗传算法的随机模拟求解方 法，对所提出的概率准则下投资组合问题进行求解，并用m a t l a b 编程在计算机 上实现。最后通过实例计算验证了所建立模型的合理性，求解方法的可行性和有 效性。 关键宇：投资组合；概率准则；整数规划；随机模拟：遗传算法 a b s t r a c i a b s t r a c t t h em e a n v a r i a n c em o d e li n p o r t f o l i o s e l e c t i o ni n i t i a t e d b ym a r k o w i t zh a s t h e o r e t i c a l l yc o n d u c t i v em e a n i n ga st os e c u r i t yi n v e s t m e n t h o w e v e r , i t sl i m i t a t i o n ， e s p e c i a l l yt h ed e v i a t i o nb e t w e e na s s u m p t i o na n dr e a lw o r l d ，r e s t r i c tt h ea p p l i c a t i o no f t h em o d e li nr e a l i t y i nt h i st h e s i s ，t h ep o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mw i t ht h er e a l i s t i ce n v i r o n m e n to f s t o c km a r k e ti nc h i n ai s i n v e s t i g a t e d c o n s i d e r e dt h em a i nf a c t o ra n db a s e do n p r e v i o u sw i s d o m s ，a ni n t e g r a lp r o g r a m m i n gm o d e lo fp o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e m w i t hp r o b a b i l i t yc r i t e r i o ni s e s t a b l i s h e d ，a n dt h ed e t e r m i n i s t i ce q u i v a l e n tm o d e li s g i v e n t h e r e a r e m a n y t r a d i t i o n a lm e t h o d s p r e v i o u s l y t os o l v et h e i n t e g r a l p r o g r a m m i n gp r o b l e m s ，b u tt h e ya l lf a i lt or e s o l v et h i sp r o b l e m t h e r e f o r e ，i tf o c u s e s o nt od e s i g nan e w s o l v i n g m e t h o di nt h i st h e s i s c o m b i n e ds t o c h a s t i cs i m u l a t i o nw i t h g e n e t i ca l g o r i t h m ，as t o c h a s t i cs i m u l a t i o nb a s e da d a p t i v eg e n e t i ca l g o r i t h mi sd e v i s e d f o rs o l v i n gt h ep r o b l e m t h es o l v i n gm e t h o di sc o d e d b ym a t l a ba n dr e a l i z e do np c f i n a l l y , s o i n ee x a m p l e ss h o wt h a tt h i ss o l v i n gm e t h o di sf e a s i b l ea n de f f i c i e n t k e y w o r d ：p o r t f o l i o ；p r o b a b i l i t yc r i t e r i o n ；i n t e g e rp r o g r a m m i n g ；s t o c h a s t i c s i m u l a t i o n ；g e n e t i ca l g o r i t h m ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人己经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘茎或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期： 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解玉生盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名导师签名： 签字日期：年月 同签字同期：年月 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 现代投资组合理论综述 1 1 1 组合理论的发展 现代金融理论是指在研究金融问题，如风险的防范与控制、资本市场的运营 等问题的过程中，大量运用金融数学研究金融经济学模型取得的研究成果。现代 金融理论是伴随着金融市场的发展而不断发展起来的。现代金融理论的发展为金 融创新及风险管理提供了理论基础，反过来大量的金融创新活动和风险管理的日 益发展又为金融理论的发展提出了现实的理论问题，促进现代金融理论的进一步 发展。现代证券投资组合理论( m o d e mp o r t f o l i ot h e o r y , 简称m p t ) 正是顺应了经 济发展的实际需求不断发展和完善。 现代投资组合理论的发展大致经历了二个阶段：第一个阶段大约从十八世纪 初期到十八世纪五十年代。在这个阶段，投资者并没有成熟的投资理论可循，人 们普遍地把股票等金融工具当作投机工具，对收益和风险的判断主要是根据个人 经验。投资所依赖的是直觉、经验和一些传统的投资理论；第二个阶段从十八世 纪五十年代开始进入定量研究时期。一般认为，1 9 5 2 年3 月哈里马柯维茨在 金融杂志上发表的论文“资产组合的选择”既是现代投资组合理论产生的标 志。m a r k o w i t z 首开先河，对风险问题进行了明确的描述，说明分散投资降低风 险的缘由并提出投资组合选择的均值方差模型 1 】。它标志着现代投资组 合理论的开端。在此基础上，1 9 6 4 年w i l l i a m es h a r p e ( 威廉夏普) 建立了资 本资产定价模型( c a p m ) f 2 】。该模型给予资产的收益、风险以及二者关系的精 确描述，被看作金融理论的基石而广泛应用于投资绩效评价、证券估价、确定资 本预算等领域中。然而，自其建立之日起至今关于c a p m 的检验仍众说纷纭。 c a p m 先天固有的局限性使之检验与实践运用都受到一定的阻碍。缘于此，1 9 7 6 年s t e p h e n 、r o s s 提出了套利定价理论( a p t ) e 3 1 ，a p t 绕过c a p m 的一些严格假 设，从不同的角度描述资产风险与收益之间的关系，从而突破性地发展了c a m p 。 马柯维茨组合投资理论的产生，带动了金融市场理论的创新，被誉为金融理 论的一场革命。在投资组合理论不断发展和完善的同时，也促使了现代金融理论 快速发展。自从马柯维茨运用概率论和规划论的方法，提出的投资组合理论。此 后，j a m e s t o b i n 的投资组合分离的著作及k e n n e n t h a r r o w 和杰拉尔德迪布罗 g e r a r dd e b r e u 关于状态偏好理论的论文【5 】；o s b o r n e 实证研究了股票的价格服 第一章绪论 从对数正态分布。f a m a 提出了有效市场理论( e m h ) 4 1 等等。在众多学者的不 懈努力下，仅在短短的5 0 多年，金融理论取得了丰硕的成果，为社会经济的发 展做出了伟大的贡献。 1 1 2m a r k a w l t z 组合理论 现代证券投资组合创始人马柯维茨( h a r r ym m a r k o w i t z ) ，在1 9 5 2 发表了 题为资产组合选择文章，并在1 9 5 2 年出版了同名专著，从而奠定了证券组合 选择的理论基础。正是m a r k o w i t z 的这个工作及确定的对风险的度量指标( 用收 益率的方差盯2 作为风险的度量 ，佼其在1 9 9 0 年获得诺贝尔经济学奖。 m a r k o w i t z 的理论表明典型的投资者希望投资报酬高的同时，也希望收益尽 可能确定。这就意味着投资者追求期望收益率的最大化和风险的最小化。这两个 目标是相互冲突的，投资者在作投资决策时必须充分考虑，进行平衡。根据 m a r k o w i t z 组合理论，投资者在进行投资活动时，总是以投入资金的安全性和流 动性为前提，合理运用投资资金，达到较小风险、较高收益的目的。投资于高收 益的证券，虽可能获得较高的收益，然而高收益常常伴有高风险。如果将资金全 部投资于一种有价证券，那么一旦该有价证券的市场价格发生较大的波动，投资 者将可能遭受较大的损失。所以理性的投资者是将资金分散投资到若干种收益和 风险都不尽相同的证券上，以“证券组合投资”的方式来降低风险，即古老的谚 语所说的“不要把所有的鸡蛋放在一只篮子里”。并由此而建立了均值方差 模型。 显然，m a r k o w i t z 均值方差模型的成立设有若于前提假设。这些假设勾 勒出一个异于现实的理想完全市场。在这个市场里不存在非对称性，流动没有摩 擦，投资者无论是预期还是行为均保持一致，市场中即使偶尔出现非均衡现象其 运作机制也会很快将之消除而使市场始终处于动态均衡状态。那么，投资组合理 论描绘出这样一个市场的原因何在呢? m a r k o w i t z 假定市场中每种证券的收益率 都服从正态分布，以收益率的均值代表证券的未来期望收益，以收益率的方差代 表证券的风险，并且各种证券的收益率间具有相关性，并用相关系数来表示。这 些假设使得每个资产组合均可以用两个数字特征：期望均值和方差来唯一标度 ( 具有相同期望均值和方差的组合被看作是同一种组合，若二者之中有一个指标 相异则被看作不同的组合) 。因为正态分布是可以完全由这两个数字特征来描述 的，从而由资产组合的方差说明了分散投资可降低风险。除此之外，m a r k o w i t z 还假定投资者的目标是风险最小化的同时使收益达到最大。为保证这个目标的实 现，市场被假定为没有税收和交易成本，资金与信息流动不受限制，资产可任意 分割的市场。在这些条件下m a r k o w i t z 建立了均值一方差模型，得出了可供投资 2 第章绪论 者进行资产组合选择的有效边界。 因而，m a r k o w i t z 理论在实际应用中的局限性也是显而易见的。一个完全市 场是高效、对称、流动和没有摩擦并且投资者可不受阻碍地实现各种目标的市场。 随着组合投资模型的发展和实践，人们逐渐认识到以完全市场为前提的 m a r k o w i t z 组合理论和模型，由于过分简化，忽略了现实投资过程中多种摩擦因 素的影响，使锝理论分析与实际问题决策存在较明显的差距，从而难以有效指导 投资者做出投资决策。为此，国外学者在这方面做了很多的研究，并已取得了很 多的成果【6 1 l 】。如分布形市场假说的提出使正态分布的假定受到了挑战；而 投资者完全理性的假设也正遭到行为金融理论的质疑，投资者对市场的反应千差 万别，不同收入的投资者税收额甚至可达到天壤之别；资金借贷的数量与种类及 其流动均受到这样那样的限制；信息不对称现象较普遍存在；交易成本有时阻碍 交易的发生。此外，一些学者还考察了交易成本、资本结构及代理证券等因素对 组合投资决策的影响，研究结果均表明m a r k o w i t z 模型是需要调整的。人们通过 无风险借贷限制条件下的期望收益风险关系和研究流动性对资产定价的影响， 发现了这些因素的不可忽视性。 1 2 组合模型的求解 m a r k o w i t z 投资组合理论成为金融理论发展的一个里程碑。他用收益率的方 差盯2 作为风险的度量指标建立了均值方差模型。从此，金融理论进入了科学的 定量化研究阶段。然而，也正是因为m a r k o w i t z 以收益率的方差仃2 作为风险的 测度，并假定收益率和方差服从正态分布，从而导致模型在实际运用的一个局限。 当投资者应用m a r k o w i t z 投资组合模型来选择最佳证券组合时，一方面，需 要大量而繁重的计算工作而且证券市场的价格变动十分频繁，价格一有变化， 现有的证券组合与市场上的其它证券的风险与收益关系也将发生系列变化。在 求解模型时，整个计算程序就需要重新进行次。工作量十分繁重，给应用带来 很大的困难。尽管后来。夏普通过分析“股票收益与股市指数收益之间存在的函 数关系”提出了单指数模型，在牺牲精确性的同时简化有效组合的求解技术，但 资产组合理论的实用价值依然受到了限制。另一方面，由于现实中的证券收益率 是不服从正态分布分布，若依然仅以预期收益率和收益率方差作为指标反映证券 未来实际收益率分布状况，那么将会导致理论结果与实际存在很大偏差，模型失 效。为此，针对模型的求解问题。许多研究者在对模型实证分析和实际应用的基 础上，沿着下两个方向发展： ( a ) 定义一个恰当的风险度量指标，在避免m a r k o w i t z 模型中假定收益率 服从正态分布的同时，又简化了模型的运算。即通过将马柯维茨风险变量用一个 第一章绪论 线性函数( 或相当于线性的函数) 替代，从而可用传统解线性规划问题的方法去 解。如绝对离差风险测度：半方差( e s h ) 风险测度等等 1 2 。 ( b ) 利用人工智能化的研究成果智能优化法( 遗传算法、模拟退火算 法、人工神经网络) 和传统方法结合起来，来求解在实际复杂系统中的模型。国 际上有关这方面的研究已经有了初步的成果，而且国内也有一大批学者正致力于 这方面的研究f 1 3 - 1 7 1 。 随着组合理论深入研究，所建立的任何一个描述实际问题的模型将变得越来 越复杂。与此同时，就要求越来越先进的求解技术，统计和计算机成为它不可离 开的主要工具。智能优化方法由此为金融领域提供了广泛的研究工具，并且应用 前景广阔 1 8 1 。 1 3 概率准则下投资组合的整数规划模型及算法 1 9 5 2 年马柯维茨证券投资组合理论的创立，标志着现代金融理论的开始， 在金融理论界和金融实务界都产生了深远的影响，但是几十年过去了，它在现实 应用中的发展却受到的了很大的阻碍，究其原因在于其模型的局限性，尤其是其 假定与现实生活不符。从目前的实际情况上看，中国证券市场还是一个正在成长 中的不成熟的市场，如上市公司质量不高、市场运行还存在较大风险及技术系统 需要不断发展等等。尤其是与发达国家相比有一定差距，因此，为了降低投资风 险和一些技术原因，我国证券交易过程中有着许多限制性的规定，如限制买空卖 空、要求整手交易等。虽然，国内学者对组合理论的研究已经取得了很大的进展 2 4 - 3 0 ，但是，建立的模型并没有完全刻画出投资者的行为，因此，本文在以上 研究的基础上，考虑了整手交易和不允许买空卖空的具体情况，提出了概率准则 下组合投资的整数规划模型，更好的符合了实际的要求。 以往求解整数规划问题，主要有枚举法、割平面法、分支定界法等。枚举法 的计算量与变量成指数增长关系，当股票种类很多时，枚举法基本上失效。而割 平面法和分支定界法本质上是松弛方法，用一系列松弛线性规划问题的解逼近整 数规划问题的最优解。因此，可能陷入局部最优。而事实上，由于证券的收益会 随时间的推移而经常无规律的变化，可能不服从正态分布，因而也就不能用确定 性等价原理将该问题进行转化，那么传统的整数规划求解方法不再适用。 近年来，随着计算机与人工智能技术的飞速发展，智能优化方法应用于风险 控制和决策问题而显示出其优越于传统方法的特点。尤其是在解非线性规划模型 的最优化问题时更为突出。针对本文所提出的概率准整数规划模型，我们引入自 适应思想，设计了基于自适应遗传算法的随机模拟求解方法，并用拖f a 6 编程 在计算机上实现。 第章绪论 1 4 研究内容 本文考虑到中国目前证券市场发展的具体状况，如要求股票交易为整手( 1 0 0 股) 交易和不允许买空卖空的实际情况，结合前人研究成果提出了概率准则下投 资组合的整数规划模型。并设计出了基于遗传算法的随机模拟求解方法，用 m a t l a b 编程在计算机上实现，给出仿真算例验证求解方法的可行性和有效性。 研究内容主要有： 第一章，综述现代投资组合理论背景和发展现状，提出了本文所要研究的问 题及并结出了本文的内容安排。 第二章，简要地介绍了证券组合投资理论的几个基本概念( 如收益和风险、 有效边界、风险偏好和无差异曲线等等) 、分散化原则、m a r k o w i t z 均值一方差 模型和数学规划的一些基础知识。 第三章，对遗传算法和随机模拟的算法理论作了简要论述。以为后一章设计 模型的求解算法打下基础。 第四章，详细介绍了概率准则下整数规划模型的建立过程，其中包括对中国 证券市场发展现状的分析、概率准则下整数规划模型的建立，给出确定性等价模 型。 第五章，针对建立的概率准则下投资组合的整数规划模型。将自适应思想引 入遗传算法，并与随机模拟相结合，设计了基于自适应遗传算法的随机模拟求解 方法，并进行了算例仿真。 5 第二章准备知识 2 1 证券组合理论 第二章准备知识 2 1 1 现代证券组合理论 现代投资组合理论起源于2 0 世纪5 0 年代的西方发达国家。其本质内容是关 于风险的准确度量和对风险资产的定价。它的建立与发展为西方发达国家资本市 场的规范运作和快速发展发挥了重要作用。 现代投资组合理论的发展大致经历了二个阶段：第一个阶段大约从十八世纪 初期到十八世纪五十年代。在这个阶段，投资者并没有成熟的投资理论可循，人 们普遍地把股票等金融工具当作投机工具，对收益和风险的判断主要是根据个人 经验。投资所依赖的是直觉、经验和一些传统的投资理论。比如在组合投资方面， 人们也意识到分散投资可以降低风险，得出“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里” 的投资哲学；而一些传统的理论，如道琼斯公司的创始人查尔斯道和爱德华琼 海斯提出的“道琼斯股价理论”和由约翰梅纳德凯思斯1 9 3 6 年在其就业、 利息和货币一书中提出的“空中楼阁理论”。这些理论既缺乏坚实的理论基础， 又缺乏充分的实践验证，不足以对投资者提供重要的指导意义。当然，在这个时 期也有许多学者在定量研究方面作了尝试。如1 9 0 0 年b a c h e l o r 关于投机理论的 博士论文中发现股票价格变化服从布朗运动。1 9 4 4 年n e u m a n n 和m o r g e n s t e r n 提 出了效用理论来描述投资者风险态度。这些都为金融理论后来的研究打下了厚实 的基础。 第二个阶段从十八世纪五十年代开始进入定量研究时期。一般认为，1 9 5 2 年3 月哈里马柯维茨在金融杂志上发表的论文“资产组合的选择”是现代 投资组合理论产生的标志。m a r k o w i t z 首开先河，对风险问题进行了明确的描述， 洗明分散投资降低风险的缘由他注意到一个典型的投资者不仅希望“收益高”， 而且希望“收益尽可能确定”。这意味着投资者在寻求“预期收益最大化”的同 时追求“收益的不确定性最小”，在期初进行决策时必然力求使这两个相互制约 的目标达到某种平衡。马柯维茨分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的 预期收益水平和不确定性，建立均值方差模型来阐述如何全盘考虑上述两个目标 进行决策。从而提出了投资分散化原则，即投资者应该通过同时购买多种证券而 不是一种证券进行投资，建立了投资组合选择的均值方差模型。 在此基础上，1 9 6 4 年w i l l i a me s h a r p e 建立了资本资产定价模型( c a p m ) 。 第二章准备知识 模型解释了每一个投资者都会在市场中遭遇的两种风险与市场整体相联系 的系统风险和与特定公司相联系的非系统性风险，并用一个简单的线性程议程式 表示了资产预期收益与预期风险之间的理论关系，指出了分散投资对于降低非系 统风险的可能性。该模型精确描述了资产的收益、风险以及二者关系，被看作金 融理论的基石而广泛应用于投资绩效评价、证券估价、确定资本预算等领域中。 然而，自其建立之日起至今关于c a p m 的检验仍众说纷纭。c a p m 先天固有的 局限性使之检验与实践运用都受到一定的阻碍。 然而，1 9 7 6 年，理查德罗尔对这一模型提出了批评，因为模型要依赖于 大量的假设条件，并且永远无法用经验事实来检验。依据假设更少更合理的投资 组合模型，史蒂夫罗斯突破性地发展了资本资产定价模型，提出套利定价理论 ( a p t a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ) 。它的基本思路是“一种价格法则”：两种具有 相同风险和回报率水平的证券其价格不能不相同的。因此，a p t 与c a p m 相比 较，显得非常粗糙的，表现在a p t 对资产收益的经验分布没有作任何假设，对 投资者的效用函数也没作任何加强性假设。套利定价理论也可看作是s h a r p e 提 出的资本资产理论的单一指标模型的扩展，在更加广泛的意义上建立了证券收益 与宏观经济中其它因素的联系，a p t 比c a p m 为证券趋势分析提供了更好的拟 合。另外，a p t 容易扩充到多阶段定价模型。 现代证券投资组合理论一直是经济学研究的一个重要理论前沿。特别是近年 来，随着计算机技术的飞速发展及智能化研究的不断深入，也极大促进了现代证 券组合理论在实际中的应用。 2 1 2 收益和风险 2 1 2 1 单个证券的收益和风殓 对于风险投资来说，收益和风险总是一对孪生兄弟，如果你想得到较高的收 益，就得承担较大的风险；如果只愿接受较小的风险，那么只能获得较低的收益。 l _ 收益率及其度量 任何一项投资的结果都要可用收益率来衡量，通常收益率r 如下定义为： r ；坚二坠x 1 0 0 w o 其中，m 为期末资产，k 为期初资产。 收益率对应于一定的投资期间，相应有日收益率、周收益率和年收益率等等。 在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益与价差收益之和，其收益率 第= 章准备知识 可表示为 r = 型塑器蔫拶枷。 期初市价总值 。 通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。由概 率论可知，当知道不同的r 对应的概率q 或概率分布函数，b ) 时，r 的数学期望 或收益率均值为： p = e ( ，) ；茏，“= 曲) = e 脚g ) 2 风险及其度量 所谓投资风险，就是在投资活动过程中，由于各种事先无法预料的不确定园 素带来的影响，使资金经营的实际收益率与预期收益率存在一定的偏差，从而有 蒙受损失的可能性。即当一个投资者以期望收益率为依据进行决策时，就必须面 对得不到期望收益率的风险。 可能的收益率越分散它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风 险也就越大，因而风险的大小由收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学 上，这种偏离程度由收益率的方差盯2 来度量： 0 2 p ) ；e ( r 一肛) 2 - f 0 一肛) 2 d f ( x ) 在实际应用中，我们往往并不知道收益率r 的分布函数f 是什么，无法求出 相应的两个积分。根据统计理论，可以用它们的样本得到它们的估计值。可阻证 明，如下方式得到的样本均值丘、样本方差疗2 分别为和口2 的无偏估计： 应一耪 d 2 一击1 71 “一丘) 2 一口” 2 1 2 2 组合投资的收益和风险 假设选定，1 种资产进行组合投资，地表示第i 种资产的期望收益率，q 是它 的风险( 收益率的标准差) ，工，是资产组合中第f 种资产的投资比例系数t 0 ，1 且砉一2 1 ( f ；1 ，2 ，1 ) ，p 。为资产f 与资产，收益的相关系数，是第f 种和第 8 第= 章准备知识 j 干叶资产收益率的协方差。若组合资产的总收益的期望值已为r ，总方差圯为口 则 r = z r 肛r ( 2 一l 1 ) j - 1 盯2 = 三蕾工j = 葺x p 一盯， ( 2 一卜2 ) 1 ，j - jj ，j - - 1 2 1 3 分散化 2 1 3 1 分散化原则 投资者面对证券市场上客观存在着的大量证券组合投资，那么为何要进行组 合投资? 合投资究竟具有何种机制和效应? 投资分散化就是将资金分散到不同类别的风险资产，而不是全部集中于一种 资产，从而达到减少投资者投资风险的一种投资策略。用一句俗语可概括其含义 “不要把所有鸡蛋放在一个篮子里”。分散化原则表明通过分散持有不同的风险 资产，有时人们可以在不减少预期收益率的情况下，减少整体风险的暴露程度。 为什么投资分散化能减少投资风险呢? 过去，在考虑投资收益与风险问题 时，主要讨论个别证券资产。但是，投资决策并不仅仅局限于个别证券。事实上， 人们所持有的资产有多种形式，如银行存款、股票、债券等各种不同的资产。按 照分散化投资原则，投资者可以将资金分散投资于若干个不同的证券，由于某种 证券价格下跌造成的损失可能因其他证券价格的上扬而得到弥补，从而减轻了个 别证券的风险对投资者的影响。 2 0 世纪6 0 年代，有人计算了纽约证券交易所4 7 0 种普通股的风险。通过随 机分组，计算每组组合的收益率的平均标准差，得到的结论是：当组合中证券的 数目由1 种逐渐增加到1 5 种时，组合风险逐步下降，接近市场系统风险水平； 当证券数目由1 5 增加到2 0 时，组合的风险将不再随着证券数目的增加而明显减 少：当证券组合的数目大于2 0 时组合的风险几乎不再减少，同时组合的非系统 风险逐渐趋于零。这说明，市场上证券受一共同风险因素的影响，它源于与市场 整体有关的因素，即便是最充分的分散化亦不能消除，我们称之为系统风险。相 反，个别证券的特有的风险即与市场无关的风险一非系统风险，在分散化投资中 被消除。同时，另外一些研究结果表明：用随机选取的证券组成的简单多元化组 合，其收益率不受证券数目多少的影响，只是组合的风险与证券数目有关。 第二章准各知识 2 1 3 2 影响资产组合风险分散化的因素 资产组合，就是指将作为投资对象的各类证券的进行的组合。因而，组合资 产的风险也就被分散于组合中的各单个资产中，它分散化的程度受到每一个资产 的风险、每一个资产在组合中所占比重以及它们之间的相关性的影响。 首先，我们讨论组合资产的风险与单个资产风险间的关系。 由式( 2 - 卜2 ) 表明，在其他参数确定的前提下，组合资产的风险与组合中 每一个资产的风险成正比关系。组合中各资产的风险越小，组合资产的风险也就 相应地越小。 其次，我们再对资产之间的相关性进行分析。 对于任意两个资产f 和f 它们收益率之间的相关性可以用相关系数 ( c o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t ) p d 或协方差( c o v a r i a n c e s ) 来表示。当岛0 或 q ，0 时，说明两种资产f 和f 的收益率同向变化，并称之为正相关；当p 。 o 或 q f o 时，两种资产i 和，的收益率反向变化，即负相关；当岛= 0 或q f 一0 时， 说明两种资产i 和j 的收益无关，称为不相关。 由式( 2 - 1 - 2 ) 可知，要使资产组合投资风险仃2 显著降低，应该尽可能选择 一些负相关或不相关的资产进行组合。若选择负相关( q ，c0 ) 资产组合，由于 在这种情况下资产的实际收益往往也呈现异向变动的趋势，随着风险的降低，收 益率也会相应地减少。若选择不相关( q ，= 0 ) 资产进行组合投资，此时既能保 证降低风险，又不影响实际收益。在实际中尽可能地选择不同行业、不同种类的 资产进行组合，使所选资产之间相关性尽可能性的小。从而达到降低风险，实现 一定投资收益的目标。 最后，假设投资者已选择好投资的资产种类，下一步就是决定将现有的资金 按怎样的比重进行分配到各资产。 一个特殊的情况：即假定一种资产的收益是相互独立毫不相关时，p f ，一0 ， f j ，f ，一1 ，2 ，n ，并令口一一m a x 慨，仃2 ， ，则( 2 1 2 ) 式转化为： 矿。善耳2 q 2 d 2 。善t 2 q 2 盯怎善2 _ 1 _ 3 式( 2 - 1 3 ) 说明以任意比例组合的组合资产风险不超过单个资产风险的最大值， 即组合资产的风险小于单个资产的风险。当对于p “一0 ，这个结论依然成立，在 此不再进行详细论述。 1 0 第二奄准需知识 在讨论资产组合时，常会做如此的一个假设：令风= o 且将持有的资产等比 1 例投资于这n 各不同的资产类别，即= z ：= _ = 二，则： 咒 冉砉( 言) 2 9 2 = 砉蓦 2 = 丢每2 这里面2 表示组合中所含资产的方差的平均值，一般瓦2 有界。得出： 一2 l i m2 ：l i r a 生；0 h 4 。n 上式说明：若市场上存在充分多的收益不相关的资产时，则等比例投资于这 些资产所构成的组合风险能随着资产数目的无限增加而趋于零，也就是说投资者 投资风险通过资产组合的方式被完全分散化。当然这只是为了便于分析问题所做 的理论上的讨论，我们知道在实际中是不存在这种理想的结果。 综上所述，尽管组合资产期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单加权 平均值，但是组合风险却并非如此。当相关系数小于1 时，分散化的潜在收益将 增加。资产组合中相关性越低，分散化所导致的潜在收益就越大。可见，在投资 活动时，通过组合确实可以减小证券投资的风险。因此，有必要研究和建立组合 投资的晟优化模型，选择恰当的投资比例，从而达到收益与风险的最优化，实现 投资者的投资目标。 2 1 4 最优组合 2 1 4 1 有效边界 在组合投资条件下，给定预期收益，有无穷多种组合可以实现该预期收益； 同样，给定预期风险，有无穷多种组合可以实现该预期风险。若我们以预期收益 r 为纵坐标，预期风险d 为横坐标，则每一个可行组合对应d r 平面上的一个点， 所有可行组合组成的可行集，在盯一，平面上形成一个域，我们称之为可行域。 证券组合的可行域表示了所有可能的证券组合，它为投资者提供了切可行 的投资组合机会，投资者需要做的是在其中选择自己最满意的证券组合进行投 资。大量事实表明，投资者普遍喜好期望收益率两厌恶风险，因丽人们在投资决 策时希望期望收益率越大越好，风险越小越好。这种态度反映在证券组合的选择 上可由下述规则来描述：设证券l 和证券2 ，当两种证券组合具有相同的收益率 方差和不同的期望收益率，即q 2 d 2 2 而e “) 一e ( r 2 ) ，那么投资者选择期望收 第二章准备知识 益率高的组合，马柯维茨把它称为“不满足假设”：当两种证券组合具有相同的 期望收益率和不同的收益率方差即c r 。2 ；0 2 2 而e “) = e 如) ，那么他选择方差较 小的组合，马柯维茨把它称为“风险厌恶假设”。那么由以上的两个规则，我们 可以排除那些初所有投资者都认为差的组合，则我们把排除后余下的这些组合称 为有效证券组合。根据有效组合的定义，有效组合不止一个，对应口一r 平面上 的有效组合则为可行域的上界部分，是条连续的曲线，我们称这条连续曲线为有 效边界。 以下分别给出在不允许卖空情况下不含无风险资产和含无风险资产的有效 边界： 图2 1 不含无风险资产的有效边界 图2 2 含无风险资产的有效边界 2 1 4 2 风险偏好和无差异曲线 一个投资组合的可取性由r 和口表示。在上文中，我们己假定投资者用以下 的规则来选取他所喜欢的一个证券组合，即： ( 1 ) r 是好的：其他条件不变，更多优于更少。 第二章准备知识 而( 2 ) 通常被称为“风险厌恶”( r i s ka v e r s i o n ) 。大量的事实表明在更生 投资组合选择时，大多数人是风险厌恶者。因而，根据他对风险的态度，按照期 望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相同( 无差异) 的证券组 合集在盯一r 平面而形成的曲线，这些曲线被称为该投资者的无差异曲线( i d c ) 。 不同投资者对风险的偏好不同，有着不同的无差异曲线。( 如图2 1 所示) 无差异曲线具有以下特点：落在同一条无差异曲线上的组合有相同的满意 程度，而落在不同的无差异曲线上有不同的满意程度。因而一个组合不会同时落 到实处在两个条不同的无差异曲线上，也就是说，不同的无差异益线不会相交( 但 也不必平行) 。无差异曲线的位置越高，它带来的满意程度就越高。对一个特 定的投资者，他的所有无差异曲线形成一个曲线簇。无差异曲线的条数是无限 的而且密布整个平面。无差异曲线是一簇互不相交的向上倾斜的曲线。一般情 况下，曲线越陡表明风险越大，要求的边际收益补偿越高。 ( a ) 风险偏好者 ( b ) 风险中立者 u ( c ) 风险回避者 图2 3 风险回避者对风险的较为关心。由图2 3 ( c ) 当风险增加时，必须有相应 更高的收益来补偿。期望收益相同，方差越小的投资对象，满足程度越高：同样， 方差相同期望收益越大的投资对象，满足程度高。而风险偏好者，对风险毫不在 第二章准备知识 意，只关心期望收益率。风险中立者，无差异曲线呈水平状态，期望值越高，满 足度越大。 2 1 4 3 最优组合的选取 投资者最满意的投资组合的解在有效边界上。投资者要确定最优投资组合， 关键是依据投资者的偏好，对收益和风险作以权衡，在有效边界曲线上按照自身 的风险偏好选择一种使其期望效用最大化的投资组合。在上节中我们已分析了用 无差异曲线( i d c ) 来表示投资者的风险偏好。按照古典经济学的分析，无差异 曲线是用均值一方差来表现风险一回报率相互替换的大小和形式的，在同一条曲 线上的各点投资者的效用相同，也可称其为等效用曲线。它用于表示投资者对于 风险规避的态度。投资者要求其投资组合的效用最大化，因此，无差异曲线与有 效边界的切点即为投资者效用最大的投资组合( 如图2 4 所示) 。 a 图2 4 有效前沿上的最优投资组合选择 2 1 4 4 最优化投资组合步骤 由上述分析，我们可以将选择最优化投资组合的决策分为三个步骤：证券分 析、组合分析和组合选择。 证券分析要求对证券( 股票、债券等) 未来前景进行预测。这些预测必须同 时考虑不确定性和相互关系。 组合分析是对于投资组合的预测。它仅要求技术性的技巧，以组合的预期收 益率和方差的形式从证券分析的结果中得出组合的预测。其目的是发现有效组合 集及相应的有效边界。 组合选择是在了解一个特殊投资人偏好的前提下，从组合分析得出的有效边 界上找出最优化的投资组合。 1 4 第二章准备知识 2 1 5 马柯维茨均值一方差模型 2 1 5 1 均值一方差模型的描述 m a r k o w i t z 的组合投资思想被投资者广泛接受，但他的定量模型是建立在一 系列严格的假设基础之上的模型的假设条件包括： ( 1 ) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券内在经济价值，每个投资 者都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收益率及其标准差。 ( 2 ) 证券投资者的目标是：在给定风险上收益最大，或者在给定收益水平 上风险最低，就是说，投资者都是风险避免型的。 ( 3 ) 证券投资者以期望收益率以及收益率的方差作为选择投资方案的依 据，如果要他们选择风险( 方差) 较高的方案，他们都要求有额外的投资收益作 为补偿。 ( 4 ) 各种证券的收益率之间有一定的相关性，它们之间的相关程度可以用 相关系数或者收益率之间的协方差来表示。 ( 5 ) 每种证券的收益率都服从正态分布。 ( 6 ) 每一个资产都是无限可分的，这意味着，如果投资者愿意的话，可以 购买一个股份的一部分。 ( 7 ) 投资者可以以一个无风险利率贷出一个无风险利率( 即投资) 或借八 资金。 ( 8 ) 税收和交易成本均忽略不计。 由此，马柯维茨均值方差模型描述如下：设有n 种不同的风险资产，肛，表 示第i 种证券的平均收益率o = 1 , 2 ，n ) ，t 为第趼十风险资产在组合中的投资比 例，且善鼍2 1 ，r 为投资者的预期收益即，2 著h 勺为资产和j 的协方 差( f ，= 1 , 2 ，n ) 。则m a r k o w i t z 优化模型为： m i n 0 2 5 p 2 2 磊叩丙 f - ， 酗驴r 铲1 石。o ，iz 1 , 2 ，一，h 或 m a x r 5 酗肛 酗x ? + 荟咿焉叫。 s j 了五= 1 i 钉 x 0 ，f = 1 , 2 ，- 一，n 第_ _ 二章准备知识 2 1 5 2 模型的局限性 尽管马克维茨的均值一方差模型简单易懂，理论成熟，可是在实际生活中， 人们更常用的是马柯维茨现代资产组合理论的思想而不是他的模型。这源于马柯 维茨模型是建立在定的假设基础上的理论化模型。理论化模型本身就是对一个 具体问题的抽象化，是一种描述制定决策的方式，是对投资者行为的指导。它将 问题所涉及的所有关系清晰化，并且任何可能变化的含义都被精确决定。因而在 建立模型时，必须集中在相对较少的因素上，即最重要的决定性因素。而现实中， 任何问题的分析都是绝对复杂的，对可想象的能影响结果的所有因素进行分析是 极其困难的。 m a r k o w i t z 均值方差模型的成立有若干前提假设。这些假设勾勒出一个 异于现实的理想完全市场。在这个市场里不存在非对称性，流动没有摩擦，投资 者无论是预期还是行为均保持一致，市场中即使偶尔出现非均衡现象其运作机制 也会很快将之消除而使市场始终处于动态均衡状态。那么，投资组合理论描绘出 这样一个市场的原因何在呢? m a r k o w i t z 假定市场中每种证券的收益率都服从正 态分布上，以收益率的期望均值代表证券的未来收益，以收益率的方差代表证券 的风险，并且各种证券的收益率间具有相关性，并用相关系数来表示。这些假设 使得每个资产组合均可以用两个数字特征：期望均值和方差来唯一描述( 具有相 同期望均值和方差的组合被看作是同一种组合，若二者之中有一个数字特征相异 则被看作不同的组合) 。因为正态分布是可以完全由这两个指标来描述的，从而 由资产组合的方差可以说明分散投资可降低风险。除此之外，m a r k o w i t z 还假定 投资者的目标是风险最小化的同时使收益达到最大。为保证这个目标的实现，市 场被假定为没有税收和交易成本，资金与信息流动不受限制，资产可任意分割的 市场。在这些条件下m a r k o w i t z 建立了均值一方差模型，得出了可供投资者进行 资产组合选择的有效边界。 随着组合投资模型的发展和实践，人们逐渐认识到以完全市场( 一个完全市 场是指高效、对称、流动和没有摩擦并且投资者可不受阻碍地实现各种目标的市 场) 为前提的m a r k o w i t z 组合理论和模型，过分简化，忽略了现实投资过程中多 种摩擦因素的影响，使得理论分析与实际问题决策存在较明显的差距，从而在实 际应用中有着明显的局限性。具体分析如下： 首先，该模型认为预期收益和风险的估计是对组证券实际收益和风险的正 确度量。相关系数也是对未来关系的正确反映，并且这种关联具有相对稳定性， 并假定服从正态分布。由此，模型可根据以往各种证券之间的关联方式和关联程 度来推测它们未来的关联情况。而现实中，受投资者之间博弈的影响，证券之间 的关联情况常常会发生较大的变化，这使得通过以往数据计算出来的证券收益率 第二二章准舟知识 的协方差矩阵未必能够代表未来的情况。而且，历史的数字资料并不能准确反映 未来的收益和风险的状况，一种证券的各种变量也会随时间的推移不停地变化。 况且，大量的实证分析都已表明无论是收益率的正态性还是方差的存在都是值得 怀疑的。此外，在现实市场运作中，正态分布理论与实际是有出入的，即正态分 布理论对市场价格运动的描述方式是不完全充分的。对于一个有效市场，资本的 价格运动具备尖顶胖尾特征，若以正态分布为描述工具会存在着较大偏差。这些 因素都可能造成理论假定与现实的脱节。 其次，该模型用证券未来预期收益率变动的方差或标准差来度量风险的大 小。一方面，预期收益率和方差是不能完全反应一个资产组合收益率的分布，当 预期值和方差相同时，组合收益率的分布呈现多样化。而另一方面，对于投资者 来说，收益率高于预期收益率的部分并不算是风险，仅仅当收益率低于预期收益 率时才会造成损失，才有风险。但是由于方差和标准差在计算中的双