（应用数学专业论文）关于newton空间上一类泛函极小的正则性问题.pdf

摘要 n e w t o n 签瓣是s o b o l e v 蜜凌在度量奎阚申嚣推广，茭中上襟褒懿穰念饕筏了 梯度模的概念 本文研究了n e w t o n 空间中泛函 f ( “，9 。) = ，陬乳) ，其季巍c 让1 ，( “，乳) 曼鳐+ c f u i ，c o 极小的正则性问题，证明了谈极小属于d eg i o r g i 类和局部有界性并利用d eg i o r g i 送代骞畿证明檄小戆h s t d e r 鼹部连续煌。 关键词：n e w t o n 空间，d eg i o r g i 类，局部有界性，h s l d e r 局部连续 a b s t r a c t t h en e w t o ns p a c ei sag e n e r a l i z a t i o no ft h es o b o l e vs p a c ei nam e t r i cm e a - s u r es p a c e ，w h e r et h em o d u l u so ft h eg r a d i e n ti sr e p l a c e db yan o t i o no ft h eu p p e r g r a ，d i c n t i nt h i sa r t i c l eme x a m i n et h er e g u l a rp r o b l e n io ff u n c t i o n si nn e w t o ns p a c e t h a tm i n i m i z et h ef u n c t i o n a lf ( 毪乳) 一，( h ，乳) 每薛w i t h 鳐一e m ，( 嚣，乳) 鲋+ c m 9 f o rs o m ee 0 w ep r o v et h a tt h em i n i m i z e rb e l o n g st od eg i o r g ic l a s s a n dt h e np r o v et h a tt h em i n i m i z e ri sl o c a lb o u n d e da n dl o c a l l yh o l d e rc o n t i n u o u s u s i n gt h ed eg i o r g im e t h o d 。， k e y w o r d s ：n e w t o ns p a c e s ，d eg i o r g ic l a s s ， l o c a lb o u n d e d n c s s ；l o c a l i yh s l d e rc o n t i n u o u s l l 声明 本学位论文是我襁导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学谴论文中，除了麓以标注释致谢靛都分辨，不毽含蒺链入已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 掇嚣使尾过的毒耋辩。专我一露工佟的霜事鼹本学垃谂文锻遗的贡献均 已在论文巾作了明确的说明。 研究生签名： 酶乐加巧年石月刃日 学位论文使用授权声明 南京瑷互大学鸯投傈夺奉学经论文麓电子翻纸霞文掇，霹潋借阕 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权冀保存、借阕或上网公布本学位论文的全部或部努内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 第一章引言 关于s o b o l e v 空间的理论和应用巳有比较完善的研究，目前有这样一种发展趋 势即将s o b o l e v 空间推广到具有测度的度量空间上n e w t o n 空间是s o b o l e v 空 间在度量空间上的一种推广这种推广是借助于增加了的几个定义和条件例如， w l ，( n ) 中梯度的模替代成k ( q ) 中上梯度的概念；以及p a l m o s ta l lp a t h s ，p - 弱上梯度( p w e a ku p p e rg r a g i d e n t ) 等m i k k op e r e 在牛顿空间中探讨了比较 特殊的p - l a p l a c i a n 的特征值问题，证明特征函数的局部有界性，并且成功的利用 d eg i o r g i 方法验证了特征函数在牛顿空间中的h s l d e r 连续性通常来说，偏导 数在度量空间中是没有意义的，但是我们可以定义非负函数g 为函数u 的上梯度 若它满足i u ( z ) 一t 。( 可) l ，g d s ，其中r 为连接点。与点y 任意可求长路径， r 因此在e u c l i d e a n 集合中我们可以考虑光滑函数梯度的长度从而代替传统上对梯度 的研究【1 8 】上梯度最早出现在j h e i n o n e n 和p k o s k e l a 合著f r o ml o c a lt o g l o b a li nq u a s i c o n f o r m a ls t r u c t u r e s 及q u a s i c o n f o r m a lm a p si nm e t r i cs p a c e w i t hc o n t r o l l e dg e o m e t r y 【1 7 l 两篇文章中对拟保角映射舸研究 从偏微分学的角度来说，希望可以在n e w t o n 空间中建立起类似于s o b o l e v 空 间中完善的偏微分方程理论，众所周知，度量空间不具有微分结构，因此，在度量 空间中偏微分方程本身是否有意义就是一个问题，这就要求我们从其他角度，用其 他手段来考虑分析该空间中的偏微分问题 迄今为止，在n e w t o n 空间上研究偏微分方程所取得的进展甚微而且比较零散， 相关的研究可参考n a g e s w a r is h a n m u g a l i n g a m h a r m o n i cf u n c t i o no i lm e t r i c s p a c e s 及j u h ak i n n u n e n ，n a g e s w a r is h a n m u g a l i n g a m r e g u l a r i t yo f q u a s i m i n i m i z e r so nm e t r i cs p a c e s 1 2 1 1 等 特征在偏微分方程的理论中起着重要的作用例如在特征理论的基础上，d a r - b o u x 曾经给出积分两个自变量的二阶偏微分方程的强有力的方法，它把问题转化 为积分一个或多个常微分方程，包括了m o n g e ，l a p l a c e 和其他人的一些方法 在度量空间中研究偏微分方程通常是考虑其变分形式，这样就回避了偏微分方 程在度量空间空间中没有意义的问题 n a g e s w a r is h f m m u g a l i n g a m 在h a r m o n i cf u n c t i o no i lm e t r i cs p a c e s 吲 一文中提到解决经典d i r i c h l c t 问题的方法之一是求某类函数空间上的能量极小， 该能量与边值函数有关。 磷论文关予n e w t o n 黧阕上一类瑟瓣歉夺戆正嚣l 豫淘题 设训w 1 ，2 ( 舻) 为某围定边值函数，则关于w 的能嫩极小为，( u ) 一 n ，9 b ， 其中对函数的所有上梯度戢下确界，可以诋明若u 极小化该能量则 光滑且是方 程懿解，虽然程空阍中上述微分方程没有定义但在该空阕申寻求籀塞熬势毂枣是可 籽翁，这是个缀弯意愚静闷题。 在r e g u l a r i t yo fq u a s i m i n i m i z e r so nm e t r i cs p a c e s 2 1 1 一文中作者k i n n u n c n 、n a g e s w a r is h a n m u g a l i n g a m 同样也是采用变分濑米解决方程有意义与函数 宅间无微分络梅逮一矛蓐瓣+ 我鼹糍遘在w 1 。( 固中懿p - t a p l a c i a n 黪诬燕阕题是 籀如下的d i r i c h l e t 闻题： v p 托垒一v ( i v u t p 一2 ) v u = 一d i v ( 1 d u 9 2 d u ) 嚣a l 札l 一2 让珏q 强= o 珏a n 这一问题最早是在1 9 8 4 年由t h e l i n 研究的 p - l a p l a c i a n 第一特征值，即最小的正的特征值知一曷( 舛是对r a y l e i g h 商求 f1 w , l d x 下磺募褥爨静，簿b = ，2 弩；。弓j 巧晤攀实上这卜求下礴界离疆与童避d i r i c h l e t ”忽o ”6 问题在a = k 时是等价的。 m i k k op e r e 研究了功( q ) 中的p - l a p l a c i a n 特缀蘸阕题。利用燮努法寝上梯 凌定义了p - l p 1 a c i a n 第一褥缀毽与第一特征丞鼗。辩t qcx 楚骞雾区域， 1 p 。 极小的正则性问题，证明了该极小属于d eg i o r 舀类和局部有界性并利用d eg i o r g i 迭代方法证明极小的h s l d e r 局部连续性 3 第二章预备知识 ( x ，d ) 是一个完备的度量空间，且具有一个非负的正则b o r e f 测度p ，其中 测度“还是加倍的 1 1 ，即：任意开球b ( z ，r ) cx ，存在常数0 ，使得 卢( b ( z ，2 r ) ) 乱( b ( z ，r ) ) ，称c d 为测度p 的加倍常数记以上空间为( x ，d ，p ) ， 简记为x 2 1 上梯度( u p p e rg r a d i e n t s ) 定义11 1 2 l ，3 3 】设u ：x 一 一o 。，o c l 是一个函数，如果存在一个非负b o r e l 可 测函数9 ：xa o ，高 ，使得连接x 中两点z ，y 的任意可求长路径，y ：【口，6 】一x 有i u ( x ) 一1 5 ( x ) i 墨厂g d s ，则称9 为u 的上梯度 1 注1 2 【1 , 1 7 , 2 3 1 当u ( z ) = 札( z ) = 或1 5 ( x ) = u ( x ) = 一o 。时，定义1 1 5 ( x ) 一u ( z ) i = 定义1 3 1 2 1 2 11 曼p o 。，对一切满足- 厂g d s 1 的非负b o r e l 函数p ：x 一 f o ，o 。1 取下确界，其中，y 为r 中的可求长路径，称i n f ，矿虮为路径族r 的p 模， px 记为r o o d 。i 、 定义1 4 i 2 l 若由非常数的路径组成的集合的p 模不为零，则称该集合具有 性质p - a l m o s ta l lp a t h s ，而称该集合的路径为p - a l m o s ta l lp a t h s 定义1 5 f 2 1 1 2 q 在定义1 1 中，若i u ( z ) 一札( z ) j _ g d s 是对所有的p - a l m o s ta l l 1 p a t h s 吖成立，则称g 是u 的p 弱上梯度 定义1 6 1 n 1 ：记g 。为“的最小p 次可积上梯度，若g 为的“另个p - 弱上 梯度，有g 。gpa e ，当1 p ( 2 0 时，任意函数u 都存在最小的p 次可积上 梯度另一种定义我们在下一节给出，可参阅i l ，3 2 】_ 注1 7 1 2 ：1 ：acx 是b o r c l 集，u 在x a 中几乎处处为常数，若g 是“的 上梯度，则g x 是u 的p 弱上梯度，且u 在x a 中的最小p 弱梯度g 。几乎处 处等于零，其中x 是a 的特征函数 注1 8 【2 1 】；若在b o r e l 集a 中，函数u = p 一e ，则如= 如p a , e 4 硕士论文关于n e w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 2 2 牛顿空间n 1 护僻) 和n j 9 ) ( 1 p 1 时，由p ( x ) 的一致凸性，可知v u n 1 , 9 僻) 存在函 数g 。属于的p 弱上梯度全体的凸包，使得1 1 乳i l 护( x ) = i n f l l 9 i i m x ) ，其中对 u 的p 弱上梯度全体取下确界，显然乳是u 的个p 弱上梯度，称乳为i t 的最 小p - 弱上梯度另外，若g 是u 的另一个p 弱上梯度，则乳g ，芦口e 定义24 m 2 。驯集合f c x ，称i n f 忆i i 备- 州x ) 为f 的p - 容量，记为c p ( f ) ， 其中对所有满足u l f21 的u 嬲( x ) 取下确界 定义2 5 1 2 1 , 2 2 】v ecx 称函数u ：e 一【一，+ o 。】可扩展到x ，若存在函数 百n 1 , 9 ) 满足 ( 1 ) u = 矗pn e 在e 中 ( 2 ) 勺( z x e ：面( o ) o ) ) = 0 可扩展到x 的函数全体定义为积一( e ) 定义2 6 1 m , 2 2 1 在怫9 ( e ) 中定义如下等价关系i t u ，若在e 中i t = 芦口e ， 称等价类捌”( e ) 一为具有零边界值的n e w t o n 空间，记为埘。( e ) ，其上定义 范数ll i t i 矾，( f ) = 陋| | 霄- ，似) 注2 7 【3 2 】( 咭9 ( e ) ，”i l 晡，一) 及( 。”( x ) ，| 】i i 肌一( x ) ) 为b a n a c h 空间 5 硕士论文关于n e w t o n 空间上类泛函极小的正则性问题 2 3p o i n c a r d 不等式 定理31 1 1 6 , 2 1 , 2 ”设b ( y ，r ) 是x 中的一个球，z b ( v ，r ) 且0 r r q ，弱( t ，口) p o i n c a r d 不等式也成立，即存在c 0 ，一1 使得 c 孟t ，卜嘲z 一怖) c r ( 及百占厕厶州删“) ( 2 3 1 ) 成立，其中若q q 则1 o 哳。一) ；若g q 则1 ，b ( z ，r ) 为x 中的 任意球，u 为s ( z ，r ) 上的任意可积函数，g 为札上的任意上梯度 定理3 6 若弱( ，口) p o m c a r d 不等式成立，则对于任意t 1 q ，弱 ( t 1 ，吼) 一p o i n c a r d 不等式也成立 定理3 7 【2 l 】若在测度空间中弱( t ，口) p o i n c a r d 不等式成立，则弱( 1 ，口) 一p o i n c a r d 不等式也成立 6 硕士论文关于n e w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 2 4s o b o l e v 不等式 引理4 i 1 4 , 2 1 】x 是具有加倍测度的度量空间且满足弱( 1 ，g ) - p o i n c a r d 不等式， 其中若“1 ，”( x ) ，1 g 0 ) ，且p ( a ) ，y p ( b ( z ，r ) ) ，其中0 ，y 0 使得 ( 面南如，川锄) k 鲫( 捌高k ，脚删1 口 其中t ，r 同于定理3 4 中式2 3t ，c 仅依赖于及式2 3 1 中的c ，丁j 证明：由m i n k o w s k i 不等式及2 3 1 式有 ( 赢厶( 础) 坩d 肛) l t ( 丽杀弼- 止( 即) l u - - u b ( z , r ) i t 咖) + l “日( z ，r ) c r ( 习i 矗雨厶( z ，脚醒d p ) i q + l u e ( z , r ) i 由h 6 1 d e r 不等式 从而，有 l u b ( z ，础f ( 揣) ，一( 赢l ( 。，神l u 阳p ) k 7 1 1 4 ( 丽b 茆厶( 黜) l “怖) ( 1 7 1 一k ) ( 丽壶而厶( z d 肛) c r ( i 面吾厕厶( 幻鳄d 肛) k 又0 1 0 使得x 中的任意球b ( z ，励，其中0 r d m m ( x ) 3 及 任意“职。( b ( z ，r ) ) 有 币壶厕厶r ，卢) c r 及百占丽厶邱g ：d , ) l q 称该不等式为s o b o l e v 不等式 8 第三章牛顿空间中一类泛函极小的正则性 以下均假定芦是一个加倍的正则b o r e l 测度，从而任意非空开集的测度是正 值，单点集测度为零，任意有界集具有有限测度，且假定1 p o 。，度量测度空 间( x ，d ，p ) 满足( 1 ，口) 一p o i n c a r d 不等式，其中1 0 ， b ( z ，凰) cn 使得所有自0 及0 p 以下当z 为q 中固定点时，a z ( k ，r ) 简记为a ( k ，r ) 引理3 2 f 1 1 】，为 ，置】的非负有界函数，其中0st o n o 。若对于 t o t 0 , 0s0 1 ，a ，b 非负均为常数，则存在常数c = c ( o ，0 ) ，使得任意p r ，t o p 0 ，则u d g p ( q ) m i k k op c r e 在t h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h ep - l a p l a c i a ni nm e t r i cs p a c e s f 2 7 】中没有给出证明，以下我们采用d eg i o r g i 方法予以证明 证明：令0 凰掣，b ( z ，凰) n 且0 p ) 由于u 最小化y ( u ) 故 ， f ( u ) sf ( v ) = ，( “，9 。) d 芦，扣，蜘) d p 因为在f l b ( z ，r ) 及b ( z ，r ) ( ，r ) 中，v = u 所以 a ( k , r ) f ( 吣) 舡墨厶删m 舡 辛厶( ，r ) 鳄一 i “阳p 厶( k ，r ) ，( u ，g u ) d i z 9 硕士论文关于n e w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 厶( t ，r ) y ( v ，乳) 如 墨厶( k ，r ) 鳄+ ： 1 7 2 1 d , u = g 嚣d p s 鲥+ a l 训9 + l 札i d p( 3 2 ) j a ( k - 一j a ( a ，r ) 显然任意k r ，式( 3 2 ) 也成立在a ( k ，r ) 中u = u 目m k ) = u ( 1 一口) + 枇 因为 i a + b r 茎( 1 a i + i b l ) ”s2 p 一1 ( 1 a 1 9 + j 6 r ) 所以 f a ( k , n ) i ”i p d - _ c 厶删( 1 刊啊i p d # + c 厶神矿妒d p ( 3 3 ) 又在a ( k ，r ) 中口= u q ( u k ) = ( 1 一叩) ( u k ) + 故g 。( “一) 9 + ( 1 一v ) g 。pa e 【2 1 f m ( k ，_ r _ ) 夕：d 肛c 厶( k r ) ( u 一七) 9 9 ；d , u + cl ( k ，固( 1 一叩) 磁d p 南l ( r ) ( u k ) d , u + c 厶( ，哪( 1 一目) 9 9 ：d l z ( 3 4 ) 在不等式( 32 ) 两边均加上a 厶( ，r ) h 9 札，并将( 3 3 ) ，( 3 4 ) 代入式( 3 2 ) 有 上( 。，捌懿+ a i u l 9 咖币务厶( t 罔( u 一) d + c 厶忙( 1 一叶) 9 夕p d 肛 + c a 厶( t ，日( 1 一目) i u l 。p + c 1f a ( k ，r ) q 七9 4 p ( 3 5 ) + c 厶( ，_ r ：) 9 舡 由“= ( 1 一q ) 札+ q ( “一) + q 得 c i u l ”d p c a ( 1 一q ) 9 l “1 9 d p + c a 口”( u 一) 9 d 肛 j a ( k ，r ) j a ( k ，r )j a ( k ，r ) + c a r f , k p d # j a ( k ，励 ( 3 6 ) 硕士论文关于n e w t o n 空间上类泛函极小的正则性问题 将( 3 6 ) 代入( 3 5 ) 得 厶) 鳄+ a i u i ”中 碍丽c 厶( k ，r ) ( u k ) d 卢+ c 厶( k ，r ) ( 1 7 7 ) 域d p + c a 厶( 。r ) ( 1 一卵) 9 i u l 9 中 + c a 厶( k ，r ) y p k ”舡 + c a 厶( k ，r ) 矿m 一) 9 咖) 由h s l d c r 不等式得 l ( ，用矿扣一 ) ”如 厶( 五励( 9 托一) + ) 9 舡 ( 厶( z 用( g ( 让一舟) + ) d t t ) p t # ( b ( z ，r ) ) 1 一砒 由s o b o l c v 不等式得 即 ( ， ( i ( u 一尼) + ) t d # ) 吼茎c 俨置1gjs(z j ：) ( 。叫+ ) 咖p ( b ( z ，r ) ) 现“ ，励日( z 励 “ 、 ( 厶( 互r ) ( q ( u 一) + ) 蛳) 弘( b ( z ，r ) ) 1 珊 s c r p 止( ，r ) 鲒( “) 咖 = c 印厶( r ) 9 呱pu - k ) 蛳 从而由( 38 ) ，( 3 9 ) 得 厶( k 矿( u 一女) ”舡 c r 9 l ( ”) g ：( u - a ) m c 舒厶( k ，r ) 9 # ( u 一) 9 d p + c r p 厶( k ，r ) 鳄q ”中 蠢写f 厶( ，r ) ( 一) 9 咖+ c j 妒厶( ，r ) 9 ：d “ 1 1 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 g ) ( 3 1 0 ) 硕士论文关于n e w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 将式( 3 1 0 ) 代入式( 3 7 ) 得 厶( ，r ) 鳄+ a l “p 咖 i 亡矿厶( k ，_ r ) ( u 一) 如+ c 厶( t ，固( 1 一 ) 鳄中 + c a 厶( ，r ) ( 1 一口) i 1 9 d 肛 + 覆兰幕厶( k ，r ) ( “一p d t z + c a r pf a ( k 凡) 9 0 d 肛 + c a 厶( ) 矿k p d # = 丽：f 厶( 、r ) ( u 一尼p d , u + c 厶他勋( 1 一叩) ”北d p + c a f a ( r ) ( 1 一q ) 如+ c a r 9f a ( ，r ) 鳄咖 + c a f a ( k ，冗) 叩p k p d # 取风充分小，使得c 璐a 1 ，故当0 r 茎r o ，令= 1 一c r p a 有0 0 ，并同时除以q 得 厶( 女，p ) 鲥十a i u l ”中 曼厶( 鳄十a i u 9 咖 s 南l ( 脚( u k ) p d 灿 + c f a ) ( 1 一目) ”( 鳄+ a ) 咖 ( 3 1 2 ) + c a 厶( ，r ) 女”中 = 丽丽c厶( k ，r ) ( u 一七) ”d p + el ( k ，丑) ( k ，p ) 鳄+ a i “i d 芦 + c x k p l z ( a ( k ，r ) ) 堡主堡苤 羞量盟! ! ! 婴窒间占二鲞堡塑墼尘塑垩型壁塑星 不等式( 3 1 2 ) 两边同加上c 厶( ，p ) 鳄+ ；q u l p d 肛再同时除以1 + c 得 厶( ，p ) 鳄+ a i u 附越 s 南厶( ，r ) 0 一) 咖十彘厶( 女r ) 鳄+ a m ，蛳 + c a 舻卢( a ( ，兄) ) 对于v r ：0 0 ， b l 若z o c t b 一1 血2 贝0 。，“sb 一幅。o 定理3 5 设q 为x 中的开子集，z n ，0 ，口是方程。( a + 1 ) ：1 - p 的正根，其中t p 是s o b o l e v 常数，若u d g v ( n ) ，则存在常数c 0 和 有 0 凰s r a i n 1 ，d i a m ( x ) 3 ，使得任意o p 是s o b o l e v 常数，若u 啊。( n ) 且u 和一u 最小化形如 f ( “) = l f ( u ，9 。) m 的范函，其中北一a u psf ( u ，醒) 醒+ a 扩，a 0 ，则 存在常数c 0 和b ( z ，r o ) cq ，其中0 m i n 1 ，d i a m ( x ) 3 ，使得任意 计：0 ) 由定理3 3 及定理3 5 知e s 8 癸p l u lsc ( 币玎瓦1 葡i 厶( z ，岛) l u l 9 舡) i o o ，从 b z ，托沈) 而x 有意义 由定理3 3 中式( 3 2 ) 知 上( 却，鳄如墨上( 啪) 鳄如+ z ( ，a m d # + a x p p ( a ( ，r ) ) ( 3 1 3 ) 在a ( k ，r ) 中u = “一目( “一) = ( 1 一q ) ( u k ) + 七 因为 l n + 酬9 ( 1 a i + i b l ) ”s2 p - 1 ( 1 a l + l h i ) 所以 k 州 8 p sc k 用( 1 一忡一2 ) v d f z + c f a ( t 舻i ( 3 1 4 ) c 厶( ，r ) ( u k ) d p + c l k l ”p ( a ( ，r ) ) 1 4 硕士论文关于n e w t o n 空间上类泛函极小的正则性问题 又因为g v ( u k ) 9 q + ( 1 一q ) 鼬”，蜥5 南 所以 ，a ( k ，删鳄舡丽兰万厶( ，固( “一2 ) 9 舢+ c l ( k ，励( 1 一q ) 9 鳄 ( 3 1 5 ) = 面兰万厶( k ，r ) ( u 一七) d 芦+ c 厶( 女，趴 ( k ，讲鳄d p 将式( 3 1 4 ) ，式( 3 1 5 ) 代入式( 31 3 ) 得 j ( 罔鲐扯 墨南厶( ，r ) ( u 一七) 9 d 肛+ c 厶( ，r ) ( t ，p ) 鳄d 肛+ c a 厶( k r ) u 一七) 9 咖 + c a ( i 纠9 + 妒) 卢( a ( ，r ) ) 2 i 瓦! 万厶( k ，r ) u 一) 咖+ c 厶( 趴 ( ，p ) 鳄毗 + c x ( i k l 9 十妒) 肛( a ( 七，兄) ) 取x o = m a x ) ，i k i ) 有 l ( ，p ) g ：d , u l ( k ，励9 ：咖 t 瓦兰素厶( k ，j r ) ( 乱一) ”蛳+ c 厶( r ) a ( ，p ) 鲒如 + c ) 簖p ( a ( 七，r ) ) n n n 日, i r 2 u 上c l ( k ，p ) 懿中再除以1 + c 得 f a ( k , p ) g ：d ps 彘厶( 。，冗) 鳄d 肛+ 碍芒矛厶( 。，r ) ( “一) ，d p + + 铋3 p ( a ( k ，r ) ) v r ：0 0 ，则 存在常数c 0 和b ( z ，凰) cq ，其中0 0 与点z ，d eg i o r g i b ( z ，r 吡) 条件中的常数，p o i n c a x d 不等式中的常数，指数p ，q 以及 有关 证明：步骤1 ：令0 p h , 0 p 0 ，则 a ( k ，) 1 i 刍汗“( h ，p ) 兰f 南( h ，r ) ( 3 2 1 ) 所以 u ( k ，p ) 型掣警兰豸 丛( 口( ，p ) ) 1 一班“( ，r ) + c 舻瑞p ( b ( z ，r ) ) 碓一1 。( 2 ，r ) 2 一毗( 3 2 2 ) 堡垒笮警；2 坚( 口( h ，r ) ) 1 一毗u ( 九，r ) + c r p ) ( ：p ( b ( z ，r ) ) 2 , - l a ( k ，r ) 2 一啦 c 倒肛( b ( z ，r ) ) 啦一1 ( 再毒万+ 面焉晒) 。( h ，r ) i - p * u ( h ，r ) 事实上因为o ( 、 r ) 0 满足方程a ( o + 1 ) = 1 一吼， 贝。垂( 愚，p ) c r 9 p ( b ( z ，r ) ) 毗一1 ( i 再与乒+ i 芒砖) i 南币( ，劢1 + 。 ( 3 2 3 ) 步骤3 任意k o r 构造序列 k ) 和f 加) ，其中= + d 一n ， p 。= r 一+ n + ，d 0 为待定常数，在不等式( 3 2 3 ) 中取：昆。l ， h = 岛。，p = 风十1 ，r = 肌有 中( 七t t + l ，p n + 1 ) c p 嚣p ( 日( z ，p 。) ) 啪- 1 ( 薪= 去j 万+ - ，- - 苴_ ，) 蕊 可面西( k ，肌) c r 乍( b ( z ，r ) ) 啦一1 ( 南+ 旃丽杀咻洲“ = c 舻p ( b ( z ，r ) ) 啦1 ( 嚣+ 錾) 坐二：茹型西( k ，风) ，“ 1 ，所以2 v - 1 1 其中x o = m a x x ，l k t m i ) = x o ( k + 】) 1 9 硕士论文关于n c w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 若d 2x o r 。+ i r ，即( 驾i 旦) p 1 则有 圣( h + 。，p 。+ 。) e 舢( b ( z ，r ) ) 砒一1 ( 2 一+ 2 p 一- ) 兰! ：；竽中( k ，p 。) t + n = c 芦( b ( z ，r ) ) 毗 o ( n + 1 ) 扫+ o p ) 西( k ，肌) 1 + 。 令b = 2 p ( 1 + 刚， c = c 肛( b ( z ，r ) ) 毗一1 2 p 矿( 1 + a ) 则西( k + l ，p ，h 1 ) c b “西( k ，风) 1 + q 由引理3 5 ，若西( o ，p 0 ) = 垂( k o ，r ) c 一b 一1 舻 则西( + d ，) = 。l 。i r a 。4 ) ( k n ，陬) = 0 该式表明。( + d ，r 2 ) = 0 或者u ( k o 十d ，) = 0 ，又u ( k e + d ，) = 0 即为 a ( k o + d ，嘞) = 0 ，所以e s ss u pu ( 。) = k o 十d z 印( z 嘞) 以下确定d 值 步骤4 ：求d 由西( ，r ) 冬c - b 一妇知圣( ，兄) 一a e b l 盘= c 芦( b ( z ，r ) ) 啦一1 呈昱型兰学 故d 叩c “( b ( z ，r ) ) 啦一1 2 ( p + p a ) ( 1 + k ) 币( ，r ) a 即 c p ( b ( z ，r ) ) 啦一1 圣( ，r ) 。 d c i 上( b ( z ，r ) ) 撅a “一1 ( 。p ) 垂( ，r ) = c p ( b ( z ，r ) ) l ( 。) 一l ( 0 p ) ( ，a ( 札，圃姐一k o ) 9 d p ) i 芦( a ( ，r ) ) = c 芦( b ( z ，r ) ( a t ) 一l ，( 】+ + ( “( b ( z ，r ) ) 一- 厶( ”) ( ( “一k o ) + ) 一d p ) ( 躺黜) 因为a ( a + 1 ) = 1 - - 啦所以1 ( 。t ) 一1 ( ) + + = 0 ，为满足条件d x o r 0 其中x o = m a x x ，l k n + 1 1 ) 硕士论文关于n e w t o n 空间上类泛函极小的正则性闻题 l + l = l + d 一n i l 女1 i n 等价于d 拱r ，因为 0 2 l & o l r 拦击r 取旷= m a x 仅，2 b 胯今d 满足d 矿r ，则d 满足条件d x o r 取 a = c ( 卢c bc z ，r ，一1 上。鳓c u 一，a 卢) ( 黼) + r 从而ss u pu ( x ) o + d x e b ( z ) + c ( 肛c b c z ，r ，一1 z 。删似一，舡) k ( 嬲) + x + r 证毕 定理3 8 若u 满足定理3 3 中的条件，0 r 2 r ，m = m ( 2 r ) = 8 普! ! ! 、“( 茁) ，m2m ( 2 r ) = e s s i n fu ( z ) ，= 丝产，若p ( a ( ，冠) ) 2 b f z 2 h 1 、。 7 z 6 b ( z ，2 n ) 、7 。o 、7 7 7 p ( b ( z ，r ) ) 其中0 o 证明：步骤1 讹o h ， ( z ) 茎h 七 ( z ) 一hh u ( x ) 七 一hu ( z ) 2 1 硕士论文关于n e w t o n 空间上一类泛函极小的正则性问题 盥 ：艘： 下证( 一 ) p 一。p ( a ( ，r ) ) 。( p 一口) s+ 南( m h ) 丑p - q ( # ( a ( h ，r ) ) 一u ( a ( k ，r ) ) )s，r ) )。，一a ( 一 ，r ) ) 一，r ) ) ) 由s o b o l e v 不等式 ( 七一 ) p ( a ，r ) ) = ( 厶( r ) d p ) h ( 如( z r ) i 口i t d # ) c r p ( b ( z ，r ) ) 一( 厶( z ，r ) 鲥d 一) 1 4 = c r p ( b ( z ，r ) ) 一( 厶( r ) ( k ，用粥d p ) k 所以k ) 卢( a ( ，r ) ) 1 嚣s 。r 丑p - q 肛( b ( z ，r ) ) 挚( 趴忡) g q d , u ) 卫p - q 由h s l d e r 不等式得 l ( f 。，r ) ( k r ) g g d # s ( l ( h ，r ) a ( k ，r ) ( 粥) 。d p ) 4 ( j j ( h ，r ) 、 忙，脚d p ) p口p 一口 所以 ( 厶( h 趴a ( r ) g g d # ) 一9 曼( 厶( h r ) ( k ，r ) g ：d , u ) 一p - q ( # ( a ( h ，r ) ) 一p ( a ( k ，r ) ) ) ( 厶( k r ) 鳎d p ) - - 一一2 - - q ( 芦( a ( h ，r ) ) 一u ( a ( k ，r ) ) ) 即 f一1焉u(a(kkhr 1 1 褊 ( 一) p _ 。、，r ) ) 2 ( p q ) c r 嚣y p ( 配r ) ) 半( 固9 南 一9 p ( b ( z ，r ) ) p q ( j j r 19 嚣d 芦) p 一9 ( “( a ( ，r ) ) 一“( a ( 南，r ) ) ) 又因为 “一且) 鳄中 s 厶 。扛) k n 丑( z ，r ) 鳐一h d u + l ( 。】k n b ( z 且) o d # ， ( k r ) 9 ：如 由0 r 2 r s 及定理3 6 结论 9 2 堕兰墼一 羞至盟! ! ! 塑窒塑土= 差堡鱼堡型! 丝至型垡墼壁 ( a h ) p 丑- q 肛( a ( ，r ) ) 丑t ( p - q ) c r 丑p - q p ( 昭r ) ) 瞥( p ( 舷r ) ) 肛( 讹刚 。( 畚厶( 2 r ) ( “一) d p + c ) 罐p ( a ( ，2 冗) ) ) 一9 ，q c r 兰p ( b ( z ，r ) ) 喈( p ( 舷固) 一芦( 如固) ) ( 盎( m 一 ) ( a ( ，2 矗) ) + 顷似( ，2 r ) ) ) 南 其中x o = m a x x ，f f ，x + = m a x x ，2 f f 令h s ”，有m h m k 。= 2 - v - 1 0 s c ( u ，2 r ) 2 - 。- i c 2 ”+ 1 x r = c x 矗 所以x c 学 下证l h l 4 鲁6 讳舻( r 2 1 ) + 2 m h m 2 0 因为0 r 2 r 嘞m i n 1 ，出唧) 3 ) 兮r 2 1 0 时，可证h s 丽m ，事实上 = m 一1 m i - r 7 z c 2 叶1 m r ( 1 + r ) 2 计1 m r 当m 0 时，可证h 自。 i 事实上 局。= w 一m 否葺- _ m - c 2 ”+ 1 m r ( 1 一r ) 一2 ”+ 1 m r h i m - 广h 硕士论文关于堕! ! ! 竺窒闽土二耋望鱼墼尘丝垂型丝囹壑 又因为xsc 学所以矿c 学 又因为灿( a ( ，2 r ) ) u ( b ( z ，2 r ) ) 叫( b ( z ，固) 故 盥一址 ( 七一 ) 石二9 p ( a ( 七，月) ) 加一q 且p - - q 、，r c r p) ) 曾( t t ( a ( h ，r ) ) 一肛( a ( ，r ) ) )、，) ) ”一。( ，r ) ) 一肛( a ( ，r ) ) ) ( 斋( m 九