（应用数学专业论文）plaplace方程的奇异极限.pdf

摘 本文主要考虑含p l a p l a c e 算子的拟线性n e u m a n n 问题： d i v ( i v h i p 一2 v “) 一a m p 一1 + m g 一1 = 0 i n q ， “ o 丝：o a y 加q d 刀a q 的极小解当p _ l ，_ - o o 时的奇异极限，其中qc 础为光滑有界区域，以2 ，l p n ，l g o 为一参数。对妒w 1 p ( q ) ，妒o ， n p 定义： 特别的，当p = l 时， ( i v 妒r + l i 妒r ) c h 鲸广乒参岩碱等， 口0 玑卜妒。酪，锷半 其中l 脚i 出表示驴在q 上的全变差。 我们知道当l p 月时，这一有着丰富的数学物理背景的方程近年来已被广 泛研究，关于方程极小解的奇异极限问题也已有一些讨论。然而据作者所知，尚未 有文献对p = l 且l 一时的情形有过讨论。因此本文着重讨论了这一问题，考察 了q 1 _ 的极小元当p = l 且a o o 时的渐近性态。得到的主要结论是： 定理1设行2 ，l g o 是q 1 _ 的极小元，且i i q ) = l ，则 一 一_ 当a _ o o 时，有： ( i ) 蝴_ o 胁1 ( q ) ，从而有子列蝴，一o 口z ， 要 ( i i ) 厶i d “，i i 出_ + o o ，从而q 1 _ - + o o ， ( i i i )l i b ( q ) _ + 0 0 。 另一方面，已有的文献大多对l l 的情形入手，考察了上述方程在区 间上极小解的存在性、j f 贝u 性以及奇异极限，得到了一些在高维空间中尚不明确的新 现象，以及p 一1 时与高维情形有一定区别的极小解的h 6 l d e r 模估计。主要的结果 是： 定理2假设，l = l ，g l ，= ( 0 ，1 ) ，设 h p 为p l 时方程在，内的极小解序 列，知为j 内任意一点。则有： ( i ) 对o r m i n 劢，l 一翔l ，存在0 丁 o ，它们均仅依赖于 ，r ，使得 对l 乃；，o r 尺，成立 r + r f 吲p ，出a 一。1 ” j 【o r ( i i ) vl p 兰，v ( 口，扫) c c ，对。 l ，留 l ，设 即l 为方程的极小解序列，蝴为p _ l 时唧的奇 异极限，若满足 啪妒之以加r ( 弼- l ( 加“矿1 ( 石) ) 出， 则存在肘 o ，使得 砒= o 砌【o 击) u ( 1 一击，l 】 关键词： p l a p i a c e 算子； 极小解；奇异极限；渐近性态；j 下则性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h es i n g u l a rl i m i to ft h em i n i m a ls o i u t i o n s ，a sp l ，a o o ，o ft h eq u a s i l i n e a rn e u m a n np r o b l e mi n v o l v i n gp - l a p l a c eo p e r a t o r d i v ( | v “i 矿2 v h ) 一a “尹1 + h g 一1 = o砌q h 0 抛 ，、 瓦2 o 折q d 仃a q w h e r e 刚s ab o u n d e d s 嗍t hd o m a i ni n 瞅，l 2 ，l p 钏，l 口 0i sap a r a m e t e r d e f i n ef o r 妒w 1 尸( q ) ，妒o ， l np a r t i c u i a r ，w h e np = l ，鼬2 烀豢警， 甄卜妒。黪，訾 w h e r e 厶l d 妒l 出i st l l et o t a lv 撕a t i o no f 妒i nq b e c a u s et h ee q u a t i o nh a sm a n yp h y s i c a la p p l i c a t i o n s ，t 1 1 ec a s ew h e r el p nh a s b e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e dr e c e n t 】y ，舔w e l la st h es i n g u l a rl i m i t0 fi t sm i n i m a ls o l u t i o n s h o w e v e r ，w h e np = la n d - ，l i t t l ei sk n o w n w ec o n s i d e rt h i sp r o b l e mi nt h ef i r s t p a no ft h i sp a p e ra n di n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h em i n i m i z e ro fq l 小t h em a i n r e s u l ti st h ef o l l o w i n g t h e 。r e m l a s s 啪e 刀2 ，l 9 i 兰了，j f 蝴j s 曲e m j 力j m j z e r o ，q a n di i 蝴i b f q ) = l ，m e na s 五，w ej l a v e ： 蝴- o 拥 l 1 ( q ) ，s o j 1 e r e 括as u 6 s e q u e n c e “ 一0口p ， f 脚 厶i d 蝴l d _ _ + o o ，j f f o j j o w sq m _ + ， 伍砂陋 l l * ( n ) _ + o o 1 v v o nt h eo t h e rh a n d ，t h ec a s el la n df i n ds o m en c w p h e n o m e n aw h i c hi sn o tl m o w na s ，l 2 a tt h es a m et i m e ，w eg e tah 6 l d e re s t i m a t eo f t h em i n i m a ls o l u t i o nw h e npn e a rl ，w h i c hi sd i 仃e r e n tf r o m 刀2 t h em a i nr e s u l t sa r et h e f o l l o w i n g t h e o r e m2 a s s u m e 月 1 ，曰 l ，= 【o ，l 】，h j 口j s 曲em j n 厕a js o j u “o n 咖e 力p 1 翔j s a na r b i t r a r yp o i n ti n1 t h e nw eh a v e ( i ) f o r o r m i n 怕，l 一劢 ，曲e r e e x j s f 0 1 - od 印即d i 愕。力陟o n l ，冗，s u 曲 f o rl p j ；，o r 兄矗b 0 j d s 曲a f t 虮删+ 1 ( i i ) vl p 主，v ( 啪) c c ，f o r 。 1 ，p l ，曰 1 ，“pj s 曲e 脚衲f m a js 川u d o nw h e n p l ，a n d 蝴j s m es i n g u l a f l i m i to f h pa sp 1 h u ps a t i s l i e s h ；( 妒2 “；( 加r ( 弼- 】( 力一“芗训出 乃e n 曲e _ r ee x 括f sm o s u c ht f ，a f d 蝴= o 切【o ，击) u ( 1 一击1 】 k e yw o r d s ：p l a p l a c eo p e r a t o r ； m i n i m a ls o j u t i o n ； s i n g u l a fl i m i t ；a s y m p t o t i c b e h a v i o r ；r e g u l 撕t y 学位论文独创性声明 本人所呈炎的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 作者签名：独孟鱼 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位 论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：主丝整 日期：坦芷：互 导师签名： 同期： 1 1 引言 第一章绪论弟一早珀了匕 本文主要考察如下拟线性n e u m a n n 问题的极小解当p l ，a _ o o 时的奇异极限： d i v ( 1 v “i p 一2 v “) 一a h p 一1 + ，一1 = 0 加 q ， “ o a h n 瓦2 u 加q ( 1 1 ) 册讹 其中q 为中的光滑有界区域，门2 ，1 p ，l ，1 g o 为一参数。矿：旦是s o b o l e v 嵌入w 1 ，p ( q ) qp ( q ) 的临界指 数，当1 o 是方程( 1 1 ) 的一个弱解，即v 妒w 1 p ( q ) ，妒o ， 上( 1 乳i 坤孔v 妒+ 砌产1 妒) 出3 上纩1 如 且“使得q p _ 可达，我们就称其为( 1 1 ) 的一个极小解或极小能量解，后者是因为它 在( 1 1 ) 的所有解中具有最小能量： 厶。( “) = 刍上 i v h i p + a i “i p d x 一昙j 三i h i 口d x 换言之，( 1 1 ) 的极小解“就是方程所对应的泛函厶 ( h ) 的临界点。 当p = 2 时，( 1 1 ) 是作为数学生物学中模式构成( p a t t e mf o n n a t i o n ) 的原型， 即g i e r e r - m e i i l h a r d t 系统的平稳方程被提出的，正因为这类方程有着丰富的生物 数学背景及其它的物理应用，近二十年米倍受数学家们的关注并对此研究取得了一 系列重要的成果。作为p l a p l a c e 算子，由特殊的p = 2 发展到一般的l p 玎，它在 弹性薄膜问题、数字图像处理、牛顿流体力学等不同领域有着更为丰富的数学物理 应用。与此同时，方程本身也由半线性椭圆方程变为拟线性椭圆方程，在研究方法 上也有了一定的变化。尤其是当p l 或p 一时，更是有着本质的不同。比如文 献【p l 】中证明了l p 玎时，方程的极小解是w 1 p ( q ) 中的函数，而当p _ l 时，方 程原本在s o b o l e v 空间中的极小解序列将收敛到一个b v 空间中的函数。这种因p 的变 化而产生的方程性质本质上的差别正是我们对此感兴趣的原因之一。 另一方面，从形如( 1 1 ) 的这一方程形式而言，研究这类方程的动机之一是为了解 释拟线性椭圆方程与s o b o l e v 嵌入不等式之间的联系。在p = 1 的特殊情形下，方程与 等周不等式更是有着紧密的联系。而且方程自身有着很好的变分结构，便于我们用常 规的变分方法进行考察。众所周知，在p = 2 的情形中，当 一o o 时，方程的极小解 会发生集中现象，如w 一m n i 和i 儆a g j 在文献f n t l 】中所证：p = 2 时( 1 1 ) 的极小解 第一幸绪论 3 的最大值点当l 一时趋于a q 上平均曲率最大的点。对一般的l p 订，方程的极 小解也有着类似的集中现象。而对p = l ，l _ 的情形，是否有同样的集中现象目前 仍不清楚。 注意到当p = l 时方程本身已不再有明确的表达形式，因此我们将方程的极小解 序列当p _ l 时的极限函数称为其奇异极限。关于p l a p l a c e 方程极小解的奇异极限问 题近年米已有一些讨论，其中文献【p l 】中讨论了g = p + 时方程的极小解当p _ l 时的 奇异极限。x 一b p a n 在该文中证明了存在l = a ( 以，q ) ，使得当o l l 时，( 1 1 ) 的 极小解“p 当p l 时在l 音( q ) 中收敛到一个有界变差函数蝴曰y ( q ) ，但当l 大时， 情况尚不明了。本文的工作是受文献【p l 】的启发而丌展的，我们的出发点是考察上 述有界变差函数蝴在l _ o o 时函数性态的变化情况及变化趋势。在现有文献中，大 多只是对固定的a ，令p l ，或p _ ；或固定l p ，l ，令a o o 来考察方程解 的渐近性态。据作者所知，尚未有文献对p = 1 ，a _ 的情形进行讨论。因此本文 从g 为次临界指数的情形入手，考察了q 1 _ 的极小元当p = l ，且a 一时的渐近性 态。得到的主要结论是： 定理l 设，l 2 ，1 g o 是q 1 _ 的极小元，且 ( q ) = 1 ，则一 一 当a _ 时，有： ( i )蝴_ o 加l 1 ( q ) ，从而有子列蝴一0 口z ， ( i i ) 厶l d 蝴i 出_ + o o ，从而q 1 _ + o o ， ( i i i )i i “_ i i z ，f n ) + 。 从这一结论中可以看出，当p = l ，a _ 时，q 】。的极小元虽在q 上几乎处处趋 于o ，但其本性上确界却趋于o o 。这与集中现象有一定的相似之处。 另一方面，已有的文献大多对l l 的情形入手，考察了上述方程在区 问上极小解的存在性、正则性以及奇异极限，得到了一些在高维空间中尚不明确的 新现象，以及p = l 时与高维情形有一定区别的极小解的h 6 l d e r 模估计。主要的结果 是： 定理2 假设订= l ，g l ，= ( o ，1 ) ，设 为p l 时方程在，内的极小解序 第一章绪论 4 列，均为，内任意一点。则有： ( i ) 对o 尺 m i n 翔，l 一知 ，存在o 丁 0 ，它们均仅依赖于l ，尺，使得 对l p j i ，o r 尺，成立 f吲p 协a 尸，- l ” ( i i ) vl p s 三，v ( 口易) c c ，对。 丁 0 与p 无关，使得 d ， ( 。扫) c 这一结论与文献【p 1 】中当以= 1 时相应的估计： ，、勾+ ， f吲乃出a 厂1 。胪7 相比，注意到l p + 1 - l ，设 j 为方程的极小解序列，蝴为p l 时“p 的奇 异极限，若唧满足 啪妒以加r ( 僻- l ( 垆h 芗出 则存在肘 o ，使得 d 蝴= o 拥【o 击) u ( 1 一击，1 】 由正文中的证明可知，常数解不是极小解。然而上述结论指出：若h 口满足( 木) ， 则h 。在区间端点的小邻域内恒为常数。 本文共分为四个部分，第一部分主要介绍相关背景、已有结论以及预备知识。第 二部分在一般区域中考察含次临界指数项的p l a p l a c e 方程。首先证明了在p ，：l 均固 定时，方程极小解的存在性与整体正则性；然后证明了五固定，p l 时极小解奇异 极限的存在性；最后考察了p = l ，a o o 时上述奇异极限的渐近性态。第三部分则考 第一章绪论5 察了，l = 1 p l 的特殊情形，结构安排与第二部分类似。第四部分是对全文的总结以 及对有待进一步研究的问题的展望。 1 2文献综述 近年来，p l a p l a c e 方程因其广泛的物理应用受到了诸多数学家的关注，并对此研 究取得了相当多的成果。下面我们将简要回顾一些与p l a p l a c e 方程的奇异极限及其 性质有关的已有结论。 首先我们回顾与p l 时的奇异极限有关的部分结论。 在文献中【p l 】中x 一b p a n 讨论了口：旦时方程的极小解当p _ l 时的奇异 月一p 极限。证明了存在 = l ( 月，q ) ，使得当0 a a 时，( 1 1 ) 的极小解“口当p - l 时 在l 舟( q ) 中收敛到一个有界变差函数蝴b y ( q ) nl 。( q ) 。 若方程形如： ：i 二：叫p 2 v + 如“尹l = 。：q ( 1 6 ) 此时方程是固定在边界a q 上的非线性弹性薄膜有关物理现象的数学模型，“( 柚表示 其垂直位移，而其形变能则用gi v 圳p 出来表示。b k a w o h l 等在文献【陋l n ，k s 】以 及f s c h u r i c h t 在文献f s h 】中研究了上述p l a p l a c e 特征值问题当p l 时的渐近性 态，得到( 1 6 ) 的特征函数列的极限性质，他们通过定义一个新的范数来取代瞅中 的e u c j i d e a n 范数，利用c h e e g e r 集、凸性分析等工具，得到如下结论： 当p - l 时，( 1 6 ) 的极限方程可形式地表示为 拥q o 九施 此时( 1 6 ) 的特征函数列唧在1 ( q ) 中收敛于q 的子集c 1 2 上的特征函数疋c n ，其 c ；五 i i 旦m “0 弓 = 一 “ 第一章绪论 6 中为q 的c h e e g e r 集，它使得 姻) = 。删瓤舭q 篱 | d 肌t d o ， d c ql 上川 达到极小。这罩i a d i 与i d l 分别为a d 和d 的，l l 维和刀维l e b e s g u e 测度。 下面我们回顾p _ o o 时的相关结论。 m b e o n i 等在文献f b j k ，b k 】中研究了上述p l a p l a c e 特征值问题( 1 6 ) 当p _ o o 时的奇异极限，证明了p _ o o 时( 1 6 ) 的极限方程为 m i n i v 圳一人。h ，一o o “ = o( 1 7 ) 其中。h = f 蜥，“- 即人。= l i m l y p 。而尽管函数d ( j ，a q ) 使得i i v “忆l 。达到 d 。 极小，但它却并非总是( 1 7 ) 的黏性解，文献【j l 】中也对有类似问题的探讨。此 外，在文献f g j 】中，作者讨论了无边界的紧黎曼流形上p l a p l a c e 算子的第一特征 值当p _ 时的奇异极限；在文献【b l ，a s 】中，m b e l l o n i 、g a r o n s s o n 等对o o l a p l a c e 算子的黏性解的性质进行了一系列的考察，其中仍有很多有趣的问题有待研 究。 接下来我们回顾被广泛研究的l - o o 时解的渐近性态的相关结论。 当p = 2 时，w 一m n i 和i 眦a g i 在文献【n t l ，n t 2 】中证明了当l o o 时，方程 的极小解蝴只有一个( 局部) 极大值点n 并且一a q 。另外，只一定位于拉最弯曲 的地方，即当l _ o o 时，月( n ) 一m a x 何( j p ) ，这里日( 尸) 表示a q 在点p 处的平均曲率。 p ，儿 具体的说，当a 一时，除了点n 之外，蝴一定在五上处处趋于o 。这样的点n 叫做 尖峰点( p e a k s 或s p i k e s ) 。 当l p 门，刀2 ，g = p 时，x 一b p a n 在文献【p l 】中考察a 一时极小解的渐 近性态，得到如下结论：设蝴是方程( 1 1 ) 的极小解，而五是蝴的最大值点，则 当l 一时， ( i ) q p ，_ _ ( ) 州”s p ，其中 驴叫等厂 r ( 暑) r ( 盯+ - 一昙) r ( 以) r ( - + 兰) 第一章绪论 7 是s o b o l e v 嵌入小等式： s p 【上叫矿出r 上i v 出，妒g c 科， 中的最佳常数。 ( i i ) i i ， | i * i q ) l 一”一p ) p + ( i i i ) 疥s ，( 砀a q ) = d ( 阮) ，仍= ( 1 l h _ l i * i q ) ) 一p ，”一p ) ( i v ) 蝴在q 内处处趋于零。 此外，有文献研究表明若边界条件发生变化，解的渐近性态也会相应的产生变化。 其中e m e r s o na m a b r e u a 等在文献【a m m 】中探讨了非线性边界条件下方程解的有关 情况。此时( 1 1 ) 的边界条件改为 酬坤挲：妒o 他们证明了如下结论：对p q o ，使得： ( i ) 若a 【a ，o o ) ，则方程有一极小正解蝴；若l l ，则方程无正解。 ( i i ) 若 【a ，o o ) ，则蝴关于a 是递减的。 ( j i i ) 蝴在w 1 p ( q ) 中一致有界，且a _ 时，蝴_ o 。 ( i v ) 对每个p g p 存在五( a + ，o o ) ，g ( p ，p ) ，方程至少有两个正解。 最后我们简要回顾与解的正则性有关的部分已有结论。 e d i b e n e d e t t o 在文献【d i 】以及pt o l k s d o r f 在文献【t o 】中对含p l a p l a c e 算子的方 程解的内部c 1 + 口( 0 口 1 ) 估计作出了详细的推导。这一结论在含p l 印l a c e 算子的 方程解的内部正则性估计中得到了广泛的应用。 值得指出的是当p = l 时，上述结论不再适用。x b p a n 在文献【p l 】中运 用m o n y 定理，证明了p = l 时的奇异极限在q 内是局部h 6 l d e r 连续的。同时， 在该文献中还证明了当l p 月时，方程的极小解在a q 上点的周围邻域内也是局 部h 6 l d e r 连续的，从而得到了方程的极小解属于c 1 + 口( q ) ( o 口 o加q h = 0伽a q 众所周知，因p l a p l a c e 算子在临界集 z = j q ，d h ( 神= 0 l 8 ( 1 8 ) 上是奇异的( 1 p 2 ) ，方程( 1 8 ) 的解一般只能足c 1 口的( 0 0 ) ， 则l | c 2 ( q o ) 。 1 3 预备知识 本节中我们给出一些基本的定理，这些定理将有助于我们建立本文的主要结论。 定理1 1 ( 叫p ( q ) 中的p o i n c 疵不等式)设q 是中的有界开集，h 吣+ p ( q ) ，l p 行则存在常数s = s ( p ，g ，九，q ) ，使得对v q f l ，矿】， s 陋i i f n ) s d h l p q ) 第一章绪论 定理1 2 ( 带s 的y b u n g 不等式)设l o ，0 o ，考察( 1 1 ) 的极小解当p l 时的奇异极限的存在性，最后考察了p = l 时的 极小当a - o o 时的渐近性态。其中存在性的证明采用的是常规的变分方法。在正则性 的证明过程中，我们首先建立解的r 估计，这一估计当p = 2 时已由【n 网中给 出。【p 1 】中对一般的l p 0 均可。据作者所 知，在本章的第三部分：p = 1 ，a o o 时极小的渐近性态迄今为止未被讨论过。 2 1 1 p ，z ，极小解的存在性与正则性 定理2 1 假设l p ，l ，力2 ，l o ， 且h p c 1 + 。( q ) ，口= 口( p ，五，九，q ) ( o ，1 ) 。 证明：( 一)存在性 对l p 0 ，令 钿= 煦 上c 陬nw ，出) 其中 朋= “w 1 p ( q ) ：h o ，删朋= 1 ) 1 0 第二章高维次临界指数恃形 l j 则方程( 1 1 ) 的极小解对应到易- 的极小元，事实上，若“o m 使易 可达，则h = 四h o 即为( 1 1 ) 的极小解。这足i 闰为h 满足： 因此只需证明：如， 可达。 引一舻砌胁前j ! ：似 上 l 呻一l 品 上 一= o 易知：o 易a + o o 其中易_ o 足显然的。取比o = 唰一1 佃为检验函数，满 足i i 坳o ) = l ，则： lp 。j ：弼出= 删即k 慨 设 h 斥n 朋是易_ 的极小化序列，即： ( i ) 0 蚴i q ) = l ； ( i i ) 厶( i v “矿+ a i “，) 出= 易_ + 口( 1 ) ，歹_ ( 上( 酬p 刊州p _ 万m i n l 帅川哪妫 1 l “川w l 护( n ) m i n l ，a _ + d ( 1 ) + 1 “ 在w 1 p ( q ) 中有界。故存在 “ 的子列，仍记为 “小以及即w 1 p ( q ) ，使 得当_ 一时： “j 一即 f 玎 w 1 p ( q ) l g 0 ，使得如_ 可达，从而( 1 1 ) 的极小解存在。 设w 1 p ( q ) 是方程( 1 1 ) 的极小弱解。为了证明c 1 + 。( 五) ，关键是要 证明即r ( q ) 。利用下面的引理2 2 ，我们可以证明r ( q ) ，然后运用文 献f d i ，t o 】中的结论，便可以得到坳q ? ( q ) a 而在边界点邻域内的正则性可参考 下面给出方程( 1 1 ) 当1 p 盯，l 2 ，l o ，存在 o ，使得 对任一知五，都成立 l 饥p 证明：固定卢 l ，七 o ，定义g c 1 ( 【o ，+ o o ) ，r ) 及凡( “) 如下： f 尹 o ，七 g ( f ) = i 胪_ l f f 七 胁) = 小如妒如 第二章高维次临界指数情形 则g ，凡有如下性质： ( i ) ( i i ) 凡( 1 f ) “一( “) = 圳g ：( h ) i p ； “g ：( h ) s 膨女( h ) 。 以下证明过程中f i 妨假设：p l 为一递增序列，且届_ ( f _ o o ) 。利 用( 2 4 ) 式进行迭代，可得 ，、。， l 矿阿出 j o 蜮甲 蜮垆 1 噼尸 铲q l i 胪，9 f q ) 心f 式 ( p 旧彳1 ( 1 ( 雎，尸1 【上泸- l p 出尹 训峨产( p 卵彳 一“嘲噼尹雠。户噼尸，( 上删彳 删啪+ 删鹏印产等丑 圭圳l p i n ) ( ( 卢1 ) 断 第二章高维次临界指数情形 舻掣 = 堕号竽塑= 喜舞 。 i 1 当f _ o o 时，口j ，易i 均收敛 j h l o 。( q ) 口 注释2 3 定理2 1 的证明过程中对极小解的假设：p 忆i q ) = l 是可行的，这是因为： 若怕p q ) l ，则可将其标准化为：而= 足，使得厶l 而p 出= l ，则露满足方程： d 如( i 可五| 口i p 一2 v 露) 一l 而p 一1 + p 露9 1 = o f 胛 q ， 露 o 加q ， 竽：o 伽讹 d y v 妒w 1 p ( q ) ，以妒乘方程两边并在2 上积分，得 ( 1 v 而r 2 v 而v 妒+ a 露p 妒) d 工：p 二而q 1 x 山岍而j 加础茹肌p 上弛 取妒= 而 j f ( | v 露 p + a 露p ) 出= pf 露9 办 由( 1 2 ) j q p i | 露嵫( n ) = 圳辱 再由( i 辱r 出= l j p = q 川 即可。 2 2 p 一1 极小解的奇异极限 1 5 采用与上一节类似的方法，我们可以将对( 1 1 ) 的极小解当p l 时奇异极限存在 性的研究，转化为考察q 的极小元的存在性。其中q 为( 1 5 ) 所给。 本节的主要结果是： 定理2 4设l o 。则当p l 时， l 的子列在 ( q ) 中 强收敛于蝴，且蝴b q ) 是q 1 _ 之极小。 为证明问题的需要，我们先给出引自文献【p l 】中的一个引理。 第二章高维次临界指数情形 引理2 5 ( f 1 ，l e m m a 3 1 】) 对l g o ，下述结论成立： 九一l 组p 苷锷半2 本甥半 其中绋_ 为( 1 3 ) 所给。 四绋庐纰 定理2 4 的证明：易知： s u pq 皿l + 。 l 0 ，使得 哪揣= 筹刮剑一铀 0 ，使得 惭i ( n ) = i ( 1 v 即i + 叫) 出 ，o ( 上c l v h p i + l “p i ，p 如) p ( j 二- p d x 邛i l ，v 叫岫加p i q l l ，旷2 宁v 叫p + | 叫p ) _ 1 厂 | p ( 由h 6 l d e r 不等式) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 由，( f ) = 尸在( 0 ，+ ) 上的凸性) m a x u ，知i l 旷2 宁叫n m a x 1 ， 刚2 争a ：仞 l 圭a 2 + o o 在w 1 1 ( q ) 中有界。 又。对1 g 写， w 1 1 ( q ) q ql g ( q ) ， 存在 唧 的子列，仍记其为 “p ，以及蝴( q ) ，使得当p _ l 时： “p h ，l拥j 酽( q ) 且i l “ l i z ，l n j = l 第二章高维次临界指数恃形 由定理1 3 可知： 从而 。 i 。m l d 工 - i m i n f 。( i 。“p l d x = i mi n f 。 i v h p i d x a z j 蝴b v ( q ) q 1 - 上( i 。州+ l i ) 出册i n f 上( i v 叫p + a r ) 出 = l i 田q p _ = q 1 _ ( 由( 2 6 ) ) 口 i 1 7 蝴b y ( q ) 是q 1 _ 之极小。 口 注释2 6 上述命题中所得的p = l 时方程( 1 1 ) 的极小解蝴在q 内有局部h 6 l d e r 连 续性，这一结论的证明可参见文献【p 1 】中定理4 1 的证明。 2 3 p = l ，五一o o 时极小的渐近性态 本节中我们研究定理2 4 中得到的p = l 时的极小当_ - o o 时的渐近性态。据作 者所知，这一问题之前未被讨论过。我们的主要结果是： 定理2 7 设以2 ，l g o 是q 】_ 的极小元，且陋 ( q ) = l ，则 当a 一时，有： ( i )蝴- o 扔l 1 ( q ) ，从而有子列蝴一0 订幺， ( i i ) 厶i d 蝴i 出_ + o o ，从而q - + o o ， ( i i i )_ l l p i n ) _ + 。 为研究极小解序列蝴当a 一时的渐近性态，我们建立当a - o o 时q 1 _ 的上界 估计。为此我们需要构造一个合适的检验函数。 取劢a q ，使得日( 托) = m 裴( 工) ，令y = 甲( j ) 是加周围边界部分拉直的微分 j t z 同胚，定义如下：通过适当的坐标平移和旋转，可假设劢为原点，a q 在劢的内法向方 向为而轴正方向。则存在光滑函数砂( ) ，= ( j l 一，而一1 ) ，定义在i r i 砂( r ) 。 因此，在抽附近，施可表示为： 而= 删) = 毒口，砰+ d ( i 卵) 其中口1 ，一l 是a q 在加处( 相对于内法向) 的基本曲率，而 ，= 击艺”击 即为a q 在加处的平均曲率。 对y 觥，i ) ，i 充分小，定义映射j = o o ，) = ( 巾l ( y ) ，蛾( ) ，) ) 如下 则 q ( y ) = d ( y ) = j = l ，_ ，l l ， ，2 力 西一畿一秘， 挚， ， l8 其中国，为l ( 的n e c k e r 指标。 文献f n t 2 l e m m aa 1 】中已证得在y = o 附近， d e t ( d o ，) ) = 1 一( 刀一1 ) 何( 劢沙。+ d ( 陟1 2 )( 2 7 ) 因v 砂( 0 ) = 0 ，故d ( o ) 为恒等映射。所以对i r i 如，m 有逆映射y = 一1 ( x ) ，记 y = 甲( 曲= ( 甲l ( 神，( 工) 代替- 1 ( 曲，即为均周围边界部分拉直的微分同胚。 以上关于部分边界的拉直采用的是常规处理方法，更多细节及类似处理方法可参 考【p 2 ，n n n t 2 】等文献。 设= 巩( 劢) n q ，其中半径n 与l 有关，取检验函数： ， 妒( j ) ：疋e ( 甲( 工) ) ： 1 甲“ i o ， 甲( 曲q 第二章 高维次临界指数情形 则 刚加地筹 上】i 现e ( 甲( j ) ) l 出+ l 上2 k ( 甲( x ) ) i 出 l k ( 甲( x ) ) l | p i q ) ，l + j ，2 = ：一 l 、 在下列积分运算中，常用到变换：) ，= 甲( 工) ，则由上可知j = o ，) ，且 1 9 出= d e t ( d 0 i ) ) 咖= 【l 一研一1 ) ( 劢堍+ d ( 卯) 】咖( 2 8 ) ( 注：考虑到高阶项对运算结果的影响甚微，为书写简便，以下积分运算中省略上式中 的高阶无穷小量。) ，1 = fi 现( 甲( j ) ) m = s u p f 疋( 甲( 工) ) d i v 6 d x 忙辞l i 2 舯) j n = s u pf刀( y ) d i v f l 一( ，l 1 ) ( 劢) 】咖 ( 由( 2 8 ) ) = s u pfd i v 【l 一( 九一1 ) h ( 砌) h 】咖 = s u p m 卜c 川煳捌咖+ 即h 川朋抽挑，叫 = s u p ( 正九c n 一一，t 如，咖+ 上军咖r 一c 以一，何c 劫概，叫 = 伽一1 ) ( 加) 上方+ 上【l 一( 甩一1 ) 日( 加) 】祁 = ( 盯一- 湖加) 半嵋+ 厶如一( 以一1 网加) 正祁 j 8 ej a e = 三( 刀一1 ) 口( n ) ( 加) 嵋+ 圭门a ( 九) 嵋一( 月一1 ) ( 翔) 上n 舯一。厮 = 圭( 玎一1 ) 口( 仃) 日( 劢) 嵋+ 三n 口( 九) 咳一一三n ( 九一1 ) 日( 加) 口( 九) 嵋 = 兰州州一三( 订_ 1 ) 2 嘶) ( 劢) 嵋 其中 m ，= 禹 南 第二章高维次临界指数情形 为门维单位球的体积。 为计算，2 ，先给出聍维球坐标变换及两个计算公式。 则 月维球坐标变换： 两个计算公式： y 1 2r c o s 囟c o s c o s 靠一1 ， y 2 2r s i n 巩c o s 如c o s 岛一l ， ) k l = r s i n p n 一2 c o s 目i l ， 2r s i n 巩一1 d 夕= ，一1c o s 如c o s 2 如c o s ”一2 以一l 棚1 以一l d r ( 2 n 一2 ) ! ! ，n 、f 祟， 刀：2 足，足n ， ) 2 屡半，竺+ 2 n 22 f k ( y ) i f l 一( 刀一1 ) ( 加) h 】方 甲l q 上方一( n l 川( 砧上方 知纠川卜 j = r 凡s 耐之s i n 蛐 = 知纠川丌小s 懈 2 0 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) - 小2 州r ，咖 = 丌一2 妒 = 以 口 妒 却 0 妒 抽 h s s o 0 c c r 如r 如 第二章高维次临界指数情形 如纠川湖勋，籍一21 5c o s 如加f 5c o s 柑击 如睁籍玎k 2 柚 1 ( 三扣争c 三糍，糍击，删足， i霄l f f ， 一气、l l 1 r ，”一d 、f l 1 = 知睁等日( 酬+ 1 丌孚 同理易得： r ( 1 + 孚) ( 由( 2 1 0 ) ) = ( 如嵋一等蚋孚r ( 1 + 孚)r 刚= 半 圭门口( 门) 嵋一三( 月一1 ) 2 口( 门) 日( 劢) 嵋+ 害a ( n ) 咳 隆州一等咖孕 忙( 胛) i 丁j 一 ( 刀一1 ) 2 + 似( 门) 、 i 丁j 1 一 r r ( 1 + 孚)r l h r 叫一一斋卷装 焉焉n r，l + 1 ) r ( 1 + 与) 口( 以) “i 九) l n 】- _ 卜丽 坐吵 些 肌等 一 一9 一一 n -叮 一 开 型2 h 一9 一 n 9 一 第二章高维次临界指数情形 则 记 a = 一一斋焉， q ( 妒) = 以一1 一；( 1 一b “) 一；一