（应用数学专业论文）幂型欧式期权定价的鞅方法.pdf

哈尔演理t 人学理学硕。l ：学位论文 幂型欧式期权定价的鞅方法 摘要 著名的b l a c k s c h o l e s 公式是现代金融数学的一项具有晕程碑意义的突 破性成果。近年来作为一种有效的风险防范和投资手段，金融衍生证券定价 理论及其应用研究得到了蓬勃发展，特别是期权。由于期权具有规避风险、 风险投资等功能及表现出的灵活性和多样性特点，已经成为最有活力的金融 衍生产品。我国证券市场的建立近二十年时间，如何借鉴西方金融衍生证券 定价理论，加强我国金融衍生证券定价理论及其应用研究是具有重要意义 的。 本文阐述了期权定价理论及鞅分析的国内外研究现状，并给出了期权定 价、鞅分析理论的基本概念与结论以及经典的欧式期权定价模型，它们是讨 论本文主要内容的基础。 本文对已有的幂型欧式期权定价模型进行改进，使其与实际金融市场模 型更为接近，运用鞅分析方法研究了其定价问题，并得到了定价公式，推广 了b l a c k s e h o l e s 模型，主要结果为： 在借贷利率不同的条件下，即贷款利率大于借款利率，利用g i r s a n o v 定理等理论推导出了幂型欧式看涨、看跌期权、双向期权的定价以及平价公 式。随后又假定借贷过程为随机的情况下，应用非线性的f e y n m a n k a c 公 式及鞅分析方法得到定价公式并计算出其具体形式。 在股票价格满足延迟随机微分方程的条件下，即确定幂型欧式期权价格 时考虑过去股票价格的影响，利用等价鞅测度给出了幂型欧式看涨与看跌期 权的定价公式。 关键词借贷利率；随机延迟微分方程；等价鞅测度；幂型欧式期权 m a r t i n g a l em e t h o d o fp o w e r - p a y o f f e u r o p e a no p t i o n a b s t r a c t t h ef a m o u sb l a c k s c h o l e sf o r m u l ai sab r e a k t h r o u g ho fm o d e r n m a t h e m a t i c a lf i n a n c e i nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c ho ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e sh a s g a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n ta s a ne f f e c t i v em e a n so fv e n t u r ee v a d i n ga n d i n v e s t m e n t ，e s p e c i a l l yf o rt h eo p t i o n t h eo p t i o nh a st h ef u n c t i o ni nv e n t u r e e v a d i n g ，v e n t u r ei n v e s t m e n ta n dt h ep r o p e r t i e so fa g i l i t y a n dd i v e r s i t ye t c ， t h e r e f o r et h eo p t i o nh a sb e e nb e c o m eo n eo ft h em o s te n e r g e t i cf i n a n c i a l d e r i v a t i v e s t h es e c u r i t i e sm a r k e tw a ss e tu pn e a r l yt w e n t yy e a r si nc h i n a ，h o w t ol e a r nf r o mw e s t e r nf i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e sp r i c i n gt h e o r yt os t r e n g t h e n t h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v e sp r i c i n gt h e o r yi nc h i n aa n di t sa p p l i c a t i o n sa r eo fg r e a t s i g n i f i c a n c e t h ei n t e r n a la n de x t e r n a la c t u a l i t yo fo p t i o np r i c i n ga n dm a r t i n g a l ea n a l y s i s a r es h o w ni nt h i st h e s i s ，m e a n w h i l e ，s o m ec o n c e p t i o n sa n dc o n c l u s i o n so f m a r t i n g a l ea n a l y s i s ，o p t i o np r i c i n gt h e o r i e s a n dt h ec l a s s i c a lb l a c k - s c h o l e s m o d e la r ei n t r o d u c e d ，t h e ya r et h eb a s i co ft h i sp a p e r sm a i nc o n t e n t s i nt h ep a p e r , t h ec u r r e n tp o w e rp a y o f fe u r o p e a no p t i o n sp r i c i n gm o d e l sa r e i m p r o v e di no r d e rt ob em o r ec o i n c i d e n tw i t ht h ep r a c t i c a lf i n a n c i a lm a r k e t ，t h e p r o b l e m so fp o w e rp a y o f fe u r o p e a no p t i o na r es t u d i e da n dt h ep r i c i n gf o r m u l a s a r eg o tm a k i n gu s eo fm a r t i n g a l ep r o c e s s e s ，t h e ya r et h ee x t e n s i o n o ft h e c l a s s i c a lb l a c k s c h o l e sm o d e l t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： a s s u m i n gb o r r o w l e n d i n gi n t e r e s tr a t e i sd i f f e r e n t ，t h a ti st h eb o r r o w i n g i n t e r e s ti sm o r et h a nl e n d i n gi n t e r e s t ，t h ep r i c i n gf o r m u l a so fc a l la n dp u tp o w e r p a y o f fe u r o p e a no p t i o n sa r ed i s c u s s e da tt h et i m eo fm a t u r i t yo fo p t i o nu s i n gt h e m a r t i n g a l em e t h o d t h e nt h eo p t i o nf o r m u l a so fp a r i t ya n db i d i r e c t i o no p t i o n p r i c i n ga r eg o tw i t he x p l i c i te x p r e s s i o nm a k i n g u s eo fg i r s a n o vt h e o r i e s t h ec a l l a n dp u tp o w e rp a y o f fe u r o p e a no p t i o n sp r i c i n gf o r m u l a sa r og o tb yt h em a t i n g a l e a n a l y s i sm e t h o da n dt h ef o r m u l ao fn o n - l i n e a rf e y n m a n - - k a ci nt h ec o n d i t i o nt h a t t h eb o r r o w - l e n d i n gp r o c e s si sr a n d o m s u p p o s i n gt h a tt h eu n d e r l y i n gs t o c kp r i c ef o l l o w s an o n l i n e a rs t o c h a s t i c i i 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 d i f f e r e n t i a ld e l a y e de q u a t i o n ，t h a ti st h es t o c kp a s tp r i c ee f f e c ti sc o n s i d e r e di n t h ed e t e r m i n a t i o no ft h ef a i rp r i c eo fp o w e r p a y o f fe u r o p e a no p t i o n ，t h ec a l la n d p u tp r i c i n gf o r m u l a sa r ed e v e l o p e db a s e do nt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e k e y w o r d sb o r r o w - l e n d i n gi n t e r e s t ，s t o c h a s t i cd e l a y e dd i f f e r e n t i a lf u n c t i o n ， e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，p o w e rp a y o f fe u r o p e a no p t i o n i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文幂型欧式期权定价的鞅方 法，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期问独立进行研 究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表 或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：么极商 闩期：劫哼罗年争 月夕同 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 幂型欧式期权定价的鞅方法系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：苏板甜焉日期：力莎少年年月驴 日 年 中其莎 f 日 哈尔滨理t 人学理学硕。i ：学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景及研究意义 鞅论作为一个强有力的研究工具逐渐向各个学科渗透，本文研究的目的是 利用鞅方法讨论幂型欧式期权定价问题。首先将对经典期权定价模型展开研 究，同时在国内外在此问题上的新近研究成果的基础上，进一步探讨此问题的 内在规律。自上个世纪七十年代初期b l a c k 和s c h o l e s 通过研究微分方程，从 而为期权的精确合理的定价提供了有力保障，这一杰出理论及股票价格的变化 规律，成功推出了无分红情况下股票价格所满足的随机微分方程，极大的推动 了金融衍生市场的稳定、完善与发展。期权的标的资产也由股票、指数、期货 合约、商品( 金属、黄金、石油等) 、外汇增加到了利率、可转换债券、认股权 证等许多可交易证券和不可交易证券。鞅作为一种理论工具，在期权定价模型 中的应用占有重要地位，鞅等价定理至今仍是金融分析中的前沿课题。将鞅论 及其一系列结论引入到本文所关注的问题即幂型期权定价模型的研究中，期盼 能得到一些好的结果，并将其与实际问题相结合，使理论问题更具有直观性和 现实意义。 1 2 国内外研究现状 鞅一词是由英文m a r t i n g a l e 翻译而来，其意为公平赌博，1 9 3 9 年由1 , 6 v y 引进，概率学家d o o b 对其进行了系统研究，并于1 9 5 3 年在随机过程中介 绍成果，之后对于鞅论的研究有了一个飞跃的发展。六十年代初，p a m e y e r 解决了由d o o b 提出的上鞅分解问题并且发展了平方可积鞅的理论。1 9 6 7 年， h k u n i t a 和s w a t a n a b e 研究了对平方可积鞅的随机积分。诸多概率论学者利用 鞅方法讨论随机序列的强收敛性，其中讨论鞅差序列的强收敛性并利用其证明 某类随机序列的强极限定理，是一种研究随机序列强极限定理的强有效方法。 1 9 7 4 年w i l l i a m 等人利用鞅方法证明了任意随机序列的强极限定理及可列非齐 次马氏链二元泛函的强大数定律。两指标鞅是两指标随机过程理论中近年来发 展较为迅速的一部分，g u y o n 和p r u m 从农业统计中归结出数学建模应用此过 程，1 9 7 5 年c a i r o l i 和w a l s h 则提出从概率论中应用于多复变函数的需要研究 了这类过程。1 9 8 7 年g r a f 与m a u l d i n 用了鞅方法来研究统计自相似集的 h a u s d o r f f 维数与h a u s d o r f f 测度的问题位一1 。近年来，鞅论作为随机过程的一 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 个分支已快速发展起来，产生了一些新兴的研究分支。 近年来，鞅理论在概率论与随机过程中的地位同益显著，鞅方法成为一种 强有力的鞅方法，j 下向着数学的其他分支延伸与扩展，因此，我的导师孔繁亮 在前人工作的基础上，对b 值渐近鞅进行了研究，获得了一些有益结果，自 1 9 9 8 年“b 值渐近鞅的强弱大数定律m 以来，又进一步探讨了“b 值渐近 鞅的估值性质1 5 “，将渐近鞅的理论应用于统计分析的参数估计中，以及大 样本假设检验中m ，又应用于鞅差序列预报与气候预报以及现代疫情的统计预 测之中慨川，同时又将其应用于随机系统中的随机逼近之中，近期又探讨了投 资与效用模型的优化设计以及应用到金融领域的鞅方法一厶一乳川等。本文 将在导师工作的基础上，将鞅的理论与方法应用到期权定价之中，利用期权定 价模型及鞅的理论对改进的幂型欧式期权进行定价计算。下面是对期权的介 绍。 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具，是指持有 人在确定时间，按确定价格向出售方购( 销) 一定数量和质量的原生资产的协 议，但他不必承担必须购入( 销售) 的义务。期权是一种极为特殊的衍生产品， 它能使买方有能力避免坏的结果，而从好的结果中获益，同时，它也能使卖方 产生巨大的损失，当然，期权不是免费的，这就产生了期权定价问题，期权定 价理论是现代金融理论最为重要的成果之一，它集中体现了金融理论的许多核 心问题。公认的期权定价理论的始祖是法国数学家巴舍利耶。1 9 7 3 年芝加哥委 员会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易集中市场。1 9 7 7 年 看跌期权的交易也开始出现在这些交易所内。同年b l a c k s c h o l e 发表了关于期 权定价的开创性论文，随后莫顿教授又对其加以推广和完善，不久b l a c k - s c h o l e s 期权定价方程很快被编成计算机程序，交易者只需键入包括标的资产 价格，标的资产价格的波动率，货币利率和期权到期同等几个变量就容易解出 该方程，这一理论研究成果直接被应用到金融市场的实践中，推动了各类期权 的迅猛发展。期权按合约中购入和销售原生资产可划分为看涨期权和看跌期 权。按合约中有关实施的条款来划分可分为欧式期权与美式期权，欧式期权只 能在合约规定的到期日实施，美式期权能在合约规定到期日以前任何一个工作 日实施。 自b s 模型1 9 7 3 年首次在政治经济杂志发表之后，芝加哥期权交易商们 马上意识到它的重要性，很快将b s 模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的 芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今 天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险 哈尔滨理t 人学理学硕l ：学位论文 人等广泛使用。由于期权是构造新型金融产品，是包括新型金融工具和金融服 务的最重要类型的零部件，大量涌现的期权、新型金融产品和技术手段使金融 市场具备了更为充分地转移风险和进行套期保值的能力。新的技术和新的金融 工具的创造为大规模的金融投机活动创造了许多新的机会和提供了新的工具和 手段，而且加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他 国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传 导到其它国家乃至整个世界经济之中。只有深刻理解这些新型金融产品的特 性，才能加强金融监管，规范市场行为，控制总体金融j x l 险，保持金融系统的 稳定和发展。 期权除了在以上各种金融交易及风险管理中起作用之外，期权定价的思想 已经进一步延伸应用到现实经济生活中，这才是其长久生命力所在。现实经济 生活中存在许多隐蔽的期权，例如定期存款隐含着可以提前支取的期权；公司 制企业在破产清算时股东只承担有限债务责任隐含着股东有放弃企业、将部分 亏损转移给债权人的期权；各种具有可转换特性的金融工具都隐含着期权；保 险费的定价；无形资产评估等等。在所有这些方面，期权定价理论都提供了重 要的理论基础。 研究期权定价的方法有很多，例如二叉树方法，蒙特卡罗模拟方法，有限 差分方法，确定性套利方法，区问定价方法等。数理金融的一个重要理论基础 就是所谓的理论的一些基本假设，如市场无套利( n oa r b i t r a g eo p p o r t u n i t y ) 或无 免费午餐( n of r e el u n c h ) ，就等价于存在一个与原概率测度等价的掰概率测 度，使得折现的基本资产过程在这个测度下为鞅，从这一结果出发发展起来一 系列方法通常称为鞅方法。期权定价理论的中心问题是，找到一个测度q 使资 产价格的折现过程在该测度下为鞅，则该期权的价格就是这个测度下的期望折 现值。在布莱克和斯科尔司的定价公式中，没有出现预期收益率或任何风险厌 恶程度的度量，这就是著名风险中性原理( 即可把风险证券的期望收益率看成 无风险利率) ，这个原理后来由考克斯和罗斯加以解释，而由哈里森和普利卡 ( h a r r i s o n 和p l i s k a ) 在1 9 7 9 年引进鞅理论加以严密证明( 他们证明了价格过程 无套利机会的充要条件是对于某一等价的概率测度该过程是鞅) 7 1 。最近的研 究如卡洛伊和昆孜( k a r o u i 和q u e n e z ) 的非线性定价理论与后移随机微分方程、 1 9 9 7 年佐尼( j o u i n i ) 的等价鞅测度与不完全市场“8 1 ，均利用鞅理论从数学角度 对经济问题给以严密证明。 b l a c k s c h o l e s 模型假设股票的价格过程是几何b r o w n 运动和常数的期望收 益率，意味着随时间的变化，股票的预期收益率将会有朝同一方向变化的趋 哈尔滨理t 人学理学硕1 j 学位论文 势。实践表明，股票的预期收益率不可能随时间的变化朝同一方向变化，股票 的预期收益率往往是波动变化的，可能是依赖时间和股票价格的函数。，虽然 b l a c k 和s c h o l e s 提出的b s 公式在金融史上有重大的意义，但是此公式在一系 列的假设基础上提出的，后来众多学者通过放宽b l a c k - s c h o l e s 模型的某些条 件，提出了各种期权定价模型轨凯射崩，对b s 公式所基于的完备市场进行修 正。主要成果有：t h o r p e 检验了买空条件；m e r t o n 推广了考虑股票和随机利 率的模型；c o x 、r o s s 和m e r t o n 考虑了股票价格公式中不具有连续样本路径 的期权定价问题他3 州；1 9 7 6 年i n g e r s o l l 和s c h o l e s 考虑了资本收益和股利的不 同税率效果；1 9 7 6 年r o b i n s t c i n 、1 9 7 9 年b r e n n a n 在年引入了具有代表性的投 资者效用函数，得到了关于离散时间交易的b l a c k s c h o l c s 方程解；1 9 8 5 年 l c l a n d 考虑了有交易成本的期权定价模型。 近2 0 年来，经济学家们利用现实的数据，寻求更贴近实际市场的期权定 价模型，取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论。9 0 年代以 来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场，基础资产的价格存在异常变动 的跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题，以及美 式期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。不完善市场主要 是指对贷款及卖空股票进行限制，或者市场本身不完备等。不完善市场假设显 然要比完善市场更接近真实的金融市场，但这时期权的定价问题就复杂多了。 在不完善市场情况下，通常难以得到b l a c k s c h o l c s 模型那种期权的公平价 格，已有的定价方法也将失去作用。关于不完善市场的期权定价问题，目前经 济学家采用的主要方法有方差最优套期保值，均值方差套期保值，超套期保 值，有限风险套期保值等方法。在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有 f o l l m e r 、s c h w e i z e r t 瓤孤对、d a v i d 、k a r a t z a s 。1 9 9 6 年，p e t e r s 提出了分型 市场假说，把分数布朗运动引入金融市场汹1 。分数布朗运动有力的解释了股票 价格的长期相依性问题。但是在后来的研究工作中，很多学者发现分形市场是 有套利的。l9 9 7 年r o g e r s 和s a l o p e k 、2 0 0 0 年k a l l i a n p u r 、2 0 0 3 年c h e n r i d i t o 都构造出了具体的套利策略1 3 l 瓴札甄捌，同年b e n t h 、e l l i o t t 、v a n d e rh e e k 用 w i c k 型积分代替传统的渤积分，证明在w i c k 型积分下分数b l a c k s c h o l e s 是 无套利的。2 0 0 5 年b r a n d 、d y e r 用基于动态规划的思想来模拟项目的随机过 程，并用决策树的方法来求实物期权价值，2 0 0 6 年v a n m a e l e 、d c e l s t r a 、 d h a e n e 等给出了离散时间算术平均亚式期权的价格上界和下界汹1 ，同年e n g l e 和m u s t a f a 使用s p 指数收益期权价格为样本估计和检验了隐含g a r c h ( 1 ，1 ) 模型。2 0 0 7 年e d u a r d o 、s c h w a r t z 研究了相互竞争实物期权模型对商务办公楼 哈尔滨理t 人学理学硕f ：学位论文 租赁的影响，把博弈论引入实物期权定价模型旧。这一年，m e r e e d e s 等人在确 定期权价格时考虑了过去股票价格。 自1 9 9 5 年以来，金融数学在我国金融界和数学界都已引起极大的兴趣和 广泛的关注。国内许多学者，特别是宋逢明、史树中、彭实戈、张树德等 人，引进现代金融理论，建立具有中国特色的金融数学，金融工程和金融管理 学科。1 9 9 6 年国家自然科学基金委员会已将“金融数学、金融工程和金融管 理”列为国家“九五”重大研究项目。 近年来，金融工程师在标准期权的基础上，运用期权的理论和分析方法设 计出各种不同特征的期权新品种，即外来期权或变异期权( e x o t i co p t i o n s ) ，幂 期权就是其中最重要的一种。对于标准的欧式看涨( 或看跌) 期权，其到期收益 为俩仞訇或o k - s e t ) ) ，但在金融工程的实务和理论中存在如下形式的支付函数 6 ( s a ) ) - g 或斜俐，其中j i i 似是单增函数，j i i 栌工口( 口 o ) 我们称之为幂型 支付的欧式期权。这种期权比标准期权有更大的灵活性，它能改变收益结构的 新型期权，它的提出一方面是为满足不同投资者的风险偏好，另一方面也有助 于避免投机者操纵市场，因为当股票价格的某目前已有不少人研究幂期权的 定价问题，给出了不同形式的定价公式。2 0 0 4 年田存志则考虑了股息率变化 的情况i l l2 0 0 5 年王亚君等人研究了幂期权中波动率为常数时的定价，同年陈 万义考虑利率波动率均为确定性函数时的定价，另外肖艳青，雷玮，梅雨等人 也对借贷利率相同时的幂型欧式期权定价进行了研究h 2 3 一们，而现实中借贷利 率往往不同，所以薛红等人研究了当借贷利率不同时期权定价公式。 综上所述，随着期权定价理论的发展，其应用的范围迅速扩大。鞅理论为 从数学角度对经济问题的证明一种的理论工具，并对期权定价模型中期权价值 的评估与计算具有重要的理论意义。利用鞅方法理论研究期权的定价问题对我 国金融业的发展有重要的理论意义和实用价值，值得深入研究。 1 3 课题来源 本课题属于应用概率统计的范畴，选自于指导教师的国家自然科学基金项 目( 项目批准号：1 0 7 7 1 0 4 6 ) 的有关部分。 1 4 本文的主要研究内容 一般的欧式期权定价模型中期权到期支付函数为k 刊k 一品i + ，无风险利 哈尔滨理t 人学理学硕i j 学位论文 率，是固定不变的，幂型欧式期权支付函数为k 刊k 一筇| + ，这种期权比标准期 权有更大的灵活性，我将对现有的幂型欧式期权进行改进，使其更接近实际的 金融市场模型，主要研究内容有： 1 ( 1 ) 假设借贷利率不同讨论幂型欧式期权定价( 贷款利率r ( t ) 大于借款利 率r ( t ) ) ，有红利支付的条件下尝试推导其看涨与看跌、双向期权定价公式及 平价公式，其中 债券价格满足 招( f ) = b ( t ) r ( t ) d t ，s ( o ) = l 银行贷款满足 d f l ( t ) = f l ( t ) r ( t ) d t ，f l ( o ) = l 股票价格满足方程 峦( f ) = s ( f ) ( “( t ) - q ( t ) ) d t + c r ( t ) d w ( t ) ) ( 2 ) 假设有红利支付、借贷过程为随机条件下 债券价格满足 d b ( t ，力= b ( f ，力lr ( t ) d t + b ( t ，力d 嘶( f ) i ，b ( r ，t ) = 1 银行贷款满足 d f l ( t , t ) = f l ( t ，力ir ( t ) d t + b ( t , t ) d l 孵( t ) i ，p ( r ，t ) = l 股票价格满足 搬( f ) = s ( f ) “( f ) 出+ 盯( f ) d 嘎( f ) ，s ( o ) - - s o 将推导其看涨与看跌期权定价公式。 2 考虑过去股票价格的影响，假设无红利支付、股票价格过程满足延迟微 分方程 d s ( t ) = u s ( t 一口) s ( f ) d ( f ) + 厂( s ( f 一6 ) ) s ( f ) d 形( f ) ，t 【o ，r 】 s ( t ) = 9 ( t ) ，t - l ，o 】 债券价格满足 b ( f ) = e 叫 ( 其中f 为r - - - r 上连续函数，少为( 【一l ，o 】，r ) 上可测函数) 情况下，尝试推导 当f 【r 一，t 】，t ，( z = m i n a ，6 ) 时的幂型欧式期权的看涨与看跌定 价公式。 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 第2 章鞅分析与期权定价的一般理论 2 1 鞅分析的一般理论 定义2 1 若对于每一时刻t t ，都有定义在样本空间e 上的随机变量 z ( t ，x ) 与之对应，则称依赖于t 的一族随机变量 z ( t ，工) ，f t ，x e 是随机过 程，通常简写为 z ( t ，x ) ，t t 。 对给定时间，随机过程就是一维随机变量z ( ) ，含事件z ) x 的概 为 f ( 五) = p z ( f j ) 工 若，( 五) 对x 的偏导数存在，则有 肥伊掣 称厂( 五) 为随机过程 z ( f ，工) ，f 丁 的一维概率密度函数。显然f ( 五) 和( 而f ，) 都是时间f 和x 的函数。 定义2 2 随机过程 z ( f ) ，t 0 如果满足： ( 1 ) 过程具有正态增量； ( 2 ) 过程具有独立增量； ( 3 ) z ( f ) ，t 0 是一个连续函数； 则称 z ( f ) ，t 0 为布朗运动，也称维纳过程。 布朗运动的性质： ( 1 ) 假设一个小的时间间隔为& ，定义z 为在出时间内维纳过程z 化，则 z = 占石，占。n ( 0 ，1 ) ( 2 ) 若e a z = 0 ，d a z = a t ， 则有 e z ( r ) = o d lz ( r ) i = r 。 定义2 3 设 u ( f ) ，f o ，o o ) 为具有流速系数“的布朗运动，定义随机过程 y ( f ) = e x p 【，( f ) ，t o 则称 】，( f ) ，f o ) 为几何布朗运动过程，且】，( f ) 服从均值 哈尔滨理t 人学理学硕l ：学位论文 地) i y ( o ) y ol = k e x p 卜i 1 以 方差 哳 y ( f ) iy ( o ) = k = r 0 2i e x p ( 2 卅仃2 f ) 一1 的对数正态分布，以及l ，( f ) 的概率密度函数为 m ) = 而1e x p - 咩 一。 定义2 4 e ，h = 1 ，2 ，) 是一随机变量序列，如果对一切n ， e l 以i o q ( a ) 0 换言之，如果a 在测度p 下有可能发生，那么它在测度q 下也有可能发生。如 果在测度p 下不可能发生，那么它在测度q 下也不可能发生，反之亦然。 定义2 6 若( f ) 是非预测的随机过程，它使得 。l i m l a ( f ) = 慨n 磊- i 厂【气) 、l i - + ；一k 【。壁舞( 气+ t 一气) ) 存在，并与剖分无关的唯一极限，则称这个极限值为( f ) 的以叫 r 2 、分，记作ff ( t ) d w t ，h p r 厂( 咖f 彬= 煅n 舌- i 厂以) + 。一k 伊藤公式设k = y ( 墨，f ) ，v 是二元可微函数，若随机过程s 适合随机微 分方程 哈尔滨理t 人学理学硕f j 学位论文 则 鹕= 材( 墨，t ) d t + o ( s , ，f ) d 形 k = y ( s ，f ) ，a s , = ”( 墨，t ) d t + o ( s t ，t ) d w ， 晔睁知跏) 鲁卜著姆= ( 警+ “( 蹦) 西o v + 圭盯2 ( 墨 f ) 鲁卜+ 仃( 蹦) 西o v d 彬 2 2 期权定价的相关理论 定义2 7 一个自融资投资策略称为在【o ，t 】内存在套利机会( a r b i t r a g e o p p o r t u n i t y ) ，如果存在，【o ，t 】，使得当 ( ) = 0 有 ( ) 0 且 p r d 6 ( ( m ) o ) 0 这里p r o b w ) 表示事件w 发生的概率。 定义2 8 若对于任意的自融资策略在任意时段【，乞】【o ，t 】内都不存在 套利机会，那么称市场在时段【o r 】内是无套利的( a r b i t r a g e f r e e ) 。 定义2 9 若在整个进行交易的【o ，t 】时段内，投资人在决定投资策略m 以 后，没有加入新资金，也没有资金被消耗或抽走，则称整个交易过程是自融资 的( s e l f - f i n a n c i n g ) ，或称该投资策略是自融资的。 自融资性质如果( 办，) 是一个投资组合，股票价格为篷，债券价格为 忍，则( 谚，) 是自融资的，当且仅当d k = 谚姆+ 少，魍。 定义2 1 0 设( ，是某一风险资产，b 是无风险资产，u 倡称为在t 时刻的 风险资产u 的贴现价格( d i s c o u n t e dp r i e e ) 或称相对价格( r e l a t e dp r i e e ) 。 定义2 1 l 由风险资产s 和无风险资产艿组成的市场中，如果存在一个投 资组合 o = a s + f l b 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 ( 其中口，是常数，使得当t = t 时，投资组合m 的值与期权y 的值相同，它们 都为随机变量) ，即 a s r + f l b r = 那么称为是期权y 的复$ 0 j ( r e p l i c a t i n g ) 。 2 3 经典的欧式期权定价模型( b s 模型) 在期权交易中，期权价格的决定和变动是一个非常重要的问题，学术界已 经做了长期深入的研究。自1 9 7 3 年以来，许多学者和专家纷纷提出各自的期 权定价模型，以说明期权价格的变动。b l a c k ：s c h o l e s 期权定价模型( 简称b s 模型) 是最经典的期权模型，它是期权定价理论的核心和基础。下面介绍b s 模型的基本假设与结论。 b s 模型有7 个重要的基本假设 ( 1 ) 标的资产为股票，其价格s ，满足d s = u s d t + a s d z ，股票预期收益率及 波动率仃( 仃o ) 均为常数，f 代表时间，z 为标准布朗运动； ( 2 ) 在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； ( 3 ) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施； ( 4 ) 盒融资产在期权有效期内无红利及其它所得( 该假设后被放弃) ； ( 5 ) 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； ( 6 ) 允许卖空，卖空所得资金可由投资者自由使用； ( 7 ) 投资者可以自由借入或贷出资金，借入利率与贷出利率相等，均为无风险 利率。而且，所有证券交易可以无限制细分，即投资者可以购买任意数量的标 的股票。 后来又得到上述有些条件可以放松，如，仃，为t 的确定性函数，这 时b s 模型也是正确的。 在无交易成本、不分股利的假设下得到的欧式期权定价公式为 c ，= 墨( 4 ) 一叫7 叫) ( 破) 只= - s ，n ( - d 1 ) + k e - r ( t - t ) n ( - d 2 ) ，2 、 l i l ( 墨k ) + l ，+ 寻l ( r - ，) 西= j 夸：二一，以= 以一仃r - t a 4 r t n ( x ) 是标准正态变量的累积分布函数，即：( x ) = p x 0 是期权执行价格。文献 4 5 ，4 6 在支付函数形如 j i ( 工) = ，( 口 0 ) 的情况下得到了相应的欧式期权定价公式，文献 4 7 ，4 8 讨论了 在借贷利率不同时支付函数为s ( r ) 时欧式期权定价，本文在借贷利率不同情 况下，并且进一步考虑了借贷为随机的条件下，运用鞅分析方法推导出幂型欧 式期权的定价公式，是对b l a c k s c h o l e s 欧式期权的定价公式的推广h 引。 3 1 2 不同借贷利率下的幂型欧式期权定价 假定金融市场m 中有两种证券：一种是无风险资产，称为债券( 或银行帐 户) ，另一种是风险资产称为股票。设( q ，f ，e ) 是一个具有仃一流概率空间，e 由标准b r o w n 运动矿( f ) 产生的自然盯一流，股票价格满足方程 c 舀( f ) = s ( f ) ( “( f ) 一g ( f ) ) 出+ 一f ) d 纵f ) 其中“( f ) 为股票的瞬时期望收益率，仃( f ) 为股票的瞬时波动率，q ( t ) 为股票支 付连续红利率。债券价格满足 扔( f ) = b ( t ) r ( t ) d t ，s ( o ) = 1 银行贷款满足 d f l ( t ) = f l ( t ) r ( t ) d t ，( o ) = l 投资者在f 时刻财富过程万( f ) 满足 万o ) = 口o ) s ( f ) + 6 + ( t ) b ( t ) - b 一( t ) f l ( t ) 假定刀( f ) 是循序可测，9 v fi ! i _ ek 2 ( t ) d t ，( f ) ) 从银行贷款的数量。本文假设在期权有效期内，市场 没有任何交易费用和税收，无套利机会，交易能够连续进行，允许卖空且标的 资产的数量是可分的，所有投资为自融资策略，自融资策略即在整个进行交易 的时段内，投资人在决定投资策略后，没有加入新资金，也没有资金被抽走。 引理3 1 啪1 彬为概率空间( q ，f ，只) ，te o ，t 】上的命朗运动。设 c ( o f 丁) 为相应的域流，并设9 ( f ) ( o f r ) 是与此相适应的过程，定义 痧( r ) = r 口( “胁+ ( r ) z ，= 唧 一弘( “) d 呒一互it 尸2 ( “) 如 并定义一个新的测度，对任意a = f ，定义 p o 幻= l z t d p 则在新测度p 下，过程形( f ) ( 0 f 丁) 仍是布朗运动。 引理3 2 ( 鞅表示定理) 悔m r 是一个q - 鞅过程，它的波动率q 满足附加条 件：总是( 以概率1 ) 不为0 。如果r 为另一个q - 鞅过程，那么存在一个f - 可 料过程，使得j 。谚2 q 2 o ，因此在借贷利率不同情况下，幂型 欧式看跌期权的定价为( 3 - 1 ) 式。 当b ( t ) 为负值时， 万( f ) = 口( f ) s ( f ) 一( f ) 6 一( t ) 由于投资策略 口( f ) ，b - ( o 是自融资策略， 因此财富过程满足 d z ( t ) = a ( t ) d s ( t ) - b 一( t ) d 1 3 ( t ) + a ( t ) s ( t ) q ( t ) d t = 尺( f ) 万( 力+ a ( f ) s ( f ) ( “( f ) 一只( f ) ) 出+ 口( f ) s ( f ) 仃( f ) d 矿( f ) 令 声一u ( t ) - r ( t ) 吼 口( f ) 若 耳l 唧夏帮抖o o 由引理3 1 知道存在唯一等价鞅测度9 _ 2 满足 哈尔滨理t 人学理学硕i ：学位论文 等= e x p m - 2 ( 帕一黟叫 形岛( f ) = 矽( f ) + 陟( s ) 幽 矿口2 ( f ) 是关于q 2 的标准布朗运动， 则 d 万( f ) = 尺( f ) 万( f ) + 口( ，) s ( f ) 盯( f ) 善( ) d f + d w ( f ) 尺( f ) 万( f ) + 口( f ) s ( f ) 盯( f ) d 矽仍( t ) 于是在金融市场m 中。当财富过程万( f ) 为幂型欧式看涨期权的定价c ( f ) 时有 c ( r ) = i e x p f 一弘( s ) 丞) ( 筇一k ) + lc = 叫( 丁) ( 筇一k ) + i f c 3 - 2 ， 由于看涨期权预期将来的股价会上涨，对于理性投资者来说应全部持有股票， 而不应持有债券，所以b ( t ) o ，因此在借贷利率不同情况下，幂型欧式看涨 期权的定价为( 3 - 2 ) 式。 定理3 1 具有不同借贷利率的幂型欧式看跌期权的定价为 p ( r ) = k e x , t 一r ( s p ( 一如) 一 譬唧黔吵删+ 字叫十( 训 d ：= d 2 = 证明由烈力= 双f ) ( “( 力刊力) 击+ 文力d 坝讲，得 品= $ , e x p 义“( ；) 一g ( s ) 一i 1 仃2 ( s ) ) 凼+ 了盯( s ) d 形( j ) ) = 哈尔滨理t 人学理学硕l ：学位论文 s 唧融h 7 1 飞) ) 幽+ 胛) ! i