（统计学专业论文）两两NQD序列和ρ序列的收敛性质.pdf

摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科它在自然科学、技术科学、社会科 学和管理科学中都有着广泛的应用，因此从上世纪三十年代以来，发展甚为迅速，而且不 断有新的分支学科涌现概率极限理论就是其主要分支之一，也是概率统计学科中的极为重 要的理论基础而近四十年来，其中的完全收敛性和强收敛性已经成为当前概率极限理论研 究中的最重要的热门方向之一本文也就此方面着手，研究了两类重要的随机变量序列的 强极限定理，并得到了一些精确的强极限结果 众所周知，现实生活中所发生的事情大多并不是互不相干，而是彼此之间具有某种联 系的正确地用数学方法来描述这种相关性，就可以用数学这一精确的工具来对事物进 行精确的分析由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际意义其 实，关于相依随机变量的极限性质的研究可以追溯到二十世纪二、三十年代，当时就有 b e m s t e i n ( 1 9 2 7 ) 、h o p f ( 1 9 3 7 ) 和r o b b i n s ( 1 9 4 3 ) 等学者相继对其进行研究一直到现在，仍 有新的相依变量类型及其结果层出不穷而在本文中，我们就其中两种较为常见的随机变量 进行了一些方面的讨论内容主要包括如下三章： 第一章研究了两两n q d 序列的收敛性质主要讨论了两两n q d 阵列行和的弱大数律、 三。收敛性和完全收敛性，在 ；l s 七吒个0 0 ，甩1 是c e s a r o 一致可积的相关条件下，获 得了两两n q d 阵列行和的弱大数律、三。收敛性和完全收敛性定理，将独立阵列行和的相 关极限定理推广到了两两n q d 阵列行和的情形 第二章和第三章讨论了p 一混合序列的收敛性质第二章我们讨论了p 一混合序列的完全 收敛性和m a r c i n k i e w i c z 强大数律，获得了与独立情形完全一样的b a u m 和k a t z 定理和 m a r c i n k i e w i c z 强大数律第三章讨论了p 一混合序列加权和的完全收敛性和强收敛性，所得 结果推广了t h r u m 和s t o u t 定理 关键词：两两n q d 列；p 一混合序列；完全收敛性；强收敛性；矩条件 a b s t r a c t t h e o r yo fp r o b a b i l i t yi sas c i e n c eo fq u a n t i t a t i v e l y s t u d y i n gr e g u l a r i t y o fr a n d o m p h e n o m e n a , w h i c hi se x t e n s i v e l ya p p l i e di nn a t u r a ls c i e n c e ，t e c h n o l o g i c a ls c i e n c e ，s o c i a ls c i e n c e a n dm a n a g e r i a ls c i e n c ee t c h e n c e ，i th a sb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l ys i n c e1 9 3 0 sa n dm a n yn e w b r a n c h e sh a v ee m e r g e df r o mt i m et ot i m e p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r y , i so n eo ft h eb r a n c h e sa n d a l s oa ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lb a s i so fs c i e n c eo f p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s d u r i n gt h ep a s tf o r t y y e a r s ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n ds t r o n gc o n v e r g e n c eh a v eb e c o m et h em o s ti m p o r t a n ta n d p o p u l a ro r i e n t a t i o n so ft h ec u r r e n ts t u d yo fp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r y s t a r t i n gw i t ht h ea b o v e m e n t i o n e dp o i n t s ，w eo b t a i ns o m el i m i tt h e o r e m so ft w ot y p e so fi m p o r t a n tr a n d o mv a r i a b l e s ， a n dd r a ws o m ep r e c i s er e s u l t si nt h i st h e s i s a si sk n o w nt oa l l ，e v e r y t h i n gh a sc o r r e l a t i o n sb e t w e e no n ea n o t h e ri ft h ew o r l d i fw ec a l l p r o p e r l yd e s c r i b et h e s ec o r r e l a t i o n sb ym a t h e m a t i c s ，w ec a na n a l y z es u b j e c t sa c c u r a t e l yb yt h e p r e c i s et o o l - - - - - m a t h e m a t i c s h e n c eo n ec a ns e et h a t ，t h es t u d yo nd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s h a sm o m e n t o u ss i g n i f i c a n c e i nf a c t ，t h es t u d yo nt h el i m i tp r o p e r t i e so fd e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e sm a yb ed a t e dt o1 9 2 0 sa n d1 9 3 0 s ，a tt h a tt i m e ，s c h o l a r ss u c ha s b e m s t e i n ( 1 9 2 7 ) ， h o p f ( 1 9 3 7 ) ，r o b b i n s ( 1 9 4 8 ) h a dc a r r i e do ns t u d i e so nt h i st o p i c t i l ln o w , n e wk i n d so f d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sh a v ee m e r g e di nae n d l e s s s 臼e a m t h i sa r t i c l ei sd e e m e d ot a k et w oc o m m o nk i n d so fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i ti s d i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，s o m el i m i tp r o p e r t i e so fp a i r w i s en q d s e q u e n c e sh a v eb e e nd i s c u s s e d 。t h e w e e kl a wo fl a r g en u m b e r s ，c o n v e r g e n c ea n d c o m p l e t ec o n v e r g e n c eo ft h em a x i m u mo fs u m s o f p a i r w i s en q dr a n d o mm a t r i xs e q u e n c e sa r ed i s c u s s e d u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h e 以女；l k 吒个，刀1 ) i sc e s f i r ou n i f o r m l yi n t e g r a b l e ，t h ea u t h o r sa r ea b l et og i v et h ew e e k l a wo fl a r g e n u m b e r s ，l pc o n v e r g e n c ea n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c e o ft h em a x i m u mo fs u m so f p a i r w i s en q dr a n d o mm a t r i xs e q u e n c e s ，w h i c hg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gl i m i tr e s u l t sf o r i n d e p e n d e n tr a n d o mm a t r i xs e q u e n c e st op a i r w i s en q dr a n d o mm a t r i xs e q u e n c e s i nc h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e e ，s o m el i m i tp r o p e r t i e so fp 一- m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s h a v eb e e nd i s c u s s e d i nc h a p t e rt w o ，t h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n dm a r c i n k i e w i c zs t r o n gl a w s f o r 户一m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e sa r ed i s c u s s e d a sar e s u l t ，b a u ma n dk a t zc o m p l e t e c o n v e r g e n c et h e o r e ma n dm a r c i n k i e w i c zs t r o n gl a w sa r ee x t e n d e dt ot h ec a s eo fd - m i x i n g r a n d o ms e q u e n c e s i nc h a p t e rt h r e e ，w ee s t a b l i s hs o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ec o m p l e t e i i i c o n v e r g e n c ea n ds t r o n gc o n v e r g e n c ef o rw e i g h t e ds u m so fp m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s t h e r e s u l t so b t a i n e de x t e n dt h et h e o r e mo ft h r u ma n ds t o u t k e y w o r d s ：p a i r w i s en q ds e q u e n c e s ：p 一m i x i n gs e q u e n c e s ：c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ； s t r o n g ec o n v e r g e n c e ：m a t r i xc o n d i t i o n s i v 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。对论文的完成提 供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者( 签字) ： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 导师签字： 签字e t 期：年月 日 桂林理工大学硕士学位论文 概率论起源于1 7 世纪中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨这个学科的发展与数 学史上一些伟大的名字相联系，如p a s c a l 、f e r m a t 、g a u s s 、l a p l a c e 、b e r n o u l l i 、d em o i v r e 等他们对这个学科的研究做出了重要的贡献在十八世纪以前，概率的对象主要限于赌博和 一些离散的有限数目集合的研究，所用的数学方法主要是组合数学的方法十八世纪， b e r n o u l l i 和d em o i v r e 的著作大大引起了人们对概率论在其它领域的应用的兴趣，例如， 用于在观察判断中错误的估计，预测人口组成的改变等，由此吸引了许多纯粹数学家的目 光，他们纷纷将更多的数学方法，如分析的方法和几何的方法，引进概率论另一方面， 由于统计学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们对于概率论应用于政治和社会 领域中的规律性研究的兴趣日趋浓烈，尤其是在c o n d o r c e t 等人的倡导下，概率论应用于社 会科学的热潮方兴未艾 概率论既是观察世界的一种基本方法，也象几何、代数和分析一样是一门核心数学学 科最近几年，作为科学探索的一种独具特色的方法，概率推理的显著功效已经导致了概率 理论在科学研究中的重要性的爆炸性增加数十年来一直在统计学中起中心作用的，在物理 学、遗传学和信息论中所常见的概率方法，最近已经在许多其他学科，包括金融、地球科 学、神经学、人工智能和通讯网络中成为不可缺少的方法概率论的影响愈来愈大概率极限 理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其它分支和数理统计的重要基础 由于独立随机变量有着优良的极限性质，因此人们对这类随机变量已获得许多经典的 结果，像t a y l o r , k a t z ，b a u m ，r o b b i n s ，h s u 等，另外g n e d e n k o ，k o l m o g o r o v , p e t r o v 等的专著 也都论述了有关独立随机变量极限理论方面的丰富内容。关于独立随机变量的经典极限理 论被系统地总结于( ( a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e ) ) 1 1 ( 19 7 4 ) 和( ( l i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t y t h e o r ys e q u e n c e so f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ) ) 【2 1 ( 1 9 9 9 ) 随着理论方面的不断完善和 发展，概率测度弱收敛和强逼近等现代极限理论也己被许多学者所研究，源于实际问题的 需要，相依随机变量引起了人们广泛的关注b e r n s t e i n ，h o p f , p e l i g r a d ，j o a g d e v 和l a i 等学 者对此做过系统而深入地研究与此同时，国内许多学者像林正炎，陆传荣，邵启满，张立 新，苏中根，苏淳等也做了大量深入地研究，并获得了一系列完美的结果关于混合相依 随机变量的经典的极限理论被系统地总结于陆传荣和林正炎的专著混合相依变量的极限 理论例( 1 9 9 7 ) q b 随机变量的相依性概念不仅在概率论与数理统计的某些分支，如马氏链、随机场理论 1 桂林理工大学硕士学位论文 以及时间序列分析等中被广泛讨论，而且出现于许多实际问题中虽然独立性假设在某些时 候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在大部分的实际问题中，样本 也并非是独立的观察值由此可见，研究非独立的随机变量序列有着十分深刻的理论和实际 意义 一直到现在，仍有新的相依变量类型及其结果层出不穷本文是在前辈的理论基础上， 对其中两种相依随机变量的极限性质做了一些探讨，获得了有关这方面的一些结论。 两两n q d 序列的定义首先由e l l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 所引入两两n q d 相对负相关( n a ) 而言是一个更广泛的定义由于n a 序列在可靠性理论，渗透理论及多元统计分析中的广泛 应用，关于两两n q d 序列的极限理论研究也就显得十分重要了本文第一章主要讨论了两 两n q d 阵列行和的弱大数律、三，收敛性和完全收敛性，在 k ；1 k 吒t0 0 ，甩1 ) 是 c e s b r o 一致可积的相关条件下，获得了两两n q d 阵列行和的弱大数律、三。收敛性和完全 收敛性定理，将独立阵列行和的相关极限定理推广到了两两n q d 阵列行和的情形 p 一混合的概念是张立新( 1 9 9 9 ) 年引入的由于p 一混合变量包含通常见到的n a 和p 幸一混 合变量，从而对它进行讨论有着更为广泛的意义本文第二章我们讨论了p 一混合序列的完 全收敛性和m a r c i n k i e w i c z 强大数律，获得了与独立情形完全一样的b a u m 和k a t z 定理和 m a r c i n k i e w i c z 强大数律第三章讨论了p 一混合序列加权和的完全收敛性和强收敛性，所得 结果推广了t h r u m 和s t o u t 定理 桂林理工大学硕士学位论文 第一章两两n q d 阵列行和的若干极限定理 第一节引言与引理 定义1 1 1 1 4 1 称r v x 和y 是n q d ( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) l 拘，若对比，y r 有 e ( x x ，y y ) p ( x x ) p ( r y ) 称r v 列 以；打1 是两两n q d 的，若对v f ，置与t 是n q d 的 这一概念是e l l e h m a n n l 4 1 在1 9 6 6 年提出的，不难看出两两n q d 列是一类非常广泛的 r v 列，后来的许多负关联列都是在此基础上繁衍出来的，如著名的n a 列【5 1 就是它的特殊 情形，因此两两n q d 列的研究就显得更为基本，更为困难对n a 列的研究已获得了许多 与独立情形完全一样的结果但对两两n q d 列，只有m a t u l a t 6 1 ( 1 9 9 2 ) 对同分布两两n q d 列 部分和获得了与独立情形一样的k o l m o g o r o v 型强大数定律，虽然王岳宝f 7 1 ( 1 9 9 8 ) 等获得了 两两n q d 列的b a u m 和k a t z 型完全收敛性定理的结果，但是在附加条件缈( 1 ) t ) d ， k l i m s 趔u p k , i 1 荟泖( 刚x ) = 0 ， 显然( 1 2 ) 式等价于l i r a s u p k ：1 妒( i i p z ) = 0 ，而万 1 时有3 f- - - 0 0 n l ：= l i m s 捌u p k ：1 羔k = l 池占妒( 1 厶l p x ) = 。 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 蕴涵( 1 2 ) 式 整个硕士论文约定：出现的c 总表示与珂无关的正常数，它在不同的地方可以代表不同 的值，“”表示通常“d 引理1 1 1 4 1 设r - v x 和】，是n q d 的，若，s 同为非降( 或非增) 函数，则，( x ) 和s ( y ) 仍 为n q d 的 引理1 1 2 8 1 ( 推广的k o l m o g o r o v 型不等式) 设 以；刀l 是两两n q d j + k 列，瓯= o ，磁 o d ，乃( 后) = 置，_ ，o ，则有 i = j + l e ( 乃( 七) ) z j + k 聊， e m a x ( t ( 砌2 ) 等篙磷 第二节主要结果及证明 定理1 2 1 设 ；1 k 包个0 0 ，l 1 ) 是行两两n q d 的随机阵列，对0 p 2 ，( 1 2 ) 式成立则 c l , , ( 一甄厶) o o ， 刀叶o o ， l 其中= k 七；l 定理1 2 2 设 以t ；1 k 心个0 0 ，以1 ) 是行两两n q d 的随机阵列，x 寸o p 2 ，( 1 1 ) 桂林理工大学硕士学位论文 式成立则 巧咖( 一q ) 与o ，r - - - - o o 定理1 2 3 设 l ；1 七吒个0 0 ，l 1 ) 是行两两n q d 的随机阵列，吒= d q ) ，对 0 占) o 特别地，取k ：瓦，1 七咒，咒1 ，邑全兰五，则由以上定理得如下推论 则 推论1 2 1 设 以；以1 ) 是两两n q d 序列，对0 p 2 ：f f l i m s 蹦u p ，l 1 荟妒( 1 x , i 眨加0 噬以q ( 邑一码) 与o ，刀寸 ( 1 4 ) 特别地，如果 以；咒1 是同分布两两n q d 序列，贝j j ( 1 4 ) 式变为。l i m 。x p t l x , i p x ) = o ，因 此，定理1 2 1 及推论1 2 1 把独立情形的弱大数律推广到不同分布的两两n q d 阵列 推论1 2 2 设 五；疗1 ) 是两两n q d 序列，对0 p 2 有 则 ，l i r a 。s 蒯u p 刀。1 荟e i 五l ，刈五i x ) = o ， 刀一咖m l 纠a 珈x ( s ，一e 影) 兰q 0 ， 力争 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 特别地，如果 以；咒1 ) 是同分布两两n q d 序列，对o p 2 有e i x , i ， o o ，则( 1 5 ) 式 成立，从而( 1 6 ) 式成立 推论1 2 3 设f 以；刀l 是两两n q d 序列，对o 占) o 定理1 2 1 的证明 取邑= 硝，当刀专o o 时，毛一o d ，记 桂林理工大学硕士学位论文 戤= 一矗，( 一而) + k ，( i i k ，p 占2 ) 垒厶l + 2 ， 故为证定理1 2 1 ，只需证明乞j0 ，n 专o o ，i = 1 ，2 由m a r k o v 不等式，引理1 1 2 有 厶。簖珈e ( f - 一鄙麓| ) 2 巧珈艺e ( 戤) 2 纠，( p ( i l 矗) + e 刈以。l 吒) ) = 铲p 善k n 尸( i i ) + 珈善f 尸( i 陬i i m 时，有 s u p k l e p ( 1 x 。i - y ) s j ，一， 所以当 m 时，有 ，二样一珈( r y s 蒯u p k , = 1 姜p ( i l y 炒+ e 占j ，即妙) 碟一2 p ( m + 占x z 一p ) = 砖珈( m + f 薛1 + 珈) = 删嘶+ 占 6 一“ x h = 踮 七碟 抖 l j 踮 q p 群 一k p p 勺碟 s 乙埘 簖 = k 一 p k 矧 = 咒 咒_ 0 ， 刀j 下证：- - + 0 ，靠_ ，由氍的定义和( 1 2 ) ，有 j l l ：e ( z kl x = 一吸l 础p s 2 ) 毛) 壹尸( 1 l 碟p ) - - + 0 ， 刀专 定理1 2 1 证毕 定理1 2 2 的证明 仍沿用定理1 2 1 的记号，但这里取而= 磷即7 2 p 由p 2 可知， 玎专时，毛一由引理1 1 2 ，j e n s e n 不等式，c 不等式及( 1 1 ) 式，并注意到l 戤i ， e l p ( 一e s 。k ) r - k ；1 e i 跣一砖, i p + 靠1 e l 蹋一殴l p 诎e ( 一殴) 2 ) 舭卅善e i 剐p k ，( 羔x 扩+ - z ke 占) 喜砰p h ( 。m s ，a x k i 口i j s ：，一暇l 占) 。 + 喜矿h ( 埘m a s h x k ：。i 踢一瑶i 占) 全以l + 以2 由引理1 1 2 ，m a r k o v 不等式和吒= d ( ，1 ) ，并注意到l e 。l 矗， 7 0 ，抽 xe 乙料 k + 胆 广p以酞 量厶糊 k 桂林理工大学硕士学位论文 以。 z 薹k ： - 口e ( m a xl s ，一瞬| 2 ) 言p 2 “驯k n 戤1 2 鲜川。2 甜烈2 刊7 2l 0 9 2 吒刀。吨2 叩v 2l 0 9 2n o o 由引理1 1 2 ，m a r k o v 不等式和c ，不等式有 g n 2 荟簖h ( 岣m a 圳x i s j 一瞬旷 巧2l o g p 吒芝e l b i ， = 砰l o g p 屯+ m 一矗) + e l 一x i p ，( ) ) 砰l o g p 吒e l m 时，有 s u p k f l 尸( f i 力 m ， m ，故再结合吒= d 0 ) 和 艿 2 + p 有 以：薹再 l o g n z 耋。( k i l 棚i i p 训+ 印( i i ) 11 。g 。吒1 0 9 p 力+ 1l 。g ，以t - il o g 筇f m 薹器+ 茎卷 善去+ 善赤娜 宦瑚123 证毕 8 桂林理工大学硕士学位论文 第二章尸混合序列的完全收敛性和强大数律 第一节引言与引理 p 一混合的概念是张立新【2 2 】( 1 9 9 9 ) 年引入的由于p 一混合变量包含通常见到的n a 和p 混合变量，从而对它进行讨论有着更为广泛的意义张立新 2 2 - 2 4 1 依次讨论了弱收敛定理 ( 1 9 9 9 ) ，随机场的中心极限定理( 2 0 0 0 ) ，完全收敛性( 2 0 0 0 ) ；蔡光辉【2 5 】讨论了它的完全收敛 性( 2 0 0 3 ) ；张立新以及周慧讨论了r o s e n t h a l 型矩不等式( 1 9 9 9 ，2 0 0 6 ) ：王建峰【2 7 】得到了 它的最大值r o s e n t h a l 型矩不等式( 2 0 0 6 ) 本文在前人的基础上进一步讨论了p 一混合序列的 完全收敛性和m a r c i n k i e w i c z 强大数律，获得了与独立情形完全一样的b a u m 和k a t z 定理 和m a r c i n k i e w i c z 强大数律 下面我们给出一些定义： 定义2 1 1 5 1 称随机变量五，五，t ，z 2 是负相关( n a ) 的，若对 l ，2 ，刀) 的任意 两个非空不交子集4 ，4 ，均有 c o v f ( x i ；f 4 ) ，g ( x ，；歹4 ) ) 0 ， 其中石，石是对各变元不减且使上式有意义的函数 定义2 1 2 【2 2 】称序列 以；以1 ) 是p 混合的，若 p 木( s ) = s u p p ( s ，r ) ；有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，t ) s 专00 专o o ) ， 其中 p ( s ，丁) = l e ( f - e f ) ( g - e g ) ( 1 l f - e f l l ：l l g - e g l l ：) l ；厂厶( 仃( s ) ) ，g 厶( 仃( 丁) ) ) 定义2 1 3 f 2 2 】称序列 以；刀1 ) 是p 一混合的，若 p 一( s ) = s u p p - ( s ，丁) ；有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，d j ) 一0o 专o o ) ， 其中 p 邻一o v 面 商糌器端；f , g e c ， c 是单调不减函数类 显然， ；刀1 是n a 的当且仅当对s 1 ，有p 一( s ) = 0 ，i i i i _ rp 一( s ) p 毒( s ) 所以可以看到p 一混合序列弱于p 混合序列 桂林理工大学硕士学位论文 _ ：_ = = = 一 由定义，p 一混合序列显然有下列性质： 性质2 1 1 2 2 1 p 一混合序列子集上的序列仍然是夕一混合的，其混合系数不大于原来的混 性质2 1 2 【2 2 】设 以；刀1 ) 为夕一混合序列，( x ) 为定义在不相交子集上单调递增的函 数，则矿( 以) ；以1 ) 也为p 一混合序列，混合系数不大于原来的混合系数 下面我们给出一个例子说明p 一混合序列既不是n a ，也不是p 幸混合序列 例令繇；甩1 ) ， 仉；刀- 2 _ l ，饥；刀1 ) 为三个独立同分布的标准正态随机变量令 以= 苎，：当当n = 刀：2 m 2 朋- 1 ， 艺怯器： 而乙= 拜+ k 从假设我们可以看到， z ；，l 1 ) 和 ；刀1 ) 为两个独立的，n a 的， 同分布的标准正态分布而且， 以；，l 1 ) 是一个两两不独立的序列，所以 霹；玎1 ) 是p 一混 合序列，_ gp 一( 2 ) = 0 同样我们知道 乙；刀l 是p 一混合序列，p 一( 2 ) = 0 但是 乙；咒l 既不 是n a 的，也不是p 木混合的因为 c o v z , 。_ l ，z 2 。 - c o v 乏”1 ，乏“ = e ( e ) 2 = 2 0 堂锚：一! ，d i s t 2 2 m - i ，, 2 ：m ) 川专v a r g ：+ v a r z , ：。) 3 。 一。7。 引理2 1 1 2 7 1 设 以；刀l 是p 一混合序列，e x = o ，e i 以i p 2 ，v n 1 记 邑- - z 置则存在仅依赖于p 和p 一( ) 的常数c = c ( p ，p 一( ) ) ，有 e ( m 脚a 引x l s ，。i ，) c 喜e l 置l p + ( 喜蹈) 2 ， 引理2 1 2 设 ；刀1 ) 是任意随机序列如果存在某r v x ，使对任意工 o 及阼1 ， 有尸( j t 力c e ( 1 x l - 工) ，s u x 寸v p o v t o 有- e f 以l 声，( f 以i ，) c ( e i i 芦，( i z i ，) + f 芦尸( i x i ，) ) 桂林理工大学硕士学位论文 引理2 1 3 幽1 设事件4 ，4 ，4 满足v a r ( & ) sc z p ( 4 ) ，则有 t ；lk f l ( 一p ( 皇4 2 窆k f f i l 尸c 4 ，c p ( q 4 ) 第二节主要结果及证明 定理2 2 1 设 以；刀1 ) 是p 一混合序列，存在某r v x ，使对任意x 0 及刀1 ，有 e ( 1 x 1 工) c 尸( 1 x l x ) 成立，o 0 及n 1 ，有 p ( 1 x 1 - x ) c 尸( 1 x l x ) 成立，o 。中取正值，且墨笋关于x 单调不减，鼍笋关于x 单调不增，此外 ；刀1 ) 是常 数列，满足0 a 。个o d 及 则 ，( x i ) g i ( a 。) 0 中取正值，g ( x _ - - 2 y 讦x 单调不减， 鼍笋关于x 单调不增，此外 ；以1 ) 是常 桂林理工大学硕士学位论文 数列，满足0 l ，由e x i = 0 ，( 2 1 ) 式，m a r k o v 不等式，a c p 1 及引理2 1 2 得 疗m a x l 善础| 刀口) + 矿日( 例 矿) ) c - 卵e i x i q 阶州+ 凸e 譬州x i 坩) e l x l p1 ( i x l 刀口) 一0 ， 拧 ( i i ) 当口 1 ，p 1 时，由( 2 1 ) 及j e n s e n 不等式有e l x l 】 c n = e l x l ，( i x l 姘) + 伽警刈x l 1 ，p 1 时，因为 o ； l 刀mm a x l 之e j ：l 门口) 酣口喜e m ( ) 口 = l ， 国k e l x l l ( ( k - 1 ) 口 i x l - 矿) ， 注意到口p 1 ，p 1 ，有 1 2 桂林理工大学硕士学位论文 胪e x l l ( ( k - 1 ) 口 i x i 后8 ) 扩p e l x l pl ( ( k - d 口 l x l k 口) 七l k = i - z e l x l p ( ( k - 1 ) 口 i x i 旷) k = 1 名e l x l ， o o ， 所以由k r o n e c k e r 引理，得 故 门卜口e l x l z ( ( k - 1 ) 8 l x l - 0 ，当甩充分大时，有 故当门充分大时有 m i j a x nl 孝e r l - c n a , 3 i ， - i 矿) u k m a x 。i s 肛，v ，辄吲甜 c 坩 u 磁俐猢0 c 闰6 x , j 坩) u 搿阻刮爿 垒a , u c ， 故为t i e ( 2 2 ) 式，只需证明 先证( 2 6 ) 式，f l j ( 2 1 ) 有 以咿2 p ( a ) - , 2 ) = c 刀驴1 p ( j 口 l x l - ( j + 1 ) 口) n = l n = l n = l j - n mf = c 2 x n * - t p ( j 口 l x - - - ( j + 1 ) 口) c 尸p ( j 口 i x l - ( y + o 口) j = tn = l= l e l x l ， o o 1 3 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 、，4 ，l p 之 印 珂 。脚 矿) h = ln = l ， = 纩卜2 口2 ，酊一1 ) 口 l x l - 口) + n a p - 1 刖口 l x l o + 1 ) 。) j = ln = jj = lh = l e l x l ，似一1 ) 口 l x l - j 口) + e l x l p j = l e l x l p - - 1 仍是两两n q d 阵 列 显然，( 以 z ) 一目，( 以 工) 】和，( 以 x ) 】；刀1 和 ，( 咒 占刀。) c v a r 嘉，c 一 f 矿， + v a r 喜，c _ e n 。) + 尸( 群) 由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 和引理3 可知 善尸( h 猢8 ) 刚( m 脚a 引x l x ，i 猢q ( 2 1 1 ) 由( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 有 桂林理工大学硕士