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期权定价的数值解及极限性质 摘要 在金融数学与金融工程中，期权定价理论是我们的主要研究领域之。在 金融工具及其衍生产品的创新过程中，期权定价理论起着核心作用。人们将b s 期权定价理论视为经典的金融分析技术，以b s 期权定价理论为基础，除了标 准的欧式期权和美式期权外，还考虑了一些奇异期权，因此b s 期权定价模型 得到了各种各样的推广。 然而，随着金融工具及其衍生产品的不断创新，依据b s 方程及其扩充方 程来进行期权定价时，对一些奇异期权，在很多的情形下，方程的解析解是无 法得到的，如障碍期权。 为了对这些期权定价，本文就借助数值方法来对其定价，用二项式模型及 其扩充模型来估计障碍期权的解。文章分为三个部分，具体工作如下： 在第一章中，阐述期权的些基本概念，期权定价理论的原则和一些基本 假设；并且介绍了一种奇异期权障碍期权的概念。 第二章，首先介绍了二项式定价模型的基本思想，推导出了障碍期权的二 项式定价公式，此式推广了标准的二项式定价公式：其次，介绍了三项式定价 模型的构造及基本思想，得出了障碍期权的三项式定价模型；最后，推广了三 项式定价模型，提出了混合型三项式定价模型。 第三章中证明了二项式定价模型和三项式模型的极限性质，并得到了它们 都是b - s 模型在时间上的一阶近似。 关键词：期权定价；障碍期权；二项式模型；三项式模型；混合型三项式定价 模型 n u m e r i c a ls o l u t i o nf o rp r i c i n go p t i o n sa n d i t sa s y m p t o t i cl i m i t a b s t r a c t i nf i n a n c i a lm a t h e m a t i ca n df i n a n c i a le n g i n e e r i n g ，t h et h e o r yo fo p t i o n s p r i c i n gi st h ec o r eo fo u rs t u d yf i e l d s a st h ef i n a n c i a li n s t r u m e n t sa n df i n a n c i a l d e r i v a t i v e sc r e a t e d ，t h et h e o r yo fo p t i o n sp r i c i n gi so fi t sh e a r ti m p o r t a n c e t h e t h e o r yo fo p t i o n sp r i c i n go fb l a c k s c h o l e sh a sb e e nt r e a t e da s c l a s s i c a lf i n a n c i a l a n a l y t i ct e c h n i q u e u n d e rt h eb a s eo ft h et h e o r y , e x c e p tt h ee u r o p e a nv a n i l l ao p t i o n s a n da m e r i c a nv a n i l l ao p t i o n s ，s o m ek i n d so fe x o t i c o p t i o n s a r e c o n s i d e r e d ， b l a c k s c h o l e se q u a t i o ng a i n sm u c he x t e n s i o n h o w e v e r , s i n c et h ef i n a n c i a li n s t r u m e n t sc o n t i n u o u s l yc r e a t e d ，c l o s e df o r m s o l u t i o n so fb l a c k s c h o l e se q u a t i o na n di t se x t e n s i o ne q u a t i o n sa r ei m p o s s i b l y d e r i v e do nm a n yo c c a s i o n s ，e s p e c i a l l ys o m ee x o t i co p t i o n s ，f o re x a m p l e ，b a r r i e r o p t i o n s i nt h i sa r t i c l e ，o p t i o nv a l u a t i o ni sr e s o r t e dt on u m e r i c a lp r o c e d u r e s w em a k e u s eo f b i n o m i a lm o d e la n di t se x t e n s i o nm o d e lt oe s t i m a t eb a r r i e ro p t i o n sv a l u a t i o n m a i nc o n t e n t so f t h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w e d ： t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e s g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i co ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ， f u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n ds o m eb a s i ca s s u m p t i o n si nf i n a n c i a lo p t i o nt h e o r y t h e na k i n do fe x o t i co p t i o n _ b a r t i e ro p t i o nc o n c e p ti sp r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，t h eb a s i ci d e a so fb i n o m i a lp r i c i n gm o d e la r ec o n c e r n e d ，w e d i s c u s sb i n o m i a lp r i c i n gm o d e lo fd i s c r e t eu p a n d - o u tc a l l sa n ds h o wt h ef o r m u l a ，i t e x t e n d sb i n o m i a lp r i c i n gm o d e lo fe u r o p e a no p t i o n i ti st h e nf o l l o w e db yt h e d i s c u s s i o no ft h es t r u c t u r ea n dt h o u g h to ft r i n o m i a lp r i c i n gm o d e l ，t h ef o r m u l ao f b a r r i e ro p t i o ni sd e r i v e d a tl a s t ，w ep r o v i d em i x e dt r i n o m i a lp r i c i n gm o d e l t h e a s y m p o s t i cl i m i t so f t h eb i n o m i a lf o r m u l aa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r3 a n d w ep r o v e dt h ee q u a t i o no fo p t i o nv a l u eo fb i n o m i a la n dt r i n o m i a ls c h e m es a t i s f y i n g i so n eo r d e ra p p r o x i m a t i o n k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，b a r r i e ro p t i o n s ，b i n o m i a lp r i c i n gm o d e l ，t r i n o m i a lp d c i n g m o d e l ，m i x e dt r i n o m i a lp r i c i n gm o d e l 独创性声明 本人声明所呈变的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 盒目g 王些五堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谓 意。 学位论文作者签名：殳隶蟛 签字日期：彦彳年岁月，7 日 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金目竖王些友堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权量 魍王、业友堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 吴表骂 签字日期：未缶多月弓f 日 学位论文作者毕业后去向 下作单位： 通讯地址： 导师签名： 弘锄? l 签字b 强：秒。年j 佣；| b 电话 邮编 致谢 首先把特别的感谢和敬意献给我尊敬的导师杜雪樵教授! 本人在两年多的 研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始自终得到杜老师的悉心指导， 无论从课程学习，论文选题，还是到收集资料，论文成稿，都倾注了杜老师大 量的心血。由衷地感谢杜老师在学业指导及各方面所给予我的关心以及从导师 言传身教中学到的为人品质和高尚的道德情操，杜老师渊博的学识，严谨认真 的治学态度，诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，必将使我终身受益，并激 励我勇往直前。在此再次向导师表示我衷心的感谢和敬意! 在两年多的学习和论文创作过程中，理学院的多位老师及许多同学朋友给 了我无私的帮助，在此一并表示我真诚的谢意! 最后，我还要感谢我的家人和亲人们，他们是我学习和生活的精神动力， 是他们时时刻刻的关爱、支持、爱护和鼓励，使我战胜困难，完成学业! 作者：吴素琴 2 0 0 6 年5 月 引言 期权是风险管理的行之有效的工具之一，利用期权及其他金融产品，包括 股票、债券、期货、互换等金融服务，如结算、清算、发行、承销等，可以制 造性地解决各种现实金融问题。 期权是一种投资工具，不仅期货交易者可以使用，现货商也可使用。 在2 0 世纪7 0 年代以前，期权交易中权利金的确定都是买卖双方直接或通 过经纪人间接凭经验估计协商确定，而不是通过大量的公开竞价决定，因而放 反映不出一个统一的期权市场价格。在1 9 7 3 年芝加哥期权交易所开业的同时， 芝加哥大学开发出了一套期权定价模型，称b l a c k - s c h o l e sm o d e l 1 ( 布莱克 斯托克斯模型) 。其计算结果非常近似于实际市价。后来，莫顿( r o b e r tm e r t o n ) 对该模型有进行了进一步的改良。目前，该模型已经成为世界期权交易定价的 主要理论，极大地便利了期权定价及交易。19 9 7 年，b l a c k ( s c h o l e s 已经去世1 和m e r t o n 两位教授因此获得了诺贝尔经济学奖。 随着b l a c k s c h o l e sm o d e l 的广泛应用和期权范围的扩大，更多的修正模型 也发展起来。期权定价模型的发展与完善，使期权价格形成更加科学，进步 降低了交易成本，减少了利差，从而使期权交易量进一步扩大，期权市场更加 活跃。然而，随着金融工具及其衍生产品的不断创新，依据b l a c k - s c h o l e s 方程 及其扩充方程来进行期权定价时，在很多情况下，方程的解析解是无法得到的， 特别是一些奇异期权，如障碍期权。本文就借助数值分析方法来对期权定价， 用二项式模型和三项式模型来估计期权的解。具体工作如下： 在第一章中，阐述期权的基本概念，期权定价理论的原则和一些基本假设： 并介绍一种奇异期权障碍期权的概念。 第二章中，首先介绍了二项式定价模型的基本思想，推导出了障碍期权的二 项式定价模型：然后介绍了三项式定价模型的构造及思想，得出了障碍期权的 三项式定价模型：最后，将三项式模型进行了一种推广混合型三项式定价 模型。 第三章，证明了二项式定价模型和三项式定价模型的极限性质，得到了它 们都是b s 模型在时间上的一阶近似。 第一章期权的概念与定价理论基础 1 1 期权的概念 1 1 1 期权的定义 期权( o p t i o n ) ，是指某一标的物的买卖权或选择权，具有在某一限定时期 内按某一指定的价格买进或卖出某一特定商品或合约的权利。这种权利是买进 者拥有的一种权利，并非一种义务。 期权的概念是站在买方的角度定义的，以后的很多概念都是从买方定义的， 比如看涨期权、看跌期权、实值期权，虚值期权、权利的放弃等。期权的 特点1 1 0 1 是： 第一，买方要想获得权利必须向卖方支付一定数量的费用( 指权利金) 。 第二，期权买方取得的权利是在未来的或在未来的一段时间内( 指美式期权) 或在未来某一特定日期( 指欧式期权) 。 第三，期权买方在未来的买卖标的物是特定的。 第四，期权买方在未来的买卖标的物的价格是事先规定的( 指履约价格执行价 格) 。 第五，期权买方可以买进标的物( 指买进看涨期权的履约) ，也可以卖出标的物 ( 指买进看跌期权的旅游月) 。 第六，期权买方取得的是买卖的权利，而不负有必须买进或卖出的义务，买方 有执行的权利，也有不执行的权利，完全可以灵活选择。 期权是某一标的物的买卖权或选择权。期权是一种衍生金融工具，但又不 仅仅是一种金融工具。如前所述，期权是一种特定的金融合同，分为买权和卖 权两种基本类型。买权合同赋予持有者( 合同的做多方) 在规定的时间内以事先预 定的价格，从买权合同的出售者( 做空方) 处购买一定数量标的资产的权利。卖权 合同则赋予其持有者在规定的时间内以事先预定的价格向合同的做空方出售 一定数量的标的资产的权利。 在另一方面，根据期权合同持有者在有效期内行驶权利的自由度不同，期 权有可分为欧式期权和美式期权。对于美式期权合同的做多方来说，他可以在 合同规定的到期日之前任何一天行使权利，而欧式期权合同的做多方只能在到期 日那天行使权利。 下面，我们以i b m 股票期权为例，来说明期权合同的特点。所谓i b m 股 票期权，是以i b m 公司股票为标的资产的期权，它又有i b m 股票买权和i b m 股票卖权之分。 首先看一下i b m 股票买权合同。1 9 9 8 年9 月1 日，在纽约股票交易所上 市的i b m 公司股票的收盘价为$ 1 1 2 5 8 。同日，在芝加哥期权交易所( c b o e ) ， 一份执行价格为$ 1 1 5 ，1 0 月到期的i b m 股票买权的收盘价格为$ 6 5 8 。假设该 2 买权为欧式期权，则如果某投资者购买了一份该买权合同，他就获得了在该合 同到期日以每股$ 1 1 5 的价格购入1 0 0 股i b m 股票的权利。显然，在买权到期 日，只有当i b m 股票的市场价格高于$ 1 1 5 的条件下，该投资者才会选择执行 该买权，即以$ 1 1 5 的价格买入1 0 0 股i b m 股票，如果他转手将这1 0 0 股股票 按市价卖出，交易成本忽略不计，其总收益等于1 0 0 ( 股票市价执行价格买权 价格) 。反之，如果股票价格低于$ 1 1 5 ，则该投资者必然会选择放弃该买权，即 他不会以$ 11 5 的价格购入市价低于$ 1 1 5 的股票，其损失仅限于期初支付的权 利金( $ 6 5 8 + 1 0 0 ) 。 另一方面，在c b o e ，一份执行价格为$ 1 1 5 ，1 0 月到期的i b m 股票卖权合 同的价格为$ 6 3 4 。因此，某投资者在购买了该卖权合同后，就获得了在合同到 期日以每股$ 1 1 5 的价格出售1 0 0 股i b m 股票的权利显然，在卖权到期日，只 有当i b m 股票的市价低于$ 1 1 5 时，该投资者才会选择执行该卖权。他可以用市 价买入1 0 0 股i b m 股票，然后以每股$ 1 1 5 的价格出售，忽略交易成本，其总收 益等于1 0 0 ( 执行价格股票价格卖权价格) 。反之，如果股票市价高于$ 1 1 5 ，其 损失也仅限于期初支付的权利金( $ 6 3 4 * 1 0 0 ) 。 通过上例可以看到，对于买权的做多方来说，他希望标的资产的市场价格 上涨，所以买权又译为“看涨期权”( c a l lo p t i o n ) ，相反，对于卖权的做多方来 说，他希望标的资产的市场价格下跌，因此卖权又译为“看跌期权”。 在上述买权合同和卖权合同的交易过程中，合同的做多方向合同的做空方 支付了一定的权利金( 即期权合同的价格) ，得到了执行合同的权利。相反，期 权合同的做空方在收到这笔收入以后，就要等待前者的最终选择。例如，如果 买权合同的做多方选择执行合同，则做空方必须按合同的规定卖出i b m 股票； 如果卖权合同的做多方选择执行合同，则做空方必须按合同的规定买入i b m 股 票。当然，如果期权合同到期时，持有者选择放弃行使权利，则合同自然作废， 做空方得到相应的利润，即对方所支付的权利金。 1 1 2 期权的分类 我们可以从不同的角度对期权进行分类。除了按期权的性质分为看涨期权 和看跌期权外，常见的分类还有如下三种 4 7 】。 第一，按履约时间划分，期权可分为美式期权和欧式期权。美式期权和欧式期 权是交易所在合约设计时就已规定的，不是投资者可以自由选择的，主 要是告诉投资者何时可以履约。欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 是指期权合 约的买方在合同到期日才能按履约价格决定其是否执行权利的一种期权 ( 见图1 一1 ) 。 翅抠盛窑q到翅目堂 ( 2 0 0 3 年5 月9 日)到期目前不能执行权利( 2 0 0 3 年8 月8 日) 图l l欧式期权权利执行期限示意图 美式期权( a m e d c a n o p t i o n ) 是指期权合约的买方在期权合约的有效期内的任何 一个交易日均可按履约价格决定是否执行权利的朝权( 见图1 2 ) 期抠唐窑曼到翅目! ( 2 0 0 3 年5 月9 日) 到期日前任何时问均可执行期权( 2 0 0 3 年8 月8 日) 图l 2美式期权权利执行期限示意图 第二，按交易方式的不同，期权可分为标准化期权和非标准化期权。标准化期 权( v a n i l l ao p t i o n ) 是在交易所上市交易的期权。非标准化期权又称为变 异期权( e x o t i co p t i o n ) ，它们大都是在店头市场上进行交易。 第三，按照标的资产类型的不同，期权可分为股票期权、利率期权、货币期权、 黄金期权、商品期权、期货期权等。 1 1 3 期权概念的扩展 在金融市场上，还从来没有一种金融工具能够像期权那样具有如此高度的 灵活性，这种灵活性主要体现在以下两方面。首先，它表现为期权市场操作策 略的灵活性，即能够广泛应用于金融市场投资、套利和套期等各个方面。在另 一方面，期权的高度灵活性还表现在期权产品的创新能力。这就是说，在标准 的期权合同基础上，运用期权理论和分析方法，金融工程是可以设计创造出各 种不同特征的期权新品种。在期权市场上，这些风格迥异的期权商品正在源源 不断地被推出，即变异期权( 相对于标准期权而言) 。 变异期权一般不存在固定的交易场所，主要是在店头市场进行交易。从2 0 世纪8 0 年代末期开始，变异期权市场得到了迅速的发展，其主要原因是：首先， 与标准期权相比，变异期权具有较强的灵活性，即其结构特征可以根据客户的 不同要求进行设计。其次，随着金融理论特别是金融工程学理论研究的不断深 入，金融机构设计和创造复杂金融工具的能力大大加强了；在另一方面，企业 及基金管理人等金融市场参与者对复杂金融工具的理解也越来越深入。第三， 相对于运用标准期权的组合来复制变异期权结构的策略，直接构造变异期权的 成本便宜一些。最后，金融市场竞争的日益加剧迫使金融机构加速创新的进程。 下面。我们只对变异期权中的与路径相关的一种变异期权障碍期权1 1 0 l 进行介绍。障碍期权( b a r r i e ro p t i o n ) 分敲入期权( k n o c k i no p t i o n s ) 和敲出期 4 权( k n o c k o u to p t i o n s ) 两种。 所谓敲入期权，是对期权设置了进入屏障，即标的资产的某个价值水平。 一开始，敲入期权毫无价值可言。但是，旦标的资产市场价格s 触及该屏障， 则该期权将转化为标准期权。进入屏障分上下两种设置，将敲入期权相应分为 向上敲入看涨期权( u p a n d i nc a l l ) 、向上敲入看跌期权( u p a n d - i np u t ) 、向下 敲入看涨期权( d o w n - a n d - i nc a l l ) 、向下敲入看跌期权( d o w n - a n d i np u t ) 四种。 向上敲入期权设置了上屏障，当s 向上运动触及上屏障时，该期权变成标准期 权。向下敲入期权则设置了下屏障，当s ，探至下屏障时，该期权变成标准期权。 敲出期权的特点则与敲入期权恰恰相反，它对期权设置了退出屏障。一开 始，敲出期权为一标准期权。但是，一旦s 触及该屏障，则该期权将立即作废。 同样，退出屏障也分为上下两种，相应有向上敲出看涨期权( u p a n d o u tc a l l ) 、 向上敲出看跌期权( u p 。a n d o u tp u t ) 、向下敲出看涨期权( d o w n a n d o u tc a l l ) 和 向下敲出看跌期权( d o w n - a n d o u tp u t ) 。 无论是敲入期权还是敲出期权，执行价格的设置与屏障的设置是相互独立 的。这就是说，执行价格可以比屏障高，也可以比屏障低。障碍期权实际上是 一种附加条件的标准期权。例如，对于敲入期权的买方来说，只有当屏障被触 及，其手中的期权才会成为一个标准期权，并具有相应的价值。对于敲出期权 的买方来说，一旦屏障被触及，其手中的期权将变得一文不值。总之，障碍期 权的价值具有很大的不确定性，所以在其他条件相同时，障碍期权的价格要低 于标准期权。 障碍期权显然是路径相关的，这就是说，障碍期权在当前时刻的价格，不 仅取决于标的资产当前市场价格，还与该价格过去和未来的变化轨迹有关。投 资者选择障碍期权的原因之一是其价格相对于标准期权要便宜，但障碍期权更 主要的应用并不仅仅在此。 例如，下图说明了置变化的不同路径是如何影响下敲入看涨期权损益结构 的。图a 给出了执行价格小于屏障的情况，其中，路经1 和路径2 均触及了屏 障，因而向下敲出看涨期权转变成标准期权。在到期日，路经l 和路径2 的终 值均高于执行价格，因此合同持有者将执行买权。不过，路经1 的终值低于屏 障，而路经2 的终值在屏障之上。对于路径3 ，它自始至终未触及屏障，故向下 敲入买权到期作废，买方之得到定的补偿。，图b 给出了执行价格大于屏障 的情况。虽然路径1 和路径2 的终值均高于执行价格，但其中路径l 曾触及了 屏障，使得向下敲入买权转成了标准期权，合同持有者到期将执行买权；而路 经2 从未触及屏障，向下敲入买权到期作废，买方之得到一定的补偿。 ( a ) 屏障高于执行价格 x 障 0 ( b ) 屏障低于执行价格 图1 3 标的资产价格变化的不同路径对向下敲入看涨期权买卖损益架构的影响 投资者选择障碍期权的原因之一是其价格相对于标准期权要便宜，但障碍期权 更主要的应用并不仅仅在如此。下面，我们分别从做多和做空的角度出发，说 明敲出看涨期权的应用。 首先看一下做多敲出看涨期权的作用。假设某投资者打算在股市抄底进场， 当前股指在8 0 0 0 点，根据技术分析，在这附近市场有一定的支撑。进一步，即 使市场会有所下跌，在7 8 0 0 点附近将会遇到很强的支撑。此时，该投资者可以 买入股指下敲出买权，执行价格为8 0 0 0 点，而屏障设为7 8 0 0 点。这样做的结 果有以下三点好处：第一，价格相对于标准期权来说便宜。第二，如果股指下 跌，他可以确切知道自己可得到一定补偿，因此不必担心随时间推移或隐含波 动率的减小所造成的买权时间价值的可能损失。第三，一旦股指跌至7 8 0 0 点以 下，根据原先的预期，该投资者将果断地进入现金市场，买入股指期货。总之， 上述投资策略既与投资者对市场的预期温和，又减少了可能的投资成本。 其次分析一下做空敲出买权的应用。假设某金融机构专门在o t c 期权市场 上进行卖空债券期权的交易。为避免风险，该机构在做空债券期期权的同时， 必须通过适当的方法构造d e l t a 中性组合。进一步，随着标的债券的价格变化， 为保持组合的d e l t a 中性，还必须不断对组合比率进行调整。如果在标准期权 市场上，要实现上述策略，可供选择的方法有很多。但是，在o t c 市场，由于 流动性匮乏，该机构在卖给其客户一个债券看涨期权后，其构造d e l t a 中性的 唯一方法是做多表的债券。此后，如果债券价格发生变化，为保持d e l t a 中性， 它只能不断调整所持的债券数目。例如，当债券价格下跌，做空买权的d e l t a 相应减少( 因为做空买权的g a m m a 为负数) ，该机构必须以低价卖出债券以保 持d e l t a 中性。此后。如果债券价格又增加，该机构又必须以高价买入债券。如 果标的债券市场变化比较剧烈，这种调整所对应的成本累积起来，有可能超过 其做空买权的权利金收入。考虑到上述理由，该机构可以用下敲出买权来代替 标准买权，即出售给客户一个下敲出买权。这样，当债券价格下跌到屏障水平 时，由于下敲出买权将作废，该机构可得到自己所预期的收入( 权利金减去付 给做多方的补偿) 。既然如此，就免去了调整组合的必要。 1 2 期权的定价理论 1 2 1 期权定价理论的突破和发展 在2 0 世纪7 0 年代以前，期权交易中权利金的确定都是买卖双方直接或通 过经纪人间接凭经验估计协商确定，而不是通过大量的公开竞价决定，因而反 映不出一个统一的期权市场价格。在1 9 7 3 年，芝加哥期权交易所开业的同时， 芝加哥大学开发出了一套期权定价模型，称b l a c k s c h o l e sm o d e l ( 布莱克斯考 脱斯模型) ，其计算结果非常近似于实际市价。后来，莫顿( r o b e r t m e r t o n ) 对 该模型又进行了进一步的改良。目前，该模型已经成为世界期权交易定价的主 要理论，极大的便利了期权定价及交易。1 9 9 7 年，布莱克( 斯考斯已经去世) 和莫顿两位教授因此获得了诺贝尔经济学奖。 随着b l a c k s c h o l c sm o d e l 的广泛应用和期权范围的扩大，更多的修正模型 也相继发展起来。期权定价模型的发展与完善，使期权价格形成更加科学，迸 一步降低了交易成本，减少了利差，从而使期权交易量进一步扩大，期权市场 更加活跃。 1 2 2 期权定价的基本假设与原则 ( ) 期权定价的有关假设 任何理论都使建立在一定假设基础之上的，反过来，这些假设的可靠程度 又决定了理论与现实的接近程度。在现代金融学领域，包括期权定价理论在内 的各种金融资产的定价理论都建立在以下五条关于金融市场的一般特征的假设 基础上e l 、6 、7 、l o 】。 假设一：市场不存在摩擦( f r i c t i o n e s s ) 。这就是说，金融市场没有交易成本 ( 包括佣金费用、买卖差价、税赋等) ，没有保证金要求，也不存在卖空的限制。 假设二：市场参与者不承担信用风险。这就是说，对于市场参与者所涉及 的任何一个金融合同交易。合同对方不存在违约的可能。 假设三：市场是完全竞争的。这就是说，金融市场上任何一个参与者都是 价格的加速后者，而不是价格的制定者。 假设四：市场参与者延误风险，且希望财富越多越好。 假设五：市场不存在套利机会。如果市场上存在套利的可能性，价格会迅 速准确地进行调整，舍得这种套利机会很快消失。 无套利假设是期权定价理论得以生存和发展的最重要的假设，在研究期权定价 模型时广泛应用的无套利定价原则正是建立在此假设基础之上。 ( - - ) 期权定价的基本原则无套利原则 无套利定价原则是期权定价理论的基本原则之一，并在推导各种期权定价 模型的过程中得到了广泛的应用。根据无套利定价原则，在一个有效的资本市 场上，任何一个金融资产的定价应当使得利用该项资产进行套利的机会不复存 在。换句话说，如果某项金融资产的定价不合理，则市场上必然会出现以该项 资产进行套利活动的机会，而套利行为的出现会促使该资产的价格趋向合理， 并最终使套利机会消失。 第二章期权的数值解 2 1 背景与问题 在金融数学与金融工程中期权定价理论是我们的主要研究领域之一。在 金融工具及其衍生产品的创新过程中，期权定价理论起着核心作用。由于b l a c k 与s c h o l e s 的杰出工作，他们获得了1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖，b l a c k s c h o l e s 期权定价理论被为称颂，人们将其视为经典的金融分析技术，以b s 期权定价 理论为基础，考虑各种具体的金融产品，如极大极小期权、汇率连动期权、重 设期权以及利率衍生产品等，。b l a c k s c h o l e s 期权定价方程得到了各种各样的 推广。随着金融创新工程的不断深入，更多的金融衍生产品及实物期权等待我 们开发。然而，依据b s 方程及其扩充方程来进行期权断定家时，在很多情形 下，方程的解析解是无法得到的。在实践中，人们更多的是借助数值方程来对 期权定价。本章中主要讨论期权的二项式定价模型，适当地选择二项分布的参 数，不断细分的二项式模型能够正确地描述标的资产价格变化规律，并依据无 套利均衡分析原理，利用二项式的动态复制技术来为其期权定价。 但是。在二项式模型中，由于一时期内价格的变化只允许出现两种可能的 状态，从而导致数值计算误差偏大，因此，为了提高计算的精确度，本章又介 绍了三项式定价模型。 2 2 二项式定价模型 2 2 1 标准期权的二项式定价模型 一、资产组合复制【1 1 1 我们设股票在时间t = 0 的价格为鼠，该股票在时间t = 1 由两个可能的状 态s 。、配，且分别以概率g 和1 一g 。其中s 。= u s o ，s d = d s o 。 我们可以通过采用一个资产组合复制的策略来实现对看涨期权的定价。考虑通 过股票和债权( 即无风险资产) 的组合来复制看涨期权多头的收益。 先引入一个无风险资产。假设无风险资产的利率由r 表示，无风险收益率 r = l + ，则有甜 r d 。这样才会保证不存在无风险套利机会。再设我们的 资产组合a 由口单位股票和曰美元的无风险债券组成。当b 0 时，等价于购 买债券，当b o 等同于借出现金， b r d 。 因此，p 是一个介于0 和1 之间的数，故可以把p 看成是某一概率。这样公 式( 2 。2 ) 表示看涨期权期初c 的价值的计算等价于如下过程：先按概率p 计算 看涨期权期末价值c 】的期望值( 即看涨期权期末价值c 1 为c 。的概率是p ，为 c 。的概率是1 一p ) 再按无风险利率，贴现到期初。 为进一步说明p 的意义，我们考虑离散场合，即r = 1 + ，。如果定义 胄，= 生一1 = “1r 。= = 生一1 = d 一1 。 s o 。 & 即r 。和如分别表示标的股票在s ，的不同取值所对应的百分比投资回报率，则不 难证明，p 满足以下方程砘+ o p 江d = ， 它表明按p 计算的标的股票投资回报率的期望值( 回报率为c 。的概率是p ，为 。的概率是1 一p ) 等于无风险利率，。在另一方面，由公式( 2 2 ) 又可得到 【p e + ( 1 一p ) c d c 一1 = ， 它表明按p 计算的标的股票投资回报率的期望值也等于无风险利率，。所以，p 是使得风险性的股票投资和买权投资的期望回报率等于无风险利率的概率。 ( 二) 风险中性假设 股价上升概率口是投资者对标的股票价格上涨可能性大小所做出的主观判 断，不同的投资者会有不同的认识：有的人持乐观的态度，即认为q 比较大， 0 有的人持悲观的态度，即认为q 比较小，大家很难有一致的看法。但是，我们 在推到公式( 2 2 ) 的过程及其结论中，并没有涉及到q ( 或1 一q ) ，这就是说， 上述对q 的认识的分歧并不影响期权的定价结果。因为大家最终都一致同意风 险中性概率p ，它只取决于r 、“和d 这三个可观因子，与投资者个人的主观 概率q 无关，也与期权的种类无关。因此，在对期权定价时，可以假设投资者 是风险中性的。 三多期二项式定价模型 单期二项式模型的推导反映了建立b s 期权定价模型的基本思路，即构 造一个由标的股票和无风险债券的适当组合( 买入适当股数的标的股票，同时 按无风险利率借入适当金额的现金) 使得该组合具有这样的特点，即无论未来 出现什么样的情况，其价值特征都能够完全再现期权在到期目的价值特征。显 然，上述的单期二项式模型过于简单，它只能用来说明期权定价的基本思路， 其本身并不具有应用价值，因为在实际中，标的资产的市场价格是一个连续的 随机变量，不可能只有两种状态。但是，如果我们把从定价日至到期日的时间 划分成两个阶段，在每一阶段，仍然假设标的资产值可能取两种状态，即上涨 或下跌，且上涨或下跌的幅度不变，则可以证明，在第二阶段结束时，标的资 产的可能取值将变为3 个，按此思路，如果我们将定价日至到期日的时间进一 步细分为n 个阶段，则标的资产在到期日( 即第 阶段结束时) 状态的可能取 值将增加为以+ 1 个。特别，如果让n 呻，即所划分的阶段无穷多( 每个阶段 所对应的长度无限小) ，则完全有理由用两种状态的二项式模型来近似表示标的 资产价格的连续变化过程。这就是说，可以用一个无穷期的二项式模型来精确 逼近一个标的资产价格连续变化的期权定价模型。因此，我们只要推导出n 期 的二项式期权定价模型，然后令九趋于无穷，就可能得到真正具有实用价值的 连续型期权定价模型。 两周期的_ = 项式模型比较直观，如下图示： c 令c 二为两周期后连续上升的期权价值，c 。2 为两周期后连续下降的期权价 值，c 三为先上升后下降的期权价值。 则有 一p c 二+ ( 1 一p p 0 c 。= 篮芈地 所以c ：旦旦逊二旦警q ：丛鱼 这里c 。2 。= m a x 02 s - x ，0 ) c 刍= m a x ( u d s x ，0 ) c 刍= m a x p 2 s x ，0 ) 以此类推，经过玎期后，在到期日股价状态鼠的可能值为s u j d ”，j = 0 , 1 ，”，即 上涨，次，下跌胛一j 次。由概率论可知，随机变量s 。服从二项分布，即 s 。= s u d ”( 在押此运动中上涨次，下跌月- j 次) 的概率为c ：p j o p ) ”。由 数学归纳法我们可以推出h 期看涨期权的二项式定价公式 1 、5 、6 、7 、1 0 、1 3 、 1 8 1 ： c = 古陲叫0 计。m 出挑喝o ) 协。， 在公式( 2 4 ) 中，q p ( 1 一p ) ”7 可以看成是在风险中性假设下，标的股票价格 s 。= s u d ”。( 上涨- 次、下跌九一j 次) 的概率，m a x ( o ，s u d ”j x ) 为上述状 态对应的看涨期权的到期日价值。由此可见，n 期看涨期权的当前价值仍然是 到期日按无风险中性概率计算的价值期望值的现值，贴现率为无风险利率。 定义即= l n 羔 s d ” l n 兰 d 即玎为使得s u d ”x 的最小正整数。可以得到 m a ) 【( o ，s u j d 州一x ) ： o ，- ， 以 h d “s x ，j n 因此公式( 2 - 4 ) 可改写为 c ：s nc j p 0 - p ) 州可u j d , - , - 。一艘一n 窆q p j ( 1 - p ) 州 ( 2 _ 5 ) j - n o o 户矿 令审如，p ) = 砉q p j ( 1 一p y lp = 詈贝l 】1 一p = 煎 因此( 2 5 ) 可以表示为 c = 舯如，h ，p ) 一姗”b ，玎。，p ) 在另一方面，利用看涨看跌期权平价公式，可以得到欧式看跌期权的二项式定 价模型。 最后，我们对二项式期权定价过程的要点作以下说明： 第一，二项式期权定价的关键在于确定上涨因子“和下跌因子d ，并由公式 ( 2 3 ) 确定风险中性概率p 。 在实际应用中，“和d 与标的资产价格的波动率盯有关。至于其他参数，如标的 资产价格s ，无风险利率，和所经历的时期n 等，均可在定价时由市场提供。 确定u 和d 的方法有两种。设当前时刻为t ，期权到期日为7 1 。选择适当大 的r ，则每一期的长度为h = p 一，) n ，单位为年，无风险利率，为年利率， r = e x p r h 。第一种方法是 令“= e x p ( ，一盯2 2 ) h + o h 2 ，d = e x p ( r 一仃2 2 k 一葫啦 不难证明，当即_ ( 即h _ 0 ) 时，p = 坐一三， ”一d 2 第二种方法是令 “= e x p 协们jd = e x p - o h l 2 ， 则当h 足够小时，相应的p 为p “u + 静一0 - 2 d h ： j 2 。 第二，在实际运用二项式期权模型时，可以不直接套用公式，而是采用以下步 骤： ( 1 ) 从当前时刻起，由s ，“和d 向前递推运算，得到标的股票价格在第1 ，2 ，r l 各期的取值。这样，可以建立起标的股票的状态树，它反映了股价的变化路径及 在各个阶段的可能取值。 ( 2 ) 根据第n 期股价可能的状态值，求出期权相应的价值。 ( 3 ) 从第n 期起，循着状态树逆向递推，分别计算第n 一1 ，n 2 ，1 期末期权价值 的可能值，直到当前时刻。具体的计算方法是：第j 期某状态节点对应的期权 价值，等于该节点所对应的第j + 1 期期权价值的两个可能值按风险中性概率计 算的期望值，再按无风险利率贴现。 2 2 2 障碍期权的二项式定价模型 ( 一) 对于上升敲出看涨期权，已知s o 豇， k 。k 为障碍价格。假 设在股票价格达到障碍价格时，不存在赔偿。不妨设d = u - 1 则有定理 定理1 m 1 ： 对于敲出期权价值= 姆仃) 一x ) + ， 孟，t f 0 ，丁d ，则有。时 刻的无套利价格为 剐计7 薹e t 憷r + j 降g ：2 一孵i = l j 慢r , 2 ，降p z ) l “ 其中n ：( r - t + j 一” ：i _ l n x - l n s oif - 1 _ l n k - l n s 0 7 l l n u jl i n u j 我们可以根据概率论的知识和鞅测度来证明此定理。 证明：设f 为使得氐“7 k 的最小整数。令l i = m i n t ：2 m f _ i f 是首次经过 时( 即首次达到障碍价格) f i 取1 , 2 ，t 中的一个。或者如果证券价格永远达 不到价格水平k ，那么t 取无穷大设以为i ，r l 时期内价格“上升运动”的次数。 知道条件概率q s t = 品“。h = ，j 与q 岛一，= & “i s o = 七j 相等j ij 为整数 即这个条件概率与在时i 司，处于价格水3 f k 的价格过程在剩下的t 一，时期内 有i j 价格水平比较低的概率是相同的。在鞅测度下 q b = 驯i 叫) = n - t p 0 一g r 0 得，一1 1 + r dl + o 0 5 0 8 盯= 一 1 “一d1 2 5 0 8 5 = 9 c = ( 1 + ，) _ 7 ，封l t ；+ j q 型堕( 1 一g ) ! b “j 一片) 舢神, = - 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