（理论物理专业论文）黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息.pdf

黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 i o 1中文摘要u一 在广义相对论、量子力学、弦理论、热力学和统计物理等诸多学科 的交叉领域黑洞物理中，本文对当前国际物理学界极为关注的黑 洞似正模、幂率拖尾、量子纠缠和量子隐形传态进行了研究 利用l e a v e r 的连续分数法精确求解了s c h w a r z s c h i l d 黑洞、整体单极 子黑洞和稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞三种时空中不同 微扰场的似正模，主要结论如下：( 1 ) 当角量子数z ( 玻色场) 或者歹( 费 米场) 很大时，s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中任意自旋场似正模频谱的间距 相等，即u = 熹一0 0 0 0 0 i ，不依赖于自旋参数s 和模量子数咒当模 量子数n 很大时，似正模是高度衰减的，其频谱虚部的间距也相等，始 终为一1 ( 4 m ) ，与角量子数z ( 或者j ) 以及自旋参数s 无关( 2 ) 整体 单极子黑洞时空中任意自旋场的似正模依赖于对称性破缺参数日，其 中似正模频谱的实部随着日的增加而减小，但虚部随着h 的增加而增 加当模量子数n 很大时，似正模频谱虚部的间距为一( 1 一日) 。z ( 4 m ) ， 依赖于对称性破缺参数日但与角量子数f 和自旋参数8 无关( 3 ) 稳态 轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞时空中标量场的似正模频谱会 随着单位质量角动量a 的增加或者伸缩子参数d 的减小在复平面内逆 时针旋转并成螺旋状但是，对于静态g a r f i n k l e - h o r o w i t z s t r o m i n g e r ( g h s ) 伸缩子黑洞，与该黑洞电荷相关的伸缩子参数d 却无法使得似正模频 谱成逆时针的螺旋状这与荷电r e i s s n e r - n o r d s t r 6 m ( r n ) 黑洞中电荷能使 似正模频谱成逆时针螺旋状的特性完全不同提出了所谓的“类螺旋判 据”：如果所考虑黑洞的热容始终为负值，那么该黑洞时空中似正模频 谱在复平面内将无法出现螺旋状特性；反之，热容只要出现正值，该黑 洞似正模频谱在复平面内必定可以在某一时空参数的连续变化下呈现 博士学位论文 螺旋状特性这暗示着黑洞动力学演化与黑洞热力学不稳定性之间可能 存在着某些联系 利用黑洞g r e e n 函数法解析地研究了整体单极子黑洞时空中无质量 扰动任意自旋场的晚期拖尾，结果表明：对于每一给定的角量子数l ， 该黑洞背景下无质量扰动任意自旋场的晚期衰减行为将由负幂率拖尾 t - 2 1 + v ( s + l 2 ) 2 + ( t - s ) ( 1 + s + d o - h ) 主导，依赖于对称性破缺参数日和自旋参 数s 当日_ 0 时，该结果退化为s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中的幂率拖尾 t 一( z 2 + 3 ) ，显然与微扰场自旋参数s 无关 讨论了非惯性系下两个自由标量粒子和d i r a c 粒子非最大纠缠的衰 减行为，分析了一般静态球对称渐近平直黑洞时空中h a w k i n g 温度对量 子纠缠和量子隐形传态的影响，主要结论如下：( 1 ) 在非惯性系下，由 于u n r u h 效应和不同坐标系下场量子化的不对等性；具有参数a 和相应 “归一化伙伴”们j 虿的两个不同初始态的相同非最大初始纠缠将沿 着两条不同的轨迹衰减在加速度无限大情况下，标量场双模态对于任 意o t 值都不再是可提纯纠缠的；但d i r a c 场总是存在纠缠，其纠缠程度 依赖于o t 有趣的是，在此极限下的互信息恰好只是其对应初始值的一 半，该结论不依赖于初始态参数a 和场的种类。( 2 ) 在一般静态球对称 渐近平直黑洞时空中，由于h a w k i n g 效应，具有参数o t 和相应“归一化 伙伴”以= 孑的两个不同初始态的相同非最大初始纠缠将沿着两条不 同的路径衰减当h a w k i n g 温度无限大即黑洞完全蒸发以后，标量场双 模态对于任意o t 值都不再是可提纯纠缠的，但此时系统的互信息恰好 只是其对应初始值的一半。这类时空中量子隐形传态方案的保真度随着 h a w k i n g 温度的增加而减小，恰好说明了量子纠缠的衰减性 关键词：黑洞物理，似正模，幂率拖尾，量子信息，量子纠缠，量 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 i i i 子隐形传态 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 v o 2英文摘要u， a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h eq u a s i n o r m a lm o d e s ( q n m s ) ， p o w e r - l a wt a i l ，q u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mt e l e p o r t a t i o ni nt h eb l a c kh o l e p h y s i c sw h i c hi sa ni n t e r s e c t i o n a lf i e l do fg e n e r 8 l lr e l a t i v i t y , q u a n t u mm e c h a n i c s ， s t r i n gt h e o r y , t h e r m o d y n a m i c s ，s t a t i s t i c s ，a n ds oo n t h eq n m so ft h es c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e ，s c h w a r z s c h i l db l a c kh o l ew i t ha g l o b a lm o n o p o l e ( s b h g m ) a n ds t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i ce i n s t e i n m a x w e l ld i l a t o n - a x i o n ( e m d a ) b l a c kh o l ea r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ec o n t i n u e df r a c t i o nm e t h o d p r o p o s e db yl e a v e r o u rm a i nc o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o w s ：( 1 ) t h eq n m sa 5 _ s o c i a t e dw i t ht h ed e c a yo fm a s s l e s sa r b i t r a r ys p i nf i e l d sa r o u n das c h w a r z s c h i l d b l a c kh o l eb e c o m ee v e n l ys p a c e df o rl a r g ea n g u l a rq u a n t u mn u m b e rl ( f o rt h e b o s o np e r t u r b a t i o n s ) a n dj ( f o rt h ef e r m i o np e r t u r b a t i o n s ) ，a n dt h es p a c i n gi s g i v e nb y u = 南一0 0 0 0 0 iw h i c hi si n d e p e n d e n to ft h es p i nn u m b e rsa n d o v e r t o n en u m b e r 几i ti sa l s os h o w nt h a tt h es p a c i n gf o ri m a g i n a r yp a r to ft h e q n m s a th i g ho v e r t o n e si se q u i d i s t a n ta n de q u a l s l ( 4 m ) ，w h i c hi si n d e p e n d e n t o fl ( o rj ) a n ds ( 2 ) t h er e a lp a r to ft h eq n m sf o ra r b i t r a r ys p i nf i e l d si nt h e b a c k g r o u n do fas b h g md e c r e a s e sa st h es y m m e t r yb r e a k i n gs c a l ep a r a m e t e rh i n c r e a s e sb u tt h ei m a g i n a r yp a r ti n c r e a s e si n s t e a d f o rt h el a r g eo v e r t o n en u m - b e rt , ，t h e s eq n m sb e c o m ee v e n l ys p a c e da n dt h es p a c i n gf o rt h ei m a g i n a r yp a r t e q u a l s - ( 1 一日) 3 2 ( 4 m ) w h i c hi sd e p e n d e n to nhb u ti n d e p e n d e n to nt h eq u a n - t u mn u m b e rfa n ds p i nn u m b e rs ( 3 ) t h em a s s l e s ss c a l a rq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e s o fas t a t i o n a r ya x i s y m m e t r i ce m d ab l a c kh o l em o v ec o u n t e r c l o c k w i s ea n dg e ta v i 博士学位论文 s p i r a l l i k es h a p ei nt h ec o m p l e xp l a n ef l st h ea n g u l a rm o m e n t u mp e ru n i tm a s s ai n c r e a s e st oi t se x t r e m a lv a l u eo rt h ed i l a t o ndd e c r e a s e st oi t se x t r e m a lv a l u e f o rt h er o t a t i n gb l a c kh o l e h o w e v e r ，f o rt h en o n r o t a t i n gg a r f i n k l e - h o r o w i t z - s t r o m i n g e r ( g h s ) d i l a t o nb l a c kh o l e ，t h ed i l a t o np a r a m e t e rd ，w h i c hi sr e l a t e dt o t h ee l e c t r i cc h a r g eo ft h i se m d ab l a c kh o l e ，c a n n o tm a k et h ef r e q u e n c i e ss p i r ei n t h ec o m p l e xp l a n e jw h i c hi sq u a l i t a t i v e l yd i f f e r e n tf r o mt h ec h a r g eo ft h er e i s s n e r - n o r d s t r s m ( r n lb l a c kh o l e t h es o - c a l l “s p i r a l l i k ec r i t e r i o n ”i so b t a i n e da n di t p o i n t so u tt h a tt h ef r e q u e n c i e sw o n ts p i r ei nt h ec o m p l e xp l a n ei ft h eh e a tc a p a c i t y f o rt h ec o n s i d e r e db l a c kh o l ei sa l w a y sn e g a t i v ea n dv i c ev e r s a i ts e e m st oi m p l y t h a tt h e r ei ss o m er e l a t i o nb e t w e e nt h ed y n a m i c a le v o l u t i o na n dt h e r m o d y n a m i c i n s t a b i l i t i e sf o rt h eb l a c kh o l e t h el a t e - t i m eb e h a v i o ro fa r b i t r a r ys p i nf i e l d si nt h eb a c k g r o u n do fas b - h g mi ss t u d i e db yu s i n gt h eb l a c k - h o l eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o d i ti ss u r p r i s - i n g l yf o u n dt h a tt h i sl a t e - t i m eb e h a v i o ri sd o m i n a t e db ya ni n v e r s ep o w e r - l a w t a i lt - 2 1 + 两可矛可i 而石石汉f _ 】w h i c hi sd e p e n d e n to nt h e 趼m m e t 珂b r e a k - i n gs c a l ep a r a m e t e rha n dt h es p i nn u m b e rsf o re a c hq u a n t u mn u m b e r1 a n da u s 日_ 0i tr e d u c e st ot h es c h w a r z s c h i l dc a s et - ( 2 2 + 3 ) w h i c hi si n d e p e n d e n to ns ： t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w om o d e so ff r e es c a l a ra n dd i r a cf i e l d sa ss e e n b yt w or e l a t i v e l ya c c e l e r a t e do b s e r v e r si si n v e s t i g a t e da n dt h ee f f e c to ft h eh a w k - i n gt e m p e r a t u r eo nt h ee n t a n g l e m e n ta n dt e l e p o r t a t i o nf o rt h es c a l a rf i e l di na m o s tg e n e r a l ，s t a t i ca n da s y m p t o t i c a l l yf l a tb l a c kh o l ew i t hs p h e r i c a ls y m m e t r yi s a l s oa n a l y z e d o u rm a i nc o n c l u s i o n sa r ea sf o l l o w s ：( 1 ) i ti sf o u n dt h a tt h es a j n e i n i t i a le n t a n g l e m e n tf o ra ni n i t i a ls t a t ep a r a m e t e raa n di t s “n o r m a l i z e dp a r t - n e r 析田w i l lb ed e g r a d e db yt h eu n r u he f f e c ta l o n gt w od i f f e r e n tt r a j e c t o r i e s e x c e p tf o rt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e ，w h i c hj u s ts h o w st h ei n e q u i v a l e n c eo f t h eq u a n t i z a t i o nf o raf r e ef i e l di nm i n k o w s k ia n dr i n d l e rc o o r d i n a t e s i nt h e 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 i i n f i n i t e - a c c e l e r a t i o nl i m i t ，t h es t a t ed o e sn o th a v ed i s t i l l a b l ee n t a n g l e m e n tf o ra n y qf o rt h es c a l a rf i e l d ，b u ta l w a y sr e m a i n se n t a n g l e dt oad e g r e et h a ti sd e p e n d e n t o n0 f o rt h ed i r a cf i e l d i ti sa l s oi n t e r e s t i n gt on o t et h a ti nt h i sl i m i tt h em u - t u a li n f o r m a t i o ne q u a l sj u s th a l fo ft h ei n i t i a lm u t u a li n f o r m a t i o n ；t h i sr e s u l ti s i n d e p e n d e n to faa n dt h et y p eo ff i e l d ( 2 ) i ti ss h o w nt h a tt h es a m ei n i t i a le l l - t a n g l e m e n tf o rt h es t a t ep a r a m e t e rqa n di t s “n o r m a l i z e dp a r t n e r s ”们刁w i l l b ed e g r a d e db yt h eh a w k i n ge f f e c tw i t hi n c r e a s i n gh a w k i n gt e m p e r a t u r ea l o n g t w od i f f e r e n tt r a j e c t o r i e se x c e p tf o rt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t e i nt h ei n f i n i t e h a w k i n gt e m p e r a t u r el i m i t ，c o r r e s p o n d i n gt ot h ec a s eo ft h eb l a c kh o l ee v a p o r a t i n gc o m p l e t e l y , t h es t a t eh a sn ol o n g e rd i s t i l l a b l ee n t a n g l e m e n tf o ra n yq i ti s i n t e r e s t i n gt on o t et h a tt h em u t u a li n f o r m a t i o ni nt h i sl i m i te q u a l sj u s th a l fo f t h ei n i t i a lm u t u a li n f o r m a t i o n i th a sa l s ob e e nd e m o n s t r a t e dt h a tt h ef i d e l i t yo f t e l e p o r t a t i o nd e c r e a s e sa st h eh a w k i n gt e m p e r a t u r ei n c r e a s e s ，w h i c hj u s ti n d i c a t e s t h ed e g r a d a t i o no fe n t a n g l e m e n t k e yw o r d s ：b l a c kh o l ep h y s i c s ，q u a s i n o r m a lm o d e s ( q n m s ) ，p o w e r - l a w t a i l ，q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 1 2 3 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 ) 、 学位论文作者签名：游当浏砷r 月i 珀 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密面。 ( 请在以上相应方框内打” ”) 作者签名：潜力浏日期：卿期f r 日 导师签名：专愀 日期；如声踔f 月纱日 i 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 1 第一章绪论 二十世纪初，爱因斯坦建立的广义相对论使人们对于时空和引力有 了一个全新的认识，引力场及其相关领域的研究获得前所未有的发展， 新的观念也不断地涌现当人们研究质量超过中子星临界质量( 质量上 限) 的恒星时，发现简并中子气体产生的简并压将无法抵抗强大的引力 而使得恒星继续收缩于是，广义相对论预言这一类大质量恒星演化的 归宿是一类特殊的天体黑洞之所以称之为黑洞，是因为早期人 们认为它只吸收而不辐射，好像空间出现了一个有半径的洞，任何物质 可以掉进去但出不来1 9 7 4 年，霍金( h a w k i n g ) 在考虑量子效应的情况 下证明黑洞可以辐射，解决了广义相对论和热力学之间的矛盾，并且揭 示了量子论、热力学和广义相对论之间的内在联系 1 ，2 】当今的黑洞物 理学已成为把引力理论描述的宏观世界和量子力学描述的微观世界联 系在一起的桥梁，它已发展成为联系广义相对论与量子力学、弦理论、 热力学和统计物理等诸多学科的交叉领域多年来，黑洞物理一直是人 们极为关注的热门领域，取得了很多新的突破但是到目前为止，黑洞 物理还有许多问题尚未搞清楚，比如黑洞的认证、黑洞的稳定性、黑洞 熵的统计力学起源、黑洞信息疑难等等 2 】2 作为黑洞物理研究中的一 个重要手段，上世纪五十年末兴起的黑洞微扰理论使人们看到了解决这 些困难的曙光 如果说广义相对论是现代物理学的一大支柱的话，那么量子力学就 是现代物理学的另一大支柱量子力学是在人类的生产实践和科学实验 深入到微观物质世界领域的情况下建立起来的，不仅影响着物理学的各 个领域，还广泛应用到化学、生物学、材料科学和信息科学等领域将 量子力学应用于信息科学技术而形成的交叉学科量子信息理论， 博士学位论文 不但将经典信息扩充为量子信息，而且直接利用微观体系的量子态来 表达量子信息。它的诞生虽然只有十多年，但现在已经迅猛发展，在量 子通信、量子计算等诸多方面显示出十分广阔的前景在量子信息理论 中，量子纠缠扮演着极为重要的角色，它可以被用于量子并行计算、量 子保密通讯、量子密集编码、量子隐形传态等领域 3 】最近，人们意 识到，如果在相对论时空背景下讨论量子信息，将会发现一些新的现象 和问题，通过对这些现象和问题的深入研究，相关的物理规律和概念将 会变得更加清晰 4 】。特别是相对论和量子理论等多学科的交叉与结合 部黑洞，已然成为量子信息研究的新热点领域。 本章将先后介绍黑洞微扰理论和量子信息理论，使我们对本文的这 两大研究对象有一个比较系统的了解和认识。 1 1黑洞微扰理论 黑洞是广义相对论中一类很特殊的天体，w h e e l e r 等人在上世纪七 十年代就指出：经典黑洞均可由只有质量、电荷和角动量为物理参数的 k e r r - n e w m a n ( k n ) 度规来描述这就是所谓的黑洞“无毛”定理【5 ，6 如何去确定黑洞的以上三个参量呢? 或者说，如何从理论上给出对于天 文观测真正有用的数据来从事实上证明黑洞的存在呢? 这一直是摆在 科学家面前的棘手问题黑洞微扰理论无疑使人们看到了曙光，因为微 扰理论中的似正模研究涉及到黑洞的认证和稳定性等问题。而且，它还 与l o o p 量子引力理论和a d s c f t 对应有着十分密切的联系同时，黑 洞微扰理论中的幂率拖尾研究涉及到黑洞“无毛疗定理、质量暴涨定律 及柯西视界的稳定性问题因此，本节将回顾黑洞微扰理论的形成并讨 论其研究对象，系统介绍黑洞似正模和晚期幂率拖尾的由来、研究方法 和研究意义 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 3 1 1 1理论溯源 在广义相对论中，研究黑洞微扰主要有两种途径一种是度规微扰 的方法，其中包含通常所说的引力微扰( g r a v i t a t i o n a lp e r t u r b a t i o n ) 一般 的，由于引力扰动激发的引力辐射比黑洞外部场扰动要强得多，因此常 常被作为鉴定黑洞稳定性的有效手段另一种方法是假设在黑洞附近存 在某一扰动物质场( 包括各种自旋场，如标量场、d i r a c 场等) ，通过分 析微扰场在黑洞时空中的演化行为来分析黑洞的性质 黑洞微扰场的理论研究要追溯到上世纪五十年代末期一直以来， 人们认为稳态和静态的黑洞处于所谓的热平衡状态假如给黑洞加一个 很小的扰动，黑洞还会回到平衡态保持稳定吗? 这是一个很有意思的问 题1 9 5 7 年，r e g g e 和w h e e l e r 采用线性微扰理论研究了s c h w a r z s c h i l d 黑 洞时空自身扰动的情况，结果表明黑洞最终会回到平衡态保持稳定 7 】 在他们的原始工作中，r e g g e 和w h e e l e r 直接从度规的扰动讨论出发， 即引入： 观，= 班七矿一d + “圹， ( 1 1 ) 这里l i 为背景度规桫g r o u n d 的微小扰动，得到了有效势主导下s c h w a r z s e h i l l t 时空中线性扰动的波动方程，即著名的r e g g e w h e e l e r 方程： 其中：波函数 乌龟坐标 褰柑卅m 扎 ( 1 2 ) 皿l ( r ，t ) = 吮( r ，u ) e 却。，( 1 3 ) “= r + 2 m 1 。g ( 而r 一1 ) + 常数， ( 1 4 ) 博士学位论文 有效势 吡归( 1 一了2 m ) 掣+ 掣 5 ， 当然，取8 = 土2 给出r e g g e 和w h e e l e r 得到的原始方程。 在这篇开创性的文献之后，学者们逐渐开始了对黑洞微扰场的研 究1 9 7 4 年，z e r i l l i 将r e g g e 和w h e e l e r 的方法拓展到带电r e i s s n e r - n o r d s t r 6 m ( r n ) 黑洞的情况 8 】但问题远未达到更复杂的情况，即旋转 的k e r r 时空幸运的是，t e u k o l s k y 于1 9 7 2 年利用n e w m a n p e n r o s e 形 式 9 将k e r r 时空中的场方程进行了变量分离，给出了旋转度规下的波 动方程 1 0 - 1 3 。此后，关于各种扰动物质场在不同黑洞背景中演化的研 究便兴盛起来，而近二十年俨然是黑洞微扰场研究的鼎盛时期。 1 1 2微扰的演化过程 图1 1 ：黑洞微扰理论研究对象示意图 黑洞的微扰理论表明微扰场在黑洞时空中的演化过程大致可以分为 三个阶段： 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 5 ( 1 ) 初始波爆发即初始场源( t h ei n i t i a lf i e l d ) 阶段，此时波场与微扰源 本身的初始条件有很大的关系； ( 2 ) 似正模( t h eq u a s i n o r m a lm o d e s - q n m s ) 阶段，此时波的频谱为复数 且与初始的微扰无关，只依赖背景时空的参量； ( 3 ) 晚期拖尾或称幂率拖尾( t h el a t e - t i m et a i l 或称t h ep o w e v l a wt a i l ) 阶 段，此时微扰场的衰减形式不再是指数衰减，而是幂率衰减，该阶段也 能给出时空参数的信息 图( 1 1 ) 和( 1 2 ) 清晰地描述了黑洞微扰理论的以上三个研究对象 图1 2 ：s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中高斯引力波包的演化示意图( 左图采用 对数坐标，右图采用通常的时空坐标) 。两图清晰地描述了高斯引力波 包演化过程中的似正模和晚期幂率拖尾阶段 由于初始微扰源为所给定的初始扰动物质场，可以分为标量场( s = 0 ) 、d i r a c 场( s = 士 ) 、电磁场( s = 4 - 1 ) 、r a r i t a - s c h w i n g e r 场( 5 = 士；) 和引力场( s = 士2 ) 等，与我们的研究没什么特别的关系因此，我们不 会加以详细讨论而似正模和幂率拖尾在基础物理理论的研究中有着各 博士学位论文 自的重要性，所以成为黑洞微扰理论研究的重点。 1 1 3似正模 我们常常看到这样的现象：火车站有经验的检修工人会对进站火车 的车轮进行敲打，通过所发出的声音来判断车轮是否有损坏，其原理在 于敲打所发出的声音携带有火车车轮的属性同理，给黑洞一微扰，黑 洞也会发出自己的“特征声音”似正模，我们从似正模可获得黑 洞的一些重要信息。似正模与频谱都是实数的普通简正模有着本质的不 同：( 1 ) 似正模的频谱为复数，即u = u r + i w ，。由于u ，的出现，黑洞 的特征声音不会永远稳定地振荡下去，它会随时间发生指数衰减。这也 表明波在黑洞时空的传播过程中伴随有能量的损耗事实上，黑洞是一 个耗散系统。然而在任何耗散系统里面，人们早已熟知不存在纯粹的简 正模。( 2 ) 我们不能把一个波函数分解为一组似正模的叠加【1 4 ，1 5 】因 此它看起来象简正模，但实际上不是简正模，这也是我们把它称为似正 模的原因。另外，简正模存在的时间原则上是无限的，而似正模只出现 在某一段时间间隔里面。因为在很晚的时候，似正模的指数衰减将转化 为如图( 1 2 ) 中的幂率衰减。 现在，我们来给出似正模的定义。我们知道，黑洞时空中各种场源 的微扰方程最终可以转化为一个二阶的偏微分方程： 昙一翕一1 咐， m 6 ， ，其中：z 为一个空间变量，其变化范围通常为一。o 3 + 8 1 1 3 ) + i 西一) 2 ( q 1 1 ) 3 + z i o 3 ) + i m + ) 1 2 ( c t i i 3 一z l o 3 ) ， ( 1 4 2 ) 其中粒子1 和2 的四个b e l l 基为 i 皿士) 1 2 = 去( 1 0 ) 1 i i ) 2 士1 1 1 1 0 2 ) ， v 厶 1 l 矿) 1 2 = 去( 1 0 ) 1 l o 2 士1 1 ) 1 1 1 ) 2 ) ( 1 4 3 ) v 二 表( 1 2 ) 给出了a l i c e 测量到的态与b o b 手中粒子3 所处态以及b o b 恢复 粒子1 的信息态所需操作之间的关系对粒子1 和2 做完b e l l 基测量 后，a l i c e 通过经典通道将所获得的测量结果告知b o b 然后，b o b 根 博士学位论文 据a l i c e 的结果决定对粒子3 应做的幺正变换，恢复粒子1 的信息态， 即实现i 妒) z i 妒) 。 表1 2 ：a l i c e 对粒子1 和2 做b e l l 基测量所得到的态与b o b 手中粒子3 所处态以及b o b 恢复粒子1 的信息态所需操作之间的关系 a l i c e 所得态粒子3 所处量子态b o b 应做操作 i 皿一) - aj o ) 一p 1 1 ) 无需任何操作 i 十)- a l o ) + 9 1 1 ) f f z l 圣一)0 1 1 ) + 9 1 0 ) l 西+ )a 1 1 ) 一9 1 0 )一z 需要说明的是，这个过程并不违背不可克隆定理 3 】整个过程中 涉及的仅仅只是信息的转移而不是信息态的复制，因为粒子l 仍然留在 原处，而且在测量后已不处于原来的状态同时，由于a l i c e 和b o b 之 间的信息交流还必须有经典通道，而经典信息的传播是不可能大于光速 的，所以该过程也未实现超光速传播。 在量子隐形传态中，为了衡量粒子1 和粒子3 两个信息态之间接近 的程度，我们可以利用“保真度丹来度量。众所周知，两个纯态l 妒) 和 i 妒) 之间的差距( 或称“距离”) 可以用它们内积模的平方来定义 3 】 f “妒) ，l 妒) ) = i ( 妒i 矽) 1 2 ( 1 4 4 ) 如果完全相同，那么纯态l 妒) 和i 妒) 的保真度f = 1 显然，b e n n e t t 等 人量子隐形传态方案中的保真度为1 。对于两个 昆态密度矩阵p 。和纯 而言，它们之间的b u r e s 保真度定义为【7 0 】 ，r 一、2 f ( p 1 ，j d 2 ) = ( n 、p ：肛助尸：归) ( 1 4 5 ) 由于此定义式中的求迹含有两重根号，所以计算一般很困难 黑洞时空中微扰的演化与相对论框架下的量子信息 2 7 第二章黑洞时空中微扰的演化 尽管近年来人们对黑洞时空中微扰的演化尤其是似正模和幂率拖尾 进行了大量和深入的研究，并取得了许多重要进展但是，人们却很少 涉足黑洞时空中无质量扰动任意自旋场演化的讨论究其原因，最大的 困难在于费米场部分，尤其是d i r a c 场利用n e w m a n - p e n r o s e 形式，变 量分离后的d i r a c 径向方程具有其它场所没有的性质，就似正模的研究 而言，已有的l e a v e r 连续分数方法【2 2 1 和h i l l 行列式方法【7 l ，7 2 】不再适 用经过仔细研究论证，我们放弃了人们已熟知的波动方程，直接从最 基本的原理出发建立新的波动方程和势函数，解决了这一困难【7 3 ，7 4 】 令人欣喜的是，我们发现这种技巧可以对黑洞时空中无质量任意自旋场 ( s = 0 ，4 - 1 2 ，士1 ，士3 2 以及4 - 2 ) 的主导方程进行变量分离并给出统一的 场方程和势函数，继而研究它们的似正模和幂率拖尾【7 4 ，7 5 】所以，本 章的前两节我们将利用l e a v e r 连续分数法【2 2 精确求解s c h w a r z s c h i l d 黑 洞和整体单极子黑洞时空中无质量扰动任意自旋场的似正模频谱，同时 借助黑洞g r e e n 函数法 3 9 来讨论整体单极子参数和自旋参数对微扰场 幂率拖尾的影响 另一方面，由弦理论得到的伸缩子黑洞，其时空有着与通常广义相 对论中的时空不一样的性质，其原因在于伸缩子参数的存在因此，多 年来人们对伸缩子时空的各种研究极为关注但是，在含伸缩子时空中 微扰场的演化研究方面，由于问题的复杂性，人们目前只讨论了静态球 对称情况 7 6 _ 8 1 】由于稳态时空具有更普遍的性质，所以研究低能弦理 论稳态轴对称解的伸缩子时空中标量场的衰减行为是非常有意义的我 们将在本章的第三节中讨论该时空背景下标量微扰场的似正模问题， 试图研究似正模与黑洞热力学不稳定性之间可能的联系【8 2 ，8 3 】 博士学位论文 2 1s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空中任意自旋场的似正模 众所周知，数学家、天文学家s c h w a r z s c h i l d 于1 9 1 6 年求得了重力场 方程的第一个严格解 1 ，2 】。s c h w a r z s c h i l d 解是众多黑洞解中最简单的情 形，描述的是静态无荷时空： d s 2 = ( 1 2 r m ) d t 2 + ( 1 一半) _ 1 打2 + r 2 2 + s i n 2 蝴 ( 2 1 ) 自从v i s h v e s h w a r a 【1 6 】( 1 9 7 0 年) 和p r e s s 8 4 】( 1 9 7 1 年) 通过黑洞周围引 力波随时间演化的数值计算发现了似正模以后，人们对于s c h w a r z s c h i l d 时空背景中不同微扰场的似正模研究就从未间断过【1 4 ，1 5 ，2 6 ，8 5 - 8 9 】 由于弯曲时空中的d i r a c 方程比较复杂，无法利用l c a v e r 连续分数 法【2 2 和h i l l 行列式法 7 l ，7 2 来精确求解似正模，因此直到最近四、五 年人们才开始研究黑洞时空中d i r a c 微扰场( s = 士j ) 的演化2 0 0 5