（应用数学专业论文）几类非线性时滞微分方程解的有界性与渐近性.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 在研究微分方程稳定性理论中，尤其在探讨微分方程的稳定性，解的 估计及有界性的过程中，积分不等式是一强有力的工具近年来，有大批 学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好的结果 本文推广了几类积分不等式，并利用所得结果及李雅普诺夫辅助函数 研究了某些微分方程解的有界性和渐近性 常微分方程解的有界性与渐近性理论是微分方程理论中的一个十分 重要的分支，它具有深刻的物理背景和切合实际的数学模型近年来，这一 理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视 根据内容本文共分六部分： 第一章概述了本文研究的主要问题的重要性 第二章在本章中我们将研究一类二阶积分微分方程解的有界性与 渐近性本章结果推广了文【1 3 】的结果 第三章在本章中我们将研究一类二阶非齐次时滞微分方程解的有 界性本章结果推广了文 8 1 7 】的结果 第四章在本章中我们研究了四阶非线性微分方程解的有界性及稳 定性 第五章研究了一类具有偏差变元的积分微分方程解的有界性与渐 近性本章结果推广了文 2 0 2 1 的结果 内蒙古师范大学硕士学位论文 第六章研究了一类高阶积分微分方程解的有界性与渐近性本章结 果推广了文 2 2 1 的结果 关键词：积分微分方程，有界性，渐近性，积分不等式，李雅普诺夫函 数 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ei n t e g r a li n e q u a l i t yi sau s e f u lt o o lw h e nw es t u d yt h es t a b i l i t yt h e o r y o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，e s p e c i a l l yw h e nw es t u d yt h es t a b i l i t y ，t h ee s t i m a t e o fs o l u t i o na n dt h eb o u n d e d n e s so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h ep a s tf e w y e a r s ，m a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e d m a n yg o o dr e s u l t s i nt h ep a p e r ，s o m en e wi n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e d ，w h i c hg e n e r a l i z e s e v e r a l t y p e so fi n t e g r a li n e q u a l i t i e s u s i n go u rr e s u l t sa n dl y a p u n o v f u n c t i o n ，t h eb o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o m ed if f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r es t u d i e d t h et h e o r yo fb o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ri so n eo fi m p o r t a n t b r a n c h e so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h ef i e l do fm o d e m a p p l i e d m a t h e m a t i c s ，i th a sm a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l l t h es t r u c t u r eo fi t s e m e r g e n c eh a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i c m a t h e m a t i c a lm o d e l t h et h e s i si sd i v i d e di n t os i xs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e ro n e ，p r e f a c e w ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n c eo ft h em a i nc o n t e n t s o ft h i sp a p e r 内蒙古师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e rt w o ，w ew i l la c q u i r e db o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro f s o l u t i o n so fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e rw h i c he x t e n d st h e r e s u l t so f d o c u m e n t 1 - 3 】 i nc h a p t e rt h r e e ，w ew i l la c q u i r e db o u n d e d n e s sf o rt h es o l u t i o n so f s e c o n do r d e rn o n h o m o g e n e o u sd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c he x t e n d st h e r e s u l t so fd o c u m e n t 【8 17 】 i nc h a p t e rf o u r ，b o u n d e d n e s sa n ds t a b i l i t yo fs o l u t i o n sf o rt h ef o u r t h o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e rf i v e ，t h eb o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so f ac l a s so fi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n ta r ed i s c u s s e d w h i c he x t e n d st h er e s u l t so fd o c u m e n t 2 0 - 21 】 i nc h a p t e rs i x ，t h eb o u n d e d n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so f h i g h e ro r d e ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ed i s c u s s e dw h i c he x t e n d st h e r e s u l t so fd o c u m e n t 2 2 】 k e y w o r d s ：i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b o u n d e d n e s s ，a s y m p t o t i c b e h a v i o r , i n t e g r a li n e q u a l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也 签名：奈爻专为 日 第一章绪论 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，各种各样的不等式已日益引起人们的广泛重视，关于 不等式的推广工作已成为现代数学中的重要研究方向之一然而，1 9 4 3 年以前并未引 起数学家们的注意自1 9 4 3 年以来，不等式以其在常微分方程，差分方程稳定性，解 的估计以及有界性的研究过程中的广泛应用，引起了众多数学家的关注许多学者从 事这方面的研究工作例如杨恩浩，p a c h p a t t e 等，他们对不等式进行了各种形式的推 广，并将其用于研究方程解的性态 常微分方程解的渐近性理论、有界性理论是微分方程理论中的一个重要分支随 着科学技术的迅猛发展，它不仅在许多尖端的领域中起着越来越重要的作用，而且在 生物、化学、现代物理等领域也成为不可缺少的数学工具常微分方程解的有界性问 题最早是在研究生物学、生态学、生理学、物理学、神经网络问题中提出的，是微分 方程研究中一个十分重要的领域 从上世纪五、六十年代到本世纪初，掀起了研究高阶微分方程有界性的热潮，并 有许多研究成果原因是在自然界和社会现象中，许多事物都存在着确定性的运动规 律，其中大量的运动规律可以用高阶微分积分方程来描述在众多成果中， g r o n w a l 卜b e l l m a n 不等式、b i h a r i 不等式起着重要的作用关于数学中不等式的基础 理论在十八世纪到十九世纪建立现在不等式已成为分析自然界已发生的积分微分方 程的重要工具在自然界和社会现象中，时滞是广泛存在的一种现象，严格的说是不 可避免的如人们在研究生态系统、神经网络、种群繁殖、交通运输等很多带有时滞 的系统，这就促使人们去研究各种各样的带有时滞的积分微分方程对于高阶积分微 分方程来说，已有一些研究结果但对于带有时滞的还不是很多 第一章概述了本文研究的主要问题的重要性 第二章本章研究了一类具有偏差变元的二阶积分微分方程 ( 口( f ) 甜( f ) ) + ( f ，“( f ) ，z ，( f ) ，b ( f ，s ，”( p ( s ) ) ) 出) = o ( 2 1 ) ( 口( f ) “( f ) ) + 6 ( f ) “( f ) = ( ，“( f ) ，甜( p ( f ) ) p ( f ，s ，”( p ( s ) ) ) 凼) ( f f o o ( 2 2 ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 的解的有界性与渐近性，给出了这类方程所有解有界的充分条件所得结果包含并改进 了前人的某些结果 第三章本章借助辅助函数和不等式得到了下面两个二阶非齐次非线性时滞微分 方程 ( r ( t ) x o ) ) + p ( t ) x ( f ) + q i ( f ) x o ) + 9 2 ( f ) x o f ) = g ( t ，工) ( 3 1 ) ( r ( t ) x ( f ) ) + p ( t ) x ( f ) + g l ( f ) 工( f ) + 9 2 ( f ) x ( j j l ( f ) ) = g ( t ，x o ) )( 3 2 ) 的一切解均有界的判定方法本章结果推广了文【8 一1 7 】的相关结果 第四章本章运用l i a p u n o v 函数方法及文献 2 】的思想，给出了一类四阶非线性微 分方程 x 4 + 缈( f ，戈) z + f ( t ，工，戈) 戈+ g ( t ，曲5 c + h ( x ) = p ( t ，x ，j ，毫z ) ( 4 1 ) 的解的有界性和稳定性的若干结果，包含并改进了已有文献所得到的结果 第五章研究了几类b i h a r i 不等式的推广，并将其运用于对一类具有偏差变元的高 阶积分微分方程 厶x ( f ) + ，( f ，x t t ) ，缸缈( f ) ) ，b ( f ，s ，石( j ) ) 凼) = o ( 5 1 ) 三。x ( t ) + f ( t ，工( f ) ，工( 伊( f ) ) ，i g ( t ，s ，x ( 缈( s ) ) ) b ) = 0 ( 5 2 ) 6 的解的有界性和渐近性的研究上本章结果推广了文 2 0 2 1 1 1 拘相关结论 第六章对一类具有偏差变元的高阶积分微分方程 ) + 窆a i ( 咖忙。= x 4 f ( t , x ，x ( 卯) ) ，k ( f ，s ，x ( 加) ) ) 出) ( 6 1 ) i = l 0 的解的有界性和渐近性进行了研究本章推广并改进了前人的工作 2 第二章一类二阶积分微分方程解的有界性与渐近性 第二章一类二阶积分微分方程解的有界性与渐近性 2 1 引言 文 1 】借助一类辅助函数，研究了具有强迫项的二阶非齐次线性时滞微分方程 ( r ( t ) x ( f ) ) + q ( t ) x ( t f ) = f ( t ) 的解的有界性 文【2 】利用不等式方法讨论了二阶微分方程 ( 口( f ) “( f ) ) + 厂( f ，”，“，扣( f ，s ，“( s ) ) 凼) = o l 的解的有界性与渐近性 文 3 】利用不等式方法讨论了二阶微分方程 ( 4 ( f ) “( f ) ) + 6 ( f ) “( f ) = 厂( f ，“，b ( f ，s ，“( s ) ) 凼) 的解的有界性与渐近性关于二阶方程解的有界性与渐近性，目前已有许多研究结 本章利用不等式研究具有偏差变元的二阶积分微分方程 ( 口( f ) “( f ) ) + 厂( f ，“( f ) ，“( f ) ，i g ( t , s , u ( p ( j ) ) ) 凼) = o ， ( 2 1 ) ( 口( f ) “o ) ) + 6 ( f ) h ( f ) = ( f ，“( f ) ，“( p ( f ) ) k ( f ，s ，“( p o ) ) ) d ，) ( t t o o ( 2 2 ) t o 的解的有界性与渐近性其中g ( t ，s ，u ) ：l i x r - - - r , f ( t ，u 2 ，“3 ) ：i x r x r x r - - r 是连 续函数口( f ) 0 ，抓) 是定义在，上的连续函数，r a ( t ) = j = l 上连续可微1 = t o , + o g , t o 0 所得结果推广了文【1 3 的结果 为方便起见，这里给出了文【2 】中定义的函数类，：称函数g ：【o ，佃) 一【o ，佃) 属于 函数类f ，若 ( 1 ) g ( 甜) 对, 0 单调不减；且当u o 时g ( “) o ； ( 2 ) 对于”o ，v l 有丛堕g ( 兰) vv 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 2 积分不等式 引理2 1 【2 1 ( 1 ) “( f ) ，口( f ) 在 f o ， ) 专【o ，o o ) 上连续，0 t o t o 时口( f ) l ，并且口( f ) 单调不减： ( 2 ) 彳( f ，s ) ，g ，( f ，s ) ，h ( f ，s ) 在 ( f ，s ) ：f 0 j f j 1 1 ) 专【o ，佃) 上连续且当s 固定时关 于t 单调不减； ( 3 ) q i ，缈，f ，i = 1 , 2 ，m ，j = 1 , 2 ，以 如果 “( f ) ) + mt d ( 柚) q 姒( 啪凼+ 窆k ，j ) 弘( s , m ) t p j ( “( 聊) ) d m d s ， 扭if o j 2 - f ot o 则有 其中 “( f ) 口( f ) 兀f i ( t ) 兀e j ( t ) ，t 【b ，j 1 1 ) ， 嘶，2 珠啦。，珥。鼬h ，! ：l 耻h ， e ( f ) ：k 一，( 巧( 1 ) + 氨讨o ) ) ( 兀n 日o ) ) z ( f ，s ) 出) ， t o k = i 户i 呐) = 2 u 丽d s 啦o 郫) 2 弘一凼， e j ( f ) ：町t ( ( 1 ) + g ，( f ) t p ( f ，s ) 兀j - ie ( s ) 凼) ， f o k = l ，町1 是和的反函数，i = 1 , 2 ，m ，= l ，2 ，刀 2 3 主要结果 4 第二章一类二阶积分微分方程解的有界性与渐近性 定理2 1 在方程( 2 1 ) 中，假设， ( 1 ) 口( f ) 于 1 ，佃) 上取正值且- i t a 上( t ) d t 。，p ( f ) 于f 【l ，佃) 上最 终为正； ( 2 ) f ( t ，u i ，u 2 ，u 3 ) 是连续函数，t l , u l ，“2 ，“3 r 且 恍心) l 纠蜩( 器) 州帆) “z i 州酬； ( 3 ) 觚酬州) 秒( 悬) ， 这里仍，研是【l ，棚) 上的非负连续函数，h ( t ，s ) 是 1 ，佃) 【1 ，佃) 上的非负连续函数，且 当s 固定时h ( t ，s ) 关于f 单调不减； ( 4 、l q 亿1 优“1 f ： ( 5 ) p ( f ) 出= k ， ，l u ( t ) d t = k 2 ，i m ( t ) i h ( t ，s ) d s d t = k 3 f 时e ( s ) e ( f ) ，则由条件( 4 ) 得 i 一 嚣k + q c 哿肼卜啪c 等胁 由引理2 1 ，有 鬻k f ( 愀n 1 ， e “) 7 。 tt f ( f ) = 形一1 ( m ( f ) 弘( f ，s ) 出) ( f ) = y 一1 ( p ( s ) 妒( s ) 出) ， 枷，= 一姗= 珐删= 珐， w - 1 ) v 1 分别是和v 的反函数故 d ( f ) k e ( t ) f ( t ) n ( t ) ，d ( f ) k e x 2 w 1 ( k 3 ) 矿- j ( 矿_ 1 ( k 3 ) k 1 ) = k o ( k ) ，f 1 所以 “( f ) m ( n 怒( n 从而 i “( f ) i = o ( r ( t ，1 ) ) ，l 口( f ) “( f ) i = d ( 1 ) 由条件( 2 ) 得 枷删，础c 肿m 纠卜 k t g ) ( k o ( k ) ) + k 2 k o ( k ) + k 3 0 ( c 剐， ll 故 吣灿，k 删c p 卜绝对收敛，从而 i il l 又h q ( 2 - 3 ) 式有 证毕 1 i m a ( t ) u ( ，) = a ( 1 ) c 2 一a ( c l ，c 2 ) t o 、j cc ，i 口 = 陟 rd 、j、， p ”rs ，l ，弦 x j” x s ，- 、 ”s ，i b o g 内蒙古师范大学硕士学位论文 推论2 1 ：在定理2 1 中，令p ( f ) = t 时，便得到文【2 】中的一条定理 定理2 2 在方程( 2 2 ) 中，假设 ( 1 ) 口( f ) 于 f o ，栅) 连续可微，6 ( f ) 为 气，佃) 上的连续函数 ( 2 ) 厂( f ，“l ，“2 ，“3 ) 是连续函数，t t o ，u 2 ，u 3 r 且 l f ( t ，“。，“：，”，) i 仍( f ) q 。( 1 u 。i ) + 仍( f ) q ：舡：1 ) + 仍( f ) l “，l ； ( 3 ) g ( t ，j ，“) 是连续函数，t s t 0u r 且 i g ( t ，s ，“) i 矗p 4 ( t ，s ) p ( 帅， 这里仍，r p 2 ，仍是【气，佃) 上的非负连续函数，纸( ，s ) 是【f o ，+ o o ) x t o ，佃) 上的非负连续函 数，且当s 固定时纯( f ，s ) 对f 单调不减，p ( f ) 连续且满足： t - r p ( t ) 0 ( 4 ) n l ( “) ，q 2 ( “) ，o ( u ) ，； ( 5 ) 卜o j ( t ) d t = k 。 0 0 , p 2 ( t ) d t = k ： ，协( f ) 协( t , s ) d s d t = k ， o 是常数，仍，仍，仍是【b ，+ ) 上的非负连续函数，缈。( f ，s ) t o ，删，删上的 非负连续函数，且当s 固定时伤( f 曲对f 单调不减，p ( f ) 连续且满足：f 一，p ( t ) t ， ，= c o n s t 0 ： 9 一 内蒙古师范大学硕士学位论文 。二二二= _ 一 一 ( 4 ) q l ( “) ，q 2 ( “) 口( “) f ； ( 5 ) 一x p ( 一讲) 仍( f ) 出 ，奠x p ( - a t ) 孕o z ( t ) 西 ”。o ， 。、一， ( 2 6 ) tf g ( f ) = pe x p ( - 2 a s ) 口0 3 ( s ) d s ，e ( f ) = 掣( k ( 1 ) + p o ) me x p ( - a s ) q ，i ( s ) 凼) ， f 2 ( t ) = v f l ( 匕( 1 ) + 肛( s ) e o ) me x p ( - a s ) o ：( s ) 出) ， 忡) 2 2 丽d s 啦啦l 2 w - i ，k ，吁1 分别是形和k ，的反函数 由题设知e x p ( a t ) “t ) 于f 气有界，r l u ( t ) i 以f ) ，f l 拭( 2 6 ) 知 l “( f ) i w ( f ) c e x p ( - a t ) 兀e ( f ) e ( f ) 一o ，( f 寸) 证毕 推论2 3 ：在定理2 3 中，令p ( f ) = f ，仍( f ) = 仍( f ) = 伤( 力= 七( f ) ，q ( “) = q 似) = 耿“) = “， 6 p 4 ( t ，s ) = h ( s ) 时，便得到文【3 】中的一条定理 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章一类二阶非齐次时滞微分方程解的有界性 3 1 引言 对于二阶线性常微分方程解的有界性的研究有不少成果，但对于二阶时滞微分方 程解的有界性的研究，目前结果尚不多本文主要考虑如下二阶时滞微分方程 ( r ( t ) x o ) ) + p ( f ) 工o ) + g l ( f ) x ( f ) + 9 2 0 ) 工o f ) = g ( t ，功， ( 3 1 ) ( r ( t ) x ( f ) ) + p ( f ) 石o ) + g i ( f ) x ( f ) + 9 2 ( f ) 工( ( f ) ) = g ( t ，x o ) ) ，( 3 2 ) 其中总假定r ( t ) 0 是在给定区间【口，佃) 上绝对连续，p ( f ) ，g l ( ，) ，9 2 ( f ) ，h ( t ) 是在【口，佃) 上局部可积的实函数f 0 是常数，h ( t ) t 且l i m h ( t ) = o o ，g ( f ，曲是【口，佃) r 上给定 实函数，且满足不等式 i g ( t ，x ) i 厂o ) + 七( f ) i 卅。，( f ，工) 口，佃) r ， ( 3 3 ) 其中0 口l ，( f ) ，k ( t ) 是【口，佃) 上非负连续函数 对于二阶微分方程 ( ，( f ) 石( f ) ) + 9 1 ( f ) 工( f ) = 0 ， x ( f ) + ( g l ( f ) + 9 2 0 ) ) 工( f ) = 0 ， ( ，o ) 工( f ) ) + p ( t ) x o ) + 【g l ( f ) + 9 2 0 ) 】工o ) = f ( t ) ， ( ，( f ) z 。( f ”+ p ( f ) 石o ) + g i ( f ) + 9 2 ( f ) 】工( f ) = ( f ，力 等已经有不少学者研究过参见文献 8 1 3 】本文是在这些基础上对方程作进一步的推 广，得到方程解有界的充分条件 为应用，在此先给出一个基本不等式，它是完全平方不等式的一个变形若a 0 ， 则对任意的x ，b r 有 一n x 2 + 6 茗一一a x 2 + 竺 ( 3 4 ) 22 a 、 引理3 1 1 设“( f ) ，厂( f ) ，g ( f ) 和口( f ) 是非负函数，且口( f ) 是单增，0 p l “( f ) s 口( f ) + 少( s ) “( s ) 凼+ g ( s ) “p ( s ) a s 1 2 第三章一类二阶非齐次时滞微分方程解的有界性 则 ( a ) 0 o ，( f ) 0 及q o ) = i 2 f ( f ) p ( f ) g l ( f ) + f o ) q o ) ，o ) + ，( f ) g 。( f ) ，( f ) 一，o ) g 。( f ) ，( f ) 】 o 6 i ( f ) = 燃是不增函数，其中刀( f ) = 紫+ 1 ； 静锄，鬻d s o o , 骁静锄， 则方程( 3 1 ) 的任意解x ( t ) 在【口，佃) 上存在，且有估计式 k 叫叫1 ) ，) i = d 【篙专佃 证明 对于方程( 3 1 ) 的任意解石( f ) ，定义于【口，d ，ts 佃作辅助函数 w ( f ) 脚) + 器( 工( f ) ) 2 】+ ，鼻以蚺 ( 3 5 ) 对v ( t ) 求导得 警- ，( f ) p + 焉“( f ) ) 2 】 ( f ) 陬( f ) 工( f ) + 鬻似咖( ，) ) 一器( f ) 厂( f ) ) t m ( f ) x 2 枷卜咖2 ”f ) 内蒙古师范大学硕士学位论文 = f ( r ) 工2 0 ) 一呈里苫三舌 盟j o ) 工( f f ) + 警石( f ) 一丽2 q ( t ) ( 工( f ) ) 2 + 6 l ( f ) 工2 ( f ) 一6 l ( 脚一f ) 由不等式( 3 3 ) 得 d_优ff_v_f,(t)x2(t)-2q2(t)rf(t)x(t)x(t-r)-i型学)i 一丽2 q ( t ) ( x ( f ) ) 2 + 工2 ( d - b , ( 脚一f 根据不等式( 3 4 ) 得 警娜矿一等磐石川叫+ 等肌牲i l 一器) 2 + 锷萨删九沪吼叫以) ( 3 6 ) 阶，( f ) 九沪焉铲工( f ) 础叫一器( q l 。( f ) ) 2 ，( 3 7 ) g l 【f j( f 将( 3 7 ) 式的右端配方，并引入实函数矛( f ) 0 得 阶，( f ) 以f ) - 器眦帆( ，) + 篙加叫】2 + 器( 珊) - l ) 2 + 笺紫以) 娜矿+ 器( 柳1 ) ( x ) 2 + 踹紫九) 令：，。( f ) = 页黥( 矛( f ) _ 1 ) ，解之得( f ) = q ( f ) 因此当2 2 ( f ) 满足上式时得 郫篱忡) + 觜九) ( 3 8 ) 由( 3 5 ) 式得 1 4 第三章一类二阶非齐次时滞微分方程解的有界性 所以 以蟠罴如( f ) 咫篇 _ 2 f 万( t ) k ( t ) 阻朴( 归，( d 一) 一栌( 3 9 ) 由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 和( 3 9 ) 得 幺a r t 【篇+ 篙+ 锷产+ 【觜a 2 ( t ) q ( t 州p ”f ) ，( f )，( f ) 。 q ( f ) ) ” 、7 + 2 f ( t ) 2 厂( f ) 2 吼( t ) 2 k ( t ) r ( t ) 2 c 篇+ 豁职卅2 蒜刖半 f ( f ) f ( f ) 。 ，( f ) 留( f ) 上式从a 到t ( t 。根据引理3 1 ，( 3 1 。) 式得： 1 ) 0 口 1 ，则当a t o ， 怙端等是椭瞅斟鄱) = 篱+ 1 黯锄，紫抓o o ，骁静锄， 则方程( 3 1 ) 的任意解x ( f ) 在【口，佃) 上存在，且有估计式 k f ) l 圳1 ) ) i = 0 【篙】，f j 佃 注3 1 ：当厂( f ) 兰l ，g ( t ，x ) 兰厂( f ) 定理3 1 改进了文【1 6 】中的定理1 ，推论3 1 改进了 文【1 6 】中的推论1 ，推论3 2 改进了文【1 6 】中的推论2 定理3 2 假设方程( 3 2 ) 在【口，佃) 上满足 ( 1 ) 吼( f ) c 1 【口，+ 时，q l ( f ) 0 “f ) o j i l ( f ) f ，h ( f ) o 存在连续的可微函数邱) 满足。 ，( f ) c f ( t ) o ，q ( f ) = i 2 f ( f ) 烈f ) g o ) + f ( f 蛔。( f ) 厂( f ) + ，( f ) g 。( f ) ，( f ) 一，( f ) g 。( f ) 厂o ) 】 0 6 ：( f ) = 揣是不增函数，其中2 2 ( t ) = 1 6 q ( f ) 第三章一类二阶非齐次时滞微分方程解的有界性 褂?鬻d1800,f(s黯4 r ( s ) q l ( s ) o o ，? ) 7 ： q ( s ) ? 7 则方程( 3 2 ) 的任意解x ( t ) 在【口，佃) 上存在，且有估计式 k f ) i _ d ( 1 ) ，i x ( o l = 研等】，f 一帆 证明对于方程( 3 2 ) 的任意解x ( t ) ，定义于【口，乃，t 佃作辅助函数 w m 脚) + 豢( 工。) ) 2 】+ 。黪，扎 ( 3 1 1 ) 对v ( t ) 求导得 警砒凇2 ( f ) + 豢( f ) ) 2 】例陬( f ) z ( f ) + 塑型产 一二紫】+如(f)石2(f)一62(f)工2(jil(f)o) - ，( f ) 酽+ 焉删眦( f ) + 燮艺斧幽 2 ( x ( f ) ) 2 ，( f ) + 2 p o ) “( f ) ) 2 + z x ( t ) x 。( f ) 吼( f ) + 2 # ( f ) 缸i l o ) 洄2o )川) g o ) ) 2g i ( f ) ， q l ( f )( g l ( f ) ) 2 。 + b 2 ( t ) x 2 ( t ) - b 2 ( h ( t ) ) x 2 ( h ( t ) ) h ( f ) ( 3 1 2 ) 由值3 、式及条件f 1 、_ 住1 2 、式蛮为 d_饿_vvf(t)x2(t)-2q29(。t。)，f，(t)j(r)z(。)+三!生垦学 一丽2 q ( t ) ( 工( f ) ) 2 + x 2 ( f ) - 删耐( m 卿矿( f ) 一等q 铲石( f ) 砌( f ) ) + 警m 帏。ll ( ，)g l ( f ) 。 一丽2 q ( t ) “( f ) ) 2 + 警帕咖2 ( f ) - b 2 似嘞九椰m ( f ) 根据不等式( 3 4 ) 得 些d t 咖矿( f ) 一絮产x 砌( f ) ) + 等机帐( 叫g l ( f )g l ( f ) 。 内蒙古师范大学硕士学位论文 一器咖) ) 2 +