（电力电子与电力传动专业论文）基于dsp的磁悬浮控制系统的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 i 页 a b s t r a c t m a g j e vt r a i nh a sb e e np u ti n t op r a c t i c es u c c e s s f u l l yw h i c ha c ta s an e w g r o u n dt r a n s i ts y s t e m d u et o t h ei n h e r e n tn o n l i n e a r i t i e sa n di n s t a b i l i t yo ft h e e l e c t r o m a g n e t i cs u s p e n s i o n ( e m s ) s y s t e m ，c o n t r o lo f i t ss t a b i l i t yi sa c c o m p l i s h e d e i t h e rt h r o u g ha n a l o gc o n t r o l l e r so rb yu s i n gd i g i t a lc o n t r o l l e r s i nt h i sp a p e r , t h en o n l i n e a rd y n a m i cm a t h e m a t i cm o d e lo fs i n g l em a g n e t i c l e v i t a t i o ns y s t e m ( s m r s ) i ss e tu p ，a n dt w ol i n e a rm a t h e m a t i cm o d e l so fs m l s a r e d e s i g n e dt h r o u g h t h em e t h o d so fl l n e a r i z i n gt h e e q u i l i b r i u mp o i n t a n d f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n t h ea u t h o r g e t st h es t a t ef u n c t i o na n d t r a n s f e rf u n c t i o no f t h e s y s t e m o n t h eb a s i so ft h em a t h e m a t i cm o d e l ，t h e c o n t r o l l a b i l i t y a n d o b s e r v e a b i l i t ya l ea n a l y z e d ，d e s i g n e dt h es e v e r a lk i n d so fc o n t r o l l e ri n c l u d i n g l i n e a rs t a t e sf e e d b a c kc o n t r o l l e r , m o d e lr e f e r e n c e a d a p t i v es y s t e m s a n dt h e n o n l i n e a rf e e d b a c kl f u e a r i z i n gc o n t r o l l e r s o m em e t h o da n dd e s i g ns t e p so ft h e c o n t r o l l e ra r e g i v e n s i m u l a t i o n s a r em a d et ot h e c o n t r o l l e r s ，f e a t u r e s a n d p e r f o r m a n c e o fe a c hc o n t r o l l e ra r e g o t t e n ，f e a s i b i l i t y o fe a c hc o n t r o l l e ri s a n a t y z e d a f t e r t h e t h e o r ya n a l y s i s o ft h e m a g n e t i cs u s p e n s i o ns y s t e m ， d e p e n d i n g o nt h er e q u e s to ft h ed i 西t a lc o n t r o l ，ac o n t r o l l e ri sd e s i g n e d u s i n g t h e d i g i t a ls i g n a lp r o e e s s o r ( d s p l t m s 3 2 0 f 2 8 1 2 i t sf u n c t i o n si n c l u d e s i g n a l s s a m p l i n g ，s i g n a lp r o c e s s i n ga n do p e r a t i n gr e s u l t so u t p u t ，e t c i ti sb a r eo u t t h r o u g ht h ee x p e r i m e n tt h a tt h es m l s ss t a b l es u s p e n s i o nc a nb eo b t a i n e db y u s i n g t h ed i g i u dc o n t r o l l e rm e t i o n e da b o v e k e y w o r d s ：t h ee l e c t r o m a g n e t i cs u s p e n s i o ns y s t e m ：d i g i t a lc o n t r o l l e r ；f e e d b a c k l i n e a l l z a t i o n ；s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义 磁浮列车是一种无接触的新型地面运输系统，它利用电磁吸引力或斥力 使车体悬浮于导轨上方一定高度，并用直线电机驱动车辆运行。具有不受粘 着力限制，无打滑问题；无机械摩擦，磨损小，维修费用低，噪音低，无列 车脱轨、翻车问题，安全、舒适；无污染，与环境兼容性好；爬坡能力强等 一系列优点。既可用于城市之间的长距离运输，也可用于城市与郊区、城市 内的中短距离运输，具有广阔的应用前景。 我国在常导磁浮列车研究方面取得了可观的成绩，根据悬浮利用的是电 磁吸力还是电磁斥力，磁浮列车已逐步形成电磁型( e m s ) 和电动型( e d s ) 两种 典型的悬浮结构型式。而磁悬浮控制是列车稳定运行的关键所在。本课题对 磁浮列车电磁悬浮系统进行了理论分析与数字控制实现，具有一定的理论与 现实意义。此课题的研究对有关的磁悬浮控制领域也有很积极的意义，比如 磁浮轴承控制。 1 2 国内外现状分析 在电磁悬浮方式中，列车上装有电磁铁，位于铁磁导轨下方。利用它们之 间的电磁吸力，使列车悬浮于导轨上方一定高度。由于电磁系统的固有不稳 定性、非线性，必须通过精确的反馈系统来加以控制。在控制方法上国内外 学者不断对磁悬浮系统进行研究，将一些先进的控制理论运用到悬浮控制系 统中。 对磁悬浮模型的稳定控制通常是将非线性磁悬浮模型在工作点( 或平衡 点) 附近进行泰勒展开，忽略高阶项以后，得到一阶线性化模型。这种线性 化模型在磁悬浮控制中得到了广泛应用，并已经在工程上验证了它的实用价 值i l j l 2 】。使用这种线性化方法设计的控制策略也有其局限性，由于线性化模 型是在平衡点附近得到的，因此当气隙误差迅速增大时，将导致控制策略的 迅速恶化，影响系统稳定。 针对磁悬浮系统的非线性特性，直接采用非线性的控制方法。产生了模 型参考自适应控制【3 1 、反馈线性化控制【引、增益表控制1 5 】等一系列的控制方 法。 p k s i a m 在他的著作中提到了采用模型参考自适应控制来抑制电磁悬 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 浮的非线性影响。j i n h 等提出通过非线性反馈线性化设计磁悬浮控制器 的理论和方法。在这里，磁悬浮模型采用完全非线性化状态方程描述。因此 通过反馈线性化得到的模型在很大范围内不受平衡点的影响。反馈线性化理 论于近年来得到了很大的发展。 增益表控制法是将非线性模型在一系列变化的平衡点附近线性化，得到 一系列线性化模型。根据性能指标要求，设计出对应于各个线性化模型的状 态反馈增益矩阵。为了保证在大工作范围内得到较好的控制效果，需要将工 作点细分为多个间断点，并将增益矩阵保存于一个连续的存储空间中，以便 在不同的平衡点处选择相应的增益进行控制。 此外，神经网络、遗传算法【6 】、滑模控制m 、变结构控制等控制方法也 在悬浮控制中得到了应用。另外也有在经典p i d 控制基础上结合其他的控 制方法例如模糊理论、自适应理论形成的模糊p i d 控制【8 l ，自适应p i d 控制 等。 1 3 电磁悬浮的实现 为了实现电磁悬浮的稳定控制而设计的磁悬浮控制器，既可以通过模拟 器件实现，也可以通过数字器件实现。采用模拟器件实现控制算法的好处在 于响应速度快以及相对较低的价格。而在高性能嵌入式微处理器问世以前， 如果采用板上大型计算杌系统实现对电磁悬浮系统的控制，其成本是相当高 的，此外还有运算速度缓慢、体积庞大等缺点。因此长期以来，模拟控制器 在磁悬浮控制被广泛的应用。 得益于迅速发展的微电子技术，大规模、超大规模集成电路和各种高性 能微处理器也应运而生并快速发展。1 9 8 2 年，美国德州仪器( 1 1 ) 公司推 出了通用可编程数字信号处理器( d s p ) 。这是一种具有特殊结构的微处理 器。d s p 芯片的内部采用程序和数据分开的哈佛结构，具有专门的硬件乘法 器，广泛采用流水线操作，提供特殊的d s p 指令，可以用来快速地实现各 种数字信号处理算法。自诞生以来，d s p 芯片在短短的十多年的时间里，无 论是其指令复杂度还是指令执行速度都得到了飞速的发展。同时，与之接口 的外围电路芯片，如模数、数膜转换器、高速静态存储器、可编程逻辑器 件等也得到了高速发展，性价比也在不断提高。因此采用数字器件构成的磁 悬浮控制器不再是处理速度缓慢和价格昂贵的了，也更容易应用于工业控制 领域。 采用数字控制器比模拟控制器具有下述一些优点：可实现复杂的控制算 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 法，改变控制器参数方便，无需改变控制器的硬件，只要改变软件，在系统 工作时可在线地改变控制器参数；控制器的特性稳定，没有模拟控制器由于 元器件老化和参数飘移带来的不良影响，因而极大地提高了电磁悬浮系统的 性能。与模拟控制相比，数字控制虽然前期投入稍多，但数字控制器开发成 功后，非常适于向模块化方向发展，以后的工作仅仅是控制方法和相应的软 件的改变，这为将来的实验研究和开发应用带来极大的方便。 在前面提到的一些非线性控制方法中，它们各有各的特点，而且都能实 现悬浮体的稳定悬浮。但是其共同的特点是随着控制算法的复杂程度越来越 高，广泛使用的模拟电路控制器已逐渐无法满足需要，而采用数字计算机是 一个很好的选择。例如采用遗传算法时，几乎没有办法不用到数字计算机。 事实上，以上所介绍的控制算法的实现中，都使用到了d s p 。 国内在采用数字控制器实现对磁悬浮系统的控制上也做了大量的工作。 西南交通大学磁浮列车研究所于上世纪9 0 年代开始对单电磁铁悬浮系统的 数字控制研究，取得许多有益的结果。南京航空航天大学于1 9 9 9 年底研制 成功了数字控制的磁浮轴承系统。可以相信，数字磁悬浮控制技术将是磁悬 浮控制系统的发展方向。 1 4 本论文的主要研究内容 本论文主要研究内容是根据线性化模型设计数字悬浮控制器，利用对应 的数字算法，通过数字控制器来实现磁悬浮系统的稳定悬浮。 首先，以单电磁铁为研究对象，介绍了悬浮控制系统的基本结构和工作 原理，并在此基础上建立了单磁铁的数学模型，进而推导出悬浮控制系统的 模型，为后面的系统设计打下基础。同时，还对影响系统性能的各种因素进 行了分析，并提出了一些初步的解决方法。 然后。在悬浮控制系统模型的基础上，进行了数字控制器的硬件和软件 设计。在硬件设计中，针对所选用d s p 器件一- - t m s 3 2 0 f 2 8 1 2 在结构上的特 点以及数字悬浮控制系统的实际情况，着重介绍了数据采集电路和控制信号 输出电路的设计。软件上，主要介绍了目前应用于磁悬浮系统的几种控制算 法，并对各种算法的优缺点进行了分析。同时为了降低干扰，引入了数字滤 波器，以便充分发挥数字信号处理器在信号处理方面的优势。在软件、硬件 设计的基础上，进行了数字控制系统悬浮试验，验证了控制器设计思想的可 行性。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第4 页 第2 章单电磁铁悬浮系统模型 电磁悬浮系统通常是多电磁铁结构，每个模块的运动有纵向、侧移、升 降及摇摆、侧滚、俯仰6 个自由度。但是通过解耦，系统可以分解为单个悬 浮磁铁的控制问题。所以单电磁铁悬浮系统是磁悬浮系统的基本单元，分析 单电磁铁悬浮系统的动态模型和动态特性比分析多磁铁系统更具通用性。因 此单电磁铁悬浮系统的分析和综合是磁浮列车系统分析和控制的基础。 2 1 单电磁铁悬浮系统动态模型 图2 1 所示为单电磁铁与导轨组成的悬浮系统原理结构图。其中c f ， hr ，z 俐分别为磁极表面与轨道面间气隙、轨道面相对参考平面间的距 离和磁极表面相对参考平面的距离。 硎t 努考，一斯 图2 - 1 单磁铁悬浮动态模型 堀f j 电磁铁重力击外界扰动量只j ，0 ：电磁吸力 zr j 磁极表面相对参考平面的距离h r j 导轨表面相对参考平面的距离 c f ? 磁极与导轨间的气隙j 亿j j 控制线圈电流，纠? 绕组回路的电压 驴r ? 主极磁通以j 气隙磁通魂? 漏磁通 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 工：兰。生生一n 生盟, u o n 2 af o ) f 0 ) f p ) 吗2 c o ) 式中，l 为电感值，n 为电磁铁绕组匝数，中，为主极磁通， a 为铁芯极面积，h 为空气磁导率，i ( t ) 为控制线圈电流。 在上述假设下，电感仅与气隙变量成反比。 由公式m = b x a 可知，气隙磁通密度为： b ；生。生肛o n i ( t ) aa 2 c p ) 其磁场储能为矽o ，c ) t p ( f ，c ) 硪一，警击一i z o n 4 c 2 a i 2 或写成缈( f ，c ) 一i 1n 2 一i z 0 1 n _ 2 a i 2 电磁吸力与磁场能量的关系为 f ( i ，c ) 。o w _ ( _ i , c ) 因而得到电磁力表达式： ( 2 - 1 ) r ，为磁路磁阻 从上式可看出 ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) f 丁i z d v 2 a i 2 ( 2 - 4 ) 式中负号表示电磁力的方向，a 表示铁心极面积，表示电磁铁线图匝数，j 表示电磁铁绕组中的瞬时电流 故在 时刻的瞬时吸引力f ( f ，c ) 的大小是： 嗽如卜等一半科 s ， o 4 lc u ji 由上式可知，电磁吸力f 与气隙c ，成平方反比关系，与绕组电流j r 成 平方正比关系。关于气隙c 俐的电磁吸力f 方程是非线性方程。这本质上 体现出电磁悬浮系统为不稳定系统。 对电磁铁绕组回路的电压方程分析可得： h ( t ) - n i ( t ) + 警一n z ( t ) + 鲁咐h ( f ) 刑m 笔铲警+ 筹警 c z e ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 电磁铁在垂直方向的力学方程为( 以向下为正方向) ： m g + 。厶o ) 一f ( i ，c ) = m a 口- 争 m 学= r a g + f d ( t ) 枷，c ) 其中丘为外界扰动量。 由图，考虑到轨道作用面的变化，则：z c t ) ：h r 地俐 综上所分析，得出磁悬浮系统动态模型方程组如下： ( 2 - 7 ) 辨争- r a g + 删哪，c ) 嘶卜可i t o n 2 a i ( t ) 可d c ( t ) + 觜警。， 啪c 咖学科 e - 州w - f 引o 1 2 ( 2 9 ) 2 2 系统模型线性化与状态方程的建立 2 2 1 平衡点附近线性化处理 由于电磁悬浮系统中的电磁力f 与电磁铁电流j 、气隙。以及电磁铁本 身的电压u 与电流，之间同时存在着较为复杂的非线性关系，若用线性系统 理论进行控制器的设计必须对系统中的各个非线性部分进行线性化。由于系 统的工作范围较小，所以可以对系统进行线性化处理。理论和实践都已表明 这种局部线性化方法是具有实用意义的。我们在平衡点( j 。c o ) 附近对系统 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 进行线性化，以得到一个近似的线性化模型。将式( 2 - 5 ) 在平衡点处作泰 勒级数展开： f ( i ，c ) = f ( i o ，c 0 ) + 世 ，o1 n 、 一e ( i o ，c o ) + 只( f o ，c o ) a i ( t ) + e ( i o ，c o ) a c ( t ) + a ( a i ，a c ) 式中a ( t ) = i ( t ) - i 。，c o ) = c o ) 一c 。，a ( f ，a c ) 为泰勒展开中的高阶项a 忽略高阶项后，将导出( 厶国) 领域内非线性方程的线性化形式： f ( i ，c ) 一f ( i o ，c o ) + 鼻( i o ，c o ) f ( f ) + 只a o ，c o ) a c ( t ) = f ( i o ，c o ) + k f ( f ) + e c 0 ) 其中，f ( 屯c 是悬浮电磁铁在平衡点处即气隙5 0 0 * 为c a , 电流为厶时 产生的电磁力系数： 电压万程在平衡点处的线性化万程为： a u ( t ) 一o ) 一“o 哪瑚一絮半+ 锗学 一警掣+ 筹掣 垴 ：r a i ( t ) 一岛；o ) + l o a a i ( o 茸中 r 芦o n = a h 。1 ( 2 - 1 3 ) 在式( 2 1 2 ) 中，也表示气隙变化单位长度时电磁力变化的值，岛表示电 流变化单位量时的磁力变化的值，厶表示平衡点电感。 分析可得三个量之间的关系为：厶恕，砰。 2 2 2 线性化系统状态方程的建立 ，方程组( 2 - 8 ) 经过平衡点处线性化后可以表示为： 一一环一w舡舢 一 弘 弘 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 m a z ( t ) 一ka c ( t ) - k i a i ( t ) + a f g ( t ) 厶“p ) = g a i ( t ) + 工o a i ( t ) - k i a c ( t ) a z ( t ) = a t ( t ) + 幽o ) ( 2 - 1 4 ) 可以选择( ，a c ，a i ) 7 作为状态变量，则可得到如下状态方程： a c a c f 010 生。一生 m肌 。生一旦 毛l o y 一 1 o o a j l 越 a c a o a + 00o l 三o m 0o 上 厶 a _ l ( f ) 厶0 ) 血( f ) ( 2 - 1 5 ) 由磁悬浮系统的系统方程可得出开环系统结构图，如图2 - 2 所示 图2 - 2 磁悬浮系统开环结构图 如果j l ( f ) * 0 ，则有c ( f ) 一a z ( t ) 。相当于不考虑轨道作用面的变化，这种 情况下的数学模型我们称之为相对参考模型。当认为支承悬浮体的轨道部分 是固定而且静止的，即不考虑轨道本身的弹性振动或动态形变，那么认为轨 道对电磁铁具有无穷大的刚度系数，这样仅需考虑电磁铁相对于轨道的运动 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 关系。相对参考模型在应用于轨道刚度系数很大的实验室磁悬浮试验车的分 析和设计上具有足够的精度。 如果考虑作用面变化的影响所建立的数学模型称之为绝对参考模型，即 在相对参考模型系统基础上增加了一个强制性的输入a h ( t ) ，此变量反映了 弹性轨道对系统的影响。因为该函数反映了实际磁浮列车运动线路中的各种 弹性振动，相对而言更具有实际意义。 基于研究需要，我们下面研究单磁铁悬浮系统时不考虑其在轨道上的振 动变化，故将以相对参考模型为研究对象。 在不考虑系统扰动和轨道形变时，将可以简化其状态方程。 由磁悬浮系统的开环结构图，我们可以得出悬浮气隙( 位置) 对输入电 压的传递函数： 岛 掣。气 ( 2 1 6 ) 缸0 ) 。，+ 旦s z 一些 k帆 系统的特征方程为：，+ _ rj ：一粤：0 ( 2 1 7 ) m l o 通过劳斯( m u t h ) 判据可知，特征方程具有不稳定性。且开环系统是 三阶不稳定系统。这同我们在研究电磁铁吸力特性时所得到的结论是一致 的，所以这个系统需要加一个反馈控制器以保证系统稳定悬浮。 2 3 以电流作输入变量的状态空问模型 上面分析的模型是以电压作为输入的模型，其数学模型为三阶，在小型 的悬浮系统中，这样的模型可以较好地模拟真实系统，因为小型的悬浮系统 的励磁电流比较小，电磁功率很小，可以方便的实现线性调节输入到电磁线 圈的电压。但是对功率较大的悬浮系统，由于悬浮磁铁较重，电磁部分电流 势必较大，这样线性的调节输入到电磁线圈的电压不太容易实现，这样的系 统通常的做法是使用斩波器给电磁线圈供电，利用电流跟随的原理来调节线 圈的电流，一般而言，斩波器的电流跟随性能能做的很好，即能跟随系统要 求的变化率变化的电流。这样对磁铁这样一个控制对象而言，其输入可以看 成是电流。下面将推导出以电流输入作为变量的状态空间模型。 由系统模型在平衡点附近线性化以后的方程组式( 2 - 1 5 ) ，通过拉普拉 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 斯变换后可有： ( m s 2 一k c ) c ( 5 ) 一一k , a i ( s ) a u ( s ) 一( r + 三一) f ( j ) 一k l s a c ( s ) 由式( 2 1 8 ) 和( 2 - 1 9 ) 可知： 耶) | 器* 则有： 型：= 生 m 蟮+ m r s l 一r k t ( ，) 一蕊万m 瓦w 2 + 高k 孑 _ 。_ 。- _ _ - 。一 1 n 历t a 1 2 0 n 咄3 ，i 其幅频函数为： i h ( j w ) l 。 1 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 中，为系统稳定时电流变化频率，0 7 一h ，f 通常较低， 这样上式的幅频特性在n ，为较低范围变化时，其幅频特性曲线近似为一直 线。由式( 2 - 2 1 ) 可以看出，其在较低范围时，相移变换较小，所以可以 近似的将电压和电流看成一个倍数关系。其状态空间模型可以写成如下形 式： 阱甜圣 州1 0 蚴 m r 。 ( 2 2 3 ) 忽略系统扰动和轨道形变，其传递函数模型为： g 。器= 盎( 2 - 2 4 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 1 页 式( 2 1 6 ) 忽略三阶影响后与式( 2 2 4 ) 比较，他们只相差一个倍数r ， 因此在设计控制器时可以对对象进行简化处理，将其看成一个电流为输入变 量的对象，当成一个二阶系统来考虑，这会给系统的设计带来一些便利，而 且从理论上，这样的二阶系统和实际系统比较接近。 2 4 非线性反馈线性化模型 在非线性系统线性化分析中，上面我们用到了平衡点处近似线性化的方 法，这将把非线性系统的某些特点也简化掉了，如自振，浑沌等。 我们将利用非线性状态反馈及非线性状态变换将非线性反馈成线性化 模型。在获得了线性系统以后，就可以用线性系统理论对磁悬浮等级制度进 行控制综合设计。这样，经典的控制理论及现代控制理论的各种控制方法都 可以用来处理这种线性化了的系统。 2 4 1 非线性反馈线性化理论 我们考虑如下非线性s i s o 系统： 膏一，0 ) + g ( z ) h ，z ( 0 ) 一x o ， ( 2 - 2 5 ) 这里，x 彤，f ( x ) 和9 0 ) 是定义域在科上的连续向量场实函数，u e r l 是控制函数。如果在定义域q c f 内，以下两个条件成立时，上述非线性 系统可以进行输入状态线性化。 1 ) 向量组倌，a d ，g ，耐；1 9 在定义域q 内是线性无关的； 2 ) 向量组 g ，a d ，g ，口群一) 在定义域q 内是对合( i n v o l u t i v e ) 的。 这里，删 定义a d ! g - 【， g 】i 警，一善g ( 2 _ 2 6 ) 1 4 d ；g = i f ，口d 1 ，- 1 9 】，i l m 一1 如果非线性系统满足以上两条件，我们可以找到一个状态变换乃，使能满足： l v r , 口d ) g = o , i 一1 ，n - 1 f v 五4 d ；4 9 _ 0 确定了变换乃后，我们可以得到输入状态变换关系为： z = 妒( z ) 一( 五，工，五，巧n - ) 7 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 “= 丑l s l ；- i t i + l g l l ；- i t v 其中： ( 2 - 2 9 ) 坼- 詈肌+ 黟，n 肾娶“：警乩，。 。3 2 4 2 磁悬浮系统的非线性反馈线性化 磁悬浮系统动态模型方程组如下式： 肌i a 2 z r q ) 一愕+ 丘( f ) 一f ( f ，c ) 喇m 笔铲警+ 觜警 嗍c m 华晰 z q ) - h ( t ) + c o ) ( 2 3 1 ) 选取状态变量为h x j x 3 ) 7 ，其中z l = c ( 悬浮气隙) ；x 2 - 亡( 垂向速 度) ：而= f ( 电磁铁电流) 。可将悬浮系统数学模型写成如下非线性方程形式： 耋 。，c z 。，+ “。，g 。， 工2 一i z o n 2 a ( x _ g ) 2 + g 4m 4 1 丝一啦 x 1恤掸。a + 0 o 2 五 t “o n 2 a o 直一i l 一 珑 o ( 2 - 3 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 其中y 为系统输出，为了区别函数占，重力加速度写成g 。 为了引出反馈线性化控制理论，我们先验证e m s 系统能否满足反馈线 性化的条件。忽略系统扰动和轨道形变，我们可以得到： ，o ) i 工2 一型塑( 刍z + g 4m、石，7 互一2 r r 1 ：x 3 薯1 0 n z a 9 0 ) 一 1 ) 向量组 晶a d ，占，n d ；。1 9 ) 的线性相关性 我们可以得出如下方程： g 一 0 o 丑 讳岱a 口d ；占_ ， a d ，g * 一三生 小 0 粤：一! 盘1 ：+ 塑x ( 既) 2m 、”( 肛o ) 3 0 0 丑 讳 l a ( 2 - 3 2 ) 由上式，我们可以验证出信，a d ，g ，商d ；) 在定义域q 内是线性无关的。 这里，q - ( x l ，屯，x 3 ) i x 。 0 , x 3 - o ) 2 ) 验证 g ，a d ，g ，皿彬。2 外的对合( i n v o i u t i v i t y ) 条件 如果存在标量函数口似6 俐，使能满足口g + b 口d ，g | 【占，口d ，占】，那么我们称 臼，a d ，g ) 是对合的。即： 。鲁蒜 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 占，a d ，g 】= o 0 2 x , 讳斟1 a + 6 o 1x 3 卅 啦： ( o n 2 a ) 2 ( 2 3 3 ) 若取标量函数为： n 一石再4 r 亏x 护2 虿，6 = 2 0 三n 2 l a x 3 ，则上式可以成立，即可以 满足对合条件。 2 4 3 线性状态变换 我们取输入线性状态变换z 一0 ) 一嘎，0 五，譬n - 1 互) r 取乃一- - - x l - c d 则： 毛 乞 z 3 瓦 瓦 e r 0 ) l r o ) 口r o ) 五一o 工2 一 a o i v = - 2 a ( 马2 + g 锄、五7 定义：霉一0 + 霉啡，i 一1 ，棚 则： z i z 2 毛 z 2 磊 l f z 3 + l l z 3 u o1o o o1 0o0 气 z 2 2 3 + 。希+ 赤，；警。墨 。：监一玉 r t “1m h 则原非线性方程经反馈线性化后变为 ( 2 3 4 ) v(2-35) ( 2 - 3 6 ) ：哆 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 5 页 耋 ii ； 圣】+ ； v ，y 。e - 。， 兰 e 2 3 7 ， 以上分析为两种线性化方法，前一种线性化方法前提是考虑系统在平衡 点某个领域内运动。当领域越小时，线性化模型越能精确的代替原来的非线 性模型。非线性反馈线性化则通过非线性反馈将原系统转变为等效线性系 统。这种线性化是一种大范围线性化，通过等效线性模型设计的控制参数应 用于非线性模型时，可以得到完全相同的输出。因此从控制效果的等效性上。 同基于平衡点附近线性化模型的设计相比，这种方法更具有实际意义。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 6 页 第3 章磁悬浮控制器的设计与仿真 前面我们对系统的组成和工作原理作了较为详细的介绍，并建立了单磁 铁悬浮的数学模型，并在平衡点附近线性化得到了线性化模型，求出了线性 化后系统的传递函数和状态方程。在这一章里，我们将在单磁铁悬浮系统数 学模型的基础上，引入对输入电压( 或电流) 的反馈控制，建立模型参考自 适应控制器，并对控制器的控制性能进行稳定分析。 3 1 系统的状态方程和能控能观性 忽略轨道形变和动态扰动，我们可以将系统线性化进一步简化为下式： g ：尝邶缸 c 。- ， 其中： 爿_ o10 生0 一蔓 ，搏m o 生一旦 k厶 ，b 1 o 0 1 ，c - 1 0 0 ( 3 2 ) x k z ：，玛 7 - & ，& ，f 】7 ，y ；a c 下面我们分析该系统的能观性和能控性。 在这里，我们引入一种能控性和能观性的判据，在以上线性定常系统中， 依据秩判据： 1 ) 线性定常系统为完全能控的充要条件是：r a 柚pa b a - 1 b 。n 2 ) 线性定常系统为完全能观的充要条件是：r 肌k c c a ： c a 一_ 1 以上判断系统能控与能观的秩判据，对离散时间系统同样适用。 系统的能控性矩阵： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 m b a b a 2 b _ 系统的能观矩阵： n c “ c a 2 oo一土 m l o o 一土 m l o 1r l ql ? 10o o10 生。一生 小，打 r k , m l o 。 r 2缸2 厶3 础日2 下面我们验证磁悬浮系统的能控和能观性。 我们给出磁悬浮系统模型的主要参数，如下表1 - 1 ： 悬浮系统质量m o 【g ) 5 6 8 电磁铁绕组匝数 3 4 0 电磁铁绕组电阻rf o ) 0 6 5 电磁铁磁极面积s ( r a m 2 ) 5 0 0 + 2 5 平衡点气隙z o( 删面 1 0 平衡点电流如 3 5 空气磁导率地( w i n ) 4 x 1 0 7 表1 - 1 磁悬浮系统模型的主要参数 将数据代入相关方程： 厶一等，k 一学，墨一警， 睁。， 我们可以得到： l o 一0 ，0 9 0 7 9 。k t3 1 7 7 7 2 1 n f a ，k ? 一1 1 1 2 2 0 2 3 3 9 2 n m 。 将系统参数代入能控矩阵和能观矩阵中，我们可以得到： m = = = 00 6 1 6 2 06 1 6 2 4 4 1 1 5 1 1 0 1 4 7 8 8 5 3 2 1 0 0 2 3 7 6 ，一 1 0 1 9 5 8 1 0 3 00 1o 0 0 5 5 9 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 可分析出系统的能控阵和能观阵的秩均为3 ，故系统既可控又可观测。 3 2 磁悬浮系统的极点配置 根据对线性定常系统的分析可知，经状态或输出反馈后的闭环系统的特 征值或称闭环极点决定了系统的稳定性，即当且仅当它的所有极点都位于复 平面上的开左半平面时，线性定常系统为渐近稳定的。迸一步分析还以得出， 系统动态响应的过渡过程时间，也很大程度上信赖于闭环系统极点的位置。 我们的磁悬浮控制系统线性化后是完全能控的，我们可以通过配置磁悬 浮系统的闭环极点，从雨可以使得原来不稳定的受控对象为闭环稳定，而且 可以加速系统响应。下面我们将对磁悬浮数学系统进行极点配置。 我们知道，磁悬浮线性化系统为三阶系统，在这里，由于闭环系统的动 态性能完全由闭环极点所决定，我们可以这样选择期望的闭环极点，选择一 对主导极点厶j 一融j 4 1 一；2 镰，其中毒和q 分别是二阶系统的阻尼系数 和无阻尼自振角频率。并将另一个极点定于主导极点左边较远的地方，使得 该极点对闭环系统的动态性能影响很小。这样就可以把系统看成是只有主导 极点的二阶系统。 我们使闭环系统满足以下动态指标； ( 1 ) 输出超调量盯s 2 ( 2 ) 调整时间为f s 0 1 s 据二阶模型的超调量和调整时间近似计算公式 a f 缸| 嚣i 碱 4 。爵o 山 可以确定言0 7 7 9 7 ，c o n 5 1 3 0 2 ，取耆。0 7 8 , 甜n 一5 5 ，则我们可以确定主导 极点a l ，2 一- 4 2 9 1 3 4 4 1 8 ，选择极点凡为1 0 倍远，即九= 一5 0 0 ，则期望 闭环特征多项式 妒o ) ( 5 _ 5 蚴( 5 2 _ 8 5 8 5 + 3 0 2 5 ) ( 3 - 4 ) 一s 3 + 5 8 5 8 s 。+ 4 5 9 2 5 s + 1 5 1 2 5 0 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 3 3 电压闭环控制模型 我们己经作了非线性系统线性化处理，我们以 c ( r ) ，越( f ) ，世( f ) 7 作为 状态变量，则其磁悬浮系统的状态方程转化为如下： f 芒( f ) 1 l 能o ) i ； 眨o ) j 令以- ol0 o01 丝。一旦 m l o厶 + o10 001 丛。一旦 ，儿0厶 ，吃- f c ( ) 1 i 世o ) i + 【世( f ) j 嘲 0 0 t m l o o 0 置 m l o 血( f ) ( 3 - 5 ) 状态方程为：；4 + 也血 ( 3 6 ) 我们引入一个线性状态反馈控制，其控制方程为： a u ( t ) _ 皇。苫( f ) + 吒o ) + 七。c ( f ) + a w ( t ) ( 3 7 ) 令k 一眈，t ，屯】， 这里，吒，t ，屯为适当的反馈系数，a w ( t ) 为微小输入量，动态闭环悬浮 系统可以表示成如下状态方程： 0 o 1 一m o o 旦嘛 d 0 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 鼢 010 001 k o _ _ r _ r 0 一旦 m 厶上o o o 一_ 生l 鸭 a w ( t ) + 0 0 t m f a c ( t ) 1 p ，k vt i 啡) l 陋) j ( 3 8 ) 嘲 忽略动态扰动和轨道形交，则以电压作为输入变量的闭环控制状态方程为 + 01 0 0 01 锚一拳一毪一唾鼍， 0 0 毛 j 毗 a w ( t ) 坤。川网 令4 = o10 001 麓一瓮，一篆一t 罢+ 急， ，吼z o 0 七 m l 。 ( 3 9 ) 状态方程为：4 l + 或w ( 3 一l o ) 则输出y ( t ) x 寸- a w ( t ) 的传递函数矩阵为：l ( s ) - c ( s l 一4 ) “b m 易知以 厶c ( ) ，& ) ，世o 为状态变量的闭环系统的特征多项式 o 0 1 一m 。旦嘛 d o 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 l 页 妒( s ) = d e t ( s i 一以) ：s ，+ ( 乒+ ，k k a 、，2 + 一k i k v 上 七，一螂)3l 、岛m 厶。肌om l o “ 下面我们确定屯，k ，k p 的值。 据上面极点配置后的特征多项式( 3 4 ) 式，可得方程组： 昙+急-蒜+丽181492k,9075xlo 1 8 59 07 5 x 1 0 - s s s s 厶碱 4 4 垃! ! ! ：塑丝= 4 5 9 2 5 m l 1 8 5 9 0 7 5 1 0 - 3 去 邶) | 型惫黑等坐硝绷 我们可以解出：屯i 9 3 9 0 5 , k v - 6 9 6 6 1 1 4 ，k ，一2 4 7 7 3 2 1 4 3 则我们的反馈控制方程为： a u ( t ) i9 3 9 0 5 a ( t ) + 6 9 6 6 1 1 4 a ( t ) + 2 4 7 7 3 2 1 4 3 a c ( t ) 3 。4 电压闭环控制的仿真 ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) 我们由式3 - 9 构造8 i m u l i n k 仿真模块，其仿真模块如图3 一l 所示。下 面我们分析电压闭环控制在轨道外力扰动和轨道气隙误差下的控制气隙变 化曲线。 图3 - 1 以电压作为输入变量的闭环控制仿真模块图 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 下面我们给定轨道气隙噪声大小为5 m m ，频率为0 5 h z ，可以仿真得出系统 气隙响应和电流变化曲线如图3 2 示，其中左图中虚线为给定值，实线为控 制后气隙变化值。 图3 2 轨道气隙噪声为0 5 h z 的电压反馈控制气隙、电流变化曲线 给定轨道气隙变化大小为5 m m ，频率为1 h z 时，可以仿真得出系统气隙 和电流变化曲线如图3 3 示，其中左图中虚线为气隙改变量给定曲线，实线 为控制后气隙改变量变化曲线。 图3 3 轨道气隙噪声为i h z 的电压反馈控制气隙、电流变化曲线 给定轨道气隙噪声大小为5 m m ，频率为8 5 h z 时，可以仿真得出系统气 隙和电流变化曲线如图3 4 示，其中左图中虚线为气隙改变量给定曲线，实 线为控制后气隙改变量变化曲线。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 图3 - 4 轨道气隙噪声为8 5 h z 的电压反馈控制气隙、电流变化曲线 从图3 - 2 至图3 - 4 可以分析得出，气隙噪声频率越高，其电压闭环控制 的效果越差，即在低频噪声时，控制效果比高频时好。 3 5 模型参考自适应控制器的设计 3 5 1 系统状态变量构成的自适应控制器 磁悬浮系统的状态方程为圣，一4 石，+ 矗，a u ，选择参考模型为 丸- a x + 或a w ，设计一个参数可调的控制器，该控制器同磁悬浮系统一 起组成可调系统，如下图3 - 4 ： 图3 5 模型参考自适应控制器框图 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 4 页 这时控制信号血( f ) 由前馈信号k o ) w 和反馈信号f ( f p ，组成，即 觚( f ) = k ( t ) w + f ( f 扛。 将式( 3 1 4 ) 代入式( 3 - 6 ) 中，得到可调系统状态方程 i ，1 【4 + 砟f ( f ) k + 丑p 置( f ) ， 系统的广义状态误差向量为 e 。x t x p 由( 3 9 ) 和( 3 - 1 5 ) 两式相减可得 o 4 。e + o 一4 一彤f 扣0 + ( 吃b p k ) a w 理想情况下，式( 3 - 1 7 ) 右端两项应该等于零。 ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 设f 和k 的理想值分别为i 和i ，当f 一- k 面，且i k i - 0 时有 4 + f 。4 ，s , k 一一玩，b 一玩趸4 ( 3 1 8 ) 式( 3 - 1 7 ) 可写成 j 。4 e + 巩趸4 岳一f k + 夏1 ( - 一k ) x w 或i 。雄+ 以趸4 帆。+ 吃夏一w ( 3 一1 9 ) 式中，中i f ，v 莨一k 为可调参数误差。 我们以广义误差8 和可调参数误差零及掣组成增广状态空间，在此空间 中，定义一个李雅普诺夫函数 y ；去【，p e + o ( 垂7 f l - t + 翠r 2 1 平w ( 3 2 0 ) 式中，p ，1 - , 1 - 1 及r ：。1 均为正定矩阵a 对式( 3 - 2 0 ) 求导，并整理得 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 矿= 妄，( 4 7 尸+ 只如扣+ ( 击r 1 1 垂+ x p e 7 p b , k 1 中) + i ( 中7 f 2 - x 1 王r + w e 7 p k “1 王，) 因为4 为稳定矩阵，所以可选定对称正定矩阵q ，使得 以1 p + u - a 对于任意e _ 0 ，方程式( 3 2 1 ) 中右边第一项是负定的， 右边后两项均为零，则矿为负定。为此选 击- r 【战置“】7 p 缸： 也一一r 2 7 【巩k 1 r p e w 7 当4 和b p 为常值或缓慢