（机械制造及其自动化专业论文）气动人工肌肉建模研究.pdf

摘要 气动人工肌肉作为一种新的拉伸型气动执行元件已引起了国内外学者的广泛关注。 近几年来，国内许多科研单位和院校对其工作特性及应用进行了研究，并取得了大量的 阶段性成果，特别在气动人工肌肉的静态工作特性方面的成果居多。作为一种新型气动 元件，要想使其国产化，对其工作机理及其工作特性的研究应是其重要的基础。从现有 国内外文献来看，关于气动人工肌肉工作机理和建模方面的研究还不是很多。在研究以 气动人工肌肉为驱动元件的控制系统时，多将气动人工肌肉视为理想的圆柱形状，或在 理想的圆柱基础上进行修正，来弥补由于气动人工肌肉结构引起的非线性影响，因此， 建立更加精确的气动人工肌肉模型有着非常重要的意义。本文从气动人工肌肉工作机理 出发，考虑端部约束对气动人工肌肉的影响，建立更能描述气动人工肌肉工作特性的数 学模型。本研究主要做了以下几个方面的工作：( 1 ) 对空间曲面及曲面上曲线稳定性进 行研究，为气动人工肌肉模型的建立奠定基础；( 2 ) 对现有气动人工肌肉数学模型建模 方法进行了研究和在研究气动人工肌肉的工作机理的基础上，建立了以空间微分几何为 基础的有端部约束的数学模型；( 3 ) 设计了一套气动人工肌肉体积测量的实验系统，并 完成了负载拉力恒定实验、等压实验和等长实验研究，并得到了实验曲线。通过研究可 知，若将气动人工肌肉中间部分视为理想圆柱，端部曲面视为回转椭球面，则圆柱面上 的缠绕应为螺旋线缠绕，即为测地线缠绕；由于端部约束的存在，端部曲面缠绕为非测 地线缠绕。以体积最大为稳定条件，对所建立的数学模型进行了数值计算，当气动人工 肌肉体积最大时，得到端部过渡部分为球台，中间圆柱部分的最大编制角略小于 5 4 7 0 ，这与将气动人工肌肉视为理想圆柱形状所建立的数学模型有所不同，这主要是考 虑端部约束而产生的对其数学模型的影响。本研究所建立的考虑端部约束数学模型的仿 真曲线与实验曲线更加接近。 关键词：气动人工肌肉；工作机理；测地线；非测地线；建模；实验研究 a b s t r a c t n 6 ma san e wk i n do fp n e u m a t i ce x e c u t i v ec o m p o n e n to fd r a u g h ta n de x t e n dh a sa r o u s e d a b m a da t t e n t i o no fi n s i d ea n do u t s i d es c h o l a r s r e c e n t l y ，m a n yd o m e s t i cs c i e n t i f i ca n dr e s e a r c h i n s t i t u t i o n sa n da c a d e m i e sh a v ei n v e s t i g a t e dh i sw o r kc h a r a c t e r i s t i c sa n da p p l i c a t i o n 1 1 1 e w o r k sh a v ea c q u i r e dam a s so fp h a s ef r u i t s , e s p e c i a l l yi ns t a t i cw o r kt r a i t sa c h i e v e m e n ta l ev e r y e x c e s s i v e a san e wk i n do fp n e u m a t i cc o m p o n e n t , t h er e s e a r c ho fh i sw o r km e c h a n i s ma n d w o r kc h a r a c t e r si st h eb a s i co fm a k i n gi ti no u ro w nc o u n t r y f r o mt h ei ne x i s t e n c el i t e r a t u r e so f i n s i d ea n do u t s i d e w ec a ns e et h a tt h em e c h a n i s ma n dm o d e l i n gr e s e a r c ho fp a mi sn o tp l e n t y w h e ns t u d yt h ec o n t r o ls y s t e m sw h i c hu s ep a ma sd r i v eo r g a n , w eo f t e ns e e 删a si d e a l c o l u m ns h a p e ，o rt h er e v i s i n gb a s e do ni d e a lc o l u m nt om a k eu pt h en o n - l i n e ra f f e c tc a u s e db y t h es t r u c t u r eo fp a m , s ot ou pb u i l dt h em u c hm o r ee x a c tm o d e lo fp a mh a sa l l i m p o r t a n t m e a n i n g 眦st e x ts t a r t so f ff r o mt h ew o r km e c h a n i s mo fp a m , c o n s i d e r i n gt h ea f f e c tf r o m r e a rp a r tr e s t r i c t i n gp a ma n df o u n d i n gt h em a t h e m a t i c sm o d e lw h i c hc a l ld e p i c tt h ew o r k c h a r a c t e r so fp a m 1 1 l i sr e s e a r c hm a i n l yd of o l l o w i n gs e v e r a lw o r k s ：f i r s t l y ，d o i n gr e s e a r c h a b o u tt h ec u r v e ds u r f a c eo fs p a c ea n dt h ec o n d i t i o n so fs t a b l ea b o u tt h ec u r v e1 i n eo nt h ec u r v e d s u r f a c e ，e s t a b l i s h i n gt h ef o u n d a t i o nf o rs e t t i n gu pt h em o d e lo fp a m s e c o n d l y ，t a k i n g r e s e a r c h o nt h es e t t i n gu pm e t h o do f m a t h e m a t i c sm o d e la b o u te x i s t i n gp a m o nt h eb a s eo f r e s e a r c h i n g t h ew o r km e c h a n i s mo fn u s e t t i n gu pt h em a t h e m a t i c sm o d e lo fb a s e do nt h es p a t i a l d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dw i t hr e s t r i c t i o no nf r o n tp a r t t h i r d l y ，d e s i g n i n ga ne x p e r i m e n ts y s t e m a b o u tm e a s u r i n gt h ev o l u m eo fp a m , a n df i n i s h i n gt h er e s e a r c ho nt h es a m ep r e s s 珊e ，s a m e l o 吼s a m el e n g t h , a n dg e a m ge x p e r i m e n tc u r v e t h r o u g hr e s e a r c h , w ek n o wt h a ti fs e e i n gt h e m i d d l ep a r to f p a ma sac o l u m na n dt h ef r o n tp a r ta sar o t a t i o ne l l i p s o i ds u r f a c ew ec a ng e tt h e c o n c l u s i o nt h a tt h ew i n d i n go nt h es u r f a c eo fc o l u m ni ss p i r a lw i n d i n g ，j u s ti st h eg e o d e s i c w i n d i n g ；a st h ee x i s t e n c eo fr e s t r i c t i o nc o m ef r o mt h ef r o n tp a r t , t h e 五o n tp a r tt w i s ti sn o n - g e o d e s i cw i n d i n g s e em a x i m u mv o l u m e 弱s t a b l ec o n d i t i o n , t a k i n gn u m e r i c a lc a l c d a t i o no n t h ee s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c sm o d e l w h e nt h ev o l u m eo fp a mg e t t i n gm a x i r n u m ，t h ef r o n tp a r t i ss p h e r e t h em a x i m u mo r g a n i z a t i o nc o m e ri sal i t t l el e s s5 4 7 0 0 ft h em i d d l ec o l u m np a r t t h e s ea r ed i f f e r e n tf r o mt h em a t h e m a t i c sm o d e lb a s e do ns e e i n gt h ep a m 雒ai d e a lc o l u m n t h e s em a i n l yc o n s i d e rt h ea f f e c t i o no nt h em a t h e m a t i c sx n o d e lf r o mt h ef r o n tp a r tr e s t r i c t i o n ms i m u l a t e dc u r v eo fm a t h e m a t i c sm o d e lb u i l tb yt h i ss t u d yi sm o r en e a rt oe x p e r i m e n tc u r v e o f m a t h e m a t i c s k e yw o r d s ：p n e u m a t i ca r t i f i c a im u s c l ea c t u a t o r ；w o r k i n gm e c h a n i s m ；g e o d e s i c ； n o n - g e o d e s i c ；g e o m e t r i cm o d e l ；e x p e r i m e n t a lr e s e r c h 一i i 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得佳木斯大 学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解佳木斯大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名： ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 导师签名 吼趔率必 佳木斯天学碾士学位论文 1 绪论 1 1 气动 工肌肉概述 ll _ l 气动人工肌肉的发展 气动人工肌肉是种新型的拉伸型气动执行元件，是现代气动技术与机器人技 术、仿生技术、医疗技术相结合的产物。气动人工肌肉突破了气动驱动器必须由气 体推动活塞这一传统概念，它是由一段外部包裹纤维网的橡胶筒和两端的接头连接 组成，如同生物肌肉那样能产生很强的收缩力，如图l1 所示。作为一种全新的气 动执行元件，有人甚至将它的出现称为“气动技术的一场革命”。 弋 图1 l 气动人工肌肉模型 二十世纪五十年代，美国医生j o s e p hlm c 尉b 妇l 发明了。种驱动假肢运动的 气动执行元件，这就是我们通常所说的m c k i b b e n 气动人工肌肉。它是由内部的橡胶 管及外部的编织网构成，充气后可以实现径向的膨胀和轴向的收缩。与常规气缸相 比，气动人工肌肉有很人的初始拉伸力，当收缩运动时，拉力减小，这使得它可以 获得很大的加速度同时平稳的达到日的位置。作为一种新型的拉仲执行元件，气动 人工肌肉的运动方式与生物肌肉力长度特性曲线“非常酷似，立u 图12 所不。因 此气动人工肌肉最初主要应用于医学领域。 图12 生物肌肉的力长度特性 气动人工肌肉作为一种气动执行元件，具有气动执行元件奉身所固有的一些缺点。 诸如，很难实现准确位胃控制。因此气动人工肌肉在其诞生之初，并未引起人们的足够 重视。从上个世纪8 0 年代至今，气动人工肌肉作为机器人执行元件的应用，已经取 得了相当的成效。美国华盛顿大学生化机器人实验室的g l e n nk k l u t e h 3 教授多年来 一直从事气动人工肌肉方面的研究，他参与开发了许多利用气动人工肌肉的项目。 并设计了一种由m c k i b b e n 气动人工肌肉驱动的假肢装置，能模拟正常人的步伐，带 动假肢上的踝关节运动，从而帮助截瘫患者在行走时减少能量损耗，使他们走的更 快更轻松。日本y o k o h a m a 国立大学研制开发了一种采用f m a 人工肌肉的柔性机械 手p 。f m a 气动人工肌肉与m c k i b b e n 气动人工肌肉有很大的差别，它是由纤维加 强的硅橡胶构成。它的形状随着内部充气压力变化而变化，它具有三个气腔，这三 个气腔的压力分别由三个控制阀独立控制，通过控制这三个腔内的压力，可以实现 三个自由度任意方向弯曲，这样使得它既可以充当肌肉又可以作为关节使用。 随着现代气动技术在工业自动化领域的广泛应用，气动人工肌肉作为一种崭新 概念的气动执行元件也越来越受到气动技术界的重视。2 0 0 0 年f e s t 0 公司推出了 m a s ( m u s c l ea c t u a t o rs i n a l e ) 仿生气动人工肌肉腱系列以及相应的应用解决方案，正 式宣告气动人工肌肉成为一种标准的气动执行元件。其应用范围已经被推广到现代 气动技术的大部分，应用领域而不再仅仅局限于仿生机器人。 气动人工肌肉简单的结构，巧妙的工作方式，独特的工作特性是其它气动执行 元件所无法比拟的。它比较适合于夹紧技术、搬移技术、定位机构、机器人、仿真 技术、仿生平台机械、建筑技术、注塑机等集成技术嘲。这些优点预示着气动人工 肌肉将会有极其广泛的应用前景。 1 1 2 气动人工肌肉的特点 气动驱动系统的应用有着长达两千多年的历史。但是直到上个世纪，即使是气 缸这一最典型的气动执行元件，通常也只能用于较简单的不需要控制运动输出的中 等大小力的输出。而气动人工肌肉的出现为现代气动技术的发展带来革命性的新变 化，气动人工肌肉没有以往气动执行元件的许多弱点，它密封性能好，无泄漏，输 出力自重比大，无爬行粘沾现象阻1 ，除了仍难以实现较好的伺服控制外，气动人工 肌肉可以说是一种十分理想的气动执行元件。 气动人工肌肉与其他执行元件相比较具有以下一些特有的优点1 ： 一2 一 圭木赣凡学硬k 学位论文 1 ) 结构简单，重量轻，易于小型化： 2 ) 具有柔性，不会损害操作对琢： 3 ) 动作平滑，无相对摩擦运动部件冈此无泄漏现豫： 4 ) 输出力自重比人，能量转换效率高，其输出力是同样直径的普通单作用气 缸的1 0 倍，而重量仪为普通单作用气缸的几分之； 5 ) 在操作过程中产生的热、噪音小； 6 ) 价格低廉，维护方便应用领域广泛。 当然，气动人工肌肉也存在一些缺点： 1 ) 气动人工肌肉与传统气动执行元件相比行程小( 气动人工肌肉空载时一般为 其初始长度的2 0 有栽时只可达i 其初始长度的1 0 ) ； 2 ) 气动人工肌肉的变形为非线性环节，具有时变性，使准确控制其位移十分困 难。 气动人工肌肉有着十分独特的 。作方式与作特性，在气动人工肌肉诞生之 初，人们就开始对气动人工肌肉的特性进行了研究，进入上个世纪八十年代，针对 气动人l 肌肉的研究越柬越引起人们的重视，目前气动人_ 肌肉已经成为现代气 功技术一个新的研究热点。 l13 气动人工肌肉的分类 按结构形式可将气动人丁肌肉分为三娄”5 ：编织式人工肌肉、网孔式人工肌 肉和嵌入式人工肌肉。 1 ) 编织式人工肌肉 ) m c k i b b e n 肌肉 凹1dn c k i b b e n 肌肉的结构及1 椎状态i 刳 ( 2 ) 网孔式人工肌肉 2 ) 奁囊肌肉 9 罔l5 套囊肌肉结构 硅本斯火学硬十学忙论文 y a r l o t t _ 肌肉 桊哪跏 峥 圈16y a r l o t t 掣肌肉 3 ) k u k o l j 肌肉 ( 3 ) 嵌入式人丁肌肉 移， 竺烹叫。? 蜂翌罗& ”“聋”一。 图18k u k o l j 肌肉 立宜酉 圈】9 m o f i n 肌肉 ( 5 ) 特种肌肉 1 ) 旋转肌肉 冷 陶17r o m a c 肌肉 4 ) p a y n t e r 烈曲面肌肉 幽li o 双曲面肌肉 2 ) 二自| i 度肌肉 一鹰“移，晶需 幽1 1 1 庇转肌w 3 ) 单动作弹性管及其组合 臼冀i 目乏i ! | 图薹妻宦露 幽11 2 二自由度肌肉 。脚 一乐誊一参 1 1 - 4 气动人工肌肉研究现状 气动人工肌肉虽然有着十分独特的工作方式与工作特性，但起初一直没有引起人们 足够重视。自上世纪9 0 年代以来，随着计算机技术、机器人技术以及控制理论的飞速 发展，气动人工肌肉才越来越多地引起人们的重视，并对其进行系统的研究工作。但是 目前气动人工肌肉的研究还处在初步阶段。 1 9 6 1 年美国科学家s c h u l t e n 2 3 撰文分析了m c k i b b e n 气动人工肌肉的静态驱动特 性。上个世纪九十年代中期在美国华盛顿大学电子工程系攻读博士学位的c h i n g - p i n g z h o u n 町 n 明在他的导师b l a c kh a n n a f o r d 的指导下，根据能量守恒的原理对m c k i b b e n 气 动人工肌肉建模，进行了大量实验，讨论了内部摩擦等因素对气动人工肌肉静态输出力 特性的影响，并针对具体的气动执行系统分析了它的动态特性，其后英国s a l f o r d 大学 t s a g a r a k i s 和c a l d w e l l 等人，提出了一些新的分析建模方法，通过基于气动人工肌肉表 面位移的理论建立气动人工肌肉的力学平衡方程得到的结果与z h o u 的模型一致。北京 航空航天大学机器人研究所宗光华教授与刘荣博士啪埘3 是我国最早开始从事气动人工肌 肉研究的科研人员，他们分析了f m a 三自由度气动人工肌肉驱动器的静力学特性并重 新建立了m c k i b b e n 气动人工肌肉静态输出力数学模型；华中科技大学李宝仁教授与刘 军和哈尔滨工业大学王祖温教授与隋立明博士对气动人工肌肉静态输出力数学模型进行 了改进研究嘲；华中科技大学李宝仁教授与杨刚对气动人工肌肉做了静态和动态特 性实验研究瞄嘲；天津大学李醒飞分析了气动人工肌肉末端弧度、壁厚和摩擦对其驱动 特性的影响，同时给出了负载拉力恒定、等压和等长实验曲线踟。值得一提的是美国华 盛顿大学k l u t e 教授为代表的研究人员主要从仿生学的角度研究气动人工肌肉，致力于 用气动人工肌肉模拟或代替生物肌健，这是对气动人工肌肉特性研究的继续与深入口明。 到目前为止，气动人工肌肉的研究已经取得一定进展，但至今还没有一个真正能精 确描述气动人工肌肉特性的数学模型，这说明要在理论上精确描述气动人工肌肉的工作 特性有一定的难度。其难度表现在以下几个方面： ( 1 ) 气动人工肌肉是由纤维丝正反双螺旋缠绕编织的网包裹着，其产生的拉力和形 成的位移与气动人工肌肉的形状有关，而如何确定气动人工肌肉的形状是首要解决的问 题。 一5 一 ( 2 ) 在构成气动人工肌肉的材料中，橡胶膜起着极其重要的作用，是橡胶膜将气体 的压力均匀地传递给纤维丝的，因而橡胶膜对气动人工肌肉变形会产生一定的影响，这 种影响一个来自于膜本身，另一个来自于在气动人工肌肉变形过程中橡胶与纤维丝的相 互作用。尽管有些研究已经对此进行了分析和实验，但就现有气动人工肌肉的模型来看 仍存在值得探讨的问题。 ( 3 ) 在一般的分析中，常常把纤维丝视为柔性且不可伸长的理想纤维丝，但实际 上，在气动人工肌肉变形收缩过程中，纤维丝内产生的拉力会很大，特别是由非金属材 料制作的丝，变形是必然的，这种变形对气动人工肌肉的建模究竟会产生哪些影响，到 现在为止还没有文献给以阐述。 ( 4 ) 纤维丝是有结构尺寸的实体，其结构尺寸会对气动人工肌肉的工作特性产生一 定的影响。 ( 5 ) 在理想情况下，常常把气动人工肌肉看成是理想圆柱，忽略端部非圆柱部分的 影响，这在一定程度上影响了气动人工肌肉模型的精确程度，尤其是在长径比较小条件 下，气动人工肌肉控制表现的尤其突出。 ( 6 ) 到目前为止，建立气动人工肌肉的静态数学模型方法都是在理想圆柱基础上得 到的气动人工肌肉改进模型，对考虑两端约束对数学模型的影响还没有研究。 1 2 课题的来源、目的及意义 本课题为黑龙江省自然科学基金资助项目( e 2 0 0 5 - 0 2 ) 。 气动人工肌肉作为一种新的拉伸型气动执行元件已引起了国内外学者的广泛关注。 近几年来，国内许多科研单位和院校对其工作特性及应用进行了研究，并取得了大量的 阶段性成果，特别是对气动人工肌肉的静态工作特性和控制策略方面的研究，取得的成 果较多。作为一种新型气动元件，要想使其国产化，对其工作机理及其静态工作特性的 研究应是其发展的基础，从现有国内外文献来看，关于气动人工肌肉工作机理和考虑气 动人工肌肉端部约束的论述不多见。本文立足于气动人工肌肉工作机理和考虑气动人工 肌肉端部约束的建模研究，为气动人工肌肉的设计制造及位置控制的研究和应用奠定理 论基础。 一6 一 1 3 本文的主要内容 本文主要做了以下三个方面的研究工作： ( 1 ) 对空间曲面及曲面上曲线稳定性进行研究，为气动人工肌肉模型的建立奠定基 础： ( 2 ) 对现有气动人工肌肉数学模型建模方法进行了研究，并在研究气动人工肌肉的 工作机理的基础上，建立了以空间微分几何为基础的有端部约束的数学模型，并进行了 仿真研究； ( 3 ) 设计制造了气动人工肌肉体积测量的实验系统及静态实验系统，完成了体积测 量和静态实验。 2 曲面上曲线的稳定性研究 气动人工肌肉是由空间内按正反向缠绕纤维丝编织而成，所以将气动人工肌肉表面 抽象为空间曲面，纤维丝抽象为空间面上的曲线。当气动人工肌肉处于某一工作状态 时，纤维丝一定处于此状态时曲面上最稳定状态。因此，要从气动人工肌肉工作的基本 原理出发进行建模研究，研究曲面及曲面上曲线的稳定条件是非常必要的。通过曲面上 曲线的稳定性研究，弄清气动人工肌肉的稳定性和表面纤维丝的缠绕形式，为气动人工 肌肉的建模奠定了理论基础。 2 1 曲线和曲面理论 2 1 1 曲线的弧长 设e 3 中的一条正则曲线的参数方程是，= r ( t ) ，口f b 。 s = 驴( f ) 陋 ( 2 1 ) 则是该曲线的一个不变量，即它与空间中的笛卡尔直角坐标系的选取无关，也与该 曲线的保持定向的容许参数变换无关。因为在笛卡尔直角坐标变换下，切向量的长度 p ( f ) i 是固定不变的，故s 不变。所以s 与参数变换是无关的。r | r - ( ，) 印是将曲线不断 地细分所得的折线的长度的极限，也就是该曲线的长度，成为该曲线的弧长。现在对于 任意的口r b 有 s ( ，) = 肛( ，) 阿 ( 2 2 ) 则j ( r ) 是曲线c b k a 至：l j t 的弧长。由于s ( ，) 是的三次以上的连续可微函数，并且 掣) l 0 ( 2 - 3 ) 所以给出了曲线c 的保持定向得容许参数变换。换句话说，我们总是可以把正则曲 线的弧长作为它的参数，这种参数称为曲线的弧长参数。弧长参数与表示曲线的笛卡尔 直角坐标系的选取无关，与曲线原来的参数取法也无关，则得到式( 2 - 4 ) 一8 一 d s = 忆r ) i 旃 ( 2 4 ) 可知凼也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素删。 2 1 2 曲面的第一基本形式 设有正则参数曲面s ：，= r ( u ，v ) ，由切平面和法线理论可知道，曲面s 在每一点 p s 处的切空问乃s 是由切向量吒( “，1 ，) ，( z ，v ) 张成的二维向量空间，它是r 3 的子空 间。因此，当曲面s 为上的切向量作r 3 中的向量时可以求它们的长度和夹角。也就是 说，曲面s 在任意一点的任意两个切向量的内积就是它们作为酞3 中的向量得内积。曲 s i s 在任意一点，( “，1 ，) 的任意一个切向量是： 咖( 甜，v ) = 吒( “，v ) 幽+ ( 甜，v ) 咖 ( 2 5 ) 其中( d u ，d v ) 是切向量咖( “，v ) 在自然基底 ( 甜，v ) ，( 材，v ) ) 下的分量。一般来说， 吒( 甜，) ，( “，1 ，) 不是单位正交基底。如果知道这个基底的度量系数，则表示成上式的 切向量与其自身的内积就能够表示成它的分量幽，咖的二次型。 它们的基底 ，：f ( 甜，v ) ，o ( 甜，v ) 的度量系数，称为曲面s 的第一类基本张量。 因此 ，三毒墨v ) d 毋u + “r ， 二，v ) 咖) ( 吒( 甜，v ) 砌+ ( 甜，v ) 咖) ( 2 7 ) = ( 气( 甜，( “，v ) 咖) ( 吒( 甜，v ) 砌+ ( 甜，v ) 咖) 憎叫 ( 凼) 2i - - e ( u ，v ) ( 幽) 2 + 2 f ( u ，) 如咖+ g ( 甜，1 ，) ( 咖) 2 ( 2 - 8 ) 则二次微分式i 与正则参数曲面s 的参数的选取无关的，称其为曲面s 的第一基本形 式。事实上，根据一次微分的形式不变性，微分式与正则参数曲面s 的参数的选取无 关，因此i 作为a r ( u ，1 ，) 与其自身的内积当然与正则参数曲面s 的参数的选取无关。这 个事实也能够从另一个方面进行解释。 一9 6 2 ，l 、l ， 矿“ ，i 、 0 、l ， 矿材 ，i i 、 0 i i 、_、-、-、 v v v “ “ ，i，l、，- 0 0 、-、_、 v v v “ 甜 “ ，-，l、，-i、 屹匕0 i i = = 、_、-、 v v v “ “ ，l-、-、 e f g 第一基本形式i 的几何意义是切向量办的长度平方。若在点( 材，v ) 处有另一个切向量。 8 r ( u ，) = 吒( “，v ) 坑+ ( , v ) 瓯 ( 2 9 ) 它的分量是8 u ，万v ，则切向量d r 和6 r 的内积是 办西2 瓢( 咖+ 西) 2 一( 咖) 2 一( 毋) 川 ( 2 1 。) = e d u s u + f ( d u 6 v + d v s u ) + g d v s v 为了方便起见，有时把上式的右端表达式记成，( 办8 r ) ，因此 例= 、 e ( d u ) 2 + 2 f d u d v + g ( d v ) z ( 2 一i i ) 切向量和彼此正交的充分必要条件是 e d u s u + f ( d u s v + d v s u ) + g d v s v = 0 ( 2 1 2 ) 在正则参数曲面s ：，= ，( “，v ) 上参数曲线网是正交曲线网的充分必要条件是，( “，v ) - 0 利用曲面的第一基本形式，能够计算正则参数曲面上的曲线的弧长。假定正则参数 曲面s ：，= r ( “，) 上的一条连续可微曲线的方程是 、 u = 甜( f ) ，v - - v ( t ) ， 口f b( 2 1 3 ) 则曲线的切向量是 掣：气掣d t + 掣a t 讲 因此可知 根据式( 2 2 ) 得到曲线的长度是 s = 肚( r ) p = r e - - - 矿“、) 2 + 2 f 掣掣+g ( 掣 2 浯 e ( l d u 露( t ) 、1 i = + 2 fd u 矗( t ) d r 魏( t ) + 式( 2 1 6 ) 为空间曲面上曲线的弧长公式一1 。 g ( 掣) 2 疵协蚴 佳本斯大学硕士学位论文 2 1 3 曲面上的测地线 ( 1 ) 曲面上的测地线的曲率捌嘲 设正则参数曲面s 的方程是，= r ( u i , u 2 ) ，c 是曲面s 上的一条曲线，它的方程是 u 。= “口( s ) ，口= 1 ，2 ，其中s 是曲线c 的弧长参数，那么c 作为空间e 3 中的曲线的参 数方程是：色( s ) ：口( s ) ；尘孚：屹堕现在我们要沿曲线c 建立一个新的正交标架 场 厂；q ，e 2 ，e 3 ，使得它兼顾曲线c 和曲面s ，其定义如图2 1 所示。 图2 1 衄回上曲线的正父称架) 匆 一 ：掣：口(j)(2-17)el 1 2 二2 口p ) 乞= 以( s ) ( 2 1 8 ) e 2 = 吃x e i = 以( s ) 口( s ) ( 2 1 9 ) 首先，我们建立曲面上沿曲线c 的正交标架场 ，| ；q ，e 2 ，e 3 的运动公式，因为这是单位 正交标架场，所以可以假设 d r ( s ) ：岛 掣：一q - i - z g 岛( 2 - 2 0 ) 珊 。 掣：一kq一吃ds 9 其中，是待定的系数函数，很粤显，k d d e , ( ( s s ) ) e ，= ，。( s ) 疗所以蠢恰好是曲面 s 沿曲线c 的切方向的法曲率根据式( 2 2 0 ) 得到 唯= 丁d z r ( s ) e 2 = ，协( ，l ( s ) ，= ( 刀( ( j ) ， ( 2 2 1 ) 式( 2 - 2 1 ) 称为曲面s 上c 的测地曲率。 ( 2 ) 曲面上的测地线 设( 甜，1 ，) 为曲面s 上的正交参数系，c ：“= ”( s ) ，1 ，= ，( s ) 为曲面s 上的一条曲线，其 中s 是弧长参数，曲面s 的第一基本形式i = e ( d u ) 2 + g ( 咖) 2 ，则曲线c 测地曲率的 l i o u v i l l e 公式嘲为 峰= 塑一警c o s + 堂s i n k z - n 、z ) d s2 4 62 4 eo uk 。= 一+ - = 一p 8 却 。 式( 2 2 2 ) 中：为曲线c 与u 一曲线的夹角，当曲面s 上测地曲率k 童0 的曲线c 称为 在曲面s 上的测地线。 如果在曲面s 上取正交参考系( “，v ) ，利用测地曲率的公式( 2 2 2 ) ，测地线的微分 方程嘲还可以写成 罢= 去c o s 妄= 去s i n 2 3 ， 塑：a l n e c一一olngos s m 二= t c 一 一 d s 2 x o o v 。 2 4 eo u 。 图2 1 曲面上的短程线m 1 曲面上的两个点，曲面上曲线是过两点的曲线中弧长最短的曲线，则这条曲线是测 地线。如图2 2 所示，曲面上曲线c 是过尸、q 两点的曲线中弧长最短的曲线，则c 是 测地线。 2 2 圆柱面上测地线缠绕 气动人工肌肉编织网的纤维丝是正反向螺旋缠绕编织结构，所以每条纤维丝的线形 为等距的空间螺旋线。把纤维丝抽象为圆柱面上的空间螺旋曲线模型。 p 、q 圆柱面上的两点，沿母线切开，展开成平面时的直线，由此平面直线变过来 的曲线，它们就是圆柱面上的螺旋线，如图2 3 所示。当p ，q 两点不在同一水平面 内或不在同一铅垂线上时，圆柱螺线c 是最短线阻圃。 图2 2 圆柱螺旋线1 圆柱螺旋线一定是它所在圆柱面上的测地线m 捌 对于上述命题可以用两种不同的方法证明： 证明1 设圆柱螺旋线c 的方程为：尹= r ( a c o s t ，a s i n t ，b t ) 则它所在的圆柱面方程为 尹= y ( a c o s u ，a s i n 甜，b y ) ，那么圆柱面的e = 口2 ，f = 0 ，g = 1 ，并且我们知道，圆柱 螺旋线的切向量和z 轴夹固定角，也就是和圆柱面的直母线v 一线夹固定角，因为圆柱 面的坐标网为正交网，是甜一线夹固定角，由l i o u v i l l e 公式得：圆柱螺旋线c 的测地 曲率为式( 2 2 2 ) ，所以圆柱面上的螺旋线c 是圆柱面上测地线。 证明2 由l i o u v i l l e 公式可知，测地曲率k 是等距不变量，因此在两个曲面的等 距对应里，测地线对应测地线，由于平面上的测地线只有直线，因此可展曲面上一条曲 线c 在平面上伸展为直线的充要条件是c 为可展曲面上的测地线，而我们都知道，当圆 柱面展在平面上时，它上面的圆柱螺旋线展成了平面上的直线，因此圆柱螺旋线一定是 它所在圆柱面上的测地线。 挂木鞭九学硬 学慢论文 设圆柱面i 方程为 则第一摹本最为 把式( 22 j ) 代入式( 22 3 ) 有 j = 月c o s u ，rs i n u 1 ， = l ：f = 0 ：“= r 2 ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) x = r c o s “ y = r s i n ( 2 - 2 6 ”h a - - 一v ”。( v 一_ ) + “j 式( 2 2 6 ) 中h 。、h 、”。、h 山测地线上两端点确定。“。 由丁短程线一定是测地线，且在充分小的 b 域内洲地线就是矩 q 线，所以当曲【a 】 上过两点的测地线唯一时，该测地线就是短程线仉测地线问除端点外，再无其它交点 时，其叶 长度最蛳的条曲线就是测地线。 通过前面对短程线和测地线的分析得知，曲面上的测地线其任意一微儿都一以视为 短程线，短程线位置是最稳定的，得知。t 动人工肌肉中叫圆柱段纤维丝为测地线缠绕最 稳定。 2 3 气动人工肌肉端部的非测地线缠绕 山纤维缠绕原理”1 文献得按照测地线编缈稳定力程式ds i n g = d 0s i n c t 。= ( 其巾：口为端部过渡部分不同直径时所对应的编织角；岛为端部过渡部分端头的 m 为非地线的编织角* a 4 线的犏织舶l 纤维# 的实自、走向 2 一* 地线垃绕纤维走向：3 ，31 动 t 肌肉轴线。 图23 气动人】肌肉端部变形她h 编织角。通过多次对编织网变形情况研究来看，如果端部过渡部分纤维丝的缠绕方式为 测地线缠绕，由测地线的稳定方程可知编织角口是随着直径d 逐渐变大而口逐渐变 小：但是实际上气动人工肌肉端部过渡部分，随着直径d 的增大，编织角口逐渐增大， 则按测地线方式缠绕的编织角变化情况与编织角的实际变化情况不符。图2 4 为气动人 工肌肉端部变形照片，从图片可以看出，这种纤维丝线形的走向完全和测地线相反，由 纤维缠绕原理文献一1 得，它属于非测地线，非测地线稳定方程为 口c o s 口。= d ic o s 口，( 2 2 7 ) f， 式( 2 - 2 7 ) 中 口气动人工肌肉的端部断面f 的直径： q 气动人工肌肉的端部断i i i ij 的直径； 气动人工肌肉的端部断面f 的编织角； 哆气动人工肌肉的端部断面的编织角。 2 4 本章小结 通过对曲面和曲面上曲线的稳定性研究，得知圆柱面上的螺旋线是测地线，故中 间圆柱面上测地线缠绕和端部过度部分为非测地线缠绕最稳定。本章理论研究为下一章 气动人工肌肉理论数学模型建立奠定了理论基础。 佳木辑九学硬七学n 论文 3 气动人工肌肉理论建模 目前，建立气动人丁肌肉的静态数学模型有两种方法：种是基于基本物理定律， 即利用能量守恒性原理，或通过对气动人工肌肉受力分析推导出模型，这种建立模剐的 方法称之为解析法，通过这种方法得出的数学模弘称之为能量模型；另种方法是通过 实验，用实验数掘拟台系统的模型，这种方法称之为实验方法。本章采用解析浊建t 7 1 动人i 肌肉静态数学模型。 从现有卜4 内外义献束看，关丁气动人工肌肉i ：作机理方面的研究还不足很多，对其 t 4 h ) t 理的研究是数学模型建直的基础。木章首先从结构和工作机，n 研究h 发其次分 析了现有的能j i 楼1 1 建屯过程的小足之处，存考虑了。c 动人州n 肉端部约束对其g e 动特 性的影响辑础上，j 忾动人工肌肉进行了数学建模研究。 31 气动人工肌肉的结构及参数的几何关系 31 1m e k l b b e n 型气动人工肌肉的结构 叠雹 蕊疆豳麓隧隧骏 睦苣蓟 l 往! ，2 一* 目目；3 管挂样： d w 戟管；5 甜型”簧；6 内m 锥。 刚3l 气动人t 肌肉纤维州与橡胶管 吲32 气动人i 。肌肉剖面圈 。t 动人 ：肌n ( p n e u m a t i ca r t i f i c i a lm u s c l e ) 简称p a m ，它作为种新型的气动执行元 4 1 ，这种形式的气动人工肌肉娃早由m c k i b b e n 在上世纪5 0 年代后期提出的，通常人 们称之为m c k i b b e n 型t 动人工肌肉。m c k i b b e n 型气动人_ l 肌肉是现应用较为广泛的 一种气动人工肌肉，它的可收缩部分山一段高强度纤维和橡胶管组合而成。纤维形成了 在i 个方向上的四边形时状结构，当内部有压力时，i 动人工肌肉在同岗方向f 扩张， 并且在轴向上有收缩i 薹动，如图3l 所示。编织州的始由高抗拉强度材科制成，为4c 动人工肌肉的组成封闭结构，两端设有端盖端盖为组合件，采用扣押式结构与弹性橡 皮囊和编织网连接，可以保证连接处可靠密封。外，端盖也足气动人j i 。肌肉与负载和 机架的连接部件，根据常规连接的方式，生产厂家设计了标准的连接构件，用户也可以 根据需要自行设计，气动人工肌肉的进气和排气口也设置在端部。m c k i b b e n 型气动人 工肌肉是由一个可收缩部分和合适的连接头组成。如图3 2 所示。 3 1 2 气动人工肌肉参数的几何关系 ； 入 ，习 ； 一 j, f - 岭刃勺 j ! k i “ 睦万d慢z d q 万i ) 习 色万n 2 z r d鸭别 。r ， ，i n o z d r丫j i n o z d l 、 ，厂 ；i 八 勰酷 公太 上端部约束 卅 l ( 后面仿真可以得到) ，并设一l = 2 此；厶为端部约束曲面的轴向长度；厶 为中间圆柱的长度；d 为中间圆柱直径；口为圆柱部分的编织角；n o 为丝缠绕的总圈 数；强端部约束曲面上的缠绕圈数；n 2 为中间圆柱上的缠绕圈数。 气动人工肌肉初始状态时的几何关系为 厶= b o c o s o f 0 ( 3 1 ) n o z r d o = b os i n ( 3 - 2 ) 式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 中 、厶气动人工肌肉的初始长度； 口o 初始状态下的编织角； d o 初始状态直径( 端部连接处直径) ； 嘞纤维丝初始的缠绕圈数。 因为气动人工肌肉在变形过程中，不能发生扭转，所以对相同初始长度和直径的气 动人工肌肉来说，无论是理想圆柱模型还是考虑端部约束的模型，纤维丝缠绕的总圈数 保持不变。由图3 3 可得 n o22 r 6 + n 2 厶= 魄c o s o t n o t e d = b os i n 口 万d = 6 2s i n a l = 2 厶+ l 2 d ：且s i n 口 万 d ：旦s i n 口 门一万 在初始状态不变的条件下，圆柱的直径由编织角决定，而圆柱上丝的线长与缠绕圈 数的比值为恒值。所以有 ：且：至：q ( 3 1 0 ) n o x刀2 刀 圆柱段的直径也可以表示为 d ：d o s i n t z ( 3 1 1 ) s i n u o 从以上推导来看，当初始条件确定后，圆柱部分的直径只由对应的编织角决定，也 就是说，圆柱部分的直径与编织角是一一对应的，这一几何关系为后续的模型建立和解 算提供了有利的条件。 、，、，、，、，、，、，、j 3 4 5 6 7 8 9 一 一 一 一 一 一 一 3 3 3 3 3 3 3 ，ll，l，ll，l，l 佳木鞭大学硕士学位论文 3 1 3