（机械设计及理论专业论文）齿轮系统的混沌控制研究.pdf

摘一婪 摘要 混沌现象魁非线性系统特有的一种振动形式，齿轮系统的混沌振动会剥机械 传动系统躲工作性能翻可靠性产生很大影l 嘲，拎制齿车尝系统混沌振动具鸯缀大骢 学术意义和实用价值。 本文镑对荦数齿轮传动系统，综合考虑时变噬合剐度、齿测蝴隙及误差激髓 的影1 j m 建立了齿轮系统振动分析的单自由度非线性动力学模型，并分析了系统 在参数激励下黪峨应。针对系统在部分参数区域发生的慢渔运动，运用o g y 控 制原理，以混沌吸引予内部不稳定低周期轨道为同标，分系统运动方程已知和未 知两种情况，对外激励参数实施连续嬲小扰动，使系统幻轨道始终落在泰加扰动 的鞍点轨道的稳定流形上，从而实现系统运动的稳定化。 基予系统鲍运动微分方程，定义了系统的p o i n c a r d 映剩，用打泌法求出系统 的不稳定低周蝴轨道。得到各周列轨道点处的参数敏感度向爨和j a c o b i 矩阵，进 两求出其逆变蒸矢量和不稳定特征向壁，从以l ：数据中球出稳定孰道所需的参数 扰动量，通过埘系统实施扰动，将系统稳定在目标丽煳轨道上。 在系统方稷未知的愤形下，利用嵌入技术，投搦所测到的系统孰线频闽数锘 门问序列，从中找出闰期轨道的最近回9 1 点对，提取m 目标周剐轨道：利用不动 点小邻城内的多个状态点拟台出j a c o b i 矩阵；埘外载荷参数名义值分别实旋不同 的小扰动，找出在参数扰动后的系统轨道彳i 动点，通过计算不动点位臀的变化褥 到系统的参数敏感度向量。根撵 馋到的各数攒计算出稳定轨道所需的参数扰动照 | 勺大小，对系统外激励实施连续的小扰动，从而实现系统运动轨道的稳定化。 邋过数值模拟对晒罨f 途径的控制效果进行了比较+ 从而验证了o g y 混池控 制方法运用于齿轮系统的可行- 陛。而嵌入技术的随用则司以撇开系统运动方程列 系统实施控制，使得溜池控制的研究逃步其商现实的意义。 关键词：齿轮系统， 混沌控制，o g y 方法， 周期轨道，参数扰动 撕j e t 业氏学确t “娩立 b s a t 二 矗b s 零鬏a e 零 c h a o t i cp h e n o m e n o no n l yo c c u i 孳i nm m l i n e a rs y s t e m ；t h ec h a o t i cv i b r a t i o ni n g e a rs y s t e m 。琏s e v e r e l ya f f e c tt h ep e r t b n n a n e ea n do p e r a t i o n a lr e l i a b i l i t yo ft h e m e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o ns y s t e m ：c o n t r o l l i r l gt h ec h a o t i cv i b r a t i o no fg e a rs y s t e mi so f i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c eb o t hi nt h e o r e t i cr e s e a r c ha n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n 。 i nt h i st h e s i sao n e - d e g r e ef r e e d o mo p ；l i n e a rd y n a m i cm o d e lo fag e a rs y s t e m h a sb e e ne s t a b l i s h e dc o n s i d e n r l gt h eb a c k l a s h ，c o m p o s i t ee r r o ra n dt h et i m e v a r y i n g s t i f f n 麟s t h od y n a m i cc h a r a c t e ro ft h e 瓣s p o n s eo ft h es y s t e m0 x c i t e db yt h es t a t i c t f a n s r n i ! ；s i o ue l t o l i sa n a l y z e d i nv i e v o 州。t h ec h a o t i cm o t i o nh a p p e n i n gi ns o r e p a r a m e t e rs p a c eo ft h es y s t e m ，t h eo g ￥c h a o sc o n t r o lm e t h o di su s e di nt w ow a y st o s t a b i l i z et h eu n s t a b l ep e r i o d i co r b i t se m b e d d e di nt h ec h a o t i ca t t r a c t o rb ym e & t r i g c o n t i l l u o u sp e r t u r b a t i o nt ot h ee x t e r n a le x c i t a t i o np a r a m e t e ro f t h es y s t e m b a s e do nt h em o t i o ne q u a t i o i lo ft h es y s t e mt h ep o i n e m 6m a pi sd e f i n e da n dt h e u n s t a b l el o w p e r i o do r b i t so ft h es y s t e ma r el o c a t e db ys h o o t i n gm e t h o d t h e p a r a m e t e s e n s i t i v i t yv e c t o ra n dj a c o b i nm a t r i xa t e v e r yp o i n c a r cs u r f a c eo ft h e o r b i t sa r ec a l c u l a t e d ，t h r o u g hw h i c hi t su n s t a b l ee i g e n v e c t o r sa n dc o n t r a v a r i a n tb a s i s v e c t o r sa l eg a i n e d ，t h e na l lo ft h en e c e s s a r yi n i b r m a t i o uf o re s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r p c r t “r b a t i o na r eo b t a i n e d ， h o w e v e r 。i na p p l i c a t i o n s ，m a t h e m a t i c a lm o d e l so l 。t h es y s t e m sa l - g1 a r e l yk n o w n i ns u c hs i t u a t i o n s 。t h ee m b e d d i n gt e c h n i q u ei s 聩瓣di nt 渔t h e s i st oc o l l s 2 r u c tt i m e s e r i e so fs y s t c r l l ss t r o b o s c o p i cs e c t i o nd a t a ，f r o mm i l c ht h eu n s l a b l ep e r i o d i go r b i t s a n dn e c e s s a r ) i n f o r m a t i o nf o re s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r p e r t u r b a t i o n c a nb c d e t e r m i n e d 。 t h ef e a s i b i l i t yo fa p p l y i n gt h eo g yc h a o sc o n t r o lm e t h o dt og e a rs y s t e mi s v a l i d a t e db yt h et w oc o n t r o lc f t i ：c t su s i n gh u m e n e a ls i m u l a t i o n 。f h ea p p l i c a t i o no f e m b e d d i n gt e c h n i q u ec a r lc o n t r o lt h es y s t e mw i t h o u ti t sm o t i o ne q u a t i o n ，s o i th a s i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei na p p l y i n go f c h a o sc o n t r o lt h e o r y k e yw o r d ：( e a rs y s t e m ，c h a o sc o n t r o l ，o g ym e t h o d ，p e r i o d i co r b i t s ， i a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n _ ；l | j 北i ：业人学 11 学位沦史 1 1本文的研究意义 第一章绪论 齿轮在机器制造- p 占有极其重要的地位，瑟工作时产生的振动是造成设备动 态性畿繇他的主餮因素，传动过程中的噪声也对瘸圈环境造成穰大的影响。隧籀 生产的发展和科技水平的提高，现代化的设备，特别是有高。州：能要求的机械动力 漆轮系统，不仅要求系统具有良好的动态性能，丽巨要求对系统的运转状态进行 实时鼢控，以保证系统一虞保持在可靠的稳定 j 作状态，冈而对齿轮传动的精度、 掇动、噪声翻可靠性等工 睾特性以及系统的动力学性能提出越来越高的要求。 齿轮系统在工作过程中的动力学行为极为复杂。不仅有载荷工况和动力装蹦 引入的外部激臌，丽虽裔诲轮剐本身产篁三酶各耱内鄹激磁；由予澜酒弱安装酌考 虑以及传动过程中磨损。齿轮剐中不可避免存在蓿齿侧m 隙。在现代的高精密机 撼系统r p ，特剐避在航窀、簸天、及甄代机器入领域中，齿轮霸l 能在高速轻载条 件下工作，由于外部激励、内部激励和齿侧删隙的影响，轮齿问的接触状态会发 生变化，导致轮涛闯的接触、薤踅蕊、 ! l 接触的黧复冲击，对轮落的动载萄朝齿轮 系统的动念性能产生不良影响 ”。典型的如航空发动桃q ，的齿轮一转了一轴承系 统溅齿铡阀豫、辘承阉潦以及时交剐度锋菲线憾因素掰辱 起的糯撞振动，会导致 系统产q 二高频 雌裔硐| 融沌现象；汽车变避齿轮传动系统巾的齿轮齿侧f u j 隙及离台 嚣齿碴闽隙等替线性因索，会导致系统产生獭击振动( r a t t l i n gv i b r a t i o n ) 阀灏； 机器人传动系统中零部件之间或零部件与环境删的混沌振动，会降低其：j 作精 度，旗趸会造戏i 侔失灵；航天器 孛震系统中齿轮传动的菲线性振动，导致传动 跌差 ! 人，因而给其位资挖制系统带来较大幽难。 混沌现象憝非线性系统特有静一种振动形式，是产：；蔓予确定性系统著对初拣 条件十分敏感的非周期运动。旦系统进入混沌状态，往往会m 现赭人们所研i 希望的特性。凌轮系统在菜些参数区域发生的混淹振动会对枫城传动系统l 工 乍 性能和可靠性产生很大影响。而在控制间隙非线性导致的齿轮系统混沌运动方 嘲，在爨煎已发表的文献中肖不多见。 本文针对单级问隙非线性齿轮系统在部分参数区域发生的混沌运动，运用 销一章绪论 o g y 控制原理，以嵌j 二混沌吸引了内部的不稳定周期轨道为曰标，通过对系统 的外激励实施连续的小扰动，实现了系统运动的稳定化。在= 实际成用l j 系统的 真实运动方程往往是无法得到的。在这种情况下，本文阿次将嵌入技术应用于齿 轮系统的混沌控制，从系统轨道频i 刈数据时f 开j 序列中提取出目标不稳定周期轨道 和计算参数扰动所需的其它信息，通过实施控制也使系统获得了稳定。嵌入技术 的应用可以抛丌系统运动方程列。系统实施控制，对后续齿轮系统混沌控制的进一 步研究羽i 实验具有理论和实际意义。 1 2 齿轮动力学研究概况 1 2 1 动力学模型的建立 在不同的发展时期，人们根据实际中遇到的动力学问题，刈齿轮系统建立 r 各种各样的动力学模型。1 9 世纪早期，主要通过分析和艾验的方法来确定动载 荷，用冲击作用f 单自由度系统的动态响应来表达系统的动力学行为。后来随 菥振动理论的发展，丌始把齿轮系统“j 作种弹性的机械振动系统来分析。t u p l i n wa 提m 了第个弹簧一质量模型用j 一划动载荷的引算，由此齿轮系统动力学的 研究进入卜一一个新的阶段。自2 0 1 1 1 ； 己7 0 年代至今，人们嘲绕齿轮动力学提出了更 为复杂的模型，均是离散化的单自山度或多自山度模型，按照研究对象复杂程度 的1 i 同，可归类如下n 9 】：动载荷系数模型、齿轮副扭转振动模型、传动系统 模，理和完整齿轮系统模型。这四类模型中，除动载系数模型外，其余三类均是目 j “常刚的。其中齿轮副扭转振动模型的广义自由度是齿轮副的扭转振动量，因此 - i 要删来研究齿轮副的动态啮合问题。在齿轮动力学中，因为啮合齿轮的最直接 的动力学效果就是齿轮的扭转振动，因此，这种模型是齿轮系统动力学模型的最 熬本的形式。 在振动理沦的范畴内，齿轮系统的动力学模型又经历了由线性振动到非线性 振动、山定常系统向参变系统、由确定性到随机的发展，总体可归类为： ( 1 ) 线性时不变模型( l r l l i ：l i n e a rt i m e 。i n v a r i a n t ) ，这类模型采用线性振动理 论，以平均刚度替代时变的啮合刚度，并由此计算齿轮副的同有频率和振型，不 考虑山时变啮合刚度引起的参数激励、啮合间隙引入的非线性对系统的动念特性 的影响，在近年的研究中已较少应用。 两北t 业大学顺卜学位沦文 ( 2 ) 线性时变模塑( l t v ：l i n e a rt i m e 。v a r i a n t ) ，在齿轮他动过稗中， h 于参与 曦台轮蠊个数和啮合位嚣的变化，齿轮的峨合刚度足隧时间蚓期变化的。线，睫时 变模型就是强考虑tn a 合嗣庋的时变效应丽将问题转化为线性参变问题，这类模 型能够搦示齿轮系统中的参数共振现象，例如a m a b i l im 等考虑了低重食度情况 下啮合剐度躺时变注和阻尼的时变性，p a r k e r rg 笛。3 考虑嘲变啮合翊0 度建 立了搬轮系统的有限元接触横型等都属于线性时变檬， ( 3 ) 非线性酣不交模型( n t i ：n o n l i n e a r t i m e 。i n v a r i a n t ) 。l i 自h 所述，无论从设 计的角度还是从饭轮传动的实际运转来看，齿轮传动巾的问隙是必然存在的。特 剐是当间隙较大、高遽翻转时，轮齿静啮合、脱离、搿峨合觋琢尤为突冉。“闩二 非线 生幼力学行为远比线性动力学行为复杂，所以此类模型往往会涉及到刘系统 的分岔和锟沌等阔题的狮究。幽予仅考虑间隙就会使得系统的微分方程的分祈和 求解难度大大增加，因此在部分q 睦性模型中，可忽峨啮合刚度的叫炎散成，瓶 采用定剐溲模型。 ( 4 ) 非线性时变模型( n t v ：n o n l i n e a rt i m e v a r i a n t ) ，这类模型最为复杂，在 考虑闯泳非线性的澍时，订入皤合猁发的列变浚，把齿轮系统作为种南：线性豹 参数振动系统加以研究。出于计算机搜术的发展以及非线性理论的不断成熟，齿 轮系统的研究模型现象中存线性时交模型和非线性时小燮模型卜，近年来钳对n 隙二衅线性模型的动力学问题得到广泛的研究和关注1 1 4 9 ，其一 一以k a h r a m a na 和 s i n g hr 等人的研究 2 2 1 最其有代表性。 ( 5 ) 线性随机模型。 ( 6 ) 嚣线性隧视模型。考虑轮齿传动中的随机圜豢，建立系统的随税模受毯 盼得到r 定的发展。 1 2 。2 齿轮动力学行为的研究 自1 9 6 7 年n a k a m u r ak 开始研究齿轮系统问隙非线性动力学以来，在随后 的二 “多年内，弭：多科学家翱熬薅究了系统的动力学模型、动惫嘲潼以及备参数 对系统动态特性的影1 1 虮1 9 8 4 年，k u c u k a yf 在进行高速齿轮系统m 隙问题p 究中。考感了瞒台潮度的时变性并研究了由予啮合刚度时的参数激励磁引起躺动 力稳定性问题【2 。1 9 9 1 年a k a h r a m a n 等分析了单间隙及多阳j 隙的单缴齿轮动力 学模型中发生溉沌珥鸯应鹃特定参数区域”l ，为齿轮系统的混亨硅 勘力学研究奠定了 基础。1 9 9 9 年a r a g h o t h a m a 等】用增罱谐波平衡法刈ak a hr a m a n 的i 自“1 度模 阳北7 l k 人学坝i 学位论殳 型进行了求解，分析了在刁：同激励频率区域内系统通向混： l 【i 的倍剧期分贫羽i 拟周 期分俞道路。 1 3 混沌控制研究概况 蹴( c h a o s ) 通常用来描述混乱、杂乱无章的状态。数百年来，混沌一直被以 研究自然界的秩序和规律为主的近代科学所忽视。到1 9f 世：纪中叶，从自然科学 角度首先讨论混沌问题的是热力学，热力学的平衡态实际是一种混池态。1 9 世 纪术，法国数学家p o i n c a r e 在研究三体问题时也遇到了混沌现象，他经过研究指 f _ ，绝大多数不可积系统原则l ：是1 i 能求出精确斛的，在一定的7 1 4 ：l 内，其解是 随机的，实际上就是一种保守系统的混u 。1 9 0 3 年，p o i n c a l l 6 从动力学系统和拓 扑的全局思想出发，指出可能存在的混沌特性。1 9 6 0 年前后，k o h n o g o r o v 等人 深入研究了哈密顿系统中运动的稳定性，得出了著名的k a m 定理，为揭示哈密 顿系统中k a m 环面的破坏及混沌运动奠定了基础。1 9 6 3 年，美国气象学家 l o r e n z 发表了“决定性的非周期流”一文，指出气候不能精确重演与长期天气预 报的无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之蚓的联 系。他还认为一串事件可能有一个临界点，在这- - d , tl ，小的变化呵以引起很大 的变化。这些研究清楚地描述了“对初始条件的敏感依赖性”这一混沌的基本性 质，h 口蝴蝶效应。1 9 7 5 年李天岩和约克发表了题目为“p e r i o dr 【h r e ei m p l i e sc h a o s ” 的著名论文，被认为是c h a o s 的第一次正式表述。1 9 7 6 年美国科学家梅在自 然杂志上发表了“具有檄复杂的动力学的简单数学模，艘”文，阳人们表明了 个混沌理论的信息：简单的确定论数学模型可以产生看似随机的行为。1 9 7 8 年，美闫物理学家费根鲍姆( f e i g e n b a u m ) 详细地研究了由倍周期分龠通向混沌过 程q 1 的- 些规律，发表了普适性的论文“一类非线性变换的定量的普适性”， 使得混沌科学确立自己牢阎的地位。到了9 0 年代，混沌科学打破r 各门学科的 界限，g l 始与其他科学相互渗透。混沌是关于系统整体性质的科学，它把相距甚 远的各个领域联系到了一体。随着计算机技术的提高，混沌研究得到了迅速发展。 借助逼真的电脑模拟技术，人们能够观察到一个系统动态的演化与复杂的混沌效 应，使混沌的研究进入了个新的历史时期。 列混沌现象的研究表明，在确定性现象和随机现象之间还存在着某些复杂现 象，这可以解释i ：多过去人们迷惑的问题。对混沌现象的认识是目前关于非线性 研究的重要成就之一一，对混沌现象的研究促使非线性科学成为个蓬勃发展的重 州北r 业人学f ! l “学化沦义 要学科，使得混沌成为自然科学和社会科学的共同研究热点【2 3 3 i 。 7 | i 7 i h ；科学是运用各种现代理论与技术研究混沌的机理、摔制及) , t i j - l - 的交叉学 科。混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为别初值的敏感依赖性， 或对小扰动的极端敏感性。这“日：质曾被认为是- - i x j 系统不利的一p l - 质，在过女 的询多年中，人们一直相信混沌运动既是不r ，j - 预报的，又是不i l j 控制。因此，确： 实践中总是希望避免混沌现象，亦即在几乎所有的工程设计l 咕h 希望能消除系统 t 1 1 的混沌行为。 1 9 5 0 左i _ ij o h n v o n n e u m a n n 酋次提出了利用混沌敏感性的思想。他指出： 川以很小地仃细选择有i = 卜划的人气扰动，经过段刚问l i 以后，川以在，一个大尺度 范围内日i 发预期的变化。 1 9 8 7 年，h u b l e r 和l t i s c h e r 也曾引入种控制混沌的思想：在系统的驱动 力上加一个合适项，使系统行为变成稳定的周期轨道。但所得到的运动不一定足 系统原运动方程的解。这种方法需要知道系统的动力学模型，但无需反馈且有抗 噪声的能力，通过控制一个力学摆的运动成功地演示了这利t 方法。 进一步的研究表明，系统所具有的混 7 i i s 状态，其中存在着微妙的结构。混池 运动埘初始条件的敏感依赖特性允许使用很小的反馈扰动来摔制系统的轨道，这 种能力是非混沌系统所不具有的。1 9 9 0 美国马里兰大学的物理学家e d w a r d o t t ，c e l og r e b o g i 和j a m e s a y o r k e 基于有无穷多的不稳定周j j 轨道嵌入在混 i l ；i 牧 引p p 这一性质，提出了一种参数微扰法控制混沌运动的具体实施办法，即现在 称之为的o g y 方法p “。很快4 a 1 1 提出的控制混沌的思想和方法被w 1 d i t t o 等 人所作的非品磁致弹条系统及电路系统混沌控制的实验所证实m 1 ，稍后也被 r r o y 等人在一个激光系统q ，d i 以利用和拓展【3 “。在随后的1 0 多年中，有关混 沌的研究取得了蓬勃的发展 3 7 - - 4 3 1 。这期问人们提出了各式各样的控制混沌的方 法及理论，并在自然利- 学的众多实际领域内的实验和应用i ：1 1 得到证实。近年来， 这一研究方向的理论和实验及应用上的工作进展得异常迅速。1 9 9 3 年，p y r a g a s n 先捉了以混沌i 吸引了内部丰富的不稳定周刘轨道f 1 ：为控制h 标，利用简单的 负反馈实现混沌控制的方法l 。在他的论文巾，实际提l 出了两种方 上，利用特殊 设计的外部振予产生| = ；j 标信号和外力延迟反馈的反馈方法。这两种方法与o g y 方法最大的不同在于它们都是一种时间连续的小扰动方法。2 0 0 2 年，n 本的学 者k y a g a s a k i 和m k u m a g a i 4 5 1 采用延迟坐标技术从混沌时间序列中提取出目标 ，i i | ；稳定周期轨道，利用连续变量反馈方法在实际物理系统q 一成功的实现了混沌控 制。 西北t 业大学倾卜学位沦文 笫一帝绪论 1 4 本文的研究内容 本文研究的对象是综合考虑时变啮合刚度和齿侧删隙的非线性单自由度齿 轮系统，全文共分为五章，具体的研究内容包括： 第。章绪论 简要论述了齿轮传动系统非线性动力学及混沌控制研究的意义，介绍了目前 圈内外的研究现状，对文巾进行的研究作了简要介绍。 第= 章齿轮系统非线性动力学模型及响应 用集中质量法建立了含时变啮合刚度和间隙的单自由度齿轮系统非线性动 力学模型，得到系统运动的微分方程。利用系统方程的数值解，绘制出系统相图 及p o i n c a r 6 截面图，通过对系统的l y a p u n o v 指数和维数的训算和分析，定量地 识别了系统吸引子的特性。 第三章混沌控制及o g y 原理 在对比几种混沌控制方法的基础上，重点介绍了o g y 混沌控制方法的原理。 针对系统运动动力学微分方程，给出r 运用o g y 原理控制齿轮系统混沌运动的 详细步骤；在系统方程未知的情形下研究了如何从测得的系统轨线频刚数据中 提取系统的周期轨道及讨算参数扰动所需的其他信息。 第四章控制过程及结果分析 分别在两种情形下用o g y 方法对齿轮系统实旋仿真控制，对比分析了两种 情形下的控制效果。 第。f i 章结沦和展望 第一章齿轮系统的 f ：线性动力学模型及响施 第二章齿轮系统的非线性动力学模型及响应 2 1 概述 木章建：寺：了龠叫变啮合刚发和川州m _ 级齿轮系统的：t l 。线性动力学模型，包 括对研究对象的物理模型抽象，动力学微分力程的建立及量刚化处娜和方程参 数的确定。刈j 单级齿轮系统的州隙非线性动力学问题，根据所研究问题的对象、 性质和复杂程度的不同，可以建立单自 土i 度、两自由度和三自由度模型 2 , 1 9 - - 2 1 1 ， 山于本文的研究重点和日的是齿轮系统的混沌振动控制，而小拘泥于般的齿轮 系统动力学性能分析，所以本文仪剥中自山度的齿轮= 怍线性模型进行了研究，在 系统微分方程的基础上训算出了系统的数值解，绘制了系统的相图和p o i n c a r 4 截而罔，得到了系统的l y a p u n o v 指数和l y a p u n o v 维数等混沌指标，为后面的研 究奠定了基础。 2 2 系统动力学模型的建立 2 2 1 物理模型 典型的币对齿轮系统，就整个系统而者，具有明显的集c ”质量的特点，因此 可以采用集中质量法建立齿轮传动的动力学模型，即认为系统是“只有弹性而无 质鞋f r , j l j i f l 绥垌1 只有质量m 没有弹性的质量块组成的，建模 卜j 采j h 以i 、似改： ( 1 ) 齿轮系统的传动轴和轴承的刚度足够火，即齿轮的横向振动相对于扭转 振动u j 以忽略不计t ，进而可以认为砖齿轮的运动只有扭转运动而没有横向的运 动； ( 2 ) 不考虑运动时由支承轴承所产生的摩擦的影响； ( 3 ) 啮合的两齿轮均为渐丌线直齿圆柱齿轮，齿轮之问的啮合力始终作用在 啮合线力i 如上，两洲i i 。| - 千匕& 简化为山阻尼和弹簧相连接的圆柱体，阻尼系数为两齿轮 啮合1 1 0 的啮合阻尼，弹簧的刚度系数为啮合齿轮的啮合刚度： i l q 1 k , 1 一业人学t , j ih 学位论文 第一章* 轮系统的线性动力学模型及, , p j j 、v ( 4 ) 啮合点处的摩擦力忽略不计。 则齿轮系统振动的物理模型如图21 所示。 图2 1 单级齿轮系统间隙1 线性动力学模犁 图中 r b 。，咕：主、从动齿轮的基圆半径 ，两齿轮的转动惯量 臼。，p ，一两齿轮的扭转角位移 z ，r ，1 输入转矩和负载转矩 p f r l 一沿齿轮笨闭切向的综合误差，为时川r 的鹾i 数 a ( f 1 齿轮副的叫变啮合刚度，为叫问r 的函数 2 6 一一沿l j | i 合线l ：度量的啮合间隙 c 轮齿啮合的阻尼系数 2 2 2 运动微分方程 根据牛顿力学定律，可得系统的运动微分方程为 l ，l 岛+ c ( r b l 鼋一r b 2 包一( f ) ) i 十k ( r ) f ( r b i q 一2 岛g ( r ) ) 1 2 t 1 r ，1 、 1 2 岛c ( l 哦一2 岛一e ( r ) ) r b 2 一k ( r ) f ( r h l 0 1 一；2 0 2 一e ( r ) ) r b 22 一t 2 式中，两齿轮的转角岛和酿都是时间f 的函数，r 叮分别记为q ( r ) 和岛( r ) 。f ( x ) 是 具有齿侧阳j 隙时轮齿啮合力的非线性函数。设齿轮副的侧隙为2 bt 则具有分段 线性特征的问隙非线性函数，可表示为 第二章齿轮系统晌l l 线件z 抛j 学模型及响腑 fg ( f ) 一bq ( r ) b ( 掣( r ) ) 。 06 q ( r ) 蔓b( 2 , 2 ) | 擘( f ) 十蚤学( r ) l i x i ( 2 3 0 ) x 1 1 x 1 x 一l 式( 2 3 3 ) 右端项中显含时间t ，所以本系统为_ 二维非自治连续系统，通过对 变量t 的替换0 2 吒f 可以转化为三维自治系统，因此一些自治系统的理论也可适 用于小系统。 2 3 系统动力学响应的分析 非线性方程除极少数外，大都不存在解析解，大多数情况下人们可以借助 1 l 一 十 x 0 x f【 i | ) x ( 广 籀二章撕轮系统的卅线性动力学模型投响向 解析法分析非线性方程解的一些特性：随着计算机科学技术的迅速发展，人们可 以很容易求得一般非线性方程的数值解3 2 1 。文献 8 x t 问隙非线性齿轮系统动力 学模犁的求解计算方法进行了具体的讨论，对数值法和解析解进行了比较分析， 发现现有的数值计算方法i i i i 够精确地求出系统的动态响应。 非线性齿轮系统的动力学i 裥应有三种形式：周期运动、拟周期运动( 亦称准 周期运动) 和混沌运动。本文着重对非线性齿轮系统的混沌运动进行分析和控制。 本文所采用的齿轮系统的几何参数为：主、从动齿轮的齿数z ，= z ，：2 5 ，模 数m = 3 r a m ，齿宽b = 2 5 r a m ，压力角口= 2 0 0 ，蝶旋角p = 0 。，变位系数为o 。 k a h r m a n l 3 1 存 ：述几何参数条件下通过实验确定了模型( 2 1 3 ) 各量纲一参数的取 值范围和系统产生混沌运动的参数区域，并指出：当取p 。= 0 1 ，只：o 2 ， 毒= 0 0 5 ，= 0 4 时，在1 0 q 。l 。5 的范围内，系统出现j ，混 1 i n l l l l , z 。本文取 哦= 1 1 时系统的响应为研究对象，现从系统相图、p o i n c a r 6 截面、l y a p u n o v 指 数和l y a p u n o v 维数四个方面研究系统的混沌特性。 2 3 1 系统的相图 向量 用系统量纲一位移x 和量纲一速度量( 以下简称位移和速度) 组成二维状态 将方程( 23 3 ) 改写为 其中 一维向量函数 ( 2 3 4 ) f 妻 = 一p 。x 1 2 ，恐， = 厂c x ， c z 3 s ， p ( x l ，x 2 ) = 一2 f x 2 一 1 一毛c o s ( f 1 f ) 厂( x i ) + 只，+ 只c o s ( f 2 f ) ，c x ，= 幺 i ：笔； = 一p 意，x ：， c ：，a ， 称作微分方程( 23 5 ) 1 j 勺向量场。给定初始条件后，方程( 23 5 ) 的解( ，) 和五( r ) ， x x 1 = 一吻 1 【| x 笳。章齿轮系统的1 r 线忡功j 学模型及响j ”， f f ) 是( x l ，x 2 ) 平面上随参数f 而演化的一条积分曲线。通常，称( x 】，。2 ) 平砸为相 平面，称l ：述解曲线为相轨线，而称相轨线的全体为相图。 在前述各参数条件下，以勃= 【0 ，o 7 为初始值，用4 5 阶变步长r u n g e k u i t a 法积分1 0 0 个周期得到方程的解轨线，绘出系统的相图如图23 所示。 图2 3 系统的相图 2 3 2 系统的p o i n c a r 6 截面 从相空间吸引了的形状和结构( 如奇怪与否) 固然可以判断运动的性质。 但在大多数系统中，其相空间吸引子巾的轨线卜分密集，必须采取一些有效的措 施刺吸引子施加某些简化处理，降低其复杂性，才有可能看州吸引子的一些特征。 p o i n c a 厄提出了一种方法：在n 维系统的n 维相空i h j 中适当选取n l 维超截面 f h y p e r p l a n e ) ( 为有利于观察系统的运动特征和变化，截面币能与大多数轨线相 切) ，通常称此截面为p o i n c a r 截面口2 1 。由于截面的维数比原来的小，考查分析 运动轨迹与此截面的交点( 称为p o i n c a r 6 点) 的分布规律比在原相空问分析更为 方便。适当的选取系统p o i n c a r 6 截面后，就可以抛丌相空| h j 轨道，借助p o i n c a r 6 截点可得到关于系统运动特性的信息：当p o i n c a r t 5 截面上只是少数或有限个不动 点时，运动是周期的；当截面上是一闭曲线时，运动足准周期的；当截面上是 螋成片的密集t i 时运动便是混沌的。需要指出的是，以匕指的足p o i n c a r d 截而 艇北下进凡掌蟛一1 ：掌位埝文孙。审m 轮系龇的”线弹动却一莽襁掣世 盹埘 卜黼稳定浏椽，懋系统经历过”段初蝤瓣畚稳定弧后鳓罔像。 剐予j 蠡瀚系统，p o i n c a r e 裁瓤一艘治时闻蚋截取。考虑二雅的情形+ 在以 簿变量芹、y 耧时鞠t 张成魏三箍空润纂，港f 籀等闻黼地敬：= = = n r ( n = l ，2 3 。) 时 刻的丞赢于t 轴( 5 f 行予x o y 平蕊) 的弑丽作为系统的p o i n c a r 6 裁隧，如图2 , 4 。 对于其裔激髓群潮鹃嚣自治系统，时闼蛹蕊r 露取为系统的激感周麓r 。 斛2 。4p o l n e a r 截箍示意鹭 设系统羁动孰造与p o i n c a r 6 截薇晌交点点猕旋为南，竭，蕊。晨手原 棚宅闽连续轨迹瓣运动方程往p o i n c a r 6 截面上便表现为这姥礴敞点之嘲的映剿 k l = p ( z 。) ( 2 3 7 ) p 称为p o i n c a r 照射，羽i 稔作频剃魄射( s t r o b o s c o p i cm a p p i n g ) 。 奉文所竣究豹攀醴国度齿轮系统( 2 3 5 ) 是= 维非宙治系统，其有激励髑嬲 瓦= 2 符，嚷，霆舅p o i n c a r f i 截露为 ； ( 与f ) i m o d ( t ，n = 0 ( 2 3 8 ) 求得方程( 2 3 5 ) 在 一糟霸n = l ，2 ，3 ，) 瞬弱的鳞焉，恐，而，x 驴鞠为系统 鞔线与p o i n c a 趟懿蕊的交点，程乎蕊( x ，量) i 绘出所韵这些离敞的点嚣可得 到系统的p o i n c a r 6 截面鳞，斟2 。5 所示的是餍期鼗盯取为l o 力“时系统啪p o i n c a r d l 第二二章诫轮系统的忻线性动力学模型戌lj j t , j b ； 截面。 列2 , 5 系统的p o i n c a r 6 禳蟊国 2 3 。3 系统l y a p u n o v 指数 列| i 衡点和周期运动，a 们常用系统在平褥点游j a c o b i 箭邵譬特征值实部以 及j 占j j ：j j 运动扰动方程特征指数实部来判断其稳定性。l y a p u n o v 指数是对【：述 特征值和特征指数的种j ；广，给出了对系统任意棚邻轨线1 均笈教张度或荔j | 7 均收敛程度的一一种度燃。幽此它可用于包括平衡点、周期运动、拟周期运动乃至 湓涟运动的稳定性描述，是鹭翦判断澎沌最可靠的一葺巾定量方法甜铀。对于系统 j 一( 工)( 2 3 9 ) 若在f c j 时刻给定系统轨线i ( f ) 一个小的扰动量= x ( 0 ) 一元( o ) ，而在圳寸刻系统 躺扰动变为w ( t 卜x ( f ) 一2 ( t ) ，设 w ( t ) = w o ( 2 4 0 ) 则l y a p u n o v 指数的定义为 扣1 i mt t 。 i n 钳i t ( 2 4 ) j | w o 抑：章齿轮系统的1 r 线忱动力学模型应响脚 确：个m 维的棚卒问中， l y a p u n o v 指数。 对于充分小的炒( ，) j | ， 由于扰动在m 个方向上都有所变化，因此系统有m 个 w ( t ) 满足线性常微分方程 f 谛= d 厂( 豆，t ) w l w ( o ) 2 ( 24 2 ) 选择两个线性无关的初始扰动向量h 。和w ：。，, 。，- ，h 24 2 ) 数值积分至t = t ，得 到两个解向量l v l ( 7 、) 和w 2 ( 丁) 。列( r ) 和w 2 ( 7 ) 作g r a m s c h m i d t j 交化和范数舰 一化处理，引入 蜀删尝h w 2 ：七：，慨。 b a ， = v 2 l 川v 2 l v 2 l = ( 7 1 ) 一( w 2 ( r ) ，帚1 1 ) 帚l i rh 这样选择的峨1 和币2 i 彼此f 交，而且保匠所张的予空唰与向量t ”，( 丁) 和w 2 ( 丁) 所 张子空问相同。以帚1 1 和帚2 i 作为新的初始向量，继续将方程( 24 2 ) 积分至t = 2 t ， z l t l i d p 一1 w i ( 2 r ) 和w 2 ( 2 7 ) ，然后重复上述g r a m s c l m f i d t 过程，得到奶2 和币2 1 ， 如此重复下去直到t = k t ，当k 充分大时得到最大和次大的l y a p u n o v 指数丑和 如 为了计算系统全部”个l y a p u n o v 指数，则选择门个线性兀关的初始扰动 w ，。，i = l 2 ，n ，一般选自巧( i ( o ) ) 的特征子空间。然后分别以它们作初始向量 积分方程( 2 4 2 ) ，每当t = k t ，k = 1 ，2 ，k 时暂停下来，对解向量进行 g r a m s c h m i d t 正交化和范数规一化处理，最终对丁充分大的丘得到全部 l y a p u n o v 指数 2 去玎陬1 1 2 吉苫慨1 1 ( 24 5 ) 初始扰动分别选为：w i 。= 1 ，0 】，w 2 。= o ，1 】：积分2 月个周期，用上述方法算： z t w h 十w , t - 十。& n 目- _ , 。- 的l y a p u n o v 指数为也堑2 当一o 1 9 1 9 ) ，表明系统轨线沿位移- 方向 扩张( 即发散) ，沿速度x ，方向收缩( 即收敛) ，如果考虑暇问f 方向的指数0 ， 吼吐 j，、l 卿q 叫k 、厶纠k、厶纠 ，一打。一耵 忙挣 。丌儿h。丌纠 ，一玎。一灯 _ 鼍 两北l = 业火学硼上学位论叟 第二章齿轮系统的北线一h z 力儿学模掣及响脚 测符合l y 印u n o v 指数( + ，0 ，一) 的混沌特征。 2 3 4 系统l y a p u n o v 维数 维数可以理解为描述一个物理系统所需要的物理量的数日。它可以是整数， 也可以不是整数。对于混沌吸引了来说，其维数是描述动力学系统特性吖向一个常 数。由于本文所研究的系统为一耗敞系统，同时又受到激励的影响，所以其桐审 问容积在最后稳定之f j h 将不断的变化。当出现混沌现象时，其吸引子小会完全覆 盖整个相空间，随着时削的延长，从而将形成无限层次的自相似结构，即具有分 形特性。存浞沌吸引子方而，经常使用的维数有容积维数( 也称盒维数) ，信息 维数，关联维数和l y a p u n o v 维数。在这四种维数中，l i r j 二l y a p u n o v 维数的计算 比较容易在训算机上灾现，因而本文将用l y a p u n o v 维数来分析系统吸引子的分形 特性。 l y a p u n o v 维数是以l y a p u n o v 指数来定义的：考奄系统吸引子a ，汜其 l , y a p u n o v 指数为o - i 吒咚，发有正整数m 盯，使得 q + 盯2 + 吩+ 十i 田。0 ；o i + + 吒+ + q h 十q + l 0 则吸引了a n , j l y a p u n o v 维数定义为 a i 州爿) = r r + 0 1 + 一著盟 ( 2 4 6 ) 若不存在上述聊，则定义d i m ( 彳) = 0 利用b 丕方法| _ j _ | 计i 算出本齿轮系统混沌i 吸引子的l y a 弘i n o v 维数为14 7 9 。 2 4 小结 本章建立了含时变啮合刚度暑ir j 隙的单级齿轮系统t i f f - 线性动力学模型，并 对所建的动力学微分方程进行了量纲一化处理。进而计算r 系统在某参数区域的 响应，绘制出了系统的相图和p o i n c a r 截面图，得到了系统的l y a p u n o v 维数和 l 。y a p u n o v 指数等混沌指标，为下文的混沌控制奠定了基i i j | j 。 9 第二t 泥7 - ! i 中制力法砹o g y 摔制蟓垲 3 1 引言 第三章混沌控制方法及o g y 原理 刈多数动力系统而毒，人们不希望其产，卜难以预测的混沌运动。控制混沌 的主要日的是消除已有的混沌运动，或降低其振动幅度。从原则上讲，通过对动 力系统进行修改或者施加控制总会影响混沌运动的 = = 存条件，从而可设法消除或 抑制混沌运动。例如：采用动力吸振器可消除简谐激励下d u f f