（应用数学专业论文）非线性微分方程周期解研究.pdf

中文摘要 在自然科学以及技术科学，例如物理，生物学，自动控制，电子技术等等 领域中，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的一些领域里也存在 着微分方程的问题。通常，我们可以根据实际问题建立数学模型，也就是建立 反映这个实际问题的微分方程，然后，求解这个微分方程，用所得的数学结果 来解释问题，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。近年来，非线 性微分方程的周期解问题受到广泛关注，所以非线性微分方程，特别是二阶非 线性微分方程，由于涉及领域广泛而倍受人们关注。一直以来，此类问题的周 期解的存在唯一性一直是研究的热点之一，在许多领域都有着十分广泛的应用。 研究方法非常多，通常有代数方法，变分方法，不动点方法，拓扑度同伦方法， 单调迭代方法，微分同胚方法等。一些学者应用l y a p u n o v 泛函方法，s c h a u d e r 不动点方法，以及非线性泛函分析中的锥拉伸锥压缩方法，研究了微分方程的 周期解的存在性问题。最近，人们又开始深入到寻求更高阶的微分方程的周期 解的解法，而对于高阶微分方程的研究还是不多的，也不是很成熟。本文中，我 们将首先利用反序上下解方法探讨一类二阶微分周期解的存在性，然后重点讨 论几类高阶微分方程方程周期解的存在性和唯一性的条件，分别运用不动点方 法和l e r a y - s c h a u d c r 度理论，同胚理论，两个重要的抽象的代数引理来证明其 周期解的存在唯一性。 关键词：周期解，不动点方法，度理论，同胚，上下解，存在唯一 a b s t r a c t m a n yq u e s t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o na g ei n d u c e di ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y f i e l d s ，s u c ha sp h y s i c s ，b i o l o g y , a u t o m a t i cc o n t r o l ，e v e ni sp u tf o r w a r di nt h el 伦a l n l o fs o c i a l s c i e n c e s u s u a l l y , i nf a c t , w es e tam a t h e m a t i c a lm o d e la c c o r d i n gt o p r a c t i c a lp r o b l e m s ，i e g e m n gad i f f e r e n t i a le q u a t i o nf r o mt h er e a l i t y , a n dt h e nw e m a ：k ct h eb e s ts o l u t i o n st os o l v et h i se q u a t i o n a tl a s t , w eu s et h er e s u l tt oe x p l a i nt h e p h e n o m e n a , s o 鹊t oa t t a i no u rp u r p o s et oc r e a t ea n di m p r o v et h ew o r l d t h e n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , e s p e c i a l l yt h es e c o n d - o r d e ro n ei sp a i dc l o s e d a t t e n t i o n ，b e c a u s et h e yr e l a t et ow i d ef i e l d s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e p e r i o d i cs o l u t i o no f t h e s ep r o b l e m sa r ca l w a y so n eo f t h ec e n t r a li s s u eo f t h er e s e a r c h r e c e n t l y , i nt h ec o u t 髓o f 坞a r c 也a u t h o r sf i n da n dw o r ko u tm a n ys o l u t i o n s f o r i n s t a n c e ，m o l eh i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l ei m p e r f e c ty e t a tp r e s e n t , s o m e a u t h o r ss t a r tt os e e km e t h o d st ot h ep e r i o d i cs o l u t i o no f h i g ho r d e re q u a t i o n s i nt h i s p a p e r , w eu s eu p p e r - a n d - l o w e rs o l u t i o nt od i s c u s sac l a s so fs e c o n do r d e re q u a t i o n o ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa b o u tp e r i o d i c a ls o l u t i o n , t h e nw eu s em o s tt i m e s a n dp l a c e st od i s c u s st h ep e r i o d i cs o l u t i o nt os e v e r a lc l a s s e so f h i g ho r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w h e r e 玳a d o p ts e v e r a lk i n d so fw a y s ，s u c ha st h ef i x e dp o nt h e o r y ， i _ 息m y - s c h a u d e rd e g r e e , a n dh o m e o m o r p h i s m k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ，f i x e dp o i n lm e t h o d , d e g r e et h e o r y ，h o m c o m o r p h i s m , l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s 学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以。求实、创新。的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经 发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位 论文在解密后适用本规定 作者签名： 日期： 第一章绪论 1 1 1 引言 到上世纪5 0 年代，非线性泛函分析已初步形成理论体系，各种研究方法相继产生， 拓扑方法初步建立，并应用到微分方程的可解性研究。变分方法初步形成，其依据的基本 结论为“自反空间有界凸闭集上的弱下半连续泛函必达到极值”。解析方法主要用反函数、 隐函数来研究算子，同时半序方法开始产生，人们开始用单调方法、锥理论来研究非线性 增算子的性质。近几十年来，困内外的许多学者都做了大量关于非线性泛函分析理论及其 应用的研究，取得了丰富的成果。特别地，郭大钩先生在专著“1 中对非线性泛函分析的几 个重要课题及其应用，诸如：某些经典的非线性算子、h a m m e r s t e i n 型积分方程、常微分 方程和偏微分方程、迁移方程、锥理论及非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不 动点以及固有值、解的个数与分支，都作了系统的概括和总结。郭大钧先生等在专著和 综合报告州中，介绍了利用锥理论如何研究非线性闯题。此外，郭大钧先生还在专著中研 究了非线性分析中的半序方法，主要是总结了近几年来的最新成果。而在 5 中，则讨论了 各种多样的积分方程解的存在性，在 6 中研究了线性常微分方程的泛函方法。在d e i m i n g 的专著”3 中，内容可谓是丰富多采，包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果。 抽象空间中的常微分方程是近二三十年来发展起来的一个新的数学分支。线性泛函的 一个伟大先驱p o i n c a r e 开创了非线性分析的一个新方向，致力于非线性问题定性方面的研 究他在众多领域，如：分歧理论、大范围变分，拓扑方法在研究常微分方程组周期解中的 应用，都引入了新的概念，揭示了数学研究中一系列全新的课题。随后h i l b e r t 在1 9 0 0 年 的国际大会上的著名演讲包含了一系列引入入胜的非线性问题，刺激了人们对非线性椭圆 型偏微分方程的研究。 抽象空间中的常微分方程把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的 方法研究抽象空间的微分方程。郭大钧和孙经先的专著蚓是国内在这一课题的第一本著作， 概括了b a n a c h 空间常微分方程理论和方法。 0 3 全面综述了抽象空间内非线性微分方程的 各个分支的内容，包括了证明解的存在性时所使用的方法以及解的某些性质。 1 0 是一篇 垂耋耋堡琶童j e 缮丝筮盆直垂旦墼堡堡塞 综合报告，概括了微分方程发展的一些最新成果。 随着科学技术的不断发展，近几年来各种各样的非线性问题已e t 益引起人们的广泛重 视，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一。作为自非线性泛函分析中衍生发 展起来的新分支，b a n a c h 空间微分方程和积分方程理论虽经历了不足三十年的发展过程， 然而以其在临界点理论、偏微分方程理论、特征值问题、不动点定理等领域的广泛应用， 引起众多数学家的关注。其中脉冲微分方程理论是近十年发展起来的微分方程理论中的一 个重要新分支，它在生物学、生物医学、经济学中最优控制和航天技术等领域都有广泛的 应用。这个理论比以往的微分方程理论要丰富得多，因为它所呈现的结构有其深刻的物理 背景和现实的数学模型，与自然界中的许多现象极其吻合。一方面实际问题中不断涌现出 大量的微分方程非线性边值问题，需要人们去深入研究，另一方面近几十年来，非线性分 析有了巨大发展，其丰富的理论和先进的方法目渐成熟，所以，近几十年来，运用非线性 分析中发展起来的多种先进的分析工具，来研究b a n a c h 空间积分方程和微分方程边值问 题是一个具有浓厚兴趣并能获取有意义的新成果的研究课题。 微分方程的解的研究在近几十年来已成为一个很活跃的研究领域，因为微分方程大部 分都是从实际问题中抽象建模雨成的，所以研究微分方程的解有着重要的作用和基础性的 意义。线性的微分方程的解的研究已比较完善，由于非线性微分方程在许多领域都有着十 分广泛的应用，而在自然现象和科学技术的理论研究中存在着大量的非线性微分方程。目 前这方面的研究工作始终处于国际数学界的主流研究方向。以物理、力学，大气、海洋， 生态等众多科学领域中许多复杂问题为背景的动力系统，是当代数学的一个重要组成部分， 它是连接数学理论与实际应用的一座桥粱。这方面的工作一直非常活跃，研究和应用的领 域也日渐扩大 非线性微分方程解的存在唯一性一直是研究的热点问题。在解决这个问题的过程中， 有了很多不同的证明方法，一是数值求解，目前也是研究的一个新领域，由于电子计算机 的巨大发展，是莫定近代数值数学的基础。当然一般从实际中抽象出的微分方程比较复杂， 一般不能用初等方法得其解析解或精确解。这里最常用的有有限差分方法，有限元法，而 常微分方程初值问题的数值解法则包括e l u e r 法，线性多步法，预估一一校正算法， 2 r u n g e - k u t t a 法等。解非线性方程组的数值解有不动点迭代法，n e w t o n 法，割线法和拟 n e w t o n 法等。但用n e w t o n 迭代法求解有一个很明显的缺点就是往往要求初始向量非常 靠近解，而数值延拓法正式扩大收敛域的尝试，即建立全局收敛算法。二是从理论的角度 去分析解的性态。在这里，各种非线性方法都用来求解微分方程的存在唯一性问题。其基 本方法有：变分方法和临界点理论，拓扑度同伦方法，上下解与单调迭代方法，微分同胚 方法，不动点理论等等。总之，非线性分析的理论和方法在微分方程的定性研究中有着很 重要的地位。 1 2 国内外的研究及其发展现状 在过去的3 0 年来，国内外很多数学工作者对方程的初边值问题有了很多研究，首先 从牛顿运动方程说起，牛顿运动方程来源于非线性摄动守恒系统，这类方程表示质点受到 守恒的内力和周期性外力作用。在1 9 6 9 年，l a z e r 和s h e n z u h e 运用b r o u w e r 不动点定 理证明了牛顿方程甜。( ，) + v g ( ，) ) = p o ) 在一定条件下存在周期解，1 9 7 3 年， l a z e r a c i t l 】利用两个基本的代数引理，基于最基本的傅立叶级数的性质给出了方程 v ) + v g 似( ) ) = p ( t ) 周期解存在性和唯一性比较简单的证明。1 9 7 7 年，k a n n a n 和 l o c k e r 给出了方程“w ) + v g ( “( f ) ) = p ( t ) 存在唯一解更简单的证明。利用大范围反函数 定理，1 9 7 9 年，b r o w nl i n l l 2 1 给出了方程“+ v g ( 甜( f ) ) = p ( f ) 在一定条件下的周 期解的存在唯一性的另一个证明。大范围反函数定理的运用简化了寻找某些周期性边值问 题解的界的难题，在文中一般认为可以运用变分原理建立的界具有独立的意义。在后来， 出现了许多大范围反函数定理的新结果，可以在更弱的条件下研究方程 z 一( ，) + v g ( “( f ) ) = p ( 力周期解的存在唯一性。我国很多学者在这方面了也做了很多工作， 1 9 8 9 年，沈祖和“”采用了局部同胚延拓方法，考虑在保守内力和周期外力作用下机械系统 的牛顿运动方程“x f ) + v g ( f ) ) = p ( t ) ，取得了存在唯一性的结果，并推广了l a z e r 的 结果使之成为一个推论。1 9 9 0 年，沈祖和与m a 、i f l l 4 1 将方程甜v ) + v g 0 ( f ) ) = p ( f ) 3 煎耋老丝丝窑韭绻丝丝坌直墨屈塑堡堑塞 与初值问题联系起来，根据初值问题给出来了存在唯一性的周期解，推广了b r o w n 与l i n 的结果，也使之成为其的一个推论。1 9 9 7 年，李维国和沈祖和给出了d u f l f i l l g 方程的周期 边值问题的唯一解的存在性的构造性证明，从初值和矩阵特征值入手，提供了一种可数值 求解的周期解法。因为d 1 加j n g 方程有很强的物理背景，是用来描述在许多机械问题中的 硬化弹簧效应，是非线性扰动问题中常见的例子，所以d u 伍n g 方程是最近研究比较热的 一类方程。1 9 9 9 年，吴广荣，黄文华等运用同胚理论，研究微分方程边值问题的存在唯一 性，得到了两个基本的定理，推广了b r o w n ( i nn o n l i n e a ra a l y s i s 。t h e c o r y , m e t h o d s a n da p p l i c i a t i o n s 1 9 7 5 ，1 0 6 ：2 0 5 - 2 1 4 ) 的结论，取消了有界性假说，并把他们的结果用于 有限维的情况，考虑了非线性守恒系统在扰动情况下周期解的存在唯一性问题。还有一类 很重要的方程就是l i e n a r d 方程，对这类方程的研究也是比较多的。2 0 0 4 年，周伟灿和邹 兰军，朱利华研究了受：遭l i e n a r d 方程利用了s o b o l e v 空间模估计，讨论了周期解的有 界性，并给出了估计，进而利用变分原理，通s c h a u d e r 不动点定理。证明了周期解的存在 性。随后，2 0 0 4 年，邹兰军用类似的方法证明了更一般的l i e n a r d 方程的周期解的存在性。 2 0 0 5 年，陈金海和李维国“”利用m i b - m a x 原理的非变分形式，证明了共振下的高阶边值 问题的周期解的存在唯性。 il 3 介绍一些方法的思想 研究这类方程的问题通常有动力系统方法，代数方法，非线性分析方法等，而非线性 分析方法又包括变分与临界点理论，拓扑度同伦方法，上下解与单调迭代方法，不动点方 法，微分同胚方法等，下面介绍几种方法的思想。 变分理论通常是将原问题的解转化为求泛函的临界点问题。一般在非线性方程的情形 中，其相应的泛函可能既没有上界也没有下界。为了研究非线性方程边值问题解的存在性， 极大极小原理不仅给出了泛函的临界点，而且对相应的临界值也作了估计，从而成为研究 非线性微分方程边值问题的重要技巧。 不动点方法通常是通过构造一个先验界，然后得到存在性结论，但这不能得到唯一性 4 堡兰量丝丝窑韭堡丝丝坌直星旦塑鲤嚣 结果。 拓扑度方法虽然可以减弱解存在的充分条件，但它的使用也不能得到唯一性且证明过 程相当复杂。在具体使用这一方法时，一般都要对方程的解进行先验估计，在许爹隋况下， 解的先验估计是问题的困难所在。 上下解方法是建立在锥和半序的概念上的。 微分同胚方法虽然涉及较多非线性分析的知识，但可以得到解的唯一性结果，且证明 过程相当简洁。 1 4 论文章节安捧 本文共分为六个章节： 第一章介绍微分方程的问题背景，国内外的研究及其发展现状，及一些方法的思想 第二章：利用反序上下解的思想研究一类简单的二阶微分方程周期解的存在性。 第三章，利用已有的高阶偶数阶微分方程周期解存在唯一性的结果来证明一般形式 高阶微分方程周期解的存在唯一性。 第四章我们利用反函数定理和微分同胚的数学思想继续给出一类高阶微分方程周 期解存在唯一性的证明，给出了一种证昵此类闯题的理论证明方法。 第五章本文在一类强制性的条件下，对一类偶数阶的高阶微分方程的周期解的存在 性，利用拓扑度同伦不变性和正则性来给出了证明。 第六章我们对前面所讨论的问题进行总结，指出我们工作的意义、创新之处及其今 后所要进一步完成的工作。 5 f 一甜。= ( ， “) f e 【o ，2 石】 “( ( 0 ) = 甜( h ) ( 2 ) i i = 0 , 1 c ( x ，目= ( d ：，专e ，“( r ) 连续 ，c 2 ( i ，d = p ( f ) ：，一丘材o ，连续 ，i - - 0 , 2 7 r 6 则对m l = 碍乎她( o i l ， c ( i ，d 关于范数l | 4 i c 为一b a n a c h 空间 于是p 在e 中导出一个半序关系“”：对“= ( f ) ，v = v ( t ) c ( i ，d 对，如果“；，有 u ( t ) v ( t ) ，则记为“s v ，m ，v 】为相应c ( ，d 的序空间 那么4 在【，v 。】中必有最大不动点“和最小不动点碥，并且甜= l i m v ，“= l i m 疆问题皆等川 存在唯一解“= “( f ) = 一f g ( f ，) o ) 凼= 砌( f ) c 2 ( ，d 证明：由线性边值问题 叫= 知( d f 【o ，2 r r 】 ( o ) = ( 2 7 r ) i = 0 , 1 新 根据常微分方程的知识立即有“o ) = 一i g ( t , s ) h ( s ) 出；z 强为其解 o 舯删为相应的雠e ni 张g g 斗s ( 2 2 和a - d t ) 黧笼 r ( 趣+ 如) ( f ) = 一f g ( f 芦) 【( o ) + 琏( s ) 】d ， 6 2 f 2 x = 一f g o 芦) ( d 西+ ( 一g ( f ，) ( j ) 五y ) 0 0 = t h t ( t ) + t h 2 ( f ) ( 3 ) r ( 口矗) ( f ) = 一f g o 芦) 【( 口 ( 胡西 0 2 f ；口( 一i g ( t # ) h ( s ) d s ) = a t h ( t ) 0 根据线性算子的定义。由上知r 是一个线性算子。 然后由g 以d 的定义和v j i e c ( z ，d ，可以得到丁是一个连续算子，即有界算予 r 为反正算子很容易可以得到： 2 0 v h o ，有u ( t ) = t f i = - i g ( t , s ) h ( s ) 西s o o 2 3 主要结论 定理2 设方程( 1 ) 存在上解和下解v o ，且，o 。若对 u o ，】，厂p ) 关于” 为单调递减的，则方程( 1 ) 至少存在一个2 ，r 周期解，且满足 。，。，。，。；。，。一 8 证明：v h e c ( i ，d ，考虑线性边值问题 “( o ) f = ( 砧t 。( 2 力 2 z f 卅 ， f 毫【o ，】 l i = o ，1 记f ) = f ( t ，j 1 ) 。则f ) e c ( x ，e ) ， 由引理可知该问题存在唯一解“= t f ( h 1 ，记4 = t f 。 其中有： f ：c f f ，三) 专c ( ，d r ：c ( l d 专c 2 ( ，d 都是连续的。 由如6 d z 纠嵌入定理，可知c ( l d _ c 2 以d 的紧性，知4 为全连续算子。 记d = u o ，v o 】 对v 鱼，如d ，4 如，以为上述微分方程周期边值问题的解， - ( a h , 一a h 2 ) = ( - 4 m 一( 4 ) 。= f q , h 。) - f c j l 2 ) 根据条件厂g 力) 关于矗e 函。，v 0 】是单调递减的函数， 显然可以得到 一岛一( “| 1 1 2 ) 】s o ( 囊( 吩吃( ，) ) 从而由引理得：4 啊一a h 2 o 进而有4 啊a h 2 ，可知4 是增算子。 又因为：似v o v o ) 。= 叫v o ) - + v o 。= f q , v o ) + v o = - ( 一厂g ，v o ) v o ) 由条件知：v o 是上述微分方程周期边值问题的下解， 根据下解的定义可得：一可9 ，v 。) 叫f ) o 所以由；i 理有爿7 0 - - y o s 0 即a v o s 7 0 ( 4 ) ( 5 ) 9 下面跟据下解的定义来验证一下边界条件 ( j t v o v o ) ( 0 ) = 名v j ( o ) + v o ( o ) - a v o ( 2 ，r ) + v o ( 2 石) = 似1 ，o v o ) 。( 2 万) 同理可得到 0 4 o 一”o ) = ( _ “口) 。+ 甜o 。 = 厂p 。) 糊o 。= 了t o ) 咄o 。) 因为是上述微分方程周期边值问题的上解， 所以根据下解的定义可得- ( 了t 爿o ) - u o 。) 0 ， 由引理也可得a u o2 o 似“o 一甜o ) ( o ) = 4 “o 。( o ) + “o ( 0 ) s - a u o ( 2 r 0 + u o ( 2 彬 = - ( a u o - - u o ) ( 2 7 r ) 现在作下列迭代序列 设k = 彳i ，u n = 爿记吒= v ，- - - - u 根据上面的讨论有 v a s s 屹s v o ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 由( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ，根据定理，立即有爿在d = u o ，】中必最大不动点“+ 和最 小不动点地，并且“= l i m ，巩= l i m u 。据4 的定义可知，最大不动点甜和最小不动 点玑。 即为微分方程周期边值问题的解，也即为微分方程( 1 ) 的2 石周期解。 2 4 小结 本文基于锥的相关知识，根据上下解的思想，采用单调迭代方法和一类算子不动点理论， 证明了给定反序上下解的二阶微分方程的周期解的存在性。同时这种证明周期解的存在性 的方法也适用高阶微分方程，在以后的章节我们将利用与之不同的方法来证明几类高阶微 l o 分方程周期解的存在唯性。 第三章一类高阶微分方程周期解的存在唯一性 3 1 引言 关于微分方程的解的定性研究己成为一个很活跃的研究领域，特别是解的存在唯一性 的问题。随着数学和物理等其他学科的不断发展，各种非线性方法已成为解决这一问题的 重要数学工具，基本方法有：拓扑度法，变分方法，半序方法，单调迭代方法，临界点理 论，上下解法，微分同胚法。应用也很广泛，特别是对于二阶的微分方程的研究已有很多 结果和论文出现，而高阶微分方程解的研究还是比较少的。李维国“”利用微分同胚的方法 证明了一类高阶方程解的存在唯一性。本文将利用另一种方法来证明比文献町更一般形式 的高阶方程的解的唯一性与存在性。本章利用已有的偶数高阶微分方程的结果，和基本的 代数引理，基于最基本的傅里叶级数基本性质证明一类高阶微分方程周期解的唯一性并结 合不动点定理证明存在性。目前应用此类方法证明周期解的存在唯一性还不多见。 3 2 预备结论 3 1 引理1 【2 0 l 设矿是一个向量空间，z ，y 为其子空间，r v = x y 。若r 是有限维的， 并对于矿的子空间z 满足z n z = o 且d i m z = d i m y ，那么矿= x o z 。 3 2 引理2 伽1 设矿是一个向量空间，x ，z 为其子空间，且v = z o z 。又设 日：v x v r 为实对称双线性型，且垤e x ，日0 ，工) 0 ；v z e z ，h ( = ，z ) s 0 ，若存在 w e i v ，使得对v v v ，有h ( v ，w ) = 0 ，则w = 0 。 3 3 ( s c h a u d e r 不动点定理) 在b a n a c h 空间x 中，将有界闭凸集k 映射到自身的紧映 射厂具有不动点 3 4 ( a s c o l i a r z e l a 定理) 若集a 条件紧( 或相对紧) ，当且仅当a 为一致有界的等度 连续集。 i 3 5 定理1 n 9 1 a ：u 卸+ ( - l 广“f q ，“) = o ( 1 ) 1 2 著满足下列条件： 1 1 ) 厂t ) 连续函数，雩+ 2 x , u ) = 厂p ) ( 1 2 ) 存在两个常数g ，届使得r ( n i ) 口s t 掣) s f 吖，+ 1 ) tk ( 1 3 ) r ( n i ) = ( 一1 ) 扣a ：n i 2 1 , r ( n i + 1 ) = ( - i y 吁a i + 1 ) i = o ，1 2 d | - ii - i ( 1 4 ) j = f ( d l f ( 聊= ( - 1 ) k - i 吁矿= o ，l ，2 ， i 则方程存在唯一的周期解。 1 3 3 主要结果 为证明本文的主要结果定理3 ，首先给出下列一个定理 定理2 七i 哆“国+ 局“( 2 1 - o + ( 一1 广“f ( t ) u = 0 1- l 若满足下列条件： 位1 ) 厂g 爿) 连续函数，厂譬+ 2 x ) = 雩) q 2 ) 存在两个常数口。届使得r ( n i ) 口s 厂t ) f 。+ 1 ) ti q 3 ) r ( n i ) = ( - 1 ) k - j a f j n i 2 ，t ( n i + 1 ) = ( 一1 ) 扣7 吁a i + 1 ) 2 d i = o i2 。讲 ij - i i q 4 ) j = f ( ) l f ( 加= ( - d 吖吁2 = o ，1 2 m ， ，- 1 则方程存在唯一的以2 x 为周期的的周期解。 证明：设 矿= 鼢尝淼艘1 2 2 k 一1 ；v 陋删沁脚。o , 2 x ， r = l v ( 1 ( o ) = v ( ”( 勋) ，f o ，一( 2 “绝对连续且v ( 2 d ( f ) p f1 f ( 2 ) u,y，=礁ajuul(t)v0卜 ) = “善( - 1 ) h( ，) + “( f ) “r ) p l j 1j i i | | 表示由内积诱导的范数。 现定义矿予空间： x=x“，=窆t，qk雩，：cto+兰p。cosmt+d。sinmt)tl=l m 1 ， x = x ( t ) 2 t ) q k 雩) p 。材。 ， 【l 】，=y=知如。=窆cosmt+mt叱inmi=l im - n ，* l ， 】，= y ( t ) = g i ( f ) 啦lg l ( o = ( 叱s ，) ， ii z = z ( t ) 3 扣小归胪兰帆c o s m t + m t s i n r o t ) t m - i ， z = z ( t ) = 小( f ) = a 。+ 艺帆 s， i i - l l 其中m 如条件上一致，叱，p m ，g 。是常数。 由上显然有，z ，y 是v 的两的闭子空间且矿= x o y 令日。，= 了 嘉e 一。叫呼“力+ 骞c 一，扣7 岛u o - ) v u ) - f ( t ) u v ) t 很容易验证是矿上的实双线性对称型。 若y y ， 2 毫ri 七 、 则娜) _ 僖州叫矿力+ 莓( 彬1 局y o - i ) y u ) - f ( t ) y y t y 若z z 2 芒r k 、 则坝邵) - j f 傣( - 1 ) h 矿著( - 1 ) 幻局z ( j - a ) j ( j ) _ 巾如卜 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 1 4 砂e 】，日( y ，) ，) o ；v z z ，月0 ，z ) s 0 由上可知：y r 、z - - o ，j l d i m x = d i m z = ( 2 m + 1 ) 。x 因为v = x y ， 根据引理l 得v = z o y 。 应用引理2 有 日v ，= 2 6 f x 荟kc 一，h 吁甜+ ；k 卜，叫局u u - ) v u ) - f ( t ) u v 卜u u - i ) v 0 ) _ = 。 日v ) 26 f i 荟( - 1 ) h 吁甜+ ；( - 1 ) 叫局 2 0 可知方程只有唯一零解。 因此哆“卸+ 局甜( 2 j - 1 ) + 卜1 r “f ( t ) u = o 也只有零解。 证明完毕。 定理3 tt 吁“四+ 历四枷+ ( - l y “f ( t ，“) = o i ij i 甜o ( o ) - - - - 7 , ( 2 石) ( 1 0 ) i = 0 , 1 ，2 ，2 七- 1 若满足下列条件： ( 3 1 ) 鼋) 连续函数，窜+ 2 l r , u ) ：，p ) j i l i m q 堕：0 _ o “ ( 3 2 ) 存在两个常数西届使得k n i ) 口几g ，l f ) f 。+ 1 ) ( 3 3 ) “n 1 ) = ( 一d “7 吁n i 2 力，k n i + 1 ) = ( 一1 广1 q a i + 1 ) 2 ，0 = o ，1 ，2 ，m ) - ij - i 1 0 4 ) j ； f ( ) 1 f ( ) = ( 一1 ) 叫巧 i v = 0 , 1 2 ) j 越 则方程存在一个周期解。 1 5 3 4 证明本文的主要结论 1 ：周期解的唯一性： 证明：若m ，是方程的的两个解根据积分中值定理有： 厂p 1 ) - f g 2 ) = g p ) 缸i 甜2 ) 2 r 其中：g ( f ) = f 丘( f ，u z + o ( u ，一“2 ) ) 毋矽( o ，1 ) 令材= 确- - u 2 ，应用定理2 可得只有零解。 即甜= 嘶一心= 0 ，毡= 屹唯一性得证。 2 ：周期解的存在性。不失一般性，令： “( 0 ) = 。( 2 万) = o ，f = 0 ，i ，2 ，2 k 1 w c 【o ，2 石】n e c 【0 ，2 万】= 甜：r r ”1 ( f ) e c 2 【o ，2 万】，i = 1 ，2 ，埘 ， e = “w 弘- t , 2 ( o ，2 石】，彤) p ( o ) = 球“( 2 7 r ) i = 0 , 1 2 。2 k - 1 ， 下面来考虑周期边值问韪 ki 吁卸+ ( - 1 广“f ( t ，) = 一局却川 - l- i ( o ) = “( 2 力 i = 0 , 1 2 2 k - 1 根据定理1 ，上述方程对于给定的w q 。【o ，2 x n e w 一个唯一的2 疗的周期解。 现定义映射r ：r ，= “。r 是连续的并且也能够证明r 在ee - w 2 。- t , 2 中是紧的。 事实上：对0 w o s ，。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 1 6 有：( 骞州，) 。+ ( ( 邝川= 传局，) ， - 1，- 1 即：砉q ( 铲，t r ) + ( _ l 广“( ，( f ，蚺) = 蔫局( w 弛) ( 1 7 ) 壹q ( 谢) ，) + ( 一l 尹+ - ( 厂( ，) ，) ：一圭辟( w ( - 1 ) ，) ( 1 8 ) 所以有 壹b i f l 虬。，l 2 i f c t ，) i i i i i + k 旧习川帅i i ( - 9 ) 由w i r t i n g e r 不等式有5 l 口f i i i v | 1 2 ；k 口jl l i 玉- 1 1 2 骞1 日- l i i z 。1 1 2 c z 。， 其中吲= 勰酬 又在s b 6 d ，卵空间啦( 【o 2 石】，肜) 考虑； 肛1 1 2 _ 0 ，使得 ：! j 芝产厂t ，) i + 骞i 岛l i 卜掣- 1 l s ， c z t ， f l u 儿s 瓜乩尘铲1 7 1 一 1 f c t , u ) j + 刎垆1 忸 ( 2 5 ) 这就表明了映射将适当的b = 占( o ，r ) c c 尹【o 2 万】n 五映射到自身，也即r b 匕口。应用 & 觑h 娩r 不动点定理知，r 有一个不动点，即矿= 。所以“= 砖c ，【o ，2 万】就是所 求问题的解，由此存在性得证。 3 5 小结 本章利用两个抽象的代数引理，结合不动点定理，参考已经有的偶数阶高阶微分方程 的结果，来证明一般形式的高阶微分方程的周期解的存在唯一性。给以后证明高阶微分方 程周期解的存在唯一性提供了一种简洁的证明方法。 1 8 第四章一类高阶常徼分方程组边界值阿题的周期解 4 1 引言 近年来，微分方程的周期解的研究一直是一个比较热且活跃的领域，大多数微分方程 都是源于自然科学和1 - 程技术中的问题，所以对微分方程的解的研究有着重要的基础意义 尤其是非线性微分方程，对于微分方程的解的研究已经有了很多结果和方法，特别是二阶微 分方程则更为成熟，各种非线性方法已成为其试金石。比如拓t l 度方法，不动点理论，连 续同伦方法，单调迭代法，上下解方法等。对于高阶的微分方程的周期解的研究还是比较 少的。本文将利用h a d a m a r d 定理，来给出一类高阶微分方程边界值f - j 题周期解存在唯一 性的证明，并由此得出几个很有用的推论。 4 2 预备结论 1 1h a d a m a r d l ( 反函数定理) 设x ，j ，均为b a n a e h 空间，t e c l ( x ，y ) 。设r 是一个局部同胚映像，记孝c 聊2 蒜南，如果了手c r ，积= 郴，则r 是z 到】，的 同胚映像。 1 1 2 引理制如果且，垦是两个可交换的常对称矩阵，则存在正交矩阵p 使得 p 7 旦只p 7 岛，同时对角化。 1 3r i e s z 表现定理设f ) 为h i l b e r t 空间h 上的有界线性泛函，则存在唯一的 “e 日，l l u l l = l l f l i ，使得f ( v ) = ，v ) ( w e 日) 其中( ，) 表示空间日中的内积。 1 。4 l a x - m i l g r a m 引理i t a ( u ，力为h i l b e r t 空间嚣上的有界强制线性泛函，则对日 上任一有界线性泛函，( v ) ，恒存在唯一的h ，使得f ( v ) = 矾，v ) ( v v 聊且有估计 u u 丢m 。 1 - 5 自伴酉算子若在丁为脚舾州空间z 到x 中的线性有界算子，若丁= t ，则称 r 为j i f 上的自伴算子，若丁为h i l b e r t 空间x 到z 上的一对一映射，且有广= t ，则 称为上的酉算子若丁既是自伴算子又是酉算子，就称为酉算子。 4 3 本文的主要结果 本文主要来考虑下列高阶微分方程组 p 气力+ ；2 o “- 1 ) ( ”v g ( u ，f ) - 砸) ( 1 ) 【u o ( o ) = u ( 2 ，r ) i = 1 ，2 ，2 k 一1 若满足下列条件： ( h 1 ) a ，是常值玎刀对称矩阵，g ( u ，r ) c 2 ( r ，震) 且以2 万为周期，p ( f ) c ( r ，r ”) 且以2 窟为周期 o 氇) 存在两个可交换的常对称矩阵尽，垦， 并且有： 且+ 口q ) ，s v 2 g ( u ，) s 岛+ p c l l u l l ) x 。( ，表示一阶单位矩阵，实对称矩阵4 曰表 示矩阵b a 是半正定的) ) 马岛的特征值分别为l “，( l + 1 ) “j = 1 2 埘l 是非负整数。 0 1 4 ) 口：【o ，栩) 寸( 0 ，佃) ，： o ，佃) 一( 0 ，佃) 为两个连续函数。 则上述高阶微分方程边值问题存在唯一的2 石周期解。 证明：考虑函数空间 矿= 卜咻删i 驾二曩高誊巍盏爿 在矿中定义内积( 地d ：了( 套护( f ) ，v u ，o ) + 了( 。( 嘎，( r ) 净相应的范数记作i i i i ， 0u - l，0 则容易验证矿为h i l b e r t 空间。 ：j f = i x = ：( ，) 吼( ，) - - z a ts i n 舷，t o ，2 石】，i = l ，2 ，刀 y = y = z g t ( t ) r h l g , ( t ) = a ks i n k t ，t e 0 ，2 ，r 】，i = l 2 从 其中啦，艮r ，于是矿= z o r 利用r i e s z 表现定理，可定义映像t ：矿一矿如下： 2 t i 1 ( t u ，v ) = n ( ”( r ) v ( k ( f ) ) 一( ( 一1 ) 扣。4 甜。( ，) ，v 一( f ) ) 一( v g ，f m ( r ) ，1 ，( f ) ) 】出 o，。 再由慰e s 2 表现定理，存在d 矿，使( t v ) = ( ) ”f ( p ( 啧v o ) 冲，b ，v 矿 不难看出，r 是c 1 映像且 口。( “m v ) 2j 【( w ( ，) ，v 仕( ，) ) 一( j - i ( - 1 ) h 4 ( r ) , v u - 1 ) ( r ) )