（系统工程专业论文）基于自动微分算法的过程系统优化.pdf

浙江大学硕士学位论文 甫丽算 j 1 1 ，、 f i 随着计算机技术的飞速发展和企业自动化程度的不断提高，过程系统优化已 经从纯学术的理论发展成为能对工业起到巨大推动作用的技术力量，成为过程工 业企业保持竞争力、在激烈的市场竞争中立于不败之地的主要技术手段。过程系 统优化的核心是数学规划算法。当前的高性能数学规划算法大都依赖于导数计算 以快速收敛到最优点，所以对求导精度的要求比较高；而导数计算所消耗的时间 占优化时间的比例又非常的大。所以，求导问题是优化问题中一个非常重要的方 面，值得过程系统优化的研究人员进行深入的分析。 在过程系统优化中，一个理想的求导算法应该能够快速求取程序模块的解析 导数。近年来发展迅速的自动微分算法比较好地满足了这个条件，并已在优化中 得到了广泛的应用。但是，鉴于过程系统优化中模型舶复杂性，现有的自动微分 算法还有许多不足之处，需要得到进一步地改进。，本文基于自动微分算法的过程 系统优化研究，就是通过结合过程建模和优化的特点，改进现有的自动微分算法， 并将其和优化算法结合以达到提高过程系统优化总体效率的目的。 本文的研究工作主要有以下几点： 在阐述过程系统优化的各类任务及其对应的数学规划问题的求解方法的基 础上，分析和总结了求导和优化之间的关系，指出在优化中使用自动微分的 - - 一 优势。通过系统阐述皂墨望丝公算法的理论和相关技术，分析其固有的优点和 缺点，为算法的改进提供了理论基础并指明了研究方向。 通过比较和分析符号微分和自动微分，提出了一种新型的符号求导算法 符号自动微分算法。附号自动微分具有可对子程序形式的函数求导、可以充 分利用模型的稀疏性：无需辅助操作的优点，非常适合针对结构相对简单、 计算式以多项式为主的过程系统模型求导。开发了能同时实现数值自动微分 和符号自动微分韵扩展的自动微分工县x a d m a t ，并将其成功地应用在 一个典型的过程系统优化问题中。y ， 研究了过程建模与优化、求导的关系。分析和比较了当前两大基本建模方法 联立方程法和序贯模块法对优化效率的影响，指出结合这两种方法优点 的复合建模方法在优化中的优势，并通过一个精馏塔稳态优化问题验证了这 一结论。分析了建模方法对求导效率的影响，指出不同的求导算法适用于不 同结构的过程模型，提出对于复杂模型求导最好的方法是根据其不同模块的 特点采用合适的求导算法。 浙江大学硕士学位论文 提出了一种结合现有的求导算法对复杂模型求导以大幅提高求导效率的方 法面向模块的自动微分算法。陔方法沿袭前向自动微分拆分元函数和利 用链式求导法则组合元偏导数的求导思路，将模型拆分为子模块逐次处理。 讨论了子模块连接的两类方法一直接连接法和间接连接法，从理论上证明 了直接连接方法的优势。面向模块的自动微分可以更加灵活和充分地利用模 型的结构特点，这个优势在精馏塔稳态优化和缩聚反应釜动态优化这两个典 型的工业过程系统优化问题中得到了充分的体现。y 研究了面向模块的自动微分的核心问题模型的分割和子模块求导算法 的选择。i 提出了以最小函数为基本单元，并借助模型稀疏信息和导数计算复 杂程度的信息来分割模型的总体思路。提出通过计算模型变量导数的稀疏模 式矩阵来获得模型的稀疏性结构。定义了模块复杂度的概念来表征求导算法 对模块求导所需的单元标量计算次数，并以此为依据来为模块选择最合适的 求导算法。通过精馏塔稳态优化和缩聚反应釜动态优化问题验证了上述分析 方法的有效性。厂，、 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t p r o c e s ss y s t e mo p t i m i z a t i o n ( p s o ) h a sb e c o m eam a j o rt e c h n o l o g yt h a th e l p s c o m p a n i e si np r o c e s si n d u s t r yt or e m a i nc o m p e t i t i v e n u m e r i c a ld e r i v a t i v e sp l a ya n i m p o r t a n tr o l ei nm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，w h i c hi st h ec o r ea r e ai np s o o no n e h a n d ，n u m e r i c a ld e r i v a t i v e s p r o v i d ep r o p e r s e a r c hd i r e c t i o n si n o p t i m i z a t i o n ， t h e r e f o r et h e i ra c c u r a c yi so f g r e a ti m p o r t a n c ef o rf a s tc o n v e r g e n c y o nt h eo t h e r h a n d ， d e r i v a t i v ee v a l u a t i o ni so n eo ft h em o s tt i m e - c o n s u m i n g s t e p s i n o p t i m i z a t i o n i m p r o v i n gt h ee f f i c i e n c yo f t h ee v a l u a t i o no f d e r i v a t i v e si sa ne f f e c t i v ew a y t or e d u c e t h et i m ef o ro p t i m i z a t i o n ，a n di so f s i g n i f i c a n t h e l pt or e a l - t i m eo p t i m i z a t i o n a u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o n ( a d ) ，w h i c hi sw e l lr e c o g n i z e da st h em o s tp r o m i s i n g d i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h mi np s oa n dh a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l yi nr e c e n tt w e n t y y e a r s ，i sat e c h n i q u e f o ra u g m e n t i n g c o m p u t e rp r o g r a m sw i t h d e r i v a t i v ec o m p u t a t i o n s i te x p l o i t st h ef a c tt h a te v e r yc o m p u t e r p r o g r a m , n om a t t e r h o w c o m p l i c a t e d ，e x e c u t e s as e q u e n c eo fe l e m e n t a r ya r i t h m e t i c o p e r a t i o n s s u c ha sa d d i t i o n so re l e m e n t a r y f u n c t i o n ss u c ha s e x p o n e n t i a lf u n c t i o n b ya p p l y i n gt h ec h a i nm l eo fd e r i v a t i v e c a l c u l u sr e p e a t e d l yt ot h e s eo p e r a t i o n s ，d e r i v a t i v e so f a r b i t r a r yo r d e rc a nb ec o m p u t e d a u t o m a t i c a l l y , a n da c c u r a t et ow o r k i n gp r e c i s i o n h o w e v e r , a d h a ss o m el i m i t a t i o n s w h e na p p l i e dt oc o m p l i c a t e dp r o c e s sm o d e l s t h er e s e a r c hw o r ki nt h i st h e s i si s f o c u s e do na d b a s e dd i f f e r e n t i a t i o nm e t h o d o l o g yt h a tc a r lf u l l ye x p l o i tt h es t r u c t u r e o ft h eo b j e c t i v em o d e lt og r e a t l yr e d u c et h et i m ef o rj a c o b i a ne v a l u a t i o na n di m p r o v e t h ee f f i c i e n c yo f o p t i m i z a t i o n t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： a p p l i c a t i o n s o fo p t i m i z a t i o ni n p r o c e s se n g i n e e r i n g a r ei n t r o d u c e da n dt h e m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g p r o b l e m sr e l a t e d t ot h e ma r ei n d i c a t e d t h e ns o l u t i o n m e t h o d so ft h em a j o rt y p e so fo p t i m i z a t i o np r o b l e m sa r er e v i e w e d ，b a s e do n w h i c ht h ei m p o r t a n c eo fd e r i v a t i v ee v a l u a t i o ni no p t i m i z a t i o ni sa n a l y z e da n d s u m m a r i z e d a f t e rt h a t ，t h ep r i n c i p l ea n dt e c h n i q u eo fa da r es y s t e m a t i c a l l y d i s c u s s e dm e a n w h i l et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fa d a r ep o i n t e do u tt o g i v eh i n to nm o r e e f f i c i e n td i f f e r e n t i a t i o na p p r o a c h s y m b o l i cd i f f e r e n t i a t i o nr s d ) a n d a da r ec o m p a r e di nd e t a i l sa n dt h e nan o v e l s d a l g o r i t h m ，s y m h o l i ea u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o n ( s a d ) ，i sp r e s e n t e d s a di s a b l et od i f f e r e n t i a t em o d e l si nf o r mo fs u b r o u t i n e s ，f u l l ye x p l o i tt h es p a r s i t yo f t h em o d e i sa n dn e e df e wa d d i t i o n a lo p e r a t i o n s i ti sc o n c l u d e dt h a ts a di sv e r y l v 浙江大学硕士学位论文 s u i t a b l ef o rt h e p r o c e s s m o d e l st h a th a v e r e l a t i v e l ys i m p l ec o m p u t a t i o n a l s t r u c t u r ea n dc o n s i s tm a i n l yo fp o l y n o m i a l s a ne x t e n d e da dt o o lx a d m a t , w h i c hi sd e r i v e df r o ma d m a t , t h e o p e r a t o r - o v e r l o a d i n ga d t o o li nm a t l a b ，i s d e v e l o p e d t or e a l i z eb o t hn u m e r i c a la n d s y m b o l i c a la d x a d m a ti s s u c c e s s f u l l ya p p l i e d t oa n a l k y l a t i o np r o c e s so p t i m i z a t i o np r o b l e m t h ei n f l u e n c eo f p r o c e s sm o d e l i n ga p p r o a c h e so n o p t i m i z a t i o na n dd i f f e r e n t i a t i o n i ss t u d i e d i ti sc o n c l u d e dt h a tac o m b i n a t i o no ft h et w om a i n m o d e l i n g a p p r o a c h e s ，t h es e q u e n t i a lm o d u l a ra p p r o a c ha n dt h ee q u a t i o n o r i e n t e da p p r o a c h ， c a nk c 印ag o o db a l a n c eb e t w e e nf l e x i b i l i t ya n d e f f i c i e n c y s o - o b t a i n e dp r o c e s s m o d e l ，c a l l e dc o m p o s i t em o d e li nt h i sp a p e r , c o n t a i n sh i d d e nv a r i a b l e st h a tc a n n o tb eo b s e r v e de x t e m a l l y a c c o r d i n g l y , t r a d i t i o n a la l g o r i t h m sa l en o ta b l et o f u l l ye x p l o i tt h es t r u c t u r eo fc o m p l e xc o m p o s i t em o d e ls oa st oh i g h l yi m p r o v e t h e e f f i c i e n c y o f o p t i m i z a t i o n i t i s p o i n t e d o u tt h a t a p p l y i n g d i f f e r e n t d i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h mt od i f f e r e n tp a r t so ft h em o d e lm i g h tb et h er e c i p et o c o n q u e r t h ed i f f i c u l t y m o d u l e - o r i e n t e da u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o n ( m a d ) ，an e wa d a p p r o a c ht h a tc a n e m p l o y c u r r e n td i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h m sf l e x i b l yt od i f f e r e n t i a t ee a c hm o d u l eo f t h ep r o c e s sm o d e l 。i sp r e s e n t e dt oa c h i e v em o r ee f f i c i e n tj a c o b i a ne v a l u a t i o ni n o p t i m i z a t i o n i nm a d ，t h em o d e lo fi n t e r e s t i s p a r t i t i o n e d i n t oas e r i e so f m o d u l e s ，j u s ta s i na dt h ef u n c t i o no fi n t e r e s ti sd i v i d e di n t oas e q u e n c eo f e l e m e n t a r yf u n c t i o n s t w om o d e sf o ra c c u m u l a t i n gt h ej a c o b i a n so f t h em o d u l e s ， d i r e c tm o d ea n di n d i r e c tm o d ea l ed i s c u s s e da n dt h el a t t e ri st h e o r e t i c a l l yp r o v e d t ob em o r ee f f i c i e n t t h ea d v a n t a g e so fm a da r ec l e a r l yd e m o n s t r a t e di nt w o t y p i c a lp r o c e s ss y s t e mo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，as t e a d y s t a t e o p t i m i z a t i o n p r o b l e mo fa d i s t i l l a t i o nc o l u m na n dad y n a m i co p t i m i z a t i o np r o b l e mo fa p o l y c o n d e n s a t i o n r e a c t o r t w ok e yp r o b l e m so fm a da r es t i l m e d ：t h ep a r t i t i o no ft h em o d e la n dt h e s e l e c t i o no ft h ed i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h m sf o rt h em o d u l e s am e t h o d o l o g yb a s e d o nt h ec o n e e d to f “m i n i m a lf u n c t i o n ，i sf o l l o w e dt os o l v et h ep r o b l e m s ak i n do f s p a r s em o d em a t r i x i sc h o s e nt or e f l e c tt h es p a l s i t yo ft h em o d e l ，a n ds o m e m e a s u r e m e n to fe o m p l e x i t yi sd e f i n e d 鹋ac r i t e r i o nt oc h o o s ed i f f e r e n t i a t i o n a l g o r i t h m s a n a dh o e a p p r o a c h t oe s t i m a t et h e c o m p l e x i t y o fs y m b o l i c d i f 艳r e n t i a t i o ni s p a r t i c u l a r l y d i s c u s s e di nd e t a i l s x a d m a ti s u p d a t e d t o i m p l e m e n t t h ea p p r o a c h e s ，w h i c hi sv a l i d a t e db yn u m e r i c a le x p e r i m e n t s 本文工作得到国家自然科学基金项目( n o 2 0 2 7 6 0 6 2 ) “基于自 动微分算法的化工过程系统优化”、国家重点基础研究发展规划项 目( 9 7 3 项目，n o 2 0 0 2 c b 3 12 2 0 0 ) “复杂生产制造过程实时、智能 控制与优化理论和方法研究”资助。 致谢 光阴荏苒。三年前，坐在同一个座位上，我完成了本科毕业设计论文；而今， 我的硕士学位论文即将杀青。回首望去，庆幸自己的努力终于换来些许成果，同 时内心深处十分感激前进路上师长、朋友、家人的支持和帮助。 首先要感谢我的导师钱积新教授。1 9 9 9 年，正是钱老师将我这个懵懂的大 三学生领入过程系统优化的研究领域；这四年以来，钱老师一直对我的学习和研 究给予热情的关怀和高屡建瓴的指导。钱老师求真的科学态度和踏实的工作作风 为我的成长注入了积极向上的力量；和钱老师的每一次谈话和讨论，都是那么的 教人前行、催人奋进l 在此谨致以崇高的敬意和真挚的谢意l 然后要感谢我的另一位导师邵之江副教授多年以来的悉心调教。从研究的思 路和方向、到论文的格式和标点，从人生的价值和追求、到行事的原则和智慧， 邵老师无不是耐心指导、言传身教。邵老师在我的前进道路上倾注了大量的心血， 在此致以深深的谢意! 师兄仲卫涛博士一直对我的学习生活给予无微不至的关怀。第一次知道如何 利用校网、第一次在图书馆查到文献、第一次用m a t l a b 编出程序、第一次投 出的论文被录用，没有仲卫涛师兄，我就没有这些顺利的第一次，我或许就写不 出这篇学位论文。对仲师兄的感激之情真是无法用言语表达! 优化组的师兄张帆博士与我进行了许多有意义的讨论，使我受益匪浅。朋友 谢铖、蔡俊杰、姜人方帮助我解决了许多编程中的技术难题，使我的研究得以顺 利进行。兄弟朋友们的热情帮助始终令我激动不已。 本文在完成的过程中，还得到了系统工程研究所诸位老师和邓赤女士的指导 和帮助，以及工程中心一起学习的同学们的关心和支持，在此表示衷心的感谢。 最后，特别要感谢我的父母对我一如既往的支持，他们无私的关怀将永远是 我学习和工作的动力。 谨以此文献给所有关心和帮助过我的人。 李翔 2 0 0 3 年3 月 于求是园 浙江大学硕士学位论文 第一章引言 现代工业的一个重要特点是向大型化和自动化方向发展( 钱积新等，1 9 9 8 a ， 1 9 9 8 b ) 。作为在国民经济领域中占主导地位的过程工业，随着市场经济的发展、 企业间的兼并联合，越来越多的大型、特大型企业在石化、冶金、造纸、化工、 电力、医药等行业不断出现。特别是近些年来，随着世界经济全球化发展的不断 深入，各国过程工业更是以迅猛的速度增长，并为国民生产创造出巨大的经济和 社会效益。 然而，激烈的竞争使过程工业备部门面临着生产规模、经济效益、产品品种、 质量和环境保护等多方面的严峻挑战。企业要想在市场竞争中立于不败之地，必 须提高自身的竞争能力，变粗放、外延型生产为集约、内涵型生产，提高生产效 率，降低成本，改进产品质量，提高生产过程的柔性以适应快速多变的市场需求。 当前优化已经从纯学术的理论发展成为能对工业起到巨大推动作用的技术力 量，成为工业企业保持竞争力的主要技术手段( b i e g e l e r a n dg r o s s m a n n ，2 0 0 2 ) 。 工业过程系统规模越大，组成系统的基本单元的种类就越多，其组成方式也越多。 不难想象，在一定环境中要对这样复杂的过程系统进行设计、建造和操作，若仅 将组成系统的基本单元简单地结合起来，无论如何也得不到满意的结果。而过程 系统优化就是根据过程系统性能、特点所给定的约束条件，找出使系统的性能指 标或者目标函数达到最小( 或最大) 的设备参数或工艺变量( 沈静珠，1 9 9 4 ) 。 本章首先讨论各种过程系统优化任务及其与数学规划问题的联系。然后着重 讨论连续优化、离散优化、动态优化这三类典型优化( 数学规划) 命题的主要求 解算法。接着讨论优化和求导的关系并介绍不借助导数的优化算法。最后指出全 文的研究重点和章节设置。 1 1 各种过程系统优化问题 1 1 1 数学规划问题分类 过程系统优化中的各种任务都可以抽象成为相应的数学规划问题，或者说， 不同的过程系统优化任务可以通过相应的数学规划求解算法来解决。在讨论过程 系统优化和数学规划的联系之前，我们按照变量和模型的性质将数学规划问题做 出大致的分类，或者更确切的说，指出当前过程系统优化领域中被重点研究的各 类数学规划问题及其之间的联系。采用这种分类的原因是，不同的过程系统优化 任务往往具有不同的变量和模型的性质，而这些往往又决定了问题应该采用何种 第一章引言 求解算法。而且，通过这种分类，我们可以突出当前过程系统优化领域的各种热 点问题，看清它们之间的区别和联系，及其在整个领域研究中的地位。首先，根 据变量是否连续可以将优化分为连续优化( c o n t i n u o u so p t i m i z a t i o n ) 和离散优 化( d i s c r e t eo p t i m i z a t i o n ) 两大类。连续优化通常指变量全部连续的优化，主要 包括线性规划( l i n e a rp r o g r a m m i n g ) 和非线性规划( n o n l i n e a r p r o g r a m m i n g ) 。 线性规划问题包括一种特殊情况一一线性互补问题( l i n e a rc o m p l e m e n t a r y p r o b l e m ) 。非线性规划包括二次规划( q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ) 和半定规划 ( s e m i d e f m i t e p r o g r a m m i n g ) 两种特殊情况。根据目标函数和可行域的凸性，非 线性规划可以进一步分为凸规划( c o n v e xo p t i m i z a t i o n ) 和非凸规划( n o n c o n v e x o p t i m i z a t i o n ) 。凸规划的局部最优点就是可行域内的全局最优点，而非凸规划可 能含有多个局部最优点。离散优化通常指自变量群中含有离散变量的优化，主要 包括混合整数线性规划( m i x e d i n t e g a rl i n e a rp r o g r a m m i n g ) 和混合整数非线性规 划( m i x e d - i n t e g a rn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ) 。对于混合整数线性规姒，当所有的变 量都是离散变量时成为整数规划问题( i n t e g a rp r o g r a m m i n g ) 。整数规划问题可以 分为指派问题，旅行商问题等特殊情况。类似于非线性规划，混合整数非线性规 划也可以分为凸规划和非凸规划。 上述优化问题可以由下面这个统一的式子来表示： m i n z = f ( x ，_ ) ，) “嬲羔 t ， x x ，y 0 ，l “ 其中，厂血，y ) 是优化的目标函数( 例如，对象系统运行的总费用或总利润) ， h ( x 。y ) = 0 是描述系统行为的方程( 例如，质量平衡方程，能量平衡方程) ， g ( x ，y ) 0 代表了各类不等式约束条件( 例如，安全生产约束，质量约束) 。x 代 表连续变量，通常是系统的状态变量；y 代表离散变量，通常取0 或者1 ，表达 计划和调度的策略( 例如，机器是否和如何分配，任务顺序如何安排) 。只要( 1 - 1 ) 中存在非线性函数，它就是一个混合整数非线性规划问题，反之就是混合整数线 性规划问题。如果( 1 - 1 ) 中不存在离散变量，则其退化为线性或非线性规划问 题。一般来说，( 1 - 1 ) 式表示针对稳态模型的优化。当系统模型为动态时，( 1 - 1 ) 将派生出多周期优化问题和最优控制问题。前者是基于离散时间模型，后者是基 于连续时闻模型。其中最优控制问题通常需要求解微分一代数混合方程组 ( d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ) 。 图1 1 反映了上述各种优化问题及其之间的联系。 浙江大学硕士学位论文 图1 1 ；数学规划问题的分类 1 1 2 过程系统优化任务和数学规划闯题 一般说来，过程系统优化的任务可以分为最优综合，最优设计，最优操作和 先进控制四个部分。当然，这种分法不是绝对的。比如，有些学者根据求解方法 的特点将最优综合和最优设计看作一个整体( b i e g l e ra n dc r r o s s m a n n ，2 0 0 2 ) ，有 些学者则根据任务的实施层次将最优操作和控制看作一个整体( 沈静珠，1 9 9 4 ) 。 最优综合是指为了完成某类产品的生产任务，将分散的单元遵循一定的法 则，组织成对给定的性能指标来说最优的过程系统，是过程系统能否达到最优的 根本大计( 沈静珠，1 9 9 4 ) 。对于一定的生产要求，可以设计不同的工艺路线； 而对于确定的工艺路线，又可以设计不同的过程系统结构。所以，过程系统越复 杂，可供选择的方案越多，待求变量的维数就会相应地迅速增高。比如，对于一 个只具有5 个单元的简单过程系统，从理论上说就有51 = 1 2 0 种排列方式。 最优设计是指在给定过程结构的条件下，确定各个单元的最优参数的优化计 算( 沈静珠，1 9 9 4 ) 。待定参数称为设计变量。例如，在设计换热器系统时，由 工艺条件已经决定了冷、热流体的流量和温度，换热器的系统结构，换热器的形 式，要求总投资或总换热面积最小的的各换热器尺寸，就是最优设计问题。最优 设计是以过程系统的模拟为基础，通过系统的优化模型进行的。 最优操作是指在结构参数和设计参数都已固定的条件下，为使生产过程在外 界条件变化以及各种干扰因素出现的情况下，保证过程系统的经济性而对操作参 数进行优化分析和运算( 沈静珠，1 9 9 4 ) 。例如，间歇生产系统最优操作顺序的 确定，精馏塔的操作变量设定值的实时优化等等( r e a l t i m eo p t i m i z a t i o n ) 都属 于最优操作问题。实现最优操作对提高生产技术水平、增加经济效益具有重要意 义；随着计算机技术的飞速发展，包括实时优化在内的最优操作问题已经成为学 术界和工业界的研究和关注热点( 邵之江，1 9 9 7 ) 。 与最优操作主要针对系统的稳态指标进行优化不同，控制是用于调节系统的 动态指标，保持平稳生产。包括模型预测控制( m o d e lp r e d i c a t i v ec o n t r 0 1 m p c ) ， 最优控制( o p t i m a lc o n t r 0 1 ) 等在内的先进控制中都有优化问题，其优化目标通 常是使过程系统的动态响应平稳或达到特定的要求，为最优操作的提供系统的稳 态条件，从而间接的带来生产效益。虽然控制不如最优操作所直接带来的生产效 益多，但却是整个工业生产的基础。先进控制中的优化问题对于提高控制品质至 关重要，而又与其它过程系统优化问题有不同的特点( 比如对优化速度要求很 高) ，所以同样值得重视。 上述四类过程优化任务各有特点，分别与特定的数学规划问题有密切的联 系。b i e g l e r 和c r r o s s m a n n ( 2 0 0 2 ) 从工程的角度列出了一个应用矩阵( a p p l i c a t i o n s m a t r i x ) 来说明在各种具体的过程系统优化任务中可能需要用到的数学规划算法。 表1 1 给出了这个应用矩阵并作了必要的解释。由于过程综合和设计通常依赖对 非线性的过程模型的预测和计算，所以其通常需要求解非线性规划和混合整数非 线性规划问题；而当目标模型简化为线性模型时，线性规划和混合整数线性规划 成为主要问题。对于诸如计划，调度，供应链等操作问题，由于非线性的过程模 型信息通常被转化为其它线性条件( 如单元操作所需时间) ，所以成为线性规划 和混合整数线性规划问题的另一个重要来源。而同为操作问题的实时优化问题， 主要还是针对非线性的过程模型求解非线性规划问题( 当模型是线性时，变为线 性规划问题) 。对于连续系统的控制来说，主要需要求解线性和非线性规划问题； 而对于连续离散混合系统的控制来说，主要是求解混合熬数线性非线性规划 问题。 值得注意的是，表中的最后两列列出的全局优化算法，模拟退火算法和遗传 算法，并不针对某种特定的数学规划问题。这些算法在过程系统优化领域得到特 殊眷顾的原因是它们可以产生全局最优解。可以看到，这些算法主要在过程综合 和设计阶段应用，因为在这个阶段，各参数的限制条件比较宽松，相应的优化问 题在可行域内产生多个局部最优的可能性很大。而到了最优操作和控制层面，可 行域本身非常狭小，参数的局部最优解往往就是全局最优解。对于全局优化算法， 目前的研究主要集中在两个方向：一个是凸规划；另一个是诸如模拟退火算法和 遗传算法的启发式算法，或者无需导数信息、可随时跳出局部最优点的优化算法 ( d e r i v a t i v ef r e eo p t i m i z a t i o n ) 。后一个方向将在1 3 节得到讨论。 浙江大学硕士学位论文 表1 1 ；b i e g l e r 和g r o s s m a n n 提出的数学规划算法应用矩阵 l pm i l p q p l c p n l pm i n l pg 1 0 b a ls a o a d e s i g na n d s y n t h e s i s h e n sxx m e n sxx s e p e r a t i o n s x r e a c t o r sx e q u i p m e n t d e s i g n f l o w s h e e t i n g o p e r a t i o n s s c h e d u l i n g xx 黜p l y xx c h a i n r e a l - t i m e x o p t i m i z a t i o n c o n t r o l l i n e a r m p cx n o n l i n c a rm p c h y b r i d x x x x x x xx x x x x x x x xx x xx xx 注：h e n s 。h e a te x c h a n g e rn e w v - o r ks y n t h e s i s ，换热飘络综合 m e n s m a s se x c h a n g e r n e t w o r ks y n t h e s i s ，质量交换网络综合 g l o b n | 。g l o b a lo p t i m i z a t i o n ，全局优化方法 s a ，s i m u l a t e d a n , n e s l i n g ，模拟退火方法 g a ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，遗传算法 1 2 典型优化命题的求解算法 1 2 1 连续优化 如果式( 卜1 ) 中没有离散变量j ，则其变成如下的连续优化问题 m i n f 0 ) s t h ( x 1 = 0 ( 1 - 2 ) g ( 工) 0 对于不同的目标函数和约束的特点，( 1 - 2 ) 表示的一般连续优化问题可以归为一 些具体的优化命题，从而可以采用特殊的优化算法处理。比如，当目标函数是凸 x x x x x x 函数，而可行域是凸集( 即要求 ( x ) 为线性函数，g ( x ) 为凸函数) 时，( 1 - 2 ) 表 示一个连续的凸规划问题。这时，问题的任何一个局部最优解就是全局最优解。 特别是当目标函数为严格凸函数时，只有唯一的全局最优解。在这种情况下，优 化的全局最优解是比较容易找到的。 1 2 1 1 线性规划和二次规划问题 在极端的情况下，厂( x ) ， ( x ) ，g ( x ) 都是线性函数，则( 1 - 2 ) 可以写为如下形 式的线性规划问题： m i nc t x s t a x = b ( 1 - 3 ) c x d 线性规划问题的标准算法是2 0 世纪4 0 年末发展起来的的单纯形法( s i m p l e x m e t h o d ，d a n t z i g ，1 9 6 3 ) 。近来，求解线性规划的内点法( i n t e r i o rp o i n tm e t h o d ) 发展迅速，特别适合于约束条件多的情况( w r i g h t ，1 9 9 6 ) 。由于技术成熟，当前 先进的线性规划软件可以处理数百万个变量和约束的问题；如果加入分解和降维 的技术，还可以处理比这规模高出2 3 个数量级的问题。关于线性规划的更多信 息，可以参照一些标准文献( h i l l i e r a n d l i e b e r m a n ，1 9 7 4 ；e d g a r e t a l 2 0 0 1 ) 。 对( 1 - 3 ) 中的目标函数稍做修改，便可得到如下的二次规划问题： 砌c k g s j a x = b( 1 4 ) c x d 若q 为正定( 半正定) 矩阵，则( 1 - 4 ) 为严格凸规划( 凸规划) 。凸二次规划问 题现在已经有很多有效的解法( g i l le t a l ，1 9 8 1 ) ，其中个方法就是将其转化为 线性互补问题。凸二次规划问题的求解算法是当前最为流行的非线性规划算法一 一s o p 算法的基础。 1 2 1 2 非线性规划问题的s q p 算法 在大多数情况下，( 1 - 2 ) 表示的连续优化问题是一个一般非线性规划问题。 非线性规划是连续优化的核心问题。当前，逐次二次规划算法( s u c c e s s i v e q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，o rs e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，s q p ) 作为公认的求 解非线性规划问题最为有效的方法之一，近一二十年来在过程工业领域得到了非 常广泛的应用( v a s a n t h a r a j a na n db i e g l e r , 1 9 8 8 ；l u c i aa n dx u ，1 9 9 0 ；s c h m i da n d b i e g l e r , 1 9 9 4 ) 。s q p 通过求解一系列二次规划子问题获得原问题的最优解，使得 优化过程中的函数计算次数降到非常低，从而显著提高优化的效率( b i n d e r e t a l ， 2 0 0 1 ：s c h i t t k o w s k i ，1 9 8 7 ) 。目前，s q p 算法已经发展出各种不同的变型，以适应 浙江大学硕士学位论文 各种不同结构的过程系统优化问题。 s q p 算法运用类似于牛顿迭代方法的过程来求解目标问题的k t 最优条件。 一般地，( 1 - 2 ) 式的最优点x 满足如下的一阶k - t 条件： 、 1 9 r ，( x + ) + a ( x + ) 五+ c ( x + ) v = 0( 口) h ( x + ) = 0( b ) g ( 】寸) + j = 0( c ) ( 1 - 5 ) s v e = 0 ( d ) 0 ，0( e ) 其中，e = 1 ，1 1 7 ，旯为等式约束的l a g r a n g e 乘子，v 为不等式约束的 l a g r a n g e 乘子，彳( 功= v h ( x ) ，c ( 曲= v g ( x ) ，s = d i a g s ) ，y = d i a g v 。由于 s q p 可以有多种类似牛顿法的迭代方法来求解(