（应用数学专业论文）非线性波动方程解的存在性.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 研究一类带有边值条件的偏微分方程解的存在性和多重性，是偏微分方程理论研究 领域的重要课题之一。 本文研究了一类满足d i r i c h l e t 边界条件及变量r 具有周期条件的非线性波动方程解 的存在性。 本文主要工作如下： 1 引言部分主要介绍偏微分方程解的多重性这一研究领域的研究背景、最新进 展。 2 第一和第二部分，我们介绍文中将要用到的一些重要定义和定理。 3 第三部分，我们利用变分简化方法，构造了波动方程的对偶方程，通过这个 对偶方程来研究解的多重性。 关键词：存在性；平凡解；非平凡解；双曲方程：算子 大连理工大学硕士学位论文 t h ef o r m a tc r i t e r i o no fm a s t e r sd e 伊e ep a p e ro fd u t a b s t r a c t ni so n eo ft h ek e ys u b j e c t so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fs t u d ye x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nu n d e rb o u n d a r yc o n d i t i o n i nt h i sp a p e r , w e i n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n w h i c hs a t i s f i e sd i r i c h l c tb o u n d a r yc o n d i t i o na n dp e r i o d i cc o n d i t i o no nv a r i a b l et t h em a i nm i s s i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 i nt h ei n t r o d u c t i o ns e c t i o n w ei n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h el a t e s t p r o g r e s so f t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 i nt h ef i r s ta n dt h es e c o n ds e c t i o n s ，w ei n t r o d u c e ss o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n d t h e o r e m s 3 i nt h et h i r ds e c t i o n w eu s ev 捌o n a lm e t h o dt oc o n s t r u c tt h ed u a le q u a t i o no f w a v ee q u a t i o n , a n dt h r o u g ht h ed u a le q u a t i o nt os t u d yt h em u l t i p l i c i t yo fs u l t i o n s k e yw o r d s ：e x i s t e n c e ；t r i v i a ls o l u t i o n ；n o n t r i v i a ls o l u t i o n ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ； o p e r a t o r - 1 1 1 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 复e 谨： 选逸劝三程整数碰：建 作者签名：翌垦蓥日期： 主盟年厶月各l 日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 华盛灶赵翟氅盘越 一 作者签名：翻星鏖 一日期：) 2 q 2u 月望日 导师签名：皇匕多舀3 一日期：j 匕乒钍月丝日 大连理工大学硕士学位论文 引言 偏微分方程解的存在性及多重性是当代科学中比较重要的领域，是偏微分方程理论 的重要组成部分。作为其中的分支，非线性波动方程、桥梁模型方程解的多重性，不仅 具有重要的理论价值，而且对理学，物理，工科等各专业都有重要的实际意义。像桥梁， 大坝等一些工程都能建立波动方程，桥梁模型方程的数学模型。研究非线性波动方程和 桥梁方程解的多重性对这些实际问题提供了必要的理论支持，保证了工程的顺利进行。 微分方程中的变分方法就是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在，解 的个数以及求近似解的方法。具体来说，在自然科学和工程技术中出现的许多问题，常 需研究这样一类抽象的函数泛函，其值域是实数域，而定义域由某种函数构成。研 究函数的极值问题，是变分法的基本问题。变分法是数学分析的一个分支，是微分学中 处理函数极值方法的扩展，但由于泛函定义域中的函数起着独立变量的作用，在处理极 值问题时，适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个数值变量，而是整个变动的曲 线或函数，甚至是一组函数，因此，它涉及的问题更深入和广泛。 古希腊人提出所谓等周问题，即在长度一定的所有闭曲线中，找出含有最大面积的 一条闭曲线，这就是一个变分问题。人么很早就知道，这条曲线是一个圆，但这个事实 直到十八世纪由e u l e r 和l a g r a n g e 确立了变分法后，才得到令人满意的证明。1 6 9 6 年 j o h a n nb e r n o u l l i 向他的兄长j a k o bb e r n o u l l i 和其他数学家们挑战性的提出了捷线( 最速 下降) 问题，这是变分法发展的一个标志。这个问题引起了当时数学家们极大的兴趣， 如n e w t o n ，l e i b n i z ，l h o s p t i a l 都获得了一些成果，只有受到自己弟弟嘲笑为无能的 j o h a n nb e r n o u l l i 得到的结果与众不同，在他那“很不优美的解答中，却看到了其他 人没有看到的事实从无穷多条曲线中，选出一条满足极值条件的曲线，实质上，这 个问题是一类新问题，这个问题的解决，需要新的方法。在一系列的研究中，e u l e r 和 l a g r a n g e 得出了泛函极值的必要条件，l e g e n d r e ，d a c o b i 和另外一些数学家又加以发 展，导出了极值的充分条件，w e i e r s t r a s s 又使该理论更加完美。h i l b e r t 对变分法这个 领域做出了若干重要的贡献，他在一个定理中叙述并证明了极小弧的可微性条件，在许 多场合里，上述条件保证了极小值的存在。在h i l b e r t 工作的启示下，物理学家 r i t zw a l t e r 从已修正的d i r i c h l e t 原理出发，发现了一个求偏微分方程边值问题数值解的 极有用的方法，这个方法为今天计算机成为日益成功的数值计算工具，提供了一种可能 性条件。 非线性波动方程解的存在性 变分理论的发展，与力学、物理学等其它自然科学的发展密切相关；相互促进。在 十九世纪早期，p o i s s o n 、s o p h ig e r m a i n 、c a u c h y 等用变分法解决了许多弹性理论问 题。h a m i l t o n 在1 8 2 4 年到1 8 3 2 年建立了光学的数学理论，此后，他从最小作用原理出 发得到了更普遍的原理在其它数学物理分支中，如弹性理论、电磁理论、相对论和电子 理论中，求得了相似的变分原理，不仅推动了变分发法的进一步研究，而且也推动了微 分方程进一步的研究。上世纪3 0 年代l u s t e r n i k s c h n i r e l m a n n 提出了流形上的泛函的临 界点性质和流形的拓扑性质的一般理论，这一理论推广到无穷维并应用到偏微分方程的 解的多重性等许多问题。1 9 7 3 年，由a a m b r o s e t t i 、r h r a b i n o w i t z 等提出了著名的 m o u n t a i n p a s sl e m m a ，由此引出了一系列极小极大原理和环绕形式的临界点原理， 解决了许多既无上界又无下界的泛函的临界点问题。在一定条件下，微分方程边值问题 常常可以转化为变分问题来研究，因此，变分法就成为研究偏微分方程边值问题的一种 基本方法。 本文考虑波动方程 ( 与) u f ，一u 。= a 1 一( 甜+ 1 ) 一】， u = o ， u ( x ，f ) = u ( x ，f + 丁) l a z e r 和m c k e n n a 在文献 4 中指出可以用这种非线性扰动讲l 一( + 1 ) 建立一个桥 梁模型来研究传播波。很多数学家已研究了带有非线性扰动的非线性方程解的多重性， 如t r a n t e l l o ，m i c h e l e t t i 和p i s t o i a 在文献 2 ， 3 ， 5 中运用d e g r e et h e o r y 和c r i t i c a l p o i n t st h e o r y 证明了椭圆方程存在非平凡解。对于一维椭圆方程l a z e r 和m c k e n n a 在文 献 1 运用g o l b a lb i f u r c a t i o n 方法证明了非平凡解的存在性。下面我们就来研究跳跃非线 性波动方程的解的存在性。 在问题( 丑) 中，假设周期t = 兀，则问题( 露) 变为 1 u u u x x = 口【1 一( 甜+ 1 ) 一】，( x ，r ) ( 一詈，罢) r ( 昱) 扰( 詈，f ) = 材( 一詈，r ) ， iu ( x ，f ) = u ( x ，f + 7 c ) 【 本文主要利用m o u n t a i n - p a s sl e m m a 和d u a l p r i n c i p a l 来研究问题( 昱) 的解的存 在性。 足 、， 冗一2冗一2 卜c a) ” ，l 大连理工大学硕士学位论文 在第一部分，我们给出波动方程的算子的特征函数张成的h i l b e r t 空间的一些性质， 并证明在一7 口 5 时，问题( 昱) 只有平凡解。 在第二部分，我们利用变分简化方法，构造了波动方程的对偶方程，通过这个对偶 方程来研究非平凡解的存在性，并证明问题( 昱) 在区间一1 1 a 有收敛子列，则称泛函满足p a l a i s - s m a l e 条件，简称 p 。s 条件。 定义1 4 ( 山路引理) 设e 是实b a n a c h 空间，厂：ejr 1 是c 1 泛函，满足尸s 条件， x o ，而e ，q 是而的开邻域，而仨q 。假定 m a x f ( x o ) ，厂( 而) ) 蠊厂( x ) ， 令 c = i n f m a x f ( h ( x ，r ) ) ， h c - t e o ，1 】 其中由e 中连接而和而的一切道路组成。那么，f 必是f 的临界值，即必存在x e 使 得厂( x ) = 0 ，且( x ) = 六 定义1 5 ( 压缩映象原理) 设e 是b a n a c h 空间，是e 中的闭集，算子a ：e e 在，上是压缩映射，即 a x f ， v x f ， 且存在正数y 0 ， ( 2 3 ) 2 三亓s i n 2 r o t c o s ( 2 刀+ 1 k 班 0 ，n 0 给定”0 ，定义 一 鬈s 投u p ：惩韫盏1 3 ， 九二= 。 九栅：九。 o = - 4 刀一 【2 4 ) 4 n - ，则可以得到k 哼佃且九：- - - o o ，易验证如下给出的特征值均在区向( 一1 9 ，1 7 ) 内 九3 22 11 x 2 l = 一7 九l o = 3 2 n + 1 ( 2 9 ) 故f 1 是日到h 的有界线性算子。 ( 2 ) 由假设p - - a r n n ，且当，2 固定时， 炙；三4 - 以4 n + - l 3 ( 2 1 0 ) 九：= r 7 我们令玎一o o 得到 g = ( 2 - 11 ) k 专一o 。 p 。 因此集合 九。- l z 枷i | p | ) ， 中有有限个元素。 又九。是上的特征值，故对于任意的z ，h 有 1 1 = ( h m d , 。+ ( p 删) ， ( 2 1 2 ) 将算子1 作用在( 2 1 2 ) 两端，则有 f _ ；l u - - 丽1 巾脚+ 而1 k ) ( 2 1 3 ) 在( 2 1 3 ) 两端取范数则可得 i i 三；u l l - c ( 礁+ 礁) ， 其中c 为大于零的常数 即： l i l u l l _ c , i i “= 石 ( 2 1 4 ) 因此厶1 是h 到日的有界线性算子。 大连理工大学硕士学位论文 定理2 2 设一7 口 慨- - u ：0 ( 2 1 8 ) 圭( 九。一九：。) i l 一甜：l i 这就定义了一个带有常数y 1 的日到日的l i p s c h i t z 映射，由映射的对应法则知存在唯 一的材h 是( 2 1 6 ) 的解。又“= 0 是( 2 1 6 ) 的解，从而“= 0 是( 2 1 5 ) 在日中唯一 解。 定理2 3 若一1 1 0 ) 是算子三的特征值和特征值对应的特征函 数。p 是一个给定的常数且满足一1 1 a p 5 。 定义 - 1 3 9 l = l u + b 甜， ( 3 1 ) 部( “) = 1 3 u + 口【1 - ( u + 1 ) _ 】 ( 3 2 ) 则方程( 昱) 可化为 岛u - 9 1 3 ( u ) = 0 ( 3 3 ) 由条件- 1 1 a 0 i 曼和十州| 2 ，d 3 0 d 刮2 一f ( v + p 刮2 ) 叫 2 + 1 3 一圳f lw i l + h 2 - 2 1 1 v + 1 3 一口i l - w l l + l l w l2 因此，在v 日强可导。 w 2 锄+ 矧 一1 2 一 fw 2 d x d t 如 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 定理3 2 若一ll a l b 5 ，p o ，( p n 且h - - 1 有 八刚q = 一j l c p p 出击+ l 击脚郴口) + 吉 卅( p - 口) n 一叩拗 一耳1 叩( p 姗+ 古l q 2 揪+ ( 壶一石1l s c p + ( p 哪脚( 3 1 7 ) 令 i - , = s p a n 咖删i p + k 卜靠 r 、只 ( 3 1 8 ) 马= 矸， ( 3 1 9 ) 则 h = - , 0 马， ( 3 2 0 ) 故存在铂i - i , ，中2 马使 平= q l + ( p 2 ( 3 2 1 ) 对于任意的叩：吼有 i 牌”叩：拗l 去9 i a x a t ， 2 2 ) 因此 八删平一s ( 耳1 ”1 午：嘞) 拗+ 毒( 9 ；+ q ；) 撇 + ( 击一吉) 肚t p i + t p 2 ) 郴叫】- ( ”蚴出衍 j 亡一专) l 9 ；融叫而1 一去) “拗( 3 2 3 ， 一亡一吉) 胍”蚴+ ( p 叫】一酬+ i 午：1 ) 拗， 其中 l p + o i = n l i i l i p + 1 1 一5 i ) ( 3 2 4 ) 由于马是有限维的，1 1 - o 使得 s l 平，( x ，r ) l 三1 ( p 一口) ， ( 3 2 5 ) 今 一1 3 其中 q s - - - 阮弧q 一三( d _ 口) ， ( 3 2 6 ) 。忙文专专q 铆蜘亡一寺“抛 一壶一吉扣( ”蚴郴一训一酬+ 呦拗 淞专- ：南，厶哩一s 亡专水蚴 弋南一言量， s q 0 2 + 半】一帆i 懒i ) d x d t 幻砖一专，c 嘎抛+ s 硅一瓤中；拗27)1 1 一耳一矽p ：+ 譬刊训) 拗一s ( 击一石1 ) 姗 hc专一专，嚏撕坝击一瓤平；五1 一话一辨s 叩：+ 譬】酬) 拗一s 亡一瓤触 c ，2 击一专，乞= 西1 一石1 ( 3 2 8 ) 由5 ：1 3 唰 咧等， 因为1 1 q s - c 2l s ，q ，：+ 三( p _ 口) 】一i 叩， d x d t c l s c 2 c 3 s 上叩；拗 q s - c 2 c 3 s q ) 2 i l 聊船( q 。) c l s c 2 c 3 s 吾 c i s - - c 2 c 3 - i = ( q 一乞岛言) j ， 适当选取岛，使得当s 8 1 时， q 一乞岛言号， 故当0 s r a i n s o ，岛) 时， i ( s 咖= r ，n ( p ) t p d t r 寻订百= 詈s 2 故v = 0 是，( ，) 在h 中的局部严格最小值。 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 定理3 3 看- 11 口 在r ( q ) 中，满足弱收敛于w ，由定理2 1 知石1 是到日 的紧算子，故 舰耳1 = 耳1 w ，r ( q ) - ( 3 - 3 6 ) 从而 而1 时青r + 扣+ 寄卜驰 3 7 ) 即 非线性波动方程解的存在性 舰( + 寄) - ( p 口) 阿w 卜隅1 w 】- ， ( 3 3 8 ) 且 w = ( 1 3 - a ) ；1 w 】+ 一d 1 叫一， ( 3 3 9 ) 令甜= 石1 w ，则u 满足 l u + a u + = 0 ( 3 4 0 ) 由定理2 3 知甜= o 从而w = o ，则在r ( q ) 中。l i m 。w , , = o ，而当0 0 = 1 时，这是个映射。 因此忆0 有界且存在1 ，r ( q ) 使得在r ( q ) 中，1 ，。弱收敛于v ，由厶的定义知在r ( q ) 中 定理3 - 4 若p 进一步满足一百杀+ 百1 写+ 石1 0 取充分大的s 有 邢) = 三卜志( 刚2 + 击+ ( p 叫) + 】2 + 扣+ ( p _ 口) ) _ 】2 拗一sh 蝴一等量1 鼬 将s 从括号里提出来有 地) = 三扣志( 蹰，) 2 + 。壶椰口) ) + 】2 + 扣+ ( p 叫) - 】2 鼬一sh 掀一譬l 1 拗 = 瓤一志n 击+ 譬) + 】2 + 如。+ 孚) 2 拗一sh 出衍一字，蚴 ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 地平一) i s 2n 西1 h ，+ p i _ l - 口) 2 + 。】 + 扣+ e 】) 掀一s h 拗一字1 拗 = 扣志+ 击+ 扣c 古+ 吉， 吖h 抛一孚l l d x d t 当0 0 且0 充分小时，有 c 一志+ 击+ 扣c 击+ 扣， 4 3 ， 故 l i m ，( 叩1 1 ) = - - o o 定理3 5 若一11 a 5 ，方程 r i 一z k = a 1 一( “+ 1 ) 一】， ( 昱) k 力刮( 一， i ”( z ，f ) = u ( x ，f + 7 c ) 【 ( 彬) ( 一三，争足 至少有一个非平凡解。 证明由假设一1 1 a o 使j i 魄0 【，由定理3 4 知当州i o 。时有 e 日b p 使i ( e ) 0 ，又由定理3 3 知1 c 1 ( q ，r ) 满足尸s 条件，由m o u n t a i np a s s t h e o r e m 知该方程至少有一个非平凡解。 大连理工大学硕士学位论文 结论 利用泛函极值的方法来求解偏微分方程的广义解，为许多难以求出准确解的复杂偏 微分方程提供了一种有效的解决办法；这些复杂的方程与工程力学有着密切的联系，力 学和物理学背景深刻。这类问题的解决也展示了一个多学科相互交融的研究领域，更加 展示了数学在实际生产中的巨大作用。我在这篇论文中只研究了偏微分方程中的一个很 小的分支，一类波动方程的广义解。对于这类问题的解决让我学习到了古典的空间拓扑 和几何等方面的知识，熟悉并掌握了变分方法、山路引理、临界点原理等。对于我以后 的继续学习打下了一个良好的基础。现将本文的主要内容总结如下： ( 1 ) 考察方程 ( 罡) 一= a 1 一( 甜+ 1 ) 一】， 畸力叫一， u ( x ，f ) = u ( x ，f + 7 c ) ( x ：d ( 一号，詈) 火 本文主要讨论了口在( - 11 ，5 ) 时，方程解的存在性和多重性。 ( 2 ) 首先介绍了由算子三的特征函数张成的h i l b e r t 空间及其性质；其次利用压缩映射 原理等，研究了此类方程在( 一7 ，5 ) 上解的存在唯一性。 ( 3 ) 接着，我们求出了波动方程的相伴泛函，并证明了泛函满足尸s 条件。 ( 4 ) 最后，本文利用山路引理等，研究了方程( 县) 当一1 1 口 5 时，至少有一个非周期 解。 参考文献 1 jn u a h m e d ，ag e n e r a lm a t h e m a t i c a lf r a m e w o r kf o rs t o c h a s t i ca n a l y s i so fs u s p e n s o n b r i d g e s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，1 2 0 0 0 ，4 5 7 - 4 8 3 2 y - h e n gc h o i ， a na p p l i c a t i o no fav a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o dt oan o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，1 1 7 1 9 9 5 3 ，3 9 0 - 4 1 0 3 z d i n g ，n o n l i n e a rp e r i o d i co s c i l l a t i o n si ns u s p e n s i o nb r i d g es y s t e mu n d e rp e r i o d i c e x t e r n a la e r o d y n a m i cf o r c e s ，n o n l i n e a ra n a l 4 9 2 0 0 2 3 ，1 0 7 9 - 1 0 9 7 4 a c l a z e ra n dp j m c k e e n a ，l a r g e a m p l i t u d ep e r i o d i co s c i l l a t i o n si ns u s p e n s i o nb r i d g e ： s o m en e wc o n n e c t i o nw i t hn o n l i n e a ra n a l y s i s ，s i a mr e v i e w ，3 2 1 9 9 0 ，5 3 7 - 5 7 8 5 a m m i c h e l e t t ia n da p i s t o i a n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rs o m ef o u r t ho r d e rs e m i l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m s ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，3 4 1 9 9 8 j ，5 0 9 - 5 2 3 6 q - h e u n gc h o ia n dz h e n 邸u 0j i n t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fan o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r i t i e sc r o s s i n ge i g e n v a l u e s k a n g w e o n - k y u n g k im a t h j o u r 1 9 9 9 ， 2 ( 7 ) ：1 7 1 - 1 8 1 7 q - h e u n gc h o ia n dz h e n g 。g u 0j i n m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa n ds o u r c et e n n si na n o n li n e a rp a r a b o li ce q u a t i o nu n d e rd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n b u l l k o r e a n m a t h s o c 2 0 0 0 ，4 ( 3 7 ) ：6 9 7 - 4 1 0 8 a 。m 。m i c h e l e t t ia n da p i s t o i a m u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o raf o u r t ho r d e rs 锄i 一1 i n e a r e 1 1 i p t i cp r o b l e m ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，1 9 9 8 ，3 1 ：8 9 5 - 9 0 8 9 p a u lh r a b i n o w i t z m i n i m a xm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n st o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s p u b l i s h e df o rt h ec o n f e r e n c eb o a r do ft h em a t h e m a t i c a l s c i e n c e sb yt h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，c 1 9 8 6 1 0 k u n g - c h i n gc h a n g i n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o r s et h e o r ya n dm u l t i p l es o l u t i o np r o b l e m s b i r k h o u s e r ，c1 9 9 3 1 1 m i c h a e ls t r u w e v a r i a t i o n a lm e t h o d s ：a p p l i c a t i o n st on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s s p r i n g e r - v e r l a g ，c 1 9 9 0 1 2 q n c h o ia n dh n a m an o n l i n e a rb e a me q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r i t yc r o s s i n ga ne i g e n v a l u e j k o r e a nm a t h s o c 1 9 9 7 ，3 4 ：6 0 9 6 2 2 1 3 r o b e r tf b r o w n at o p o l o g i c a li n t r o d u c t i o nt on o n l i n e a ra n a l y s i s b i r k h a e u s e r ：( 1 9 9 3 ) 1 4 a c l a z e r ，e m l a n d e s m a n ，a n dd m e y e r s i to ns a d d l ep o i n tp r o b l e m si nt h ec a l c u l u s o fv a r i a t i o n s ，t h er i t za l g o r i t h m ，a n dm o n o t o n ec o n v e r g e n c e j m a t h a n a l a p p 1 9 7 5 ， 5 2 ：5 9 4 - 6 1 4 1 5 p j m c k e e n a ，r r e d l i n g e ra n dw w a l t e r m u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o ra s y m p t o t i c a l l yh o m o g e n e o u ss e m i l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a n n m a t p u r a 1 9 8 8 。4 ( 1 4 3 ) ：3 4 7 3 5 7 一2 1 非线性波动方程解的存在性 1 1 6 - 1 p j m c k e n n a ，a n dw w a l t e r n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n si nas u s p e n s i o nb r i d g e a r c h i v ef o r r a t i o n a lm e c h a n i c sa n da n a l y s i s 1 9 8 7 ，9 8 ( 2 ) ：1 6 7 1 7 7 1 7 3 q h c h o i 。s c h e na n dt 3 u n g t h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa n dg e o m e t r yo fn o n l i n e a r e 1 1i p t i ce q u a t i o n s t u d i am a t h 1 9 9 6 ，1 2 0 ：2 5 9 2 7 0 1 8 3 q h c h o i 。t j u n ga n dp j m c k e n n a t h es t u d yo fan o n l i n e a rs u s p e n s i o nb r i d g ee q u a t i o n b yav a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o d a p p l i c a b l ea n a l y s i s 1 9 9 3 5 0 ：7 3 9 2 1 9 3 h a m a r m s a d d l ep o i n t sa n dm u l t i p l es o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a t h z 1 9 7 9 。 1 2 7 1 6 6 。 2 0 3 a c a s t r o ，a n da c l a z e r a p p li c a t i o n so fam a x - r a i np r i n c i p l e r e v c o l o m b i a n am a t 1 9 7 9 ， 1 0 ：1 4 1 - 1 4 9 2 1 3 q h c h o i ，a n dt j u n g o np e r i o d i cs o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rs u s p e n s i o n b r i d g ee q u a t i - o n d i f f i n t e q u a t i o n s 1 9 9 1 。4 ：3 8 3 3 9 6 2 2 3 a a m b r o s e t t i ，a n dw w a l t e r n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n si nas u s p e n s i o nb r i d g e a r c h i v ef o r r a t i o n a lm e c h a n i c sa n da n a l y s i s 1 9 8 7 ，9 8 ( 2 ) ：1 6 7 1 7 7 2 3 郭大钧非线性泛函分析济南：山东科技出版社，2 0 0 1 2 4 陆文端微分方程中的变分方法北京：科学出版社，2 0 0 2 2 5 3 p j m c k e n n a t o p o l o g i c a lm e t h o d sf o ra s y m m e t r i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s r e s e a r c h i n s t i t u d eo fm a t h e m a t i c sg o l o b a la n a l y s i sr e s e a r c hc e n t e r ，1 9 9 3 2 6 3 6 a e r t s s e n a ne s t i m a t eo fw h i p p i n gv i b r a t i o ns t r e s sb a s eo ns l a m m i n gd a t a o ff o u rs h i p s i n t s h i p b u i l d i n gp r o g r 1 9 7 9 ，2 6 ：2 3 3 1 2 7 3 h a m a n na n dp h e s s am u l t i p l i c i t yr e s u l tf o rac l a s so fe l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e r o s r o y s o c e d i n b u r g h 1 9 7 9 8 4 ：1 4 5 1 5 1 2 8 3 a c a s t r oa n d 丸c l a z e r c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dt h en u m b e ro fs o l u t i o n so fan o n l i n e a r d i r i c h l e tp r o b l e m a n n m a t p u r aa p p l 1 9 7 9 ，7 0 ：1 7 1 2 0 0 2 9 3 j g l o v e r ，a c l a z e ra n dp j m c k e n n a e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fl a r g e s c a l en o n l i n e a r o s c i l l a t i o n si ns u s p e n s i o nb r i d g e s z a n g e w m a t h p h y s 。1 9 8 9 ：1 7 1 2 0 0 3 0 3 p j m