（系统工程专业论文）自适应逆控制方法及其应用研究.pdf

摘要 摘要 近年来，作为一种新颖的控制方法，由美国学者w i d r o w 教授提出的 自适应逆控制方法越来越引起人们的关注，经过十多年的发展，已经取得 了很多成果。然而，目前针对自适应逆控制的研究，还主要以线性系统为 主，针对非线性系统的研究成果还不多见，迫切需要研究者对非线性系统 的自适应逆控制加以研究。 当前神经网络，模糊原理和神经模糊融合理论系统等的迅猛发展， 给各种非线性系统的研究提供了有力的工具，本课题主要研究利用这些现 代数学工具实现非线性自适应逆控制的问题，具体工作如下： 首先，论文研究了基于t - s 模糊神经网络的自适应逆控制问题，通过 改进模糊基函数，简化了神经网络的学习过程；利用李雅普诺夫稳定性定 理得到了网络学习算法的收敛性条件；通过简单的代数方法，证明了所设 计的自适应逆控制结构的正确性。 其次，论文研究了利用支持向量机进行系统建模、逆建模，进而实现 逆控制的方法。基于线性自适应逆控制的s 滤波结构，构建了能够实现非 线性控制的控制结构。 再次，论文研究了存在扰动情况下的自适应逆控制问题。通过改进建 模结构，使得系统建模对扰动与系统输入输出的相关性不敏感，系统逆建 模对于系统模型的精确性不敏感。通过改进传统自适应扰动消除器，使其 具备消除抖动建模噪声的能力。 最后，论文研究了自适应逆控制在逆变电源控制中的应用，并与传统 的p i d 控制方案进行了对比，表明自适应逆控制能够获得更小的总谐波畸 变率。 关键词自适应逆控制；非线性；t - s 模糊神经网络：支持向量机；自适应 扰动消除器；逆变电源 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t r e c e n t l ya san o v e lc o n t r o lm e t h o d ，a d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o l ，w h i c hw a s f i r s tp r e s e n t e db yp r o f e s s o rw i d r o w , h a sa r o s et h ei n t e r e s to ft h er e s e a r c h e r s ， a n di nt h ep a s td e c a d e ，m a n yr e s u h sh a v eb e e na c h i e v e di nt h e s t u d yo f a d a p t i v ei n v e r s ec o n t r 0 1 h o w e v e r u pt on o w , t h es t u d yo fa d a p t i v ei n v e r s e c o n t r o lf o c u s e so nl i n e a rs y s t e m s r e l a t i v e l y , s t u d ya n dr e s u k so fn o n l i n e a r s y s t e m sa r er a r e t h u s ，i t sn e c e s s a r yf o rt h er e s e a r c h e r st od os o m ef u r t h e r w o r ki nt h e s t u d yo f n o n l i n e a ra d a p t i v ei n v e r s ec o n t r 0 1 t h ea d v a n c e si nn e u r a ln e t w o r k sa n d f u z z ys y s t e m sp r o v i d e t h e r e s e a r c h e r sw i t hp o w e r f u lt o o l sf o rn o n l i n e a rs y s t e m s t h i st h e s i sa i m st o a c h i e v en o n l i n e a r a d a p t i v e i n v e r s e c o n t r o lw i t ht h e s et o o l s w ed ot h e f o l l o w i n g w o r k ： f i r s to fa l l ，t h e p a p e rd i s c u s s e sh o wt o c o n s t r u c ta na d a p t i v ei n v e r s e c o n t r o ls y s t e m u s i n gt - sf u z z yn e t w o r k s a n e w f u z z y b a s i sf u n c t i o ni su s e dt o r e p l a c et r a d i t i o n a lg a u s s i a nf u n c t i o n , w h i c hr e d u c e st h ec o m p l e x i t yo ft h e l e a r n i n ga l g o r i t h mg r e a t t y m e a n w h i l e ，t h ec o n v e r g e n c e c o n d i t i o no ft h e a l g o r i t h mi sd e v e l o p e du s i n gt h el y a p u n o v s t a b l et h e o r ya n di ta l s op r o v e st h e c o r r e c t n e s so ft h ec o n t r o ls t r u c t u r e p r e s e n t e dt h r o u g has i m p l ea l g e b r a i c m e t h o d s e c o n d l y ，t h ep a p e rs t u d i e st h em o d e l i n ga n di n v e r s em o d e l i n g ，u s i n g s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e s b a s e do nt h es - f i l t e r e d s t r u c t u r e ，a c o n t r o l a r c h i t e c t u r ei sd e v e l o p e d , w h i c hc a nd e a lw i t hn o n l i n e a r i t i e s t h i r d l y , t h ep a p e r s t u d i e st h ea d a p t i v ec o n t r o lo f s y s t e m sw i t h d i s t u r b a n c e i td i s c u s s e sh o wt om o d e lw h e nt h ed i s t u r b a n c ei sc o h e r e n tt ot h ei n p u ta n d o u t p u to f t h ep l a n t ，a n da n a m e l i o r a t e di n v e r s em o d e l i n gs t r u c t u r ei sp r e s e n t e d m e a n w h i l e ，a na d a p t i v ei n v e r s ed i s t u r b a n c ec a n c e l e rc a p a b l eo fc a n c e l i n g d i t h e r i n gn o i s e i sa l s op r e s e n t e d a b s t r a c t f i n a l l y t h ep a p e ra p p l i e sa d a p t i v ei n v e r s e c o n t r o lt o a ni n v e r t e ra n d c o m p a r e s i t s p e r f o r m a n c ew i t ht h a t o fo t h e rc o n t r o lm e t h o d s s i m u l a t i o n r e s u l t ss h o wt h a ta d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o lc a na c h i e v es m a l l e rt o t a lh a r m o n i c d i s t o r t i o n k e y w o r d sa d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o l ；n o n l i n e a r i t y ；t - sf u z z yn e u r a ln e t w o r k s s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e s ；a d a p t i v ed i s t u r b a n c ec a n c e l l e r ；i n v e r t e r i i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的及意义 自适应逆控制【l 捌的基本思想是用一个来自控制器的信号去驱动对象， 而控制器的传递函数就是被控对象的传递函数的逆。目的是要使得对象的 输出跟随系统指令输入。与传统控制方法相比，自适应逆控制具有极大的 优越性。首先，传统的控制方法将对象扰动( 包括对象噪声) 和对象输出混 合在一起反馈到系统输入端，这样与期望响应比较后的误差包括两个部分， 即对象扰动( 包括对象噪声) 和对象输出与期望值的偏差，在设计控制器的 过程中，为了要得到好的动态响应，需要使得对象输出与期望值的偏差达 到最小，另一方面，又希望能够最大限度地消除对象扰动及噪声( 使对象扰 动最小) ，这就产生了矛盾，一般只能采取折衷方案。而在自适应逆控制中， 对象动态响应的控制和扰动的消除被分成两个独立的自适应过程，互不影 响，可分别尽可能提高系统的动态性能和最大程度地抑制扰动。其次，自 适应逆控制中的反馈属于局部反馈，在自适应迭代过程中只用于改变模型 的参数，并不直接控制主回路中的信号流动，只要自适应过程是稳定收敛 的，则整个控制系统是稳定的，从而避免了因反馈而可能引起的不稳定问 题。再者，因为对象参数变化总是要比通过它的信号产生的变化慢的多， 因此在一个自适应逆控制系统中的反馈动作就可以相对地比较慢，仅仅需 要与对象参数的变化保持一致就够了，其结果就是：用自适应逆控制，系 统的稳定和调节在许多情况下要比传统的反馈控制在整个控制信号带宽内 实施反馈容易实现。自适应逆控制的优越性还表现在对被控对象只需要较 少的先验知识，通过一定的自适应算法，自适应逆控制可以“学习”和“掌 握”对象，进而给出其逆模型，而传统的控制方法通常需要预先知道对象 的精确模型。因此，自适应逆控制与传统反馈控制在原理上截然不同。 作为一种新的控制器和调节器设计方法，由于其表现出传统控制所不 具备的特性，自适应逆控制自提出之日起就引起了很多学者的关注和研究， 经过十几年的发展，无论是在理论研究，还是在实际应用上，都已经取得 燕山大学工学硕士学位论文 了一定成果，已成为现代控制理论向智能控制发展的一个全新的活跃分支。 但是到目前为止，关于自适应逆控制的研究还主要是针对线性系统的，虽 然也有一些非线性自适应逆控制方法，但总的来说，关于非线性系统的自 适应逆控制的研究成果还不多，研究方法还比较单一，非线性自适应逆控 制作为一种理论体系也还远末达到完善和成熟的地步。 当前神经网络 3 1 ，模糊原理【4 】和神经一模糊融合理论1 5 , 6 】等的迅猛发 展，给各种非线性系统的辨识和控制提供了有力的工具。理论上，如何将 线性自适应逆控制方法更好地推广到非线性自适应逆控制系统；如何开辟 非线性自适应逆控制的新途径、新思路、新方法；如何与其他学科交叉取 长补短，使其进一步完善简化，从而实用性更强；如何完善非线性正建模 和逆建模的理论分析等，都已经成为需要进一步探讨的课题。 工程实际上，自适应逆控制在以下诸方面都显示出了巨大的应用前景， 如信道均衡m 1 和远距离电话线路回波抵消l g a o 的通信问题、干扰消除 i i , 1 2 】、 语音分析与合成 1 3 , 1 4 以及许多其他的信号处理问题等。这些被控对象通常 本质上是非线性的，利用线性自适应逆控制方法常常达不到所需得控制效 果。这就要求我们用更能描述非线性本质的数学工具来加以研究。 由此可见，非线性系统的自适应逆控制研究无论是在理论上还是在工 程实际中都具有十分重要的意义，因而值得我们对此作深入的研究。 1 2 自适应逆控制概述 1 2 1 自适应逆控制基本原理 如图i - i 所示为自适应逆控制的方框图 1 】：用非线性对象传递函数的 逆做为控制器去驱动对象，因为对象是未知的，这就要先辨识出对象的逆， 并用某一种自适应算法调节控制器参数使得对象输出与指令输入误差方差 最小。这样非线性对象输出就跟随上指令输入。图1 1 可看出，只有控制 器是对象传递函数的逆时，上臂传递函数才是1 ，与指令输入之差才是最 小，理想情况下是零。我们注意到在系统动态特性的控制原理上，自适应 逆控制与传统的控制是截然不同的，反馈仅在自适应过程本身采用，但并 不控制系统中的信号流动，从而能够避免由于反馈而引起的不稳定问题。 2 第1 章绪论 图1 - 1自适应逆控制结构图 f i g 1 - 1 s t r u c t eo f a d a p t i v ei n v e r s ec o n t t o l 1 2 2 模型参考自适应逆控制 有时要求对象跟踪的不是指令输入而是参考模型输出。如图1 - 2 所示， 这时称为模型参考自适应逆控制系统。参考模型的动态响应，应选择得与 对象期望的动态响应一致。当误差趋向于零时，对象便跟随上参考模型， 模型的性能指标便是对象的性能指标。这里用的性能指标是模型和对象动 态响应误差方差最小。这时上臂控制器与对象串联的传递函数近似等于参 考模型的传递函数，理想情况下二者相等。 图1 - 2 模型参考自适应逆控制结构图 f i g 1 - 2 s t r u c t u r eo f m o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o l 1 2 - 3自适应逆控制中消除对象扰动和传惑器噪声环节 图1 3 所示为对象输出存在着扰动和测量噪声的情况。为使对象输出 3 燕山大学工学硕士学位论文 或动态响应中不存在噪声和扰动，提高对象输出的动态品质，就要想办法 将其去掉。图1 3 给出了消除办法：即将辨识出的对象模型与对象并联， 在同一个对象输入作用下比较其输出，则两者的偏差就近似等于对象扰动 和测量噪声之和，在辨识的模型是理想的情况下，二者之差便完全等于对 象扰动和测量噪声之和。如果对象输出到对象输入没有反馈，则对象扰动 和噪声便不受任何抑制地混在对象的输出响应中，使对象动态响应变坏， 为了消除这个扰动和噪声，如果在对象输入端加一个与对象本身的扰动和 测量噪声大小相等方向相反的信号贝e j - - 耆便相互抵消，这就完成了消除扰 动和噪声，这个信号最好的取法就是取自对象和它的辨识模型之差。如果 用二者之差直接反馈，必须通过对象后才能抑制扰动和噪声，这样通过了 对象后这个信号会有所改变，如果在其反馈回路中串入一个对象逆模型时， 这时扰动信号整个通路串联的反一正对象逆模型和对象后近似于不变， 在逆模型是理想情况下完全不变，即这个串联回路具有增益1 ，就可将对 象扰动和测量噪声基本消除掉或完全消除掉。可以证明：对象传感器噪声 的注入点b 到对象输出点c 的传递函数接近于零，这就说明对象扰动和测 量噪声之和基本上被消除了。还可证明：此时对象输出的动态响应基本上 不变阱】， 对象扰动传感器噪声 图1 - 3 消除对象噪声和扰动的环节 f i g 1 - 3 s t r u c t u r eo f a d a p t i v ei n v e r s ed i s t u r b a n c ec a n c e l l e r 4 第1 章绪论 1 2 4 具有参考模型和消除加性噪声的自适应逆控制系统 如果将图1 2 和图1 - 3 两者结合起来，便得到个具有实际应用价值 的自适应逆控制系统如图1 - 4 所示。其中所需要的对象模型和逆模型需要 辨识才能得到。 图i - 4 具有对象扰动消除的模型参考自适应逆控制系统 f i g 1 - 4 s t r u c t u r eo f m o d e lr e f e r e n c ea d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o l w i t hd i s t a b a n e ec a n c e l l e r 与传统控制方法不同，自适应逆控制系统中对象动态响应控制和消除 扰动控制是分别进行的，互不影响，可分别尽可能提高系统的动态性能和 抑制扰动，达到使扰动最小的目的。用这种方式处理问题，各个自适应子 系统相对比较简单，容易分析和优化。 1 3 课题研究的历史和现状 1 3 1 线性自适应逆控制的研究进展 自适应逆控制的基本思想来源于自适应信号处理，最早期的有关工作 是在w i d r o w 关于血压调节【1 5 】的一篇文章中提出的，稍后的工作见于在 燕山大学工学硕士学位论文 a s i l o m a r 会议上报道的几篇文章i l 饥1 7 os h m u e ls c h a f f e r 在其博士论文中研 究了模型参考自适应逆控制 1 ”。同时w i d r o w 和s t e a r n s 也台写过这方面 的专门著作u ”。而包括自适应对象扰动消除在内的有关自适应逆控制方面 的第一篇文章是由w i d r o w 和w a l a e h 于1 9 8 3 年在旧金山市举行的t h ef i r s t i f a c w o r k s h o p i nc o n t r o la n d s i g n a lp r o c e s s i n g 会议上发表的【2 0 】。其后，应 a s t r s m 教授的邀请，w i d r o w 于1 9 8 6 年在瑞典的u n i v e r s i t yo f l u n d 举行的 t h es e c o n di f a cw o r k s h o po na d a p t i v es y s t e m si nc o n t r o la n ds i g n a l p r o c e s s i n g 会议上作了给“自适应逆控制”命名的主导性发言。标志着自 适应逆控制思想的正式确立。 经过近2 0 年的研究，1 9 9 6 年，w 试r o w 和w a l a c h 出版了合著的关于 自适应逆控制方面的第一本专著“a d a p t i v ei n v e r s ec o n t r o l ”，详尽地讨论 了自适应建模、逆建模、逆控制、扰动控制，以及多输入多输出系统的逆 控制等问题。至此，线性自适应逆控制的体系结构已走向成熟。 另一方面，关于自适应逆控制的一个研究热点集中在l m s 自适应滤 波的性能研究上。迄今为止，人们对l m s 算法做了大量的研究，提出了 多种形式的改进算法来提高算法的性能。例如，通过改变步长的方法，提 高自适应算法的性能，可以建立步长因子与误差信号之间的一种新的非线 性关系【2 l 】，或是长度短的滤波器选取较大的步长，加快l m s 算法的收敛速 度【2 2 1 ，还可以对自适应滤波器的每个参数采用不同的步长，分别进行调整， 从而提高l m s 算法在非稳定环境下的性能团】。文献 2 4 】提出另一种优化 l m s 算法的方法，即修正权系数来改善算法的均方误差收敛性能；文献 2 5 1 提出轮流受限自正交分块频域批处理l m s 算法，得到自正交轮流受限l m s 算法，这是目前在收敛速度、失调性能、计算复杂度、跟踪性能和延时等 方面的一种拆哀算法。线性系统的自适应逆控制一般采用有限冲激响应 ( f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ，简称f i r ) 滤波器作为控制器，这样就存在截断 误差问题，逆控制器采用改进的l m s 算法，可使其对截断误差和对以上 的误差都不敏感。近来关于x - 滤波、8 滤波和u 一滤波l m s 算法的研究又 有新的进展。文献 2 6 分析了具有非线性因素的自适应滤波器的输出对x 滤波l m s 算法的影响，表明微小的非线性因素会对自适应滤波器产生很 6 第1 章绪论 大的影响。文献 2 7 】提出的控制器采用自适应陷波器x 滤波l m s 算法来 分析主动噪声控制系统的稳定性，改善系统的鲁棒性和算法的收敛性。此 外，文献 2 8 将u 滤波l m s 算法运用到自适应逆控制，采用基于u 滤波 l m s 算法的无限冲激响应( i n f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e ，简称i i r ) 控制器，大 大减小计算量，降低了权值的失调。 1 3 2 非线性自适应逆控制的研究进展 非线性系统与线性系统之间存在很大的差别，主要原因是非线性系统 不具备线性单输入单输出系统( s i n g l ei n p u ts i n g l eo u t p u t ，简称s i s o ) 系统 的补偿特性。此外，非线性系统通常不是一一对应的函数，从严格意义上 讲，非线性系统不存在对象的逆。为解决这个问题，可以认为非线性系统 具有“本地逆”，它的有效性取决于一个有界的信号空间，确定适当的边界 条件用于训练逆控制器。线性自适应滤波器常用来控制线性对象，雨对非 线性对象的控制，可以通过非线性滤波器对指令输入信号进行滤波，并把 这个滤波后的指令输入施加于对象来完成，这个思想和控制线性对象是相 同的。 非线性系统的逆控制器可以采用自适应v o l t e r r a 滤波器或递归型神经 网络来实现。自适应v o l t e r r a 滤波器的权系数是v o l t e r r a 级数的系数，当输 入信号施加于抽头延迟线进行加权，平方再加权，并把这些加权信号，抽 头信号的高次方的线性组合以及各个次方交叉乘积的线性组合全部加起来 作为输出，利用l m s 算法进行自适应，从而得到全局最小的滤波器系数。 利用v o l t e r r a 泛函级数建摸是非线性动态系统建模的主要方法之一，而利 用v o l t e r r a 级数模型进行逆控制则是一个新的研究领域。一个非线性系统 如果有逆，这个逆一般是由无限阶v o l t e r r a 级数构成的，而且其收敛性和 稳定性难以确定，这就给基于非线性逆模型的控制器设计带来了很大的困 难。最近，文献【2 9 利用小增益定理的一种局部形式，成功地证明了由反 馈型v o l t e r r a 级数构成非线性系统逆的输入输出稳定性，避免了无穷 v o l t e r r a 级数的收敛问题，为基于v o l t e r r a 级数模型的非线性系统自适应控 制器奠定了理论基础。文献【3 0 】深入研究了用有限阶v o l t e r r a 级数模型表示 7 燕山大学工学硕士学位论文 的s i s o 非线性系统的自适应控制问题，证明了控制算法的局部收敛性质。 w i d r o w 和p l e t t 对采用递归型神经网络的非线性自适应逆控制做了详细的 分析 3 h ，并对基于线性和非线性自适应滤波器的自适应逆控制进行了深入 论述和比较【3 ”。文献【3 3 】进一步研究了带有外部干扰的非线性不确定系统 的自适应逆控制问题，基于l y a p u l o v 理论，证明了自适应逆控制算法的最 优性和鲁棒性。文献 3 4 】研究了在自适应逆控制中适合使用神经网络的环 境，讨论了影响控制器权值更新速度的变量，选择有效的神经元拓扑结 构和训练算法对控制器的离线权值更新非常重要。h a r l a n d 和l e e 等分析了 动力系统基于神经元自适应逆控制的无模型结构，非线性对象的收敛速度 和工作性能都得到了较好的结果，对于开环不稳定系统，一定要先稳定对 象，而对于很复杂的未知系统，采用离线训练以简化计算【3 5 】：他们进一步 将该理论应用于非线性动力系统中，同样得到令人满意的结论 3 6 , 3 7 1 ，但是 为了提高动态响应性能而增加无模型结构的阶数，会增加隐含层的神经元 个数，并且会降低训练学习的速度。文献 3 8 】给出了采用模糊神经网络的 混合非线性自适应逆控制方法，有效消除了真接逆控制的静态误差以及采 用p i d 控制产生的过平衡现象，并且在放热系统中得到验证，获得较好的 收敛速度和鲁棒性。g r e g o r y 和h a n s 改进了传统的实时递推学习方法，提 出了一种基于动态解耦增广k a l m a n 滤波器的算法【3 9 】，得到了快速的非线 性自适应逆控制。党映农和韩祟昭提出一种基于v o l t e r r a 基函数网络的非 线性系统自适应控制方法，构造了改进型v o l t e r r a 基函数网络进行直接自 适应逆控制，在理论上证明了闭环系统的跟踪误差一致最终有界 4 0 , 4 1 1 。文 献【4 2 】将神经网络引入自适应逆控制，应用于火电厂的热工系统，可有效 克服扰动，适应环境和参数的变化，从而获得很好的控制效果。文献 4 3 1 证明了神经网络串联b p 算法的三步式自适应逆控制方法的可行性，应用 于电弧炉电极升降自适应逆控制，较好解决了复杂系统的逆建模问题，加 快了逆建模的训练时间，增强了逆模控制的在线学习能力。 1 4 论文的主要工作及结构安排 本文主要针对非线性对象讨论了自适应逆控制理论的研究与进展，研 8 第1 章绪论 究用非线性自适应信号处理的办法来处理非线性对象的控制问题。同时对 自适应逆控制的实际应用问题也做了一些探讨。其具体内容如下： 第1 章介绍了课题研究的背景及意义，简要介绍了自适应逆控制的基 本原理，回顾了自适应信号处理研究的历史，综述了自适应逆控制的研究 概况。 第2 章介绍了些基础知识。给出了一些基本定义以及非线性自适应 逆控制的可行性和存在性判定定理，介绍了自适应逆控制的5 算法结构。 第3 章研究了基于t - s 模糊神经网络结构的自适应逆控制问题。采用 c h e b y s h e v 基函数代替高斯函数，构建了一种新的模糊神经网络；通过李 亚普诺夫稳定定理，推导出了网络学习的收敛性条件。与传统模糊神经网 络相比，简化了网络的学习算法及学习过程，在这一章中还以一种简单的 代数方法证明了所提出的自适应逆控制结构的正确性。 第4 章研究了非线性自适应逆控制的支持向量机方法。讨论了最小二 乘支持向量机的结构，学习算法。给出了利用支持向量机进行对象建模和 逆建模的结构，这种结构不改变滤波信号的运算次序。 第5 章研究了存在扰动情况下的自适应逆控制问题。考虑了扰动与系 统输入输出统计相关和统计不相关两种情况下的建模问题。以及扰动存在 情况下的逆建模问题。提出了一种改进扰动消除器，它能够有效消除抖动 噪声。 第6 章将自适应逆控制用于逆变电源控制。讨论了逆变电源的控制原 理，并与其他控制方法作了对比，表明利用自适应逆控制能够得到更小的 总谐波畸变率。 9 燕山大学工学硕士学位论文 第2 章非线性系统逆的存在性及s 滤波结构 在本章中，我们将给出非线性系统的逆的存在性判定定理，逆的存在 一般性条件以及自适应逆控制的s 滤波结构。个系统只有满足可逆性， 对其实行逆控制才能成为可能。, f f 滤波结构则是实现非线性自适应逆控制 的基本结构。 2 1 非线性系统逆的存在性 为讨论方便，假定未知单输入单输出离散非线性系统可用如下，z 维状 态方程表示： 工等_ 黧七) ，娴) ) ，( 0 , 0 ) = o ( 2 - 1 ) y ( 七) = ( x ( 七) ) 假设式( 2 - 1 ) 所代表的系统有界输入有界输出( b o r d e r l i n ei n p u tb o r d e r l i n e o u t p u t ，简称b i b o ) 稳定，即存在常数c 1 和c ：，对于输入“瓯， s 。= 伽：k ( 足) 1 c 。，v k k o ) ，系统输出y ( 七) 满足i _ y ( 七m c 2 ，那么如果该系 统在平衡点x = 0 附近的线性化系统是可观测的，则式( 2 1 ) 所代表的系统存 在局部的非线性自回归滑动平均模型( n o n l i n e a ra u t o - r e g r e s s i v ea v e r a g e ，简 称n a r m a ) ，可表示为： y ( k + d ) = f ( y t ，u k )( 2 - 2 ) 式中 y 。= 【j ，( j i ) y ( k 一1 ) y ( k n + 1 ) 】1 “t = 【u ( k ) u ( k 一1 ) u ( k 一聊+ 1 ) 1 d 是系统延迟，能够确保系统逆的存在，f 是非线性函数，m 和n 分别是 输入时间序列和输出时间序列的阶次，m ，陟( j 】 ) ，y ( k 一片+ 1 ) ；“2 ( 七) ，u ( k 1 ) ，- 一，u ( k m + 1 ) j 而当“1 ( 七) n 时，有 。s ：。慨卜阪忆 m 2 1 岛+ 一+ k 一1 ：艺。( p n - 1 n - i l 刚i 。) s ( 2 1 1 ) “；1 2 1k - l 职4 ：( 。) 4 1 4 第2 章非线性系统逆的存在性及滤波结构 n - 1n 。巴。( 圳i 。) ”= ”。12 1 f 2 1 2 ) n - i 、 巴。m ” m = l 令a ，= 。，a 。= ：厶m ”，显然，蚓i 。sa 。，下面证明： m ；l 一。x ” o ) 收敛。 j ，t 1 由于 彳。：i i o ，u = 1 n 4 。m m n - 1 钏：a 。m ”+ l l o ，屺以吖”) = ( 2 - 1 3 ) m = 1 i 。a a i + ( i 0 ，忆m ) “) 从而 。l i r aa 彳 。+ l = l 蚓i r a 虬0 ( 1 伸t 胚2 l 。 ( 2 “) 故a 。x “o 0 ) 收敛。由i 。a 。知，蚓l 。x ”也收敛。 n 1n = l 2 2 2 多输入多输出非线性系统可逆的一般条件 引理2 4 ：假设n p 是因果的，f d b i b o 稳定的非线性算予，且 a1 a ) 即m ) 为行满秩的常数阵，多。( s ) = j 妥b ( s ) ，其中4 ( s ) 是置( s ) 元素 a t s ) 分母的最小公倍式，b 0 ) 是多项式矩阵，且它的特征多项式的根具有负实 部，则对于任意给定的渐近稳定的线性系统g 1 ( 5 ) 量月，存在一个因果的， f d b i b o 稳定的非线性算子q ，记x 三脚。q ，使得足= g 。+ k 。，即n p m = n + l 是可n 阶线性化的。q 称为p 的r l 阶线性化算子。 1 5 燕山大学工学硕士学位论文 证明：由于a ( o 。) 为行满秩，令 1 觚) 2 志b i ( 5 ) 占z ( 5 ) = c 1 ( 5 ) c 2 ( 5 ) 】 不妨假设c 1 ( o o ) 为非奇异矩阵，由于通过列交换，可以使其为非奇异矩阵， 故以上假设不失一般性，则c 。( s ) 可逆，且c i l ( j ) 正则。由于 1 c 刊( 5 ) 占i 1 ( 加邵面玄丽耐( b l ( 劝 根据假设知，b ( s ) 的特征多项式的根具有负实部，从 面d e t ( b 。( s ) ) 的特征根 具有负实部，故c i l ( s ) 是渐近稳定的。 假设n p 的非线性传递函数矩阵为 p 。( s ，s ：，s 。) ) ，待求的非线性算 子q 的非线性传递函数矩阵为 毒。( 5 ，s ：，s n ) ) 。由于 毛( s ) = a ( s ) 圣( j ) | 2 ( s 1 ，5 2 ) = p l ( q + s 2 ) 香2 ( + s 2 ) + 声2 ( j 。，j 2 ) 辱1 ( 工i ) o 或0 2 ) 。( ，) = 主p ，( s 。+ s ：+ + s ”j 小。+ ( 2 - 1 5 ) m * lk t 十+ k = “ + s b + 屯，5 h 一+ l + + j ) 氓( 置，s t ) o o 札( j + l ，j 。) 】 1 , 七，i = 1 ，肌为自然数，令t ( s ) = g 1 ( s ) ，即 川c ：露； = g 】 j q 1 l ( j ) = c i l ( s ) 【g 1 ( s ) 一a 2 ( j ) q 1 2 ( j ) 】 通过对g 沁) ，q 1 ：( s ) 的选取，可使q l ( s ) 皇 美：箸习为正则矩阵，且毒z ( s ) 的逆 存在。 由_ j c ：( 毛，5 ：) = 0 ，即 声1 ( s l + j 2 ) 毒2 ( s l ，j 2 ) + p 2 ( 5 l ，3 2 ) ( 辱l ( 墨) o 磊( j 2 ) ) = 0( 2 - 1 7 ) 从而 第2 章非线性系统逆的存在性及8 滤波结构 蝴戡期= 一p l ( s l ，s 2 ) ( 。( ) 玩( 5 2 ) ) 由于g ：( j ，s ：) 为任取的相应维数的矩阵，故当o ：( j 。，s ：) 取为正则矩阵时， 则9 ：c s ：，为正则矩阵，从而q ：e s ：，垒 美：高：羹汨为正则矩阵，同理， 由 c ( s 1 ，一，j 。) = 0( 2 1 9 ) 可得 q 。( s l ，“) = 一c 1 ( 暑) 丸( 曷+ 十屯， & t + 1 + + s 与+ 屯一，s 一一+ i + + s ”) ( 2 - 2 0 ) ( 鲅( s l ，屯) o 圆g 。( 矗一k 。，s 。) ) + c 2 ( ) 辱。：( s l ，s 。) 】 故当包：( q ，j 。) 取为正则时，则幺。( 5 l ，s n ) 也为正则矩阵，从而 香。c 吣 ，= 萋：瓮i ：习为正则矩阵。由于c c s ，正则，且渐近稳定 的，从而玩o ) 是因果的渐近稳定的，由递推算法知，q 是因果关系，且 f d b i b o 是稳定的。从而，q ：= 级是因果的，f d b i b o 稳定的非线性 算子。即为n p 的疗阶线性化算子。同时可证q ：= 已是f d b i b o 稳定的 非线性算子，即证慨忆矿o o ) 是收敛的。在实际应用中通常取 q 垒绒，即n p 的n 阶线性化算子。 引理2 s ：如果n p 是因果的，f d b i b o 稳定的多输入多输出非线性系 1 7 燕山大学工学硕士学位论文 统，假设p 1 ( s ) 的元素磊( s ) 的分母与分子的次数之差为a 口，i = 1 ，m ， = 1 ，r t ，记a ，= i n i n a ) ，i = 1 ，m ，有 月( s ) = 占0 10 0s “2 0 o 000s 8 q ( s ) = r ( s ) b 。( s ) 若q ( o o ) 为行满秩的，且p 。( s ，s 。) 的第衍亍的每个元素关于每个变量的分 母与分子之差不小于a ，则存在渐近稳定的线性算子g 为因果的，f d b i b o 稳定的多输入多输出非线性系统f ，懂g n p = g 。f ，且z ) 为行满秩的。 证明：令 g ( 5 ) = 记作 工( 3 l ，s n ) = ( s 1 + + s 。+ 卢1 ) “ 0 l 0 p ( s 1 ，s n ) 1 0 + p 1 ) ” o o o 1 + 卢2 ) 。 o v j 9 ， o ，j = 1 ，m ， o0 ( s l + ，一+ s 。+ 卢2 ) “0 ； i 0 - - - ( s 1 + + s 。+ 卢。) “。 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 由题设知，五( j 1 ，一，) 仍然是正则的。记，= 只，根据脚的假设推知， n 2 1 f 是因果的，f d b i b o 稳定的非线性算子，由于 l s ；一 第2 章非线性系统逆的存在性及s 滤波结构 f l ( s ) = o + 卢1 ) “ o 0 0 + 卢2 ) 吒 o o 00 ( s + 卢。) “ 则石( 。) = q ( m ) 为行满秩的，且由串联系统的非线性传递函数矩阵的递推 公式知，尸= g o f 。证毕。 引理2 6 ：假设非线性系统q 兰兰口。 f d b i b o 稳定的，磊( 5 ) 是最小 相位的，且磊( o 。) 是非奇异矩阵， n 记m 垒怕，k ，若m 俐。兰1 ，则满足 。l r 。q = i 的非线性系统r 是f d b i b o 稳定的。其中j 为单位算子，r 称为q 的后逆。 证明：类似于引理2 ，5 的证明。 2 3自适应逆控制的s 滤波结构 图2 1 称为自适应逆控制的e 滤波结构，理想情况下，利用复制的e ( ：) 与理想的c ( z