（安全技术及工程专业论文）多变量飞行控制系统稳定裕度的研究.pdf

d 蠛必l ；橱oi 獭p 辩v e da l g 艇i t h m s 五a v eb c e 懿l n 妇d 鞋c e di nm d 科t 0d e 涨黯e t h ec o n s e r v a 虹o nw b i 商m es i n g u l a rv a l u e0 fr e t i l md i 嚣b f e n c em a l r i x m e 蝴娜；l h 鸯汹a 董娃y 馥丑d 魄ev 砖i d i t yo f 馕e 汹p r o v 秘甜剃幽mh a s b e e 藏铡瓣。 髓e 黼f d 躺穗i 黼粕e sr e s 喇髓删氇e 耐a t i 蝴b e t w e 龃s t a b i l i t y 黼a 啦l 嚣醛s y s l 嘲q 赫馘髓e 擞a 妇m 鑫氐畦鹅l a 醢。拄b e 柳ns l 曲i 黼 m a 蟛拄曩盎ds y s 协趱祥娃姆h a sb e 始如d 鞋e 列；妇栅yh 箍sb e e np o i 珏埒蠖爵n l ， 攮a 耄蕊em a y 轱s e 糖ei 撤p 蝌稚m e t b o do f 濂g b l 矗fv a i n eo f 础戳n d l l 茧e e n c c 瓣a 熏蛀xw 娃莪p 摊嘲i 雌藤囊y 妇嗽毫oe 鲢溉l 艇嚣氆es l a b i l 魏y 臻a 秘 0 fi n t l l t i v a r 主a b l e8 y s l e l 珏i 牲e n g 幻e e 渤彗；a 矬d 攮ec l 雕r e s p o 魏燃鞋gf e s 毽h sc 鑫藕 p 黝v l d e 勤 臻e l 黼c e 联锻e 躺l 耋 v a 蠡痨l e 蝴黝ls y s 妻e 礅d e s 秘 融y w o r d s lm u l l i v 删a b l e ；f l j 曲lc 。n t f o ls y s l e m ；s t a b i l i t ym 耀菩n ；趟l 啪 d i 蛭毫r e n 锵糖矧x ；姆s t e m 唾鞋鑫l i t y - w 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 稳定性问题是自动控制系统设计中的一个基本问题。事实上，自 动控制理论的发展就是从m a x w e l l 对于w j t t 离心调速器的稳定性分析 开始的。在设计一个自动控制系统时，总是首先要保证该系统具有某 种意义下的稳定性，然后才能考虑系统其它方面的问题。 由于系统中存在各种不确定性因素，对于任何一个实际的工程控 制系统，仅仅指出该系统是否满足数学意义上的稳定是不够的，还要 给出系统实际上的相对稳定性稳定裕度。 稳定裕度是自动控制理论的一个重要概念，是评价一个控制系统 的重要性能指标，系统的稳定裕度包括两个方面：幅值稳定裕度和相 位稳定裕度。 对于单输入单输出( s i s o ) 系统的稳定裕度，人们已经对它进行了 较成熟和深入的研究，目前已经有公认一致的定义，可以很容易地从 经典b o d e 图或n y q l l i s t 图上得到。它反映了系统的稳定程度、抗模型 摄动能力、抗干扰能力和动态品质。 但是，对于多输入多输出( m i m o ) 系统，由于各回路之间存在交连 和数学描述方法上的复杂性，多变星控制系统稳定裕度不像s i s o 系 统那么简单。而且b o d e 或n y q u i s t 图已不再适用。为此，必须寻求新 的方法来度量多变量系统的稳定裕度。 一1 一 第1 章绪论 除此之外，文献【2 4 2 8 】中也分别给出了关于稳定裕度的各种不同 定义，并给出了相应的算例分析。 由此可见：m i m o 系统稳定裕度的概念正在发展中，目前还没有 形成公认一致的定义和算法【1 7 。 1 2 国内外研究现状综述 1 2 1 多变量鲁棒稳定性定理 针对不同类型的系统模型误差，d o y l e 建立起了相应的鲁棒稳定测 试方法【。描述系统模型误差的形式有很多，但最一般的描述是加误 差和乘误差两种。 设b 0 ) 和厶0 ) 分别为系统加误差和乘误差，给出它们的表达式 为： 巴o ) 工b ) 一工( s )( 1 1 ) e m ( s ) 一【工b ) 一三0 ) f 1 0 )( 1 2 ) 式中l o ) 和工b ) 分别为扰动前后的系统开环传递函数矩阵。由式( 1 1 ) 和( 1 2 ) 可得： l ( s ) 一工o ) + e a 0 )( 1 3 ) lt ( s ) 一【j + e ；( s ) p ：p ) ( 1 4 ) 以下给出多变量系统的鲁棒稳定性判定定理。 定理1 1 第1 章绪论 1 2 2 小增益定理 小增益定理s g t ( s m a l lg a i nn e o r e m ) 【1 2 1 可以用于分析系统中不确 定因素的变化范围，它利用的分析模型是b d p ( b l o c kd i a g o n a l p e n i i r b a t i o n l 结构。利用b d p 结构模型，含有不确定的系统稳定性等 价于： d e t ( ，+ m a ) ，0( 1 5 ) 式中m 表示系统的标称传递函数，为对角扰动矩阵。 分析系统的鲁棒稳定性，就是要稳定扰动a 的界。要使( 1 5 ) 式 成立，则需： g ( ，+ m ) o( 1 6 ) 根据矩阵+ 口) 非奇异的充要条件盯p ) c 垡) ，有： 盯( m ) 堡( ，)( 1 7 ) 而口( m ) 口似p ( ) ，堡( ，) - 1 ，所以有： 孑( ) t 1 孑( m )( 1 8 ) 式( 1 8 ) 就是小增益定理s g t 的表述。 s g t 是稳定性判定的一个充分条件，即如果( 1 _ 8 ) 式不满足，系统 仍有可能是稳定的。为了确定的界，在所有频率点s 一如上，采用 1 圳m ( s ) 】的最小值作为的界。1 讲m o ) 】的最小值被称为系统的稳 定裕度。 1 2 0 s s l 测试 d l o y 毽疆出箱始构奇赛僵来凌鬣系统的稳定裕度刚。通道建模系 统的不确定性为一个块对角阵缡构形式，建立了种保守性较小的稳 定掇疫诗雾方法s s ￥译测试s | 翔内拉ds 鞠辨kv a l 鞋e 群疑哟。 s s v 镊溺试减，j 、了s 簖分析方i 去薪带采的僚守牲。定。菠犀： f o 着不存在a z * 使得d e ，+ 村a ) 。0 芦8 娃n 积矗) l 般( f + 删a ) 。雌) ”t o 圆 矗憋赛聚由羰下关系绘邀： 虱) 1 肚( 村)( 1 1 0 ) p ( 槲) 兰尔腻) ，它实际上楚对膳( ，m ) 进彳亍优化的缩果。一( 膨) 的 羚敝由下列爨化避程绘爨： 嗲江一( 拜粉) l 与& 缪之翔瓣踅亵，懿鬻2 - 2 瓢示。 2 1 3 稳定裕度的物理意义 相位裕度的物理意义在于“；稳定系统在截止频率酏触若相位再 迟后p m 角度，则系统处于临界状态；若相位退后大于p m ，系统将 交成不稳定。 幅值裕度的物瑷意义在于“”：稳定系统的开环增益礴增大g m 倍，则撕处豹螟馕_ ( 她) 等于1 ，熬线正好遗避l ，o ) 点，系统处于 稿界稳激状态；若歼环增益增大g m 倍以上，系统将变成不稳定。 2 1 4 王糍设计要求 对于个稳定的黻小相位系统，其相位裕腱应为正值，幅值裕度 北京交通大学硕士学位论文 成大于l 。严揍媲漤，或当嗣时缭燃糖攮旗度秘糕馕裕痰，才熬礁定 系统的相对稔定性“8 。僚在粗略估计系统的暂态相应指标时，有时主 要瓣相位臻度撼出要求。 保持适遗的稳定襁度，霹以颈骆系统中蛇蠢终性能变化霹糍蛰来 的不利影响。为了达到较满意的暂态相应，在正程设计中，一般相位 裕魔应当在3 0 0 至6 0 。之阈，而幅值裕度露浚大予酬& 2 0 古典法基本思想 古典法是基予蠢典控嘉理论基懿主瓣，簿攀缝褥s 舔。系统匏稳定 裕度推广到m i m o 系统上。 吉典法豹基本愿想“8 楚；将求黼瞰o 系统的稳定掇度阏题转变成 求s l s o 系统戆稳定裕度避露求嬲，曾兔霭黉确定鞑瓣。系统寿足伞逶 道，然精采甩颓域法逐个分析各通道的稳定裕度。 具体过攫是：断开要分辑躲那个通道，求出冀对应懿嚣邵舞递丞 数，再搬摄古典控臻理论中的频域法，出黔o d e 图绒玲堪峨鞋隧褥爨该 遁邋的襁僖裕发和相位裕度。 2 3 数学横銎的建立 本文的疆究鼹象是菜溅飞麟戆铡囱控潮系统，下甏建裒该对象静 数孥模蘩。 飞机的侧向运动包括转滚与偏航，而侧向运动是邋过付翼和方向 舷两个控铡覆避枯戆。所以，侧囱系统楚令嚣输入、嚣辕爨的多交 4 0 2 - 。& 2 t o 。1 5 0 2 2 7 1 科6 o 一4 。7 9 4 3 | 4 0 2 3 0 8 2 5 8 o 氆9 5 7 3 3 0 。沩5 1 4 一1 4 6 6 7 3 1 ，0 0 0 0 0 。0 0 2 0 0 2 2 2 8 7 。1 6 6 3 3 o 一2 5 黼韶 8 露3 6 3 2 晷 o o l 。瀚 诹6 6 豁l o 0 6 5 1 9 d 2 3 氍6 叫： 由于付翼和方向舵的助力器均采用阶模型摘述，且时间常数为 数一f ，* o 妇。其数学蟆型为： 由此可建立该部分的状态空间描述： j 巳1 一。涵l + b d 埘d l 如i g t 墨l 其中； 叫言甜瓢幡叫褂 将以上两部分审联，缀合( 2 。6 ) 式和( 2 。婶式， 分的状态空间描述1 2 吼3 1 ，3 4 】，如下； 泓一爿n 赫+ z b “o 如t g 款 然 ( 2 8 ) 可以褥瓢控制时蒙酃 ( 2 9 ) 蝌 蝌 熹去陵 型，褥到如下的状态空阏表达式： 盖。一蒜茎莹至i 卜善霾薹墼鬲薹窜j 琢囊t 霉i _ 一墼垂壅藿 耋一至摹；耋 譬奏一耋露 4 囊1 4 一女藿耄耋量 至囊，蠹| 妄 一耋j 薹垂鼋箨 耀。 “鞲妻鏊器謇i i纛。| 蓑蕈錾嘈l ! l 一：；蠹ii 一蔻薹；? ；差i 遁 溢稽瑟嘴擂攥篓蚕萋颡添褥堇羹；蠢夔i 譬。j _ 一ij 叫= ；蠹；一i 謇；同蠹：阳棘季曼? 妻i 耀；窭? i 罐j 囊 法的简单 性、算法上的简易性以及较小的保守性而被广泛采用。 1 3 本文主要内容与结构 在实际工程中，由于系统中有交叉耦合项的存在，传递函数矩阵 并非对角占优矩阵，甚至很难转化成对角占优矩阵。本文着力于研究 此类不可解耦多变量线性时不变系统的稳定裕度求解问题，而可解耦 系统的稳定裕度问题不作为本文的研究内容。 本文的研究对象为多变量飞行控制系统，是线性时不变的多变量 系统。本文首先建立研究对象的数学模型，再在广泛参考多变量系统 稳定裕度定义的基础上，对各算法进行分析和比较，对某些算法中的 缺点加以改进，在此基础上揭示出在工程上采用何种方法能更简单、 更准确地反映多变量控制系统的品质。期望本文的研究能为多变量控 制系统的设计提供参考依据。 下面，对各章的基本主题和内容安排进行简要的说明。 本章确定本文的研究对象和研究内容，并对多变量系统稳定裕度 1 x oo o o ooo 0 1 。 o1o o o ooo j 由于g o ) ；c 一爿) 。1 b ，可以求得该系统的传递函数矩阵如下： g m g 。删2 高瞄翟嬲 其中： l 蛐1 = 1 7 8 压7 + 3 1 4 0 6 嘶6 + 9 7 4 6 1 2 + 1 0 0 8 5 2 3 1 珊4 + 3 6 1 6 6 9 8 1 话+ 3 1 5 8 7 7 4 6 1 s 2 + 6 4 4 6 2 5 m + 3 3 2 3 5 1 2 ( 5 ) 一1 0 1 5 7 ，2 砸6 + 3 5 7 5 6 7 - 8 m 5 + 3 6 2 7 2 9 6 1 鼢4 + 1 0 8 8 0 4 4 0 7 如+ 2 0 7 2 5 0 8 5 白2 + 2 5 1 1 7 1 如+ 5 4 7 6 2 1 ( s ) _ 1 0 9 孙3 + 7 7 3 0 9 s 。+ 1 1 5 0 8 5 4 s + 8 4 0 7 3 3 2 2 f s l 4 6 2 9 m 6 + 3 3 0 9 9 5 厶5 + 5 1 4 6 7 2 3 孙4 + 9 1 0 6 4 5 9 啦3 + 3 2 2 9 3 4 2 7 船2 + 3 0 7 6 9 9 7 2 孙+ 2 7 6 2 9 5 2 8 d ( s ) = 5 9 + 1 0 1 8 5 s 8 + 3 4 9 2 2 2 s 7 + 5 0 8 3 1 6 1 s 6 + 3 0 5 8 9 8 1 2 s 5 + 7 1 2 7 8 8 9 s s 4 + 1 7 9 9 2 6 4 3 3 + 1 6 7 0 7 5 5 3 鼢2 + 3 4 1 4 5 4 如+ 1 7 6 1 7 1 至此，已经完成本文研究对象的状态空间描述模型和传递函数模 2 7 图 。：。瑚：搋 b ) 。：。等姗。 北京交通大学硕士学位论文 幽( 2 1 3 ) 式给出e 由该图不难得知：该m 蹦0 系统有两条通道。 下面聚用古典法分析该系统的稳定裕度。 摄豢鑫典法瓣愚怒，姣分撰邋遴l 或者逶遵2 豹稳定稔瘦，盛矮 兜断开该通道，如图上“x ”所标注，求出其对应的开环传递嘲数， 褥根据古典控制理论中的频域法，由b c ，d e 图锝出该通道的幅值裕度 魏稷嬗掇度。 记： y 心栅：呲咄蛳。m 一曷怒翟】， 予是由y 0 ) 一g 秘) + u ) ，便可鼓褥翔： j y l o ) ”g 1 1 0 ) 。叭o ) + 6 礓2 0 ) 8 “2 0 盆。l 令 l 岁2 转) - g 2 l 玲) 4 嚣s ) 十g 2 2 ) 4 嚣2 ( s ) 7 断开通道1 时，有下溅成立： 仁篇二焉叩 i “2 ( 葶) 叠，2 ( s ) 一_ ) ，2 ( s ) 、 将辽。1 4 ) 式秘( 2 1 5 ) 式联立，解出y 砖) ，可戳得到下战： 兰熊；玲) 一堡! 兰q 坦三坐!q 。l 秘 ，玲) l + g 2 2 国 、7 所求得的( 2 1 6 ) 式为断开通道l 时该系统所对应的开环传递函数。 采用m a t l a b 【3 2 j 进行仿真墩解，可以绘制出b o d e 圈，如翻2 5 所乐。 o l - 斟楣( t 耵倍菡。等黧m 柏蛔( _ ”，。d h 。)o l - - 斟楣( t 耵倍d e 嘲- 帅蛔( _ ”r 慨) 图2 5 采用古典法断开通道1 时系统的稳定裕度 由图2 5 不难看出，断开通道1 时，该系统的相位裕度为： 跗= 4 矿，幅值裕度为：g m 一3 1 材b 。 同理，断开通道2 时，有下式成立： p 1 口n 譬y l o ( 2 1 7 ) i h 2 ( 5 ) 熹r 2 ( s ) 、7 将( 2 1 4 ) 式和( 2 1 7 ) 式联立，解出y z ( s ) ，可以得到下式： 鬻旬2 z 睁篙 所求得的( 2 1 8 ) 式为断开通道2 时该系统所对应的开环传递函数。 通过仿真求解，可以绘制出b o d c 图，如图2 - 6 所示。 s一8arpl口slt 。m 。矬僻m 0 鏊麓黔8 。咖秘_ s 时 图2 - 6 采用古典法断开通道2 时系统的稳定裕度 壹烫叁6 不藏看蹬，辑开遴遂2 嚣寸，该系统豹稻钕裕凌为： 蹦一7 妒，幅馥裕度为：糯f 一2 2 。馏。 利用古典法得划的稳定裕度是在其它通道参数不发生变化的情况 下，系统灸许该遥滋熟褥囊或豢糕链嬲变健菠滠。翅巢其魅遗遘豹参 数墩发受交纯，结浆是否矗! 确? 液2 _ 1 其他通道幅值变化时采用古骢法得到的稳定裕度 鬈g 醚ip 艇ig 溅2置醚2 阏环系统 稳定性 l3 l ，碡4 02 2 。77 6 3 稳定 l 2 9 。l3 3 82 3 。7慰霉 不稳定 4 0 0 03 33 3 72 3 67 6 4 不稳定 il o o o o o3 3 盖3 3 72 3 ，67 6 。4 不稳定 下面以其他通邋的幅值变化为例进行研究。具体方法是：研究其 中一条通遴对，让另一条邋道熬蠛值放大蜀镶，茬分别取毽l ，l o 绣 第2 章古舆法 4 0 0 0 和1 0 0 0 0 0 ，得到结果如袭2 1 聪示。根据表2 1 的计算结果：采 用古熟法无法判断其他通道的幅值发生变化的情况下，闭环系统是褥 稳定，谴对求邂的稳定裕度没有参考价谴。 对于其他通道的相位发生变化的情况，本文不加实验证明地给出 相似的结论：采用古媳法仍然无法判断闭环系统是否稳定。 综合上述缀巢可知：罴粥吉典法燹法载凝裂熬遴 藿存袁挠动辩， 闭环系统是否稳定。 2 5 本章小结 本章建立多变量飞行控制系统的状态空间模型和传递函数矩阵模 型，_ 箨采瘸吉典法求解出系统酌稳寇裕度，方法籁肇荔行，丽量常常 作为系统回路鲁捧性的一个鸯效量测措标。 当系统的开环传递函数是对角占优阵时，就可以采用s 1 s 0 系统的 稳定饿莛鼗方法。魏辩，m l m o 系统酌稳定裕度裁等价予s 裕o 系绕 的稳定裕度l 栅。 但是，利用古典法得到的稳定裕度是在其它通邋参数不发生变化 懿情凝下，系统龛谗该运遒瓣幅蓬藏蠹程毽瀚交往藏嚣，嚣无法翔新 该通遒的幅假、相位间时发生变化的情况下，系统是否稳定；也无法 判断别的通道也存在抗动时，系统燕否稳定。 第3 章圊差阵奇异值法 第3 章回差阵奇异值法 奇异值法是求解多变量系统稳定裕度较成熟的工程方法。本章对 回差阵奇异值法的思想和算法进行介绍，并以飞行控制系统模型为例 进行稳定裕度的仿真实验分析。内容包括：奇异值分解定理、回差阵 奇异值法仿真算例分析、方法的优缺点以及对该方法的改进算法等。 3 1 奇异值分解定理 3 1 1 引言 在多变量频域控制理论中，矩阵的分解4 ”剐是一个重要的技 术。1 9 世纪7 0 年代，b e l t r a m i 和j o r d 柚提出实数方阵的奇异值分解； 1 9 0 2 年，a m t o 衄e 提出复数方阵的奇异值分解；1 9 3 9 年e c k a r t 和y o u n g 实现将奇异值分解推广到非方阵。 奇异值分解是一种对角分解，它不但在一切情况下都能实现，而 且还有一系列特征值分解的优点。“，对于分析和设计控制系统非常有 利，本章以奇异值分解作为基本数学工具进行多变量系统的稳定裕度 分析。 3 1 2 奇异值分解定理 设g 为胁f 的任意复数矩阵，则存在埘m 的酉矩阵】，与z f 的酉 北京交通火学硕士学位论文 矩黪u ，馒褥： 疗一雅u ( 3 1 ) 式中，z 为缭数与g 穗嗣的实数魏对亵矩阵： 羔删一卜盯，】 定理中的表达式( 3 1 ) 称为矩阵g 的奇辩值分解，的主对角线上 共香m i 娃 ，d 个元，其中除前r 个为正实数 + d r 外，还可能有一些 o ，包括这热o 在内的所肖m i n ，z ) 个非受实数都称为矩阵g 的奇异 3 。2 回差阵奇羿德法 3 名。l 稳定褡度麴定义 多变潼控铡蒜绕豹稳定裕度，珂淤根舞霭3 。l 给爨静多交攘系统 避耱讨论。 第3 章回差阵奇异值法 图3 - 1 具有乘性摄动的系统( 标糟：状态工3 田 图3 1 中，摄动矩阵o ) = ，时，系统无摄动，为标称状态。矩阵 l o ) 击n g ( f ，f 厶) 为摄动矩阵”，其中6 c ( f 一1 ，2 ，n ) 是可变的复 数，用来检测系统发生扰动情况下的稳定性。 多变量系统稳定裕度的定义如下： 对于图3 1 所示的系统中所有的 r ( f = 1 ，2 ，n ) ，若存在一对实 数k t 与k z ，由它们所确定的一个最大的区间范围( 茁t ，k z ) ，使得当 k c f f c k z ( f 一1 ，2 ，n ) 时，闭环系统仍然稳定，则定义多变量控制系 统的幅值裕度g f = 暇- ，k 2 ) 。 对于图3 1 所示的系统中所有的 沙( f 一1 ，2 ，n ) ，若存在一最 大实数p ，使得当一p ：3 2 - 3 6 3 埘腾永哲武装赢升机控制螨稳系统的设计航空学报，1 9 9 8 ，1 9 ( 2 ) ：2 4 0 一2 4 2 p 霸艨永哲武装廉升梳控秘增稳系统的设计飞行力学，1 9 9 7 ，1 5 ( 4 ) ：4 0 - 4 7 【4 翻萤广论，安端文，戴宁。壹秀撬控潮罐稳系统翡一秘综合浚诗秀法。 航空学抿1 9 9 71 8 ( 5 ) ：5 7 1 5 7 4 【4 l 】受文海，沈春林，潮国刚等飞行控制系统设计的特征结构配置法 哈尔滨王监大举学掇，2 0 0 2 ，3 4 ( 5 ) ：6 3 9 6 4 2 h 2 】s u nx i u x i a ，m a oj i 触- q i n l 】【n m u l t i - 0 吻e c i i v ec o n t r o l l c r d 髂i 轳l 矮珏ge i g c n s 函e l 黏撼a s s i 蓼m l 瓣b 8 s c do 珏王_ 糙l 。钠i 鑫e s e j o u m a lo f a e r o n a u t i c ，2 0 0 1 ，1 4 ( 1 ) ：4 4 - 4 8 【4 3 】 朱战霞，王建墙直接力控制的特征结构既爱法飞行力学，2 0 0 1 ， l 戳1 ) ：3 0 1 3 2 。 【4 4 】潞常春，陈欣旗于鲁棒特，征结构配置的觅人机直接侧力控制 飞行力学，2 0 0 4 ，棼。 【4 5 】王建培，王忠俊特征结构配置在设计直接升力控制棘中的应用 航空学报，1 9 9 2 ，( 6 ) 湖张宁，涛鞭这。一耱鸯适应按稠增稳方案瓣实辩仿真磷究靛空 学报，1 9