（应用数学专业论文）关于newton迭代的kantorovich定理.pdf

携要 在b a n a c h 空间的概念提出以后，k a n t o r o v i c h 给出了第个建立在b a n a c h 象 澜上关于n e w t o n 迭代法是否收敛的定理j 此后，有大鬟的文献利用k a n t o r o v i c h 条 件来磺究n e w t o n 遮代法的浚敛缝，先惹褥窭了不弱形式魏浚敛定理本文 按k a n t o r o v i c b 定理的发展总结了已有的收敛定理，即经典的k a n t o r o v i c h 定 理，一阶，二阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理及推广定理以及i n 阶f 一导数形式 翡k a n t o r o v i c h 定理 在此繁础上，本文绘出了m 阶f 导数形式的k a n t o r o v i c h 定理的推广定理为 了应用的方便，本文还分别给出了阶，二阶及m 阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理酶推广定瑾酶等价定理、魏终，零文还绘爨了一类弱l i p s c h t i z 条终( 关 于m 阶f 一蹲数1 下关- ：n e w t o n 迭代的收敛性定理 关键词n e w t o n 这代k a n t o r o v i c h 祭释f r d e h e t 罨数珏p s c 糖z 条箨 n e u m a n n 弓l 理收敛 a b s t r a c t k a n t o r o v i c he s t a b l i s h e das e m i t o c a l c o n v e r g e n c et h e o r e mf o rn e w t o n sm e t h o d i nab a n a c hs p a c e ，w h i 如i si i o wc a l l e dc l a s s i e a 】k a n t o r o v i c ht h e o r e m s i n c e t h e n ，m a n yr e s u l t si nc o n v e r g e a c ef o rn e w t o n sm e t h o dw e r eo b t a i n e db a s e d o nk a n t o r o v i e ht h e o r e m i nt h i sp a p e r ，w es t a t et h em o s t i m p o r t a n tt h e o r e t i c a l r e s u l t si nk a n t o r o v i c h t y p e c o n v e r g e n c e f o rn e w t o n sm e t h o d ，m a i n l yf o rf r h e t d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e s t h r o u g hi m p r o v i n gt h ek a n t o r o v i e h t y p ea s s u m p t i o n so nt h em 。t hf r d c h e t 。 d e r i v a t i v e ，w ef i n dr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ec o n v e r g e n c eo fn e w t o n sm e t h o d j w h i c h h a v em o r e a p p l i c a t i o n sw i t he q u i v a l e n ti m p r o v e dk a n t o r o v i c h - t y p ea s s u m p t i o n s o nt h e1 s t ，2 r i d ，m t hf r d c h e t d e r i v a t i v ea sb e f o r e ，w ee s t a b l i s he q u i v a l e n tc o n v e 卜 g e n c et h e o r e m sr e s p e c t i v e l 孔w h i c ha r em o r ee a s i l ya p p l i e dt h a ne a r l i e r o n e s b e s i d e s ，聪m s op r o v i d eac o n v e r g e n c et h e o r e mu n d e rac l a s so fw e a kl i p s c h t i z - t y p ea s s u m p t i o n so nt h em 一疆f r d c h e t = d e r i v a t i v e k e y w o r d s n e w t o ni t e r a t i v ek a n t o r o v i e hc o n d i t i o n p r g e h e t 。d e r i v a t i v e l i p s c h t i zc o n d i t i o n n e u m a n nl e m m a c o n v e r g e n c e 声暖 本学位论文是我畿导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，夜 本学位论文中，除了熬以标注黧致澎的罄分辨，不毽含冀魏人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历恧使用避的材料。与我一同工作的同事对本学位论文傲如的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：塑主查护。 年0 胃巧圈 学位论文使耀授较声明 蠢素褒工大学毒权保存零学位论文戆电予秘纸爱文撼，鼍数缮阙 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权冀保存、氆阕或上羁公东本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 磷究生签名：兰! ! 塾加。1 年南月j 铂 顽士论文关于n e w t o n 迭代的k a n t o r o v j 出定理1 1引言 在求解方程 f ( x ) = 0( 11 ) 的过程中，n e w t o n 提出了一个新的迭代公式( z o 已知) ，即 z 。十l = z 。一f ( 。) 一1 f ( x 。) ( 礼= 0 ，1 ，- ) ( 1 2 ) 后来，这种方法被称：为n e w t o n 迭代法，在b a n a c h 空间的概念提出以后，k a n t o r o v i c h 给出了第一个建立在b a n a e h 空间上关于n e w t o n 迭代法是否收敛的定理此 后，有大量的文献利用k a n t o r o v i c h 条件来研究n e w t o n 迭代法的收敛性以下 记k a n t o r o v i c h 条件为k 条件k 1 1爿和y 是同型的b a n a c h 空间，f ：n 疋y 是可f 一微分的算子； 2 )j z o n ，使得f ，( z o ) 。存在，且 f f ( o ) - 1 f ( 。o ) l fs a ； 3 ) j r 7 ( z o ) _ 1 f f ( 茁) 一f ( 9 ) lj g l l x 一9 i l ，v x ，1 2 ； 4 ) o k ； 5 ) 可i 可，其中r = b 皿k 在条件k 下，蛆岳。为初值得到的n e w t o n 序列 。) 收敛于方程f ( x ) = o 的一个 解，并且能得到解的存在性和唯一性以及误差估计 此后，有大量的文献研究k a n t o r o v i c h 定理，主要是修正条件3 ) ，相应地条 件4 ) 和5 ) 也会发生变化文献 1 】给出了经典的k a n t o r o v i c h 定理，t a p h 【6 1 将该定理 中的连续性条件 l i f 7 ( z o ) 一1 f ”( 茁) l f k ( v x b ( x o ，r ) ) 改：为l i p s c h t i z 条件 1 1 f ( z o ) 一1 f 7 ( z ) 一f b ) 川sk 1 l 一g mv z ，y b ( x o ，r ) 得到一一个新的收敛定理，这个定理被称为阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定 理，也就是在条件r 下得到的定理文献【2 将条件中3 ) 减弱为 3 )l i f 7 ( z o ) 一1 【f ( z ) 一f ( z o ) l u ( f 。一x o l l ) ，z q ，其中对z 0 硕士洽文关) - - n e w t o n 送代i 竹k a n t o r o v i c h 定理2 函数u ( z ) 是连续非减的实函数，且u ( o ) 0 ， 也得到一个收敛定理，这个定理被称为一阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理 的推广定理文献f 3 1 通过假设f “满足：l i p s c h t i z 条件，得到一个收敛定理，即二 阶f 一导数形式 拘k a n t o r o v i c h 定理文献【4 将文献 3 中f ”i 茼足 l i p s c h t i z 条件 减弱为 i | f 7x o ) 一1 i f ”( z ) 一f ”( z o ) 川u ( l i x z 0 1 1 ) 一q ，害# 中对。 0 函数w ( z ) 是连续非减的实函数，且u ( o ) 0 ， 也得到一个收敛定理，这个定理被称为二阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理的推 广定理文献【5 】通过假设f ( m ) 满足如下条件： i l f ( 跏) 一1 【f ( ”) ( 石) 一f ( ”) ( 勒) a | | z 一印1 l 乒n ，其中对z 0 函数u ( z ) 是连续非减的实函数，且u ( 0 ) 0 ， 得到一个收敛定理，这个定理被称为m 阶f 一导数形式的k a n t o r o “c h 定理 在本文中，作者通过假设f ( “( m o ) 满足如下条件： i l f 7 ( z o ) 一1 i f ( ”( z ) 一f ( ”) ( z o ) l | su ( i l 。一z o 吣声n ，喜中对z 0 函数u ( z ) 是连续非减的实函数，且u ( 0 ) 0 ， 也得到一个收敛定理，这个定理也就是i l l 阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理的 推广定理为了应用的方便，本文还分别给出了一阶，二阶及r l l 阶f 一导数形式 的k a n t o r o v i c h 定理的推广定理的等价定理此外，本文在文献 7 ，8 】的基础上，还给 出了一类弱l i p s c h t i z 条件( 关于m 阶f 一导数) 下关于n e w t o n 迭代的收敛性定理 硕士论文 关于n e w t o n 送代的k a n t o r o v i c h 定型3 2 准备知识 2 1b a n a c h 空间 定义2 1 1 向量空间刀上的范数”0 是一个非负值函数：z - r 满足 ( 1 ) 1 i 石l i o ( v x 疋) ，i i z l l = 0 = z = o ； ( 2 ) 1 1 z + f l isi i z l l + l l y l l ( v z ，9 疋) ； ( 3 ) f 【d z | | f q l l l x l l ( w 彤，a k 7 ) ， 具有确定范数的向量空间z 称为赋范空间，具有完备性的赋范空间称为b a n a c h 空间 2 2f r d c h e t 导数和g a t e a u x 导数 设爿和y 是同型的b a n a c h 空间，q 是z 的一个开子集，考虑映射：f ：q c 一 疋_ y ， 定义2 2 1 设u q ，如果存在a l ( x ，y ) ，使得 r ( h ) = f ( u + h ) 一f ( u ) 一a ( ， 且兄( ) = o ( 1 l h l l ) ，则称f 在点u 是可f 一微分的，并称a 为f 在点u 处的f 一微分，其 中l ( 石，为所有线性连续映射，：z 斗y 组成的集合 定义2 。2 2 设虬i f = n ，如果存在a l ( x ，y ) ，使得对所有的 z 都有 坐坐掣斗a h ( h _ o ) ， 则称f 在点u 是可g 一微分的，并称a 为f 在点u 处的g 一微分，其中l ( 爿，y ) 为所有 线性连续映射，：爿y 组成的集合 2 3n e u m a n n 弓 理 设丁l ( 疋) ，i i t l l 1 ，则( ，一t ) 。l ( z ) ，并且 1 1 ( i - t ) 1 i o 函 数u ( z ) 是连续非减的实函数，且埘( 0 ) o ； 4 ) 存在一个正的实函数h c ( o ，1 ) ，使得u ( t z ) ( t ) u ( z ) ，t 【0 ，1 】，z ( 0 ，+ ) 方程g ( z ) = 【1 一( 3 m ) p ( z ) 】o 一( 1 3 肛( z ) ) z = 0 至少存在一个正根，记 较小的那个正根为r ，m = 片h ( t ) d t ； 5 ) “= ( r ) o ，锄o ( 3 兰ism + 1 ) ，定义多 项式p ( r ) 及迭代序列 ) 分别如下： p ( r ) 2 ”一r + 酉0 1 2 r 2 + - + 高南一1 r o - 咿州一糕 若存在s 町，使得 p ( s ) 0 则 ( 3 1 ) ( 3 2 ) i )多项式p ( r ) 有且仅有两个正根r + ，r + ，且满足r + 8 r ”； i i )由( 3 2 ) 式产生的迭代序列 r 。 ( 札o ) 是单调递增的，并有 l i r a r n = r 定理3 3 2 ( 3 j 设疋和y 是同型的b a n a c h 空间，f ：疋y 有一阶f 导 数f 7 和二阶f 一导数f ”，且f ，f ”分别是从z 到以及从z 到三，y ) 的有界线 性算子，茁o 爿若f 满足 1 l f ( z o ) 一1 f ( x o ) l l a ，l i f 7 ( 茁o ) 一1 f ”( z o ) i l b ， i i f ( z o ) 一1 i f ”( z ) 一f ”( 可) 】l l k i l 。一y l l ( v x ，y 爿) ，( 3 3 ) 6 a b 3 + 9 a 2 k 2 + 1 8 a b k 一3 6 2 8 k 0 ， 则以z 。为初值得到的n e w t o n 序列 z 。 收敛，其极限是方程f ( 口) = 0 在百丽u b ( z o ，) 中的唯一解，其中o t + 兰是多项式 ) = n t + ；配2 + 扣3 的两个正根 文献f 4 通过修正定理3 3 2 中的条件( 33 ) ，得到条件尥，并在此基础上得到两 个技巧性的引理及一个收敛定理 条件k 2 ： 丽+ 谕t 关于e w t o n i 箧f c 的k a a t o r o v i c h 定理7 1 )z 和y 是同型的b a n a c h 空间，f ：n z _ y 是具有二阶f 一导数的 非线性算子； 2 ) j 。o q ，使得f ，( 勒) 。存在，且 f 7 ( z o ) 一1 f ( 岱o ) j i 曼n ，! i f ( z o ) 一1 f ”( x o ) l l b ； 3 )f ( 。o ) 一1 f ”( z ) 一f ”( 嚣o ) 1 1 曼u ( i | z z 0 1 1 ) ，z f t , 其中对z o 函 数u ( z ) 是连续非减的实函数，且叫( o ) o ； 4 )方程9 ( 2 ) = 【2 2 p ( z ) 口一1 2 3 p ( z ) z = 0 至少存在一个正根，记较小 的那个正根为r ； 5 ) “= p ( r ) ；，b ( x o ，r ) q ， 其中 p ( z ) = 陋+ u ( 三) l z 引理3 3 3 设，( 。) = 击，则在条件k 2 下成立 妻( 知) ) j n 0 ，啦0 ( 3si 墨m + 1 ) ，石和y 是 同型的b a n a c h 空间，f ：q 量z y 是具有i n 阶f 一导数的非线性算子若存 在z o q ，s 町，使得 p ( s ) 0 ， i f ( z o ) 一1 f ( z o ) | j 茎n ， f x o ) 一1 f ( i ( z o ) | | 血，i = 2 ，3 ，- 一，m 1 i f ( z o ) 一1 i f ( ( z ) 一f ( ”( 石o ) 州乜m + l l l x z o l l ( 3 4 ) 则以。为初值得到的n e w t o n 序列 z 。) 有定义，并落在集合百丽中，并且收敛 于方程f ( 。) = o 的一解z + ，而且2 + 在百丽u b ( 加，) 中是唯一的，其中r ，r ”是 由( 3 1 ) 式给出的多项式p ( s ) 的两个正根 此外，该定理有下述误差估计： x n + 1 一z n i i 兰，h + i r n 和 i l 茁+ 一z n | l 墨r + 一r 。 其中 h ) 是由( 3 ，2 ) 式给出的序列 硕士论立|关t - n e w t o n 迭代的k a n o r o v j c h 定理9 4 主要结论及证明 4 1m 阶f 一导数形式的k a n t o r o v i c h 定理的推广定理 在本节内容中，主要是通过修正定理3 4 1 中的条件( 3 4 ) ，得到条件弼，并在此 基础上得到两个技巧性的引理及一个收敛定理 条件k 3 ： 1 )石和y 是同型的b a n a c h 空间，f ：q z y 是具有m 阶f 一导数的 非线性算子； 2 ) j o n ，使得f ( ) 。存在，且 l | f ( z o ) f ( x o ) l | so ，l i e 7x o ) 一1 f ( ( 黝) 1 1 6 ，i = 2 ，3 ，一，m ； 3 )l i f x o ) 一1 i f ( “1 ( z ) 一f ( ”( z o ) 】”su ( 1 l x 一0 1 1 ) ，z q ，其中对z o 函 数“j ( z ) 是连续非减的实函数，且叫( o ) o ； 4 ) 方程g ( z ) = 1 1 2 ( z ) 】o 一 1 3 , ( z ) l z = 0 至少存在一个正根，记较小 的那个正根为r ： 5 ) p = ( r ) ，b ( x o ，r ) n ， 其中 比) - - - - b a z + 萨12 + + 志b m _ l z m - 2 + 锱 引理4 1 1 设，( t ) = 击，则在条件耽下成立 ( 1 + 老2 j - 1 m k ( 1 + 当 8 - 甚一兄 = 0 证由_ “ ；知，( p ) = 击 i ，因而有 2 肛，( p ) 1 将2 弘，( 肛) 看作首项为p ，( p ) 的等比数列的公比，则可得 壹( 州川， o 、故司得 【1 + 壹( 州删。 1 + 嵩卜高n 姐 j = o ” 。 引理4 1 2 设，( 茁) = 击，则在条件凰下有下述结论成立： a )存在f ( z 。) - 1 ，且 i f ( 。o ) f ( 工。) 一1 1 i ，( p ) ，n l ； b ) l i f ( 茁o ) 一1 f ( x 。) lj 2 肛l l x 。一x n - , 1 1 ，n 2 ； c ) i i x 。+ 1 一。1 ls2 m ( t ) l l ：v n z n - - 1 忆n 2 ； d ) 芷。+ 1 一x o l i 1 + p ，( 卢) + + 2 n - 1 ( 芦，( 弘) ) “ o r ，他21 证设z b ( x o ，r ) ，则有 l i e 7 ( 。o ) 1 f ( “( 卫) i l i i f ( z o ) 一1 i f ( ”( z ) f ( ”( z o ) 川 + l i e ( 。o ) - 1 i f 0 , 0 ( x o ) l i 墨6 。+ u ( r ) ， ( i ) n = l 若z b ( x o ，r ) ，则由 1 一f i f ( 茁o ) 一1 f 7 ( 茹) l | l l j f ( z o ) 一1 f 7 ( z ) l = lj f x o ) 一1 i f 如) 一f ( z o ) 1 1 i = i i f ( 茁o ) 一1 i f ”( z o ) 一x o ) + + 面f ( m - 1 可) ( z o ) ( + 黜( 。h l | 9 。r + 铲1 。评扣+ 志。“+ 等等 = p j 1 l 知f ( 茁) q 存在，且 ( 蛳) f 协) 一i i - 而1 = m ) 再由怕。一z o ；( = l ( f 7 ( 正o ) 一1 f ( z o ) l ls 尼知乱百丽q ，因而f ，( 研) - 1 存 在，且 i i f ( z 1 ) 一1 f ( z o ) l i ，( p ) 0 1 1 跏 一z f+ 0扛 f 为 得 因 可以昕 硕七论文关于n e w t o n 迭代t # j k a n t o r o v i c h 定理1 1 进而有 和 又 l f ( z o ) 一1 f ( z - ) l l = | i f 7 ( z o ) 一1 i f z ) 一f 7 ( 。o ) 】d z j 0 0 = l l f 7 ( z o ) 一1 【f ”( z o ) ( 名一z o ) + - j 2 0 + 等( 。r 2 + 黜( 川比 小z 肌刍。s 砰卜+ 志。州十等爷州如 = 肛i | z l z o | l ， | | z 2 一x l | 1 = i i f ( z 1 ) _ 1 f ( z 1 ) | l l i f ( 茁t ) 一1 f ( x o ) 1 l l f ( x 1 ) f ( 。o ) 一1 1 l p ，( “) l i z - 一z o l l z z x o l l l l z 2 一z l l i + 1 1 z l x ol i 1 + 肛，( p ) 】n r ( i i ) n = 2 由z 2 b ( x o , r ) 知f ( 正2 ) 一1 存在，且 i i f ( 。) f ( z 2 ) 一1 i i 1 三- 一p = ，( p ) 故可得 f ( x 1 ) + f 1 ) ( 。2 z 1 ) = 0 lj f ( 茁o ) _ 1 f ( z 。) j l = l i f ，( 如) _ 1 i f z ) 一f ( z t ) 】如 = i i f 缸o ) 。i t ( 如) 眨一t o ) + + 瓮等c 扩。+ 黜c 扩。 f i ( z o ) ( 茁l z o ) 一 硕士论文关于n e w t o n 迭代的k a n t o r o v i c h 定理1 2 一等等( x 1 - - x 0 r l 黜( x 1 - - x 0 r 恤 z 小。聃扣2 扣+ 南。一+ 警等州如 = 2 “1 l z 2 一贯1 1 i ， 从而就有 i 胁一x 2 | | = 1 l f ( 茁z ) q f ( x z ) i i s l f x 2 ) 一1 f ( z o ) f f ( z 2 ) f ( z o ) 一1j | s2 p ，( 芦) | j z 2 一z t | i ， 及 l i x 3 一z 0 1 isi l z 3 一x 2 l i + i l 正2 一z o l l 【1 + p ，( p ) + 2 ( p ，( p ) ) 2 】n r ( i i i )假设结论对l ，2 ，n l 成立，则由。b ( z o , r ) 知f ( 。) 一1 存在，且 ip f ( 。) f ( z 。) 一1 忙击= 似) 又 f ( 。一1 ) + f ( z 。一1 ) ( z 。一x n - 1 ) = 0 ， 故可得 ，z “ lj f 7x o ) 一1 f ( z 。) j l = | j f ( ) 一1 【f ( z ) 一f ( z 。一1 ) l d z l i j z n 一1 ，z n = l 】f ( z o ) _ 1 【f ”( ) ( z 一茁o ) + j n 一1 + 等等c + 黜c 扩_ - f ”( 蛳) ( z 。一1 一x 0 ) 一篆等( x n _ 1 - - x 0 ) m _ 2 一黜( x n 1 - - x o ) 一l 】| 恤 s z e 。峨兄+ 扣卜- + 南址- 胪2 十等哿胁 = 2 “1 l z 。一正。一1 1 1 ， 饕于w 。丑燕托静k 魏| ) 幻r 。订曲定穗1 3 姨瑟藏袁 l 茹。+ 1 簿。8 一i f 茹。) f ( x 。) i t l i e ( 茹。) 一1 f 。( x o ) t l l l f ( x 。f ( 篁。) _ 8 量2 掣，弘) 搿s 一岛t z 敷 子是髯盘翅缡缓设及弓 瑾4 。i 1 爵褥 l 茹。+ l x 0 l l 茗。+ 1 善。+ 。茹 l s2 芦，( p ) | | 茹。一一l 【熏簪歹 黟+ 2 , - 2 ( 弘歹 弘) ) 8 1a s f 1 十时( 芦) + + 2 n - 1 ( 芦j f ( 幽ra r i l i a 4 1 。3 蹇象耱磊急下，羧强为襁蕴簿舞豹n e w t o 珏彦鞠 茹。浚簸，荬鞭辍惩 方程f ( 髫) 一0 在闭球露匿两中酌噍一解 涯囊弓l 理4 1 2 可翘 l 茁。+ 僻一锄| l 茎l | 鬈。十m e n + 聃l | | + v + l n 年i 一鼠 lr f ( x 。+ 。一1 ) 1 f 嚣。+ 。一1 ) l l + 一* + l ( ) _ f 0 啉) k 茎g 鬈。l 一1 f ( x o ) i t t l f ( x + 。一l 魏；一1 l + 删嚣。) 一1 f ( g o ) i i i i f ( 茹。) f 茹8 ) _ n + m - 1 黜 暇玛) 罗_ j = ” r + m - 1 一1 p ，( 舻) ) 8 露， 而级数誉铲一t ( 。心( 曲r 是收敛的，故 茹。 是柯谣剥，圆丽 茁。) 收敛 n = l 麓；娆竣l i r a 。一矿，爨在 a 审令齄_ o 。裁套 下诞曦一性 妒扛4 ) = 0 硕士诠文关于n e w t o n 迭代的k a n t o r o v i c h 定理1 4 设y + 是方程f ( x ) = o 在b ( x o ，r ) 中的另一解，记u = z + + 日( 矿一z + ) 一z o ，日 0 ，l 】由于 f f f ( z o ) 一1 f x + + 8 ( 可+ 一。) ) 瑚圳 j 0 ：i r 1f ，( z 。) 一z 【f ，( z + + 日( g + 一石4 ) ) 一f 。) il d o j 0 刮小广【f ，( 训叶一+ 瓮等+ 鹬州删i 如只+ 击。s 腰扣+ 志+ 等等冲 = 肛 喜 1 ， 所以根据n e u m a n ni 理可知 【j ：f ( ) 一1 f x 4 + 口( 旷一矿) ) d 川一1 存在，而 0f ( z o ) 一1 f ( 矿+ 日( 旷一2 7 * ) ) d 口( 圹一z 。) = 0 敌必有y 4 一茁+ = o ，即 y + = 矿 注该定理将任意m 阶l i p s c h t i z 条件形式的k a n t o r o v i c h 定理推广到更一般 的情况洇而应用范围得到大大扩展 例不妨取m - - - 3 ，设f ( z ) = e b 。5 一。+ i 1 ，z r ，令。= o ，贝0 由 f 7 0 ) = 去z 4 1 ，f ”( 。) = 壶茹3 ，f ( z ) = 茁2 可知 n = j 1 ，b 2 = b a = 0 及 1 f ，( z 。) 一 f ”( z ) 一f ”( z 。) 1 l | = ；z 2 u ( z ) = ；z 2 ， 于是可得 p ( z ) = 知( z ) = ；z 5 - - j 1 硕士论文关于n e w t o n 送代 t 9 k a n t o r o v i c h 定理1 5 而9 ( 1 ) = o ，弘= ； o 函 数u ( z ) 是连续非减的实函数，且川( o ) o ； 4 ) 存在个正的实函数h c ( o ，1 ) ，使得“( 招) 忍( t 渺( z ) ，t o ，1 j ，z ( 0 ，+ o 。) 方程g ( z ) = 【1 3 # ( z ) l z = 0 至少存在一个正根，记较小的那个正根 为r ，m = 片h ( t ) d t ； 5 ) b ( x o ，r ) q ， 其中 p ( 名) = u ( 。) ， 并记弘= 肛( 月) 在下面的讨论中，我们不妨设m 1 ，因为只有当ms1 时得到的结果才会 = e h ( t 1 兰1 ，f i l j m = 1 时的结果更准确 引理4 2 1 设，( z ) 2 丽再蠡= 丽( o c 冬丽2 1 ) ，则在条件k 1 下成立 1 + m 老川n 【1 + 普端 。 群卜两1 。= r 硕士论文 关于n e w t o n 迭代的k a n t o r o v i c h 定理1 6 证因为“ 所以司得 2 p ，( 弘) 0 ，故可得 ”m 妻2 ) j 】0 1 + 篙黼 。 外+ 谢卜两1 。- r 引理4 2 2 设，( z ) 5 面再知( o c s 斋一1 ) ，则在条件凰下有下述结 论成立： a ) 存在f ( z 。) - 1 且l l r ( x o ) s 7 ( 。) 一1f i ，( p ) ，礼l ； b ) l i f ( z o ) 一1 f ( 。) l l 2 p l z 。一x n - - 1 m n 2 ； c )l i z 。+ 1 一z 。i | 2 p ，( 上) | l z 。一x n - 1 1 1 ，n 2 ； d )i | 茁。+ l x o l i 【1 十m “，( “) + + 2 n - i m ( p ，( 弘) ) “】n r ，n 1 证当，扛) = 击时，在条件l 下上述结论是成立的又当“ i 3 时，有 i ， 1 r 五。c m x + ( 2 - c m ) 而方程g ( z ) = a 一 1 3 u ( z ) z = o 至少存在一个正根，故必有p ；，从而就有 南 丽焉寿面_ ，( 肛) ， 所以再由引理4 2 1 j i 上述结论在条件。7 成立 定理4 2 3 在条件k i 下，以。o 为初值得到的n e w t o n 序列 石。 收敛，其极限 是方程f ( x ) = 0 在闭球b ( x o ，r ) 中的唯一解， 该定理的证明与定理3 2 4 的证明完全类似，故在此略去 注( 1 ) 该定理的应用范围与定理3 2 4 的应用范围是相同的，即条件，与条 件k t 是等价的当条件甄成立时，由p o ，而t 毛n 正是- 中4 ) 的方 程的根，故条件k 1 7 成立；当条件k 1 7 成立时，由4 ) 知“ o ，而l l - 丛3 9 0 正是k 。中4 ) 的方程的根，所以条件甄成立 硕t 狳变关于w t o l l 迭代t 托y k a n t o r o v i c h 定型1 7 ( 2 ) 当函数p ( 。) = k z ”( 女，m z + ) 时，应用该定理更加简便此时，9 ( z ) = 娩m + l z + a , g ( z ) = k ( m + x ) z m 一1 ，容易判定g ( z ) 的极小值的符号，并容易检 验条件凰 ( 3 ) 定理3 2 4 中，当正数r 满足条件k ，中的4 ) i x j - ，仍需验证肛 ；，但在该定 理中，当正数r 满足条件k 1 中的4 ) 时，无需验证上 o 函 数u ( 。) 是连续非减的实函数，且u ( o ) o ； 4 )方程9 ( z ) = 2 a 一【2 3 p ( z ) 2 = 0 至少存在一个正根，记较小的那个正 根为r ： 5 ) b ( x 0 , r 一) n ， 其中 肛( z ) = 【b + u ( z ) z ， 并记p = 肛( r ) 引理4 3 1设，( z ) 三3 ，则在条件j 屯下成立 【1 + 老c 知删n 叶考”南。硼 证因为p ；所以可得 去卢，( p ) 1 砸士谤文 关于n e w t o n 送代的k a n t o r o v i c h 定型1 8 将j 卢，( p ) 看作首项为弘，( p ) 的等比数列的公比，则可得 娄c 知州 0 ，于是就有 1 十妻( 知) ) j 肚【1 + 端”去 引理4 3 2 设f ( x ) 三3 ，则在条件鲍下有下述结论成立： a ) 存在f ( z 。) 一，j j - i i f ( x o ) f ( ) _ “s ，( p ) ，n 1 ； b ) il f 7 ( z o ) 一1 f ( x 。) 1 i p l | 石。一z 。一l m 礼1 ； c ) l i 茁。+ t z 。l i 肛，( “) l i z 。一x - , l l ，n l ； d )i | z 。十1 一。o l | 【1 + p ，( 肛) + 一+ ( j 卢，( p ) pa 凡，n 1 证当，0 ) = 击时，在条件鲍下上述结论是成立的又当p ；时，有 131一z 而方程9 ( z ) = 2 a 一【2 3 弘( z ) 】z = o 至少存在一个正根，故必有p ；，从而就有 击 3 = m ) ， 所以再由引理4 3 1 知上述结论在条件j 岛成立 定理4 3 3 在条件7 下，以。o 为初值得到的n e w t o n 序列 茁。) 收敛，其极限 是方程f ( 。) = 0 在闭球百丽中的唯一解 该定理的证明与定理3 3 5 的证明完全类似，故在此略去 注( 1 ) 该定理的应用范围与定理3 ，3 5 的应用范围是相同的，即条件尥与条 件尬是等价的证明同4 2 中的注( 1 ) ，在此略 ( 2 )当函数上( z ) = z “( ，m z + ) 时，应用该定理更加简便分析同4 2 中的 注( 2 ) ，在此略 ( 3 )定理3 3 5 中，当正数r 满足条件k 2 中的4 ) 时，仍需验证p i 2 ，但在该定 理中，当正数r 满足条件凰中的4 ) 时，无需验证p o 溺 鼗。) 楚连续 疆懿实瓣数，i ；1w ( o ) 8 ； 4 ) 方程箩。) = 8 一【1 3 # ( z ) l z = 0 至少存在一个正校，淀较，l 、熬那个菠 擐为r ； 5 ) s ( x o , i t ) cq ， 其中 出) = 班扣2 + - t + 翮1b m _ l z r n - 2 + 锹一 并记芦= 舻( 固 弓l 理4 。4 1 设歹( 篁) 一瑟栖曼c sq ，剿程条件硷下成立 时奎渊