（应用数学专业论文）几类抛物型方程解的定性研究.pdf

摘要 几类抛物型方程解的定性研究 当前非线性偏微分方程研究领域中的个重要的研究方向，就是运用偏微分方程来研 究物理，化学、生物和经济等领域中的非线性现象本文考虑三方面的问题，其一。考察一类 快速扩散方程弱解的正则性，主要是解的全局h s l d e r 连续性与全局h 6 1 d e r 模估计；其二。 考虑一个交错扩散捕食模型( 强耦合的抛物型方程组) 解的整体存在性；其三，讨论几类非 线性抛物型方程解的爆破性质，包括解整体存在的条件( 即解的临界爆破指数) 、爆破速率 估计以及爆破点集的刻画等内容 第一章叙述与本文相关的研究工作的背景与发展概况，并概述本文的主要工作 第二章考察一类快速扩散方程弱解的正则性，这个方程的特点是其系数仅要求为可测 通过引入广义d eg i o r g i 类，并重新定义弱解( 弱上下解) ，建立了广义d eg i o r g i 上下类与 弱上下解之间的关系再利用测度论方法，证明了该方程的弱解在整个区域上是一致h s l d e r 连续的，并得到了弱解的全局h 6 1 d e r 模估计 第三章研究一个交错扩散捕食模型( 强耦合的抛物型方程组) 解的适定性运用有限差 分方法与熵不等式技巧，证明了在高维空间上该模型有一个整体存在的弱解。同时还说明 了这个解是非负的 第四章探讨一个定义在半空间上且带有两个非线性反应项和两个非线性边界条件的抛 物型方程组通过引入一组合适的不等式，并借助于精细的s c a l i n g ( 尺度变换) 分析和迭 代，我们导出了爆破解的爆破速率估计和爆破点集特别是对一维空间的情况。我们得到了 有关于爆破速率估计和爆破点集刻画的完整结果 第五章考虑一个拟线性抛物型方程正解的爆破性质通过构造精细的上下解，我们首 先确立了解的临界爆破指数；然后应用比较原理给出了爆破解的爆破点集；最后，借助于细 致的尺度变换分析估计了一个特殊情形下爆破解的爆破速率 运用与第五章类似的方法，第六章对一个互助模型确立了临界爆破指数以及某些条件 下解的爆破速率的下界估计 第七章研究一类局部源与非局部源共存的抛物型方程组，主要考察局部源和非局部源 对解的爆破性质的影响借助于寻求解的两个分量之间的精确关系、利用研究方程式的基 本方法和部分已知结果，我们得到了解的爆破模式进而，对局部源与非局部源各自的影响 i 区间给出了一种量化的划分 关键词；快速扩散方程；全局h 6 1 d e r 模估计i 广义d eg i o r g i 类l 弱解的整体存在性； 熵不等式；非线性发展方程；临界指数；有限时刻爆破i 爆破速率；爆破点集 a b s t r a c t q u a l i t a t i v es t u d i e so fs o m ep a r a b o l i ce q u a t i o n s s t u d y i n gn o n l i n e a rp h e n o m e n a 哪，p 鲥o g i nv & r i o u $ f i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y a n de c o n o m i c s ，e t c ，h a sb e c o m e 蛆i m p o r t a n t a s p e c ti nt h ef i e l do fn o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h r e ek i n dp r o b l e m s 玳d i 翻a l b 8 e di nt h ep r e s e n tp a p e f ：o n ei sr e g u l a r i t i e so fw e a k s o l u t i o n st oaf a s td i t f n s i o ne q u a t i o n ，m a i n l yc o n c e r n i n gu n i v e r s a lh 6 1 d e rc o n t i n u i t ya n du n i f o r u a h s l d e re s t i m a t e s ；o u ei st h eg l o b a le x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n st oa p r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t h s t r o n gc r o e s - d i f f n s i o n ；t h eo t h e ro n ei sb l o w - u pp r o p e r t i e so f s o l u t i o n st os e v e r a ln o n - l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d ec o n d i t i o n so f g l o b a le x i s t e n c e ( n a m e l y , c r i t i c a lb l o w - u pe x p o n e n t ) ，b l o w - u p r a t ee s t i m a t e sa n db l o w - u p8 e t e t c t h eo u t l i n eo ft h i sp a p e ri 8 拍f o l l o w s c h a r p t e r1i 8t h ep r e f a c e ，r e c a u i n gt h eb a c k g r o u n do ft h er e l a t e dw o r k ，a n ds u m m a r i z i n gt h e m a i nw o r ko ft h ep r e s e n tp a p e r c h a r p t e r2d e a l sw i t hr e g m a r i t i e so fw e a ks o l u t i o n st oaf a s td i f f u s i o ne q u a t i o n t h em a i n f e a t u r eo ft h ee q u a t i o ni st h a ti t sp a r a m e t e r s & r eo n l ya m u m e dt ob em e a s u r a b l e b yi n t r o d u c i n g a g e n e r a l i z e dd eg i o r g ic l a s sa n dr e d e f i n i n gw e a ks o l u t i o n s ( w e a ks u p e r - a n ds u b - s o l u t i o n s ) ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mi 8e s t a b l i s h e d t h e nb ya p p l y i n gm e a $ u r ea r g u m e n t s 。w ed e m o n s t r a t e t h a ta l lw e a ks o l u t i o n sa t eu n i v e r s a lh s l d 口c o n t i n u o u s ，a n du n i f o r l 吐h s l d e re s t i m a t e sa r ea 】8 0 p r e s e n t e d t h es u b j e c to fc h a r p t e r3i sa p a r a b o l i cp r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hs t r o n gc r o e s - d i f f n s i o n b y u s i n go ff i n i t ed i f f e r e n c e sa n da ne n t r o p yi n e q u a l i t y , g l o b a le x i $ t e n c eo faw e a ks o l u t i o nj 8a s s u m e d i nm u l t i d i m e n s i o n a ls p a c e f u r t h e r m o r e ，啪i l l u s t r a t et h a tt h i ss o l u t i o ni sn o n - n e g a t i v e c h a r p t e r4o o n 哪ap a r a b o l i cs y s t e md e f i n e di nh a l f - s p a c ea n dc o u p l e dw i t ht w on o n l i n - e a rr e a c t i o nt e r m sa n dt w on o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s b yi n t r o d u c i n ga s y s t e mo fs u i t a b l e e l e m e n t a r yi n e q u a l i t i e s ，a n db yv i r t u eo fs c a l i n ga r g u m e n t sa n di t e r a t i o nm e t h o d s ，b l o w - u pr a t e e s t i m a t e sa n db l o w - u ps e to fs o l u t i o n sa x eo b t a i n e d i np a r t i c u l a r ，f o rt h ec a s eo fo n ed i m e n s i o n a l s p a c e ，ac o m p l e t ec o n c l u s i o na b o u tb l o w - u pr a t ee s t i m a t e sa n db l o w - u ps e ti se s t a b l i s h e d c h u r p t e r5d e a l sw i t hb l o w - u pp r o p e r t i t i e so fp o s i t i v es o l u t i o n st oaq u a s i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n w ef i r s t l yo b t a i nc r i t i c a lb l o w - u pe x p o n e n tb yc o n s t r u c t i n gs u p e r - s o l u t i o n sa n ds u b - s o l u t i o n s ，a n dt h e nd e s c r i b l e sb l o w - u ps e tb yt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l e f i n a l l y , a p p l i c a t i o no f s c a l i n ga n a l y s i sg i v e sb l o w - u pr a t ee s t i m a t e s i i i b ya d o p t i n gs i m i l a ra r g u m e n t s 朋mc h a r p 魄5 ，说o b t a i nc r i t i c a lb l o w - u pe x p o n e n to l s o l u t i o n st oac o o p e r a t i v es y s t e mi nc h m p t e r6 a n dl o w e rb o u n d so fb l o w - u pr a t ea 弛a l s o d i 8 c i l s $ e du n d e rc e t 矗i nc o n d i t i o n c h a r p t e r7f o u c s e s0 1 18s y s t e mw i t hl o c a l i z e dj o u r c l ma c c o m p a n i e db yl o c a lt e r m s 。a n dc h i e f l y i n v e s t i g a t e st h ei n f l u e n c eo fl o c a l i z e ds o u z c e $ a n dl o c a lt e r m so i lb l o w - u pp r o p e r t i e so ft h i ss y s t e m b ye x p l o r i n g & p r e c k er e l a t i o nb e t w e e nt w oc o m p o n e n t so fs o l u t i o n s ，a n db ya d u p t 吨缸寄娜岫 a n ds o m ek n o w nr e s u l t si n 砒眦i y i n g 如出删i o i n ，b l o w - u pp e o p l eo f - o l u t i o n si se s t a b l i s h e d a n dh e n c e ，t h ei n | i u e n t i mi n t e r v a ld o m i n a t e dr e s p e c t i v e l yb yl o c a l i z e dt e n n sa n dl o c a lt e r m s ，i s d e r e t a i n e dq u a n t i t a t i v e l y k e yw o r d s ：f a s td i f f u s i o ne q u a t i o n ，u i 越o r l nh 6 1 d e re s t i m a t e s ，g e n e r a l i z e dd eo i o r g i 出秘， g l o b a l 明【i 8 t e n o ( w e a ks o l u t i o n s ，e n t r o p yf u n c t i o n a l ，n 咖1 i i 嘲r e v o l u t i o ne q u a t i o n ，b l o w - u pe x p o - n e n t ，b l o w - u pi n - f i n i t et i m e ，b l o w - u pr 曩t e , b l o w - u ps e t 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 研究生签名。碴鳘垒日期； 口 f f z 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名；壁垒硷导师签名日期；垒! ：! ：! 三 第一章前言 本文考虑三方面的问题s 其一。考察一类快速扩散方程弱解的正则性。主要是解的全局 h 6 1 d e r 连续性与全局h s l d e r 模估计l 其二，考虑一个交错扩散捕食模型( 强藕合的抛物型 方程组) 解的整体存在性；其三，讨论几类非线性抛物型方程解的爆破性质 自二十世纪六十年代第一篇探讨解的爆破性质的论文同世以来，后经许多科研工作者 的不懈努力，到如今，研究发展方程解的爆破性质( 包括解的临界爆破指数，爆破速率估 计以及爆破点集的刻画等内容) ，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个重要的研究 方向临界爆破指数也已成为刻画不同特往的解的分布情况的一个重要参数目前，解决 有关于解的爆破速率估计问题，尤其是方程组解的爆破速率估计问题的一个重要的工具就 是s c a l i n g ( 尺度变换) 方法然而，尺度变换方法这把。钥匙”能否打开爆破速率估计这扇 。大门的关键在于尺度变换后的方程的解是否具有较高的正则性( 至少在整个区域上应 是俨一2 ( 0 口 1 ) 函数) 所以，在考虑方程( 尤其是方程组) 解的爆破性质时，解决尺 度变换后的方程( 组) 解的正则性就成为必需 然而，总观在解的全局h s l d e r 连续性与全局h s l d e r 模估计方面的研究工作，对退化方 程和双奇性方程讨论的较多，比如到现在为止，已经解决了有关于线性方程、l * l & p l a c e 方 程和慢扩散方程( 即通常所说的渗流方程) 解的全局h 6 1 d e r 连续性及全局h 6 1 d e r 模估计 但对快速扩散方程讨论的较少据我们了解，对于这样个定义在有界区域上的快速扩散 方程 蛳= a ( n m - 1 u ) ，0 1 和0 ( m 1 的情况。在此之后人们相继运用各种不同的方法证明了方程 ( 1 1 1 ) 的非负弱解t 是h 6 1 d e r 连续的。并且还建立了与估计式( 1 。l 2 ) 类似的h s l d e r 模估 计不过，此时常数g 和口e ( o ，1 ) 除依赖于空间维数和d i s t q ，a p q t ) 外还与m 和 h u l i l ( q t ) 有关有兴趣的读者可以参阅文献 1 4 。1 6 ，2 9 ，3 4 ，3 7 】及其参考文献 最近，在文献【1 5 】中，e b m e y e r 运用有限差商方法( 二阶差分) ，在带权的s o b o l e v 空间 和分数次n i k 6 1 s k i i 空间中，讨论了带有齐次d i f i c h l e t 边值的方程( 1 1 1 ) 的解u 以及l i i u 豹正勋性特别缝。他得到了下面的结论， 定理( 1 5 】) 记 r 一( n ) 为n i k o l s k i i 空间 ( a ) 若0 m 1 ，则l i m _ l u 工簪( o 霉奢，警1 ( n ) ) ； ( b ) 若1 l ， 撕= d i v ( u m - 1 i v u f 一2 v ，m 1 ，p 1 ， 啦= d i v o v u m l p 一2 v t m km 0 ，p 1 ，坼扫一1 ) l ， ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 都已得到了广泛的研究与讨论，请参阅文献【1 ，2 ，9 ，1 6 ，2 7 ，文献【1 3 ，1 4 ，2 5 ，2 9 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 7 】， 【4 3 ，4 4 ，4 6 ，蛾6 2 ，6 6 ，6 8 ，7 5 ，7 7 ，7 8 ，7 9 ，8 l ，8 5 ，1 0 1 ，1 0 2 ，1 1 0 ，1 1 4 ，1 1 6 ，1 1 7 ，1 3 3 ，1 3 6 】及其参考 文献 第一章前言 3 在讨论奇性或退化的椭圆型方程以及抛物型方程解的h 6 1 d e r 连续性与h 6 1 d e r 模估计 时，d eg i o r g i 类和岛类是两个重要的研究工具椭圆型方程的情况可以参阅文献【1 9 ，3 3 】 及其参考文献；抛物型方程的情况请参阅文献阻，3 5 ，3 7 ，8 5 ，1 3 3 l 及其参考文献 1 2与生态模型解的适定性相关的研究工作的发展概况 当前，利用偏微分方程研究生物种群动力学，化学反应动力学以及分子生物学等领域 中的非线性现象，已成为非线性偏微分方程研究领域中的一个重要的研究方向最常见的 有平衡态问题的模式形成( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 问题，包括非常数的正平衡解的存在性，唯一 性、分支结构、稳定性等内容鉴于本文的工作。我们仅介绍与强交错扩散的生态模型相关 的研究工作，主要是有关于解的适定性的研究工作的进展 具有n e u m a n n 边界条件的强交错扩散的抛物型方程的一般形式为， i 巩撕一d i v j , 一，扣l ，t 2 ) ， ( 茹，t ) o ( 0 , o o ) ， 卜垆o ) 弧( o c o ) ( 1 2 1 ) it q ( 聋，0 ) ：= u i 0 ( z ) ， 。n ， ij ：i = v ( q 啦+ o i t + a 吣“l t 2 ) + d i 地v 矾i ，j = l ，2 ，i j ， 其中区域qcr 有界光滑，r 表示a 0 上的单位外法向矢量蛳( 。，t ) 表示第 个物种的密 度，对应的流量为j ；f ( 毛t ) 函数血矿= 吐i v 如，t ) 表示环境的舒适度，与之对应的扩散可以反 映出物种所处的环境是否利于物种的生存t 当某处的环境位势比较低( 即环境比较舒适) 时，将会有更多的物种迁移到该处；反之。物种将会逃离该处扩散系数c i 和叼( 毛j = l ，2 ) 为非负常数，d ro = 1 ，2 ) 通常，c i 指物种个体自身所具有的迁移能力，表示种群 内部个体间的相互作用叼( i j ) 表示种群问的相互作用更为详细的物理学和生物学背 景请参阅文献 9 3 ，1 1 1 下面仅介绍反应顷 的三种简单形式， ( 缸1 ，地) = ( 两一风l u l 一卢1 2 u 2 ) u t ，2 m l t 2 ) = ( r 2 一如l t l 一岛2 “2 ) t 2 ，( 1 2 2 ) 问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 称为带有交错扩散项的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型 ( “i ，t 1 2 ) = ( 五l 一历i u l p 1 2 u 2 ) u l ，五( u l ，u 2 ) = ( 岛- i - 恳l “l 一尾2 “2 ) 地，( 1 2 3 ) 问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 3 ) 称为带有交错扩散项的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型此时，“l ，t 2 分别表 示食物和猎物的分布密度 f l ( i 。1 ，“2 ) = ( r l 一岛l t l + 卢t 2 u 2 ) u x ，2 ( “l ，u 2 ) = ( j b + 岛l t z l 一仍2 t 2 ) u 2 ，( 1 2 4 ) 4东南大学博士学位论文 问题( 1 2 1 ) 、( 1 2 4 ) 称为带有交错扩歙项的l o t i m - v o l t 目r r a 互助模型 1 9 7 9 年。s l a i g e 岫d a 等人在文献1 1 1 l 】中首次介绍了问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 对于问题 ( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 非负解的局部存在性与唯一性，舡岫在文献【4 】中给予了肯定的回答这 里需要指出的是。文献【4 】运用解析半群方法对更为般形式的强交错扩散方程建立了有关 于解的局部存在性的抽象理论 在最近的十年里，许多研究人员又都致力予探讨问题( 1 2 。1 ) 一( 1 2 2 ) 解的整体存在性t 对 = l ，c l ；c 2 ，嘲= 武一00 * 1 ，2 ) 的情况。k i m l 6 9 】证明了问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 有整体存在 的非负解；对n l ，一d = 0 “= l ，2 ) 的情况，嘶i n g 3 1 】证明了若系数叼( i ，) 比较 小，则问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 有整体存在的正解；对vz2 ，d 2 i = 面= 0 ( i = 1 ，2 ) 的情况，l o n i 和w u 8 3 】证明了问题( 1 2 1 ) - 0 2 2 ) 存在唯一的光滑整体解对= 2 ，d i 一0 ( i = 1 ，2 ) 的 情况。y 礤f 1 3 4 】证明了若以下条件之一成立 ( i ) 孙l l 口1 2 且溉 a 2 l o ；( i i ) 口2 l 互嘞= 0 且a l ! 0 ， 则问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 有整体存在的解 2 0 0 0 年，五d 盐a 帆和y a m a d a 【6 7 】考虑了反应项，t 的三种形式他们给出了以下主要结 论 竞争问题；设= l ，2 如果6 4 b l i a l 2 口1 2 幻i 或6 4 口1 1 8 1 2 一口1 2 钇l 0 ，那么阔题 ( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 存在唯一的非负解“口) ，且满足， 臀，t ，e ( f o ，) ，l 2 ( q n g ( ( o 王产( 0 ) ) n c l ( f 0 ，o o ) ，1 2 ( n ) ) ； 捕食问题z 设= l ，2 如果反l 0 ，且6 缸l m 控 口1 2 口2 l 或6 4 8 1 l a l 2 = 8 1 2 0 2 l 0 ，那么 问题( 1 2 1 ) ( 1 2 3 ) 存在唯一的非负解扣，管) ，且满足 ，锄g ( 【0 ，) ，l 2 ( n ) ) ne ( ( o ，) ，上产( n ) ) nc 1 ( ( o ，) ，l 2 ( n ) ) ； 互助问题：设n = 1 ，2 如果卢1 1 口娩 卢1 2 岛l ，且6 缸i l 口1 2 1 1 1 2 a 2 l 或6 缸l l 口1 2 一0 1 2 d 2 l 0 ， 那么问题( 1 2 1 ) ( 1 2 4 ) 存在唯一的非负解( “，t ，) ，且满足z t ，c ( 【0 ，) ，( n ) ) n c ( ( o ，o o ) ，t 2 ( n ) ) n c l ( ( o ，) ，舻( n ) ) 有关于强交错扩散方程解的适定性问题，有兴趣的读者还可以参考这些文献s 对于抛 物型方程请参阅文献【3 ，4 ，t 0 3 ，对于平衡态问题请参阅文献【1 0 4 ，l 矧然而，无论是从发展 方程角度还是从平衡态问题角度来说，对竞争模型的研究远远多于对捕食模型的研究，请 参阅文献f 2 2 ，2 3 ，3 i ，6 9 ，7 2 ，8 0 ，8 3 ，1 0 8 ，1 1 2 ，t t 3 以及文献【1 3 0 ，1 3 4 ，1 3 5 第一章前言 5 1 3 与解的爆破相关的研究工作的发展概况 1 9 6 6 年，f u j i t a 关于抛物型方程初值问题解的临界爆破指数的研究工作的问世【5 3 1 ，极 大地推动了抛物型方程解的整体存在性与有限时刻爆破这一研究领域的工作进展后经许 多研究工作者的不懈努力，这一研究方向碍到了不断的拓展与丰富t 从单个方程到方程组； 从最早仅讨论解在有限时刻爆破的条件延伸到后来涵盖了爆破条件、爆破速率估计以及爆 破点集等一系列爆破问题的探讨近来。又不断涌现一系列新的研究课题。比如非局部问题 解的爆破性质，完全爆破与不完全爆破问题等下面介绍与本文有密切联系的关于解的爆 破的研究工作的进展。 ， 1 3 1 局部问题 a 初值问题 上世纪六十年代，f q i t s 5 3 】讨论了c a u c h y 问题 f t t = a u + t p ，霉r n ，t 0 ， u ( 茹，o ) ：t 0 ( z ) o ，窖r ( 1 3 1 ) 的非负解在有限时刻爆破的条件，其中p 1 ，t o ( 茹) 是非负的可测函数他证明了p c ( ) = l + 2 ，是临界指数，即当1 1 他们给出了f u j i t a 型临界爆破指数记 a = 万1 + 玎p ，卢= 万l + j q ， 6东南大学博士学位论文 他们证明了t 若m 叛 q 斛a y 2 ，则同题( 1 3 3 ) 的任意非平凡的解都在有限时刻爆破i 若 m a x n ，卢 0 ， 【u 如，0 ) 罩t o 协) 0 。甜( ，0 ) 篇t 岫扛) o 霉r b 初边值问题( 齐次d i r i c h l e t 问题) 对于单个方程 f 毪2a r t + 妒， 奢q ，t 0 ， u l i n 9 0 ， 茁a n ，t o ，( 1 3 4 ) l t 扣，o ) ；e o ( x ) 0 ，霉n ， 其中p 1 ，区域ncr 有界光滑，众所周知有这样一个结论小初值时问题( 1 3 4 ) 的解 整体存在；大初值时问题( 1 3 4 ) 的解在有限时刻爆破 对于问题( 1 3 4 ) ，w e i s s l e r 1 2 9 】对某些空间维数和某些p 建立了解的爆破速率估计 后来，f r i e d m a n 与m c l e o d 5 1 】讨论了更为般的情况，得到与w e i m l e r 完全相同的结论， 即 c 一再m 。【0 a x u ( 删) ( t t ) l ，沪1 d( 1 3 5 ) 后来，人们又推广研究半线性方程组的初边值问题 r t t = a u + 俨矿，饥= 口+ u 口， 王n ，t 0 ， 珏= 口= o ， 霉a q ，t 0 ， ( 1 。3 6 ) l t 忙，0 ) = t l o ( $ ) 0 ，口忙，0 ) = t , o ( z ) 0 ，霉e n 解的整体存在性与有限时刻爆破，又有许多研究人员展开了讨论( 2 4 ，1 2 0 ，1 2 1 ，1 2 2 1 ) 近十年来。人们又把注意力转向于带有非线性边界条件的初边值问题、非局部问题和 局部化问题 c 非线性边值问题 第一章前言 7 1 9 7 5 年。w a l t e r 1 1 8 】利用上下解方法研究了带有非线性边界条件的初边值问题 f t i = a u ， z n ，t 0 ， 嘉= 矿， 霉鼢，t o ，( 1 3 7 ) 【u ( 毛o ) = u o ( x ) 芝o ，0 ，$ n ， 其中p 1 ，区域ncr 有界光滑他证明了问题( 1 3 7 ) 的任意解都在有限时刻爆破 g o m e z 等人在文献 5 9 】中对n b r ( 0 ) 的情况，h u 与y i n 在文献【6 5 】中对一般区域n 的 情况，都建立了以下爆破速率估计 c s 犏u ( 酬t 一妒s d 此外，他们还证明了解的爆破点集为区域的边界a 0 w a n g 等人在文献【1 2 5 】中考虑了带有非线性边界条件的半线性热方程的初边值问题 r 毪= + t p ，0 0 ， l u ( 毛o ) = t 0 ( 霉) 0 ，0 ，0 霉s 1 ， 其中m 丑一x i p ，g ) 1 他们证明了同题( 1 3 8 ) 的任意解都在有限时刻爆破 得到了下面的爆破速率估计 c ss u p“( z ，t ) ( t t ) 口a 1 0 ，l l 【0 j r ) 并且证明了解仅在边界善= 1 处爆破在这里， ( 1 3 8 ) l i n 与w 弼i s 9 】 o l ；1 ( p 一1 ) 当p 2 q l 时，口= 1 2 ( q 1 ) 】当p 0 ， 韶= t ，p ，器= u 口， 盘凇，t 0 ，( 1 3 9 ) l “( z ，o ) = t _ 1 0 ( 窖) 0 ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，。q 解的整体存在性与有限时刻爆破以及爆破速率估计，其中瑚 1 对于球域，即q = b r 的 情况，爆破速率的结果是 c i m a x ，“( z ，r ) ( t t ) c 1 + p ) n m 一1 ) l c ：c m 弩 ( 。，下) ( t t ) ( 1 + 口) ，【2 ( p 叮一1 ) 】d 8 r i o ，妇口r x 【o t 叫 8东南大学博士学位论文 文献【1 2 3 ，1 2 5 1 研究了一个更为复杂的方程组 it 缸鲁弘珏+ 伊，v t = t ，船+ t ，0 0 ，( 1 “o ) il k ( o ，力= o 1 k ( 1 ，力= t ”( 1 ，t ) ，t 0 ， 。 i “扣，0 ) = t o ( 2 ) ，口0 ，0 ) l t ，o ( 霉) ，0 z 1 ， 其中p , q ，寿与m 为正数。初值坳扛) _ 和蜘是非乎凡非负的d 1 函数且满足相容性条件 他们证明了阿题( 1 3 1 0 ) 的解“，口) 在有限时刻爆破的充要条件是 m a x p ，m p ，m _ g ，咖 1 ，( 1 3 1 1 ) 并建立了各种系数关系下问题( 1 3 1 0 ) 解的爆破速率估计 关于初值问题、初边值问题以及带有非线性边界条件的初边值问题解的整体存在性与 爆破的工作进展，请参阅综述文献郾】和 7 3 1 1 3 2 局部化问题 局部化问题所讨论的方程的般形式为， 撕一u = y ( u ( z o ( t ) ，t ) ) ， 其中函数z o ( t ) ：r + - + n 在r + 上h 6 1 d e t 连续一般来说，局部化问题是对这样种物理现 象的模型化，即在某个动力系统中，反应只依赖于某一点的温度的变化更详尽的物理背景 豹描述可以参月文献驻l 】移刚 对于单个方程 f t t 一缸= f ( u ( x 0 ( t ) ，t ) ) ，o o ，t 0 ， u ( 毛t ) = 0 ， 0 f l ，t 0 ，( 1 3 1 ) l u 扛，o ) = u o ( z ) o 出n ， 近些年已有许多学者讨论了同题( l 3 1 ) 解的爆破性质，请参阅文献【2 6 ，2 8 ，9 9 。1 0 0 ，1 2 7 j 及 其参考文献对于，( t o ( t ) ，t ) = t 严( 岔，t ) 矿( 跏( t ) ，t ) 一# u q ( z ，t ) 的情况s o u p l e t 9 9 1 得到了同 题( 1 3 1 ) 解的最佳临界爆破指数后来，对m = p = 0 的情况，s o u p i e r t 0 0 引进了一 种新方法建立了问题( 1 3 1 ) 爆破解的爆破模式；若p 1 ，则在n 的紧子集上一致地有 牌p t ) 1 7 p 一1 u ( 。，t ) = ( p 1 ) 一1 7 d n ，这里的t 表示解“的爆破时刻 文献【8 6 】研究了挞物型方程组 f u t 一“= 矿( 。o w ，吨一a v = e u ( z e ，0 ， 毒o ，f 0 ， 缸= t ，之0 ，霉触， 0 ，( l 3 2 ) 【t 上( z ，0 ) = t o ( ) 0 ，材( z ，0 ) = t i o ( $ ) 0 ，善n 第一章前言 9 解在有限时刻爆破的条件，并对0 = b r ( 0 ) 及z o = 0 的情况给出了爆破速率估计； r l n ( t t ) 一t j o ( o ) s u p u ( , t ) s c ( 1 一t u 口一t ) ) ， l 一1 n ( t t ) 一t l d ( o ) s , u p v ( ，”曼c ( i l n ( t t ) ) 文献【8 7 j 和 8 8 1 分别讨论了方程组 f t h = a s + e m ( 却，o + 舢( “0 ， e n ，t 0 ， 轳a v + d 咖 0 州”， “嘎t 0 ( 1 3 3 ) lu 窑 = 0 ， 2 e 鼬，t 0 ， l t 扛，o ) = t e ( 动o t ，( z ，o ) = 铷( 露) o 2 n 和 f 嘶= a u + 俨( 知，d 俨( 知，t ) ， 霉n ，t 0 ， 驴血w 缸o 妒( z o , t ) 蚝8t o ( 1 3 4 ) iu = p = 0 ， 篁钿，t 0 ， i “( ? ，0 ) = t 0 p ) 2o ，棚( ，0 ) = t 0 ( 动0 ，名q ， 其中区域qcr 有界光滑，初值t o ( 善) 和1 j o ( z ) 是g 1 函数且在边界0 a t 上取值为零卫oeq 为一定点参数p q ，m 和n 为正数他们都给出了解在有限时刻爆破的条件。爆破速率估 计以及爆破点集 1 4 本文主要工作概述 第二章讨论这样一类快速扩散方程弱解的正则性，主要是解的全局h s l d e r 连续性与 h s l d e r 模估计， ( 川1 破一d i v a ( 茁，u , d u ) + 6 扛，# ，u , d u ) = o 在( q ) 上， 其中q t = n ( o ，7 1 ，ncr 为有界区域，m 1 ，d 仅表示对空间变量。= ( l ，f ，霉) 的 梯度这个方程的特点是，函数s t ：r 2 + 1 h r 和函数6 ：噼+ 2 卜+ r 只要求可测且满足 一些结构性条件，