（系统工程专业论文）期权及其定价的应用研究.pdf

中文摘要 期权是一种衍生金融工具，由于它的套期保值、投机与避险等作用突出，因 此在现代国际金融市场上发展迅猛、得到广泛应用。而在我国，期权不论是在理 论研究上还是在实际应用中，都存在不足。 本文第一章介绍了期权的基本含义、主要类型以及目前在国际上的主要应 用。第二章分析了几种主要的期权。第三章的内容如下：期权定价的基本原理： b l a c k - - s c h o l e s 定价模型；加以改进的期权定价模型：各定价模型的适用范围； 第四章，将期权思想应用于经济领域中，运用期权定价理论和方法对经济活动进 行定量地分析评价。第五章，结合国外目前期权的发展现状，提出将期权引入我 国各经济领域的重要作用。 在实际中引入期权思想时，将企业拥有的某种权利、有利机会等看作一种期 权，将其与其他金融工具结合构成投资策略，应用于投资、筹资或企业战略决策 中。运用期权的定价方法克服了传统净现值法只能被动地拒绝或接受某投资项目 或方案的缺陷，可以充分发挥管理层的决策灵活性，能动地利用资产和机会。在 对期权定价时，借助e x c e l 的强大编辑运算功能，使输出结果精确快速。同时， 采用实例分析，通过对比分析说明的方法，更形象地体现了期权思想在实际应用 中的实用性和可靠性。 文旨在通过分析期权及其定价方法， 方法以及较使用传统金融工具的优越性 指出研究的实际意义。 明确其在实际应用中应用的范围、操作 并通过具体实例说明问题，提出建议， 关键词：期权套期保值套利头寸复制风险中性世界 ， a b s t r a c t 0 p t i o ni sak i n do ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh e d g i n g ， s p e c u l a t i o na n dr i s ke s c a p i n g i td e v e l o p sf a s t a n da p p l i e sw i d e l yi nt h em o d e m i n t e m a t i o n a lf i n a n c i a lm a r k e t s b u ti nc h i n a , t h e r ei sw e a k n e s so fo p t i o n sr e s e a r c h e s b o t hi nt h e o r ya n di n p r a c t i c e f i r s t l yt h i st h e s i si n t r o d u c e so p t i o n sm e a n i n g s ，t y p e sa n d i t sm a i n a p p l i c a t i o n si n t h ew o r l d n o w a d a y s s e c o n d l y , t h ef o l l o w i n g c o n t e n t sa r ea n a l y z e d ：i ，t h ek e y s t o n e s o f o p t i o n sp r i c i n g i i ，b l a c k - - - s h o l e sp r i c i r 培m o d e l i i i ，r e f o r m m i v eo p t i o n sp r i c i n g m o d e l i v ，a p p l i c a t i o n sr a n g eo f t h e s ep n c i n gm o d e l s t h i r d l y , h o wo p t i o n si d e aa n d o p ta r ea p p l i e di np r a c t i c ei ss h o w e d i nt h ee n d ，i tp u t sf o r w a r dt h ei m p o r t a n c eo f u s i n go p t i o n s i nd o m e s t i cm a r k e t t h eo p p o r t u n i t i e sb e l o n # n gt ot h ee n t e r p r i s em a yb er e g a r d e da so p t i o n s o n e s t r a t e g yi sf o r m e dw h e no p t i o n sc o m b i n e dw i t hf i n a n c i a lt o o l s ，w h i c hi su s e di n i n v e s t m e n t ，f i n a n c ea n de n t e r p r i s e s t r a t e g ym a n a g e m e n t t h i so p t i o n s m e t h o d o v e r c o m e st h es h o r t c o m i n g so ft h en p v b yw h i c hi n v e s t m e n tp r o j e c t sc a no n l yb e a c c e p t e d o rr e f u s e dp a s s i v e l y i ta l s oa l l o w sm a n a g e r st oe x e r tt h ea s s e to r e x p l o i tt h e o p p o r t u n i t i e so n t h e i ro w n i n i t i a t i v e p r i c i n gt h eo 两o n s b ye x c e li sm o r ee x a c ta n d q u i c kt h a nb yh a n d i ts h o w st h a to p t i o i l sm e t h o di sm o r ep r a c t i c a la n dr e l i a b l ei n p r a c t i c ec o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d ss u c h a sn p v t h et h e s i sa i m st oe x p l a i nt h ev a l u eo ft h er e s e a r c h e so nt h eo p ta n db r i n g s f o r w a r di t sg u i d i n g m e a n i n g t ot h ed o m e s t i co p t i o n s a p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ：o 埘o i l s ，h e d g i n g ，a r b i t r a g e ，p o s i t i o n s ，r e p l i c a t i n g ，r i s k - n e u t r a l w o r l d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘连盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：战剪硼 签字日期：却印；年，月手p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨洼盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨连盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：爿嘭殉3 签字日期：纱啄年己月j 口日 撇名：彩名 导师签名：矽 2 签字啉哆铴月珈日 天津大学硕士学位论文 第一章期权介绍 1 1 期权含义【1 【2 【3 】 第一章期权介绍 期权( o f t i o n s ) 是一种选择权，它赋予期权的持有者能在未来某特定时间以 特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利，但不必承担义务。所以， 期权是在一定价格、一定时间内可以但并非必须买卖原有证券的权利。因为期权 代表了一种权利而不必承担义务，所以在市场上称为具有一定价值的金融工具 ( 有价证券) ，但是是由期权所要购买或者出售的资产的( 标的资产或标的物) 衍生出来的，所以期权是一类衍生工具( 衍生证券) 。对于这种权利的买进或卖 出，都是有代价的，其代价就是期权费( o p t i o n sp r e m i u m ) 。 例如，某投资者买进i b m 股票的8 月卖权执行价$ 1 2 0 ，这就意味着当所有 的8 月股票期权合同到期之前或到期时，如果i b m 股票价格低于$ 1 2 0 ，他仍旧 可以在$ 1 2 0 的价格上卖掉；如果m m 股票价格高于$ 1 2 0 ，他便放弃这个期权。 1 1 1 期权的类型 期权作为衍生工具的一大类，按不同的分类标准可划分为不同的种类1 4 j 。 ( 1 ) 按照期权和约所赋予的权利的性质，期权可分为看涨期权和看跌期权( 按 期权合约性质可分为看涨期权、看跌期权和双期权) 。看涨期权( c a l lo p t i o n s ) 也称为买权，或认购期权，它赋予期权持有者购买表的资产的权利；看跌期权( p u t o p t i o n s ) 也称为卖权，或认沽期权，它赋予期权持有者出售标的资产的权利。 ( 2 ) 按照可行使权利的时间( 执行方式) 划分，期权可分为美式期权和欧式期 权。美式期权可以在规定的有效期限内的任何时候可以行使权利；欧式期权只能 在规定的合约到期目方可行使权利。期权买方在期权合约到期日之前不能行使权 利，过了期限，期权合约也就自动作废。 ( 3 ) 按照标的资产的类型，期权可分为商品期权和金融期权。其中商品期权又 可分为农产品期权、金属期权、能源期权等；金融期权又可分为股票期权、股票 指数期权、外汇期权、利率期权和期货期权等。 ( 4 ) 按照立即执行期权可以给期权持有者带来的损益情况，期权也可分为实值 期权、虚值期权和两平期权。实值期权( i n t h e m o n e yo p t i o n s ) 是指如果立即执 行期权可以给期权持有者带来正的收入；虚值期权( o u t o f - t h e m o n e yo p t i o n s ) 天津大学硕士学位论文 第一章期权介绍 是指如果立即执行期权可以给期权持有者带来正的损失：两平期权( a t t h e - m o n e y o p t i o n s ) 是指如果立即执行期权给持有者带来的损益为零。但是，三者并不是绝 对的，随着时间的推移，可以相互转化。 1 1 2 期权合约的构成要素 ( 1 ) 敲定价格【1 1 1 4 1 5 1 【6 】( s t r i k ep r i c e ) ：又称实施价格、执行价格，是指期权到期 时持有者行使权利时，双方交易标的资产时所采用的价格，一旦敲定，不容更改。 实施价格也是关于标的资产的价格，但不是由市场决定的，而是由期权和约所规 定的。对于同一种期权合约的标的资产，在期权市场上往往有少则几种，多则十 几种敲定价格，敲定价格不同的期权合约，按照与当时市价差别而有不同的标价 ( 即权利金) ，而且这一标价又要考虑是看涨期权还是看跌期权，合约剩余有效 期的长短等因素。 由于标的资产的市场价格随时都在变化，而执行价格始终保持不变，因此随 着时间的推移，两者之间的高低关系也可能不断的变化。而两者之间的高低关系 就决定了期权持有者可通过执行期权获得的收益。很显然，作为期权和约的持有 者，只享有权利而不承担义务，因此只有当有利可图的时候才会行使权利，如果 行使权利反而会使自己遭受损失的话，毫无疑问会放弃使用该权利。对看涨期权 的持有者来说，只有当标的资产的市场价格高于执行价格时( 此时期权为实值) ， 才可能行使权利，而当标的资产的市场价格低于执行价格时( 此时期权为虚值) ， 不可能行使权利，当标的资产的市场价格等于执行价格时( 此时期权为两平状 态) ，行使权利也没有意义。但是，尽管当期权处于虚值或者两平状态时，期权 持有者不会行使权利，但这并不表示虚值期权或两平期权没有价值，只要期权还 没有到期，随着标的资产市场价格的变化，期权还是又可能变化到实值状态的。 ( 2 ) 合约商品和数量呸一般选择那些交易量大，便于储运，品质易于划分的 商品，并且这些商品的价格一定要波动频繁，走势难以把握。由于期权可以以期 货合约作为合约商品，故它创造的合约品种比期货要多。 ( 3 ) 合约有效期限【b 】【9 l 【1 0 】：一般不超过9 个月，以3 个月和6 个月最为常见。 其表示方法是按月份标示，形成三个循环：1 月循环( 1 - - 4 - - 7 - - 1 0 月) ，2 月循环 ( 2 5 8 1 1 月) ，3 月循环( 3 6 9 1 2 月) 。对于股票期权，股票指数期 权来说，由于股票价格变化十分频繁，合约有效期也比较短，一般为1 个月，2 个月，3 个月。 ( 4 1 期权交易地点【9 】：一般在专门的期权交易所内进行。至于场外非标准化期 权合约，则一般由银行或一些投资公司安排，交易地点可由交易双方商定。 ( 5 ) 期权价格( 期权费，保险费，权利金) 【7 】 8 】：是期权买方为购买选择权利而 天津大学硕士学位论文第一章期权介绍 向期权的出售者支付的那笔金额，期权价格反映的是和约所赋予期权持有者的权 利的价值，期权和约在交易所公开交易，也就是改权利的转让过程。它是随市场 状况而变化的。 ( 6 ) 合约格式：一般规定合约的交易单位，最小变动价位，每日最高波动幅度， 合约月份，最后交易日，履约日的选定，交割方式等。 1 2 期权价格 期权价格【4 l 是购买或出售期权的价格，是期权合约中唯一的变量。对于期权 买方来说，权利金是为了期权而必须支付给卖方的一笔费用，因此权利金是由买 方负担的，这也是买方面临最大损失时所付出的代价。对于期权的卖方来说，他 所得到的是售出期权而收取权利金，同时承担必须履行期权合约的义务。 1 2 1 朗权价格的构成 期权的价格主要由内涵价值和时间价值两部分组成。 ( 1 ) 内涵价值【4 ( i n t r i n s i cv a l u e ) 3 l 称履约价值( e x e r c i s ev a l u e ) ，指期权本身所具 有的价值，也是履行期权合约时所能获取的利润。它反映了期权敲定价格与相关 标的资产市价之间的变动关系。按照有无内涵价值，期权可分为：实值期权，虚 值期权，两平期权。实值期权：当看涨期权的执行价格低于当时的标的资产市价 或看跌期权的价格高于当时的标的资产市价时，该期权为实值期权；虚值期权： 当看涨期权的执行价格高于当时的标的资产市价或看跌期权的价格低于当时的 标的资产市价时，该期权为虚值期权；两平期权：当看涨期权或是看跌期权的执 行价格等于当时的标的资产市价时，该期权为两平期权。具体关系表示，见如下 表1 1 ： 表1 1 ：期权的内涵价值 期权看涨期权看跌期权 实值期权期权执行价格( 标的资产市价期权执行价格 标的资产市价 f l t m ) 虚值期权期权执行价格 标的资产市价期权执行价格 o ) 。 ( 3 ) 求解( 风险中性定价) b s 随机微分方程中，通过动态对冲( 称为矗对冲) 的办法，使风险因 为完全的对冲而消除掉，方程中不再含有随机项= ；同时，方程中也不再含有， 股票的预期收益率中含有风险补偿，因而会与投资者的风险偏好有关，不含口， 说明问题与投资者的风险偏好无关。这样可以运用风险中性假设。 因此，把求解b s 随机微分方程的期权定价问题先放到一个“风险中性” 的世界去研究。在这个假想的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，他们 对于有风险资产的收益，都不需要风险的补偿。因此，所有资产的预期收益率都 相等，即都等于无风险收益率，。 f 俐= e 毗”f ) ) 当我们把真实世界的问题转移到风险中性的世界中时，并没有改变标的物 股票价格运动和变化的方式。所以，在假想的风险中性世界里，股票价格仍然应 该服从对数正态分布。而且从直观想象，波动率a 也应当保持不变，不同的是“。 为了有所区别，我们在假想的风险中性的世界里，把“记为i 。 因为服从对数正态分布的价格变化的规律时的价格预期值( 数学期望值) 的正确 表达式为： 剖s ( 力 = s ( 0 * x p ( f p f ) + a 2 p - 0 ) 天滓大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 e 陋) 1 - s o ) c x p ( 砸一r ) + j a 2 口一r ) ) 同时有： p ) ) 部( f ) c x p 。( t - t ) 所以有： i - - - r f j 一 在风险中性世界里的定价应当是： c o 。xr ) = e _ r ，盯1 e ( m a x p 口) 一心。 ) 记，( j ) 为风险中性概率的密度函数，可把上式写成： 娥l ，) 可以_ f 扣a x p 叫，嘶) 2 e _ ，汀q ? m a x j 盱) 一足】，+ ( ；口) ) 一j p ) 在风险中性世界里，有： 崦俐州融2 圳 ，可以化作标准正态分布形式：z ：n ( o , 1 1 c 沪s e 癣”瓜口以f ) 番蚋训磋出 叫k p 譬陟f 争o j 2 一。，据_ 2 如 = s ( r ) ( 万+ 盯f j ) 一k e l 盯。) ( 孑) l 出电h 代入i = 。一j 1 盯2 ，就有 d 昌 霉 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 j = 又有吐= d 2 + 盯f j ，于是得到： c ( s ( r ) ，f ) = s ( r ) ( 吐) 一k e 一7 “( 吐) 这就是b s 随机微分方程的解。因为问题本身与投资者的风险偏好无 关，所以在风险中性世界里的解也就是真实世界的解。 n ( d 2 1 的含义： = p + = n p + ( s 静) 足) = p o 【壶坦：! ! o q t i - - t = p + 崦f 警h r f ) c r 4 t 一 = n ( 4 ) 所以，n ( d 2 1 是在风险中性世界里，股票价格高于预定价的( 风险中性) 概率。由风险中性定价的原理知，假如一份期权到期末时，如果标的物股票的价 格高于期权的预定价，则到期时期权的价值为1 ，否则为0 。这样这份期权现在 的定价就是月v ( 破) 。 假设市场上某股票现价s 为1 6 4 ，无风险连续复利利率y 是0 0 5 2 1 ，市场 方差盯2 为0 0 8 4 1 ，那么实旖价格世是1 6 5 ，有效期r 为0 0 9 5 9 的期权初始合理 价格计算步骤如下： 求反： d i 一- - h ( 等 + ( 0 0 5 2 + o 萼4 1 ) o 啷， ，- 4 0 0 8 4 1 x 0 0 9 5 9 2 s 求d ，： d a - - 0 0 3 2 8 - - 0 0 ：0 8 4 1x 0 0 9 5 9 = - - 0 0 5 7 0 查标准正态分布函数表，得： 力( o 0 3 ) = 0 5 1 2 0 ：n ( - - 0 0 6 ) = o 4 7 6 1 求c ： 2 4 - 竺 攀 嵋一 挚 d 牡 一 遨生 叫一 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 c ：1 6 4 x 0 5 1 2 0 1 6 5 x e o ”2 1 ”脚9x 0 4 7 6 1 = 5 8 0 3 因此理论上该期权的合理价格是5 8 0 3 。如果该期权市场实际价格是5 7 5 ， 那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利 可图。 3 2 3 看跌期权定价公式的推导 b - - s 模型是看涨期权的定价公式，根据售出一购进平价理论( p u t c a l l p a r i t y ) 可以推导出有效期权的定价模型由售出一购进平价理论，购买某股票和 该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为 面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为： 只+ s ；c t + k e “ 移项得： 只= c r + k e 叫“一s t = k e 。仃。 1 - w ( d ：) 卜s 1 - u ( d 1 ) 】 因为： 一( 吐) 一扭e 一乞m = 去e e - t ”d = n ( 一吐) 将b - - s 模型代入整理得： p ( s ( f ) ，t ) = k e ”( ( 一d 。) 一s ( f ) ( 一d ，) 此即为看跌期权初始价格定价模型。 3 2 4b 一s 模型的发展：股票分红 b s 模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了b s 模型， 使其亦运用于支付红利的股票期权f 3 1 】。 ( 1 ) 存在已知的支付红利的期权定价 假设某股票在期权有效期内某时间t ( 即除息日) 支付已知红利d ，只需 将该红利现值从股票现价s 中除去，将调整后的股票价值s 代入b s 模型中即 可。其中： s 一s - d t e 。 如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从丽将b s 模型变型 得新公式： c = s e “( 吐) 一胎“( d ：) ( 2 ) 按红利率支付 某股票以一已知分红率( 设为6 ) 支付不问断连续红利，假如某公司股票 年分红率6 为o 0 4 该股票现值为1 6 4 ，从而该年可望得红利1 6 4 x 0 0 4 = 6 5 6 。值 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 得注意的是，该红利并非分4 季支付每季1 6 4 ：事实上，它是随美元的极小单位 连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6 5 6 。因为股价在全年是不断波 动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已 知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。在此红利现值为： s f l 一e 。7 i ， 所以s = 。7 以s7 代s ，得存在连续红利支付的期权定价公式： c = s e 。7 ( 矗卜k e ”啊( d ：) 。 ( 3 ) 外汇期权的定价 外汇期权的定价类似于按已知红利率支付的股票为标的物的期权的定价。 3 2 5b s 模型的影响【3 2 】【3 3 l 【3 4 】 自b - - s 模型1 9 7 3 年首次在政治经济杂志( j o u r n a lo fl i t i c a le c o n o m y ) 发表 之后，芝加哥期权交易商们马上意识到它的重要性，很快将b s 模型程序化输 入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯 技术的进步而扩展。郅今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银 行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效 率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与 市场参与者的相互依赖，不仅限于国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市 场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界 经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国 际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将摺有更多的自主 权从而面i 临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对 衍生市场进行探索也是必要的，我们才剐冈4 起步。 3 3 期权定价的离散模型二叉树方法 假设原生资产( 如股票等) 的价格运行以二叉树1 2 9 j 1 3 5 】1 3 6 】的形式进于亍，先从 简单的单时段一双状态模型开始，通过无套利原理，引入风险中性世界，从而给 出风险中性的定价公式，求出它的衍生物期权的价格。 3 3 1 单时段一双状态模型 假设市场由两个资产组成：风险资产s 和无风险资产b 。 单时段：交易只在时段【o ，丁 的初始时间t 一0 以及中止时间f ；r 进行。 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 双状态：风险资产s 在未来f = t 时刻的值s r 只有两种可能：掣和霹，且： o p r o b s ，= 并) ，p r 西俺= ) t 1 ， p r o b s ，= 衅) + p r o b s t s ；】= 1 如果在 o ，t 时段内无风险资产口的收益率为无风险利率r ，即：毋= p b o ， p = l + r t ，( b o ，珥分别表示b 在f - o ，t 时刻的值) ，则有： 晶 萎! 在f = t 时刻，看涨期权的价格为巧；( s ，一k ) + ，即 ： s s o d ( 跏一k ) + a 一对冲( a - - h e d g i n g ) ：对于给定的期权y ，在相反方向交易a 份额的原 生资产s ，使得构成的投资组合：1 7 = 矿一a s ，是无风险的，称为a 一对冲。 假设存在，使得n 是无风险的，即在f r 时刻，n ，= 坼一a s ，是无风 险的。根据无风险债券的定义，i i 的投资增长率为无风险利率r ，为它原投资数 的p 倍，即：n ，一p l i 。，其中p 一( 1 + r t ) ( r 是无风险利率，不计复利) ，是个 固定常数。所以：咋一s p l - i 。 由 膨v ；一- 婵a s 一, - 叫p w o - 一a 缄s o ) ) j 解得： j 如耥 卜三小f a - a z + 等曙) 设d t p u ，定义概率测度 卜鼢协，肆-等a ： j “一口， 卜。b 一霹) a 等 并且： f 0 吼，吼1 i 吼+ 吼；1 所以。 天津大学硕士学位论文 第三章期权定价理论与几种主要定价模型 三e 。( 嵋) ， p 岳o ( 坼) ：在概率测度q 下，随即变量巧的数学期望a 贴现价格：风险资产u ，无风险资产口，警称为在 时刻风险资产的贴现价格。 在概率测度q 下，期权的贴现价格是期权到期日的期权贴现值的数学期望，即： 凄钉。附 岛i 研j 酽( 学峥删 i耳r e 。( 譬净酬 i岛r 7 风险中性世界( r i s k - n e u t r a l w o r l d ) ：在概率测度q 下，风险资产在f = t 时刻 的期望回报与无风险证券的回报相同。把具有这个性质的金融市场称为风险中性 世界。在这样的世界里，所有投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收盏率 都是无风险利率。概率测度q 称为风险中性测度，在风险中性测度意义下给出的 期权定价称为风险中性价格。 复制( r e p l i c a t i n g ) ：在由风险资产s 和无风险资产丑组成的市场中，如果存 在一个投资组合中a a s + 卢曰( 其中口，卢是常数) ，使得当t = t 时，投资组合中的 值与期权矿的值相同，即：a s ，+ 卢b y = 诈，那么中称为期权y 的复制。 3 3 2 欧式期权定价的二叉树方法 s o “ s o d s 积 s o d 2 s o u ” s o u ”一1 d s o u “d 图3 1 ；单时段一双状态二叉树 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 把期权的存在区间 o ，r ，细分为n 个子区间：o = t o c f lc lc f 。- n ，在 每个区间k ，t n + ， ( o d 时， 蟛一；0 。2 9 一 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 脚= u q 。，由g “+ ( 1 一q ) d = p ，所以： i d ( 1 一g ) = 1 一章 所以：当c g 舀时， “黝矿m 吲l 篱眇_ ( h ) 7 ( o a 西时， 曙一= 0 记函数 垂r t , m , p ) = 杰f7p ( 1 一p ) 7 ，( 埘胛) ， i = 0 则看涨期权的定价公式为： 矿= 彤“击( 西吨蛳) 一吾中( d - c t , h , q ) ， 其中： q ：p - _ _ z d ，西：u q 一a td 特另0 当h = n ，口= 0 时， 矿( s o ，o ) = 中( 舀，。) 一j k 矿中( 舀，g ) 3 4 标的物服从混合过程的期权定价模型 通过改变对股票价格行为模式的假设，即在股票价格几何布朗运动之上加上 各种跳跃，即股票价格行为服从混合过程1 2 6 3 5 】【3 7 】【3 8 1 1 3 9 1 ，改变b l a c k s e h o l e s 方程 的基本假设，从而推导出一个新不同于b l a c k - s c h o l e s 微分方程的一个期权定价 模型。 假设在风险中性世界中，无红利支付的股票价格s ( t ) 服从： 勰( f ) = s ( r 一砌，胁+ s y 出o ) + o 如o ) l n 【1 + j 删- i 唧+ 胁) 去盯；，口，21 ( 1 ) 上 其中，为瞬态无风险利率； 为跳跃频率，即强度测度；y 为无跳跃发生时 股票收益的方差，为常数；z ( ，) ：均值为0 ，方差为1 的维纳过程；p ( r ) ：参数 d 一 矿 山 彰 = 戳 于由 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 为 的泊松跳跃过程，即： 只妒( f ) = 1 = 砒，p , d p ( t ) - - 0 = 1 一, h i t j ( t ) 跳跃大小百分数，服从独立恒同的对数正态分布，其无条件期望为卢，； q 为l n ( 1 + j ( t ) ) 的标准差；出( r ) 与舻( r ) 相互独立。 则股票价格总收益方差为： 瓦1 v 叩i r 丽d s ( t ) | _ 巧矿瓦“，i 丽j _ 9 ，婶，坩 其中巧o ) = i 去l v q p ( f 舻( f ) 】： 1 0 + g 卉一l + 胁) 2 】为跳跃部分的瞬间方差。 等式( 1 ) 右边的前两项描述了由经济中某些平常条件带来的股价正常变化， 第3 项( ，) 矗p ( ，) 则摇述了经济中某些不寻常情况引起的股价跳跃。 在风险中性世界中，任何可交易证券的期望收益是无风险利率，因此股票价 格的预期增长率为，其中由泊松跳跃带来的平均增长率为，则由几何布朗运 动即脚过程带来的预期增长率为r 础，。 3 4 1 数理方程的建立 假设标的物股票收益的跳跃成分代表非系统性风险，则以一定的证券组合消 除了仃石过程带来的不确定性之后，该证券组合的预期收益率为无风险利率r 。 设期权价格f 为股票价格s 和时间t 的函数：f = ，( s ，t ) ，由泰勒展开式： 鲈= 蔷蟠+ 警址+ 吾豢心2 + 嘉丛& + 圭警址2 + t c 2 ， ( 1 ) 式改写为离散形式为： 蟠= s ( r a z j ) a t + s 玩+ o p( 3 ) 其中血= s 石，占为标准正态分布中任一个随机值，当，斗。时，忽略上 式中含t 的高阶无穷小量的项，得： v = 善s ( ，一砒) 加+ 鲁s 痧k + 等r + 丢塞t s 2 v a t + a j 七，) ( 4 ) 其中，哇( s ，五，f ) 为泊松跳跃过程p 在a t 时间内带给厂的变化，故爿( s ，兄，f ) 可 表示为： 削心， ，) = 舾【厂 ( 1 + j ，) 一，忸凇f e 为期望值，则： 鲈= 詈s ( ，一锄) 出+ 善s 矿如十等出+ 圭嘉s 2 y ， + 2 e l ，( s ( 1 + ，( f ) ) ，f ) 一s ( s ，f ) l a t ( 5 ) 考虑证券组合g ： 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 g _ 一慧s 出时间后证券组合价值的变化为： g = 瓦8 f n 一+ , j 1 萨8 2 f s 2 v a t + 旭防( 1 + ， r ) 一厂p ，牡一善o ) p 其中善5 ：，o 如是泊松跳跃过程在t 时间内带给蔷份股票的价格变化，它可表 示为姜0 , 5 舡。抛f ，故： g = 鲁甜+ 警s 2 v a t + 舾 s o + ， r ) - s ( s ，r 凇，一善和，施r ( 6 ) ( 6 ) 式不含不确定性因素a z ，即经过出时间后证券组合g 瞬态无风险，由本 节开头的假设，该证券组合的瞬时收益率一定与其短期无风险证券收益率相同， 故： g ：r f 厂一笪s 1 ， o h 将( 6 ) 式代入得： 筹+ 吉等s 2 地舾防( 1 + ，( f ) | r ) - f ( s ，) a t - 8 8 蓁3 j a = ，一蓁心 整理得： 圭警s 2 矿p 一饥坶善+ 瓦o f 一矿+ 脏腑( 1 + j ( f ) ，) 一，p ，r ) 】= 。 ( 7 ) 方程( 7 ) 即为标的资产是无红利支付股票且股从混合过程的期权价格厂所满 足的微分方程。对不同类型的期权，结合其边界条件我们就可求出期权定价公式。 3 4 2 定价公式 以执行价格为k ，到期日为t 的欧式看涨期为例来推导当标的资产( 无红利 支付的股票) 服从混合过程时的定价公式。 已知t 时刻欧式看涨期权价格c 满足( 7 ) 式： 三即警+ ( ，一砒) s 言+ 砉一m 垅( ，+ 球) ，) ) _ c ( 肌) - 0 ( 8 ) 且在到期日t 时，该欧式看涨期权价格勺= m a x 品一k ，0 l ，此即( 8 ) 式的边 界条件。( 8 ) 式与b l a c k s c h o l e s 微分方程有类似之处，不妨假设( 8 ) 式的解为： 。 c = s h l ( s ，r ) 一艮- ，【7 。j 兀2 ( s ，r )( 9 ) 其中n 。和兀，为风险中性概率，其表达式为： n j ( 趴) ：辩州 p 叫乃( s ，t ，妒)j 彩，j = 1 ，2 墨燮堂堡主兰堡笙兰 篁三兰塑坚壅笙里笙皇些翌圭墨塞堕堡型 - _ 一一 乃【s ，庐j 是，( s ，f ) 的特征函数。将( 9 ) 式分别对s ，t 求偏导后代入( 8 ) 式： 并令l ( t ) = 1 n ( s ( t ) ) ，上式变为： 加警+ 卜 扪碧+ 等也n 1 1 卜峨o n ( 1 + g ) n ( 上+ l n ( 1 + j l t ) - l - i 。乜，f ) ) j 一们弘1 v 0 乩2 1 - 叫1 2 + ( 一弛+ 丢矿) 警+ 等 ：。 ， l + 幌 兀。( 上十l n ( 1 + ，l o - i - i ：仁，) ) j 同理，( 8 ) 式变为： ；y 器+ 卜饥+ 卅嘉+ o 曰c - r c + a e 。i c 。l ( 川n ( ，卅，) - 4 厶r ) _ 0 ( 1 1 ) 其中( 。) 为风险中性测度中的期望算子，j l e q f ( x ，r ) 】= e 厂g 。，f ) j 。 因为( 1 1 ) 式为线性偏微分方程，则由线性叠加原理得，f i ：各自满足的偏微 分方程为： ；r 等+ ( r 一锄+ ；y ) 詈+ 孚一铂。+ 五m + 加( 川。( 叫，) - n 粕 三矿簪+ 卜铂+ 引等+ 譬+ 馒 2 ( 川n ( 1 卅，) 山( 刎：。 n 【o ，1 1 ，且当时，n ( s ，丁) = l ，：1 ，2 ，因为对欧式看涨期权而言，翟 到期日t ，当股价昌大于执行价格足时，期权被执行，其价格c ：s x e 一，( 一) 。 因为乃( s ，t ，由) 是n j ( s ，t ) 的特征函数，所以i ，五分别满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) 圭矿剐卜铂+ 引) 盟o z 粤砒彳 + 岛 1 n ( 1 + l ，) 石( 上+ l n ( 1 + n f ) 一石( 三，f ) = 0 圭矿管0 2 + ( ，_ 砒+ 三矿) 盖+ 鲁。， + 1 n ( 1 + ，) 五仁地( 1 + n f ) 一正( 上，r ) l = o 石( s ，r ；妒) = e x p g ( r r ) + 肇( ，) 不失一般性，假设： 五( s ，以) = e x p ( 丁一f ) + 矽( r ) 其中g ( ) 和h ( ) 为函数表达式，其解分别为： ( 1 6 ) ( 17 ) 天津大学硕士学位论文第三章期权定价理论与几种主要定价模型 即叫叫t 训 ( 1 十声甜。卜) + ( r 一砒+ 粉卜旷抄”。 一( t - t 一 ( 1 + m 十叫+ ( 一讥+ 挣( ) 一丢州) 将g p r ) 和 p t ) 的函数表达式分别代入( 1 6 ) 、( 1 7 ) 即求得， 的函数 表达式，再将石，六的表达式分别代入兀，1 3 ：中，进而可求出( 8 ) 式的解( 9 ) 式， 再根据前面的看涨和看跃期权的平价关系，又可求出欧式看跌期权的价格c 。 天津大学硕士学位论文第四章期权及其定价理论在实际中的应用 第四章期权及其定价理论在实际中的应用 因为期权是一种选择权，而不是义务，所以，在资本市场上，期权赋予投 资者权利丽不是义务去按一个指定的价格购买或者卖出一种证券。同样的，一家 拥有现实选择权的公司也拥有权利而不是义务去形成能增加公司价值的决策。 4 1 期权在管理中的价值 目前，人们研究的期权可以分为两大类【加】，金融期权和实物期权，其中所 蕴涵的期权思想可以归纳为四点：、期权的权利和义务不对称。拥有期权考的 义务是支付期权费，之后他获得一个选择权，既可以在有利的条件下实施约定的 行为( 行使权利) ，也可以在条件不利对不实旌约定的行为( 放弃权利) ；而卖出 期权者则相反。二、期权的成本( 风险) 和收益不对称。投资者只需要付出一定 的成本( 期权费) 就可以获得期权。当条件不利时，不执行期权，收益为零，只 损失购买期权的成本；当条件有利时，行使权利，获得差价收益( 总收入一期权 费) 。因此不管情况如何变化，至多损失购买期权的费用，成本时固定的，而收 益在不固定j 可能为零，也可能很大。三、期权是有价值的，因此创造、识别和 利用期权将在降低投资风险的同时给投资者带来更高的收益。付出定的成本获 得期权后，未来的不确定性是期权价值的源泉，不确定性越大，期权的价值越大。 四、期权思想是新代管理思想中的核心思想之一，目前热门的柔性管理、柔性 制造、权变策略等问题中都隐含了期权思想。 4 1 。1 金融期权的价值 前面所述，金融期权的价值包括内在价值和时间价值，其内在价值等于期 权的溢价部分。一个期权通常是以高于内在价值的价格出售的，高出部分的价值 就是时间价值。市价价值反映市场条件的变化引起期权执行获利变化的可能性。 通常一个期权的时问价值在它是评价时最大。影响期权时间价值的因素很多，除 了溢价、损价外，还有期权的期限、市场的易变程度，以及短期利率、现金红利 等。 天津大学硕士学位论文第四章期权及其定价理论在实际中的应用 4 1 2 实物期权的价值 ( 1 ) 延迟期权价值。管理者可以选择对本身企业最有利的时机执行某一投资方 案。当管理者延迟此投资方案执行时间时，企业将获得一个等待期权的价值，若 执行此投资方案也就牺牲了这个等待的期权，其损失部分就是此投资方案的机会 成本。因此，可将延迟期权的价值写成： o p t i o nv a l u e 沁d e f e r = m a x ( v i c ，o ) 其中v 为投资计划价值，i c 为投资计划延迟一期的投资成本。 ( 2 ) 后续投资期权价值。企业的投资是一种连续和阶段性的投资，面企业在每 阶段的投资，决定了下一期是否继续投资，这种决策的弹性可视为期权的评价多 应用于r & d 密集、高度不确定性、资本密集豹产业，如商科技、生物制药等。 后续项目投资价值= 不带后续项目的投资项目的价值+ 后续项目投资选择权的 价值 ( 3 ) 放弃期权价值。若市场情况持续恶化或企业生产出现其他原因导致当前投 资计划出现巨额亏损，则管理者可以根据未来投资计划的现金量量大小与放弃目 前投资计划的价值来考虑是否要结束此投资计划，也就是管理者拥有放弃期权。 如果管理者放弃目前投资计划，则设备与其他资产可在二手市场出售使企业获得 残值。在情况不利于企业管理者时，管理者可选择继续经营( 价值为v ) 或停止 生产，以获得放弃价值( 残值为a ) ，因此放弃期权价值为a b a n d o n = v + m a x ( a - - v ，o )