空间向量共面充要条件的应用.doc

_空间向量共面充要条件的应用共面向量定理涉及三个向量、共面问题，它们之间的充要条件关系为：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在有序实数组(x,y)，使得xy.共面向量定理在立体几何中证明中有关有着广泛的运用，如在点线共面、线面平行等问题中，都有很好的体现.由于向量本身具有的位置不定性，使得共面向量可理解为能够平移到同一平面内的向量，或者理解为平行于同一平面的向量.下面就空间向量共面充要条件的应用分类解析，体会应用的方法与技巧.一、判断点与平面的关系例1已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，若2，判断点M是否在平面ABC内.分析：点M与A、B、C不共面，即点M不在平面ABC内，即不存在x，y使xy，可用反证法证明判断.解：假设M在平面ABC内，则存在实数x,y，使xy，于是对空间任意一点O，O在平面ABC外，(1xy)xy，比较原式可得，此方程组无解，与假设不成立，不存在实数x,y，使xy，M与A、B、C不共面.点评：本题采用反证法来证明点M不在平面ABC内，因为反证法就是从正面进行解答比较困难，从对立面进行证明的一种思想方法.二、用于证明四点共面例2如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且ANNC21，求证：A1、B、N、M四点共面.分析：利用空间向量共面的充要条件，通过证明向量、共面，即可证明存在唯一实数、，使成立.证明：如图，则，M为DD1的中点，ANNC21，()()，()()()，A1、B、N、M四点共面.点评：本题根据空间向量基本定理，充分利用三角法则与平行四边形法则，通过不同的途径分别用向量表示或用向量表示，从而建立向量与向量的线性关系，进而使问题得证.这是不用向量坐标形式证明几何问题的常用方法.三、证明三线平行同一平面例3如图所示，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面.分析：证明AD、EF、BC平行于同一平面，即证明向量、共面，进而证明、之间存在线段关系.证明：，且， 又，所以即()，可知，、共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面.点评：本题在证明过程中，通过利用两种不同的途径得到向量的两种不同的表达式，然后两式相加就可以得到所需要证明的表达式，当然其过程要用到三角形法则或平行四边形法则，这是利用加减法处理向量线性线性关系常用的方法.四、证明线面平行例4正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CMDN，求证：MN平面CC1D1D.分析：由于DC与DD1在同一平面上，因此可以先考虑利用空间向量共面的充要条件证明向量与、共面，然后只须说明点M、N不在CC1D1D内就可证明MN平面CC1D1D.证明：设CMDNDBCB1，则()，()，()()(1)()(1)()(1)与、共面，又M、N不在面DCC1D1内，MN平面CC1D1D.点评：利用空间证明立体几何问题，减少了利用传统法证明的繁琐的思维量，将考查难度要求较高的空间想象力与