（系统工程专业论文）空间相贯曲线自动焊接中的轨迹控制.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 焊接在国民经济发展和国防建设中具有非常重要的地位和作用。焊接已 经渗透到制造业的各个领域，广泛应用于锅炉、压力容器、核电设施、石 油管道、化工冶金、航空航天、建筑、医疗器械、精密仪器和电子等行业 中。现在中国已经成为世界主要的焊接大国，但是我国焊接设备制造业起 步较晚，焊接设备的自动化程度低，跟英、美、德、法、意和日本等世界 工业发达国家之间的差距较大。 空间相贯曲线是一种常见的复杂曲线，这类曲线的自动焊接是人们研究 的热点和难点。在空间相贯曲线的自动焊接数控技术方面，大多靠引进美、 德、奥地利等国的焊接数控设备，我国还没有掌握其关键技术，因此发展 具有中国自主知识产权的空间相贯曲线数控自动焊接关键技术与产品是当 前的迫切任务。 焊缝曲线的准确描述是自动焊接的第一步，对保证焊接精度起着的非常 关键的作用。本文在分析了空间解析几何学求焊缝曲线方法的局限性后， 提出了采用b 样条曲线算法拟合焊缝曲线，得到的是空间相贯线焊缝的参 数表达式。采用m a t l a b 分析了b 样条曲线拟合方法的精度。 插补算法是数控系统的核心技术之一，高速、高精度的插补算法一直是 学者们追求的目标。插补算法的特性直接影响到数控系统的控制精度、速 度及加工能力等。本文对焊缝曲线的插补方法进行了研究，在分析了现有 插补算法的基础上提出了一种通用的b 样条曲线插补算法。本文提出的b 样条曲线插补算法可以应用于直角坐标系和非直角坐标系下的运动控制， 是一种快速、高精度的插补算法。并且应用m a t l a b 对本文的焊缝插补算 法进行了验证。 本文在最后设计了自动焊接控制系统，包括硬件系统设计和软件系统设 计两个部分。硬件系统以i p c 作为平台，设计的硬件系统体系结构具有开 放式、模块化和嵌入式的特点。在软件部分充分考虑算法的复杂度，采用 简便快速的算法以提高算法速度，降低内存需求，设计了高效、高质量的 山东大学硕士学位论文 v c 程序。v c 程序采用了分模块的设计思路，对于不同的功能分别设计相应 的模块。 关键词：空问相贯曲线；曲线拟合；b 样条曲线插补；m a t l a b ； 计算机数字控制 i i 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w e l d i n gp l a y sap r i m ei m p o r t a n tr o l ei nm a n yi n d u s t r i e s ，i n c l u d i n gm i l i t a r y i n d u s t r y n o wc h i n a sw e l d i n gi n d u s t r yh a sb e c o m et h et o po n ei nt h ew o r l d ，b u ti ti s s t i l la tal o wa u t o m a t i o nl e v e lb e c a u s eo fi t sl a t es t a r t u p t h e r ei ss t i l lal a r g eg a pi nt h e a u t o m a t e dw e l d i n ge q u i p m e n t sb e t w e e nc h i n aa n dt h em a i nd e v e l o p e dc o u n t r i e s ，s u c h a sb r i t a i n ，t h eu n i t e ds t a t e s ，g e r m a n y , f r a n c e ，i t a l ya n dj a p a n t h ew e l d i n go fs p a t i a li n t e r s e c t e dc u r v e s ( s i c ) i sac o m m o nt a s ki nm a n y i n d u s t r i e s t h ea u t o m a t e dw e l d i n go fs i ch a sb e e nd r a w i n gg r e a ta t t e n t i o nf r o m u n i v e r s i t i e sa n dr e s e a r c hi n s t i t u t e sb e c a u s eo fi t sg r e a ti m p o r t a n c ei ni n d u s t r i e s t h e w e l d i n go fs i ce x i s t si nm a n yi n d u s t r i e s ，s u c ha sc a rm a n u f a c t u r i n g ，s h i p b u i l d i n g ，o i l t r a n s p o r t a t i o np r e s s u r ev e s s e l s a n dw a t e rs u p p l y , e t c c h i n ah a si m p o r t e dm a n y a u t o m a t e de q u i p m e n t sf r o mu s a ，g e r m a n y , a u s t r i af o rs i cw e l d i n g ，b u tw eh a s n t m a s t e r e dt h ec o r et e c h n o l o g yf o ra u t o m a t e ds i cw e l d i n g t h e r ei st h eu r g e n tn e e dt o r e s e a r c ht h ek e yt e c h n o l o g ya n dt od e v e l o pa u t o m a t e ds i cw e l d i n ge q u i p m e n tw i t ho u r o w ni n d e p e n d e n ti n t e l l e c t u a lp r o p e r t y t h ea c c u r a t ed e s c r i p t i o nf o rw e l d i n gs e a mi st h ef i s ts t e pi na u t o m a t e dw e l d i n g ， a n di th a sa ni m p o r t a n te f f e c to nw e l d i n gp r e c i s i o n t h i st h e s i sf i r s ta n a l y z e st h e l i m i t a t i o no ft h ew a yo fw e l d i n gs e a md e s c r i p t i o nt h r o u g hs p a c eg e o m e t r i ca n a l y s i s ， a n dt h e np r o p o s e san e wm e t h o d - w e l d i n gs e a mf i t t i n gb yb - s p l i n ec u r v ea l g o r i t h m ， w i t hw h i c ht h em a t h e m a t i c a lp a r a m e t e r i z e de x p r e s s i o no ft h es e a mw i l lb ea c q u i r e d a l s ot h et h e s i sa n a l y z e st h ea c c u r a c yo ft h eb - s p l i n ea l g o r i t h mf i t t i n gm e t h o db y m 棚。a b t h ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mi st h ec o r et e c h n o l o g yo fn u m e r i c a lc o n t r o l ( n c ) s y s t e m ，a n dh i g h - s p e e da n dh i g h p r e c i s i o na r ea l w a y st h et a r g e t sf o ri n t e r p o l a t i o n a l g o r i t h mr e s e a r c h t h et h e s i s r e s e a r c h e st h eb s p l i n ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mf o r a u t o m a t e dw e l d i n go fs i c b a s e do nt h ea n a l y s i so ft r a d i t i o n a la l g o r i t h m s ，au n i v e r s a l i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mw i t hh i g hs p e e da n dh i g hp r e c i s i o ni sp r o p o s e d ，w h i c hc a nb e u s e df o rt h em o t i o nc o n t r o lb o t hi nc a r t e s i a nc o o r d i n a t e sa n dn o n c a r t e s i a n c o o r d i n a t e ss y s t e m s t h eb s p l i n ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mf o rs i cw e l d i n gi sp r o v e di n 山东大学硕士学位论文 t h et h e s i sw i t hm a t l a b t h ea u t o m a t e dw e l d i n gc o n t r o ls y s t e mi si n t r o d u c e di nt h et h e s i s ，i n c l u d i n gt h e h a r d w a r ed e s i g na n ds o f t w a r ep r o g r a m m i n g t h eh a r d w a r es y s t e ma d o p t st h ei n d u s t r i a l p e r s o n a lc o m p u t e r ( i p c ) a st h ec o n t r o lp l a t f o r m ，a n dt h es y s t e ms t r u c t u r eh a st h e o p e n i n g ，m o d u l a ra n de m b e d d a b l ec h a r a c t e r i s t i c s t oi m p r o v et h ep r o g r a me x e c u t i o n e f f i c i e n c ya n dd e c r e a s et h em e m o r yr e q u i r e m e n t ，t h ec o m p l e x i t yo ft h ea l g o r i t h m si s f u l l yc o n s i d e r e dt oa t t a i na l g o r i t h m sh i g h s p e e da n dh i g h - e f f i c i e n c y t h ep r o g r a mi s w r i t t e nm o d u l a r l yw i t hv i s u a lc + + k e yw o r d s ：s p a t i a li n t e r s e c t e dc u r v e ( s i c ) ；c u r v ef i t t i n g ；b - s p l i n ec u r v e si n t e r p o l a t i o n ； i i c o m p u t e rn u m e r i c a lc o n t r o l ( c n c ) 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：逾兰至笙e t期：蛰理鑫：苎：f 口 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷 件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 丛盈聱导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 数字控制( n u m e r i c a lc o n t r 0 1 ) 是机械制造自动化的基础，是数字化信 号对机床等设备的运动及其加工过程进行控制的一种方法，简称数控( n c ) 。 数控技术广泛应用于各种机械加工机床和专用生产机械的控制中，如数控 机床、机器人等【1 1 。在焊接行业数控技术也有着广泛的应用。 数控系统分为硬件数控系统和计算机( 软件) 数控系统( c n c ) ，早期 的数控系统为硬件数控系统，经历了电子管、晶体管、小规模集成电路和 中大规模集成电路几个阶段。这种数控系统通用性差，缺乏柔性，限制了 数控技术的发展和推广应用。随着电子技术、计算技术、自动控制技术以 及精密测量技术的迅速发展，数控系统的结构有了明显变化，产生了系统 功能由控制软件来实现的计算机数控系统。现在提到数控系统一般指“计 算机数控系统 。现代数控朝着智能化、开放化、柔性化和集成化、高速化， 高精度化方向发展。 数控系统按结构形式可分为传统封闭式和开放式，现代数控目前正朝 着标准化开放体系结构的方向前进。就结构形式而言，当今世界上的数控 系统大致可分为4 种类型： 1 传统的数控系统 2 “p c 嵌入n c 结构的开放式数控系统， 3 “n c 嵌入p c 结构的开放式数控系统， 4 s o f t 型开放式数控系统【2 】。 s o f t 型开放式数控系统是一种最新开放体系结构的数控系统。它具有 更大的灵活性，给用户更大的选择空间，其c n c 软件全部存放在计算机中， 硬件部分比较简单，仅需要计算机与伺服驱动和外部i o 之间的标准化通用 接口。这样使s o f t 型开放式数控系统具有更好的通用性。可以在 w i n d o w s 或者l i n u x 平台上利用开放的c n c 内核开发所需的各种功能， 构成各种类型的高性能数控系统。与前几种数控系统相比，s o f t 型开放式 山东大学硕士学位论文 数控系统具有更高的性能价格比，因而更有生命力 3 1 。 1 2 国内外自动化焊接数控系统的发展 焊接是一种将材料永久连接，并成为具有给定功能结构的制造技术。 几乎所有的产品，从几十万吨巨轮到不足1 克的微电子元件，在生产制造 中都不同程度地应用焊接技术。焊接是制造业中最重要的工艺技术之一， 焊接已经渗透到制造业的各个领域，直接影响到产品的质量、可靠性和寿 命以及生产的成本、效率和市场反应速度。并且广泛应用于锅炉、压力容 器、核电设施、石油管道、化工冶金、矿山铁路、汽车、造船、港口设施、 航空航天、建筑、工程机械、农业机械、水利设施、医疗器械、精密仪器 和电子等行业中。 焊接在国民经济发展和国防建设中具有非常重要的地位和作用。从“十 一五”规划的二十项国家重大技术装备的研制项目可以看出，在百万千瓦 级核电机组、超超临界火力发电机组成套设备、超大容量水电机组、大型 抽水蓄能机组、大功率循环硫化床( c f b ) 锅炉的成套技术装备、百万吨级 大型乙烯成套设备、百万吨级大型对苯二甲酸成套设备、大型煤制气成套 设备以及大型煤矿综合采掘成套技术与装备中，焊接制造都是关键制造工 艺之一【4 1 。 1 2 1 我国焊接设备制造业的发展与现状 我国焊接设备制造业起步较晚，五六十年代基本靠从原苏联引进，到 了七八十年代我国陆续开始组建一批专门生产焊接设备的制造厂。八十年 代以后，随着我国工业的发展对焊接设备需求日益增长，各地建立了多家 中小型成套设备生产公司。目前，我国已有10 多家焊接设备生产企业具有 相当大的规模。焊接设备的成套性、自动化程度有了大幅提高【5 1 。中国已经 成为世界首屈一指的焊接大国。 近十几年来，在英、美、德、法、意和日本等世界工业发达国家，自 动焊接设备的发展速度十分惊人，这些国家的焊接设备生产企业均有相当 规模、开发能力很强【6 1 。近期生产的自动化焊接设备的设备精度和制造质量 2 山东大学硕士学位论文 已接近现代金属切削机床。最值得注意的是，大多数焊接设备采用了先进 的自动控制系统，基于p c 机的控制系统、智能化控制系统和网络控制系统 已经是自动焊接设备发展的方向。一些焊接设备采用焊接机器人，组成焊 接中心、焊接生产线、柔性制造系统和集成制造系统。 改革开放二十几年来，中国的焊接领域有了长足的发展。先后自行研 制、开发和引进了一些先进的焊接设备、技术和材料，自动焊接能力有了 很大的提高，但是依然存在很多问题。总体来看，中国2 0 0 4 年的焊接材料 生产总量达到2 1 0 万吨，比美国、日本、德国三国焊接材料产量的总和还 多，说明中国已经是一个焊接大国。但是从自动焊接的比例来看形势不容 乐观，手工焊接用的焊条产量占到7 5 ，各种机械化、自动化焊接用焊丝 占2 5 ，焊接的机械化自动化率仅为3 5 。这仅相当于日本2 0 世纪7 0 年代末焊接机械化自动化率的水平，日本在1 9 7 9 年焊接材料的总产量为 4 0 万吨，手工焊条占5 8 ，各种焊丝占4 2 ，但是焊接的机械化自动化 率已经达到4 4 。目前比较复杂的机器人焊接生产线、柔性生产线，如汽 车、工程机械的装焊生产线，基本上从国外公司成套进口【4 1 。 1 2 2 自动化焊接装备的发展 现代大型自动化焊接装备从结构形式上大体可分成以下几种类型。 1 大型自动化焊接单机 通常采用门架式或龙门式结构，如大型造船厂应用的门架式钢板纵缝 拼焊机，最大焊接有效行程为2 0 m ，一次行程可焊最大板厚相应为4 0 m m 和 2 0 m m 。 2 大型组合焊机或焊接中心 由大型焊接操作机与工作变位机械或翻转机等组成，如立柱横梁，或龙 门式重型容器焊接中心，工字梁或箱形梁自动组合焊接机群等。 3 大型焊接工作站 由二台以上焊接操作机或机器人与相应的工件变位机械配套组合而成， 可交替或同时焊接同一个焊件的各条焊缝。 4 焊接生产线 3 山东大学硕士学位论文 将板料切割落料、组装、焊接、校j f 或成形等多个工作站由输送辊道、 翻转设备和变位机械等组合成连续的生产线、薄壁容器焊接生产线、大直 径管道焊接生产线等。 5 柔性焊接生产系统 由具有自适应焊缝跟踪系统功能的单台或多台焊接操作机或机器人与 工件装夹，变位机械组合而成的加工中心，适用于产品规格多变的小批量 生产。如汽车后桥柔性焊接生产系统，装卸机部件的柔性生产系统和汽轮 机导流隔板的柔性制造系统等。 6 计算机集成制造系统 亦称全集成自动化制造系统，是将焊接机器人或焊接操作机、焊接电 源、工件变位机械、输送辊道、半成品库、零件库和原材料库等生产设备 和物料供应系统的工作程序的编制、工作参数的设置、生产过程的监控、 数据处理、人机界面和通讯网络集成在一台商用或工业p c 机上。计算机集 成制造系统可以是一条生产线，也可以是整个车间的生产设备，甚至是整 个工厂的生产过程和物流的管理。 自动控制和信息技术在制造业中的广泛应用正在彻底改变传统制造业 的面貌，其中焊接生产过程的全自动化已成为一种迫切的需求，它不仅可 大大提高焊接生产率，更重要的是可确保焊接质量，改善操作环境。随着 整个制造业水平的提高，企业的经营理念发生了很大的变化，高产量己让 位于高质量，劳动密集型已逐步被知识密集型所取代。大量采用自动化焊 接专机、机器人工作站、生产线和柔性制造系统已成为一种不可阻挡的趋 势吲。 1 3 空间相贯曲线焊接技术的发展现状 在焊接领域，有一类具有共性的加工任务一一复杂曲线的自动焊接是 人们研究的热点和难点，空间相贯曲线也是复杂曲线的一种常见形式。这 类加工任务在在汽车、造船、石油、输油输气供水、钢结构、各类容器 ( 特别是压力容器) 制造、阀门制造等行业大量存在。目前在国内广泛采 用手工焊接方式，质量差、效率低，而且还是重大事故安全隐患，特别是 4 山东大学硕士学位论文 在压力容器，核工业等领域更是如此。因此研究这类曲线的自动焊接是当 前的迫切需求。 在国内，目前空间相贯曲线的自动焊接主要有两种形式： 一是采用通用的焊接工业机器人【8 。1 0 1 ，通用工业机器人可以完成空间相 贯曲线等复杂曲线的自动焊接任务，但不能用于野外作业，而很多的焊接 任务是在野外完成的。既使在室内作业情况下，如锅炉等大型罐体的焊接， 以及受到空间约束，许多场合的空间相贯曲线的焊接，也难以采用工业机 器人。而且采用通用工业机器人设备投资大，加工前的准备工作复杂，加 工成本高，难以在我国大量推广。 二是采用专用的基于仿形技术的自动半自动焊接专机。近期国内一些 研究人员研究了空间相贯曲线靠模焊接控制技术，进行了初步的推广应用。 但是由于靠模技术的局限性，当加工不同规格、不同形式的曲线时，必须 更换仿形凸轮，每次更换凸轮就必须进行复杂的调整，操作困难。特别是， 基于凸轮仿形的焊接过程难以实现焊枪的恒线速度控制，只能在焊接过程 中由操作者随时手动调整，给操作者和焊接质量的保障带来很大的困难， 而焊枪的恒线速度运行是自动焊接的基本要求。 国外发达国家在焊接自动化装备领域的研究处于明显的领先地位，最 二 明显的就是焊接工业机器人技术已经成熟并占领了我国几乎全部的市场份 额。在空间相贯曲线的自动焊接数控技术方面，我国引进美、德、奥地利 等国开发了该类焊接数控设备，在一些重要的工业领域进行了成功的应用， 效果良好。但出于技术保密的原因，见不到公开的该项技术的文献报道。 因此发展具有中国自主知识产权的关键技术与产品是当前的迫切任务。 1 4 空间相贯曲线自动焊接的关键技术 两立体相交，在其表面产生的交线，称为相贯线。根据两相交立体形状 的不同，空间相贯线的形状变化很大，其形状取决于多个因素。 空间相贯曲线焊接过程中焊缝形状多样，相贯工件形状的不同和大小的 不同都会使焊缝轨迹改变。即使简单的两圆柱管相交，也分为正交、斜交 和偏心交等多种情况，每一种情况下对应的焊缝都有变化，设计一种通用 5 山东大学硕士学位论文 型的自动焊接设备具有重要意义和广阔的市场前景。因而对空间相贯线进 行准确的数学描述是进行精确加工的第一步，也是及其重要的一步。 在焊缝曲线表达式的获取方法上，现在大多是根据相贯工件的几何形状 和相贯方式利用解析几何的方法来求。对于形状简单、相贯方式规则的工 件其相贯曲线焊缝是可以直接得到的。但是在实际加工过程中固定工件时 往往存在位置误差，理论上的坐标原点和实际中的可能存在偏差。这样在 焊接过程中势必会影响加工精度。而且对于工件偏心交方式形成的焊缝无 法直接用解析几何的方法得到。因此本文采用一种通用的方法，不必依靠 相贯工件的几何形状及相贯方式，依然能够得到焊缝曲线的表达式。具体 的说，就是采用b 样条曲线拟合待加工的焊缝曲线的参数表达式。这种方 法通过选取相贯线焊缝上的若干点，即型值点，然后进行b 样条曲线插值 ( 也称反算) ，从而得到相贯焊缝的参数表达式。为下一步的自动焊接控 制做好准备。 自动焊接加工中的焊枪运动控制主要应用插补技术来实现。插补技术是 c n c 系统实现轨迹控制的基础，插补运算是c n c 系统软件实现运动控制的 核心模块。作为数控机床实现加工控制的核心，数控系统所具有的插补功 能的多少，插补算法的优劣，一直是评价数控控制系统性能的重要指标， 也直接影响着数控机床的加工质量和加工效率【1 1 1 2 1 。 国内外相关的科技人员努力致力于精度高、速度快的新插补算法的研究 开发【1 3 】，数控系统的插补算法也往往是各数控公司保密的技术核心， 对于b 样条参数曲线的插补算法，有很多学者研究了针对参数曲线的 插补方法，取得一些颇有价值的成果【1 4 1 。 但是目前的方法都是仅针对直角坐标系的插补方法，在实际加工过程 中被控制轴往往不局限于直角坐标轴，可能还有旋转轴等。比如在本课题 中就要用到旋转轴，还要控制焊枪摆动，这些都不是直角坐标轴。因此需 要研究一般情况下( 包含非直角坐标下的运动轴) b 样条曲线的插补算法。 1 5 论文主要内容 6 本文主要内容包括： 山东大学硕士学位论文 兰曼詈鼍! ! ! 鼍! ! 皇! ! 曼詈! 皇暑! 詈曼! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 曼! 曼曼曼! ! 鼍皇! ! 詈! ! ! 曼! ! ! ! ! 苎詈! ! 暑曼! i n l 皇! ! ! 曼! ! ! 苎! 鼍 1 分析了焊缝曲线参数表达式在求解过程中遇到的难题，提出应用拟 合曲线的方法来获得焊缝曲线表达式，采用b 样条算法达到了良好 的拟合效果。 2 研究b 样条参数曲线插补算法，提出了一直通用的b 样条曲线插补 算法，即可以应用在直角坐标系下，又可以应用在非直角坐标系下。 使焊接系统具有柔性化的优点。 3 焊接系统的硬件和软件设计。以i p c 机为硬件开发平台，选择主板 和输入输出控制卡等。应用v i s u a lc + + 开发了相贯曲线自动焊接系 统的控制程序。 7 山东大学硕士学位论文 第二章空间相贯焊缝曲线的拟合 要想控制空间相贯曲线自动焊接中焊枪的运动轨迹，首先要确定空间 相贯焊缝曲线的数学描述。对于这方面的课题很多学者进行了分析和研究【1 5 1 6 1 。但是空间相贯曲线的数学表达依然没有通用的、简便的求解方法。 2 1 空间相贯曲线焊缝的形式多样性 两个待焊接的立体工件相交产生的曲线类型是空间相贯曲线，相贯线是 指两立体相交时在其表面产生的交线。相贯线具有三个特征：一是表面性， 指的是相贯线位于两立体表面；二是封闭性，指的是相贯线通常是封闭的 空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线；三是共有性，指的是相贯线是 两立体表面的共有线。 相贯线的形状取决于三个因素：两相贯体的形状、相对大小和相对位置。 根据两立体相交情况( 相对位置) 的不同，相贯线可分为正交、斜交，偏 心交等，形状也各不相同。从图2 1 中可以直观的看到相贯线形式变化多 样【1 7 1 。 图2 1 形式多样的相贯线图形 空间相贯曲线是一类复杂的空间曲线，这类曲线的焊接任务在汽车、造 船、石油钻井平台、输油输气供水、钢结构、各类容器( 特别是压力容 器) 制造、阀门制造等行业大量存在。在不同的焊接任务中，空间相贯焊 缝曲线的形式变化多样。为了实现高效率、高质量的自动焊接，首先需要 确定焊缝曲线的表达式，才能有效控制焊枪的运动。 9 山东大学硕士学位论文 2 2 获取焊缝表达式的方法简介 因为空间相贯曲线的形式不一，所以目前的求相贯曲线表达式的方法多 是针对某一种特定类型的相贯线，比如圆柱管体正交产生的相贯线，或者 圆柱管体斜交产生的相贯线等【1 8 ，1 9 1 。对于相贯曲线表达式的求取也大多是直 接应用空问解析几何的方法。 2 2 1 空间解析几何法 空间相贯曲线的形式多样，其数学表达式没有统一的公式，而且表达式 往往非常复杂。一些学者根据空问几何解析法来求解相贯曲线的数学表达 式【2 0 2 2 1 。例如，霍孟友在自动焊接相贯线接缝的实时插补控制算法与仿真 一文中就使用空间解析方法来表示对心斜交的相贯曲线。空间两个立体圆 管的斜交形式如图2 2 所示。 v 图2 2 相交双管示意图 经过几何原理可得到半径分别为r 与，的两个圆柱管相交所形成的焊 接相贯线接缝在o u v w 坐标系中的参数方程为【2 1 l f u = rs i n y ；( 归丽一，s i n c o s a ) s i n a ( 2 1 ) i w = ，c o s 1 0 山东大学硕士学位论文 复杂，多次出现三角函数计算。直接利用空间解析几何方法求空间相贯曲 线表达式的局限性是很明显的，尤其当两个形状不规则的两个立体偏心交 的时候，相贯线的数学表达式很难直接得到，有些情况下根本无法求出。 2 2 2 曲线拟合方法 鉴于直接利用几何方法求相贯线的数学表达式非常困难，因此本文中采 用曲线拟合的方法来获得相贯线的参数表达式。 给定一组有序的数据点只，f = o ，1 ，2 ，l ，这些点可以是从某个形状上 测量得到的，也可以是设计员给出的。要求构造一条曲线顺序通过这些数 据点，称为对这些数据点进行插值( i n t e r p o l a t i o n ) ，所构造的曲线称为插值 曲线。 构造一条曲线使之在某种意义下最为接近构造的曲线称为逼近 ( a p p r o x i m a t i o n ) ，所构造的曲线称为逼近曲线。 插值和逼近通称为拟合( f i t t i n g ) 。 自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，曲线的研究重点是曲线 段的描述及其连接拼合方法【2 3 1 。相贯线是空间自由曲线的一种典型形式。 在自由曲线描述中常用到两种类型的点： ( 1 ) 特征点( 也称控制顶点) ：用来确定曲线曲面的形状位置，但曲线或 曲面不一定经过该点。 ( 2 ) 型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状，并且经过该点。 在曲线设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几 何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线定义的主要 方法是插值和逼近。 曲线拟合的方法指在给定型值点列的情况下，反算( 插值) 拟合曲线 控制多边形的顶点。在求出控制多边形顶点之后，计算拟合曲线表达式。 应用这种方法拟合焊缝曲线，不依赖相贯工件的具体几何表达式和相 对位置等信息，只需要通过选取相贯线焊缝上的若干点，即型值点，就可 以应用拟合算法来求得相贯焊缝曲线的参数表达式。 基本思路是，在焊接加工准备过程中，首先固定加工工件，然后手动 山东大学硕士学位论文 调整焊枪，使焊枪依次通过相贯线焊缝上的若干点，即型值点。将这些型 值点上传给p c 机，插值求出相贯线的参数表达式。 曲线插值的方法有很多种，如参数多项式插值、参数样条曲线算法、贝 齐尔( b 6 z i e r ) 算法、b 样条和有理b 样条( n u r b s ) 等。 b 样条算法保留了贝齐尔方法的优点，同时又克服了其由于整体表示带 来不具有局部性质的缺点。b 样条方法具有表示与设计自由型曲线的强大功 能，是最广泛流传的现状数学描述的主流方法之一。另外，b 样条方法是目 前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理b 样条方法的基础。 n u r b s 曲线在计算方面非常复杂，应用过程中要考虑权因子的合适选 取等问题，这就对操作者有很高的要求，在焊接领域其操作者水平很难达 到这样的要求。 考虑到在自动焊接加工中需要根据型值点插值求出焊缝曲线，加上自动 焊接控制对实时性要求较高，n u r b s 曲线在实际应用中的效果不比b 样条 曲线更好。而且n u r b s 方法涉及到权因子的应用，计算异常复杂，尤其表 现在通过型值点求取控制点列的过程中1 2 4 】。因此本文选用b 样条曲线作为 曲线拟合方法。 应用b 样条曲线插值得到的焊缝曲线是以参数形式表达的，因此求得 的b 样条焊缝曲线具有几何不变性。 2 3b 样条曲线拟合原理 首先来介绍一下样条曲线的物理背景，在应用c a d c a m 技术以前， 航空、船舶和汽车制造业中普遍应用样条借手工绘制自由曲线。样条是一 根富有弹性的细木条或塑料条。工作时，绘图员先用压铁压住样条，使其 通过所有给定的型值点；再适当调整压铁，改变样条形态，直到符合设计 要求；而后，沿样条绘制曲线，称其为样条曲线、模线或放样【2 5 1 。 2 3 1b 样条简介 b 样条有许多种等价定义，其表达方式虽然各不相同，但有内在联系， 实质是相同的。常见的有三种：( 1 ) c l a r k 提出的定义，其特点是从几何概 1 2 山东大学硕士学位论文 念出发，形象直观；( 2 ) 用截尾幂函数的差商定义b 样条，这是b 样条方 法的理论基础；( 3 ) 由d eb o o r 和c o x 分别提出的递推定义，又称为德布 尔一考克斯递推公式，这个著名的递推公式的发现是b 样条理论最重要的 进展之一。 在此只介绍作为标准算法的d eb o o r c o x ( 德布尔一考克斯) 递推定义【2 6 1 ， e 荆= 任黧k “ 哪) 2 羔mi t i + k + i 1 - - t b i + i _ i o ) 规定旦；0 0 b ，上o ) 的双下标中第二下标k 表示次数，第一下标i 表示序号。 ( 2 - 2 ) 该递推 公式表明，欲确定第i 个k 次b 样条b ，j ( f ) ，需要用到t i , t m ，t m ，共k + 2 个 节点。区间l ，小。】为b ，j ( f ) 的支承区间。b ； o ) 的第一下标等于其支承区间 左端节点的下标，即表示该b 样条在参数t 轴上的位置。曲线方程中相应 n + 1 个控制顶点d ；( i = 0 ，1 ，n ) ，要用到n + 1 个k 次b 样条基函数b ；jo ) ( i = 0 ，l ，n ) 。它们每个都是k 次b 样条，它们的支承区间所含节点的并 集就是定义这一组b 样条基的节点矢量r = l o ，t l ，f 枞+ l 】。 2 3 2b 样条曲线的性质 1 ) 局部支柱性质 b ( i m o ， 三三：二主f 乏：乏：( 2 - 3 ) o ：o i x 圣；z ：； 它包含了非负性。由于b 样条的局部性，k 阶b 样条曲线上参数为 f k ，t f + 1 的一点p ( t ) 至多与k + 1 个控制顶点p j ( = i k + l ，f ) 有关，与其 它控制顶点无关；移动该曲线的第i 个控制顶点b 至多影响到定义在区间 l ，t m 。 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不产生影响。 2 ) b 样条的凸组合性质 1 3 山东大学硕士学位论文 e ，七( x ) = 1 ( 2 - 4 ) 另外，b 样条的性质还包括： 1 可微性或参数连续性 b 样条曲线在每一曲线的节点区间内部是无限次可微的，即是c 。，在 对应节点的曲线端点处是k - r 次可微的，即是c 扣，这里r 是节点重复度。 2 比贝齐尔曲线更强的凸包性质。 3 变差减少性质 这是对b 样条曲线行为占支配地位的另一个重要性质。如果b 样条曲 线p ( t ) 的控制多边形p o ，p 1 ，l 是一平面图形，则该平面内的任意直线与p ( t ) 的交点个数不多于该直线与控制多边形p o ，p l ，l 交点的个数，这一性质称 为变差减小性。此性质说明b 样条曲线比控制多边形所在的折线更光顺。 4 磨光性质 同一组控制顶点定义的b 样条曲线，随着次数k 升高，越来越光滑。 5 几何不变性 正因为b 样条曲线具有如上的性质，所以本课题采用b 样条的理论来 实现空间相贯曲线的插值【2 6 1 。 2 3 3 重节点对b 样条与b 样条曲线的影响 一、重节点对b 样条的影响 1 ) 节点重复度每增加1 ，b 样条的支承区间中减少一个非零节点区间， b 样条在该重节点处的可微性降一次。 2 ) 当非零节点区间长度相同时，在k 重内节点处的k 次b 样条左右两 分支分别与右、左端节点为k + l 重的k 次b 样条有相同的形状。 3 ) 均匀b 样条基在曲线定义域内各节点区间上都有相同的图形。 4 ) 内节点均匀分布，端节点有重复度k + l 的情况称为准均匀的。 二、重节点对b 样条曲线的影响 1 ) 在b 样条曲线定义域内的内重节点，重复度每增加1 ，曲线段数减l ， 1 4 山东大学硕士学位论文 样条曲线在重节点处的可微性或参数连续阶降l 。因此k 次b 样条 曲线在重复度为r 的节点处是c k 7 连续的。一条位置连续的曲线， 其内节点所取的最大重复度等于曲线的次数k ，端节点的最大重复度 为k + l 。 2 ) 当端节点重复度为k 时，k 次b 样条曲线的端点将与相应的控制多 边形的端顶点相重，并在端点处与控制多边形相切。 3 ) 当在曲线定义域内有重复度为k 的节点时，k 次b 样条曲线插值于 相应的控制顶点。与设置k 重顶点达到插值顶点不同之处在于，不 致引起曲线在该点处切矢消失，保持曲线的正则性。 4 ) 当端节点重复度为k + l 时，k 次b 样条曲线就具有和k 次贝齐尔曲线 相同的端点几何性质。 5 ) k 次b 样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度k ，可以生成 定义在该节点区间上那段b 样条曲线的贝齐尔点。 6 ) 若端点重复度为k + l 的k 次b 样条曲线的定义域仅有一个非零节点 区间，则所定义的该k 次b 样条曲线就是k 次贝齐尔曲线。由此可 知，贝齐尔曲线是b 样条曲线的特例，b 样条曲线是贝齐尔方法的 合适的强有力的推广【2 6 1 。 2 3 4b 样条曲线的分类 曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。闭曲线又区分 为周期和非周期两种情形，周期闭曲线与非周期闭曲线的区别是：前者在 首末端点是c 2 连续的，而后者一般是c o 连续的。非周期闭曲线可以认为是 开曲线的特例，按开曲线处理。 b 样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。假定 控制多边形的顶点为d j ，f = 0 ，l ，n ，次数为k ，则节点矢量是 7 ： t o , t 。，t 。+ 。+ 。 。 ( 一)均匀b 样条曲线( u n i f o r mb s p l i n ec u r v e ) 节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布，所有节点区间长度 山东大学硕士学位论文 f = f 一t i = 常数 0 ( f = 0 ，l ，z + 七) ，这样的节点矢量定义了均匀的b 样条 基。 ( 二) 准均匀的b 样条曲线( q u a s i u n i f o r mb s p l i n ec u r v e ) 与均匀b 样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k + l ，即 t o = t 1 = = 气，t 州= f 棚= = t 枞+ l ，所有内节点均匀分布，具有重复度1 。 定义域t e t 。，t 州】内节点区间长度a ，= 常数 o ，i = k ，k + l ，l ，与均匀b 样条曲 线定义域内节点分布相同，差别仅在于两端节点。这样的节点矢量定义了 准均匀的b 样条基。 ( 三)分段b e z i e r 曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k + l ，所有内节点重复度为k ，即有 r 常数 0 ， f t o ， ：二舭；t k + ，：1 , 2 ，k 一1 1 a = l 2 ，兰kf = + ，_ = ，一1 i 77 选用该类型有个限制条件，顶点数减1 必须等于次数的j 下整数倍，即n k = 正整数。这样的节点矢量定义了分段伯恩斯坦基。 ( 四)非均匀b 样条曲线 在这种类型里，任意分布的节点矢量丁= t o , t l ，一，t 枞+ ，j ，只要在数学上 成立( 节点序列非递减，两端节点重复度k + l ，内节点重复度k ) 都可 选取。这样的节点矢量定义了一般非均匀b 样条基【2 6 1 。 均匀b 样条曲线是四种类型中最简单的一种。为方便起见，均匀b 样 条曲线的节点矢量，常取成整数序列，于是有节点矢量 丁： t o , t 1 ，一tm = _ 七，1 一”，咒+ 1 】 相应定义域为f k ，t 州 = o ，z k + 1 。 在这种类型罩，由节点矢量决定的均匀b 样条基在定义域内各个节点 区间上都有相同的形状，其中任一节点区间上的b 样条基都可由另一节点 区间的b 样条基经平移得到。基于这个性质，我们可将定义在每个节点区 间上用整体参数t 表示的b 样条基变换成用局部参数“l o ，1 l 表示。只需做 1 6 山东大学硕士学位论文 参数变换 t ；f ) = t f + “ 或者u = “( f ) = t - t f ，f p f ，t i + 1 】，i = k ，k + l ，l 变换的结果将使所有节点区间上的b 样条基都具有统一的数学表达式。 正是由于b 样条具有如上性质，可以灵活地插值构造形式多样的曲线， 满足本课题拟合焊缝曲线的要求。 2 4b 样条曲线插值的具体应用 三次均匀b 样条曲线在分段连接点处是c2 连续的。在不含内重顶点情 况下，样条曲线是切矢与曲率连续的。如为空间曲线则挠率是不连续的。 三次均匀b 样条曲线表达式中参数的最高次数是三次，可以满足焊接加工 中对焊缝曲线描述的精度要求。 2 4 1 三次均匀b 样条曲线 三次均匀b 样条曲线的表达式为： 只( “) = i 1 【比3 “2 “1 】 一13 36 3o 14 31 30 3o 10 k k “ k + ： k + 3 = 驴，