（应用数学专业论文）变分不等式与最优障碍控制问题.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 近些年来，航天技术、经济以及金融等领域得到了飞速的发展，而大量的 相关领域科研问题都可以转化为最优障碍控制问题，因此越来越多的学者致力 于此类问题的研究，提出了不少革新思想，对已有的一些结论也做了修正和补 充。目前多数的讨论主要集中在解的存在性、唯一性、正则性阻及最优条件。 本文主要是利用状态算子的一些性质来讨论障碍问题最优解的存在性以及唯一 性，并在此基础上进一步讨论此类问题的正则性。除此之外，作者还通过引入 偶函数的方法，重新定义控制问题，进而得到了较好的最优控制条件。最后， 还就和它对应的动态最优控制问题进行了初步的研究。 全文共分为五章，第一章绪论介绍了变分学的历史和研究趋势、最优障碍 控制问题的研究现状、动态最优控制问题的提法以及主要研究方法和作者的主 要工作内容。第二章首先得出状态算子的一些性质，并在这些性质的基础上进 一步讨论了最优解的存在性、唯一眭、正则性，最后我们讨论和研究了逼近问 题。第三章我们借助r u b i o 和w e n b i n 的思路，通过引入对偶函数方法，首先重 新定义最优控制问题，然后验证了实b a n a c h 空间上的最优控制问题的一些结论 在此处并不成立。最后利用罚方法得到了最优控制条件。第四章给出了动态障 碍控制问题的一些简单的结论包括状态算子的一些性质、最优解的存在性和唯 一性、解的正则性。最后一章主要是对本文的工作内容作了简单的总结，并对 该问题做了一定的展望。 关键词：正则性，障碍问题，变分不等式，最优条件，逼近。 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s ，a s t r o n a u t i c st e c h n o l o g y , e c o n o m ya sw e l la sf i n a n c e o b t a i n e dt h er a p i dd e v e l o p m e n t m a s s i v es c i e n t i f i cr e s e a r c hq u e s t i o n sc a r lb e t r a n s f e r r e di n t ot h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s m o r ea n dm o r ea c a d e m i c i a n sd e v o t e t h e m s e l v e si n t or e s e a r c h i n go ft h i sk i n do fp r o b l e m s ，w o r k i n go u tm a n yi n n o v a t o r y m e t h o d s t h e ya l s oa m e n da n dc o m p l e m e n tt h ee x i s t e n tr e s u l t sa n da l g o r i t h m a t p r e s e n tr e s e a r c h e sa b o u ts u c hp r o b l e ma r em a i n l yb yp e n a l t ym e t h o dd i s c u s s i n gt h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo ft h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m b u tt h e d i s c u s s i o na b o u tt h er e g u l a r i t yi sf e w t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e st h ee x i s t e n c e ， u n i q u e n e s so ft h eo p t i m a ls o l u t i o nb ys o m ea t t r i b u t e so ft h es t a t eo p e r a t o r a n d f u r t h e rt h ea u t h o rt h er e g u l a r i t y w i t ht h ee x c e p t i o no ft h i s ，t h ea u t h o ra l s ot h r o u g h i n t r o d u c i n gd u a lf i m c t i o nm e t h o dr e - d e f i n e st h ec o n t r o lq u e s t i o n ，a n dt h e no b t a i n s t h eb e t t e ro p t i m a lc o n t r o lc o n d i t i o n f i n a l l y , t h ea u t h o ra l s os t u d i e sd y n a m i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m t h i st e x tc 8 1b ed i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h e h i s t o r ya n dt h er e s e a r c ht e n d e n c yo ft h ev a r i a t i o n ，t h er e s e a r c hs i t u a t i o no ft h e o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，t h em a i nr e s e a r c ht e c h n i q u e a b o u tt h ed y n a m i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e ma n dt h ea u t h o r sm a i nw o r ki nt h i sa r t i c l e i nt h es e c o n dc h a p t e rw ef i r s to b t a i n ss o m ep r o p e r t i e so ft h es t a t eo p e r a t o ra n d f u r t h e rw ed i s c u s s e st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a ro ft h eo p t i m a ls o l u t i o n f i n a l l y ，w ed i s c u s sa n ds t u d yt h ea p p r o x i m a t ep r o b l e m t h et 1 1 i r dc h a p t e rw e r e d e f i n e st h ec o n t r o lq u e s t i o nt h r o u g hi n t r o d u c i n gd u a lf u n c t i o nm e t h o d ，t h e n o b t a i n st h eb e t t e ro p t i m a lc o n t r o lc o n d i t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e rw eo b t a i ns o m e s i m p l e c o n c l u s i o n so ft h ed y n a m i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi n c l u d i n gs o m e p r o p e r t i e so ft h es t a t eo p e r a t o r , t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dt h er e g u l a r i t yo ft h e o p t i m a ls o l u t i o n t h el a s tc h a p t e rm a i l l l yd o e sas i m p l es u m m a r yt ot h ea u t h o r s w o r ki nt h i sa r t i c l e ，a n dg i v e sac e r t a i nf o r e c a s tt ot h i sq u e s t i o n v 上海大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：r e g u l a r i t y , o b s t a c l ep r o b l e m ，v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , o p t i m a l c o n d i t i o n ，a p p r o x i m a t i n g v 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：耋垂笙日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留沦文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 、 签名：鳐生聊繇筮塑醮： 上海大学硕士学位论文 1 1 变分不等式理论 第一章绪论 变分不等式理论是当今非线性分析理论领域的重要组成部分，它在力学、 微分方程、控制论、数理经济、对策论、优化理论、非线性规划等理论和应用 学科中都有广泛的应用，同时，它还是当代数学方法中非常有效的工具。变分 不等式理论创立于上世纪六十年代初，早在1 9 5 8 年，s t a m p a c e h i a 和e m a n e n e s 就对偏微分方程和泛函分析领域做了大量研究，这对偏微分方程的发展有深远 的影响，尤其是s t a m p a c c h i a ，在势理论问题的研究中，假设系数是有界且可测 条件下来进一步研究其规则解的问题，对变分不等式的创立做出了重要贡献； 1 9 6 7 年，j l l i o n s 和gs t a m p a c c h i a 对著名的s i g n o r i n 问题进行了研究，试图 用变分的技巧来解决，当时这一思想已被大家接受，但对于给定的从数学物 理中产生的自由边界问题，又如何将它用变分技巧来表示并求得解呢? 这一问 题在1 9 7 1 年由b a i o c c h i 通过对一未知函数的近似变换得到了解决；之后众多学 者对各类变分不等式进行了大量研究，1 9 7 2 年出现了数值方法，1 9 7 6 年出现了 k o r p e l e v i c h 利用外插技术给出外梯度法，至此形成了变分不等式的基本理论框 架和基本算法。 1 2 障碍最优控制问题的提出及研究现状 近些年来，航天技术、经济以及金融等领域得到了飞速的发展。变分不等 式和自由边界问题在力学、工程、化学以至经济与金融等领域中广泛出现。许 多工程问题，如衄面曲线设计和某些金融衍生产品的定价问题等都会导致具有 障碍的变分不等式模型。因此关于这类含非光滑项的偏微分方程最优控制问题 的研究正日趋活跃。在变分不等式支配的控制系统中以障碍作为控制变量，称 为障碍最优控制问题。它与通常的变分不等式最优控制问题不同，控制作用通过 障碍进入了状态方程的非光滑项，这是此类问题的主要特点和困难所在。a d a m s ， l e n h a r t 和雍炯敏等首先就主部为l a p l a c e 算子并且右端为齐次的情形研究了障 上海大学碗：匕学位论文 碍最优控制问题。利用方程的齐次性，指标泛函的二次性以及上调和函数的性 质，该文中证明了最优控制的存在性、唯一性，并刻划了最优控制的特性。然而， 对于一般的非齐次方程和( 或) 一般的指标泛函，障碍最优控制问题仍然有待进 一步的研究。 由偏微分方程描述的控制系统的理论研究始于上一世纪6 0 年代，其主要任 务是构建与控制论中三个具有里程碑意义的奠基性工作( 即p o n t r y a g i n 最大值原 理，b e l l m a n 动态规划方法以及k a l m a n l q 最优调节器理论) 相应的无限维最 优控制理论的框架早先，由偏微分方程所支配的控制系统的最优性条件，通常是 在关于控制集的凸性假定下得出( 这时，p o n t r y a g i n 等的结果并不能作为特殊情形 而被涵盖) ，而在许多实际问题中，控制集往往不是凸的 例如开关控制问题) 。 本文对于非凸控制集和一般形式的指标泛函，系统地研究了变分不等式的间接 障碍最优控制问题。 对这类最优控制问题许多学者进行过研究 i l l 5 i 。d r a d a m s ，s m l e n h a r t 和j y o n g l l l 通过提出最优控制问题的一类逼近问题及对逼近问题的分析，证明 了最优控制问题解的存在性和唯一性；使用罚方法讨论了逼近问题解的一些性 质：通过格林势能法讨论了在目标函数为本性有界情况下解的正则性。d a v i d r a d a m s 和s u z a n n el e n h a r t 副研究了在增加外力的情况下，变分问题解算子的 些性质，得到的结论包括：在外力厂0 时，解算子和没有外力的情况下完全 相同，而当外力厂 0 时，解算子会表现出一些新的特性。q c h e n ”i 研究了含r 指标泛函的间接障碍控制问题，并且证明了最优控制的存在性以及最优性条件。 间接障碍控制问题的主要难点在于非光滑状态方程( 变分不等式) 与非光滑指标 泛函( r 范数) 的同时出现。q c h e n 通过引入新的正则化逼近，并在逼近问题收 敛性的讨论中克服新的困难。胡钡和雍炯敏曾用偏微分方程框架讨论过具有点 态状态约束的半线性抛物型偏微分方程的最优控制问题，但是他们的结果并不 包括非线性项f n 多值映射的情形。罗马尼亚的v b a r b u 院士在控制区域的凸 性假定下，对于线性控制以及指标泛函中状态项与控制项分离且关于控制是下 半连续凸泛函的情形，曾就椭圆型和抛物型变分不等式的最优控制问题作过系 上海大学硕士学位论文 统的研究。此外还有其他一些学者也对双边障碍问题的某些属性进行研究。但 总的看来，对障碍问题的正则性研究和所得的结论相对来说比较少。 对于同样的椭圆型状态系统，如果我们的目标是最小化某个最大值，这样的 障碍最优控制问题常被称为m i n i m a x 控制问题。在实际应用中有时考虑 m i n i m a x 控制问题比考虑通常的含积分指标的问题更为自然，特别当人们试图 极小化研究对象的性态与预期目标的最大偏差时更是如此。然而，关于m i n i m a x 控制问题( 尤其是对于无限维系统) 的研究甚少。我们仅知，b a r t o n ，i s h i i ，n e u s t a d t 等人曾研究过常微分方程的m i n i m a x 控制问题：雍炯敏曾研究过二阶半线性椭 圆型偏微分方程的m i n i m a x 控制问题。在某种意义下，含积分指标的问题是光 滑的，而以r 范数作为指标泛函则是不光滑的，这将使m i n i m a x 控制问题最优 性条件的推导更为复杂。这无疑是含r 指标泛函的问题缺乏研究的原因之一。 1 3 动态系统的最优控制的提法以及求解数学方法 在本文中的第四部分，我们还就动态障碍最优控制问题进行了一定的讨论。 所谓动态最优控制，是指在一定的限制条件下，寻求使系统某项性能指标，在 某个时刻或者某个时间段达到最优的控制规律问题。动态最优控制系统的设计， 在于选择控制规律，以便使性能指标j 达到极值。设系统状态方程为 膏( f ) = ， x ( f ) ，“( f ) ，x ( 岛) 】，x g ) = ，规定的目标集s = x ( t o ) p 4 x ( t ，) ，0 - o ) ，x q ) 为状态向量，“( ，) 为控制向量， “( f ) 在【吒，f ，】 上分段连续， j = 研x ( o ) ，f ， + j f 【z ( r ) ，“( r ) ，f 坤，在满足一定的约束条件下，从所有可供选择 的控制中寻求一个容许控制“( f ) u ，【气，f ， ，使系统状态x ( f ) 由给定的初态 x o 出发，在， f o 时刻转移到末态x ( ，) s ，并使性能指标j 达到极值，问题的 解“+ ( r ) 称为最优控制相应的状态轨线，x ( f ) 称为最优轨线，性能指标的最优值 i ，= j u ( f ) 称为最优性能指标。 当数学模型和性能指标确定之后，求解动态最优控制问题的主要数学方法 有： 上海大学硕士学位论文 一、 解析法 这种方法适用于性能指标及约束有明显解析表达式的情况。其一般的步骤 是先用求导方法或者变分法求出最优控制的必要条件，得到一组方程或者不等 式，然后求解这组方程或者不等式，得到最优控制的解析解即为所求的最优控 制。解析法大致可分为两大类。第一类，无约束时，采用微分法或变分法。第 二类，有约束时，采用极大值原理或动态规划法。 f 一) 变分法：当控制变量不受约束时，引入哈密顿函数，应用变分法可以导 出最优控制的必要条件，即正则方程、控制方程、边界条件、横截条件。 ( - - ) 极大值原理：用变分法求解最优控制问题时，是假定控制向量“( ，) 不受 任何限制，即容许控制集合可以看成是整个控制空间开集，控制变分乩是任意 的，同事还要求哈密顿函数h 对u 连续可微，但是在世界工程上，控制变量往 往受到一定的限制，这时可以用极大值原理来求解最优控制问题，这种方法其 实是由变分法引申而来的，但是由于它能应用于控制变量“( f ) 受边界限制的情 况，并且不要求哈密顿函数h 对u 连续可微，因此得到广泛的应用。极大值原 理仍然是最优控制所应满足的必要条件，但是它不涉及最优控制的存在性问题， 在具体应用时应与实际问题的特点相结合找出最优控制，其最常见的应用有最 小时间控制，最小燃料消耗控制以及最小能量控制等。 f - - ) 动态规划：与极大值原理一样，是处理控制向量限制在一定闭集内的最 优控制问题的有效数学方法，它把复杂的最优控制问题变为多级决策过程的递 推函数关系，其基础和核心时最优性原理即在一个多级决策问题中无论初始状 态和初始决策如何，当把其中的任何一级和状态再作为初始级和初始状态时， 如下的决定对于这一级开始往后的多级决策过程的一部分必定仍然是一个最优 决策。因此，利用这一最优性原理必然可以把一个多级决策问题转化为最优的 单级决策问题，并且本级决策与本级以前的任何决策无关，只于本级的初始位 置和初始决策有关。 二、 数值计算法 当性能指标比较复杂或者不能用变量显函数表示时，可以采用直接搜索法， 经过若干次迭代搜索到最优点，数值计算法可以分为两大类： 上海大学硕士学位论文 第一，区间消去法，又称为一维搜索法，适用于求解单变量极值问题。主 要有黄金分割法，多项插值法等。 第二，爬山法，又称为多维搜索法，适用于求解多变量极值问题。主要有 坐标轮转法，步长加速法等。 三、 梯度型法 梯度型法是一种解析与数值计算结合的方法。主要包括两大类：一种是无约束 梯度法，如陡降法、拟牛顿法等。第二类是有约束梯度法，如可行方向法，剃 度投影法。 1 4 本论文的研究内容 在第二章，我们主要是讨论经典的椭圆变分不等式的最优障碍控制问题。 第一、二小节分别提出所研究的问题以及给出一些基本的预备知识。第三小节 我们讨论状态方程的一些性质以及状态结算子在一定条件下的连续性；利用变 分问题解算子的丁( 砩( q ) ) = h + ( q ) 性质，并用不同于其他文献中的方法我们证 明了最优控制解的存在性和唯一性。在此基础上，我们在第四小节利用罚方法 得到了障碍最优控制问题的最优条件。在第五小节中，通过提出一个等价于原 问题的一个最优控制问题，讨论了障碍控制问题最优解的孵( q ) 一正则性。最后 在第六小节中，我们讨论和研究了逼近问题，再次论证了控制问题的解的存在 性和唯一性。在第三章中，我们主要是借用r u b i o 和w e n b i n 的思路再次讨论障 碍问题的最优解的存在性和唯一性，并得出较好的最优条件。在第一二小节中， 通过引入对偶函数方法，重新定义了最优控制问题。接着在第三小节中我们论 证了实b 空间上的最优控制问题的一些结论在此处并不成立。最后一小节我们 利用罚方法得到了控制问题的最优控制条件。第四章给出了动态障碍控制问题 的一些简单的结论包括状态算子的一些性质、最优解的存在性和唯一眭、解的 正则性。最后一章主要是对本文的工作内容作了简单的总结，并对该问题做了 一定的展望。 上海大学硕二l 学位论文 第二章最优障碍控制问题以及逼近问题 2 1 引言 在本章中，我们考虑如下最优控制问题。 问题( c ) 求歹砩( q ) 使得 。( 沪，懿) 坳) ，6 埘( n ) 其中( y ) 兰昙问丁( y ) 一zj 2 + i v y l 2 渺， 砂联( q ) 。o ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中q r ”是一有界区域，a q c 1 ，z r ( q ) 为一给定的目标函数。 而妒= ，o ) 为下面拟线性变分不等式( 状态方程) 的解： 妒k ( y ) = v 砩( q ) lv y ，口p 3 q ) v r p v ( v 一妒) 出o ，v v j | ( ( y ) ( 2 1 3 ) n 已知对v y 捌( q ) ，( 2 i 3 ) 确定了一个唯一的解p = 丁( y ) 职( ，且是 v h0 v v l 2 出在凸闭集k ( y ) 上的极小值。此时，我们称y 为控制变量，而相应 点 的尹= t ( y ) 为状态变量。任何满足( 2 1 1 ) 的控制变量就称为最优控制。 2 2 预备知识 为方便计，用i i 1 l ：表示川l r 。，m + ( q ) 为q 中非负的布尔测度集合。显然 m + ( q ) 在日。1 ( q ) 中是凸且闭的。 定义2 2 1 若“叫( q ) 满足 v u - v 妒d x _ 0 ，v 妒磁( q ) ，妒o ，删x q ( 2 2 1 ) n 则“称为q 上的上调和函数。 上海大学硕士学位论文 用h + ( q ) 表示q 上的上调和函数集合，即 日+ ( q ) 每“磁( q ) l 夕“v o d r _ 0 ，v 妒删( q ) ，妒o ，伽x q 易证日+ ( q ) 为卅( q ) 中的一个闭凸子集。 由r i e s z 分解定理知，m y h + ( q ) ，存在唯一的m + ( q ) ，使得 ，一每2 1 。y k = 0 定义集合丘( q ) = v l ：( t o i v o ，盯e q 。 2 3 状态方程 ( 2 2 2 ) 在本小节中，我们主要是讨论状态方程以及状态算子t 的一些性质，有些 性质并不是我的结论。但为了方便读者，我们包含了一些性质的证明过程。 首先定义 注意到r o = m i n o ，r ( r ) 0 且( ，) c 1 ( r ) 其中卢( r ) 为 所书，；。 _ y ) 枷，絮( 2 a 1 ) 由于卢( 矿一y ) 是非减的，则上面的半线性椭圆方程存在唯一解 曼：一 q t 5 o m r = 烈_ 星 0 万矿 p 一 ，【 l 海大学硕士学位论文 矿h 2 ( q ) n 叫( q ) ，令矿= t 6 ( y ) ，我们有下面这个结论。 命题2 3 1 假设y 6 磁( q ) 在域( q ) 中强收敛于y ( 当万斗0 时) ，则 矿= t a ( 少) 在嘲( q ) 中强收敛于p = r ( y ) 。 证明：分四步证明： ( 1 ) 对于v y 5 h ；( q ) ，令矿= 丁5 ( 广) ，则半线性椭圆方程( 2 3 1 ) 等价于： v v 叫( n ) 0 2 , 2 ， v 吡+ 如( 产y 懈_ o ( 2 s t 2 ) 首先令v = 矿一y 5 ，上述方程变为， v v ( ( p 8 _ y 8 胁丢p ( 产门( 妒a _ y a 胁。 注意，若妒6 一y 6 0 ) ，( 妒5 一y 5 ) = 0 ；否贝0 ( 妒5 一y a ) 兰0 。 故，( 妒5 一y 6 ) ( 妒6 一y 6 ) 0 ，a e i nq 。 因此，f v t p 5 审( 矿一y 5 ) 出o ，即v 矿v 妒5 出p 妒5 v y 6 d x 。 nnn 于是可得，i l v 矿哐纠l v 矿i i ：| | v 少怯即i i v 矿1 1 2 - l l v y 6l i ：。 这样就推出，l i 矿( n 】 - cl ly 5 ( 。) ( c 为一个常数) 。 ( 2 3 3 ) ( 2 ) 下面估计( 矿一y 6 ) 。 由于0 茎卢1 ，以及( 妒6 一y a ) 线( q ) 。 在( 2 3 2 ) 中取v = ( 矿一y a ) 得， 。j v q , a v f l ( 矿- - y 8 ) 出+ 去( 妒5 一y 5 ) ( 妒6 _ y 3 ) 出= 。 副1 p l 妒6 一，8 川2 ：= 一v o a v f l ( 1 5 0 * - 少) 凼 上海大学硕士学位论文 m i l 矿i i 矾( 哟+ i i ( 矿) n 矾( 。) ( m 为和算子有关的常数) 。 由于( o ) = 0 以及o s 卢1 蔓1 ，n i l ( v ) i h - 1 1v i i ：。 黝，由掣叫妻阍l v 驯v 圳：。 戚靠 综合上面两个不等式可得，i i ( v ) 1 1 。：( q - 0 ，我们定义 问题( g ) 厶够) 2 ，。i 圳n f ( n ) 厶( y ) 其中厶( y ) 竺； i r 6 ( y ) 一z 1 2 + l v y l 2 ) 出 + l l y - - y * l l i 。 而r 是半线性椭圆方程( 2 3 1 ) 的解算子。接下来的内容，我们先来证明算 子严的g 一可微性。具体体现在下面命题。 引理2 4 1 算子，在任意一点y 喇( q ) 都是g 一可微的，即对于v 善砩( n ) 成立， ! 业塑二! 幽三 f i n 联( q ) ，当t 斗0 。 其中v 6 为下列灵敏度方程的解 f 一v 5 + 否1 + ( w 6 - y ) v 5 = 去( w d v 4 = 0 j ，) 孝，难曼，其中如r ( y ) 。 工傩2 证明过程可以参照l e m m a 5 1 i j j 。 在接下的内容，我们仍然沿用前面的一些定义以及标记。另外为了叙述上的方 便，记爿= 。- a 。现在我们定义问题( g ) 的状态的对偶函数矿嘲( q ) ，i ! p ) t t 列方程的解， + 扭产y 勺矿邓t 毛黑。 p 8 ：0 x 执2 其中a 是a 的伴随算子，设广是问题( ) 的解，我们可有， 对于砂删( q ) ，兰厶( 广+ t ( y - y 5 ) ) | f ：0 0 。 “l 由此我们可得，( z 5 ( 矿一z ) + 矿( 妒一矿) ) 出+ ( ( 矿一妒+ ) ( 妒一矿) ) 出o 。 上海大学硕士学位论文 其中z 6 穰( q ) 满足，a z 6 + 去声。( 妒6 一y 6 ) z 55 i 1 ( 妒6 一y 6 ) ( 妒一妒5 ) ，x e q0 00 由p 6 的定义可得， d + ( p s , z 8 ) + 胪( 0 8 _ y 8 ) p s z 8 出+ 6 v ( y _ y a 肼( y 8 _ y * ) ( y _ y 8 此处a 为日的伴随形式，于是， n ( z s , p 8 ) + 黠纵c p 6 - y 4 ) p s z 8 虮5 w y _ y 8 胁+ ( y 8 _ y , ) ( y _ y 8 胆on un f2 可得，黠。( ( y _ y 8 ) p 8 ( y _ y 8 ) 出+ 跏6 w y _ y 8 ) 出+ 量y a _ y * ) ( y _ y 8 ) 出0 。nvn 【1 在接下来的内容，我们令 6 = 孑1 卢( 矿一y 6 ) p 6 ( 2 4 1 ) 于是我们有下面这个结论。 命题2 4 2设y 6 是i 。- j 题( g ) 的最优解，且有矿= 严( 广) ，则存在 p 5 叫( q ) n h 2 ( q ) 以及妒r ( q ) 使得下列最优条件满足： 爿妒5 + ：1 ( 妒6 一y 5 ) = o ，x q 以及妒6 = 0 ，工a q ( 2 4 2 ) o a * p 6 + 卢6 = 妒6 一z ，x q ( 2 4 3 ) v v 联( q ) ，( + y 4 一y + ，y y d ) 2 + ( 却5 ，a ( y - y 6 ) ) 2 o ( 2 4 4 ) 要证明这个命题，我们首先给出的下列一些性质。 引理2 , 4 3 5 = 吉( 妒：y 5 ) p 5 ，x 其e 他t 0 6 ：并r 2 5 联( q ) 。 其中国6 = 缸q l 妒6 ( x ) y 8 ) ) 。 证明：第一个结论是显然的。 注意到，由矿和y 6 的连续性可得，t 0 5 是一q 中的开集。 上海大学硕士学位论文 下面计算“6 在分布概念下的导数。 已知6 = 圭玎( 妒6 一y 8 ) p 5 ，其中， 0 j0 ， r 0 r ( r ) = - 2 r ，_ o 5 r o ， 函数r 作为一个分布函数是可导的，导数为 i1 ， ， 0 5 叩。= 协叫了蠹栅佃， 由于叩是连续的，即叩c ，故5 在分布概念下是可微的，且有 娑：h 产y 一) 掣小i 1 叩( 9 8 _ y 8 ) 篓 m d 出 do x 因为玎( 矿- y 6 ) ，q ( c p 5 一广) r ( q ) ，p 5 砩( q ) n 日2 ( q ) c r ( q ) 匕 f f za ( p a _ y a ) ，攀r ( q ) ，则娑r ( q ) 。 钒?泓璐。 因此，8 日1 ( q ) 。又因为5 = o ，x e a q ( 由p 5 砩( q ) 得) 。 可得，6 捌( q ) 。结论得证。 下面我们开始讨论控制问题( 6 3 的最优条件，在命题2 4 2 的基础上，通过对 上述条件求极限的方式得到我们需要的结论，首先估算一下p 5 和口6 。 命题2 4 4 当j 呻0 时，若p 5 在瑞( q ) 中弱收敛于某个p + 时，序列6 在 h 1 ( q ) 中有界，且弱收敛于某个h 。1 ( q ) 。 证明：已知( 2 4 3 ) 式等价于， 口l ( 勺+ 转。( 9 a _ y a ) ( 矿m 2 ( q ，- z , p a ) 2 ( 2 _ 4 5 ) 因为0 ，这就意味着，口f | p 6 忾- 1 f 矿一z f i ：i i p 5 怯即 f n l i i p a i i a m ) _ o ，使得j 1 w 。1 2 出立。 n 因此，存在子列 虬 c 日+ ( q ) ( 仍记为本身) 在叫(