（系统理论专业论文）lsmooth拓扑空间的分离度和双f分离性的研究.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 自从l - s m o o t h 拓扑空间产生以来，有很多人从事这方面的研究，利用开度来研究拓 扑的一些性质但是，目前很少有人利用开度来研究分离度本文的第一章主要研究 l - s m o o t h 拓扑空间的分离度 在第一节中，介绍了ls m o o t h 拓扑空间的基本知识，定义了，一开邻域，讨论了，一 开邻域与，一闭远域的关系 定理1 1 1 设( r ，f ) 为l s m o o t h 拓扑空间，l o ，x m + ( r ) ，则a 为的r 一 闭远域当且仅当a 为而，的r 一开邻域 在第二节中，用，一丌邻域定义了r 一正( i = o ，l ，2 ，3 ，4 ) 空间，讨论了它们之间的关系，研 究了它们的性质更为重要的是，定义了正( z = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 空问的分离度用例子说明了 z ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 空间的分离度是确实存在的随后，研究了分离度的性质，例如：遗传性、 同胚不变性、可乘性等 定义1 2 6 设甲为所有三- s m o o t h 拓扑空间组成的集合，定义映射，：t 斗l 为： v ( l x ，f ) t ，j i ( ( u ，f ) ) = v p l 。( r ，f ) 为r i 空间 ，我们称j i ( x ，f ) ) 为( r ，f ) 的 z 分离度，其中i = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 从第二章开始，利用连续值逻辑的语义学方法来研究拓扑在第一节中，定义了由 ( j ，j ) 诱导的x j ( f 一拓扑空间( x ，州，) ) ，并讨论了它的性质 定义2 1 5 设( x ，) 为不分明化拓扑空间一元f 一谓词“i ，) f ( f ( x ) ) ，被定义 为：w ( ，) ( 一) 2 蕊】，( 邑( 爿) ) 2 蕊】j ( a a a ) ) - 定义2 1 6 称似，) 为由j 诱导的双，一拓扑，( x ，w ( ，) ) 为由( x ，j ) 诱导的双f 一拓 扑空间 定理2 1 5 设( y ，) 为不分明化拓扑空间，x ，f ：x - - ) y 为序同态，则 卜wer ( y ) ( 厂1 ( “删w ( f 。u ) ) ) ，其中t ( y ) 为】，上所有不分明化拓扑之集 聊城大学硕士学位论文 定理2 。1 6 设( z ，) 为不分盟化拓扑空间，f ：x _ y 为满序同态，则 卜w z ( x ) ( w ( j ) l f 付w ( j f ) ) ，其中r ( x ) 为x 上所有不分明化拓扑之集 在第二节中，定义了一元，一谓词正( f _ 一1 , 0 ，l ，2 ，3 ，4 ) 、r i o = o ，1 ，2 ) 、正( f - 3 ，4 ) ，给出 了它们的特征刻画，讨论了它们的关系，研究了它们的性质 定理2 2 6 设( x ，j ) 为双f 一拓扑空间，则 ( x ，) 五( 扛。) f + ) 定理2 2 8 设( ，) 为双，一拓扑空间，则 h ( x ，) 正h v x y y f ( ( x x ) ( y ，x ) ( 工y ) 一 3 u 3 v ( ( u h ) a ( 矿n 虬) a “盯2 ，( u ) n a x p ( y ) ) = 纠) ) 定理2 2 9 设( ，) 为双f 一拓扑空间，y x ，y 妒若( y ，j 1 ，) 为子空间，则 卜t ( x ，j ) 寸正( y ，ji ，) ( 正( x ，j ) 斗r ( y ，jl ，) o = 一1 , 0 ，1 ” 定理2 2 1 4 设( ，) 为不分明化拓扑空间，则 卜正( x ，w ( ，) ) 疋( x ，j ) ( i ( x ，“，) ) i ( x ，) u = - 1 ，0 ，1 ) ) 定理2 2 2 6 卜i ( ，) 五+ a ( x ，) 五一( x ，) 瓦 定理2 2 2 7 卜( x ，) 五a ( 石，) 五( ，) r 3 + 通过本文的研究，一方面，我们丰富了o = o ，l ，2 ，3 ，4 ) 分离性的知识：另一方面，我们 对正( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 分离度有了新的认识，开阔了我们的视野 关键词：l - s m o o t h 拓扑空间，正( f = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 分离度，双f 一拓扑空间，诱导的 双f 一拓8 b 空n ( x ，w ( 功，一元f 一谑n r , f ( q ) ( f ：一1 , 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) i i 聊城大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n c el - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e sa r eg e n e r a t e d ，t h e ya r es t u d i e da n dt o p o l o g yp r o p e r t i e s a r ed i s c u s s e db ym e a n so fg r a d a t i o no fo p e n n e s sb ym a n yp e o p l e h o w e v e r , n o wg r a d a t i o no f s e p a r a t i o ni se n g a g e db yf e wp e o p l e i nt h i sp a p e r , g r a d m i o no fs e p a r a t i o ni nl s m o o t h t o p o l o g i c a ls p a c e si sm a i n l ys t u d i e di nc h a p t e ro n e i ns e c t i o no n e ，b a s i ck n o w l e d g eo fl - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e si si n t r o d u c e da n d r o p e nn e i g h b o r h o o d s a r ed e f i n e da n dr e l a t i o n sb e t w e e n，一o p e nn e i g h b o r h o o d sa n d r c l o s e dr n e i g h b o r h o o d sa r ed i s c u s s e d t h e o r e m l 1 1l e t ( l x ，f ) b ea nl - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e ，r l o ，x z m 。( l “) ，t h e n ai sar c l o s e d r - n e i g h b o r h o o d o fx l i f fa ji sar o p e n n e i 审b o r h o o d o fx l i ns e c t i o nt w o ，一正( i = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) s p a c e sa r ed e f i n e db y ，一o p e nn e i g h b o r h o o d sm a d r e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma r ed i s c u s s e da n dt h e i rp r o p e r t i e sa r es t u d i e d i ti s i m p o r t a n tt h a t g r a d a t i o n so fs e p a r a t i o no f 正( i = 0 , l 234 ) s p a c e ss h o u l d b ei n t r o d u c e da n di ti sp r o v e dt h a t t h e ye x i s tr e a l l y b ye x a m p l e s t h e n p r o p e r t i e s o f g r a d a t i o n o f s e p a r a t i o n a r cs t u d i e ds u c ha s t h e h e r e d i t a r yp r o p e r t ya n dt h ep r o d u c t i v ep r o p e r t y d e f m a t i o n l 2 6l e twb et h es e to fa l ll - s m o o t ht o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dl e t ，：甲呻lb e ： v ( l x , r ) 甲，j i ( ( 上x ，f ) ) = v ，l ol l e t ( l x ，f ) b e ，正s p a c e ) ，t h e nj i ( ( 上。，f ) ) i s t h e g r a d a t i o no f 正s e p a r a t i o no f ( l x , f ) w h e r ei = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 f r o mc h a p t e rt w oo n ，t o p o l o g yi ss t u d i e db yt h es e m a n t i cm e t h o do fc o n t i n u o u sv a l u e d l o g i c ab i f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，w ( ，) ) i n d u c e db y ( x ，j ) i si n t r o d u c e da n di t s p r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d d e f i n a t i o n 2 1 5l e t ( x ，j ) b eaf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e au n a r yb i f u z z yp r e d i c a t e w ( ，) f ( f ( x ) ) i sd e f m e da s ： 呱似一) = 删i n f jf ( 乞( 爿) ) - 驯i n f j j ( a r ( 彳) ) d e f i n a t i o n 2 1 6w ( j ) i sc a l l e da b i f u z z yt o p o l o g yi n d u c e db y ，w ( 卿i s c a l l e d ab i f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c ei n d u c e db y ( 工，j ) 聊城大学硕士学位论文 t h e o r e m 2 1 5l e t ( y ，j ) b eaf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e ，x ，a n dl e t f ：x 斗yb ea l l o r d e rh o m o m o r p h i s m ，t h e n b v r ( y ) ( 厂一1 ( 以，) ) hw ( f 一1 ( ，”) ，w h e r e t ( y ) i st h es e to f a l lf u z z i f y i n gt o p o l o g i e so ny t h e o r e m2 1 6 l e t ( x ，j ) b ea f u z z i f y i n g t o p o l o g i c a ls p a c e ，a n d l e t f ：x 斗y b ea f u l lo r d e r h o m o m o r p h i s m ，t h e n w t ( x ) ( w ( j ) fhw ( j f ) ) ，w h e r e 丁( 彳) i st h e s e to fa l l f u z z i f y i n gt o p o l o 零e so n 爿 i ns e c t i o n t w o ，t h e u n a r y b i f u z z y p r e d i c a t e s 正( f = 一1 , 0 123 ，4 ) 、r f ( j = 0 , 1 ，2 ) 、i + u = 3 ，4 ) a r ed e f i n e da n dt h e i rc h a r a c t e r sa r eo b t a i n e da n dt h e i rr e l a t i o n sa r es t u d i e da n dt h e i rp r o p e r t i e s a r ed i s c u s s e d t h e o r e m 2 2 6 l e t ( x ，j ) b ea b i f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e ，t h e n ( ，) 正h 觇。彳( 缸。) f + ) t h e o r e m 2 2 8l e t ( x ，j ) b ea b i f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e ，t h e n ( x ，t ，) 正付v x v y 。( ( 互z x ) n ( y 。x ) ( x y ) 手 3 u 3 v ( ( u 屯) ( 矿n ) ( ( 。_ ，( u ) n o _ ( 矿) ) = 妒) ) ) t h e o r e m 2 2 9l e t ( x ，j ) b eab i f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e ，y ，y 庐i f ( y , j i r ) i s a s u b s p a c e ，t h e n 正瞄刀斗互，i ，) 佤衅，) 斗t ；( y , ji ，) o = 一1 ，o ，1 ) ) t h e o r e m 2 2 1 4l e t ( x ，j ) b eaf u z z i f y i n gt o p o l o g i c a ls p a c e ，t h e n 疋( ，w ( i ，) ) 争t a x ，) ( 正( ，w ( j ) ) ( x ，j ) ( f = 一1 , 0 ，1 ) ) t h e o r e m 2 2 2 6 ( x ，) 五+ ( x ，) 正寸( x ，刀正 t h e o r e m 2 2 2 7 ( x ，) t 4 + ( j ，) 五斗( x ，) e + t h r o u g ht h es t u d yo ft h i sp a p e r , o nt h eo d eh a n d ，w ee n r i c hk n o w l e d g eo fp r o p e r t i e so f 正( f = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) s e p a r a t i o n ；o nt h eo t h e rh a n d ，w eh a v ean e wu n d e r s t a n do ng r a d a t i o no f 正( f = 0 , 1 。234 ) s e p a r a t i o na n dw i d e no u rv i e w s 聊城大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：l - s a v o 拍t o p o l o g i c a ls p a c e ，g r a d a t i o n so fs e p a r a t i o no f 正( f = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) s p a c e s ，b i f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e ，t h eu n a r yb i f u z z y p r e d i c a t e s 正，( q “= 一1 , 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) v 聊城大学硕士学位论文 前言 1 9 6 8 年，c l c h a n g 将一般拓扑空间的概念推广为f u z z y 拓扑空间，其f u z z y 拓扑是 一个由x 上f u z z y 集合所构成的分明集合因此就其拓扑而言，f u z z y 的特色并没有充分 体现出来1 9 8 5 年，a p s o s t a k 在文献 1 中引入了s m o o t h 模糊拓扑的概念，从而有了 l - s m o o t h 拓扑空间本文的第一章在此空间中定义了，一r ( i = 0 , 1 ，2 3 ，4 ) 空间，并提出了 正( f = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) 空间的分离度的概念证明了正( f = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 空间的分离度具有遗传性、可 乘性等本章的术语可参考文献 2 此外，p ( l ) = ，：，为l 中的素元且 ，1 。) ，p + ( ) = i 旯p ( 三) ) ，q ( 棚= p l 彳 ，) ，舌。( a ) = 石xi4 ( x ) n ) ， 三o = 三一 0 ，p = 口l ：v t l ，若v t ，贝0 3 r t 使口r ) 应明生于1 9 9 1 年在 3 中利用连续值逻辑的语义学方法提出了不分明化拓扑和双 f 一拓扑的概念，从一个不同的角度发展了不分明集框架下的拓扑学沈继忠在文 4 中 将一般拓扑学中的分离性公理引入到不分明化拓扑空间中去，近几年，有很多人致力于这 方面的研究并取得较好的成果但是，目前存在一个问题：双f 一拓扑中的分离性公理没 有取得较大的进展本文在第二章中系统地研究了双f 一拓扑中的分离性公理 本节可用以下公式： ( 1 ) 口】：= a ( a o ，1 ) ，( 2 ) 【妒 y 】：= m a x ( o ， 纠+ 【y 一1 ) = m i n ( 妒 ， y 】) ， ( 3 ) 妒 ：= 1 一 妒】，( 4 ) 【妒 y _ r a i n ( 1 ，1 一 妒 + y ) ，( 5 ) 【妒v 缈 ：= m a x ( 妒 ， y ) ， ( 6 ) 【妒十 矿】：= ( 妒y ) a ( y 妒) ，( 7 ) 妒( 工) 】：= s u p 【妒( x ) 】 e t ( 8 ) 若4 b 聃，则【4 b ：= 、口_ x ( x 2 a h b ) ， ( 9 ) 爿三b ：= ( 4 占) ( 曰爿) 】 聊城大学硕士学位论文 第一章l - s m o o t h 拓扑空间的分离度 1 1l - s m o o t h 拓扑空间 本节主要介绍了以后将要用到的基本概念，讨论了，一开邻域和卜闭远域的关系 定义1 1 1 如果映射f ：l x 斗上满足下列条件：( 1 ) f ( 0 ) = f ( 1 ) = 1 。： ( 2 ) v a ，b l x ，f 占) 2r ( a ) a f ( b ) ：( 3 ) v 4 瞎，l x ，r ( v 则称f 为x 上的个l s m o o t h 拓扑，此时称( l x ，r ) 为一个l s m o o t h 拓扑空间 定义1 。1 。2 如果映射：l x 专l 定义为：t ( 椰= r ( a ) ，则称只为x 上的一个 l - s m o o t h 余拓扑 c 显然满足：( 1 ) c ( o ) = t ( 1 ) = 1 。：( 2 ) v a , b l x ，f a a v b ) c ( 棚 c ： ( 3 ) v a 。，g l x ，c ( 台4 ) * f a a i ) - 定义1 1 3 ( l x ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，a l x ，r l o 若r ( 彳) r ，则称4 为 ，开集所有，i 开集组成的集合用f ，表示 定义1 1 4 设( r ，f ) 为l s m o o t h 拓扑空间，a l 。，l 。若f a a ) r ，则称a 为 ，一闭集所有r 一闭集组成的集合用( f j 表示。 定义1 1 5 设( ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，厶，x 。p + ( ) ，a r ，如果 爿( 砷甚s ，则称a 为x s 的r 一开邻域x s 的全体，一开邻域之集，记作，( t ) 定义1 1 6 设( r ，力为l - s m o o t h 拓扑空间，厶，而m + 犯。) ，a ( ) ，如果 一( x ) 丕五，则称a 为x 。的，一闭远域工。的全体，一闭远域之集，记作仉( ) 定理1 1 1 设( ，r ) 为l s m o o t h 拓扑空间，r l o ，x m + ( r ) ，则a 为x 的，一 闭远域当且仅当a7 为x 。，的r 一开邻域， 证明充分性因a 为石的，一开邻域，故彳( 功兄7 ，即彳( z ) 兰旯又因为 ( 4 ) = r ( a ) r ，所以a 为扎的，一闭远域 聊城大学硕士学位论文 必要性因一为x 。的p - 闭远域，故a ( x ) 兰a ，即4 7 ( 工) 甚a 又因为r ( a ) = c ( 爿) r 所以a 为x 。的，一开邻域 定理1 1 2 设( 上。，f ) 为- s m o o t h 拓扑空间，r o ，则f ，= m l x f ( ) r 是一 个凹拓扑 证明( 1 ) 因r ( o ) = r ( 1 ) = 1 r ，故0 , 1 r ， ( 2 ) v a ，b f ，贝0 r ( a a b ) r ( a ) r ( b ) ，即a a b f ， ( 3 ) v i i ，a ；f ，则f ( 兰4 ) , 5 3 ( a 护r ，即墨4 f ，- 所以f ，是一个三f 拓扑 定理1 1 3 旧设( r ，r ) 为l s m o o t h 拓扑空间，ycx 定义映射o ：斗三 为：f r ( 4 ) = v f ( 台) ：b l x , 曰y = 爿) ，则r y 为】，上的l s m o o t h 拓扑 定义1 i 7 ( l r ，f ，) 为l s m o o t h 拓扑空间( l x ，f ) 的子空间 定义1 1 8 设( 厶x ，f 。) 和( 三：7 ，f ：) 为两个三一s m o o t h 拓扑空间，厂：厶。斗上：7 是序同 态若v a l ：7 ，3 1 ( ，1 ( 爿) ) f ：( 彳) ，则称厂为l s m o o t h 连续序同态这里 ( 厂一( 一) ) ( 上) = 爿( ，( 工) ) 定义1 1 9 _ f j ( l a x , q ) 和( 工：7 ，f ：) 为两个一渤。拍拓扑空间如果存在一一的满的 序同态厂：上。斗上：7 且，与序同态厂一1 都l s m o o t h 连续，则称( 厶。，_ ) 与 ( 工2 7 ，r 2 ) l s m o o t h 同胚，f 为l s m o o t h 同胚序同态被三一s m o o f h 同胚序同态所保持的 性质称为l s m o o t h 同胚不变性质若厶= l 2 = l ，则称( l x ，r 1 ) 与( ，f 2 ) l s m o o t h 强同 胚，为l s m o o t h 强同胚序同态被l s m o o t h 强同胚序同态所保持的性质称为 l s m o o t h 弱同胚不变性质 定理1 1 4 设 ( 胪，f r ) 一是一族一s m o 。拍拓扑空间，r el 。，x = 罂五只：f 斗移 ( f 丁) 是射影映射，这里v f 。t ，v y b x b ，e 。( 爿) ( y ) = s u p a ( x ， 。) 1 j ，。= y ，l 为 完全分配格 j | 5 l p 城大学硕士学位论文 一 ( 1 ) 令z = s u p p t 1 ( ( f ，) ，) ，则z 是。盱。) ，) 作为子基生成的l f 拓扑这里 只_ 1 ( 爿) ( 力= 一( 只( 茗” ( 2 ) 令f ( 爿) = v p l o ：a t a ，则f 为由 t a 诱导出的上一s m o o t h 拓扑 ( 3 ) 射影映射只q 乃是l s m o o t h 连续序同态 证明( 1 ) 1 ，( f ，) ，只- 1 ( 1 ，) = 1 ，由文献【2 定理2 5 5 知， c f i r , ) ，) 作为子基生成 l f 拓扑r ( 2 ) ( f ) f ( 0 ) = r ( o = i ，显然成立 ( i f ) v a ，b ，兄l x ，设f ( 爿) = ，r ( 动= ，a 五) = ，厶：五i v s c ( a ) ，t c ( 占) 由( 1 ) 易证tc t 一正c t 。所以4 ，b i ，又因t ，是l f 拓扑，故a a b t 。即 s a t c ( a a b ) 由f 的定义得r ( a b ) s a t ，所以 r ( 一 b ) v 0 f ) 一，。；。1 占) ( v f)=masac(a)tee(b)tecfb) 以= f ( 4 ) 人f ( b ) j e c ( 1 7 、7、7 ( i i i ) 设v 丁，a t r 且r ( 爿r ) 2 v l c ( a ，) ，由( 1 ) 易得lc 毛，即4 ，t ，鲁 因一。- 是 拓扑， 故t v e t 4 乙。 ，即 r ( 善4 ) t 会t 于是 f e ， r 井、f e r f l 7 7 ( 善爿，) 。夏4j ( 念) 2 台l 。苫 j ) 2 。ar ( 爿t ) 所以r 为s i i i o 。拍拓扑 ( 3 ) v a 。l 置，不妨设f ，( 爿，) r ，由( 1 ) 知，e - 1 ( 爿，) r 由( 2 ) 知，f ( 0 1 ( 4 ) ) r ，即 f ( 只。1 ( 4 ) ) f ，( 爿，) 所以只是ls m o o t h 连续序同态 定义1 1 1 0 称由) 诱导出ls m o o t h 拓手b f 为l - 黝d 拍乘积拓扑本文用( l x , r 1 表示三一伽。舶乘积拓扑空间 定义1 1 1 1 ( l x ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，r l 。如果v 五l ，取常值 ( 矍j l f 集 五 满足f ( 棚) ，则称( p ，f ) 为，一满层的l - s m o o t h 拓扑空间 定义1 1 1 2 设( p ，r ) 为l - s m o o t h 拓扑空问若v r l o ，( l x ，r ) 为r 一满层的，则称 ( 矿，f ) 为满层的l 一5 _ o 拍拓扑空间 聊城大学硕士学位论文 定义1 1 1 3 设( p ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，r 厶，a l 。，p f ，如果坛， 当a ( x ) 0 时，a ( x ) p ( x ) ，则称尸为a 的，一开邻域 定义1 1 1 4 设a 为石上的l f 集，a 被称为是准分明的，如果存在。，使 a ( x ) 0 当且仅当a ( x ) ，v x x 1 2 l - s m o o t h 拓扑空间( r ，f ) 中的正( f - 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 分离度 本节定义了，一正空间和正空间的分离度( f = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，讨论了它们之间的基本关系 证明了io = 0 , i ，2 ) 空间的分离度具有遗传性、同胚不变性、可乘性以及正o = 3 ，4 ) 空间 的分离度具有闭遗传性、强同胚不变性等 定义1 2 1i r ( l 。，r ) 为一s m o o t h 拓扑空间，r 三。如果对p + ( ) 中的任二不同的 素元与y 。，有p n ，( x d 使p ( y ) 1 2 ，或有q n ，( 虬) 使q ( z ) a ，则称( r ，f ) 为 r 一瓦空间 定义1 2 2 设( r ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，r 三。如果对p + ( r ) 中的任二不同的 素元j 。与y ，当丸甚y ，时，：f p n ，( ) ，) 使尸( 工) 旯，r u n ( u ，f ) 为，一五空间 定义i 2 3i r ( u ，r ) 为l 一删d 拍拓扑空问，l 。如果对尸( ) 中的任二素元而 与儿，当x y 时，：f i b n ，x 。) 和q r ( 儿) 使p a q = 0 ，则称( ，r ) 为，一正空间 定义1 2 44 j 发( l x ，f ) 为l s m o o t h 拓扑空间，r 三。如果对x 上的任一非零准分明 r 一闭集a 和x p + ( ) ，当x s u p p a 时有p n r ( a ) 和q n ，0 ) 使p q = 0 ，则称 ( l x ，f ) 为r 一正空间 定义1 2 5 设( r ，r ) n 上一s 肋。抽拓扑空间，l 。如果对任二非零准分明，闭集 a 与b ，当s u p r 、s u p p b = 时有p ，( 4 ) 和q n ，) 使p a q = 0 ，则称( l x ，f ) 为 ，一空间 聊城大学硕士学位论文 定理1 2 1 ( l x ，f ) 为l s m o o t h 拓扑空间，r l o ，则( l x ，f ) 为，一正p t o ，r 一正) 空间当且仅当( l x ，f ，) 为正( 瓦，正) 空间 证明必要性设礼，y ，是m + ( r ) 中的任二分子且x y ，则x y ，是p + ( r ) 中的 二素元，根据( f ) 为r 一正空间得，有p n ，x r ) 和q ，( y 。r ) 使p q = 0 由 p n ，( j 吐，) ，q n r ( y 。，) 得p ( x ) 蔓丑，q ( y ) 甚u ，即尸( x ) 兰五，o ( x ) 所以 p r r ( _ ) ，q r l , ( y 。) 又因为p v q 7 = ( 尸 q ) = 1 ，( l x ，r ，) 为疋空间 充分性设t ，y ，是p ( ) 中的任二素元且z y ，则x s , y r 是m + ( r ) 中的二分子， 根据( r ，f ，) 为正空间( 参考文献 2 ) 得，有p 仉( x ；，) 和q 叩，( ，r ) 使p v q = 1 由 p 7 7 ，( 上。，) ，q 玎，( y ，) 得p ( z ) 兰s ，q ( y ) 芝t ，即p7 ( x ) 芷s ，q 7 ( x ) 甚t ，所以p n ，( x 。) ， q n ，( y ，) 又因为p 7 a q = ( p vq ) = 0 ，故( r ，f ) 为，一疋空间 定理1 2 2 设( l x ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，l 。若( l x ，f ) 为r 一五空间，则( ，力 为，一瓦空间 下面的例子说明r e 空间不是，一五 例1 2 1 设是f 格，令l = f o ，了2 ，1 ，x ，毛= 舭f e x 容易验证 ( l x ，f ) 是号一疋空间，而不是号一互空间 定理1 2 3 设( l x ，r ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，j l o ，且， s 若( ，r ) 是 ，一五( ，一i ，i = 0 , i ) 空间，则( l x ，f ) 是j e0 一正，f = o ，1 ) 空间 证明由r s 可得t rc f ；由，一弓空间的定义可知，对p + ( r ) 中的任二素元扎与 y ，当互y 时，有尸，( x ) 和q m ( y ，) 使p 人q = 0 因f ，c - g ，所以p ，q f ；，即 p 札x ) ，q m ( y 。) 且p q = 0 因此( r ，f ) 是s 一正空l n q 定义1 2 6 设甲为所有l - s m o o t h 拓扑空间组成的集合，定义映射j i ：甲斗l 为： v ( l x , f ) 甲，j i ( ( r ，f ) ) = v 妒l 。l ( 三。，f ) 为，一i 空间) ，我们称以( ( r ，f ) ) 为( p ，f ) 的 聊城大学硕士学位论文 正分离度，其中i = 0 , 1 234 例1 2 2 设三是，格，令上= o ，三，1 ) ，x = k 奶我们有r = o ，l ， ，4 ，且c ，d ，e ， ，其 中 心，= t u l 葛删= ；三删= ：三， 4 z = z = y 口z = i 号z = y c z = i jz = y 。c z ，= ：；：；，e c z ，= ；：；，c z ，= ：；：； ( 1 ) 令f ) = r ( s ) = f ( c ) = f ( d ) = f ( f ) = f 皓) = ，r ( o ) = r 0 ) = f ( e ) = 1 ，易得 ，。( ( r ，r ) ) = i 1 ( 2 ) 令f 口) = f ) = f ( d ) = f ( e ) = f ( f ) = r ( 9 = j 1 ，f ( o ) = t o ) = f ( c ) = 1 ，易得 j a ( ( l x , r ) ) = 号 ( 3 ) 令f ( d ) = f ( f ) = 亍i ，f ( o ) = f ( 1 ) = f ( 4 ) = f ( 口) = f ( c ) = f ( e ) = f 皓) = 1 ，易得 以( ( r ，f ) ) = ( 4 ) 令f ( d ) = f ( f ) = i 1 ，f ( 一) = f ( 曰) = f ( c ) = r ( e ) = f ( o ) = r ( 1 ) = f ( ) = 1 ，易得 厶( ( r ，f ) ) = ( 5 ) 令f ( c ) = f ( d ) = f ( e ) = f ( f ) = 亍1 ，r ( 4 ) = r ( 口) = f ( o ) = f ( 1 ) = f ( 上) = 1 ，易得 厶( ( ，f ) ) = 1 定理1 2 4 设( ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，则j o ( ( r ，f ) ) j i ( ( r ，r ) ) 证明由定理1 2 2 得， ，l ol ( ，力是r 一五空间j 扛厶1 ( r ，r ) 是j 一瓦空间 ， 即 v ，l 。i ( ，f ) 是，一正空间) v s l 。i ( r ，f ) 是s r o 空间 ，所以， j o ( ( r ，r ) ) ( ( r ，f ) ) 有参考文献 2 的定理5 2 1 6 、定理5 2 1 7 和练习5 2 1 9 ( 1 ) 以及本节的定理1 2 1 得定理1 2 5 1 2 8 定理1 2 5 设( r ，r ) 为l - s x o o t h 拓扑空间，y c 7 _ x ，l 。若( r ，f ) 为 聊城大学硕士学位论文 r 一正p 一瓦，r t 1 ) 空间，则子空问犯7 ，f ，) 为，疋p t o ，r 一正) 空间 定理1 2 6 设( l 。，) 和( 三：7 ，f ：) 为两个l s m o o t h 拓扑空间， ，l 。，：厶。斗三：7 是l s m o o t h 同胚序同态若( 上1 。，q ) 是r 一p t o ，r 1 ) 空间，则 ( 三：7 ，f ：) 是r t 2 ( r t o ，一正) 空| 日j 定理1 2 7 设( l x ，f ) 是 ( r 。，r ，) ) 目的l s m o o t h 乘积空间，l o 如果 v t t ，( 上。，f ，) 为，一t 2 p t o ，r 一墨) 空间，则( l x ，f ) 为，一疋( ，一t o ，r 一正) 空间 定理1 2 8 设( r ，f ) 是 置，f ) 。的三- s m o o t h 乘积空间，r l 。如果( l x ，f ) 是 ，一正( ，一t o ，一互) 空间，则v t t ，当( l “， g t ) 是，一满层的时，( 庐，f ，) 是 ，一正p 一瓦，r 1 ) 空间 定理1 2 9 设( r ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，l = l o ，( ，叶) 为子空间如果( l x ，f ) 为，一l 空间，且z ，是( r ，r ) 的，一闭集，则( p ，f ，) 为，一正空间 证明设a 为y 上的任一非零准分明，一闭集，y 。p ( ) 且y 萑s u p p a 根据定理 1 1 3 有f ( a ) = v f ( g ) i b l x ，b l ，= a ) ，因为三= r ，所以在( ，r ) 中有一非零准分 明s 一闭集o ，) b ，使得b l ，= a 令a = b z ，且y ：p ( ) 是y 。的扩张显然 f ( 爿) r ，即4 为x 上的非零准分明，一闭集根据( r ，r ) 为r e 空间的定义，有 p n ，( 4 ) 和q n ，( y ：) 使p q = 0 而f ( e ) = v ( 尸) lp l x ，p l ，= 目r ， r ( f ) = v p ( q ) i q r ，q f ，= 毋2r ，故有e ，( 4 ) 和f n a y 。) 使e f = 0 ，即 ( l r ，f ，) 为，一正空间 定理1 2 1 0 设旺。，f ，) 和7 ，f r ) 为两个三- s m o o t h 拓扑空间，f ：。j 7 是 - s m o o t h 强同胚序同态若( 三。，h ) 是r 一五空间，则( 7 ，勺) 是r 一正空问 证明设a 为( 三7 ，f ，) 中的，一闭集，y 。p + ( r ) 且y 萑s u p p a 由厂为一一的满的序 同态且为l s m o o t h 连续得，1 ( 4 ) 为( 。，f 。) 的r 一闭集，厂一1 ( y 。) p ( r ) 且 聊城大学硕士学位论文 厂。1 ( y ) 芒s u p p f - 1 ( 一) f h ( l 。，f x ) 为，一正空间的定义得，有p n r ( f - 1 ( 爿) ) 和 q ，( ，_ 1 ( ) 。) ) 使尸 q = o 由，为一一的满的序同态且f 。1 为l - s m o o t h 连续得， 厂( p ) n ，( 彳) 和厂( q ) m ( y 。) 且，( p ) 厂( q ) = o ，即( 三7 ，勺) 是r 一五空间 类似于上面的两个定理，可得下面的两个定理 定理1 2 1 1 设( ，f ) 为l - s m o o t h 拓扑空间，l = l o ，( l r ，o ) 为子空间c n 果( l x ，力 为，一t 空间，且z ，是( r ，f ) m r 一闭集，则( ，f ，) 为r 一空间 定理1 2 1 2 设7 ，r x ) 和( 上7 ， f y ) y j n c l - s m o o t h 拓扑空间，l 。，：寸 是l - s m o o t h 强同胚序同态n ( l 。，o ) 是r 一五空l n q ，则7 ，勺) 是，一l 空间 定理1