（概率论与数理统计专业论文）以0为反射壁和拟飞射壁的生灭过程的特征数.pdf

摘要 y 6 6 3 4 4 0 生灭过程是一类重要的可列m a r k o v 过程，给定生灭q 矩阵 o = ( ) ，i ，je e = o ，1 ，2 ) ，即，其中的= o ( | i 一引 1 ) ，一q o o = q o = a o + 6 0 ( 咖0 ，b o o ) ，q i i + 1 = b i o ( t o ) ，q i i 一1 = o t 0 0 1 ) ，一q i i = 哝= a i + & ( i o ) 状态。有4 种情形；( 1 ) 如 a o = 0 ，b o 0 ，称。为反射壁；( 2 ) 如a o = 0 ，b o = 0 ，称。为吸收 壁； ( 3 ) 如a o 0 ，b o 0 ，称。为飞射壁；( 4 ) 如a o 0 ，b o 0 ，称 0 为拟飞射壁我们记a = a o ，并用o 哇q 表示q 矩阵对于a 的依 赖性杨向群教授在文献【l 】，王梓坤教授在文献【2 】中，对以。为反 射壁的生灭过程的特征数及其概率意义已解决在文献f 2 中，王梓坤 教授采用了解差分方程法。在文献f l 】中，杨向群教授创立了解含两个 边界的线性方程组的方法，并利用该方法对对以0 为拟飞射壁的生灭 过程的特征数及其概率意义有了部分解决本文是在此方法的基础上 创立了解含一个边界的线性方程组的方法，并利用这两种方法对以o 为反射壁和拟飞射壁的生灭过程的特征数及其概率意义做了进一步的 完善至此，本文已解决了以0 为两种壁的生灭过程的特征数及其概 率意义。具体结果如下： 1 求出了过程在爆发前从k 出发到达歹的概率： r 叼? r 4 ) ，k ，歹e 2 求出了o 。为第一个飞跃点的左极限时，过程在爆发前从i 出发到 达弦的平均时间： 易 镌，( 7 - 8 - 0 ) = o 。) ，i e ，礼i 1 e f 叼备l ，z ( 丁8 0 ) = o o ，i e 3 求出了o 为第一个飞跃点的左极限时，过程在爆发前从i 出发到达 n 的平均时间： 晟 嚅，醒 下。，写( 7 - o 一0 ) = o ) ，i e ，n i 易 嘛1 ，啦! r 。，茁( 7 - 。一0 ) = o ) ，i e 4 求出了过程在爆发前，从i 出发先到达o 再到达她的平均时间： 蜀 醒，缩 镌 p ) ，i e ，礼i 舷 略1 ，叼3 q 各1 下。，) ，i e 5 求出了过程在爆发前，从i 出发到达他的平均时间： 局 7 7 ：，醒 丁o ) ，i e ，n i e 州a ，嵋1 7 i 。，) ，i e 6 求出了0 为第一个飞跃点的左极限时，过程在爆发前从i 出发到达 0 0 的平均时间： e i r 。，z ( p 一0 ) = o ) ，i e e 0 r 。，茁( 丁。一0 ) = o ) 7 求出了o o 为第一个飞跃点的左极限时，过程在爆发前从k 出发到 达i l 的平均时间： e 一a 1 ，嗡a 一1 7 - 。，z ( 丁。一0 ) = o o ) ，i e ，k i 一1 局 啦! ，啦! 7 。，。( 7 i o 一0 ) = 。o ) ， e 8 求出了0 为第一个飞跃点的左极限时，过程在爆发前从而出发到 达i 一1 的平均时间： e ， c * 1 ，x ( t 。一0 ) = o ) ，i e ，七i 1 蜀 卵卫1 ，z ( 下。一0 ) = o ) ，i e 9 求出了过程在爆发前，从k 出发到达i 一1 的平均时间 e k 啦! ，啦! p ) ，i e ，南i 一1 最 啦! ，啦! t a ) ，i e 1 0 求出了m ? ，舒，e ? 等特征数的概率意义： 晟 娘1 ，嵋1 7 _ 。，) = m 8 i ，肠丁o = 孵，i e 岛7 i 。= t p ，最 町墨1 ，, 7 5 1 t a = e ? ，i e 1 1 求出了舒 o ( i o ) ，哦t 一1 = a i o ( i o ) ，吼i = 一( 啦+ 抚) ( 0 ，a 0 = a o ) t h e s t a t e0h a sf o u rc a s e s ：( 1 ) 0i sc a l l e dr e f l e c t i n gb a r r i e r ，i fa 0 = 0 ，b 0 0 ( 2 ) 0i sc a l l e da b s o r b i n gb a r r i e r ，i fa 0 = o ，b o 2 0 ( 3 ) 0i sc a l l e d l e a p - r e f l e c t i n gb a r r i e r ，i fa 0 0 ，b o = 0 ( 4 ) 0i s c a u e dq u a s i l e a p r e f l e c t i n gb a r r i e r ，i fa 0 0 ，b 0 = 0 w e d e n o t ea = a 0a n dq o = q i m p l i e st h ed e p e n d e n c e o fqm a t r i xo no 。t h ec h a r a c t e r i s t i ch u m - b e r sa n dt h e i rp r o b a b i l i t ym e a n i n go ft h eb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s h a v eb e e ns e t t l e db yb o t h p r o f e s s o ry a n gi n 【1 a n dp r o f e s s o rw a n g i n 【2 】p r o f e s s o rw a n g h a sa d o p t e dam e t h o dt h a ts o l v i n gd i f f e r e n c e e q u a t i o ni n 2 t h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e r sa n dt h e i rp r o b a b i l i t y m e a n i n g o ft h eb i r t ha n dd e a t hp r o c e s sw i t hz e r oa si t sq u a s i - l e a p - r e f l e c t i n gb a r r i e r h a v eb e e n p a r t i a l l y s e t t l e db y p r o f e s s o ry a n gi n 1 】 w h i c hd e p e n d so ns e t t i n gu pam e t h o dt h a ts o l v i n gs y s t e mo fl i n e r e q u a t i o n s w i t ht w ob o u n d a r i e s i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rh a ss e t t e d u pa n o t h e rm e t h o d t h a ts o l v i n gs y s t e mo fl i n e re q u a t i o n sw i t ho n e b o u n d a r yo nt h eb a s i so ft h ef o r m e rm e t h o d ，a n dh a si m p r o v e d f u r t h e rt h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e r sa n dt h e i rp r o b a b i l i t ym e a n i n go f t h eb i r t ha n dd e a t hp r o c e s sw i t hz e r oa si t sq u a s i - l e a p - r e 丑e c t i n g 4 b a r r i e r n o w ，w eh a v es e t t l e dt h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e r s a n dt h e i r p r o b a b i l i t ym e a n i n go ft h eb i r t ha n dd e a t hp r o c e s sw i t hz e r oa si t s t w ob a r r i e r s t h em a i nr e s u l t sa r ec a l c u l a t e da sf o l l o w s 1 t h ep r o b a b i l i t yo f g e t t i n gf r o m 七t ojb e f o r ee x p l o s i o n r 孵 r 。) ，k ，j e 2 t h ee x p e c t e dt i m ep r o c e s sw i t h a si t sl e f tl i m i to ft h ef i r s t l e a p p i n gt i m eg e t t i n gf r o m it o 礼b e f o r ee x p l o s i o n 忍 镌，。( 1 _ 8 0 ) = o o ， e ，竹 蜀 略1 ，x ( r a 一0 ) = 。) ，t e 3 t h ee x p e c t e dt i m e p r o c e s sw i t h0a si t sl e f tl i m i to ft h ef i r s tl e a p ： p i n gt i m eg e t t i n gf r o m it onb e f o r ee x p l o s i o n 墨 镌，镌 f 。，x ( t 。一0 ) = o ) ，i e ，他i 局 帐1 ，r l i 。+ 1 下。，x ( r 。一0 ) = o ) ，i e 4 t h ee x p e c t e dt i m eg e t t i n gf r o mit onb e f o r e0a n d e x p l o s i o n ： e 。缩 镌 t a ) ，i e ，n i 易 嘛1 ，缩 啦! ，i e 5 t h ee x p e c t e dt i m eg e t t i n gf r o mit onb e f o r ee x p l o s i o n 蜀 醒，叼： t - a ，i e ，几i 蜀 呱l ，啦l 7 _ 。，) ，i e 5 6 t h ee x p e c t e dt i m ep r o c e s sw i t h0a si t sl e f tl i m i to ft h ef i r s tl e a p p i n gt i m eg e t t i n gf r o m it o0 0b e f o r ee x p l o s i o n ： e i 下。，z ( f o 一0 ) = o ，i e e o t x ( t o 一0 ) = o ) 7 t h ee x p e c t e dt i m ep r o c e s sw i t ho oa si t sl e f tl i m i to ft h ef i r s t l e a p p i n gt i m eg e t t i n g f r o mkt oi 一1b e f o r ee x p l o s i o n ： e k 啦! ，啦! r 。，z ( 下。一0 ) 一o o ，i e ，七i 一1 忍 啦! ，啦! 7 - 8 ，茁( 一一0 ) = o o ) ，i e 8 t h ee x p e c t e dt i m ep r o c e s sw i t h0a si t sl e f tl i m i to ft h ef i r s tl e a p p i n gt i m eg e t t i n gf r o m 七t o i 一1b e f o r ee x p l o s i o n ： 风 帐l ，z ( 俨一0 ) = o ) ，i e ，k i l 噩 幢1 ，( 下。一0 ) = o ) ，i e 9 t h ee x p e c t e dt i m eg e t t i n gf r o m 缸t oi lb e f o r ee x p l o s i o n ： e k 帐l ，帐1 一) ，i e ，老i 一1 最 椎1 ，啦! t a ) ，i e 1 0 t h ec h a r a c t e r i s t i cn u m b e r sa n dt h e i rp r o b a b i l i t ym e a n i n g o f m ? ， ，殿，e ? ，e t c 最 略1 ，帐1 ( 7 _ o ，) = m 鼻屈下“= 孵，i e e o p = 酽，e i 证l ，啦l p ) = e 瓢i e 6 1 1 舒 o ) ，舔许1 = b i o a o ) ，虢i 一1 = q i o ( i 1 ) ，一q i i = q i = 0 4 + b i ( i o ) 状态。有4 种情形：( 1 ) 如 a o = 0 ，b o 0 ，称0 为反射壁；( 2 ) 如a o = 0 ，b o = 0 ，称0 为吸收 壁；( 3 ) 如a o 0 ，b o 0 ，称0 为飞射壁；( 4 ) 如a o 0 ，b o 0 ，称。 为拟飞射壁我们记a = a o ，并用q 8 = q 表示q 矩阵对于a 的依赖 性。杨向群教授在文献【1 】，王梓坤教授在文献【2 】中，对以。为反射 壁的生灭过程的特征数及其概率意义已解决在文献 1 中杨向群教 授对以o 为拟飞射壁的生灭过程的特征数及其概率意义有部分解决， 本文是对以o 为反射壁和拟飞射壁的生灭过程的特征数及其概率意义 的进一步完善同时，也得到了许多重要的结果 下面的记号和背景可在文献 1 】中找到。 对矩阵q o ，令 1 记号和背景 z o = ：1 ，如果o 0 ； ；g o = 0 ，如果口= 0 z l = z o + 击，= 一l + 瓷糍，( 礼2 )名= 驰强 弘。= 1 ，肛x = i b o ，卢。= a l a 旦2 篆，( n 2 ) ( 2 ) 弘o = l ，肛l = 一，卢n = ，l n 之z j i z ) o l一1 ， 8 称 磊) 为自然尺度，z 边界点， 弘。) 为标准测度令 x t = = 攀z - z j 篮； a ( z 一石) a ( z z 0 1 + l 麓= 鞘= 吒( 4 ) 我们约定詈= 1 ，0 0 0 = 0 ，鲁= ( i ) 当a z = o o 时， o ( c 是有限数) ，以后亦然记 m ? = 孑= r 。= 0 ，e ? = ( 盈一荔一1 ) f s s ) 当a z o o 时， 旧= 6 0z i + 1 一z i 口4 - b o a ( z i + 1 一z o ) + l c 矗+ i - t - i 兰南扣矿卅豫- 心， w = 丽b 0 币丽z - z i ( 5 ) x + 石z i - - z 币i 驴i - 1 ( z j - - z o ) + l l x y 如 + 砰萎z 一句) 碍脚4 -+ 砰一句) 碍脚 ，= t + 霹 a 4 - b o霹+ 熹础霹一( z t - z o j 】 量( z 一勺) 砑坳一i - 1 ( 一) 砑i t j ，( z 一勺) 砑坳一( 一) 磅， f = 1，= l 酽= w = 而b o 蒜 + 禹瞰z 一劲) + ， x l + ( 7 ) x + 瑚j 萎f l ( z 一句) 碍脚+ a - - 磊1 0 4 - 粥 x + 瑚( z 一句) 碍脚 粥 a ( z 一铂) + 1 e ；= ( 盈一忍一1 ) ( 叉兰t + 砖) ( o o j = i 9 z 一乃 z z i 一1 勺) 碍脚，( 8 ) ) 脚 心 倒 一 触 特别地，当a = 0 时，记 帆：m i 0 ：( 磊+ l 一盈) 圭芦， j = o m ：衅：( z 二蕊) i 晰+ 量( z 一勺) 脚 j = 0 j = i + l ( 1 0 ) ( 1 1 ) r = n o = r o = y o = ( z 一乃) 心( 1 2 ) j = o 。剐o l ( z i - - z i _ 1 ) 蓦( 碌+ 砑) ( 嚣) 坳，当z o 。时- 【瓮 ，当z = 。时 ( 1 3 ) 今设x = x ( t ) ，t 0 对一切i e ，且e ( p ( x ( o ) = i ) = 1 这样，可确 定测度只( a ) = p ( alx ( o ) = i ) 及期望最( ，1 a ) = “f d r 此外，如 果盯 。，可对t 盯补定义x ( t ) = - 1 于是x = x ( ) ，t 。) 的状态空间为eu - 1 ，不中断，且初始分布集中于e ，而一1 是吸 收状态令 p = i n t ：o 口，j 器x ( s ) = 或l 。i m x ( s ) = o 。) ， ( 1 4 ) 1 0 约定i n f 咖= 盯，称下。为x 的第1 个飞跃点1 下。前盯域记为异a f l o 后g r 域记为咒由【1 ，第十一章2 定理1 】知 脚( p 一0 ) _ o ) - 黼， ( 1 5 ) 令 脚( t n - - 0 ) = o 。) = 等等 ( 1 6 ) 臂= i n f t ：0 t r 8 ，x ( t ) = i )( 1 7 ) 约定i n f = o o ，称砰为在飞跃点下8 以前i 的首中时由【l ，第十一 章2 ( 7 ) 式】知， 只 嚅下下。( i n 个。) lz ( 下。一0 ) = o o 】= 1( 1 8 ) 设u 为e 上的列向量，定义u + 如下 u = 等兰， ( i 0 ) 2 一些引理和命题 ( 1 9 ) 1 设赴( o ，口) ) ，如果x ( t o ，u ) ，x ( 亡+ o ，) 二者均有限且不相等，称t 为x ( u ) 的 跳跃点，如果二者中至少有一个为9 。，称t 为x ( u ) 的飞跃点约定t = 0 为第0 个飞跃 点，t = 口( u ) 为最后一个飞跃点 1 1 引理1 1 1 ，第五章2 引理4 设a 0 则方程组 。一ut一。一c：宰“+，b乱。乞)u：o竺+boul。=-一fo，。南 o ) ，j e e 满足方程 ( i i ) 如果对指定的i 有 a 饥一eq i j u j = 0 j p t 1 一下，a ) = 只 n = r ) ， p i 丁l 7 - ，a ) = 只 n 满足方程 q i j u j = 一d i ， ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 注： 1 ，第六章8 定理2 中虽然没有明确叙述为对指定的i ，但实际 上对指定的i 定理仍成立 命题4 【1 ，第十一覃2 足理2 j 设a 0 ，2s ks n ，则 r 臂 镌) = 笔三詈， 冗 醒 臂) = 乏z k i - - z i 命题5 1 1 ，第十一章2 定理3 】设a 0 , i k ，则 r 臂 丁。) ： 一z - - z i ，石 o o 【l z2 。 ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) 引理6 设a 0 则方程组 的解是 k 一地嚣置一叫， 证( 3 3 ) 即 故 u k2 z k z i 一1 磊一忍一1 七一l u t 一( 张一z j ) h z j j = i k 珏+ 巍纠 k k u j = u 0 ，+ ( 时一让1 - 1 ) = 让0 一乃心 ，= tj = l k - 1 一1 u = u i l + ( u j + 1 - - u j ) = u i l + 时( 勺+ 1 一z j ) ，= l 一1j = 卜。1 k - 1j = 一1 + ( u 二l 一f l p l ) ( z j + l 一句) j = i - 1 l = i k 一1一1j = 蛳一l + t 庄1 ( 乃+ 1 一z j ) 一，l 肌( 勺+ 1 一勺) j = i 1j = i 1l = i = u i 一1 - - - u 未_ l ( 讯一z i = u 一1 + 竺掣( 一旎一1 ) 一k - 1 ( 一巧) 乃脚 z i 一盈一l j = i = 0 一- u i 0 盈一盈一1 k - i ( z k - - z i 一1 ) - ( z k 一句) 力心 1 4 j = i ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) p ，嘲 乃 一 + 乃 (1h 如 一 故 u。：警札；一k-1(一勺)疗心z u 2 札t 一2 。( 2 k z f ) ，f 弘j i 一旎一1 j 一= i 3 主要定理及证明 本节讨论o 为反射壁和拟飞射壁时，生灭过程的特征数及其概率意 义，得到了许多有意义的结果 定理1 ( i ) 设口0 则 晟 孵 0 。则0 为最小q n 过程x 的非常返态 证 ( i ) 由命题5 及( 4 ) 知，结论显然成立 ( 扼) 由于从。出发经有穷( 1 ) 步跳跃回到。的概率为 蝣= 熹喇盯) = 而b 0i z - - z l 0 ，0 t 孔则 ( j ) 设口z ( 3 0 有 蜀砩妒_ o ) = o 。) = 击东南研+ 写南 暑【。( 一瑚+ 1 】码2 脚十u 机o 吾( 一) 霹脚 ( 3 7 ) 1 5 置 丁。坩_ o ) = o 。) - 而b 0 赫x + 赫。 t 一1 b ( z j z o ) + 1 碍如+ 霹e ( z z j ) 碍p j ( 3 8 ) 3 = i = t 特别，当a = 0 时，有 蜀 程，( 下。一o ) ：。) ：( 一旎) 圭心+ n - 1 ( 一勺) 心 j = oj = i + z 蜀 r o ，。( 下。一0 ) = 0 0 ) = ( z 一魂) 心+ 0 0 ( z 一刁) 坳 一 t j = oj = i + l ( ，) 设a z = o o 有 易 醒，z ( 丁“一0 ) = c o = 0 e i t o ，z ( 下。一0 ) = c o = 0 ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) 证 ( j ) 设= 最 喘，z ( p 一0 ) = o o ，令a = ( z ( 下8 0 ) = o o ) ，矿= 嘿，由于对i = 0 命题3 中( 2 4 ) 式不成立，因此需直接计算 u o = e o 镌，z ( 丁。- 0 ) = o o = e o 丁1 + 编，丁1 t a r ( z ( 7 - o - 0 ) = o o ) 。 = 尸( z ( n ) = 1 ) e 0 ( n + 醒，( z ( r 8 - 0 ) = o 。) i z ( 下( 1 ) = 1 ) = 熹 e o ( 州水( 下8 _ 0 ) = o o ) 1 嘶= 1 ) + 蜀( 镌，( 嚣( f 。一0 ) = o o ) i z ( n ) = 1 ) 】 由于在。( n ) 之下， r l 前d r 域与r l 后口域独立( 【1 ，第1 7 0 页第3 行】) ，故上式等于 1 6 i 【n - p l t a - - 0 ) = o 。) + e t ( 醒，卫( r a - 0 ) = 。o ) 】 = 熹 熹脚t a - - 0 ) = o 。帕】 由( 1 6 ) 上式等于 再bo。荪1血兰等帕1=蕊bo。赢112仙1ab o a b oa ( zz 0 1a b o - 4 - b o+。+ 一) + ” + 。伍 即u o = 热+ b o f 上b o x + u 1 l 从而有一( o + b o ) u o + b o u l = 一彘x ， 对于0 i n ，由于a = ( z ( 下8 一o ) = o o ) c ( n t a ) ，矿= 嚅= n + 醒= 丁1 + 目n 叼0 ， 因此最( a = a ) = 只( 叩8 = n + 矿) = 1 即命题3 中( 2 4 ) 式成 立，故由命题3 得 = 只( a ) = 最 z ( 下n 一。) = o 。 鲁湍 ( 最后一个等式由( 1 6 ) 得到) ，因此 五=端azz o = 跫 i一 十l ( 最后一个等式由( 4 ) 得到) ，又姓。= 蔓k 镌，z ( 铲一0 ) = 。) ：0 ， 故u t 满足，0 = 。+ b 0 6 0 n y l 2 ， = 群( o t n ) ，n = 0 的引理1 中的方 程( 2 0 ) 由引理1 和( 2 1 ) 式得 饥=焉备土研+条i蓦-1。(z，-zoa+bo - z o ) - - rx a 2 p j 饥= i 石- 二j 而 1 十i i ：二乏万j 1 刍_ + 凳? 崔宅( 一句) 碍坳 。o ( 磊一z 0 ) + 1 磊v ”“川一r y 1 7 6 0一盈 = 一一 a + b o a ( z n 一铂) + 1 x + 孑j 笔志美 。( 巧一询+ 1 】碍脚 a 1 十雨：而乌巧叫0 + 1 心如 + 哦( 一勺) 碍脚 j = l 注意( 1 8 ) ，在( 3 7 ) 式中取极限即可得证( 3 8 ) 特别当a = 0 时，分别在( 3 v ) ，( 3 8 ) 中令函= 0 ，并注意此时霹= o ( i e ) ，即可得证( 3 9 ) ，( 4 0 ) ( j j ) 同( j ) 的证法类似，可验证u 满足五= o ( o i n ) 的引理1 中的方程( 2 0 ) ，由引理1 和( 2 1 ) 式得眦= 0 ，即最 嚅，茁( 丁。一0 ) = o o ) = 0 、 注意( 1 8 ) ，在( 4 1 ) 中取极限即可得证( 4 2 ) 证完 当a z = o o 时，有 e 件1 ，z ( 下。一0 ) = ) = 0( 4 3 ) 而当a z 。时，有 晟一下。_ 0 ) = o 。) = 而b o 忘瓣 + 熹警兰鲁圭【。( z j 一知) + l 】碍脚z 。口( 荔+ 1 0 + 1 与r “w 。1 ” 特别，当a = 0 时，有 蜀 以。，z ( 一一0 ) = ) = ( z i + 1 一雹) 脚 j = o 证在定理2 中令n = k + 1 即可得证 定理3设a 0 ，a z 。则 1 8 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 只 7 _ 。 o o i z ( _ r 。一0 ) = 。o ) = l ( i e ) 的充要条件是钟 o 。 证由( 7 ) ，( 8 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) 知孵s 彤0 e ) ，如 舒 c o ；则 o o ， 由定理3 孵= 蠡 p ，z ( 产0 ) = o 。) o 。， 即 。( r o - 0 ) ：o 。) f a d 只 0 0 ， 亦即在 ( r 。一0 ) = o 。) 上只一a e r 8 。0 0 e ) ， 因而只 产 。1 。( 产一0 ) = o 。) = 1 ； 反之，如果对某个( 从而一切) i 有只 r 。 o ) ，由命 题3 ，札( a ) 满足q 。u ( 入) = a t ( 入) ，故由引理2 得 i - l 钍( a ) = a ( z i z o ) + l l u o ( k ) + a ( z i 一) ( a ) f 峙 i = o 又显然有地( ) 是i 的增函数，故 i i l u ，n ) a “o ( a ) 口( 刁一翔) + 1 】( 盈勺) 脚 j = o 抵( a 石未而i 急薹而a ( z j = - 丽z o ) + i z o ( 五一句) 脚岛n 0 一) + 1 4 1 ” i - 1 碍( 藐一) 脚_ a 咖( a ) 酽。- - + o o ) 定理4 设a o ，n 0 ，0 i 墨礼则 1 9 币焉 虢吕=故 毋 嘿，壤 r 口，。t a - - 0 ) = o ) = 丽b o 承q a 。n 。1 + 硬乏崭碟蓦【。( 一z o ) + 1 c 嘉脚+ q a n a n l 善( 一勺) 心 “t 一1n l ( 4 6 ) 证设t “= 最 镌，醒 丁4 ，x ( 7 。一0 ) = o ) ，令a = ( 稍 俨，x ( t 。一 0 ) = o ) ，矿= 镌，注意对i = 0 时命题3 中( 2 4 ) 式不成立，因此需直 椿计算 u o = e o 嚅，嚅 下。，x ( r 。- 0 ) = o ) = e o 7 1 + o r l 喘，t 1 t “，0 r t ( 喘 r o ) ，0 t 1 ( r 一0 ) 2u j ， = p ( n ) = 1 ) - e o r l + & - 。醒，日n ( 嚅 r o ) ，8 n ( 下。一0 ) = o ) i ( n ) = 1 ) = 熹 玩h - r a ) ，嘣扩_ 0 ) = o ) 1 咖) _ 1 + 玩镌，0 n ( 嚅 r o ) ，( z ( 下。- 0 ) = o ) i z ( n ) = 1 】) 由于在z h ) z - f ，n 前仃域与丁1 后盯域独立( 1 ，第1 7 0 页第3 行】) ，故上式等于 熹 跏p l ( 嘿订。，m 0 _ 0 ) _ 0 ) + 目( 镌棚n a 下。，缸p - 0 ) _ 0 ) = i 了 瓦p 1 ( 醒 p ，( z ( 下d o ) = o ) ) + 蛆- 】 = 熹 熹p 1 v a ) p n ( 出。- o ) = 。) 棚】 = 孺b o 。”1 c ，黼柏= i 干6 0 。+ 6 0m i 石_ 二_ 丽十u 1 1 ( 由定理1 和【1 5 ) ) = 熹( 熹钱砖托) 即= 且a + b o 。c 8 x 1 + u 1 ) ，从而一( a + b o ) u t = 一彘霹对于 0 i ( n ，由于a = ( 嚅 r 8 ，z ( t a o ) = o ) c ( n r o ) ，矿= 嘿； n + 嘿= n + 叼8 因此只( a = a ) = 只( 矿= n + 双 ? 。) = l 即命题3 中( 2 4 ) 式成立，故由命题3 得 ， = r ( a ) = 只( 醒 7 - 8 ，z ( 丁。- 0 ) = 0 ) = 只( 镌 r 。，日镌( z ( r 。一0 ) = o ) ) ：f j ；p i f & p ) 踯t a _ o ) - o ) = 曝蒜2 q a 1 ( 倒数第二个等式由定理1 和0 5 ) 得到) ，又u 。= 取 醒，醒 7 1 8 x ( t 。一 0 ) = o ) = 0 故u i 满足 ，0 = i 羔q a n n n l ，t = q a n n 1 ( 0 i n ) ，n = o 的引理1 中的方程( 2 0 ) 由引理1 和( 2 1 ) 得 u t = 三南孺b o 。c a y 1 + 笺南1 驴- - 1 ( z j - z o ) + 1 q a 1 心地2 不i 丽再6 0 1 ”1 十而i 丽刍p 门叫h 心 + 而a ( z i 丽- z o ) + 1n 乌- i 一) q a 一1 心 =熹币罱嚷+币瑞砖i蓦-1bz o 1 z o 【口( 一加) + 1 】如 一a + o 血( z n 一) + 。“( z 。一) + 1 一“夤。、。 ”芦”。 ，n - 1 十l l n 一气n l 二n z j ) l j n 卢j 推论2 设n 0 则 蜀 帐，讯。 0 ，0 i 几则 墨碥惦 嚅 一= 丙蒜甚警耦 卜i 万善b j 鲁= _ j c 孙【口( 一z o ) + l 】( - z j ) p j 卜面石：= 夏了干i 瓜i = 丐万u 帆刍p l 刁一 j 十上jl _ - + 去蚤( 一句) 2 脚 ( 4 8 ) 特别，当a = 0 时，有 蜀砩粥 醒 r 0 ) - 虹掣+ 篡薹( 刊坳 + 去堇( 锄一乃) 2 脚 ( 4 9 ) 证设u = 固 嚅，嚅 镌 t a ) 令a = ( 叩口 醒 t a ) ，7 7 8 = 城， 注意对i = 0 时命题3 中( 2 4 ) 式不成立，因此需直接计算 u o = e o 醒，镌 镌 t a ) = 上玷 n + 镌，r l 1 1 8 ，氏( 镌 醒 t a ) ) = p ( x ( t i ) = 1 ) 岛 n + 镌，( 嚅 嚅 丁4 ) m n ) = 1 ) = 熹 局( 丁l ，( 缩 醒 7 - 。) i 茁( 下1 ) = 1 ) + e o p n 镌，8 ，。( 缩 嚅 p ) l z ( 丁1 ) = 1 ) ) 由于在z ( 丁1 ) 2 ：t ，丁1 前盯域与后盯域独立( 1 ，第1 7 0 页第3 行 ) ， 故e 式等于 而b o 岛n p 1 ( 缩 镌 r 。) + e t ( 醒，缩 惦 7 一。) = 彘 去p l ( ( 缩 哟，( 嚅订a ) ) 札- = 熹 去p 1 ( 穗 , t a ) p o ( , t a 一恂 ：羔 1 叫h “帕】 5 而i 【o - t g o o v 州1 1 ( 由命题4 和定理1 得到) 即 u 0 - 羔( 去誓兰柏) u 0 。孺i i 而i j 忑i 。赢柏1 j 从而有 一( 。+ 6 。) “。+ u 1 = 一而b o 葛z n i - - z l v g t 伽a 对于0 i n ，由于a = ( 堞 醒 下8 ) ch 7 - a ) ，叼o = 城寻 r l + 嚅= 7 1 + 8 r 。r l 。，因此p i ( a = a ) = 只( 矿= r l + 矿) = 1 即命顾3 中f 2 4 ) 式成立，敬由命题3 得 = 只( a ) = p , ( o a 嚅 丁。) = 只 ( 嚅 嚅) ，( 缩 p ) ) = 只( 懦 编) 蜀( 嚅 铲) = z n 一- - 韧z i 一( ? 帆a ( 由命题4 和定理1 碍到) 又u 。= 互k 醒，镌 醒 , r a ) = 0 故啦 满足 ，o = 熹我嘬扣篡锨( 。 t 0 删 酏缩 艰1 t a ) = 两蒜藩箸带赫c 叽+ q + c _ 罢三寻雾_ j 锩+ 1 壹【o ( 勺一细) + 1 ( 盈+ l 一) 蜥， 十弱匹石了= 乏了干1 丽乏：而l m + 1 乌p i 勺一钿十叫、嗣+ 1 一勺如 ( 5 0 ) 特别，当a = 0 时，有 e l 根1 ，璃 识1 0 ，0 冬i n 则 赫 赫弘 去 三【口( 勺知) + 1 c ：脚+ c 豪( 一勺) c ：是坳 ( 5 2 ) 特别，当a = 0 时，有 最 碟，砩 户) = ( 一盆) 脚+ ( 一z j ) # j ( 5 3 ) 证 设蚴= 蜀 嚅，嚅 7 8 ) ，令a = ( 嚅 t a ) ，矿= 嚅，注意对 i = 0 命题3 中( 2 4 ) 式不成立，因此需直接计算 u 0 = 昂 嚅，醒 t a ) = 昂【丁1 + 碟，丁1 r 。，( 镌 t a ) 】 = p ( x ( r 1 ) = 1 ) e o t i + 0 , 1 醒，( 醒 = 熹 岛( 叫n ( 嚅订( 7 1 ) “) + 玩( 醒，( 镌 t a ) i z h ) = 1 ) ) 由于在$ ( 7 1 ) 之下，7 1 前o r 域与n 后盯域独立( 【1 ，第1 7 0 页第3 行 ) ，故上式等于 i 瓦 岛n p 1 ( 嚅 产) + e - ( 镌，镌 下8 ) 】= i ( 了瓦c 罴+ u ，) ( 由定理1 得到) 即 咖= 熹( 击+ ，咖2 而i ! 孺i 。赢蜘1 几 从而有 一( 口+ 6 0 ) 仳。+ 6 。u 1 = 一n + b 0 6 0 c , 。a n 对于0 i n ，由于a = ( 嚅 r 。) c ( r l 7 - a ) ，卵8 = 镌= t 1 + 醒= 7 1 + 矿，因此j f j ( a = a ) = 只( 矿= 力+ 如矿) = 1 即命 题3 中( 2 4 ) 式成立，故由命题3 得 = 只( a ) = 只( 镌 t a ) = c 铣( 由 定理1 得到) ，y lu 。= 正 镌，嚅 t a ) = 0 故m 满足 ，o = i 挈菇，五= q a 。( o i n ) ，厶= o 的引理1 中的方程( 2 0 ) 由引理1 和( 2 1 ) 式得 碱= 不熹曝+ 忑瑞暑i - 1 【口( 一劲j + 1 心 + 锩( 一) c 孙脚， 特别，当a = 0 时，此时q ：= 1 ( i e ) ，在( 5 2 ) 中令a = 0 即可得 证( 5 3 ) 证完 推论4 设a 0 则 晟 峨，蛾 丁。) = 碧忑暑杀四+ + j 毒坠生熹壹 n ( 一幻) 羊1 c 盟+ 。脚 o ( 施+ l 一绚) + 1 ：各。1 “”。1 1 ”1 7 。 特别，当a = 0 时，有 e d ：r l o 以1 下o ) = ( z i + l z i ) 蜥 j = 0 证在定理6 中令n = i + 1 即可得证( 5 4 ) ，( 5 5 ) 最后，由推论1 ，推论2 及推论4 容易验证下面结论成立 设a 0 则 五 叼+ 1 ，啦l t a ) = 匠 嘛1 ，z ( 7 - 。一0 ) = 0 0 ) + 置 识1 ，卵冬1 7 - 。，z ( 7 - “一0 ) = o ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) 冠璎7 议a2o ，o2 u 则 ( i ) 设a z o o 则 岛【f a 盯。一o ) = o ) = 蕊1 。1 + i 睾瓦k ( z 一缅) + 1 】x + 石毫而歪( z 一勺) 习心， ( 5 7 ) 最 丁d ，z ( p 一。) = 。) = i 毛对+ i x i 【霹一( z t - z o ) 】 o 。z 一1 + 叉孑e ( z 一勺) 砑脚一( 忍一勺) 碍脚， ( 5 8 ) ，= 1，= 1 特别，当口：0 时，有 岛 一，。( 下。一o ) = o ) = 0 ，忍 丁o ，z ( 下。一o ) = o ) = 0 ( 5 9 ) ( i i ) 设a z = 0 0 则 ， 靳。，z ( r a - 0 ) = 而1 + 面b o 丽+ 茧者南心 嘻嘉南心+ ：1 ，塞。蜥， ， 墨”( r a - 0 ) = 。) = 蕊1 + 碉b o +