（应用数学专业论文）有短根的仿射李代数的广义顶点代数.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 1 9 8 1 年，f r e n k e l ，k a c 1 ，9 ，i 0 】和s e g a l 1 l 】用顶点算子构造出了仿k a c - m o o d y 代数 硝) ，d 9 ) ，甜) ，可n ，磁1 ) 的第一类表示1 9 8 6 年，g o d d a r d - n a h m - o l i v e - s c h w i m m e r 3 对于b 妒，醴1 ) g ，碰”的情况给出了类似的表示1 9 9 0 年，许以超和姜翠波 4 引 入另外的一个顶点算子集合并给出了b 和g 的第一类表示1 9 9 1 年，许以超 【5 i 给出了所有第一类仿射李代数的顶点算子表示k a c 1 2 】利用仿射李代数的表示 给出了根格顶点代数，很好的解决了硝) ，d 9 ) ，礤) ，码，趣1 ) 型的顶点代数，也就 是说只有长根的情形( p = 1 ) 在这篇文章中，我们考虑有短根情形的表示( p = 2 ，3 ) ，我们想直接利用许以超给 出的顶点表示构造出一个顶点代数，发现有些条件不能满足所以我们对这些算子 做了很小的修改，然后就利用这些修改过的算子构造出了一个广义的顶点代数 关键词：顶点算子，顶点代数，有序弱局部的，n 次积 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t n a n k e la n dk a c 1 ，9 ，i o a n ds e g a l 1 l 】h a dc o n s t r u c t e dt h el e v e l - o n sr e p r e s e n t a t i o n s o fa f f i n ek a c - m o o d ya l g e b r a s 鸫) ，硝) ，毯”，醇，磁1 b ym e a n so fv e r t e xo p e r a t o r si n 1 9 8 1 ，g o d d a r d - n a h m - o l i v e - s c h w i m m e r 【3 】g a v et h es a m er e p r e s e n t a t i o n sf o rt h ec a s e s 硝) ，毋) ，g ，巧ni n1 9 8 6 i na d d i t i o n ，x ua n dj i a n g 【4 】h a v ei n t r o d u c e da n o t h e rs e t o fv e r t e xo p e r a t o r si n1 9 9 0w h i c ha r ec o n s t r u c t e df o rt h el e v e l - o n er e p r e s e n t a t i o n so ft h e c a s e sb a n d g 【2 1 j x u 5 】g a v et h el e v e l - o n er e p r e s e n t a t i o n so ft h ea f f i n sl i ea l g e b r a sw i t h f i r s tk i n di n1 9 9 1 k a c 1 2 】g a v et h el a t t i c ev e r t e xa l g e b r ab yt h er e p r e s e n t a t i o n so fa f f i n e l i ea l g e b r a sa n ds o l v e dt h ec a s eo f 胡) ，d 1 1 ) ，磁，可，e 5 l b yl a t t i c ev e r t e xa l g e b r a ， i e ，t h e r ea r eo n l yk i n gr o o t s ( p = 1 ) i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ec a s eo f s h o r tr o o t s w ew a n tt ou s et h ev e r t e xo p e r a t o r s o fa f f i n el i ea l g e b r a sw i t hf i r s tk i n dt oc o n s t r u c tv e r t e xa l g e b r a s w ef i n dt h a tw ec a n t d i r e c t l yc o n s t r u c tav e r t e xa l g e b r ab ym e a n so fv e r t e xo p e r a t o r so fx u 【5 】，8 0w em o d i f y t h ev e r t e xo p e r a t o r sal i t t l e i nt h ee n dw ec o n s t r u c tak i n do fg e n e r a l i z e dv e r t e xa l g e b r a 耐t ht h em o d i f i e dv e r t e xo p e r a t o r s k e yw o r d s ：v e r t e xo p e r a t o r ，v e r t e xa l g e b r a ，o r d e r e dw e a kl o c a l ，n - t hp r o d u c t i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位串请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 d， 学位申请人( 学位论史作者) 签名：巫丢 丝 2 0 年月 日 关予学位论文著作权使弱! 授权书 本人经河南大学审核批准4 受子硕士擘位。作为学位论文的作者。本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位儆的要求，即河南大擘有权向因家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅、。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目韵。可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) j， 学位获得者( 学位论文作者) 签名：翟矗望夔 2 0 学位论文指导教师签名： 年月 臼 幸、。 u 士：型： 河南大学硕士学位论文 引言 顶点代数是物理学家在研究共形场和弦理论时引入的，它在表示理论、有限群 理论等的研究中，起到了关键的作用。l e p o w s k y 和m e u r m e n 应用这些理论解决了 m c k a y t h o m p s o n 猜测，而b o r c h e r d 8 应用顶点代数与k a c - m c , o d y 代数解决了群论 与数论中著名的“月光猜想”，并获得9 8 年度菲尔茨奖。 随着对顶点代数的深入研究，己逐渐发现它在拓扑、代数几何等数学领域的作 用，并已引起了主流数学家的关注，成了数学物理的一个主流方向。从代数角度看， 顶点代数与传统的代数理论有很大的差别，是一个全新的代数系统。线性空间中的 每个向量都对应着一个场，每个场又是一个以算子为系数的无穷级数，所以每两个 向量之间的运算都涉及到无穷多个算子之间的运算所以构造一个顶点代数就比较 困难，也显得尤为重要了 k a c 在书v e r t e xa i g e b r a 8f o rb e g i n n e r s 中，利用鸳) ，d ，或 ，磅，毯。) 上的 顶点表示构造了出了根格顶点代数，也就是对于只有长根的情形( p = 1 ) 这里我们 利用许以超给出的顶点表示考虑有短根仿射李代数对应的顶点代数 这篇论文是在导师许以超教授和王天泽教授的悉心指导下完成的 第一章主要问题和主要结果 k a c 1 2 1 利用仿射李代数的表示给出了根格顶点代数，很好的解决了硝) ，d g ) ， 磁”，磅”，珥”型的顶点代数，也就是说只有长根的情形( p = 1 ) 1 9 9 1 年，许以超 5 给出了第一类仿射李代数的顶点算子表示我们想用这个表示构造顶点代数，所以 就需要修改这些顶点算子并证明它满足顶点代数或者广义的顶点代数的条件在这 篇论文中我们验证了这些算子是满足广义顶点代数的条件3 1 孓1 7 引理1 1 对于1 0e 0 u 0e a v 有 和 y 0 0e o ，z ) = i d v ，( 1 , 1 ) y ( u o 矿，z ) ( 1 0 e 0 ) l 。= o = u o e 8 ( 1 2 ) 引理1 2 v 上的算子t 满足平移相关性( 3 1 5 ) ，其中t 的定义为( 3 3 5 ) 引理1 3 设m z + ，口，y l ，那么有 ( i ) a d ( t ) a ( - m ) = m n ( 一( 1 + m ) ) i ( 1 3 ) ( i i ) ， a d ( t ) g ( d ) ( ；) = o ； ( i i i ) a d ( t ) o ( 1 ) ( oc a + 1 ) = 一( d ，d + 7 ) ( u o e 4 + 7 ) ( i v ) a d ( t ) a ( m ) = - ? n o l ( r f z 1 ) ； ( v ) 如果m 1 ，那么有 8 d ( t ) 咖) ( 莩卜竿咖) ( 字) ( v i ) a d ( t ) s c a ，一、) = 口( 一1 ) i ( a ，士、历) g l 理1 4 设q ，y l ，贝u ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) o o a d ( t ) e + ( o ，士伺= e + ( 。，士相扩一1 n ( 一m ) ； ( 1 9 ) m = 2 2 河南大学硕士学位论文 ( i i ) 0 1 i ) a d ( t ) e 一( o ，士、仞= 乏二z 一仇一1 口( m ) + 孑一1 ( 口，a + ，y ) 士 学如，c 等肛，蛹 。1 0 e 一( a ，士、仞【z i ( a ，士、仞】 o ) = 【一z - - 1 0 ，口) + d ( 一1 ) 】e 一( n ，士饲i ( o ，士、历) o ) ( 1 ，1 1 ) 引理1 5 设 ，歹= 1 ，2 ，吼他，唧，m j z + ，a l ，则 ( i ) 仁一知) 盹+ y ( ( 一佻) 0 1 ，。) ，y ( b ( 一唧) 0 1 ，t i ) 】= 0 ，( 1 1 2 ) 和 r e s 。0 一伽) “+ 唧【l ，( k ( 一m t ) 固1 ，z ) ，y c h a 一唧) 1 ，w ) = 0 ( 1 1 3 ) ( i i ) 【y c h i c 一讹) o1 ，z ) ，y c h a - p j ) o1 ， ) 】= 0 ，( 1 1 4 ) 和 r e s z i y ( 恕( 一”) ol ，z ) ，y ( h j ( 砑，) o1 ，) l = o ， ( 1 1 5 ) 其中 功叻2 n j 一五。 引理1 6 其中 其中 r e s ：0 一 ) “+ 唧 y ( 也( 一p l m d ) 0 1 ，z ) ，y c h a - p j ”j ) p l ，) 】= 0 ，( 1 1 6 ) 引理1 7 1 1 鼽佻2 啦一j ，即2 唧一互 p , , e s 。【y 慨( 一鼽仉) 圆1 ，z ) ，y ( 1 0 矿， ) 】= 0 ，( 1 1 7 ) ll a 2 j ，p 帆2 m 一互 引理1 8 当张帆= 啦，y 慨( 一a 帆) 因1 ) = 旁一1 ) q i ( 。) 时，有 0 一 ) m y ( ( 一鼽讹) 0 1 ，z ) ，y c l oe o ， ) 】= 0 ，( l 1 8 ) 3 河南大学硕士学位论文 所以 则 其中 和 件 r e s ：0 一加) m y ( k ( 张m t ) o l ，z ) ，y ( 1 0 矿，叫) = 0 引理1 9v a ，卢l3 n 0 ，使得 叠一卸) i v ( 1 0 矿，z ) ，y ( 1 0 e 盆， ) 】= 0 ， r e s 。0 一叫) 【y ( 1 0e 4 ，名) ，y ( 1 0e 口，叫) 1 = 0 引理1 1 0 设d ( z ) ，6 ( z ) ，c ( z ) 是两两有序局部的，则 ( i ) r e s ：0 一 ) ( z ) ，6 ( ) 】= 0 n o ( i i ) r e s 。如一 ) 【，( z ) d 0 ) ，6 ( ) 】= 0 n 0 ， ( i i i ) ( 1 1 9 ) ( 1 ，2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 ，2 2 ) ( 1 ，2 3 ) r e s 。p t ，) 【：a ( z ) b ( z ) ：，c ( ) 】= 0n 0 ， ( 1 2 4 ) r e s 。如一 ) 陋( z ) ，：6 ) c ( w ) ：】= 0 n 0 ( 1 2 5 ) 定理1 1 1 对于v a ，b v ，我们定义的r ( a ，z ) ，r ( b ，w ) 是有序弱局部的， 定理1 1 2 我们定义的 是一个广义顶点代数，即满足下面的条 ( i ) 真空条件3 1 3 ( i i ) 平移相关性3 1 4 ，3 1 5 ( i i i ) 有序弱局部的3 1 7 4 o 一 亿 一n z 啦 。：l = z ， 第二章仿射李代数的顶点算子表示 1 9 9 1 年，许以超【1 1 给出了仿射李代数g ，巩，g 2 和f 4 的顶点算子表示在 这一节，我们给出定义和主要的结果 设b ( x ，y ) 是有限维复单李代数。的k i l l i n g 型，竟是c a f t a no 的子代数，这里 d i m ) = n ，根系，是单根系那么 毋= 勇+ o 。 ( 2 1 ) n 是西关于c a r t a n 子代数巧的孑空间分解现在， = 5 1 ，锄) c 妒( 2 2 ) 其中两为两的对偶空间记勇凡为根系生成的实线性空间，口( z ，g ) ，v z ，y o 为$ 上的k i l l i n g 型那么为r 有内积( ，y ) = c n b ( x ，) ，v x ，y 两冗，其中印是正常 数 我们知道玩，g ，g 2 和蜀有内积 ( i ) f k 的情形 设d = ( a l ，a n ) 矛，则 ( i i ) g 的情形 一l 2 1 12 一l 一1 1 21 1 1 一j l 。 一i 。 1 一 一；l 一； 一 1 5 o 2 o 2 1 + z + 毗如 一 ：l i 1 ，其中 研= 掣 l 弧11 ) ，1 j 鲺p = 一城1 ，蔚) ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 当p ；l ，侈为a 。，玩，e 6 ，励和e 8 中的一个；当p = 2 ，毋为磊，g 和五其中一 个；当p = 3 ，o 为g 2 我们知道有限维单李代数。的c a t a n 矩阵为 c o p l l b ( h l , h l 誓黧) ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 【1 ) ( 口，卢) = 一1 ，r 。，口= 印，a = 0 ，缸，卢= 即，口= 1 ，v a ，p ，口+ 卢l ， ( 2 ) ( q ，国= 一1 ，k ，口= 印肆= 0 ，印，。= 2 q a ，卢= 2 ，v o a l ，屈口+ 多s ， ( 3 ) ( o ，卢) = 1 ：，p = 叼一= p 一1 ，缸= 印芦= 1 ，v q ，卢a s ，a + 卢a l ， ( 4 ) ( n ，卢) = 一：，r n ，卢= 即a = p 一2 ，啦，卢= 卵芦= p 一1 ，v 口，卢，a + 卢a s ， ( 2 1 3 ) 设口￥，酵和e ：，v a a 为c h e v a l l e y 基，其中 彰= 玎1 啦，1 i 吼v = 去e 。，a ( 2 “) 根格 l = 口= 观啦l 1 7 7 , 1 ，z c ( 2 1 5 ) 7 河南大学硕士学位论文 是实线性空间匀盖中的交换加群，l 的群代数c ( e ) 是个交换结合代数，有基 e 8 i q 工) ，当o t = 0 时，则e o = 1 ，其中 e o e 口= e o + p ，o t ，口工 设t 为复参数，记 0 t m ) = t 9 m o 彰， m z ， ls i 订，x m ( a ) = t m 圆e 。v ， v a 我们有复线性空间s 一有基 1 ，( 一轨m ) ，m i z + ，1 n ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 设s ( s 一) 为由s 一生成的c 上的对称张量代数，有乘积v ，j j j j z , s ( s 一) 是交换 结合代数有单位元1 和基 l ， t ，( 一轧1 r n 1 ) v ，v 铀( p 。m “) ，1 f 1 i 8 扎， ( 2 1 9 ) m f l ，。z + ，s = 1 ，2 设v = s ( s 一) s c ( e ) 为结合代数，其中 ( - ( 一a - m 。) vr r v 。( 一仇。吼，) ) $ 矿) = ( 1 。矿) 1 7 k 。( 鼽。m “。e o ) ( 2 2 0 ) b = l 因此表示空间y 有基 1 0 ，卢l ， ( 哨。m 1 ) v v 哨。r n 。) ) o 扩= ( 1 0 ) i i k ( 嘲。m b ) 西e o ， ( 2 2 1 ) = l 卢工，1 s t ls - ，“s 竹，讹1 ，一，观。z + ， 8 = 1 ，2 ， 对于口v ，卢厶“o 扩的阶定义为 d e g ( u 。) = d e g ( “) 一；( 卢，p ) ，( 2 2 2 ) 其中d e g ( u ) 定义为 5 a e g ( 1 ) = o ，d e g h t - ( 咄- 讹，) v vk ( _ p 。毗) 】= 肼。他 ( 2 2 3 ) k = l 现在，为了定义仿射李代数的项点算子表示和顶点代数，我们引入作用到矿上 的线性算子 8 一塑宣查堂堡主堂垡迨塞 ( i ) 设d ：y y 为线性算子，其定义为 d ( u e e ) = d e g ( u o d ) c u o 矿) ( 2 2 4 ) ( i i ) 设吼。帆) ，l t s n ，帆z 为作用到线性空间s ( s 一) 上的线性微分算 子，其定义为。 钆慨) ( ( 一珊) ) = p z r r u ，嘲q ( 啦，) ，观，z + ( 2 2 5 ) 设啦慨吼) 为作用到v 上的线性算子，其中确z ，则a i 慨他) 定义为 f 啦( 砘讹) 缸p e 4 ) = ( 叩砚) w o o e 口，当讹z + ， 啦( o ) 。) = ( m ，卢) “o 扩) ，( 2 2 6 ) 【a f 慨讹) o ) = 巩如。m ) ( u ) o ，当帆z + v u s ( s 一) ，e 口c ( e 。) 引理2 1 设帆，劬z ，我们有 【毗扫i m t ) ，哟锄劬) 】= a 讹昂。m ，一珊甜( 啦，a y ) i d ( 2 2 7 ) 证明因为佻，彩z + ，则 h 慨观) q 渤毋) 】似。) = ( 饥。) 劬毋) ) 一屯幻毋) 吼缸。) ) ) 。 由( 2 2 6 ) 可知，则陋慨他) ，哟嘞毋) 】= 0 若佻，叮z 一，因为v 为交换乘法，所以阮慨舰) ，幻吩) 】= 0 若帆，毋z + ，由于( 2 2 6 ) ，则 胁慨挑) ，( 西野) mo 扩) 2 钆扫。m 。) ( b ( 奶毋) v t ) o 一( 吩( 奶野) v ( 如。慨m ) ( “) ) o = ( 慨m ；) ( b ( 珊卿) ) v u 矿= 鼽m 毋田( 啦，呵) ( u p e 4 ) 若q z - o ) ，因为啦( o ) 为纯量映射，所以( 2 2 7 ) 成立 设a = 啦啦厶则作用矿上的线性算子口( m ) 定义为 i 啦啦( m ) ， v m z ， a ( m ) = = 。1， ( 2 2 s ) 【啦啦( 嘲，v m i z 、i = r 上1 。 用归纳法可知，我们有 9 河南大学硕士学位论文 引理2 2 设 nnnn 口= 毗芦= b q l ，n ( m ) = 啦啦( m ) ，p ( 口) = 如a 。( g ) ， ( 22 9 ) 4 = 1 j = 1 = 1 j ；1 其中啦，b z ，l i n ，m 和q 的定义如( 2 ，2 s ) ，则 。( m ) ，卢( 口) l = m 南，m + 日 ，国i d( 23 0 ) 即、 n ( ) 芦( g ) = ( g ) a m ) ，v q - - 7 7 1 ，( 2 3 1 ) 且 删饿刊2 = r a i n ( s 。3 舞等岛即卅c 矿 仁s z ， 特别地 和 【e 印( 口( m ) ) 卢( 一m ) = 【m ( n ，b ) i d + p ( 一m ) r e x p ( d ( m ) ) a ( m ) s e x p ( 口( 一m ) ) = e x p ( 卢( 一m ) ) 】【m ( n ，f 1 ) i d + n ( m ) 】8 e x p 缸( m ) ) e x p ( 一m ) = e x p ( m ，口) ) e x p ( 一m ) ) e ) 叩陋( m ) ) 证明当m + 口0 时，则，d ( m ”( 口) = 卢( q ) 口( m ) 设口= 一m ，则 e x p ( m ) ) 】卢( 一删= 击a ( m ) 4 卢( 一m ) 。 b 2 u 刮c o mid(8,。东唏删“酬蹦s=o = t ! 薪竺岩蔫与卢( 一m ) “咖) ” t = 0 、7 、。， 刮。，。寤黢即硝气c 叫 设g = s i ，则 脚( 哪( 卅刮囊k 箩老篙与即m ) f _ q 矿= 0 【e 印( 。( m ) ) p ( 一m ) 。= d 孤；竺：i 詈兰而卢( 一m ) “a ( m ) “ t ：o 、7、 7 = ( ；) ( 肿( 一) “【e x p ( a ( m ) ) 】 = 【n ，( n ， ) i d + 卢( 一 i ) 】o e x p ( 口( m ) ) 】， ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 河南大学硕士学位论文 所以( 2 3 3 ) 成立那么用( 2 3 3 ) 证明( 2 3 4 ) 由( 2 3 3 ) ，则 0 0 1 e x p ( a ( m ) 蛔( 一m ) ) = 胁( a ( m ) ) 去卢( 一m ) 。 t = o 。 = 击 唧( a ( m ) ) p ( 一m ) 。 t = o c o 1 = 击忱( a ，卢) i d + 卢( 一m ) 】。e x p ( m ) ) t - = o = e x p ( m ( a ，卢) ) e x p ( p ( 一m ) ) e x p ( 口( m ) ) ， 所以( 2 3 5 ) 成立 ( i i i ) 映射9 ：工一l 称为根权，如果g 满足下面条件： g ( a l u o ) = 0 ，g ( a s ) c s ，9 ( 一a ) = 一9 ( 口) ， a l ，( a + g ( 口) ，r ) z ，a a s ， r l ( o ，p ) m a x ( 1 一p ) ( g ( 口) ，g 够) ) ，0 ( o ) ，g ( 卢) ) ) ，q ，p ，0 a + p 隹， fg ( 理) ， a h筘，口+ 芦乳 岔( + 所= 土g ( 口) + g ( 卢) ， 或4 - g ( o ) 一9 ( 卢) ， a ，卢，a + 卢a s ，p = 2 ， 【一g ( 口) = - g ( 卢) ， n ，卢，a + 卢s ，p = 3 因此 g ( a ) = 一岔( 卢) ，a ，卢a s ，a + 卢工 注：根权g ( a ) 不是l 上的线性映射 例如，取口= 他啦厶令 t = 1 g ( a ) = b - - p 引) 啦 其中m 为实数q 的整数部分因此，当1 t r 时，则9 ( 啦) = 0 ，当r + 1 i n 时，则g ( 啦) = 啦 另一方面，设p = 2 ，记a ( 观) = 他一2 i 孚i ，则a ( 孤) 0 ，i 砚是偶数当 且仅当a ( 观) = o ；他为奇数当且仅当a ( 佻) = 1 若a = a l c t t ，卢= 玩啦l ， i = 1 i = l 则a + 卢：量+ “) 啦如果0 4 是奇数，k 也是奇数，则删+ 巩是偶数，所以 a ( 啦) ：a ( 巩) = 1 且a ( 啦+ 6 t ) = 0 = 瓴) 一a ( 玩) ；如果0 4 是奇数和玩是偶数，则 啦+ 巩是奇数，所以a h ) = 1 ，a 慨) = 0 且a + 砘) = 1 = a ( m ) 一a ) ；如果0 4 是偶 数和k 是奇数，则0 4 + k 也是奇数，所以a ) = 0 ， ( k ) = 1 和a 池+ 也) = - 1 1 1 ， 卿 卿 卿 删 0 但 但 河南大学硕士学位论文 ( r o o d 2 ) ，因此a 慨+ 巩) e1 ，( r o o d 2 ) ，于是a 他+ 玩) ia ( o ) 一a 慨) ，( m o d 2 ) ；如果a t 和 玩都是偶数，则啦+ 硫也是偶数，所以a 慨) = a ( k ) = 0 和a ( 吼+ 6 i ) = 0 = a ( 吼) 一a 慨) 因此，我们有 a ( 啦+ k ) = a ( 啦) 一a ( 6 i ) ，( r o o d 2 ) ， 并且有 f ( 。+ 卢) = g ( o ) 一g ( 卢) ，( r o o d 2 ) ，v o ，卢l ，( 2 4 0 ) ( i v ) 我们记 弛肝詈，= 蒜，篡= m o d p ) ，, 仁a - ， 线性算子e + ( 。，z ) 定义为 萨( 州) = e x p 等。+ ”裂口) ( 干i m ) ( 2 4 2 ) t n - = l 由于( 2 4 2 ) ，则 e 一( 。，z ) e + ( 川= ( 生) 咖所e + ( 删e 一( 蝴 ( 2 f 4 3 ) 其中q ，卢l ，z ， c ( v ) 映射：l l 一 10 日 v ，称为真空向量，使得 ( i ) ( 真空条件) y ( 1 0 ，z ) = i d v ，y ( v , z ) 1 0 b 2 口 ( 3 1 3 ) ( i i ) ( 平移相关性) 设t e n d ( v ) 定义为 t ( 口) = ”( 一2 ) 1 0 ，v v k ( 3 ，1 4 ) t 称为无穷小平移算子，如果t 是作用到y 上的微分算子且满足条件 a d ( t ) = 以( 3 1 ，5 ) 作用到任意的线性算子y ( u oe ，z ) ( i i i ) ( 局部条件) 存在正整数，使得 ( z w ) y ( u ，z ) y 扣， ) = 拓一叫) y 扣，w ) y ( u ，z ) ， v u ，口矿 ( 3 1 6 ) 定义3 1 2 一个复线性空间y 称为广义顶点代数。如果它满足上面顶点代数的所 有条件除了( i i i ) ，而它满足( i i i ) ( i i i ，) ( 有序的弱局部性) 存在正整数，使得 r e s 。一叫) y ( t ，z ) y ( v ，切) = r e s 。0 一t i ，) 。y ( v ，钟) y ( u ，z ) ， v u ，和矿 即 r e s ：0 一t ，) 【y m ，z ) ，y 扣，叫) 】= 0 ，v u ，u v( 3 1 7 ) 1 5 河南大学硕+ 学位论文 在第二章我们给出了第一类仿射李代数的顶点算子表示，那么下面证明我们定 义的复线性空间y 为广义顶点代数，其中 i d = 1 0e o 特别地， 1 0 = 1 0e o 称为真空向量其中表示空间矿有基 1 0e f l ，口l ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 。( 一p l 。m 1 ) v v “( 一a 。m 。) ) 。= ( 1 。) n ( ( “( 鼽。m k ) oe o ， 卢el ， 1 i ls ，s i 8 佗， r n 1 ，一，矾。z + ， s = 1 ，2 ，一 ( 2 2 1 ) 对于只有长根的情形( p = 1 ) ，k a c 在书 v e r t e xa l g e b r a sf o rb e g i n n e r s 中，利用 上面定义的算子构造了出了根格顶点代数这里我们考虑有短根的情形【p = 2 ) ，就 是想用我们定义的算子构造顶点代数，于是我们需要修改了一些算子，并且在下面 各节中验证y 满足广义顶点代数的所有条件 设 z 陋，士、历) ( u oe 7 ) = ( 士1 ) 2 ( 。，7 ) e ( n ，y ) z ( 8 ，们心oe 。+ 了) ， ( 3 1 1 0 ) 和文( o ，为z 的l a u r e n t 级数： 2 ( 4 ，士铜 圆e 7 ) = e + ( 口，士相e - ( o ，士饲童( 。，士v 仞0o ) ，( 3 1 i i ) 其中 e + ( ，士) 2e x pe 圭2 ”。( 一m ) ，( 3 1 i 2 ) 和 州雌伺：妻杀。击z 一甲如) ( 莩) ) e 一( 。，士伺= 杀羔z 一下g ( a ) ( 竺等兰) ) t n = lm - - - 一i ( 3 1 1 3 e x p z - - m 4 ( m ) e x pe 贾( o ，饲的部分级数定义为： 岔( 口，z ) = ；拉+ ( q ，v i ) e 一( a ，、厂刁量( a ，4 ) + e + ( q ，一、i ) e 一( a ，一、正刁z ( a ，一、厂刁1 ( 3 1 1 4 ) 设a ：妻嘶啦，则 o ( z ) = 吼啦( z ) ，啦( z ) = 啦( 仇) z 一”一 ( 3 1 1 5 ) 河南大学硕士学位论文 因此 啦( z ) = 啦( z ) + - i - 啦( z ) o + 啦( z ) 一，( 3 1 1 6 ) 其中 。口 啦( z ) + = 啦( 一m ) z m ，啦( z ) o = 啦( o ) z ， t n = 1 我们用记号：+ + ：定义一些c t k ( m ) 的积，并且“从右到左”归纳定义 ( 3 1 1 7 ) ：啦- ( p l m l ) 纰弛) 。t 一( p s 一1 他一1 ) 。“缸弛) ： f 3 1 1 8 1 = ：啦1 0 l m l ) ： r r t 2 ) ：啦，一1 ( p 6 一l m p l ) 啦( p a t i t s ) ：_ ， 。 其中 1 t 1 ， 2 ，i s n ，m l ，忱，m $ z ，5 = 0 ，1 ，2 ， 并且：g ：关于，和g 是双线性的，且 ：a ( z ) 一卢( ) + ：= 卢【叫) + 【z ) 一( 3 1 1 9 ) 若a o 嘶帆) = 1 ，则 m a f ( z ) = o m 慨帆) o t ( 一m 一鼽讹) m z = 啦( 叩佻) + 扩口一。慨砚) 啦( 一m a 帆) ( 3 1 2 0 ) m = l + ；g - m 慨帆) a ( 仇一p 讹) n ! m 因此我们有两种情况其一为当p = l ，1 i r ，口0 ( 帆) = 1 时， p 帆毗( z ) = z “口一m ( 盹) ( 一m m t ) m z o o = 啦( 一) + z ”一m ( 盹) 啦( 一m 一讹) ( 3 1 2 1 ) f n = 1 o o + z - - m ( 讹) 啦( m 一讹) ； 其二为当鼽= ，r + 1 i n 时， 鼍嘶c 一抄薹儿m c 釉一丝笋，+ 丢z 飞c 釉字i ( 3 i 2 2 ) 1 7 一 m 一 弦 m口 = 卜p 毗 河南大学硕十学位论文 设 吆。，a i ( z ) = 【弓；。；q l ( z ) 】+ + 【弓。m 。o ( z ) 】o + 昂；m 。n t ( z ) 】一，( 3 1 2 3 ) 其中。慨帆) = 1 ，则 ( b 。觎( z ) 】o = 啦( 一a m e ) = 1 ( 3 1 2 4 ) 且当a = l ，则m = 1 ，m = 2 ，一，r n 4 一l ；当a = ；，舰是偶数时，则m = 1 ，m = 2 ， ，乎；当p i = ，讹是奇数时，则m = 1 ，m = 2 ，业乒， o o 昂。啦( z ) + = 一m 慨讹h ( 一m v l r n t ) ， ( 3 ，1 ，2 5 ) 昂。啦o ) 一= z 一”o 竹。( p 。m t ) 啦( m a ) ， ( 3 1 2 6 ) p l m t m 现在，我们定义线性算子v ( v ，z ) 如下 设对v z c ，口一y ( v ，z ) 在y 上是线性映射，使得当u 基元，也就是，口= l o e 4 或者口= k 。( n 。r r t l 。) v v 旭。( 呻“r n i ) 固矿，则y ( 口，z ) 定义为 v ( 1o 矿，刁= ：三( 。，z ) ：= 三陋，z )( 3 ，1 2 r ) 和 58 y ( 。( - - p i 。m “) p e 。，z ) ) = ：n 昂m 吼。( z ) 牙( q ，z ) ：， ( 3 1 2 8 ) k = l c = 1 1 n i 2 i 日n ，r n k z + ，七= 1 ，2 ，s ，s = l ，2 ，且l 由戈( a ，z ) 的定义，我们知道( 3 1 2 ) 成立设有 y ( v ，z ) = ”( 。) 。“， ( 3 1 2 9 ) n z 我们想证明( v , y ( v ，z ) ) 是广义的顶点代数首先我们先找到算子? 并且验证广义 顶点代数的所有条件 和 3 2 验证y 满足条件( 3 1 3 ) 在这节，我们证明 引理3 2 1 对于1 e o ，口圆矿v ，有 y ( 1 0e o ，z ) = i d v y ( u o 矿，z ) ( 1 0e o ) l 。0 = u o e o 1 8 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 河南大学硕士学位论文 证明现在，y ( 1 0 e o ，z ) = 牙( o ，z ) = i d ，又有 y o e 。，z ) ( 1 0 e 0 ) i 。o j = y ( “( 一以。m “) 。e 口，彳) ( 1 。e o ) i 。= o k = l = i 1 ：昂。o “( 侗e + ( d ，以) e 一( 相地饲：( 1 。e o ) b k = 1 a + ；：p p 。n 。啦。( 一 ；) e + ，一仞f 一 ，一仞茁 ，一撕) ：( 1 。一) i ；= o k = 1 e = 垃。( 一鼽。m “) ( 1 。e “) = u o e a 因此( 3 2 2 ) 成立 因为 3 3 玩和2 1 2 以y 0 矿，z ) ) b = 2 0 z y ( b 4 k ( - - p i 。讹。) oe 。，z ) ) k = l s = 以：j 。m 。o 钆( z ) f + ，、仞e 一( q ，、仞z ( 、仞+ e 4 - ( 口，一、历) e 一( o ，一、国蠹( a ，一、历) 七= l 0 = ：( 昂。，。，啦，( z ) 昂一，m 。一，o q k - 1 ( z ) 协。m 啦一( z ) 】 = 1 p p , 。啦( z ) m 。o “( z ) ) 矿( a ，撕) e 一( 口，侗i ( o ，以) 】： + ：一。啦。( z ) l e + ( a ，以) ) e ( a ，以) 彭( 。，伺+ 矿( o ，问慨e 一( a ，饲) z ( 、_ ) = 1 + e + ( 口，、历) e 一( o ，、伪( 以z ( o ，、历) ) + ( 允曰+ ( o ，一、伪) e 一( 口，一、仞孟( a ，一、历) + e + ( o ，一、历) ( a l e 一( a ，一、仞) 茁( 口，一、历) + e + ( a ，一伺e 一( 口，一以) ( 巩奢( n ，一、刁) l ：， 。( 3 3 1 ) 1 9 河南大学硕士学位论文 和 2 也y ( 1 圆矿，z ) ) ：e + ( 相【壹尹。( 一。) + 妻。( 。) + 0 0 2 。- m - i。一学删学)= e + ( 相【z 一1 a ( 一m ) + a ( m ) + z 一广g ( 。) ( 竺尹 + z 一1 ( a ，1 ) e 一( q ，以) 池z ( o ，、动) + e + ( 口，一以) z ”一1 n ( 一m ) + z - m - i a ( m ) r a = l m = l 一妻。一2 盟芦9 ( 。) ( ! 竺岩) + z - 1 ( 。，y ) 】e 一( 。，一以) ( 也z ( 。，一以) ) m = 1 ( 3 3 2 ) 下面我们将对= n i ：1 “札( 鼽。讹。) 中的s 用归纳法证明 a d ( 一以 y oe 8 ，z ) = 0 ( 3 3 3 ) 成立首先，在这节中我们证明( 3 3 3 ) 在s = 0 的情形下面我 f j 定义作用到v 上 线性变换，使得( 3 1 4 ) 成立 引理3 3 1 a d ( t ) 是作用到e n d v z ，z 一1 】线性窀间上的微分算子也就是， 0 a d ( t ) a 1 a 2 a 。= a 1r r a k l ( 甜( t ) a k ) a + 1 a s ( 334 ) k = l 证明显然 a d ( t ) a l a 2 ，a 。= i t ，a 1 a 2 a 。l = t a l a 2 a s a l a 2 a , t = t ，a i a 2 - a s + a 1 t a 2 。也一a x a 2 也t = 8 = a l 血一i t , a k a k + i a s k = 1 根据( 3 3 4 ) ，我们知道a d (