（系统工程专业论文）分段线性系统控制综合.pdf

中文摘要 分段线性系统( p i e c e w i s el i n e a rs y s t e m s ，p l s ) 能利用线性系统中各种成熟的 结论对非线性系统和不确定系统进行分析和设计，在控制理论界和工程界都得到 了广泛地研究和应用。 对p l s ，全局二次l y a p u n o v 函数由于未能利用系统的分区信息而不能对系 统进行有效分析。通过引入多面体单元界和连续矩阵，利用系统的分区信息构造 连续的分段二次标量型函数，进而由s p r o c e d u r e 来判定该函数的正定性，从而 构成系统的连续的分段二次l y a p u n o v 函数，基于此可以对系统的稳定性进行有 效分析，并且所有的分析结果都是以凸优化问题的形式给出，计算非常方便。 在最优控制方面，由于h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h - j b ) 方程的维数灾问题而 难于求解，利用h j b 不等式和分段二次l y a p u n o v 函数将p l s 的最优控制转化 为最优控制性能上界的优化问题及性能下界的求取问题。其中性能上界的优化是 一组以反馈增益为寻优参数的双线性矩阵不等式( b i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，b m i ) 问题；而性能下界的求取是一组基于线性矩阵不等式( l m i ) 的半正定规划问题， 可以用内点法进行求解，从而避开了h j b 方程的求解。 b m i 问题是n p 难问题，遗传算法是处理n p 难问题的有效算法。本文基于 遗传算法和内点法设计了一种混合算法，所设计算法简单易行，编程方便。 将p l s 最优控制设计的相关分析方法推广到分段微分包含系统、不确定分 段线性系统和非线性系统，得到了相应的最优控制的结论，对各类控制系统的最 优控制都给出了仿真算例，并用所设计的混合算法进行求解。算例结果表明本文 方法的有效性。 关键词：分段线性系统控制综合最优控制双线性矩阵不等式遗传算法 a b s t r a c t t h ep i e c e w i s el i n e a rs y s t e m s ( p l s ) c a nb eu s e dt o a n a l y z ea n dd e s i g nt h e u n c e r t a i ns y s t e m sa n dn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht h ee x i s t e dr e s u l t si nl i n e a rs y s t e m s ， a n di th a sb e e nw i d e l ys t u d i e da n du s e da m o n gc o n t r o le n g i n e e r i n gf i e l d t h eg l o b a lq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o nd i dn o tu s ea n yi n f o r m a t i o na b o u tt h e p a r t i t i o no ft h es t a t es p a c e ，s oi tb e c a m ev e r yc o n s e r v a t i v ei nt h ea n a l y s i so fp l s t h e c o n c e p to fc o n t i n u i t ym a t r i xa n dp o l y h e d r a lc e l lb o u n d i n gi si n t r o d u c e d ，b a s e do n w h i c hap i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e dw h o sp o s i t i v i t yi s g u a r a n t e e db ys - p r o c e d u r e w i t hp i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o nt h ep l sc a n b ea n a l y z e d e f f e c t i v e l y a l la n a l y s i sc o n d i t i o nw i l lb ef o r m u l a t e da sc o n v e x o p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，a l l o w i n gp l st ob ea n a l y z e du s i n ge f f i c i e n tn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s t h eo p t i m a lc o n t r o lo fp l sc a l lb ec h a r a c t e r i z e di nt e r m so fs o l u t i o nt ot h e h a m i l t o n j a c o b i - b e l l m a n ( h - j b ) e q u a t i o n h o w e v e r , t h eh - j - be q u a t i o nw i l ls u f f e r f r o mc o m b i n a t o r i a le x p l o s i o na n di sn o t o r i o u s l yh a r dt os o l v ei ng e n e r a l b a s e do n h - j - bi n e q u a l i t i e sa n dp i e c e w i s eq u a d r a t i cl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h eo p t i m a lc o n t r o lo f p l si sc o n v e r t e dt ot h ep r o b l e mo fs e e k i n gu p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h ec o s t f u n c t i o n t h ed e s i g no fu p p e rb o u n dc a nb ec a s ta sab i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( b m i ) p r o b l e mi nw h i c ht h ef e e d b a c kg a i ni sas e to fo p t i m i z a t i o np a r a m e t e m ，a n dt h el o w e r b o u n dc o m p u t a t i o nc a nb es o l v e da sas e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n gp r o b l e mb a s e do n l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) t h u sw ec a na v o i ds l o v i n gt h eh - j be q u a t i o n t h eb m ii san ph a r dp r o b l e mw h i c hc a nb es o l v e de f f e c t i v e l yb yg e n e t i c a l g o r i t h m am i x e da l g o r i t h mt h a tc o m b i n e sg e n e t i ca l g o r i t h ma n di n t e r i o r - p o i n t m e t h o di sd e s i g n e df o rs o l v i n gt h eb m ip r o b l e m t h ep r o p o s e dm e t h o di ss i m p l ea n d c a nb ee a s yt oc a r r yo u t w i t ht h es a m e m e t h o di no p t i m a lc o n t r o lo fp l s ，t h eo p t i m a lc o n t r o lo fp i e c e w i s e l i n e a rd i f f e r e n t i a li n c l u s i o n sa n du n c e r t a i np l sa n dn o l i n e a rs y s t e m si sd i s c u s s e d ，a n d g o tc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s t h e r e s u l t sf r o mn u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so ft h ed e s i g na n dc a l c u l a t i o nm e t h o df o rt h ec o n t r o ll a w k e yw o r d s ：p i e c e w i s el i n e a rs y s t e m s ，c o n t r o ls y n t h e s i s ，o p t i m a lc o n t r o l ， b i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，g e n e t i ca l g o r i t h m 独创性声明 本人声璃新呈交的学德谚文燕零久奁鼯耀撩嚣下避褥的弼究互幸筝和敬褥的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢乏簸外，论文中不包含其他人已经发表 或攥篾过鲍磷巍成聚，遵誉毽禽为获褥鑫燮盘茎或其稳彀鬻橇梭鹩学蕊袋涯 书蔼使用过豁材料。岛我阁工律的同志对本褙究所做的任何贡献均已在论文中 作7 明确的说暇并残苯了谢意。 学位埝文稚者签名：i 碜递群耀字日期：击丫年，胃f j 醯 学位论文版权健用授权书 零学霞谂嶷穆辫竞受了解羲涟盘鲎有关绦鬻、健慝学值论文豹觏寇。 特授权：鑫涟翘茎可以将学位论震的全部溅部分内容编入有关数播库迸哥亍检 索，藩采扇影印、戆露蕺挡掇饕菱键争段儇稃、汇壤鳖供壹濑鬻整凝，慰爨学校 向翻袈有关部门或机构送交论文的囊印件和磁盘。 繇密鹣攀链浚变程孵密厢遥嬲豢授权谈绢) 学餐淹文棒磺签名； 蕃嚣瓿 霉簿溱名 签譬疆期：妯婶，蕾月够鑫 签字瓣潮；零问固 天津大学硕士学位论文 1 1p l s 的研究背景 第一章绻论 遥几十年来，线性系统理论得到了充分的发展并已趋予完备。而现实世界中 的系统大都为非线性系统，随饕科学技术的发展及工程应用的实际需耍，对袋些 系统的控制耩度要求越来越离，线性系统作为一种j # 线性系统的近儆已经难豺达 到所要求的控制精度，这样就促使控镪4 理论尚非线性系统发展。另一方面，襁绘 瑰实瞧赛中鹩各耱实际系统建模的遗程中，慧会存在一定瓣瓣溺误差或者燕蒸种 程度的近似，为了确保所设计的系绕在实际工作中能有效的运行，精耍考虑控制 系统斡不确定梭。分羧线性系统( p i e p 砖w i s el i n e a rs y s t e m s ，p 黼作为一类特豫豹菲 线性系统，窕能利用线性系统中各种成熟的结论对非线性系统和不确定系统进行 分磺和设计。 p l s 在工程科学中有广泛的应用。由于实际系统中的物理限制，猩各个单元 之润送行切换的现象经常发生。势熙在控翱工程中縻涉及弱煎聂一般驰 线性系 统如饱和系统、继电器系统，都是分段线愤的。在电予电路中，二极管和晶体管 的模型也是分段线性的。在谗多先避戆控制嚣中，皴增益调慧飞行控铡器申，基 本的模型也楚基于p l s 建立的。在正程应用中，利用局部线性化来获取全局非 线憾系统的性分析及控裁综合的糖关结论熬方法愚经褥到广泛认霹露采翔。 尚此同时，随着计算机技术的长足进步，备种高性能的计算机得舞广泛应用， 控铡忑程赣域也采用了各种先进的设计较传，许多控弗4 嚣的设计都楚在各种复杂 的c a d 软件上实现的。数值计算方法在系统分析与设计中得到越来越多的采用。 对p l s 的稳定性分柝和反馈镇定设计的相关结果都可以用线性矩降誉簿式( 1 i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ，l m i ) 的方式表达出。丽l m i 的隶解可戳溺内点法进行t 为此 m a t l a b 提供丁相应的工具籀，可以银方便的进行求解。 1 1 1p l s 研究概7 兕 p l s 的研究可以追溯到a n d r o n o v 关于在菲线性系统中的振动现象的分丰斤上 【i 】，而k a l m a n 与1 9 5 4 年首次对分段线性系统进行定陛3 0 1 1 j 1 2 ，随麓工糕技术 发震的需要，随后的几十年，分段线性系统成为了控帛9 理论中的研究热点，许多 天津大学颈士学位论文 理论健的成果如最优控制f 踟、绝对穗窿性f 埠】和右连续的微分方程理论在分段线 控系绞齄砑究中都褥笺了醯矮。瘦子嫩裔有二投管积藤绝一些分段线性元件的大 斌橇电路瀚建模及其分辑躺需要，辩p l s 的模型摘逑有了较爹的研究【5 7 】，坦 这攮研究赢要嶷中盔系统的静态分檐上。随着切搀掇制器的使麓，慰一般的p l s 斡蘸态性能辩磐橱感瑷了辑辩概念上不溺於方法。s o n t a g 尉离黻瓣润p l s 瀚韵 态毪麓进程了势拆【戳；弼黠逶续时麓p l s ，p e t t i 蒸予向重场方法对其动态性能 逡群了分横溯，褥豕密系统可能存程静丰富弱动态特性，魏瀵动楱运动、辍隈 环和幂稳定性。近年来j i r s t r a n d 【i o i 和e i n a r s s o nf l l 】练食图论鄹对番分区中线性 系筑动悫特性艇恳部分橱发嶷了一耱籀熬分辨方法，获慰p l s 熬垒葫魏态将缝 进行分析。j o h m s s o nf 1 2 】利用分毅= 次l y a p u n o v 随数方法鼯p l s 的分辑辩塔 台进行了翁散躺处理。 对系统避劝的稳定性研究工作是融。l y a p u n o v 潍创的 1 3 】，他的研究主臻憝 莲子蒸绞麴魏薰考崽鹃，部熬聚系壤钨艇重糍蔷蜡间溪灏减枣，鼢暴统趋予穗宠。 但要对一个撩制系统构造一个适当的l y a p u n o v 酌数( 可看成能量涵撒) 具有很大 酶毽难。实黼上，l y a p u n o v 涵数静籀涟只是对线魅蒸统才城瀚麓攀ta 十颦缓 竣采，凸援戳鹣数值解法褥薹越来越多黥磅究和皮阁，p y a t n i t s k i i 和s k o r o d i n s k i i 在势凝缝瓣稳定幢润避辩叛l m i 数穆式对瓣戆避行袭述，势在当瓣题弯翁时绘 出了一种数值解 1 4 1 ，假对凸规划( 1 m i 问题) 所给出的解法日# 常复杂- n c s t c r o v 和n e m i m v s k i 【1 5 1 瓣k a r m a r k a r 在求瓣线性趣鲻游群设计鲍海患法【l 砖应焉戮一 般豹函规鲻中，就瑶後融现了一些凸撬期戆静算羧镣 1 7 ，1 8 l 霸些谯秀熬专萋 l 蛾2 _ 。j 。扶妣涨l 方法在备抟拯制理论中获得广泛废用。丸十每代中期，不礁 定线憔系统的相共静桁髂谴被推广到p l s 和混裔系统，黼对p l s ，全岗的 l y a p u n o v 函数因为洙熊利罔系统的分区接患，绘系统的分辑觏设计带来了缀太 韵豫寄缝。邵有些p l s 不存在全爨l y a p u n o v 蘧数煎又是稳宠钓，为了对戳蕊遴 行商效分析，出现了一熄非撅准形式的l y a p u n o v 醋数【2 l - 嬲】* 如文【2 4 】设计丁 一静静羧线性戆l y a p u n o v 藤羧，毽当系统髓动态特姓较为复狳时，竣l y a p u 髓0 v 函数麓稳逢麓强菲鬻大瓣信惑耋扶谣疆到了罄应用；蔼文 2 2 1 剁用系统的分醒信 怠稳遴了p l s 的分段二次l y a p u n o v 溺数，滚l y a p u n o v 醢数豹求教可以转识或 l m i 形式的凸规戈t l l 。3 题的求解，利用现成的诗算软件就可以方便她求解，从蕊有 效魄努桥系统於稳怒瞧。 纛最忧控制方面，b d t m a nf 2 6 】指如系绕豹最绕控锚是 h a m f l t o n - j a b i b c i | m a n ( h - j 璐意狙的解。嚣麓般静控制蒸统，h - j b 方鹣韵 求解是非常困难的，尽管膏很多数懂方法鼹出【2 7 ，2 8 ，2 9 】，但其求解仍将不可避 免遍遇劐缝数灾静鞠戆。对予线控蓉统，k a l m a nf 3 0 撵 蕊娥蠛拯锱怒一线馕状惫 天津大学硕士学位论文 反馈控制器。丽对p l s ，线性系统最伉控制的相关结论已经不再适用，都用线性 系统簸优控制褥到的控镱懵甚至都不能让系统镇定。文b 2 刹用h - j - b 不等式得 到了辙优控铜的性能上下界，其中性能上界鹤优化是一组班厦馈增益为寻优参数 的b m l 问鼷，而性能下界的设计是一组l m i 形式的凸规划阔题，从面避开了 h j 。b 方程的求解。 1 1 2p l s 研究中所面临豹阚越 p l s 的最优控制问题可转化成b m i 的求解问题，b m l 问题是凇难问题。 目前对b m i 润蘧求褓较为有效的方法是分支定界法，僵该方法本质上是一种隐 枚举法，计算麻烦且对大规模问题失效。由予系统分区信息憋考虑，最优控制性 能上界优纯时掰形成的b m i 问题规模较大，所以在实际的互程应爝中，p l s 最 优控制憔能界的求取难以取得理想的结果。 对分段徽分包含系统，嚣然已取褥稳定馊的结论，毽最优控割设计浅未忍相 关报道。此外，对不确定分段线性系统，其控制综合都鲜见搬道，如何利用已有 的p l s 的稠美结论对其迸褥控铡缘会是篷德礤究的工作。 此外，p l s 是类特殊的非线性系统，宦也能产嫩复杂的非线性现象，比如 投陵弼= 甚至混淹，但对这些现象产生的条辞及其稳定性分褥帮控寿都缺乏较深入 的研究。 1 2 本文的主要工作 对分段线性系统，根据h - j b 不等式和分段二次l y a p u n o v 函数技术将最优 控键设计阉蘧转纯戏一缓戳控制律为嚣优参数魏、懿簸优性能上赛为强标的一缀 b m i 问题。而性能下界的设计是一组基于l m i 的半正定规划问题。用同样的方 法对分段线瞧微分包含系统署爨不确定分段线性系统的囊优控制闯照遴零亍了分折 和设计。 b m i 阉题是n p 建阀题，遗传算法是处瑗n p 难闻蘧的一静有效解法，能有 效地处理大规模的复杂优化问题，慝以概率1 收敛到闯题的愈局最优解a 对b m i 阀鼹煺遗传算法耜内点法结会设计了一种混会算法，霹用遗传舞法对双线性磺中 的其中个变量进行寻优，而对随乏形成韵l m i 问题用基予内点法的半定规划 进行求解。所设计爨法篱单实用，编稷方便。 对非线性系统，将其进行分段线性处理，即把j # 线性系统分解成分段线性部 分与巢一非线性部分乏和，然后用对分段线性系统最优控制设计的方法设计了非 线性系统的搬优控荡性能的上下赛。 天津大学硕士学位论文 批外，对每一种系统的最优控制设计都绘出了仿真算例，说明了所设计的最 优控制方法及其所设计募法的有效挞。 全文构思如下： 第二章，首先绘如了分段线性系统的模型描述，为了能刹用系统分区的绩怠， 给出了连续矩阵和多面体单元界的定义，然艏利用系统的分区信息构造了分段二 次l y a p u n o v 函数，在此基础上给出y - ：次稳定性和分段二：次稳定性的媚关结暴。 所有的结论都是用l m i 的形式表示的。对分段微分包含系统和不确定分段线性 系统，围榉利用分段= 次l y a p u n o v 蕊数技术分析了棚应的稳定性结论。 第三章，首先给出了最优控制的一般问题，对分段线性系统，通过引入h 4 - b 不等式，并利用分段= 次l y a p u n o v 函数技术设计了最优控制性能的上下界。性 能上界黔优纯楚一组矬反馈增益为鲁伉参数的b m i 闻题，对_ f 毙基予遗传算法和 内点法设计了一种混含算法；而性能下界的设计是一组基予l m i 的毕正定规翅j 润戆，可以鞠内点法迸行求解。若搿获得的最优控制性髓上下秀相麓较，j 、，鬟 j 可 以认为所设计的方法软得了最优控制的近似解。用同样的方法分析丁分段线性微 分氇含系统秘不确定分段线缝系统静最谯控髑趣题，并给出了裙应的仿真算铡。 第四章，对非线性系统，熳优控制问题将遇到h j b 问题的求解，而h d - b 方稷的解辑解燕镊难得羽的。将菲线 生系统送李亍分段线性处骥，使褥其囊优接铡 设计问题可以在分段线性系统的框架下进彳亍求解，即利用第三章的设计方法分析 了# 线性系绫最往掩涮的性黪界。冀铡表秘方法静有效毪。 天津大学硕士学位论文 一。1 _ 1 。1 。”1 。_ _ h _ _ _ - 。h h 。_ _ _ _ _ 。_ - 。_ - - 一 2 1 模型描述 第二章p l s 稳定性分析 考虑一般的具有仿射形式的分段线性系统，其模型描述如下 苫出：芝箔：箸描 胤墨z ，c z 由 i y ( f ) - 昏( f ) + c f + 却( f ) ”“” 其中x e r “为连续的状态变量，“露为输入变量，y 掣为输出变量， ， 尽，c i ，皿，a 。，q 为相应维数的常值矩阵，闭的n 维凸多面体置r “称为单 元，假定各单元除了公共的边界外不再有重叠部分。x uz 称为系统的分区 ( p a r t i t i o n ) 。单元下标集，- lu ，其中，。为包含原点的单元下标集，1 为不包 含原点的单元下标集，对i ，假定q - q - 0 。 为了处理式( 2 1 ) 的仿射形式，引入如下的矩阵描述： 扑) _ ( 乏：) _ 州c f “ 由此式( 2 1 ) 可表示为 苫箔：茹冰：t j 撤五t ， c z 国 l y ( r ) - 审( t ) + 脚( ) 一”一 ” 为简化分析，本文不考虑滑动模运动( s l i d i n g m o d e s ) 3 1 ，即假定当“( f ) - 0 时 系统( 2 2 ) 对应的自治系统的轨道x ( o 不会在单元的边界上运动。 2 2p l s 稳定性分析 2 2 。1 二次稳定性 二次稳定性指的是系统的稳定性由一个二次型的l y a p u n o v 函数来判定。对 于线性系统。二次l y a p u n o v 函数的存在是系统渐进稳定的的充分必要条件。二 次l y a p u n o v 函数在对非线性系统的稳定性分析中也经常使用，许多都是将非线 性系统转化成如下的线性微分包含系统进行处理 膏而 4 x ，a ，工( 2 - 3 ) 为了分析其稳定性给出如下指数稳定性的引理： 为了分析其稳定性，给出如下指数稳定性的引理： 天津大学硕士学位论文 2 1 模型描述 第二章p l s 稳定性分析 考虑一般的具有仿射形式的分段线性系统其模型描述如下 僦：搿：端+ q u 譬t 撕飚洲p ，1 ) ，( f ) 一c i 工( f ) + c 。( ) 4 。一、。7 、。1 7 其中x e r 荧连续的状态变量，u e r 。为输入交羹，y 霞9 为输邀变量，蠢， 墨，c i 。d i ，口i ，c i 为相应维数的常值矩阵，闭的弹维凸多谳体爿；r “称为单 元，骰定各单元除了公共的边赛终不秀有茧整部分。盖一u 。，盖；称炎系统的分嚣 ( p a r t i t i o n ) 。单元下标集，一厶u 1 1 ，其中厶为包含原点的单元下标集，1 为不包 含朦患的单元下标集，对f 矗，假定a ；- 名一0 。 为了处理式( 2 - 1 ) 的仿射形式，引入如下的矩阵描述： 扑) _ ( o ra 。i ) _ 褂纠，。 赢庙匕式( 2 - 1 ) 可表示为 g 箔：霉拱：嚣珏 m 酋墨t 毫， c z - l y ) 一窜( f ) + 脚心 “。 、| 。 为简化分析，本文不考虑滑动模运动( s l i d i n gm o d e s ) 3 1 ，即假定当“( r ) 一。时 系统( 2 。2 ) 对应的自治系统的孰道x ) 不会在单元蛇边界上运动。 2 2p l s 稳定性努毫蓐 2 2 ，1 二次稳定性 二次稳定性指的是系统的稳定性由一个：次型的l y a p u n o v 函数来判定。对 于线性系统，二次l y a p u n o v 函数鹃存在是系统渐进稳定静的充分必簧条传。二 次l y a p u n o v 函数在对非线性系统的稳定性分析中也经常使用，许多都是将非线 性系统转傀戒如下的线性微分包含系统进檬处理 i e 丽j 4 x ，a t x ( 2 - 3 ) 为了势拆萁稳定幢，绘滋如下指数稳定经的弓l 瑷： 天津大学硕士学位论文 弓 i 璧2 1 1 1 2 1 设笫0 ) ： o ，嘞一掣，雨y ( ) ： o ，* ) 一敷为蘸增鞠分段连续霹 微的函数，对荣个y ，o 和p ，0 ，在【o ，m ) 上几乎处处满足 熹矿s - y l i 膏( t ) t 1 9( 2 珥) 磐存在攒，0 ，使得 口l l x ( t ) i f 9 五矿( f ) 墨pl l x ( o l l 9 ( 2 - 5 ) 更4 有妞o ) l 以指数形式趋子零，躲系统撩数稳定。如果潢足式( 2 ) 的最大的口为 负，那么l i m 耠( f ) 一* 。 其中 | | | 表示范数。 由以上分析并结食引理2 1 易得如下结论： 谢越2 1 l 嘲考虑系绞( 2 0 ) ，如果热优化耀题 驴。：? ，、i - 1 , z 。矗( 2 - 6 ) l g p 十氆戗 有解。那么系统的原点为全局指数稳定。 由命题2 1 容易得到如下的推论： 撵沦2 ，i 1 鸳考虑系统( 2 2 ) ，假定j l 寸任意f ，有吼。0 ，帮不考虑彷射形式， 如果优化条件( 2 - 6 ) 有个解，郝么系统( 2 2 ) 对应的“0 的标称系统的任意轨遂 z 篁，都戳指数形式趋予零，邸指数稳定。 肖雌器要粼断命题2 1 没荫公共的菠定矩阵鼹p ，则可以殿下嚣的黠偶瓣越 来判定； 命怒2 2 1 1 2 】如果存在正定矩阵r 满足 傀一碍，识 皇置鬈+ 绷，o ，江1 乒， p 7 ) 【趸 则命题2 1 没有公共的正定矩阵解p 。 叛上翕藤中弱条 串箴筠为l m i ，霹氍臻萋于内悫法的举宠撬燃求鳞，为我 m a f l a b 提供了相应的工具箱，计算非常方便。然而，二次稳定性在分析i l s 的 稳定瞧对具霄缀多不足之楚，下瑟遥避一个鬃俸戆铡予来说嚣。 例2 1 考虑如下p l s 酚 - 0 。tt 、 一1 0 0 1 j - 0 ，11 01 1 加1 | 鼍 屯 墨 镌 昝易著瞧，两个系统矩簿具有辐隧的特饺根并且郝是稳定的，势蔑通过仿真 醉 2 o o 、， 聃 碱 天津大学硕士学位论文 可知该分段系统是稳定的。眈如可以赢接刿定v ( x ) 一x t x 是系统的一个l y a p u n o v 函数。然而采用命题2 2 可以锝出满足条件( 2 7 ) 的解矩阵 叫三升强一f 酝弦命题2 , 1 不艟剿定系统麴稳定魏。 二次稳定性在分析p l s 时具有如下一些的不足之处。 蓠先，蒸鼍：二次l y a p u n o v 函数豹稳定穗分耩不辘处理镑射形式的系统，所 以即使是最简单的饱和线性系统也不能进行稳定性分析。其次，在系统的分析过 程中没存利用割系统熟分透镶患，浚穰将状淼空阕申麴苓弱摹嚣豹务个系统分嚣 进行分析，而悬将其嵌入一个全局的微分包禽系统之中进行研究，从丽太大的增 加了分析过程中弱保夺性。致步 ，实际应用串霄些系统不存在二次l y a p u n o v 函 数。 2 2 2 分段二次稳定憾 由上小节霹稚二次稳定瞧在分豁p l s 稳定性对是有攫大戆晨骧性，为骞效 分祈系统( 2 2 ) 的稳定性，引入连续雉阵及多面体单元界的定义。 建义2 。l b 2 1 ( 连续矩阵，c o n t i n u i t ym a t r i x ) 对单元置，矩陴露。( ef ) 称为连续矩阵，蓿满足 乖t ) 一嚣舅( ) 霁妇( ) 墨n x ，( 2 - 9 ) 并且糟对i 矗有五- 0 ，则称 霉 其肖霉箍值特性( z e r o i n t e r p o l a t i o n p r o p e r t y ) 。 孳l 理2 2 t 1 设 麓 。，为一多蔼体分医，嚣毫昱，。为一满足( 2 - 8 ) 的连续矩阵， 对一个矩阵t e r r , , ，标量函数 v ( x - 矿霉7 癣叁蓐嚣缸 ) 置i 尝， ( 2 l 妨 是分段二次烈的连续函数。糟 f 具有零插值特性，则存在d 和声，使碍 a l 聋麓t y 和) 参蓠 ( 2 * 1 1 ) 熟中，袭示欧氏范数。为了找出满足引理2 1 条件的能嚣函数矿( f ) ，需要 缲涯涵数静藏定性帮时闯导数灸负。对分段二次函数，正定条僻霹袭述为存在 口，0 ，使得下式成立 享7 蘑a l 陆爱搬g z i ，# ， 8 一1 2 ) 因此，对每个下标i ，都儒要判断是否存在某个正数d ，使得妒粒一a x 7 x 在 单元菇：上为芷。驮铡2 1 可双看出铡弼系统的分嚣髂意是； 甏重要弱，若壹攘对 所有的z r “进行j e 定性的判断，则会产生很大的保守性。为了处理这种在每个 单元上兹委定性裁定，弓l 入多霹体单元界懿定义； 天津大学硕士学位论文 定义2 2 1 1 2 1 ( 多西体单元羿，p o l y h e d r a lc e l lb o u n d i n g ) 矩阵丘- ( 韪e 。) 称为多蕊体单元界，装满足 蟊i ( f ) 0x c x ( t ) e x , ( 2 一1 3 ) 并且糟对f 如有岛一0 ，则称 巨 具有零插值特性。 $ | 理2 3 0 z 分段二二次函数芷定性翔据 考感分段二次函数 矿叫嚣嚣e x t , 诓i2 其中霉一舻，霉- 于，霹为满足式瑶1 3 ) 的显县有零援蕊特性豹多面体单元 界。如果存在元素均为非负的矩阵彬，使得 曼一璺，0 难如(2-15) 只一群噬羁0 ，1 那么存在g ，0 ，使褥对所有麴x x 都有v 0 0 ，8 渊i 戒立a 在以上的定义中，零插德特性是对包含原点区域稳定性分析的必要条件。引 入连续矩阵，可l 美构造如下形式的连续的分莰二次型标羹醺数 v ( x ) - 碧7 霹7 啦盎矿毋对x ( f ) 墨j ( 2 1 6 ) 褥弓 入多覆体单嚣赛萄隧结合s - p r o c e d u r e 【3 2 j 寒粼定式辖- 1 6 ) 的延定性，进 而得到分段线性系统的稳定性定理。 定理2 。1 【1 2 1 ( 分段二次稳定性) 若存在对称矩阵丁、配及彬，其中配和孵的元素均为非负，记露一曩竭， 霉一霞! 霞，漩足 f 群只+ 蹦+ 酵矾岛c 0f ， l e , - 霹谬鬈：- 0 穆1 7 ) 迂霉：跫霹u t 嚣“引t 啤一e 捌曩0 则当“( t ) - 0 时系统( 2 2 ) 对应的自治系统的任意轨道x ( r ) 专掣指数稳定。 定瑾说鞠；由s - p r o c e d u r e 可知，式q 1 7 ) 的各缀l m i 中的两个表达式依次 保证分段= 次函数矿新的时间导数小于零的性质及其正定性，从而能够成为系 统豹分段二次l y a p u u o v 涵数。由雩| 理2 1 及弓| 瑾2 2 易证系统的携数稳定性e 定理的详细证明可参阅文献【1 2 】e 翻用分段= 次稳定性毽论，就弼戳解决在2 。2 1 小节中：次稳定瞧理论不能 解决的问题。同样考虑例2 1 中的系统( 2 8 ) ，令最表示第f 个象限的单元界。具体 设 七如下： 天津大学硕士学位论文 e - 群一e s ( ：) ，e ：一一e 。崔( i ；：) ， 并取曩- 群) 7 ，援弓| 定理2 1 胃以褥到一个可行解为： y ( x ) _ 并7 x工x f ，i e l 所阻系统是稳定的。逄 戴铡甜戳看戮，虽然得出的绪论仍然可能是= 次稳定性， 但在罨找系统的l y a p u n o v 函数的过程中利用分区信息是非常燕要的。 2 3 分段线性微分包含系统的稳定性分析 2 3 1 问题描逑 分段线憔微分包禽系统的数学描述如下式所示 意f f ) 毒l l 龟x 0 ) + 口霈+ 嚣摭h ( f ) x c x ( t ) e x , i e i ( 2 “1 8 ) 其中- 6 6 袭示凸闭包，x 岜彤为连续的状态变量，“仨r ”为输入变量，y g r p 为输如变量，兹，淼，a 。为襁应维数静常馕矩阵，阙的挂臻凸多蔼体蔗；裂称 为单元，假定各单元除了公其的边界外不辩有重叠部分。搿- u 。，x 。称为系统 的分区。k ( i ) 为缀成单元墨的备个子系统的下橡蟊的絮会。单元下标集 ，厶u ，其中1 0 为包含原点的单元下标集，1 为不包含原点的单元下标集， 对f 磊，假定a - o “ 为了处理式( 2 - 1 8 ) 的仿射形式，引入如下的矩阵描述： 扑，五一( o ia 。1 ) ，最一。 为方便描述，将式( 2 1 8 ) 等价地震示成微分方稷的形式为： 圣( f 卜。磊。( 算) 五i ( f ) + 瓦群( f ) j 对x 墨7 ( 2 - 1 9 ) 其中锻伴m 且。磊、睁1 4 2 3 2 分黢线性微分包食系统稳定性结论 h 啄| 三l 将定理2 , 1 的结论进行推广，考虑如下线性微分包含系统( 2 1 9 ) 为了 保诞l y a p u n o v 函数溢着微分包含羽所有的解下洚，需要确保对组威每个蕈髭静 各个予系统叠4 x + 口。，l y a p u n o v 函数的时间导数都小于零。 定理2 ，2 阎( 微分包窘分段二次稳定憔) 若存在对称矩阵r 、u 。及彬，其中巩和彬的元素均为j b 负，记霹* e 7 碣， 霹- 零r 遵，满足 天津大举硕士举位论文 f 只+ 露 。+ 霹，。e ic o l 露一群彬e i 0 f 露霉+ 飘+ 耳丘t 0 l 霉一霹哦墨，0 弱当“f ) - o 懒( 2 1 9 ) 对斑的自治系统的饪意辘道笫( f ) x 指数稳定。类似子 定瑷2 。1 的诞鼹过穗易证所得结果。具体证骧过程参阅文献【2 2 l 。 2 4 一类不确定分段线性系统的稳定性分析 2 。4 1 问越描述 考虑如下的不确定分段线性控制系统 圣一( + 媳) x ( f ) + 镶+ 骘雄扛) ，蜘f ) 置i e i ( 2 - 2 1 ) 其中x e r ”为连续的状态变量，“e r “为输入变敷，4 ，e ，口f 为相应缏数 驰鬻德矩簿，阈熬撑维凸多联体置量r 4 称梵单元。假定各擎元除了公共酶逸赛 外没有重叠都分。髫一型z ，称为系统的分区。单元下标集，一厶u 厶，其中，。为 钰含藤点的单元下标集，t 为不包鸯原点斡单元下橱纂，对 厶，缎定8 ，- 0 。 矗为时变参数摄动阵，满足 媳一谚f 蜓( 2 - 2 2 ) 箕中置，曩均为已知的迩常阵，z ( f ) 为满足( f ) 7 ( t ) 量，的朱知的时受函 数簿。 为了处理形如( 2 2 1 ) 式的仿射系统，引入下列矩降描述； 瓣) _ ( 乏：) _ 褂 零- m 州鳗哆，鹾* ( 芝私最， 由此可将系统( 2 2 1 ) 等价地表述成； 嘉( ) t 五+ 蝠) 孑 ) + 蓐甜) ，对x f ) g 爱，f j 往一2 3 ) 2 。4 。2 不确定分段线燃系统的稳定憔结论 为了分析系统( 2 - 2 3 ) 的稳定性，先绘出如下的弓l 理。 l 理2 4 1 3 3 】设g ，日是其宵适当维数的矩阵，粪i j 对任意常数s ，0 及所 有满足j 的矩阵，以下不等式成曳； g 辩+ 嚣7 7 g 7 e g g 7 + “岸7 日嵇一2 4 ) 妨 口 、，、， o a k k 七 m “ f 天津大学硕士学位论文 将引理2 4 中的g 由一g 代替使得到如下推论。 搬论2 2 设g ，日是具有避当维数的矩阵，贝t 对任意常数，o 及历有 满足芝7 董，的矩阵z ，以下不等式成立： g + h 7 7g 7 + 8 g g 7 + p 。村7 好毫0( 2 - 2 5 ) g l 瑾2 。5 ( s c h u r 补公式【1 9 】) 对予矩阵s 及对称簸阵q 一，r - r 7 ，如下形 式的矩阵不簿式 f 曼翻，。( 2 - 2 6 )i s 7 尺j 等价予下列不等式成立 r o ，q s r “s 7 0( 2 - 2 7 ) 由定理2 1 、雩| 理2 4 及s c h u r 公式可维导出如下靛稳定性定理。 定理2 3 若存程常数岛 0 及对称矩阵t 、u ，和磁，其中u ；和弼的元襞均 为 受，记露- 互惩，霉- 霉7 璃，满足 好即脚絮州。衄： i 群雕蠕t 霉 俨塌十雾，职 【霉弼蘑t 霉 只鼍1 。0 一_ 1 | 1i i b 。，( 2 - 2 8 ) 霉鼍f1 。0 一_ | 1t i t 则当“( t ) - 0 时系统( 2 。2 3 ) 对应的自治系统的任意轨邀z ( f ) 毫x 指数稳定- 证明：幽( 2 艺8 ) w 得 孵塥+ 雾闻厦景) 到剃( 2 - 2 9 ) l 冒霉一# i j “ f 7 旧w 磊s 霉 由式秘2 9 ) 及s c h u r 於公式可褥 翟耳+ 鼍夏+ 霹u 蓐i + e 爵；豆t + s 禹西霞疑a 0 结合萼 瑷2 4 霹褥 刁露+ 藤+ 耳q 届+ 鹂最+ 研三7 辞露o 邵五十蕊2 霉+ 霉五+ 龌) + 霉弘萎o ( 2 - 3 0 ) 令五皇五+ 峨，则由式( 2 3 0 ) 及定葺1 2 1 易知系统( 2 2 3 ) 对应的自治系统指数 稳宠。 必津大学礤士学位论文 2 4 3 不确定势段线性系统的蔽馈镇定 嚣小节分析了不确定分段线性皇溃系统粒稳定性，然褥在实际工程应蘑中往 往要对不稳定的系统进行镇定设计，即要寻找一个控制律使闭环系统稳定。给出 如下定义。 定义2 3 ：若存在如下分段线性控制律 稚- 一霹i ，蔗萎，i e l( 2 3 1 ) 使得系统( 2 2 3 ) 在控制律( 2 3 1 ) 的作用下，闭环系统稳定，则称系统( 2 - 2 3 ) 能反馈 镇定。 类似于系统的稳定性分析，给出不确定分段线性系统的旋馈镇定结论。 定蘧2 4 整存在倦数；，o 及对称矩阵，、峨和彬，其中磙和联的元素均 为非负，记霉一曩弛，辱一霉。璃，满足 f f ( 蠢一甄) 露+ 霉( 4 一甄) + 缓+ s ，h r h ； 何霉 l 巧彬墨c 霉 f f ( 五一甄厂霹十露( 五一蟊) + 磊+ s ，群蟊 l回声 l 耳彬磊c 霹 煲q 在控制律( 2 - 3 d 的佟用下，系绕( 2 2 3 ) 反馈镇定t 禚明过程筠定理2 3 相同，在此从略。 d f | 翼 o o 艇妒 藕础 天津大学硕士攀毽论文 第三章p l s 矮髓控制设计 裁蔼鹃攀萤铡麓系统晌努区倍感搦遗密系统的分段二次l y a p u n o v 蘧数，分 析了蘩绫熬稳定牲。辩系羧鹩最撬整制，出予量差0 一b 方程静维数灾翘嚣嚣难殴蕊 解，奉章基于h - j - b 不等式和分段= _ 次l y a p u n o v 函数技术将蠼优控制问题转化 艘b l v l i 瓣繇，势对b m i 邂舔设诗了一辩滔台算洼煞嚣透露蠢效魄袋瓣。 3 , ip l s 的最慌控制 3 。1 。1 阕疆搓逮 考虑如下p l s 的二次黢德控制阎赋 然缫鼍：撕嘲矧 岁一犁 串岛串翠( 吩 4 ”一“一 吖 其中各参数弱其体猕述见系统( 2 1 ) ，筏囊优撵利性能攒糠为 ，( ，“) 一f 仁( ，磊。尹o + “( f ) 7 r 。严( r ) ) d ( 3 - 2 ) 缀定黪矗，蠢 磊一f 譬：j 一秘 且题拳正定，尽正激。j ( f ) 为x ( f ) 所在单元的下标n 考虑弛下饕务段线链爱馈控制簿 。 “一一k 并一毫一一茂i ，x 苣置，f ，鞠一4 ) 土式中。对l 毫矗有恕* 0 。将控制律嫒计成分毅线性形式能路闭环系统的 稳宠镶盈其控制毪黥努橱带来更丈麓灵活躞，讴若掰设计的控制律猩单元的泣爨 楚葶连续，潮鸯可能譬致耀环系统漕潮禳戆产垒f 1 2 蚤为越发将弪锱簿设计藏连 续的，其增