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4.1不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质四、基本积分公式五、不定积分的求法,前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻的速度，要求物体的运动方程：。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。,一、原函数与不定积分的概念,1.原函数：设是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，使对于该区间任意，都有关系式：或成立，则称函数为函数在该区间上的一个原函数。,例,又因为：,所以显然，都是的一个原函数。,由此不难得出：,（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。,（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。,（3）若为的一个原函数，则表示的所有原函数。,2.不定积分的定义：,设是在区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数（c为任意常数）,3.如何求不定积分,称为在该区间I上的不定积分。,即：,例1,解：,例2,解：,求,因为,因为,例3,求,因为,结论,（3）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。,（1）求函数的不定积分就是求的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数C即可。,（2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。,二、不定积分的几何意义,如下图所示：,例4设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,2019/12/12,13,可编辑,三、不定积分的性质,定理1微分运算与积分运算互为逆运算，即,定理2,定理3,积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。,四、基本积分公式,将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。,基本积分表,是常数);,基本积分表,1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）,解,根据幂函数的积分公式,例5求下列函数的不定积分,（恒等变形法）,五、不定积分的求法：,(1),解:,解:原式,例6求下列函数的不定积分,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解：原式,解,所求曲线方程为,3.基本积分表；,5.不定积分的（线性）性质；,1.原函数的概念：；,2.不定积分的概念：；,4.求微分与求积分的互逆关系
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