（计算数学专业论文）一类含时滞反馈阻尼振子周期解的解析近似与计算.pdf

中文摘要 摘要 阻尼振子是机械工程、航空航天、地震科学等领域一类经典的数学模型，已得到了 广泛的应用，而时滞反馈控制已成为控制振动灾害或振动理论运用的主要方法之一。本 文主要研究了一类含时滞反馈阻尼振子的h o p 份歧及其周期解的计算方法。我们将经典 的l i a p 眦o r _ s c h l l l i d t 约化方法用于阻尼振子时滞系统周期解的解析近似，并构造振子模 型的配点法进行周期解的数值近似，最后通过两种近似方法的比较验证结果的有效性。 我们在本文中做了如下工作： 首先，我们对一类含时滞反馈阻尼振子进行分析，讨论了模型中物理参数应满足的存 在h o p f 分歧点的条件。 其次，我们利用l i a p u n o v s c h l i l i d t 约化方法，得到了该阻尼振子模型分歧方程的近 似解析表达式以及物理参数与分歧参数的近似关系，并推导得出了它在h o p 盼歧点处和 分歧点附近周期解的近似解析表达式。 最后，我们研究了求解该类含时滞反馈阻尼振子周期解的配点法，构造分段 三次h 血t e 多项式逼近周期解。对于模型离散化后得到的非线性方程组，我们采 用n e w t o n 迭代法求解。我们利用l i a p u n o v s c h i i l i d t 约化得到的低阶近似周期解的结论，解 决了h 0 p 盼歧点附近计算周期解n e w t 伽迭代法的初始值选取问题。同时将数值例子的计 算结果与前一部分得到的近似解析周期解比较我们发现，两者误差很小。该方法算法简 单并且也有很好的收敛性。 关键词：阻尼振子；时滞；h 0 p 盼歧；周期解；l i a p u v s c h i i l i d t 约化方法； 配点法。 第1 页 上海师范大学硕士论文 a b s t r a c t d 锄p e dh 明n 0 血co s c i l l a t i d ri sa c i 舔s i c a lm a l e m 撕c a lm o d e lw h i c hh 私b e 钮w i d e l y 岫e d i nm e c h a n i c a l 朋g i l l e e r i n g ，a e s p a c e ，e a n h q ua _ k es c i 锄c e ，e t c m o r c 0 v e r t h ed e l a y e df 色e d b a c k c o n 臼o lh 弱b c 圮o m e e0 fm em a i nm e t l l o d su s e di nv i b 血o nc o n t i d l i i lt l l i st 1 1 e s i s ，w ec o n c 铋- 劬t c 龇a l y s i s 孤dc o m p u t a l i o fad 锄p e dh a 册o i l i co s c i l l a t o rw i md e l a y e df e e d b a c k w | e u s el i a p 岫0 v s c h i i l i d tr e d u c t i 删；t l l o dt 0 印p r o x i n l a t ep e r i o d i cs o l u t i o n s0 fd 锄p e dh 锄m o n i c o s c i l l a t o rw i md e l a y 酣f e e d b a c k 觚a 1 ) ，t i c a y 卸du s ec o l l o c 撕m e t l l o dt 0s o l v et h em o d e l 眦- m e l i c a l l y f u n i l e 力n o r c ，w es h o wt l l ev a l i d 埘0 fo i l rm e t h o d sb ym e 觚s0 fc o m p a r i n gt l l et w o b n d so fa p p r o x i m a t e 陀s u l t s f i 璐t l y ，w ei n v e s t i g a t e 吐l eh o p f b i 觚撕o n 0 fad a m p e do s c i l l a t o rw i n ld e l a y c d 耽d b a c k w e d i s c u s sm ep h y s i c a lp 硼衄e t e rc o n d i t i o n sw h e nh o p fb i f u r c 撕o n0 c c u r s s e c o n d l y ，n e 缸t h eh o p fb i f h r c a i i o np o i 酏w eo b t a i nm ea p p r o x i m a t e 粕a l 妒cp e i i o d i cs o - l u t i o n sw h i c hb i f u r c 纳e df 如mt h e i v i a ls o l u t i o no ft h ed a m p e do s c i l l a t o rb yl i a p u n o v - s c h m i d t 川u c t i o nm e t t l o d f i n a l l y w ec o m p a f et l l ea p p f o x i m a t e 觚a l y l i cp 砸o d i cs o l 嘶o nw i 血t h e 肌m 丽c a l 豫s u l t s ， w l l i c ha 陀c o i n p u t e db ym ec o l l o c a l i o nm e l o db a s 酣o np i e c e w i s eh e n i l i t cp o l y n o m i a l s w b u l o wo r d e ra p p r o x i i i l a t e 龃a l 妒cs o l u t i 吼雒m e 硒t i a lv a l u e0 fn 聃吨o ni t e m t i v em e t h o d n e n u m 嘶c a l 坨s u l t sa 坨i nl i n ew 弛t h et l i g ho r d e ra p p r o x i m a t e 跚a l y 血s o l 嘶0 n m 伽e o v t l l e a l g 砸l m i s e 硒y t 0u k e yw b r d s ：d 锄p e do s c i l l a t o r ；d e l a y ；h 0 p f b i 觚撕0 n ：p e i i o d i cs o l u t i o n s ；l i a p u n o v - s c 概d t 删u c t i o n ：c o n o c a t i m e t h o d 第页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：逍互辇 作者签名：蝎2 ：豁 日期：峰咖i j 璺。陌笈龟郭壤 导师签名：! ! ：竺 日期：兰! ：! ：12 第一章绪论 第一章绪论 1 1研究背景 非线性问题大量出现在物理、力学、生物等学科与工程问题中，其理论与应用也是相 关领域的研究热点。 在经典物理中，质点在线性恢复力的作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动。由 牛顿运动定律可知作简谐振动的振子动力学方程为二阶微分方程，而加上阻尼即加上一 阶项。因此，分析阻尼振子的运动情况就是要研究其动力方程，含有一阶导数项的二阶 微分方程，这类振子的运动状态与一阶导的系数阻尼系数有关。简谐振子大量出现在力 学、物理学、化学、生物学、生态学、医学、控制论、工程技术乃至经济学等诸多领 域，其动力方程的研究很有意义。 所谓时滞动力系统，是指系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于系统 过去某段时间或若干时刻的状态。严格来说，由于时间上的延误，动力学系统中出现时 滞是无法避免的，即使以光速传递的信息系统也不例外。另外，时滞动力系统的解与过 去某段时间的状态相关，其初值就不是某一个点，而是一段函数，这样与常微分方程描 述的动力系统不一样，时滞动力系统的解空间是无限维的，其理论分析变得很复杂。因 此，时滞微分方程的研究很富有挑战。 时滞经常导致系统的定性状态发生变化，从而产生了分歧，在这些分歧中研究最多 的是h o p 盼歧，h 0 p 份歧点是研究动力学的关键，随着参数的变化，会有一族周期解 在h o p 盼歧点处从平衡解分歧出来，分歧点提供了这族周期解的初始值信息，因此一般 研究周期解离不开h o p 份歧点的研究。周期解是时滞动力系统中的重要部分，周期现象 在自然界中普遍存在。含时滞反馈的阻尼振子的研究近年来大量应用于时滞反馈控制， 因此，作为一种时滞动力学问题，含时滞反馈的阻尼振子，其h 0 p 份歧点的分析，周期 解的研究非常有意义。由于计算机和计算技术的迅速发展，人们逐渐不满足于先前的理 论分析的结果，而对周期解的位置、大小、形状越来越感兴趣，重点慢慢转移到研究周 期解性态的数值计算上来，借助计算机编程软件，这种方法实现起来更便利，而且非常 直观。因此，研究含时滞的反馈阻尼振子的h o p 盼歧点、周期解及其分歧的数值计算方 法是一个很有应用价值的课题。 1 2 文献综述 时滞微分方程的一般形式为【l ，2 ，3 4 】 t 似) = ，( t ，口1 ( 舌，仳( 亡) ) ，咖( 亡，让( ) ) ，孟 幻， ( 1 1 ) 第l 页 这里仳和，是n 维向量函数，含时滞量的函数q f ( t ，y ( t ) ) 满足 q l ( t ，t 正( 亡) ) 兰t 一力( ，仳( t ) ) ， l l 七，非负函数n ( t ，钍( t ) ) 为( 可能) 与时间和状态有关的时滞量。 时滞微分方程h o p 份歧分析一般采用的是h o p 盼歧定理 5 】、中心流形分析方 法【6 ，7 ，8 ，9 】，近年来也有些是采用l i a p u n o v - s c h i i l i d t 约化方法 1 ，2 ，3 ，4 】。 郭谦与李常品在【3 】中用l i a p u n o v s c h 血d t 约化方法研究了二阶时滞微分方程 象+ 4 嗽( t 叫+ ，( 班。， ( 1 2 ) 其中p 0 作为分歧参数，其线性化的特征方程为 入2 + 4 7 r 2 7 2 p e a = o ， 研究结论表明方程( 1 2 ) 在= 笔处发生h 0 p 份歧，并在其附近存在非零周期解。 在研究机床颤振的非线性振动理论中，c a m p b e l l 【6 ，7 】伍炯宇【8 ，9 】与等研究了方程 窘+ n 象+ 6 ) 一础叫= 脚，叫) ， ( 1 3 ) 其中o 0 ，6 c 0 。 【6 7 】中 r ( z ( 力，z 一r ) ) ：万f f 石趸万+ 七r ( z ( t ) ，z 一r ) ) 2 万f f 石趸万 _ 页丽+ 七， 【8 ，9 中， r ( z ( 亡) ，。o 一丁) ) = 一铲( 晒z 2 + 6 尻z 3 + c 惫l 1 s 2 + c l 克2 1 s 3 ) + r l z 2 + 仡z 3 + 您l s 2 + r 4 1 s 3 ， 其中，1 s = ( z ( ) 一z 一1 ) ) ，l = 1 ，2 ，3 ，r 1 = 一铲6 p l ，r 2 = 一t 2 6 侥，r 3 = 一铲c l 七l ，r 4 = 一严c 2 ， 方程( 1 3 ) 在o = 0 时对应的线性化系统有特征方程 入2 + 口入+ 6 一c e 一灯= 0 他们通过分析该特征方程得到了一些关于简单h 叩份歧参数、超临界h 叩f 分歧参数以及 次临界h o p f 分歧参数应满足的关系式。 王怀磊和胡海岩在【1 0 】中研究了方程 象+ 2 蛐象+ 谁+ 础z 3 = 斌一下) + 勘蛐型， ( 1 - 4 ) 第2 页 第一章绪论 其中， 0 ，蛳 0 。方程( 1 4 ) 在z = 0 时对应的线性化系统有特征方程 入2 + 2 咖a + 荫删3 e 一打一口蛐入e 一 下= o 一些中国和欧美数学家对较为一般的包含一个或多个滞时的系统，得到了周期解存在 性的许多新结果【11 2 7 】。 对于含时滞反馈的简谐振子周期解的分析，【6 ，7 ，8 ，9 】中都是应用中心流形方法进行近 似，l i a p u n o v s c 城d t 约化方法在近似周期解时更简便直观。 现有的有关时滞微分方程的程序包有a r c h i ，d k l a g 6 ，x p p a l 丌，d d v e r k 和d d e b i 兀o o l ，参见【2 8 3 l 】。其中k p h a d e l e r 在【3 2 】中用打靶法来进行时滞微分方程 周期解的数值计算，这种方法在进行迭代时j a c o b i 矩阵主要是由对初值函数求导得到， 维数较多，为了节省计算工作量，d r 0 0 s e ，t l u z y a i l i n a ，k e n g e l b o r g h s ，k l u s t 等人 在【3 3 3 7 】中在此基础上引入n e w t o n p i c 枷方法。k e n g e l b o 略h s 等人的d d e b 矾l o o l 重点 涉及时滞微分方程周期解的数值计算，采用的是基于l a g r a n g e 多项式的配点法。杨忠华， 郭谦在【4 】中用h 阴皿i t e 多项式作为基函数研究了一类时滞微分方程的周期解，后来郭谦， 李常品在【3 】中又采用基于h e n i l i t e 多项式的配点法，相对来说，在构造格式上更简单。 1 3我们研究的方法 本文研究如下时滞微分方程类二阶含时滞反馈阻尼振子的h o p 盼歧问题： 童+ 触+ 口z = d l z 一7 ) + d j z 2 一r ) ，( 1 5 ) 其中d l 0 ，时滞量作为分歧参数7 - 0 ，q ，p ，d 2 r 在此之前对时滞微分方程的h o p f 分歧分析已经有不少结果，但是具体分析分歧点附近 周期解的并不多，而且大多数采用中心流型方法。 本文中我们用l y a p u n o v - s c h m i d t 约化方法研究关于( 1 5 ) 的h 0 p 份歧分析，并给出了周期解 的解析近似和数值计算。 第一部分进行h 0 p 盼歧分析，对 t i + 卢砬+ 口u = ，( 嘶) ，t r 全钍 一7 ) ， ( 1 6 ) 这类方程的参数分类讨论，根据h o p f 分歧定理得到两个分歧条件。 第二部分中我们采用l y a p u n o v - s c h m i d t 约化方法具体分析了方程( 1 5 ) 在h o p 盼歧点附近的 周期解的近似表达式。 l i a p u n o v s c 蛳d t 约化方法( 见【1 ，2 ，3 ，4 】等) 的基本思想是把一个( 可能是) 无穷维空间x 中的 参数方程 ，( t i ，r ) = 0 ，t x 第3 页 上海师范大学硕士论文 化为与之等价的两组方程，其中个方程一般是属于有限维空间，根据隐函数定理可以 把另一个方程相应的解求解出来，再将此解代入有穷维空问中的方程，可以得到保持原 方程，( u ，丁) = 0 分歧特性不变的较低维的方程，即分歧方程。 l i a p u n o v s c h i i l i d t 约化方法的过程整体上可以分为如下几步【1 ，2 ，3 ，4 】： l 、空间分解。对原方程，= 0 ，定义线性算子及其共轭算子塌，l o u = ( o ) u ，可以 把解空间x 分解为l o 的零空间( l o ) 与其正交补m 的直和，所在的空间分解为瑞与三。的 值域空间的直和。因此把解空间分解为 t = z 妒+ u ，v 让x ，z 冗，妒( l o ) ，u m 2 、方程约化。定义厂所在的空间到( ) 上的投影p ，将，( t ，7 - ) = 0 ，“ x 在( 己o ) + 和兄( 三o ) 上投影可得 jp ，( z 十u ，r ) = o ， 【( ，一p ) 厂 妒+ u ，丁) = o 、 3 、隐函数定理。改写日( z 咖，7 - ) = ( j p ) ，( z 妒+ u ，r ) = o ，显然有日( o ，o ，o ) = 0 ，玩( o ，0 ，0 ) 存在逆算子，由隐函数存在定理知道存在u = u ( z ，7 ) 满足日( z 咖，u ，7 ) = 0 。 4 、分歧方程。将u = u ( z ，r ) 代入p ，( z 十u ，丁) = o 即可得到分歧方程。 5 、分歧方程近似解析表达式及非平凡分歧解的近似解析表达式。将( j p ) ，( z 妒+ u ，7 ) = 0 在分歧点处求导求出u 的近似表达式，再代入分歧方程p ，( z 咖+ u ，r ) = 0 可求出 分歧方程的近似表达式。 在第三部分中，我们利用l i a p u v s c h 皿d t 约化方法并结合基于分片h 锄【i l i t e 插值多 项式的配点法求解h o p 份歧点附近的周期解枝【1 ，2 ，3 ，4 】。 首先作变换，因为是周期解，故把求解方程( 1 5 ) 的周期解看成是求解下面时滞微分方 程边值问题 f 掣卅t 掣2 咖s ，呦一扣如2 晰( s 一拟 1 “( o ) 2 乱( 1 ) ， ( 1 7 i p ( 缸，丁) 盎o ， 这里下丁是方程( 1 5 ) 对应的周期解的周期，p ( z ，r ) = 0 是选取的合适的相条件。转化 之后，原问题的未知参数7 周期r 也可以确定出来。 第4 贞 第一章绪论 其次，为了求解得到u ( s ) ，我们使用分段三次h 咖沁多项式作为u ( s ) 的近似 工 铭( 8 ) = ( 札t 五( s ) + u ：仇( s ) ) ， i = 0 这里的u t ，缸：是要求的未知量， ( 8 ) ，吼( s ) 是分段插值函数的基函数。采用配点法求 解( 1 7 ) 可得到以下配点方程 掣+ 印t 掣2 纸( 铆) = r 2 t 2 ( d z ( s 一李+ 1 ) + d 2 气一事+ 1 ) ) 2 ) 当c j 一争 o 其中c i j ：= s + c f ( z = l ，2 ) 是【s i ，s 件l 】中的两个配置点，c 1 ，q 取为【o ，l 】上的2 阶g a u s s l e g e n d r e 点c l = ( 1 一击) ，c 2 = ( 1 + 击) 。 最后，我们要求解的就是由配点方程( 1 8 ) 、边界条件以及相条件联立所得的非线性方 程组，可以采用n e w t o n 法求解，初始值就取h o p 份歧点处。 通过数值例子与解析解比较我们发现该方法很有效，而且用h e 咖i t e 插值同样适合于 求解微分方程，在构造格式时也比较简单。 1 4本文主要内容和结构 全文共分四章，其它三章内容按下面方式组织： 在第二章中，通过分析一类时微分方程( 1 6 ) 的线性化方程的特征方程，讨论其参数，利 用h o p 盼歧定理得到出现h o p 盼歧点的条件。 在第三章中，采用l y a p u n o v s c h m i d t 约化方法得到方程( 1 5 ) 在h o p f 分歧点附近周期解 的近似解析表达式及分歧方程的近似表达式。 在第四章中，主要讨论用l i a p u n o v s c l l i i l i d t 约化方法结合分片h 明【n i t e 插值多项式构 造求时滞微分方程周期解的配点法格式，计算了时滞方程( 1 5 ) 。并且将此数值结果与第 三章中的近似解析结果进行了比较，证实了用l i a p u n o v s c 腼d t 约化方法求解滞时微分 方程周期解的有效性与可行性，发现理论分析结果和数值结果吻合。 第5 页 上海师范大学硕士论文 第二章h o p f 分歧分析 2 1模型变换 本文我们研究的是一类含时滞反馈的阻尼振子 乏+ p 三+ q z = ，( 御) ，( 2 1 ) 其中参数q ，p r ，p 0 ，务会z o 一7 ) ，时滞量丁r + z ( t ) ，其中2 ( 亡) 代表t 时刻的位置 和速度，是代表位置反馈的非线性光滑函数，此函数是含时滞的反馈阻尼振子的一般形 式。据我们所知，因为它的解相当复杂，因此我们对它的周期解进行近似解析。 方程( 2 1 ) 的稳态解z + 的分析如下 口z = ，( z ) ，( 务) 的泰勒级数展开式在名= z 4 处为 胞) - ，( + 乳( 础叫。) + 三荔( h h + ) 2 + d ( ( 名( t 一下) 一名+ ) 3 ) ( 2 - 2 ) 由( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，令三( t ) = z ( t ) 一z + ，我们得到 筹+ 卢鬈+ a 2 - d 1 印叫+ 舻( t 叫+ d ( 张t 叫) ， 其中d r ，l = 矗筹l 矿，m = 1 ，2 ， 我们把时滞量作为分歧参数，新变量定义为= 亡7 重写方程( 2 3 ) 得 象+ r p 筹q 砬一m ( 叫础( - 1 ) + d ( 硪_ 1 ) ) ， 其中砬( ) 全2 ) ，也( 一1 ) 全乏( t 下) 2 2h o p f 分歧条件 首先引入h o p f 分歧定理【5 】： 引理2 1 我们考虑单参数的下面形式的微分方程： ( 2 3 ) ( 2 4 ) 圣( t ) = f ( 口，咖) ，( 2 5 ) 其中f ( q ，) 对一切q r ，妒c 有连续的一阶二阶导数。并且满足f ( q ，0 ) = 0 。定 义l ：r c 叫舻如下 l ( 口) 妒= d 西f ( q ，o ) 妒， 第6 页 第二章h o p 份歧分析 d 西f ( q ，o ) 是f ( q ，妒) 在= o 处的导数。 下面是两个假设： ( h1 ) ：l ( o ) 存在一对纯虚特征值入o = 士t t 7 0 0 ，所有 其它知的特征值m 入1 ，2 ，m 为任何整数。 ( h 2 ) ：冗e 入，( 0 ) 0 假设( h 1 ) ，( h 2 ) 意味着方程( 2 5 ) 有周期近似为r = 票的周期解 由引理2 1 可知，如果q ，p ，和d 1 满足如下任何条件之一： g ) 2 q 卢2 ，q 2 o 4 ( q 2 一霹) ， 则有 ( 1 ) 方程( 2 3 ) 的线性化方程有一对纯虚根 知= 士i 玩= 士z 对于所有的根，如果入o ，k ，则对任意整数m 有m 知这里分歧参数的 临界点为罚= 击n ，c s 轨( 一与乎) ( 2 ) 乌掣l r 跏= 訾o ， 其中1 垒 ( p + d l c d s ( b o ) ) 2 + ( d 1 伯觚佗( 风) 一2 风) 2 ， 2 垒 ( p 2 2 q ) 2 4 ( q 2 一d i ) 证明：( 1 ) 很显然方程( 2 3 ) 的线性化方程有特征方程 a 2 + p a + q d l e h = 0 ，( 2 6 ) 令入= b ( 丁) t 代入( 2 6 ) 分离实部虚部得到 一b 2 ( 丁) + 口= d l c o s ( b ( r ) 丁) ， b ( 7 - ) = 一d l s i 铊( b ( 7 ) 7 ) ， 整理得 b 4 p ) + ( 俨一2 口) b 2 ( 7 ) + 口2 一毋= o 因此在( i ) 或者 知= 士i 玩= 第7 页 上海师范大学硕士论文 由p b ( 7 - ) = 一d l s i n b ( r ) 7 可得临界点匍= 南。r c s 讯( 一 由证明过程可以看出，特征方程仅有这对纯虚根。 ( 2 ) a = a ( 7 - ) + b ( 7 i ) i 代入( 2 6 ) 得到 ) 。 a 2 ( 7 - ) 一b ( 7 - ) 2 + p a p ) + a = d l e a ( r ) r c d s ( b ( 7 ) 丁) ， 2 a ( r ) b ( 7 ) + p b ( 7 _ ) = 一d l e a ( r ) f 斫死( b ( 7 - ) 7 - ) ， 对7 求导后在匍处取值，则有如下方程组 ( p + d 。c d s ( 风匍) ) 筹+ ( d 。丁o s t 钆( 玩两) 一2 岛) 筹= 一d ，j e i 。s 饥( 岛内) 一( d 。勺s i 礼( 风两) 一2 b 。) 筹+ + d ，s ( b 。而) ) 筹= 一d ，岛8 ( 玩而) 解之得 丝i ，一：二垡! 鱼( 壁璺竺( 鱼2 2 ! 鱼( 垒! 竺( 鱼垒1 2 ：堡! 叠! 壁二! 竺! 嬖2 ：生壁垒 石h 铀2 石一。五一2 盲 当d 1 o 时，筹i r ：两0 0 根据引理2 1 ，( 色，丁) = ( 0 ，伯) 是( 2 3 ) 的h o p 份歧点，并周期解从( 2 3 ) 的平凡解处分 歧出来 第8 页 第三章l y a p u n o v s c h i i l i d t 约化方法 第三章l y a p u n o v - s c h m i d t 约化方法 3 1 方程在分歧点附近的l i a p u n o v s c h i i l i d t 约化过程 下面主要讨论在分歧点附近，方程( 1 5 ) 的周期解族将如何从h 叩盼歧点处 分歧出来的情形。 令= 睾，让( ) = z ( 下) ，方程( 1 5 ) 变为 警+ 丁卢警+ 。 呐r 2 札( 1 ) + 矿( u ( - 1 ) ) 2 ( 3 1 ) 令7 - = 匍+ e ，s = ( 1 + 七) ，为了简便，方程( 3 1 ) 变为 卿 ，帖( 1 删2 掣+ ( 罚川( 1 州卢掣 + ( 罚+ e ) 2 ( q t 正( s ) 一d l t 正( s 一( 1 + 七) ) 一d 2 ( t 正( s 一( 1 + 后) ) ) 2 ) ( 3 2 ) 因此方程( 3 2 ) 的周期为t 的周期解对应于方程( 1 5 ) 的周期为( 匍+ e ) t 的周期解 下面采用l i a p u n o v s c h m i ( 1 t 约化，具体过程如下 l 、空间分解。 令 q 【0 ，等】= u 伊( 一o 。，o 。) i u ( s ) = 让( s + 等) ， 睇 。，鲁】= 仳c 2 ( 一o o ，) m s ) = 牡( s + 等) ， 此时f ( 仳，南) 是四 o ，簪】酞r 到c 暑【o ，簪】的映射方程( 3 2 ) 关于平凡解的线性 化方程为 如：巧( 0 0 j 0 ) t ，= 掣+ 匍p 掣+ 口霄小) “话小- 1 ) o ( 3 3 ) 其共轭方程为 脚= 对( o 0 ，。) 口= 掣一匍卢掣+ q 豸巾) “话小+ 1 ) - 0 ( 3 4 ) 第9 页 上海师范大学硕士论文 显然 ( l o ) = 号p 口礼 s z 礼n s ，c d s n s ) ， ( 工；) = 号z m 扎 s i 佗佗s ，s 礼s ) ， 这里( 工o ) 和( l 6 ) 分别是和l ；的零空间我们作如下分解： 四 o ，等】- ( l o ) om 晖【o ，等】= ( ；) o 冗( l o ) 这里m = q o ，簪 n ( l o ) 上2 、方程约化。 定义投影算子q ：c 暑【o ，簪】_ ( 三5 ) p ：c 针o ，辋_ r ( ) 如下： q t ，= s 打l 竹s + c d s 佗s ， 其中内积定义为 令 p 影= u q t 7 。 = 罢z ” 口。d s 呈互 。= ， 1 口2 d s 7 r ，n 心( s ) = z s z 死佗5 + 秒c d s 礼s + t ，( s ) ， 这里伽( s ) m 方程( 3 2 ) 在r ( l o ) 和( l ；) 上投影得到 其中 p ( f ( u ；z ，可，后) ) = 0 ， ( f ( u ；z ，暑，g ，庇) ，s i n 礼s ) = o ， ( f ( u ；z ，剪，e ，七) ，c d s 佗s ) = o ， f ( u ；z ，可，七) 全( 1 + 七) 2 ( 一n 2 z s i 住n s n 2 箩c d 8 礼s + 譬甾拿) + p ( 丁0 + e ) ( 1 + 七) ( 礼z c d s n s n 秒s i 佗n s + 些掣) + 口( 伯+ e ) 2 ( z s i 佗扎s + 暑，c d s n 8 + u ( s ) ) 一d l ( 勺+ ) 2 ( 。s i n 仃( s 一( 1 + 后) ) + 暑，s n ( s 一( 1 + 后) ) + ( s 一( 1 + 七) ) ) 一d 2 ( 伯+ e ) 2 ( 。s i n 亿( s 一( 1 + 七) ) + y c d s n ( 5 一( 1 + 危) ) + u ( s 一( 1 + 惫) ) ) 2 第1 0 页 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 第三章l y a p u n o v s c h t n i d t 约化方法 3 、隐函数定理。 显然 f ( o ；o ，o ，o ，o ) = o ， 兄( 0 ；0 ，0 ，0 ，0 ) = p l o = l o l o 在m 上是正则的由隐函数定理可求出方程( 3 5 ) 的解 叫( s ) = 叫( s ；z ，暑，e ，尼) ，( 3 8 ) 满足幻( s ；0 ，0 ，0 ，0 ) 三0 4 、分歧方程。 将( 3 8 ) 分别代入( 3 6 ) ，( 3 7 ) ，与( 3 6 ) ，( 3 7 ) 等价的分歧方程如下： 夕( z ，e ，后) = ( f ( u ；z ，) ，s i n 礼s ) = 一n 2 z 一( 勺+ ) p 佗秒+ ( 勺+ ) 2 q z d 1 ( 而+ 5 ) 2 z c d s n d 1 ( + ) 2 箩s i 佗礼一d 2 ( 罚+ ) 2 ( u 2 ( s 一1 ) + 2 z s z 佗竹( s 一1 ) u ( s 一1 ) + 2 y c d s n ( s 1 ) u ( s 一1 ) ，s 打l 佗s ) ( z ，y ，e ) = ( f ( u ；z ，y ，) ，c d s n s ) = 一n 2 箩+ ( 7 b + ) p 礼z + ( 7 b + e ) 2 a + d 1 ( 罚+ ) 2 z s i n 他一d 1 ( 丁b + e ) 2 3 ，c d s 礼一d 2 ( 罚+ g ) 2 ( u 2 ( s 一1 ) + 2 2 8 t n n ( s 一1 ) u ( 8 1 ) + 2 矽c d s 竹( s 一1 ) u ( s 一1 ) ，c d s n s ) 5 、分歧方程近似解析表达式及周期解的近似解析表达式。 为了得到方程( 1 5 ) 在h o p 份歧点附近的周期解的进一步信息，需要求出分歧 方程( 3 6 ) ，( 3 7 ) 及加( s ；z ，秒，e ，后) 的近似解析表达式。下面的3 1 1 求出了分歧方程 和t u ( s ；z ，耖，七) 的近似解析表达式，并给出了周期解的近似解析表达式。 3 1 1分歧点附近的分析 l 、为了得到分歧方程近似解析表达式及周期解的近似解析表达式，首先我们有 以下的引理： 引理3 1 如果口( s ) m 满足 掣+ 匍p 掣+ 口碚小) “靠小- 1 ) _ 0 ( 3 9 ) 第1 l 页 上海师范大学硕士论文 则 证明由于移( s ) 是方程( 3 9 ) 的解，则 另一方面，t ，( s ) m 意味着 口( 8 ) 三0 移( s ) = c l s i n 佗s + c 2 s 佗s ( 口( s ) ，s i 扎佗s ) = o ，( t ( 5 ) ，c d s 礼s ) = o ， 这样c 1 = c 2 = 0 2 、其次，为了叙述的方便，我们引进一些记号， 怕) = 半荆= 芈， 硭( s ) = 芈幽) = 业警业， 鲤( s ) = 半瑚) = 掣 鳄( s ) = 芈蛳) = 半 鳄( s ) = 掣眦) = 掣 = 掣眦) = 掣 3 、接着，为了求得相应的这些偏导数的值，可以通过方程( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 关于参 第1 2 页 口 数z ，可，e ，七在分歧点( 孔+ ( s ； 解出 及 z ，! ，e ，七) ，f + ) = ( 仳( s ；o ，o ，o ，o ) ，7 + ) = ( o ，伯) 处求导可以逐步 伽：( s ) ，叫：( s ) ，叫? ( s ) ，伽2 ( s ) ，叫墨( s ) ，叫( s ) ，伽墅( s ) ，t 鳇蠡( s ) ， 鳄( s ) ，九! ( s ) ，鳄( s ) ， ：( s ) ，鳄( s ) ，九? ( s ) ，馥( s ) ， 2 ( 8 ) ， 如( s ) ，九( s ) ，磊( s ) ，九( s ) ，畦( s ) ， 錾( s ) ，如( s ) ， ! k ( s ) ， 4 、再次，我们具体求出上述相应的各个偏导数的值。 在分歧点( u 。( s ；z ，y ，七) ，7 + ) = ( 让( s ；o ，o ，o ，o ) ，丁) = ( o ，7 b ) 处把方 程( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 对z 求导，并且注意到p l o = ，醒( s ) m 且满足方程( 3 9 ) ，意 味着 u ：( s ) 三o 由引理3 1 ，同时可以得到馥= 一竹2 + 碚q d 1 咭c d s 扎，九：= 罚p 佗+ d 1 话s i 礼佗 同理可得， u ：( s ) 兰o ，u ? ( s ) 兰o ， 鳄= 一勺卢几一d 1 豸鲥n n ， ：= 一n 2 + 右q d 1 话c d s n ， 罐( s ) 兰o ，u 妻( s ) = o ，咄( s ) = o ， 缈( s ) 三o ，( s ) = o ，u 是。( s ) = o ， 把( 3 5 ) 对z 在( z ，y ，e ，知) = ( o ，o ，o ，o ) 处求二阶导，显然畦( s ) m 满足方程 掣+ p 掣+ q 霄畦( s ) “右比( s 1 ) 一2 d 2 话p ( s 舻n ( s 一1 ) ) - 0 ( 3 1 0 ) 注意到p ( s t n 2 n ( s 一1 ) ) = s 饥2 仃( s 一1 ) ，所以令 缈墨( s ) = c 1 1 s t n 2 n s + c 1 2 c d s 2 n 8 + c 1 3 第1 3 页 ( 3 1 1 ) 上海师范大学硕士论文 把( 3 11 ) 代入( 3 1 0 ) 得 解得 ( 4 佗2 一口青+ d 1 君c o s 2 佗) c 1 1 + ( 2 7 1 d 卢佗+ d 1 蠢s i 礼2 佗) c 1 2 = 一d 2 豸s t n 2 n ( 2 7 o n + d 1 霄s i 佗2 舰) c 1 1 一( 4 仡2 一a 豸+ d 1 霄c d s 2 佗) c 1 2 = d 2 话c o s 2 礼 c l l 。 c 1 25 q 右c 1 3 一d 1 碚c 1 3 一如霄= o d 2 话( 4 礼2 s i n 2 佗一q 宿s i n 2 n 一2 p n c d s 2 他) ( 4 似2 一q 话+ d l 瑶c d s 2 n ) 2 + ( 2 n + d 1 话s i 佗2 n ) 2 如宿( 2 匍p 竹s 饥2 n + 4 佗2 c o s 2 n q 霄c d s 2 佗+ d 1 碚) ( 4 n 2 一q 宿十d 1 霄c d s 2 n ) 2 + ( 2 丁0 p 佗+ d 1 霄s i 佗2 扎) 2 d 2 q 32 而： q a 1 同时得到如= o ，h = o 同理，关于屿( s ) 的方程 笔掣+ 勺卢掣 d s 2 。u r d s 的解为 其中 同时蜴= o ， = o 关于喝( s ) 的方程 c f 2 嘞( s ) d s 2 的解为 其中 + 口豸喝( s ) 一d l 豸喝( s 一1 ) 一d 2 需p ( s 讥2 n ( s 1 ) ) = o ，( 3 1 2 ) u ( s ) = c 2 1 s t 他2 亿s + c 2 2 c d s 2 n s + c ， c ；2 l2 一c 1 2 ，c 兹2c 1 1 ，c 船20 + 7 b p 些尝导+ 口豸u 品( s ) 一d 。靠( s ，1 ) 一2 d 。霄p ( s 2 他( s 1 ) ) ：。，( 3 1 3 ) 吨( s ) = c 3 l s t n 2 n s + c 3 2 c d s 2 n s + c 黯， c 3 1 。一c 1 1 ，c 匏2 一c 1 2 ，c 3 32c 1 3 同时蛾= o ， = o 同理，我们可解得 以( s ) 盒o ，畦= 2 匍a 一2 d 1 s i 彻， 錾= 触+ 2 d 1 s 饥n ， 第1 4 页 壤( s ) = o ，吐= 一( 卢佗+ 2 d l 伯s i n n ) ， 茹= 2 勺q 一2 d 1 伯觚n n ， 啦七( s ) = o ，醴七= 一2 礼2 + d 1 豸n s i 礼佗， ! 七= 7 b p 佗+ d 1 右n c d s n ， 基( s ) = o ，缘= 二( 7 1 d p 几十d 1 霄佗c d s 礼) ，九：七= 一2 n 2 + d 1 君n s 礼n ， 关于如( s ) 的方程 的解为 其中 这里 掣+ 匍卢掣+ q 豸如( 8 ) - d ，微小- 1 ) 一6 d 豸p ( s i n 佗( s 1 ) u 墨( s 一1 ) ) = o ， u ( s ) = c 4 1s i n 3 n s + c 4 2 c d s 3 礼s ， 3 d 2 话( a c l l b c l 2 ) 。耳万石石i 孺忑两耳面丽再而瓣 3 d 2 宿( b c l l + a c l 2 ) 衄2 耳洒石石i 孺蕊丽耳面丽再石瓣 ( 3 1 4 ) a = 一右q s i 佗3 n + 9 佗2 s i n 3 n 一3 匍卢佗c d s 3 竹，b = d 1 膏+ 3 匍p n s l 佗3 n 一霄q c d s 3 佗+ 9 扎2 c d s 3 n ， 同时g 茹= 一3 话( c 1 1 s 伽n c 1 2 c d s 几十2 c 1 3 c d s n ) ， = 一3 霄( c 1 1 c d s 佗+ c 1 2 s i m i 一2 c 1 3 s t 肌) 关于岛( s ) 的方程 的解为 其中 学+ 罚p 掣+ 口桃小) - d ，微小- 1 ) 一c f 2 豸p ( 4 s i n 他( s 一1 ) 够( s 一1 ) ) 一2 碡p ( c d s n ( s 一1 ) v ( s 一1 ) ) = o ， “盘翟( s ) = c 5 1 s t n 3 几s + c 5 2 c d s 3 n s ， ( 2 a c 2 l 一2 b c 2 2 一b c l l 一a c l 2 ) 唁d 2 钿2 万孬i 石j 蕊丽丽丙万稻再面石丽孑 ( 2 b c 2 l + 2 a c 2 2 + a c l l 一b c l 2 ) 霄d 2 ( 5 2 = p 元2 1 j 荸；二面前d s 3 n ) 2 + ( 3 而卢n + d l 唁s 订1 3 佗) 2 第1 5 页 ( 3 1 5 ) 上海师范大学硕士论文 同时蜴= 如霄( c 1 1 c d s 竹+ c 1 2 s 轨n 一2 c 1 3 s 饥佗) ， = 一d 2 宿( c 1 1 s 溉n c 1 2 c d 肌+ 2 c 1 3 c o s n ) 其中 关于屿掣( s ) 的方程 掣十伯卢掣+ q 霄( s ) - d 1 豸u ( ) d s d s 。 。 “。 一d 2 话p ( 2 s t 佗n ( s 一1 ) u 品( s 1 ) ) 一4 霄p ( c d s 佗( s 1 ) u ( s 一1 ) ) = o ， ( 3 1 6 ) 同时 c b l2 c i 论2 u 袅彤( s )