（应用数学专业论文）广义酉矩阵和广义hermite矩阵性质的推广.pdf

j t： 西华大学学位论文独创性声明 m l i ltii i i i1 l l l l l li ii i i i l y 17 5 0 4 2 2 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：钷苟 日期：2 0 l o 占7 指导教师签名： 日期j ，多j 西华大学学位论文版权使用授权书 何永肋 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 学位论文作者签名：铌韶 指导教师签名：t 巧孕c 易 日期： 矽口多- 日期夕口口歹 西华大学硕士学位论文 摘要 主要研究两类重要的，具有特殊性质的矩阵广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵关 于酉矩阵与h e r m i t e 矩阵的研究，目前已经取得了丰富的成果，而随着应用的需要和研究 的深入，酉矩阵和h e r m i t e 矩阵的各种推广也应运而生如近年来研究比较多的广义酉矩 阵和广义h e r m i t e 矩阵，在信息论、线性系统论、经济数学、组合数学、辛几何、控制论 等众多学科领域都是十分有用的本文重点研究广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的各种特 殊性质，进一步拓广了广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的理论体系 主要内容安排如下： 第一章前言 第二章广义酉矩阵和广义正交矩阵的特殊性质 第三章广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的特殊性质 第四章 k 一广义酉矩阵和k 一广义h e r m i t e 矩阵的性质 关键词：酉矩阵：h e r m i t e 矩阵：广义酉矩阵：广义正交矩阵：广义( 斜) h e r m i t e 矩阵： 广义对称矩阵：k 一广义酉矩阵：k 一广义h e r m i t e 矩阵 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 a b s t r a c t t h i st h e s i sf o c u s e so nt w ok i n d so f i m p o r t a n ts p e c i a lm a t r i x e s ：g e n e r a l i z e du n i t a r y m a t r i xa n dg e n e r a l i z e dh e r m i t em a t r i x s t u d yo nu n i t a r ym a t r i xa n dh e r m i t em a t r i xh a v eb e e nr e c e i v e df r u i t f u la c h i e v e m e n t s ， w i t hm o r ea n dm o r en e e do fa p p l i c a t i o na n dd e e p r e a r c h i n g ，v a r i o u sk i n d so fp o p u l u r i z a t i o no f u n i t a r ym a t r i xa n dh e r m i t em a t r i xh a v eb e e np r o d u c e d s u c ha st h eg e n e r a l i z e du n i t a r y m a t r i xa n dt h eg e n e r a l i z e dh e r m i t em a t r i x ，w h i c hh a v e b e e ns t u d i e dm o r ea n dm o r ei nr e c e n t y e a r s t h e ya r ev e r yu s e f u li ni n f o r m a t i o nt h e o r y ，l i n e a rs y s t e mt h e o r y ，b u s i n e s s m a t h e m a t i c s ，c o m b i n a t o r a lm a t h e m a t i c s ，p u n g e n tg e o m e t r y ，c o n t r o lt h e o r ya n ds oo n t h i s t h e s i sf o c u s e so ns t u d i i n gt h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e du n i t a r ym a t r i xa n d g e n e r a l i z e dh e r m i t e m a t r i x t h ea r r a n g e m e n to ft h et h e s i si ss h o w na sf o l l o w i n g ： c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c et h eb a s i cd e f i n i t i o n so fu n i t a r ym a t r i x ，h e r m i t em a t r i x ， g e n e r a l i z e du n i t a r ym a t r i x ，g e n e r a l i z e dh e r m i t em a t r i xa n dt h e i rb a s i cp r o p e r t i e s c h a p t e r2t h eg e n e r a l i z e du n i t a r ym a t r i x p r o p e r t i e sa n dt h eg e n e r a l i z e do r t h o g o n a lm a t r i x p r o p e r t i e s c h a p t e r3t h eg e n e r a l i z e dh e n n i t em a t r i x p r o p e r t i e sa n dt h eg e n e r a l i z e do b l i q u em a t r i x p r o p e r t i e s c h a p t e r4 t h e 七一g e n e r a l i z e dh e r m i t em a t r i xa n dt h ek - g e n e r a l i z e du n i t a r y m a t r i x p r o p e r t i e s k e y - w o r d s ：g e n e r a l i z e du n i t a r ym a t r i x ；g e n e r a l i z e do r t h o g o n a lm a t r i x ；g e n e r a l i z e d h e r m i t em a t r i x ；g e n e r a l i z e do b l i q u e m a t r i x ；k - g e n e r a l i z e dh e r m i t em a t r i x ；k g e n e r a l i z e d u n i t a r ym a t r i x ；p r o p e r t y i i 西华大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 前言1 1 1 选题背景l 1 2 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的研究现状1 1 3 主要工作2 2 广义酉矩阵和广义正交矩阵的特殊性质3 2 1 引言与记号3 2 2 基本概念及其性质3 2 3 主要结论4 3 广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的特殊性质1 1 3 1 引言与记号1 1 3 2 基本概念及其性质1 1 3 3 主要结论1 3 4k 一广义酉矩阵和k 一广义h e r m i t e 矩阵的特殊性质1 8 4 1 引言与记号1 8 4 - 2 基本概念及其性质1 8 4 3 主要结论1 9 结论2 4 参考文献2 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 7 致谢2 8 1 1 1 西华大学硕士学位论文 1 前言 1 1 选题背景 随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍应用，数学的独特魅力在解决 科技生产中的重大实际问题的过程中得到了充分的体现随着数学理论的日趋完 善和成熟，数学思想和新的数学方法在各个领域得到了广泛的应用矩阵是数学 上的一个重要概念，由于它描述问题具有表达简洁，实质刻画深刻等优点因此， 近年来在数学建模中，在解决实际问题时是经常用到的一种工具许多著名的数 学家的参与又为矩阵理论的发展提供了有力的智力支持，而工程技术人员和科技 人员的加入为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景 本文涉及到的两类矩阵：广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵是两类极具有研究 价值的矩阵它们分别从酉矩阵和h e r m i t e 矩阵的基础上发展而来，同时又大大拓 广了酉矩阵和h e r m i t e 矩阵的相关结果酉矩阵和h e r m i t e 矩阵是两类非常重要的 矩阵，因为它们所特有的优良性质，使得酉矩阵和h e r m i t e 矩阵在矩阵分析中极其 重要例如：任意矩阵都可以酉三角化，即任一矩阵都可以通过一个酉矩阵与一个 上三角矩阵相似，任意h e r m i t e 矩阵都可以酉对角化，且对角矩阵为实矩阵，等等 而广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵正是对这两类重要的矩阵进行推广，就好比从 整数一下子推广到了实数，这不仅极大的丰富和拓广了酉矩阵和h e r m i t e 矩阵的 研究成果，也进一步推广了它们的研究领域和应用范围，使之在优化理论、计算数 学、信号分析等诸多领域中都有着举足轻重的地位 1 2 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的研究现状 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵最早是19 8 5 年由美国数学家合恩( h o r n ，r a ) 和约翰逊( j o h n s o n ，c r ) 合著的 m a t r i xa n a l y s i s ) ) p j 一书中提出，并进行了初步研 究2 0 0 3 年袁晖坪教授发表了广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵【2 j ，文中具体给 出了广义酉矩阵和广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的定义，并对它们的性质进行了研究和 推广，此后又陆续发表文章研究它们的性质和应用，取得了许多新的成果，特别是 将正交矩阵的广义c a y l e y 分解推广到了广义酉矩阵上，将各类酉矩阵、h e r m i t e 矩阵以及广义逆矩阵统一了起来，这无论是对于深入研究矩阵理论，还是对矩阵 应用( 如辛几何、信号分析、物理学等) 都是很有价值的 随着应用的需要和研究的深入，越来越多的学者也加入到对广义酉矩阵和广 义h e r m i t e 矩阵的研究中来如广义酉矩阵和广义( 斜) h e r m i t e 矩阵拉1 一文中 详细讨论了广义酉矩阵和广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的特征值以及特征向量关于 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 k 一广义酉矩阵口1 使广义酉矩阵推广到了更一般的范围：类似地也推广到了k 一 拟次正交矩阵h 3 等而次h e r m i t e 矩阵的相合与次对角化隋3 ：次正定h e r m i t e 矩阵的性质拍则在次h e r m i t e 矩阵的基础上提出了次正定h e r m i t e 矩阵，得出次 广义h e r m i t e 矩阵的若干充要条件及性质定理，等等 1 3 主要工作 本文将对广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的性质进行推广，得出几种新的判 别广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵的方法：并讨论广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵 的特征值及特征向量：研究广义正交矩阵的判别条件和特征值：讨论k 一广义酉矩 阵和k 一广义h e r m i t e 矩阵的特征值 2 西华大学硕士学位论文 2广义酉矩阵和广义正交矩阵的特殊性质 2 1 引言与记号 酉矩阵的研究已经取得了丰富的成果，在优化理论、计算数学、信号分析等诸 多领域都有着举足轻重的地位而随着应用的需要和研究的深入，酉矩阵已有多种 推广，广义酉矩阵便是其中一种随着广义酉矩阵概念的提出，研究它的性质及其与 一些特殊矩阵，如与( 次，拟) 酉矩阵，共轭辛阵，h a m i l t o n 矩阵及广义逆矩阵之间的 联系，已经取得了许多新的成果此后又有关于酉矩阵的各种特殊推广：如次酉矩 阵与次镜像矩阵【7 】；关于次酉矩阵【8 】；拟酉矩阵与拟h e r m i t e 矩阵【9 】；广 义酉矩阵的约当标准型【1 0 】；广义酉矩阵的性质的拓广1 1 1 等 广义正交矩阵则是对正交矩阵的推广，在正交矩阵的基础上进一步扩大了其 研究范围，例如广义正交矩阵及其性质1 1 2 给出了广义正交矩阵的定义并讨论 了其基本性质；拟正交变换1 1 3 推广了正交变换，即把正交矩阵推广到了拟正交 矩阵；而k 一拟次正交矩阵【4 】则进一步推广了次正交矩阵；次正交矩阵【1 4 】 则给出了关于次正交矩阵的若干性质；而后的广义次正交矩阵与广义对称矩阵 【1 5 广义次正交基【1 6 】都是对次正交矩阵的进一步推广 为简便，用l = i 表示以阶单位矩阵；c = f 表示次对角线上全为1 ，其余元全 为0 的n 阶次单位矩阵；以= ，表示n 阶矩阵么的( j o r d a n ) 标准型；a 。与h 分别表 示矩阵4 的共轭转置矩阵与行列式；a r 表示矩阵4 的转置矩阵；彳盯表示矩阵a 的次转置矩阵；么表示矩阵么的伴随矩阵；c ”表示，z n 阶复矩阵集；q 表示刀阶 复可逆矩阵集；q ( r ) 表示栉阶实可逆矩阵集；e 阳= c o s 0 + i s i n 臼( 9 r ，i 表示纯 虚数1 2 2 基本概念及定理 定义2 2 1 【l 】设矩阵u c ：，若u u ：，则称u 为酉矩阵若还有 u c ：( 尺) ，就称u 是实正交矩阵 定理2 2 2 【1 j 如果u c ：是酉矩阵，那么u ，【，。皆是酉矩阵：如果还有 v c ：是酉矩阵，那么乘积w 也是酉矩阵 定义2 2 3 1 2 j 设a c “，若存在p c ：使得a p a = p ，则称a 为甩阶p 一 广义酉矩阵，简称a 为广义酉矩阵：记为彳u ，= 忸c “”a 黝= p 显然： 广义酉壁堕塑墨旦! 型堡堑堕堡垦塑堡 - l - _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ - - _ _ - - _ _ - _ - _ _ _ - _ _ - _ _ - _ _ - _ 一。一一 ( 1 ) 当p ：，时，u ，：缸c 脚么彳= j ) 为，2 阶酉矩阵集： ( 2 ) 当p = j 时，u = a c 以= j ，即么n a = i ) 为甩阶次酉矩阵集 【2 】 ( 3 ) 当p ”：尸时，u 尸：缸c 脚么以= 尸) 为以阶拟酉矩阵集2 3 ： 廿k 时，= 彳彰础w 觑= k ) 为2 所阶共轭 定理2 2 4 【1 1设p q ，a u p ，那么 ( 1 ) a 的行列式的模i h i = 1 ： ( 2 ) 么的伴随矩阵彳，a - 1 u p ： ( 3 ) 若b u p ，贝ua b ，b a u p ： ( 4 ) a + u p 。： 定义2 2 5 【l 】 设矩阵u q ，若【，r u = ，就称u 为正交矩阵 定义2 2 6 n 2 3设彳c ，若存在p c ：使得彳r p a = p ，则称彳为咒阶p 一 广义正交矩阵：记为a = 彳c “a r p a = p ) 2 3主要结论 定理2 3 1 ( 广义酉矩阵判定定理1 )如果a c ：相似于一个酉矩阵，则彳 为广义酉矩阵 证明如果么c ：相似于一个酉矩阵u ，则存在可逆矩阵s ，使得a = s - 1 u s ， 于是 。4 一l = ：s 1 u 。1 s = ：s 。1 u s ，a = = s u ( s 。1 ) 由 彳= s 一1 u s ， 得 u = s a 1 s 从而 a = s s a 。1 s 。( s j ) = ( s s ) 么j ( s s ) ， 令s s = p ，则a = p a 。p ，故a p a = p ，即彳为甩阶p 一广义酉矩阵 4 西华大学硕士学位论文 定理2 3 2 ( 广义酉矩阵判定定理2 ) 如果a q 相似于一个p 一广义酉矩 阵，则a 也是广义酉矩阵 证明设召q 是一个p 一广义酉矩阵，则存在可逆矩阵p q ，使得 b = p b 1 p - 1 设a q ，且与矩阵b 相似，则存在可逆矩阵s c ，使得a = s b s ，于是 a = s b 枷s1 ，a = ( s 。1 ) 占s 由b = p b 。p ，则 a = ( s 。1 ) 船一p s = ( 尸1 s ) 一召。1 ( p 1 s 。) ， 又由a 一= s b 。1 s ，得召一= s 。1 a s ，则 么= ( p 。s ) 一s 1 么j 艘。s + = ( 铲。s ) 么。( 即s ) ， 故爿为广义酉矩阵 定理2 3 3 ( 广义酉矩阵判定定理3 ) 若么q ，旯，= 石，j = 1 , 2 ，3 ，尼 要使等式成立当且仅当旯，= e 坩，o 为纯虚数，口尺) 即a 为广义酉矩阵的充要条 件为旯( 彳) = e i 疗0 r 证明必要性 对任一矩阵a c ：，因为a 可分解为a ：s i s 一，j 为彳的 j o r d a n 标准型，其中 j = (五)0 ( 九) 0 厶( 以) 各阶数疗可以相同，而值t 未必不同，而 - 厂( 旯) = 九j 1 入i o 0 1 入j ，z l + ，2 2 + + 刀t2 以， ，j = 1 , 2 ，3 ，七 由a ：s i s 一1 知a = - 1 s ，a = ( s - 1 ) + ，+ s ：若么为广义酉矩阵，则么1 相似于 彳，即厂1 与相似 又因为 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 ，= 厶( a ) 0 而，的j o r d a n 标准型为 以：( 如) 0 凡( 以) 以，(21)0 j 。：( 允2 ) 而，- 1 的j o r d a n 标准型为 0 厶( 旯i ) (一)0 厶( 五卅) 0 厶( 。1 ) 要使厂1 与，相似当且仅当它们有相同的j o r d a n 标准型，即旯，= a ，= 1 ，k 而要使等式成立当且仅当兄，= p 坩，( f 为纯虚数，乡r ) ，即五( 彳) = p 坩，乡r 充分性 若力( 彳) = e i 一0 r ，则乃= 乃，j = 1 ，k 于是a j 与a 有相同的 特征值，且其特征值的重数也相同，则么以与彳有相同的j o r d a n 标准型，故么d 与 么相似，即a 为广义酉矩阵 定理2 3 4 若么，旯是a 的特征值，那么是a 的特征值：特别地当a 几 1 为实矩阵时，也是a 的特征值 证明因为a u p ，所以存在可逆矩阵尸，使得a p a = p 设见是4 的特征 值，口为对应的特征向量，则a p a c t = 3 4 p a = p o t ( 因为尸可逆且口0 ，所以 1 p a 0 ) ，于是为a 的特征值，p a 为对应的特征向量 l 特别地，当彳为实矩阵时，么的复特征值成共轭对出现，而由定理2 3 3 知若 彳，则旯( 彳) = 扩，0 r 己知e 坩= 专，综上可知，当彳为实的方阵时，若a 是 1 a 的特征值，则也是a 的特征值 6 西华大学硕士学位论文 定理2 3 5p 一广义酉矩阵集合构成一个群 证明若彳，b ，c 为p 一广义酉矩阵，则a p a = p ，b 肋= 尸，c 尸c = p 1 0 封闭性：因为( a b ) p ( a b ) = b a p a b = b 朋= p ，所以封闭性满足 2 0 乘法结合律：因为 ( a b c ) p ( a b c ) = c b + a p a b c = p 【么( 召c ) 研a ( b c ) = ( b c ) 。a p a ( b c ) = ( b c ) p ( b c ) = p 所以乘法结合律满足 3 0 存在单位元：因为单位矩阵，满足厂p i = p ，所以，是尸一广义酉矩阵，即 存在单位矩阵，为单位元 4 0 存在逆元：对任一尸一广义酉矩阵么，因为p 一广义酉矩阵可逆，所以存在 彳，使得( a 。1 ) p ( a _ ) = ( a - 1 ) a + p a ( a 。1 ) = p ，故么卅是p 一广义酉矩阵 于是，综上所述，由群的定义知尸一广义酉矩阵集合构成一个群，称之为广义 酉群 特别地，当尸= ，时，即为酉群 引理2 3 6 1 1 j 设4 c 是非奇异矩阵，那么，a - 1 相似于a ，当且仅当存在 非奇异矩阵b c ：，使得a = b b 引理2 3 7 【1 】若彳，口c “可交换，即肋：删，则当且仅当彳，b 可同时对 角化 定理2 3 8 若a u p ，则存在可逆矩阵b q ，使得a = b _ 1 b ，则 ( 1 ) 当b 为正规矩阵时，么是酉矩阵 ( 2 ) 当b 为酉矩阵时，a = b 叫b = b + b = f b ) ，即a 也是酉矩阵 ( 3 ) 当b 为h e r m i t e 矩阵时，a = b b = b b = i ，即彳为单位矩阵 ( 4 ) 当b 为对角矩阵时，彳为对角酉矩阵 证明( 1 ) 因为a = b 卅b ，b 为正规矩阵即b b = b b + ，所以 a b = b 1 b b = b 1 b b = b b a = b b 。1 b = b 即a b = b a ，由引理2 3 7 知么，b 可同时对角化，又因为b 可酉对角化，则彳也可 酉对角化，即a 可分解为a = u a u ，其中u 为酉矩阵，人为对角矩阵则 a + a = u a u 。u a u = u a 人u = u 人人u 。= u a u u 人u = 朋。 即彳也是正规矩阵 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 更进一步，因为彳既是广义酉矩阵又是正规矩阵，即彳同时满足彳一相似于 彳，且州：a * a ，即a 可酉对角化为a ：u a u 。，且彳1 = u a 。1 u ，a 。= u x u ，而 由a 1 相似于彳知人= 人，综上可知4 是酉矩阵 证明( 2 ) 结论显然成立 证明( 3 ) 结论显然成立 证明( 4 ) 若b 为对角矩阵，由a = b - 1 b ，可知 a ：b 旧- 1 、， ， a a = b - 1 b + b f b j1 由b 为对角矩阵，故召与召可交换，则 州= b 。船+ f 召1 1 = ， 、， ， 即a 一= a ，则彳是酉矩阵，且4 为对角酉矩阵 定理2 3 9 若a u ，则尸可取为h e r m i t e 矩阵 证明 若a u p ，则a p a = p ，且( 么p a ) = a p a = p ，即么是p 一广义酉 矩阵又因为a ( p + p ) 么= a p a + a p + a = p + p ，所以彳也是( 尸+ 尸+ ) 一广义 酉矩阵显然尸+ 尸是h e r m i t e 矩阵，故若么为广义尸一酉矩阵，则p 可取为 h e r m i t e 矩阵 定理2 3 1 0 ( 广义正交矩阵的判定定理1 )如果a c 相似于一个正交矩 阵，则彳为广义正交矩阵 证明设b q 是一个正交矩阵，所以 b 、= 酽 又设a q ，且与b 相似，所以存在可逆矩阵s ，使得a = s b s ，则 a ：s b j s = s b r s j ( 1 ) a 7 = 陋11 1b r s r ( 2 ) 由( 1 ) 式知曰r = 一4 。1 s ，于是( 2 ) 式可化为 a r = ( ) r a a1 s s r = ( 嚣r ) ( 嚣r ) 故4 为尸一广义正交矩阵 + 定理2 3 1 1 ( 广义正交矩阵的判定定理2 )如果a q 相似于一个广义正 交矩阵，则么也为广义正交矩阵 西华大学硕士学位论文 证明设b q 是一个广义正交矩阵，则存在可逆矩阵p ，使得 b = p b r p l ( 1 ) 已知a 与b 相似，所以存在可逆矩阵s ，使得a = s b s 一，则 a 7 = ( s 。) 7b r s 7 ( 2 ) a = s t y 协s 1 ( 3 ) 由( 1 ) 式和( 3 ) 式可知a = s p b7 1 p 1 s ，由( 2 ) 式知b 7 = s r a7 ( s r ) 一，因此 彳= 删r 么7 ( s r ) 尸一s1 = ( s p s r ) 彳7 ( s p s7 ) 。 故么是一个广义正交矩阵 定理2 3 1 2 ( 广义正交矩阵的判定定理3 ) 设a q ，则彳为广义正交矩 阵的充要条件为旯( 4 ) = 1 证明必要性对任一矩阵a c ：，a 可分解为a ：s i s ，其中为a 的 j o r d a n 标准型。目 ， j = 以(a)0 0 ，啦疋以。丑，i ，z l + ，z 2 + + ，z 女2 ，z以( 丑) l 各阶数咒可以相同，而值t 未必不同， j ( t ) = 入j 1 入j 0 0 1 入3 由么：s j s 一，知彳= s j 一1 s - - i 彳r = p 一1 ) r j7 s r ：若彳为广义正交矩阵，则彳一1 相似于彳r ，即，1 与j r 相似：又因为j r = m f ( f 为次单位矩阵) ，故，r 的j o r d a n 标准型为 以，( a ) 以：( 如) 而厂1 的j o r d a n 标准型为 0 以( 五) 9 ，z l + 心+ + 仇5 ，z ， 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 (a一)0 厶( 五1 ) 0 厶( 丑卅 则 厂一- 与，r 相似当且仅当它们有相同的j o r d a n 标准型，即乃一= t ，j = 1 ，七 要使等式成立当且仅当乃= 1 充分性若旯( 彳) = 1 ，则t = 乃，歹= 1 ，k 即a j 与a r 有相同的特征值，且 其特征值重数也相同，则a 1 与彳7 有相同的j o r d a n 标准型，则a 1 与a r 相似，即a 为广义正交矩阵 1 0 西华大学硕士学位论文 3 广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的特殊性质 3 1 引言与记号 h e r m i t e 矩阵是讨论酉空间时得到的，在酉空间、酉变换及复系数二次型中都 有着很重要的地位随着研究的深入，广义( 斜) h e r m i t e 矩阵的提出大大扩展了 h e r m i t e 矩阵的相应结果，并取得了一些新的成果例如得出了广义h e r m i t e 矩阵 与次h e r m i t e 矩阵、反次h e r m i t e 矩阵、拟( 反) h e r r n i t e 矩阵、k 一反h e r m i t e 矩 阵以及h a m i l t o n 矩阵之间的关系，并将正交的广义c a y l e y 分解推广到了h e r m i t e 矩阵的广义逆担1 从广义h e r m i t e 矩阵的定义出发，推导了广义正定矩阵，如研究 了广义正定矩阵及其性质n 力：讨论了几类广义正定矩阵n 町之间的关系： 同时也讨论了幂等h e r m i t e 矩阵n 钔的性质：研究了广义h e r m i t e 矩阵的张量 积心们等也把h e r m i t e 矩阵推广到了次h e r m i t e 矩阵并研究其性质，如次h e r m i t e 矩阵方程堙妇：次正定h e r m i t e 矩阵的性质：拟h e r m i t e 矩阵及其性质9 1 等h e r m i t e 矩阵的推广也过渡到了对称矩阵的推广上，得出了广义对称矩阵的 判定口2 2 3 3 ：广义中心对称矩阵的结构与性质瞳4 3 ：广义次正交矩阵与广义次 对称矩阵n 的：广义次对称矩阵的左右特征值心乱：行列对称矩阵q r 分解 汹3 ：酉对称矩阵q r 分解及其算法心7 3 等 为简便，用l = i 表示，z 阶单位矩阵；c = f 表示次对角线上全为1 ，其余元全 为0 的，z 阶次单位矩阵；以= j 表示，z 阶矩阵么的( j o r d a n ) 标准型；a 与h 分别表 示矩阵彳的共轭转置矩阵与行列式；彳r 表示矩阵彳的转置矩阵；彳盯表示矩阵么 的次转置矩阵；a 表示矩阵彳的伴随矩阵；c “表示m n 阶复矩阵集；e 表示n 阶 复可逆矩阵集；q ( 尺) 表示n 阶实可逆矩阵集；e 坩= c o s 0 + i s i n0 ( 0 r ，f 表示纯 虚数) 3 2 基本概念及定理 定义3 2 1 【1 】 矩阵a = ki c “称为h e r m i t e 矩阵，是指a = a ，其中 一f 一1 a 兰a 1 = l a 。1 如果a = 一a ，则称之为斜h e r m i t e 矩阵 定理3 2 2 i l j设a c “”是h e r m i t e 矩阵，那么 ( a ) 对所有工c “1 ，x a x 是实数 ( b ) a 的所有特征值都是实数 ( c ) 对所有s c “”，s a s 是h e r m i t e 矩阵 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 定理3 2 3 【l 】设a c 是斜h e r m i t e 矩阵，那么 ( a ) 对所有x c 硝1 ，工止是纯虚数或零 ( b ) a 的所有特征值都是纯虚数数或零 ( c ) 对所有s c “，s 彳s 是斜h e r m i t e 矩阵 定义3 2 4 啪1 设a c ”，若存在可逆矩阵d 使得a7 d = d a ( a 盯d = d a ) ， 则称彳为广义对称( 广义次对称) 矩阵 定义3 2 5 2 1 设a - - ( a o ) c 卅，则称m 咒阶矩阵( 6 ：f ) ( 其中 6 j f = 口。一川川+ 。) 为彳的次转置矩阵，记为爿盯= ( ) ：称么( ) = j 盯为彳的共轭次转 置矩阵：若f a ( ) = a 1 a ( ) = a ，则称a 为( 反) 次h e r m i t e 矩阵 定义3 2 6 【2 】 设彳c ，若存在尸q 使得彳p = p a ( a p = 一p a ) 则称 么为n 阶尸一广义h e r m i t e 矩阵( p 一广义斜h e r m i t e 矩阵) ，记为 么h ，= 4 c “彳p = p a ( a h e = 4 c 职4 么尸= 一黝 显然： ( 1 ) 当p = i 时，h ，= a c “”a = a ) 为以阶h e r m i t e 矩阵集： h ，= a c “4 a = - a ) 为n 阶斜h e r m i t e 矩阵集： ( 2 ) 当p = f 时，h ，= 臼c a f = f a 昆 j a ( ) = 彳) 为玎阶次h e r m i t e 阵集： 瓦= 乜c “4 a f = 一f a u n a ( ) = 一彳) 为，z 阶反次 h e r m i t e 矩阵集： ( 3 ) np p = 尸时，砟= 彳c a p = p a ，瓦= 彳c 棚么p = 一刚) 分别为n 阶拟( 反) h e r m i t e 矩阵： c 4 ，当p = - ：。0 = k 时， h r = 0 c 2 “2 ”a k = 觑 为2 m 阶七一反h e r m i t e 矩阵 集： h 石= a c 2 ”2 ”a k = 一觑) 为2 ， z 阶h a m i l t o n 矩阵集 定理3 2 7 f 2 】 设尸钟，a ，b h 尸，七为实数，那么 ( 1 ) k a ，a b h 尸 ( 2 ) 彳b 一删h 尸，a b + b a h 户，彳b 何尸当且仅当a b = b a 1 2 西华大学硕士学位论文 ( 3 ) 若口为a 的属于特征值a 的特征向量，那么a 为实数或口p a = 0 ： 若a h 。，则旯为零或纯虚数，或口p a = 0 ( 4 ) 若口与为a 的属于特征值见与的特征向量，那么，若a ， 则口尸= 0 ：若a hp ，旯一，则倪+ p = 0 ( 5 ) 若彳可逆，a 一h ， 3 3主要结果 定理3 3 1若么为实矩阵，则彳为广义h e r m i t e 矩阵 证明对任意矩阵a c 肚“( r ) ，a 可经可逆矩阵s 分解为a = s - 1 j s ，j 为么 的j o r d e n 标准型，因为彳为实矩阵，则 a + = a7 = s ，j7 ( s 一) r 而对，中任一j o r d e n 块 存在次单位矩阵 使得 则对 ，k = 瓦= j = a 1 l 1 1 j 椭 j 南r = ；j b 。， ，屯 ， 2 j k i ，( 其中丘，r = e 。一= ) ( 毛+ + k j = 万) 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 存在置换矩阵f = ，使得j 7 = f j f ，而由a = s 。1 j s 知 j = s - i a s ，则a r = s t f s a s - 1 f _ ( s - 1 ) r = ( s t f s ) a ( s r f s ) ，即么经可逆矩阵s 7 殿 相似于彳，即彳为广义h e r m i t e 矩阵 推论l 若4 为实矩阵，则彳为广义对称矩阵 定理3 3 2 若4 为实矩阵，则么为广义次h e r m i t e 矩阵 证明对任意矩阵a c “”( r ) ，a 可j o r d a n 分解为a = s , i s ，j 为a 的 j o r d a n 标准型，又因为a c “”陋) ，则a ) = a s r = s 盯j 盯( s - 1 ) 盯，j 盯= f j r ， 其中，为咒阶次单位矩阵，又由定理3 3 1 的证明知r 相似于，则彳盯相似于 彳，即彳为广义次h e r m i t e 矩阵 推论2 若a 为实矩阵，则么为广义次对称矩阵 定理3 3 3 ( 广义f e r m i t e 矩阵判定定理1 )任一与h e r m i t e 矩阵相似的矩 阵都是广义h e r m i t e 矩阵 证明设b c “是一个h e r m i t e 矩阵，即b 。= b 又设任意的矩阵a c ”， 且相似于口，即存在可逆矩阵s ，使得a = s b s 一，则 a = f s 。11b + s = fs 。11b s 、， 、 ， 又由a = s b s 1 知b = s a s ，则上式可化为 么= = ( s 。1 ) s 。1 a s s - - ( s s + ) 。1a ( s s ) ， 则么为广义h e r m i t e 矩阵 特别地，若s 为酉矩阵，即s = s ，则彳为h e r m i t e 矩阵 定理3 3 4 ( 广义h e r m i t e 矩阵判定定理2 )任一相似于广义h e r m i t e 矩阵 的矩阵也是广义h e r m i t e 矩阵 证明设b c “”是一个广义h e r m i t e 矩阵，又设任意的矩阵a c “”，且相似 于b ，即存在可逆矩阵s ，使得a = s b s ，则 a ：b 一1 ) 曰s ( 1 ) 因为b 为广义h e r m i t e 矩阵，所以存在可逆矩阵尸，使得b p = p b ，即 b = 朋尸一，于是( 1 ) 式化为 爿= ( s d ) p b p l s = ( p 。1 s ) 一b ( 尸d s ) ( 2 ) 1 4 西华大学硕士学位论文 由a = s b s 1 知b = s a s ，则( 2 ) 式化为 么= ( 尸1 s ) 一s - i a s ( e j s ) = ( 胪s ) 彳( 护s ) 故么是广义h e r m i t e 矩阵 定理3 3 5 ( 广义h e r m i t e 矩阵判定定理3 )设么c 舢，则a 为广义 h e r m i t e 矩阵的充要条件是么的特征值为实数或共轭复数对 证明充分性 对任一矩阵么c ，么可分解为a = s j v s - ij 为a 的 j o r d a n 标准型，且 j = 以。( 矗) ，。：( 如) 0 以( 以) 各阶数n ，可以相同，而值未必不同 而 ，( ) = 九j 1 入i 0 0 。1 ，z 1 + 以2 + + 咒t2 ，l ， j = 1 , 2 ，3 ，k 已知两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的j o r d a n 标准形，而由 a = s j s ， 知 a = ( s 一1 ) 。j s ， 故a 与a 相似，当且仅当它们有相同的j o r d a n 标准形，即，与，有相同的j o r d a n 标准形又已知与，可经次单位矩阵，：。1 相似，而当彳的特征值为 1 10 j 实数或共轭复数对时，与相似，故，。与，相似即么与彳相似，则a 为广义 h e r m i t e 矩阵 必要性 若彳为广义h e r m i t e 矩阵，即么与彳相似，则知彳与彳有相同的 j o r d a n 标准形因为对任意矩阵么，爿与么t 相似，这说明，如果是么的j o r d a n 标 准形，那么必相似于，因此，对，中的每个j o r d a n 块。以) 在，中有一个相应的 ( 相同阶数的) j o r d a n 块。) ，如果2 是实数，结果显然成立：如果2 不是实数， 则相应于每个非实特征值的诸j o r d a n 块和它的共轭必须成对出现，即若2 是复 广义酉矩阵和广义h e r m i t e 矩阵性质的推广 数，必须成共轭对出现，因而若a 为广义h e r m i t e 矩阵，则4 的特征值全为实数或 共轭复数对 定理3 3 6 若彳为尸一广义h e r m i t e 矩阵，则p 可取为h e r m i t e 矩阵 证明若彳为广义h e