（应用数学专业论文）两类cox风险模型的破产问题的研究.pdf

摘要 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题本文主要对c o x 风险模型 进了讨论第一章绪论部分是对风险理论及其发展作了回顾 第二章首先将经典风险模型推广为带干扰的双c o x 风险模型，使得该模型更 符合现实情况，然后运用鞅论的知识对其进行研究，得到了该模型的破产概率的 l u n d b e r g 指数上界，并讨论了当c = o 时，该模型的非l u n d b e r g 指数上界 第三章详细讨论了多险种c o x 风险模型，给出了该模型破产概率满足推广的 l u n d b e r g 不等式并且当多险种c o x 风险模型的理赔发生具有相同的累计强度过 程时，给出了该模型的调节系数的上下界和最终破产概率的明确表达式以及在 多险种c o x 风险模型简化为多险种p o i s s o n 风险模型时，给出了生存概率的明确 表达式和保险公司最大损失的一阶矩、二阶矩和破产前最大余额分布 第四章对全文作了总结，提出了下一步要做的工作 关键词：c o x 过程；l u n d b e r g 不等式； 鞅；多险种风险模型；调节系数； 强马氏性；破产概率 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sah o tt o p i ci nt h ep r e s e n ta c t u a r i a ls c i e n c ea n dm a t h e m a t i c s r e s e a r c h t h em a i nr i s km o d e lw ec o n s i d e r e di nt h ep a p e ri st h ec o xm o d e l i n c h a p t e r1 ，w eb r i e r yr e v i e wt h er i s kt h e o r ya n di t sd e v e l o p m e n t i nc h a p t e r2 ，w eg e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dg e td o u b l ec o xr i s k m o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n t h e nw eg e te x p o n e n t i a lu p p e rb o u n d sf o rt h er u i n p r o b a b i l i t yb yl l s i n gm a r t i n g a l et h e o r yi nt h i sn e wm o d e l f i n a l l y ，t h en o n - e x p o n e n t i a l u p p e rb o u n d si so b t a i n e dw h e nc = o i nc h a p t e r3 ，w ec o n s t r u c tam u l t i i n s u r a n c ec o xr i s km o d e la n dg e tt h e g e n e r a l i z e dl u n d b e r gi n e q u a l i t yf o rr u i np r o b a b i l i t y t h eu p p e r b o u n d sa n dt h el o w e r b o u n d sf o rt h e a 面u s t m e n tc o e f f i c i e n ta n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h e r u i n p r o b a b i l i t ya r eg i v e nw h e nt h eo c c l l r l e n c eo ft h ec l a i m sh a v et h es a l n ei n t e n s i t y p r o c e s s w ea c q u i r et h ee x p l i c i te x p r e s s i o nf o r s u r v i v a l p r o b a b i l i t y a n dt h e e x p e c t a t i o no fm a x i m a la g g r e g a t el o s sa n dg i v et h ed i s t r i b u t i o no ft h es u p r e m e s u r p l u sb e f o r er u i n w h e nt h em u l t i - i n s u r a n c ec o xr i s km o d e lp r e d i g e s tt h e m u l t i i n s u r a n c ep o i s s o np r o c e s s i nc h a p t e r4 ，w eb r i e f l ys u m m a r i z et h ew h o l ep a p e ra n dp u tf o r w a r dt h ef u r t h e r t a s k s k e y w o r d s ：c o xp r o c e s s ；l u n d b e r gi n e q u a l i t y ；m a r t i n g a l e ；m u l t i i n s u r a n c e r i s k m o d e l ；a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ；s t r o n gm a r k o v i a np r o p e r t y ；r u i np r o b a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞洼王些盔堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：栖至译 签字日期： 如7 年月2 7 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞洼王些盍堂有关保留、使用学位论文的规定。特 授权丞洼王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：犏磷 签字日期：知口7 年月2 7 日 导师签名争亏爹 签字日期：哆年月2 7 日 学位论文的主要创新点 受g r a n d e l l 和蒋志明等人思想的启发，本文对双c o x 风险模型 和多险种c o x 风险模型进行了深入的研究 一、本文首先对双c o x 风险模型进行了讨论，运用鞅方法得到了 该模型破产概率的l u n d b e r g 不等式以及其破产概率满足推广的 l u n d b e r g 不等式；利用n w u 和n b u 两个特殊的分布函数，根据连续 鞅不等式，给出了该模型破产概率的非l u n d b e r g 指数上界；并且通 过具体的例子计算出了甲( “) 的非l u n d b e r g 指数上界的具体表达式 二、其次对多险种c o x 风险模型进行了讨论，运用鞅方法给出了 该模型破产概率满足推广的l u n d b e r g 不等式；对该模型调节系数的 上下界作了估计，并且通过具体的例子求解了它；在特殊情形下，本 文给出了该模型生存概率的明确表达式，保险公司最大损失的一阶、 二阶矩和破产前最大余额分布 第一章绪论 1 1背景 第一章绪论 金融风险理论是当今精算界和数学界研究的热门课题，它的研究对象是来自 保险商业的各种随机模型风险理论的研究溯源于瑞典精算师l u n d b e r g 2 2 - 2 3 ，至 今已有上百年的历史同时，c r a m e r 4 6 】和其他一些瑞典学者也在这方面做了大量 的研究工作他们不仅建立了经典风险模型及其经典结果，而且发展了随机过程的 基本理论，并建立了他们之间的联系如今在风险领域里研究的各种风险模型都是 在此基础上逐步发展起来的因此，人们把最基本的风险摸型也就是经典风险模型 称为c r a m e r - l u n d b e r g 摸型 随着随机过程理论的逐渐系统化和成熟化，为风险理论的研究提供了强有力 的方法和工具，风险理论的研究取得了重大的突破和获得了众多好的结果 近几十年来，风险理论的发展十分迅速，出现了各种各样的风险模型，其研究 问题的范围逐渐扩大破产概率的研究一直是风险模型研究的核心问题有关破产 概率的发展和研究现状的综述性文献和有关破产概率的专著有： a s m u s s e n ( 1 9 9 7 ) ，d j e h i c h i ( 1 9 9 3 ) ，e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 等人，g e r b e r ( t 9 7 9 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 等 破产概率之所以重要是因为它是保险精算师的基础工具，是险种制定、保费计 算、再保险策略和代理人策略等工作的基础破产概率是衡量一个保险公司及其 所经营某个险种的金融风险的极其重要的尺度，破产概率既可以为保险公司的 决策者提供一个早期的风险警示，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的 监管提供依据因此，破产概率的研究有着相当重要的指导意义 1 2 经典风险模型及其推广 破产理论的研究最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，它是保险公 司的最终资产为负时的概率，其基本假设如下： 给定完备的概率空间( q ，f ，p ) ，以u ( u o ) 表示保险公司的初始准备金；常 数c ( c 0 ) 表示单位时间收取的保费；n ( t ) 表示在( o ，t 】时间段内的索赔次数， ( f ) ；r 2 0 ) 是参数为a 的齐次p o i s s o n 过程；互表示第i 次索赔量， 互；f = 1 ，2 是独立同分布的非负随机变量序列，它具有分布f o ) ( ，( o ) = 0 ) 和期望；并且 第一章绪论 假设 ( f ) ；f 0 和 互；f = l ，2 是相互独立的；令 u ( t ) = 甜+ c t - s ( t ) ( 1 1 ) ( ” 其中s ( f ) = 互；称 u ( f ) ；r o ) 为盈余过程 f f i l 盈余过程( f ) ；f o ) 的一条经典的样本轨道如下图所示： u ( f ) j v v 1 u ( t ) 1， i u ( 痈 i j 经典风险模型的重要结果为破产概率的发展奠定了坚实的基础，但经典风险 模型本身存在着很多缺陷，例如：对保费收入的描述不够合理，索赔次数的描述 有待改进，忽略了利率对风险模型的影响等于是国外很多研究人员对经典风险 模型进行了推广，其中g r a n d e l l 1 6 g e r b e r 1 l 1 5 】、 1 7 2 1 等为风险理论的发 展做出了巨大的贡献 在过去大量的工作中常见的模型推广有以下几个方面： ( 1 ) 更新风险模型：将( 1 1 ) 中的齐次p o i s s o n 过程 ( f ) ；f 2 0 推广为更新过 程，即：对v s ，t 0 ，分布函数p ( f + s ) 一n ( s ) = 啦o = o ，l ，2 ) 不一定是均值为m 的p o i s s o n 分布，也就是说把齐次p o i s s o n 过程的点间距服从的指数分布用一般 的分布来代替，用更一般的分布来描述索赔过程 ( 2 ) 常利率风险模型：在保险公司的日常经营中，除了保费收入和索赔支出 对经营状况有很大的影响外，还有一个不可忽略的因素就是利率段利率为常数 艿，则常利率风险模型可表示为： d u ( t 1 = c d t + 6 u ( t ) d t d s ( t ) ( 3 ) 带随机干扰和随机利率的风险模型：将( 1 1 ) 推广为更一般的模型，即： u ( f ) = u - i i 厂。陟+ g ( s ) d w ( j ) 一i 厅( s 心( s ) 2 第一章绪论 其中，f ，g ，h 均是满足一定条件的随机过程，w = ( f ) ；f 0 是布朗运动第一积 分项表示带有随机利率的保费收入；第二积分项表示带有随机干扰产生的收入或 赔偿；最后一项是索赔 ( 4 ) 离散型风险模型：考虑在实际中，保险公司对一些重要的业务是按某个 时间段来收取保费和支付索赔额的，这个时间段通常为一年例如：在人寿保险 中，保险以年为单位向投保人收取一定的保费和支付索赔额对保险公司来说一 年内仅可能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生类似这种情况 可以用以下的复合二项风险模型来描述即： 必 u ( 而= b + c 一艺r ，n = 0 ，1 2 t - i 其中，u ( u 0 ) 是保险公司的初始准备金；z ，i = 1 , 2 是第i 次索赔额，且 r ，扛l ，2 ) 是一列独立同分布的非负随机变量序列；n = ( 畹圩= o ，1 ，2 ) 是 一列具有参数为p ( o ，1 ) 的二项随机序列 ( 5 ) 带红利的风险模型：在( 1 1 ) 的基础上引入红利付款，同时设定一个线性 函数) ，= p + 为红利界限，其中p 为初值0 p ) ，q 为递增速率( o q 0 ，使得而( r ) = f 矿矗f ( z ) 一l c o ，则称理赔额分布为轻尾分布( 否则为 重尾分布) 精算数学常用的轻尾分布有指数分布，g a m m a 分布，常用的重尾分布有 p a r e t o 分布，l o g n o r m a l 分布等 下面我们介绍关于鞅论的知识： 风险理论发展至今，已经形成了多种处理风险模型的方法鞅作为一种理论 工具，在风险模型的求解中占有重要的地位鞅的概念首先由el e v y 在随机变量 和的研究中引入概率论后来j d o o b 又提出了上鞅与下鞅的概念，并且对它们进 行了系统的研究，用以解决许多概率论与古典分析的问题现在，鞅论方法已深 入到许多领域中去，成为了一个强有力的研究工具应用鞅论于风险模型中的这 种方法始于g e r b e r 1 1 】，其主要的思想是通过构造适当的鞅以推导所求其后出现 了一大批应用鞅工具求解的风险模型特别是在g r a n d e l ( 1 9 9 1 ) 中，应用这种鞅方 法不仅简化了经典风险模型l u n d b e r g 不等式的推导，而且把这种方法推广应用 予更新模型和c o x 模型，得到了相应的l u n d b e r g 不等式的推广一般来说，风险模 型中应用鞅方法的关键是构造一个鞅，鞅的构造不仅需要技巧，而且此方法在风 险模型的研究中应用极为广泛和有效，本文建立的风险模型也将运用此方法来推 导其相应的l u n d b e r g 不等式 设在概率空间( q ，f ，p ) 上有一个非降的盯一代数族；t 0 及实随机过程 x ( f ) ；t o ) 定义1 3 2 称弘( f ) ，只) 为鞅，若 ( 1 ) 硎肖( f ) | 】 o o ，v t o ； ( 2 ) 对于0 j t ，恒有日z ( f ) l c 】= x ( s ) a 8 4 第一章绪论 ( 3 ) 如果v t 0 ，x c t ) e 注：由于e = 盯( ，) ；，f ) ，以下简称x ( f ) ) 为鞅 定义1 3 3f 是取值于 o ，叫上的随机变量，若对一切t 0 ，有 f t ) e ， 则称f 是相对于 的停时 定理1 3 1 1 4 0 ! ( 可选抽样定理) ：若f 是相对于鞅 x ( f ) ；f 0 的有界停时， 则n x ( o 】= 研j ( o ) 】 有关鞅论的其它知识以及鞅的具体构造和应用将在文中详细给出 第二章双c o x 风险模型的讨论 2 1引言 第二章双c o x 风险模型的讨论 风险理论是保险学和排队论的基础，一直是数学工作者研究的热点在上一 世纪c r a m e r 和l u n d b e r g 对经典风险模型的研究形成了一套较为成熟的理论，因 此人们把最基本的风险模型也就是经典风险模型称为c r a m e r - l u n d b e r g 模型在 风险理论中，g e r b e r 首先提出了经典的带干扰项风险模型关于c o x 风险模型 g r a n d e l l ，j 在其所著的a s p e c to fr i s kt h e o r y 一书中对此有深入的研究，得 到了其破产概率的l u n d b e r g 不等式以及其他一些好的结果对于双风险模型的 研究，文献 2 7 、 2 9 、 3 7 给出了保单的到达过程和理赔的到达过程都是 p o i s s o n 过程的双p o i s s o n 风险模型，并给出了其破产概率的l u n d b e r g 不等式 本文在文献【2 8 】、 3 9 的基础上，进一步考虑保单的价格也是随机的，便 推广到了更一般的带干扰的双c o x 风险模型，并得到了该模型的破产概率的指 数上界进一步考虑当c = 0 时，即在不带干扰的情况下，我们根据连续鞅不等式， 给出了该模型破产概率的非l u n d b e r g 指数上界最后本文用具体的例子来计算 、壬， ) 的非l u n d b e r g 指数上界 2 2 模型的建立 设( q ，f ，p ) 是完备的概率空间，以下所有的随机变量都在该空间上 定义2 2 1m 1 随机过程 a ( f ) ，t 0 ) 以概率1 满足： ( 1 ) a ( o ) = 0 ； ( 2 ) v t - o ( 2 1 ) 盈利过程 s ( f ) ；f o 为 s ( f ) = 置一艺y i + c w ( t ) n ， l ( ，)( f ) ( 2 2 ) ( 1 ) l ( f ) ，t o ) 是强度为 人。( r ) ，t 0 的c o x 过程，表示保单的到达过程 ( 2 ) 2 ( f ) ，t o 是强度为 a ：( f ) t o ) 的c o x 过程，表示理赔的到达过程 ( 3 ) 肖= 置，f 1 ) 表示每次出售保险的收入，且 置，f l 是独立同分布的非 负随机变量，其共同的分布函数为以和均值e y 1 表示每次的理赔额，且 鬈，f l 是独立同分布的非负随机 变量，其共同的分布函数为e 和均值e y o o ( 5 ) 形( f ) ，t o 是标准的布朗运动，表示保险公司不确定的收益或付款 ( 6 ) 1 ( f ) ，t o ， 2 ( f ) ，t o ， 置，f l ， i ，f l ， 形( f ) ，t o 相互独立， 且它们关于露条件独立 冠( f ) ，t o 与 冠( f ) ，t o 相互独立 以上6 个条件称为约束条件 令：礤= 盯( 人f ( j ) ；j s o o ) ，只川= 盯( m ( j ) ；s f ) i = 1 ，2 只”= 盯( 肜( s ) ；s f ) ， f ：= f v f f ? = f v f ? l 。f t = f ：v f v ： 显然 e ，t o ) 是f 的非降子盯代数流 定义2 2 3 称t = i n f t 0 ：r ( t ) 0 为破产时，w ( u ，f ) = p t 0 ，保证 壬， ) 1 2 3破产概率的指数上界 为了得到模型( 1 1 ) 的甲( ”，f ) 和、壬，( ”) 的指数上界我们需要用到以下引理 引理2 3 1 【1 ”如果a ( f ) 是随机测度，且假设皿a ( f ) 】 o ，使得当，个时k ( ，) 个o 。其中 ( ，) = f 矿d & ( 功一1 ，同样有，( ，) = f e “四( z ) 一1 引理2 3 2 设r 为任意实数，对盈利过程 s ( f ) ，f o ) ，存在露可测的函数 g ( r ，f ) ，使得 研e x p _ 心( f ) i 露】i e x p 堙( ，f ) ) ( 2 3 ) 证明：由约束条件( 6 ) 和引理2 3 1 得 e x p e e x p 一r s ( f ) i r a ：e e x p 一， 窆置一警r + c 矽( 伽雌】 一f = 一， 艺置一r + f 矽( f ) 】 雌】 n t ( f )捣( f ) = 点- i e x p 一，【芝置，陋】e e x p ，【芝e 陋】e e x p - r c ( f ) | 霹】 = i ；垦! ! d 1 2 ；! ：竺：( ( 一，) + l r 薹；垒z j ( 1 2 苫兰二兰竺( ( ，) + 1 y e ；，一 = e x p a 。( f ) 以( 一，) + a ：( f ) ( ，) + l c 2 r 2 t 9 ( 2 4 ) 第二章双c o x 风险模型的讨论 令g ( ，f ) = a 1 ( f ) k ( 一，) + a 2 ( f ) ( ，) + c 2 rf ，则引理2 3 2 证毕 # 引理2 3 3 对任意的实数r ，设= 篙恚铲 贝| j 晓o 是 f 一正鞅 证明：对于任意0 j t ，有 ! t m ( t ) i f , = m ( ，s 一 r t e e x p x p 龇- r ( s 力( t 一) - 时s ( ，s 妫) ) f = m ( s ) e e x p 一，( s ( f ) 一s ( s ) ) l c ) e x p - ( g ( r ，f ) 一g ( ，j ) ) ( 2 5 ) 由引理2 3 1 和独立性可知 e e x p - r ( s ( t ) 一s ( j ) ) l e 】 ：e e x p - ，( 笙x i 一警墨) ，盼e e x p r ( 。r , - 笙r , ) l f a = r ( 一墨) 犯】 e e x p - r c ( w ( t ) 一( j ) ) ) 】 ：e e x p - ，, v d t ) 置) 盼e e x p 警圳c 】乒1 e e x p r o 。 = - ，置) j e 】r i c 】e 2 一。 扣i 扣) + i忙“2 【5 p 1 下面来计算 e e x p - r2 五) 1 只】 3 1 1 ( f ) = e e e x p - r x , i f a i n , ( t ) 一1 ( s ) 】 j m j ) “ m ( f ) - - e ( e ( e x p - r 蜀 ) ) p ( n l ( t ) 一1 ( s ) = j i i e ) = ( 一啦) p ( n i ( t ) 一n g s ) = k 1 只) k = o = 芝( 一喁) p ( l ( f ) 一l ( j ) = t i 露v 掣v ) k = 0 = 薹( 酽) 坠晦等丝删沪忡”t = o l o ( 2 6 ) 第二章双c o x 风险模型的讨论 尉理得 盹i ，) e e x p r 艺巧犯】= 划伊“胁p 所以有 e e x p 一，( s ( ，) 一s ( s ) ) l c 】 ；e x p ( a 。o ) 一a 。( 呦以( r ) + ( a ：( d a ：( s ) ) 嘻( ，) 十i 一_ c 2 ，2 ( f 一力 = e x p g ( r ，f ) 一g ( r ，j ) ( 2 7 ) 由( 2 5 ) 、( 2 6 ) 、( 2 7 ) 得e m ( t ) i f , i = m ( s ) ，x o s f o i 焉) + e f ( r 岛) i r f o ，f o 。p ( t t o i f o ) e m ( t t o ) i t t o ，f o p ( t t o i f o ) = e m ( t ) i t t o f o p ( t - t o l f o ) ( 2 1 0 ) 因为在f 上，u + s ( t ) 0 所以有 e m ( t ) i t t o ，矗】 = e 【e 一7 ”3 功，e l - g ( , , r ) li t - t o ，民】 e 【一一2 7 ，”i r t o ，f o 研蕊一”i t t o ，昂】 = 。i 。n f e x p - a 。o ) h a 一，) 十a ：( f ) ( ，) + l c 2 r 2 t 】 ( 2 1 1 ) 第二章双c o x 风险模型的讨论 由( 2 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 得 p ( 丁f o l i o ) 面网e 一面r u 而矿 嘲s u pe x p 删以( 一，) + 哪) ( ，) + 秒1 2 f ) 两边取期望得 、壬， ，t o ) e - 州e s u pe x p a 1 ( t ) h a - r ) + a 2 ( f ) ( ，) + 去c 2 ，2 吩】 在上式两端令：f 0j 。可得 甲( “) c ( r ) e ” ( 2 1 2 ) 其中c ( ，) = 日s u p e x p a l ( t ) h a 一，) + a 2 ( t ) h r ( r ) + - c 2 r 2 t # t - ： o 厶 象在古典风险模型中一样，我们选取尽可能大的r 作为l u n d b e r g 指数，于是 我们给出如下l u n d b e r g 指数的定义 定义2 3 1 【1 6 1 令r = s u p r l c ( r ) r ；所以得到了一个完美的l u n d b e r g 不等式、壬， ) e 一 尽管定义2 3 1 有意义，但在这里a l ( t ) 、a ：( t ) 是随机测度，所以要确定r 是很困难的正如 1 6 所述的那样确实存在c ( r ) = 佃这种情况事实上， c ( 尺) m 要求c ( r ) 在r = r 处是间断的 在定义2 3 1 的基础上，我们有如下推广的l u n d b e r g 不等式 定理2 3 2 对v o 占 r ，有甲 ) c ( r 一占) e - “h ，其中c ( r 一占) o o 1 证明：由定义2 3 1 c ( r ) = e 【s u p e x p a 1 ( f ) k ( 一，) + a 2 ( f ) ( ，) + 妻c 2 r 2 f ) 】 0 0 ， f 2 0二 和( 2 1 2 ) 式w ( u ) c ( r ) e 一( ，r ) 知，对v o , f f r ，有0 r 一占 r ，将 ( 2 1 2 ) 中的r 换成r 一占，( 2 1 2 ) 式仍成立，即甲( “) s c ( r s ) e 哪! 如， 其 中c ( r 一占) 0 定理2 4 1 若g l o ) 是n w u 分布函数，g 2 ( 工) 是n b u 分布函数，且满足 对o s o 则m 0 ) 是f 一上鞅 n 互( 巧) 证明：对任意的o 甜) ) o 如叠 ：p ( u ( n 2 ( s i 一窆p 砌= p ( u ( i 一五 社) 叩也磴蕊1“。萄( 巧一蜀) 叩s u p 磴x ：覃鬲”9 磊( 艺z 一艺置 1 4 一 g 1 ( “) “ 1 一)7 g 1 ( “) 7 第二章双c o x 风险模型的讨论 利用定理的条件( 2 ) 可得，上式右端 互( 置) 、， ”罂磺旁 南 0 9 9 = ，t 。、u ll h j 利用定义2 4 1 可得，上式右端 丌晟( 墨) 1 卯恶稿皿丽 利用引理2 4 1 的结论可得，上式右端 m ( u ，t ) g i c u ) 其中嘶舻t 2 鹾m c 器， 其中 聊( “，f ) = 2 研蒜广一】+ e ( 瓷并) ) 兀叵( z ) u 1 v 、壬， ) 2 魄甲( 地f ) 熄肌( “，f ) g l ) = 所( ) g l ( “) 其中删邛舭鬻m 船， f w t l lr i 假设g 1 0 ) 有参数名，其被允许的变化范围为a ，则由上面结果可推出 、壬，( 甜) 赠脚( 甜) g l ( “) # 2 5 例 保单到达和理赔的发生具有相同的累计强度过程时的情形，即 a 1 ( f ) = 人：( f ) = 人( f ) 设g i ) 和g 2 ( 工) 分别是服从参数为 ，五 0 的指数分布函 数记g i ( x ) = 1 一e 一扣，g 2 0 ) = l - e 一扣，密度函数分别为g l ( x ) 和g d x ) ，则 蜀( x ) = p 一和，9 2 ( z ) = 如e 一舻，显然由定义2 4 1 知g l ( z ) 可看成是n c f i j 分布函数， g 2 ( 算) 可看成是n b u 分布函数，且当 如时，g 1 ( x ) 和g 2 0 ) 满足定理2 4 2 ls 第二章双c o x 风险模型的讨论 要使g l ( 工) 和g 2 ( 工) 满足定理2 4 2 的( 1 ) ，则由 e 【( p a 2 x t + 8 k 一2 ) 】o ：亨e 【( 口一, h x t + g 硝一2 ) ( a ( f ) 一a 0 ) ) 】- e 【( 6 ：( 置) 一1 ) ( a 。( f ) 一a 。( s ) ) + 【( g ；( 巧) ) 一- 1 ( a ：( f ) 一a ：( s ) ) 】o 所以当e ( e - 如x , + p “) 2 时，g l ( 力和g 2 ( x ) 也满足定理2 4 2 的( 1 ) 综上所述，当 附轰汝) 2 时，g l 和) 满足定理2 4 2 的条f 牛 c 珊掣c 鬻均一嘲哪h 嘶h z 辫翠票m c 鬻， 似炉但憋研带陌以黹 = 2 舰醐陋拶叼俐m ( 鼍若) _ 1 f m u i 一j 注：当f o 。时，a ( 力专而且e ( e - 也置+ 一- 2 ) 1 0 所以 甲 ) m ( u ) g 1 c u ) = l - g l ( u ) = e - 舢 i e a = 丑：丑五，e ( e 一如五+ 8 郇) 2 则迸一步可得 赠p 却= e 一矽 ( 2 1 3 ) 为得到s u p 的具体表达式，考虑如下例子； 设置，k 分别服从参数为口，的指数分布利用强大数定律可推知，为使满 f f = o 口 e ( e - 也x , + p 粥1 2 j l + 生 2 五十口p 一 譬 整理( 2 1 5 ) 可得 2 4 4 - p & + a 4 0 ( 五十口x 一a ) 从而 2 五一双+ 嘲 0 令0 = a 一如，a = 卢一瑾，并记a = ，代入上式有 2 a 2 一( 2 0 + a ) 2 + f l o o 上式分解为 ( 旯一三厶) ( 五一1 0 0 可推知 名缸扣 护 三够；+ 口；) 2 但由0 = 2 - 五五 譬，可知只能有 1 7 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第二章双c o x 风险模型的讨论 脚 一卉 为了寻求旯的最大的允许值，由( 2 1 7 ) 可知需选取口使厶获得最大的允许值为 此对，2 关于口求导，有 厶= 2 + 【2 ( 2 口+ 力一4 f 1 l 一1 = 2 1 + 2 ( 2 0 + a ) - 4 b i 。 ( 2 1 8 ) 令，2 = o ，可得 4 2 4 f l a = o j a = 这与口= 一盯矛盾，所以有厶0 因为厶( 回是p 的连续函数，所以有 厶( 口) 0 由( 2 1 8 ) 可知l 即) = 言兰 。，所以厶p ) 。 则2 ( 0 ) 是口单调递减函数；故可知当口= 0 时，厶取得最大值为2 a 这时a = 五，并由( 2 1 7 ) 可知 a o 内是下凸函数而g p ) - - h a 一，) + 目( ，) ，故! 觋g ( ，) = + m 所以g ( ，) = o 存在唯一的正根r 定理2 6 1 当c = 0 ，a 】( 0 = a 2 ( f ) = a ( f ) 时，最终破产概率为 嘶) = 矿篙两 证明：当c = o ，a l ( f ) = 人：( f ) = 人( f ) 时，对于固定的f o o ，f o 尸( r f 0 i 昂) + 研肘( 丁 岛) l r f 0 ，f o p ( t t o f o ) 1 9 董三里翌里竺墨堕堕型堕塑堡 对上式两边取期望并令气辛+ ， e - r u = 。l + i m 。e p 一。+ 3 口1 r - t o - ) ( 2 1 9 ) “h 啪 o 一 下面来证明： l i r ae e “5 ”i t f 0 】p ( t f o ) = o ，p - a s 一 设l ) = ：三 称为集合爿的指示函数当r f o 时，材+ s ( f o ) o ， 所以 o t o ，p ( t t o ) = e 【e 一成。+ 5 “”l r t , i 1 又由强大数定理知 自1 h n 。s ( f o ) 寸佃p 一扎8 。 故由勒贝格控制收敛定理得 l i me e 一研“”i r 气】p ( t f o ) = o ，p - a s 所以( 2 1 9 ) 就变为： 矿“= l i r ne e - 。扣+ 5 7 ”l rt o p ( t f o ) 所以有 ，m 甲( “) = e e - r t 。+ 二s ( r ) li t 一 0 的指数分布时，最终破产概率为 v ( “) ：j z - _ _ r re - r u 证明：对于y o ，因为事件( 在破产的情况下，“+ s ( 即 阻+ s 旺) 卜y 其中甜+ s ( ) 表示破产即刻 前盈余，故 p 【“+ s ( r ) 】 y l r 【甜+ s ( ) 】一) ，i ( n 甜+ s ( ) ，r 0 。 第二章双c o x 风险模型的讨论 于是，可德 ；墼妲竺：! e 躯) 知“出 = e 一印 e e - 舢s ( 珊i t so o = 矿母护m + s ( 列 o ) 表示保险公司的初始资 本；则盈余过程 u ( 力；f o ) 定义为 hj ( f ) u ( f ) = 甜+ ( 1 + p ) p j a o ) 一乏1 ( 3 1 ) 盈利过程 z ( 力；f 0 ) 为 工( f ) = ( 1 + p ) z j a ，( f ) 一刁力】 一i i = l 则称( 3 1 ) 式为n 险种的c o x 风险模型 ( 1 ) g ( t ) u = 1 ，2 ，功表示第j 险种在( o , t 】时间内的索赔次数， ( f ) ；f