（计算数学专业论文）二维单纯形样条显式表达式的构造及其应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 所谓样条函数就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数多元样条函数 在函数逼近，科学与工程计算，计算机辅助几何设计，小波及有限元等领域都有着广泛 的应用另一方面，多元样条函数与基础数学的一些领域，如，抽象代数，代数几何， 微分方程及组合数学等，亦有着密切关联由于多元样条函数严重依赖于定义域剖分的 几何性质，因而呈现出十分复杂的情况而对于平面上处于一般位置的埘个点，每两个 点连接起来，即得到了一个完全图，构成了鄙j 二维单纯形样条函数支集的剖分。 本文利用对一元b 一样条函数的表达式齐次化和对称性推导出的多元b 一样条函数， 对于二维单纯形样条函数，一方面可以通过对完全图的遍历给出每个胞腔上的显式表达 式，另一方面对于平面上这朋个点，存在有卅个锥样条，通过对这些锥样条函数的组合 给出单纯形样条的显式表达式然后将二维单纯形样条的表达式齐次化来磨光多面角， 最后利用锥样条函数组合给出的单纯形样条的表达式证明了具有最小支集的砖的样条 函数可以由两个鲆的单纯形样条的卷积构成 关键词：单纯形样条；锥样条；显式表达式；齐次化 大连理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t as p l i n e 缸1 c t i o ni sap i e c e 们s ep o l ”o m i a l ，w h i c hh a v ec e r t a i ns m o o t hp r o p e n i e s m u l t i v a r i a t cs p l i n e sa r e 惭d e l yu s e di n 劬c t i o na p p r o x i m a 廿o n s ，c o m p u 乜t i o n so fs c i e n c e 趾d e n g i n e e r i n g ，c a g da n dw a v e l c t s m o r e o v e r ，m u l t i v 撕a t es p l i n c sa l s 。h a v ec e r t a i nr e l a t i o n s 埘t hp u r em a t h e m a t i c s ，s u c ha s ，曲s t r a c ta i g e b r a ，a l g e b r a i cg e o m e t r yc o m b i n a t o r i c sa n ds o f b n l l f u “h e r ，a sm u l t i v a r i a t es p i i n e sd e p e n ds “e r e l yo nt 1 1 eg e o m e 订i cp r o p e r t i e so fm e d e f i n i n gr e g i o np a r t i t i o n ，s ot h c r ca r es e v e r a lc o m p l i c a t e ds i t i l a t i o n s b u tf o rmg e n e r 主c p o i m si nr 2 ，c o 蛐e c t 证ga i l yt o wo fm e m ，w ec a i lg e tac o m p l e t eg r a p h ，w h i c hf o r m sm e s u p p o r tp a n i t i o no f 5 ：jb i v a r i a t es i m p l e xs p l i n e s i n 正sp 印e r ，w eu s et l l ei n f 0 姗a ie x p l i c i te x p r e s s i o n so fh i g h e rd i m e n s i o n a lb s p i i n e sw h i c h a r ed e d u c e db yh o m o g e n i z i n ga n ds y m m e 仃i z i n g1 0 w 钉d i m e n s i o n a lb s p l i n e s f o rm e b i v a r i a t es i m p l e xs p l i n e s ，t h e r e 伽o 、v a y s o n eg i v e sa na l g o r i t h mt o 订a v e r s et h 萨c o i r l p l e t e 孕印hw h i c hc a ng e tm ee x p l i c i te x p r e s s i o no ne v e r yc e i lt h eo m e ri sb yt h ec o m b i n a t i o no f b i v a r i a t ec o n es p l i n e s t h e nh o m o g e n i z i n gt h eb i v a r i a t es i m p l e xs p l i n e s ，w ec a ns m o o t h p o l y h e d r a la n g l e s i nt h ee n d ，u s i n gt h ec o m b i r m t i o no f b i v 嘶a t ec o n es p l i n e s ，w ep r o v et h e 岛s p l i n e sw h i c hh a v em i n i m a ls u p p o r tc a nb ef o h n e db yc o n v o l u t i o no f t w o口s i m p l e x s d l i n e s k e yw o r d s ：s i m p i e xs p l i n e s ；c o n es p h n e s ；e x p l i c i te x p r e s s i o n ；h o m o g e n i z i n g 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：驰日期：- 2 理碰 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版；允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名盥邀左 导师签名：玉1 专车代幺国2 导师签名： 塑l 兰生丛竺型垒矿 丘年月监日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 多元样条函数简介 样条函数，就是具有一定光滑性的分片或分段定义的函数，如果在每片或每段上定 义的函数是多项式，则称为多项式样条函数样条函数的研究已有六十多年的历史，它 的引入是研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题为背景的1 9 4 6 年，数学家 i j s c h o e n b e r g 1 2 较为系统地建立了一元样条函数的理论基础但是s c h o e n b e r g 的 工作刚开始时并未受到重视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条 函数也得到了迅速的发展和广泛的应用1 9 6 6 年h b c u r r y 和i j s c h o e n b e r g 在文 3 中提出了一元b 样条函数，是一种定义b 样条函数的几何直观方法1 9 7 5 年王仁宏采用 函数论与代数几何的方法，建立了任意剖分下的多元样条函数的基本理论框架，并提出 了所谓的光滑余因子协调法1 9 7 6 年，d eb o o r 将对一元b 样条的几何解释推广到多元 样条但这种几何定义的推广不便于理论的研究，直到便要研究的泛函数形式推广的出 现，多元b 样条函数的研究才开始活跃起来其泛函数形式的推广有单纯形样条，b o x 样条和锥样条等，分别由m i c c h e l l i ，d eb o o r d ev o r e 和d a h m e n 等人给出 样条函数与现代工业造型设计有着直接的联系，在传统飞机，船舶制造中广泛采用 的模线样本法的数学表示就是三次样条函数，利用样条函数构造磨光基函数等等正因 为如此，样条函数已经成为计算机辅助几何设计( c a g d ) ，计算机辅助设计及制造 ( c a d c a m ) 等领域中不可缺少的工具，同时又是散乱数据插值和拟合中重要且常用的方 法之一，在小波及有限元等领域中均有较为重要的应用另一方面，随着多元样条理论 的发展，人们发现它与基础数学的一些学科，如，抽象代数、代数几何、微分方程等， 亦有着千丝万缕的联系，更为有趣的是，产生于逼近论的多元样条与研究离散对象的组 合数学亦有密切关系 由以上我们可以看出，样条函数无论在理论上还是应用中都具有十分重要的意 义由于客观事物的多样性和复杂性，多元样条函数的研究就极为重要，近年来，人们 一直致力于多元样条函数的研究，多元样条函数方法已经在诸多方面得到应用 虽然多元样条函数方法在思想上是一元样条函数的简单推广，但两者之间有着本质 的差别它要比一元情况困难得多，复杂的多这不仅是由于区域的多维性及多元函数 区域的复杂性，而且多元样条函数空间的结构还依赖于剖分的拓扑性质和几何性质，使 得多元样条的研究变得十分复杂和困难一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑 余因子协调法，b 一网方法及多元b 一样条法。 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 1 1 1 光滑余因子法 1 9 7 5 年，王仁宏在文献 4 中采用代数几何的方法建立了任意剖分下多元样条函数 的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子协调法王仁宏，c h u i ，s c h u m a k e r ，何天 晓及施锡泉等学者大量应用这一方法，得到了丰富的结果此方法刻划了多元样条函数 光滑连接的内在本质并建立了光滑连接所应满足的协调方程，从而沟通了多元样条函 数与代数问题的等价关系，为用代数方法研究多元样条函数提供了条件，从这种基本观 点出发，多元样条函数的各种问题均可以转化为与之等价的代数问题来研究 设d 为r 2 中的一区域，以致记二元七次实系数多项式集合一个二元多项式p 称 为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多项式可整除它( 在复数域 中) 代数曲线 r ：，( z ，y ) = 0 ，( x ，y ) b 称为不可约代数曲线，如果，( z ，y ) 是不可约多项式用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，d 被分为有限个子区域q ，d 。，它们被称为d 的胞腔形 成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的两个顶点称为相邻 网点以某一顶点矿为顶点的胞腔的并集称为顶点矿的关联区域或星型区域，记为 ( 矿) d 上的关于剖分的二元七次阶光滑样条函数空间定义为 掣( ) = s c ”( d ) ：s i n b ，f - 1 ，) 基于代数几何中的b e z o u t 定理，王仁宏得到了多元样条函数光滑连接的条件，表现为 如下定理： 定理1 1 ：设s 掣( ) ，口，d ，是剖分的相邻胞腔，不可约代数曲线r ：，( x ，y ) = o 是d f 与d ，的一条公共网线，只= j i q ，c = j b ，则有 p p = ( f ( x ，y ) ) “g ( x ，y ) 其中，g ( x ，y ) p k “+ 1 ) d 称为网线r 上的光滑余因子，此处d = d e g ( f ) 我们将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点如果一条网线的内部属 于区域d 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线设v 为任一给定的内网点，v 的 关联区域( v ) 有个胞腔d l ，d 。，口与d ，的公共网线记为r ，：( x ，y ) = o ，f - l ， 大连理工大学硕士学位论文 吼( z ，y ) ( x ，y ) 川= o ( 1 1 ) 其中，毋( x ，y ) e 吒删：，一= d e g ( ) ，公式( 1 1 ) 称为样条函数j ( x ，y ) 在内网点的协调条 件若样条函数在所有胞腔上均为同一多项式，则称其为蜕化的下面定理称为样条函 数的存在性定理： 定理1 2 ：对于给定的剖分，样条函数存在的充要条件是在每个内网线上存在非 零的光滑因子，且在每个内网点处满足协调条件( 1 1 ) 由此，王仁宏在 5 中建立多元样条函数的一般表达式 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔d 1 ，d 。，任意选定一个胞腔，例如日作 为源胞腔，从n 出发，画一流向c ，使之满足： 1 c 流遍所有的胞腔d l ，d 。，各一次 2 己穿过内网线的次数不多于一次 3 已不允许穿过网点 流向图己所经过的内网线称为相应于己本性内网线，其他的内网线则为相应于己的 可去内网线显然可去内网线与本性内网线只是一个相对概念设r ( x ，y ) = o 为c 的 任意一条本性网线，将从原胞腔c 出发，沿c 前进时，只有越过r 。后才能进入所有闭 胞腔的并集记为u r + ，将从原胞腔c 出发沿r 。时，在越过c 之前所经过的各胞腔并集 为u r ；，称u r ；u r i 为网线r 口的前方，记作z ( r 口) 定义1 1 ：设r ：屯( 五y ) = o 为相应于流线c 的本性内网线，多元广义截断多项式定 义为 似棚? = 心力。髹嚣z ， z ， 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理1 _ 3 ：任意j 群( ) 均可唯一表示为 j ( 工，力= p ( x ，j ，) + 0 ( x ，y ) ? “g f ( x ，y ) ( x ，y ) d 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 其中p ( x ，y ) e 畋为j ( x ，y ) 在源胞腔上的表达式，表示对所有本性网线求和 百 1 1 2b 一网方法 所谓b 一网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系 数之间的关系，给出光滑拼接的条件，这是一种局部坐标的方法最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到二元情形的是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表b 一网方法的 系统刻划是由g f a i n 在1 9 8 0 年的博士论文中完成的，在这篇论文中考虑了多元样条 b e z i e r 坐标和光滑性的关系，从而使b 一网方法成为研究多元样条的重要方法之一d e b o o r 6 ，f a i n “】，h 0 1 1 i n g 等人对b 一网方法的发展起过重要的作用我国学者苏步青， 刘鼎元0 1 ，常庚哲，冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作 b 一网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但由于 剖分的针对性，b - 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性，因此它在 三角剖分上的多元样条表达式方面具有一定的优越性迄今为止，单纯形剖分上样条函 数的一些问题的最佳结果，多是由b 一网方法得到的 设u ，v ，u 是三角形艿按逆时针方向排列的三个顶点，则任意x r 2 可唯一表示为 x = f l v l + 乇v 2 + v 3 其中，+ 乇+ = l ，称f l ，2 ，t 为石关于三角形万的面积坐标不难得到 q = 鬻， l ：章三塑d ， ( v i v 2 ) ( 鸭一v 2 )毛。半繁专 面积坐标有一个重要的性质就是仿射不变性令y = 屯一_ ，薯的面积坐标为 f 7 = ( ”，f 8 ) ) ，f _ 1 ，2 口= ( 口t ，口2 ，吩) = r ”一f o 函数，( x ) 的自变量x 用面积坐标 替换后得到的函数用厂( f ) 表示，替换前后函数的偏导数与方向导数有如下关系 明加蝴f ) - 掣也掣+ 等a 1d r ，d f ， 碰厂( f ) = 彰( a ) d 4 厂( r ) 一 大连理工大学硕士学位论文 其蝴咖去 。d f ，。d l 彤( r ) 。暑一2 百啬盯f 1 吒， + 如+ = n ，丑z + ，称毋( r ) 为b e r n s t “n 基 函数，其具有如下性质： 1 璎( f ) o ，f 占= v 1 ，v 2 ，v 3 】 2 - 蟛( f ) * 1 3 ( 群( f ) ，= 玎) 是多项式空间p n 的一组基底 4 群( f ) 在点f = 兰处取唯一极大值 由性质3 可知，任一多项式p 可唯一表示成 p ( r ) = 以彤( f ) l 1 2 月 ( 如，h = 挖) 称为p ( r ) 关于占的b e z i e r 坐标，插值于( ( 鲁，) ：川= h ) 的分片线性函数 称为，( f ) 关于占的b e z i e r 网，简称b - 网下述定理显式了b e r n s t e i n 形式的升阶公式 定理1 4 ：令一= ( 1 ，o ，o ) ，p 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，矿= ( o ，0 ，1 ) 矽2 者善“ 则 以蟛( r ) = 锣群“( r ) 1 4 印川2 1 定理1 5 ( d ec a s t l j a u 算法) ：假设”次多项式p ( f ) = ：。群( f ) 若令卵( r ) = ， 掣( r ) = r ，q ? ( r ) ，= 肝一r ，则 p ( f ) = 群”( f ) ，o r 特别地，取，= 押，则得p ( f ) = 聪哪( f ) 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 下述定理给出了疗次多项式p ( r ) 的方向导数 定轧6 ：碰p ( f ) 2 南l 丢驰) 而对于样条函数的光滑条件，设，为以v l ，v 2 ，v 3 为顶点的三角形，于为以矗，心，v 3 为 顶点的三角形于与丁有公共边v 2 b ，我们有， 定理1 7 ：设p 0 ) 与声( f ) 分别是定义在相邻三角形r = v 1 ，v ：，v 3 】和于= 色，v ：，屹】上的 ”次多项式，慨，h = ) 和喊，h = 凡 分别是p ( r ) 与户( r ) 关于r 和于的b e z i c r 坐标，则 p ( r ) 与户( r ) 之间c 7 光滑拼接的充要条件是 瓦。= 略( ) ，s = o ，1 ，r 其中，是e 关于r 的面积坐标，旯5 = ( s ， ，丑) ，丑+ 厶= 玎一s 1 1 3b 一样条 b 一样条法又称为投影子法，它起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 的关于一元样条的工作， 是一种定义b 一样条函数的几何直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多面体 ( 如立方体，单纯形等) 在较低维空间投影的测度函数一元b 一样条是由c u r r y 和 s c h o e n b e r g1 9 6 6 年在文。1 中引入的1 9 7 6 年d eb o o r “”将其推广到多元样条但这种 几何定义的推广不便于理论研究，直到便于研究的泛函数形式的推广的出现，多元b 一 样条的研究才开始活跃起来其泛函数形式的推广有单纯形样条、b o x 样条和锥样条等， 分别由m i c c h e l l i ，d eb 0 0 r d ev o r e 和d a h m e n 等人给出，m i c c h e l l i ，d eb 0 0 r ，d ev o r e ， d e h m e n 等人在这方面作了大量的研究工作与上面方法相比，b 一样条方法对于剖分的要 求更为严格，通常为均匀的剖分，但b 一样条方法在理论上较为完善，且与许多不同的数 学学科都有着深刻的内在联系 先回顾一下一元样条的定义及其相关的性质 记【， ，( ) 是，在节点x = ，o ，s n 上的h 阶差商，即 乇，】厂( ) = ( 厂( ) 一厂( f 0 ) ) ( 一r 0 ) f o ，厶】厂( ) = ( 【 ， 厂( ) 一 ，一，】厂( ) ) ( 一气) ”兰2 6 大连理工大学硕士学位论文 在不引起混淆的情况下，厂的忍阶差商也记为【f o ， 厂 以t ，0 f s ”为结点的一元b 样条函数，定义为 彳0 i ，) = 竹 乇，】( - 一r ) ? 式中- 是x 的截断，即当x 0 ，那末_ = x ，否则_ = 0 递推关系式为： 枷”舶。刍幡蚓和。 ) + 嚣枷” ( 1 3 ) 导数表达式为： 鲁m ( f l 气，) 。i m ( f | f l ，) 一m ( f i 岛，。) ( 1 4 ) 为了将一元b 一样条推广到多元的情形需要借助于差商的h e r m i t e g e n o c c h i 公式， 记= ( “l ”，“。) i “，1 ，”，o ，1 f ”) 为标准n 一单纯形 则当函数，( f ) c ”时，有h e r m i t e g e n o c c h i 公式 ，】，= 。，”( 坼) 幽。幽。 f = o 其中= 1 一坼 由此可得到一元b 样条的另一个定义 弘川和，抛) 办= 胛! ，f 杰1 挑呶w c o ( r ) r s ” ，。u 其中c o ( r ) 为定义在爬上的具有有限支集的连续函数的全体 1 9 6 6 年c u r r y s c h o e n b e r g 就此式给出了一元b 一样条的一种几何解释 设”一单纯形盯顶点啦的第一个分量为f ，o 蔓f 胛，则 批) ：堕坐掣 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 式中脚1 表示第一个分量，v d 为r 中的l e b e s g u e 测度上式表明m ( f k ，) 恰为 超平面国1 ) = f 与盯的截面面积与盯自身的体积的比值 d eb 0 0 r 将上式推广到高维情况设仃为”一单纯形“盯的前s 个分量记为“( “则 ”一5 元多元b 样条定义为 t ( x ) = v 。一，( “a 1 “5 1 = x ) ( 1 8 ) 但是这种推广，不便于多元b 样条的理论研究为了方便理论研究将( 1 6 ) 式推广到多元 b 样条 设可重集合矿= “，1 f ”) c r 。，使得甲册矿= r 5 ，则多元b 样条可定义为 ；f 虬( z l y ) ，( z 弦= 加) ，( 喜q 卜，c o ( r 。)胪口 7 i 其中面= 幽新。，q 为科中的凸域 在( 1 9 ) 中，取国( y ) = ! ，q = ，s ”为上面定义的标准单纯形则( 1 9 ) 转化为 ( 1 9 ) j ，( x ) 帆( x i 矿) 出翎! 厂l v fp ，c ( 瓞5 ) ( 1 1 0 ) 旷f ” 0 2 由此定义的b 样条就是m i c c h e l l i 于1 9 8 0 年在文】中引入的单纯形样条习惯上，将 单纯形样条记为m l x ) m i c c h e l l i 于1 9 7 9 年在文献中就给出了关于单纯形样条函 nn 数的递推表达式，对任意x r 5 ，可以表示为x = 盖， = 1 ，则有 j t o，o m ( 彤) = 熹砉磊m ( 邶憎) 在( 1 9 ) 中，取( 力= 1 ，q = 卜吉，争”并要求o g 矿，则( 1 9 ) 变为 虬( x l 矿) 厂( z ) 出 ” ，( 静p e c ( r 5 ) u 玎、5 1 7 大连理工大学硕士学位论文 由( 1 1 1 ) 定义的b 样条就是d eb o o r ，d ev o r e1 9 8 3 年在文中引入的b o x 样条 习惯上我们将b o x 样条记为毋( x ) 在不引起混淆的情况下简记为b ( x ) 它的递推表达式 为 一s ) 耳( x ) = 窆 ( 告+ ) 岛，。( x ) + ( 告一 ) 耳，。 一争 ，= o 厶上 在这里对任意x 科，可以表示为石= z 。 若在( 1 9 ) 中再取国( y ) = 1 ，q = r ：= 缸= ( x ”，x ”) 7 砜”l x o ，0 f ) ，并要 求o 诺矿，我们就可以得到由d a h m e n1 9 8 0 年在文献中定义的锥样条 l 帆( x 旷) ，( 工) 出= 丘厂( 喜h 户，e c 0 ( 科) ( z ) 习惯上将其记为丁( xy ) 其递推表达式为 m = 熹喜叫咿 在这里对任意z 磷，可以表示为x = z 。 1 2 本文主要工作 我们主要研究的是二维单纯形样条函数的显式表达式及其应用 第二章是关于单纯形样条函数的介绍介绍m i c c h e l l i 和d a h m e n 在单纯形样条方 面的所做的一些工作，给出单纯形样条函数的一些性质及其“显式表达式”n e a m t u 提出的从一元样条函数到高维情况的推广，构造单纯形样条函数空间以及单纯形样条 函数在插值方面的应用，即是k e r g i n 插值，和在组合数学上的应用最后给出了利用 对低维b 一样条的齐次化得到高维b 一样条的“显式表达式” 在第一章中我们给出的单纯形样条的隐式表达式，第二章中给出的单纯形形样条的 “显式表达式”实际上并不能说是一个显式的表达式，因为它并不适用于所有的情况。 而在磨光中我们需要用到二维单纯形样条的显式表达式，所以在第三章中，利用对低维 b 一样条的齐次化得到高维b 一样条的“显式表达式”，通过对完全图的遍历和锥样条的组 合分别给出二维单纯形样条函数显式的构造有了显式的表达式我们就可以用它来磨光 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 多面角，给出了五面角是的磨光和三面角碍的磨光并且利用锥样条组合得到的单纯 形样条的表达式证明了具有最小支集的岛的样条函数可以由两个群的单纯形样条的卷 积构成 大连理工大学硕士学位论文 2 单纯形样条函数 2 1单纯形样条函数的一些性质及其“显式表达式” 前面( 1 1 0 ) 式是利用泛函数形式给出的单纯形样条函数的表达式，是一个隐式表达 式，在这里我们介绍m i c c h e l l i 和d a h m e n 在单纯形样条方面的所做的一些工作，给出 单纯形样条函数的一些性质及其“显式表达式” 考虑集合j = x o ，x ” 彬处于一般位置，即对于x 的任意一个子集y ， l ，= 妒，一，p ) ，r c z ，y 的基数# 王，= d + 1 ，有v o 【明 o ，其中 1 v d 乙阳= 音阻( 圳 d e t ( y ) = d e t ( x “，x 1 ，x 。) ：= x ：碜 对瑚 ： 砖连 用另一种方式描述x 是处于一般位置，即对于x 的任意一个由d + 1 个向量构成的子集 都是仿射无关的 如果y v 1 ，v “ ，记由l ，中向量仿射线性组合所产生的仿射空间记为 ，即 ：= ( “j v ，其中“= 1 j = ij = 1 m i c c h e l li 在文中给出了单纯形样条函数下面的性质： 定理2 1 ：= x o ，) c 碾。处于一般位置，z 的凸包记为【x ，则 m ( 1 x ) c c “一1 ( 刺) ，在【x 】内部为正，而且在州u ：】，三x ， 】，= 田的区域中是 次数s 盯一d 的多项式 更一般地有 定理2 2 ：j = x o ，矿 亡r 。，# 肖= + 1 ，v d 屯 彳】 0 ，即是由丑生成的 + 1 ) ( d + 1 ) 的矩阵时，m ：= ( ( 1 ，p ) 7 ，( 1 ，) 7 ) 的秩为d + 1 ，则有m ( | x ) 在 棚内部 为正，而且在 x 】( ：j ，量x ，# 】，= 田的区域内是次数胛一d 的多项式而且如果 砖硝；磅 二维单纯形样条函数显式表达式的构造及其应用 ， 0 ，l ， 一d 一1 ) ，对于所有的y x ， # y ，+ 1 有阳【z y 】 0 ，那么 m ( | x ) c c ( 彬) 类似于b e r n s t e i n b e z i e r 多项式，单纯形样条也有类似的“升阶公式” 令。r 。= x o ，x ，x ，x ，x “，一，工”，= 0 ，1 ，” 定理2 3 ：彳豫4 ，群x = + l ，那么有 m ( f x ) = m ( | x ) ( 2 1 ) 在1 习里m i c c h e l l i 还给出了一个奇特的等式，描述了多元单纯形样条函数的平方可以 写成多元单纯形样条函数乘机之和 x ，= x o ，z 。，x 。州，x ”)，= 0 ，1 ，- 一，聆 定理2 4 ：x r 4 ，样x = 行+ 1 ，而且v d 瞄】 o ，= o ，1 ，栉，则 m ( i x ) 2 i l _ 丢m ( i 玛) m ( | 盖) x r 4 ( 2 _ 2 ) 接下来的定理给出单纯形样条m ( j 的“显式表达式”，d a h m e n 和m i c c h e l l i 在 中对它的统计学背景进行了讨论 定理2 5 ：x c 掣，# x = 月+ 1 ，假设“r 4 而且伽 u x 处于一般位置，则 脚旧2 晶豇善 器裂凿高s s n a e t 炉眦嗍x ， 这里给出的“显式表达式”，实际上并不能说是一个表达式，因为它不是对所有的 情况都成立，对于节点不是全部位于凸包上的情况不成立， 此外，d a h m e n 和m i c c h e l l i 在1 9 8 3 年n 硼利用单纯形样条函数给出了锥样条函数 丁( ix ) ，即多元截幂函数的表达式 令z c 敢。， 5 z = ，集合= ( 1 ，x ) 7 ：x 爿 ，则 r ( ( r ，x ) 7l 矽) = ，：。“m o - 1 xl ) ( 2 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 使得( f ，x ) 7 鼹“1 从( 1 ) 式我们看到d + 1 维的锥样条函数可以从d 维单纯形样条函数的齐次化得到 d a h l a n 在【1 4 】中给出了关于多元截幂函数的一个有意思的表示式，描述了多元单纯形 样条函数可以从多元截幂函数的组合得到这个表达式产生的背景是一元b 样条函数的 差分形式的定义 设，是递增的点列，f r ，则一元b 一样条函数定义为 枷忖= 志姜斋焉 ：l 争 业：生二兰型 ( 2 4 ) 一1 ) ! 箭( z ，一) ( 一0 一一) ( + t 一0 ) ( 矗一一) 、。 而一元的多元截幂函数 ，= 志轰 所以 m ( r 1 而，矗) = 丁。一t i _ 一， 卸 从中我们可以得到多元情况下的表达式 定理2 1 6 ：设x = x o ，- ，x “) c 4 ，矽：= x 。一x ：o s ， l ，搠 l ，次数埘的插值多项式不是唯一的) 更具体地说，对于r ”上的m + 1 个点，p = 风，“) ，是在p 的凸包上州阶光滑 可微的函数，那么次数聊的k e r g i n 插值多项式足。( 厂) 满足： 1 ) k ( ，) ( 只) = 厂( b ) ，f _ o ，聊，如果乃是5 重节点，s 2 ，则( ) 和厂在巧 这点有直到j 一1 阶相同的r i 讨l o r 级数 2 ) 对任意次数女m 的常系数偏微分算子q ( a a 砷，有q ( a 舐) ( k 。( ，) 一，) 在 ( p 0 ，) 任意的七十1 个点的凸包上为零而且，如果，满足q ( a 融) ( ，) s 0 ，则 q ( a a 砷( 足。( ，) ) = 0 大连理工大学硕士学位论文 3 ) 对任意的仿射变换丑：璁”_ 瓞。，g 是琏，上m 阶光滑可微函数，有 k j ( g 。a ) = 巧( ，) ( g ) 。 ，其中 ( p ) = a ( p 。) ，a ( ) ) 4 ) 。亿( 。) 的映射是线性的，连续的 事实上，3 ) ，4 ) 是k e r g i n 插值多项式的特征 p k e r g i n l 9 8 0 年在文献口7 l 中给出了k ，( 厂) 的存在性，当盯= 1 时，k 。( ，) 就是 l a g r a n g e h e r i i 】i t e 插值p m i l m a n 和m i c c h e l l i 在【2 8 】中给出了世。( ，) 的显式表达式这