（计算数学专业论文）群的幂等正交类系统及应用.pdf

摘要 群对称不仅是现代数学的灵魂之一，而且也成了处理现代科学中的对称问 题的最为有效的工具研究群对称的基本工具是群表示论，丽群表示的核心概 念是群的不可约特征标，所以群的不可约特征标研究是群表示论研究的中心问 题之一文 l 】引进了群的有效分类及幂等正交类系统的概念，并巧妙地利用矩 阵的同时对角化问题给出了一个有效分类的特征刻划及相对应的幂等正交类系 统的计算方法事实上，群的有效分类及幂等正交类系统的概念分别是群的共 轭分类及群的不可约特征标的推广本文在文 1 】1 的基础上对群的有效分类及 幂等正交类系统进行了系统地研究，给出了许多新的概念及方法发现这种幂 等正交类系统，也能像群的不可约特征标一样揭示某种对称性概括起来有如 下几个方面： ( 1 ) 得到了群的有效分类的特征刻划定理 ( 2 ) 引进了有限群g 关于某个矩阵表示的矩阵表示、双类函数、逆闭分 类、h e r m i t e 类函数、均匀交分类、均匀可换分类、对称有效分类等概念，并讨 论了它们之间的关系；给出了对称有效分类的六个等价刻划；发现了对称幂等正 交类系统及其矩阵表示之间的关系；部分地解决了文1 提出的猜想 ( 3 ) 给出了有效分类的有效矩阵的计算公式及对称有效分类的有效矩阵的 计算公式；揭示了群的不可约特征标与幂等正交类系统的关系，并给出了群的不 可约特标的多种计算方法 ( 4 ) 证明了对称幂等正交类系统的正交定理；得到了有限群的不可约特征标 的一个重要定理 ( 5 ) 研究了可以写成两个阿贝耳群积的群对称有效分类的结构，给出了这类 群的大量对称有效分类；定义了幂等正交类系统的k r o n e c k e r 积与广义直和的 概念，并利用这两个概念给出了幂等正交类系统的两种构造方法 ( 6 ) 发现了群上的幂等类函数，也可以反映多重函数的对称性、矩阵的幂等 性及多重线性映射的对称性；给出了张量映射的广义对称张量映射分解及张量 空间的广义对称类的分解 关键词：不可约特征标，关联矩阵，有效分类，对称有效分类，幂等正交类系统， 摘要 k r o n e c k e r 积，广义直和，张量映射，张量空间，广义对称类 a b s t r a c t g r o u ps y m m e t r y , o n eo ft h es o u lo fc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c s ，i sb e c o m i n g t h em o s te f f i c i e n tt o o lf o rm a n ys y m m e t r yp r o b l e m si nr e c e n ts c i e n c e s t os t u d y s y m m e t r yo fag r o u p ，ab a s i ci m p l e m e n ti sg r o u pr e p r e s e n t a t i o n ，t h ec e n t r a l c a t e g o r yo fw h i c h ，i r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro fag r o u p ，n a t u r a l l yb e c o m eo n eo ft h e c e n t r a lp r o b l e m si nt h eg r o u pr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y i nc i t e 【l l au s a b l ep a r t i t i o n o fag r o u pa n di d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e ma r ed e f i n e d ，f o l l o w e db yi t s c h a r a c t e r i z a t i o na n dr e l a t i v en u m e r i c a lm e t h o d ，d e x t e r o u s l ya p p l y i n gt h es i m u l - t a n e o u sd i a g o n a l i z a t i o no fm a t r i c e s i nf a c t ，au s a b l ep a r t i t i o no fag r o u pa n d i d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e ma r er e s p e c t i v e l yg e n e r a l i z a t i o n so fc o n j u g a t e p a r t i t i o na n di r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro fag r o u p f o l l o w i n g 【l 】，t h i st h e s i sm v e s t i g a t et h eu s a b l ep a r t i t i o no fag r o u pa n d i d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e mb yt h en u m b e r s ，p r e s e n tm a n yn e wd e f i n i - t i o u sa n dm e t h o d s ，f i n dt h a tt h i si d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e mc a ng i v e v o i c et os o m es y m m e t r yp r o p e r t i e sa sw e l l 嬲t h ei r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro fag r o u p r e c a p i t u l a t i o n sa sf o l l o w s ： ( 1 ) g e tac h a r a c t e rt h e o r e mf o ru s a b l ep a r t i t i o no fag r o u p ( 2 ) i n t r o d u c es o m ec o n c e p t s ，s u c ha sm a t r i xr e p r e s e n t a t i o nf o raf i n i t eg r o u p gc o r r e s p o n d i n gt os o m em a t r i x ，b i - c l a a sf u n c t i o n ，i n v e r s ec l o s e dp a r t i t i o n ，h e r - m i t ef a c t i o n ，u n i f o r mi n t e r s e c t i o np a r t i t i o n ，u n i f o r mc o m m u t a t i v ep a r t i t i o n ，s y m - m e t r yu s a b l ep a r t i t i o na n ds oo n ，a n dd i s c u s st h e i rr e l a t i o n s ；p r e s e n ts i xe q u i v a ， l e n tc h a r a c t e rf o rs y m m e t r yu s a b l ep a r t i t i o n ；f i n do u tt h er e l a t i o nb e t w e e ns y m - m e t r yi d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e ma n di t sm a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ；a n d s o l v et h es u p p o s i t i o nb r o u g h tf o r w a r db y 【1 】1p a r t l y ( 3 ) g i v ea ne x a c tf o r m u l af o ru s a b l em a t r i xo fu s a b l ep a r t i t i o na sw e l la sf o r s y m m e t r yu s a b l ep a r t i t i o n o p e no u tt h er e l a t i o nb e t w e e ni r r e d u c i b l ec h a r a c t e r o fag r o u pa n di d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e m ，a n dg i v es e v e r a ln u m e r i c a l m e t h o d sf o ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e ro fag r o u p a b s t r a c t ( 4 ) p r o v et h eo r t h o g o n a lt h e o r e mf o rs y m m e t r yi d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a s s s y s t e m g i v ea l li m p o r t a n tt h e o r e mo fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e ra b o u ta6 n i t eg r o u p ( 5 ) s t u d yt h es t r u c t u r eo fas y m m e t r yu s a b l ep a r t i t i o nw h i c hc a nb ew r i t t e n i n t ot h ep r o d u c to ft w oa b e ls u b g r o u p s ，a n di na d d i t i o ng i v em a n ys y m m e t r y u s a b l ep a r t i t i o no ft h i sk i n do fg r o u p s d e f i n ek r o n e c k e rp r o d u c ta n dg e n e r a l - i z e dd i r e c ts u mi ni d e m p o t e u to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e m ，a n da p p l 虮n gt h e s et w o d e f i n i t i o n s ，p r e s e n tt w om e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n gs u c hs y s t e m ( 6 ) f i n do u tt h a tt h ei d e m f o t e n to r t h o g o n a lc l a s ss y s t e mc a nd i s c l o s et h e s y m m e t r yo fm u l t i - f u n c t i o n ，t h ei d e m p o t e n tp r o p e r t yo fm a t r i xa n dt h es y m m e - t r yo fam u l t i l i n e a rm a p g i v et h eg e n e r a l i z e ds y m m e t r i ct e n s o rm a pd e c o m p o s i - t i o no ft e n s o rm a pa n dt h eg e n e r a l i z e ds y m m e t r i cc l a s sd e c o m p o s i t i o no ft e n s o r s p a c e k e y w o r d s ：i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ，a s s o c i a t e dm a t r i x ，u s e a b l ep a r t i t i o n ，s y m - m e t r i cu s a b l ep a r t i t i o n ，i d e m p o t e n to r t h o g o n a lc l a 明s y s t e m ，k r o n e c k e rp r o d u c t ， g e n e r a l i z e ds 衄，t e n s o rm a p ，t e n s o rs p a c e ，g e n e r a l i z e ds y m m e t r i cd a s 8 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了 明确的说明并表示谢意 作者签名：赵建五 日期：翌! 五：乡 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权 将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 ) r ， 学位论文作者签名：嫠题导师签名：盐坠 日期：丝1 1 ! 日期：兰璺丑：! ：兰 第零章引言 0 1 研究背景 在开始正文之前，作者试图在有限群的特征标的辉煌背景之下，努力反射 出自己工作的一丝微光，这样做使我感到如履薄冰但我确实是受到了特征标 的漂亮理论及非凡功效的强烈震撼和吸引，才决定以“群的幂等正交类系统及 应用”为题傲为自己博士毕业论文的，所以也只好班门弄斧了 群论最早起源于十九世纪上半叶c a m s ，c a u c y , l a g r a n g e ，特别是a b e l ， g a l o i s 的伟大工作1 8 7 2 年，f k l e i n 开创了他的e r l a n g e n 纲领，宣告群论是 研究几何的焦点进一步加强了群论在数学中的卓越地位而后l s y l o w ，a c a y l e y , c j o r d a n ，v d y c h o h b l d e r 在1 9 世纪末做了许多重要工作 在上述研究中，尽管k l e i n 使用了矩阵来实现群，但是对于群表示论没有 太多的涉及在数论里l e g e n d r e c a u s s 及d i r i c h l e t 的工作涉及到了特征标 但特征标的抽象定义应归功于r d e d e k i n d 在1 8 7 9 年的一项工作中去，这 些可以视为特征标理论的萌芽时期人们喜欢把1 8 9 6 年4 月著名的f r o b e - n i u s ，d e d e k l n d 的短暂交往看成有限表示论诞生的标志，此时，有限群的特 征标理论已具雏形这项工作是与“群行列式”密切相关的1 8 9 6 年到1 9 1 7 年间，f r o b e n i u s 写了一系列的创造性的论文及i s c h u r b u r n s i d e 的卓越工 作，使得群的特征标和群表示的理论逐渐走向成熟在群表示论的发展过程 中，m a s c h k e w e d d e r b u r n n o e t h e r a r t i n 也做了许多出色工作 群的特征标的出现使得群论如虎添翼，在初期就表现非凡，特别是b u r n s i d e 在1 9 0 4 年利用特征标理论解决了矿矿阶群的可解性问题，事实上，这个问题 直到1 9 7 2 年才有纯群论的证明。而f r o b e n i n s 关于真子群存在的一个充分条 件至今尚无纯群论的证明b u r n s i d e 的工作是非凡的，对特征标的影响是深远 的特征标理论因其理论的漂亮和威力的巨大受到了数学家广泛的青睐，在以 后获得了飞速发展并开创了许多新研究方法和研究方向特征标理论与群表示 论对科学及数学发展的贡献是巨大的以下几个实例足可以使人充分相信这一 点，如晶的表示论位于代数和组合论的中心，并影响着纯粹数学和应用数学的 许多分支；应用特征标理论得到著名的p o l y a 基本定理，成为了计数组合学的 第零章引言2 里程碑；没有特征标理论的帮助，有限群分类的伟大工作的完成几乎是不可能 的；特征标理论帮助了f i e l d s 获奖者j g t h o m p s o n 解决了长期悬而未决的猜 想：f r o b e n i u s 核是幂零群；b r a u e r 因特征标理论与数论结合得到的硕果，而获得 了1 9 4 9 年的美国数学会的f r a n kn e l s o nc o l e 奖：有限群的表示理论对拓扑学 和李群的情形的推广在调和分析中起着重要作用；利用特征标理论研究多重线 性代数中的对称性，对多重线性代数产生了深远影响；利用特征标定义的广义矩 阵函数成为了多重线性代数中的重要分支，它在量子化学中有重要价值至于特 征标理论在物理、化学、建筑、信息等领域的应用，可谓数不胜数可以这样说， 对称是数学的灵魂，研究它的基本工具是群论表示论，而特征标如同它的名字一 样，刻画了群表示的特征仅有几个数字组成的特征标为什么会有如此之功效 呢，主要是因为它能反映对称的本质。那么提出如下两个问题就非常自然了： 一：对于任一个群，给出了群的乘法表，能否有一个一般的程序化的方法 来计算有限群的不可约特征标? 当然这对于群论工作者来说，从群论研究的角 度来讲价值不大因为乘法表给出了就意味着包含了群的所有信息，要计算出不 可约特征标对于研究群论就没什么意义了他们是用特征标来获悉群的乘法表 及其它性质的某些信息，而不是反过来然而在实际应用中，我们不仅要清楚群 的乘法表而且特别还应知道群的主要的数字特征不可约特征标表，如定义多 重线性代数的对称性，定义广义矩阵函数均应如此这如同我们在已经知道海 里蕴藏着宝贵石油资源，在未找到开发的技术之前，找出开发技术是一件非常有 意义的工作一样，知道群的乘法表，寻找群的不可约特征标表是一件非常有价值 的工作 - - ：群里面还有没有其它具有不可约特征标的漂亮性质，并能表达对称性 的一种东西呢? 而这种对称性不是任何特征标意义下的对称性如有，如何表达 呢? 事实上文【1 】1 中，隐含了对第一个问题及第= 个问题前半部分的部分回答， 但并未明确地回答上述问题，且该文也未引起人们的足够重视，这是一件非常遗 憾的事情文【l 】1 引进了群的有效分类与幂等正交类系统的概念，这两者分别是 群的共轭有效分类及不可约特征标的推广，并给出了构造性的计算方法本文 将在文【1 1 1 的基础上对群的有效分类及幂等正交类系统进行系统地研究并圆满 地回答了上述两个问题 第零章引言3 0 2 本文的主要工作 本文在文【1 j 1 的基础上对群的有效分类及幂等正交类系统进行了系统地研 究，给出了许多新的概念及方法发现这种幂等正交类系统，也能像群的不可约 特征标一样揭示某种对称性概括起来有如下几个方面： ( 1 ) 得到了群的有效分类的特征刻划定理 ， ( 2 ) 引进了有限群g 关于某个矩阵表示的矩阵表示、双类函数、逆闭分 类、h e r m i t e 类函数、均匀交分类、均匀可换分类、对称有效分类等概念，并讨 论了它们之同的关系；给出了对称有效分类的六个等价刻划；发现了对称幂等正 交类系统及其矩阵表示之间的关系；部分地解决了文【i 】提出的猜想 ( 3 ) 给出了有效分类的有效矩阵的计算公式及对称有效分类的有效矩阵的 计算公式：揭示了群的不可约特征标与幂等正交类系统的关系并给出了群的不 可约特标的多种计算方法 ( 4 ) 证明了对称幂等正交类系统的正交定理；得到了群的不可约特征标的一 个重要定理 ( 5 ) 研究了可以写成两个阿贝耳群积的群对称有效分类的结构，给出了这类 群的大量对称有效分类：定义了幂等正交类系统的k r o n e c k e r 积与广义直和的 概念，并利用这两个概念给出了幂等正交类系统的两种构造方法 ( 6 ) 发现了群上的幂等类函数，也可以反映多重函数的对称性、矩阵的幂等 性及多重线性映射的对称性：给出了张量映射的广义对称张量映射分解及张量 空间的广义对称类的分解 定理2 1 6 设p = 咿l j ，慨1 ，j ) 是有限群g 的一个分类，c ( o ) 为p 的关联矩阵，且存在一个m 使得c ( ) = 三l t ，工为可逆矩阵，则下列陈述是等 价的 ( 1 ) p 是群g 的一个有效分类； ( 2 ) c ( ，g 池) ，c ( o k ) 是七个线性独立的对称矩阵，c ( o ) 是类矩阵， 令坞= c ( 如) e ( 口。) 1 d = 1 ，2 ，后) ，硒，k 2 ，j l 可以同时相似对角化； ( 3 ) c ( 0 1 ) ，e 池) ，g ( 氏) 是k 个线性独立的对称矩阵，c ( o ) 是类矩 阵，令岛= l 。c j ( l - 1 ) t ( u = i ，2 ，后) ，毋可以同时正交对角化； ( 4 ) c ( o o ，a 池) ，e 限) 是k 个线性独立的对称矩阵，c ( o ) 是类矩 第零章引言 4 阵，c ( 0 1 ) ，c c 0 2 ) ，c ( o k ) 可以同时合同对角化 定理2 1 7 设p = p 】，忱1 ，1 ) 为有限群g 的一个有效分类，存在 一个m ( 1sms 七) 使得e ( a 。) 是实可逆矩阵，且可逆矩阵t 和a = ( b h x k 使得 玛= c ( o a c ( o ) = t d i a g ( a v ，a 材，a k j ) t - 10 = 1 ，2 ，k ) 这里a 。= 1 ( 1 8 七) ，则下列陈述是成立的。 ( 1 ) 存在一个可逆对角矩阵d l ，使得a = d 1 t r c ( o 。) - 1 ； ( 2 ) a t 是一个可逆对角矩阵； ( 3 ) 类函数向量( ，2 ， ) t = ( d l d 2 ) - 1 a ( ，如，厶) r 是p 的一个 i o s - 系统，这里d l = a c ( a 。) ( 卯) - 1d 2 = a t ； ( 4 ) 类函数向量( h l ，h 2 ，k ) r = 巧1 t 叮c ( ) 1 伍，厶，厶) t 是p 的 一个1 0 s 系统，这里d 2 = a t 定理2 2 1 5 设p = p 1 】，映】，【巩】) 是有限群g 的一个分类，e 咿l 】， 且c ( o ) = ( ( 口) ) k 。k 是p 的关联矩阵，且设a g = a ( 6 ) 1 6 g 是g 的一个有 效表示，则下列各陈述是等价的： ( 1 ) 分类p 是对称有效的： ( 2 ) 分类p 是有效的且b 】- 1 = p f l l ，j = 1 ，2 ， ( 3 ) c ( o ) 是一个对称类矩阵，且c ( e ) = 南d i a g ( j o d l ，i 峨】1 ) p ，p 是一 个置换矩阵； ( 4 ) 对1 i ，j k ，我们有 七 ( r d ( x a = ( ) ( 五) = c 玎( s ) ( 厶) a = 1 且存在一个置换i r & 使得( 易) 圩= ( l o ) ) ，j = l ，2 ，k ，在这种情况下， m ) ，m ) ，限) 是线性独立的且可同时相似对角化； ( 5 ) 存在- - 4 w i 9 _ f a 阵a = ( ) k k 使得 a c ( o ) a t = d i a g ( a l 。，口b ) ，w b 】，8 = 1 ，2 ，蟊 第零章引言5 由此可推得，= a i = ( ，1 ，2 ， ) ? 是p 的i o s - 系统另外，厶是h e r m i t e 的d = 1 ，2 ，七) 定理2 3 7 若有限群g 存在有效矩阵表示，则g 的一个分类p 是对称有 效的当且仅当p 是g 的一个均匀交的、均匀可换的分类 定理2 4 3 设p = 【p l 】， 0 2 l ，1 ) 是有限群g 的一个对称有效分 类，且 ，五， 是p 的l o s - 系统，则 ， ( 1 ) 五= a r ，这里a = ( ) 女。 是p 的有效矩阵，1 1 是p 的逆闭置换； ( 2 ) 对v h ，t 彬若t 是h e r n d t e 的，则( _ i l ，t ) = 0 当且仅当h t ( e ) = o ； i ( 3 ) 由暑呖i 峨j i = 6 0 l , ( e ) ，l ，j = 1 ，2 , - - k ( 2 - 4 4 ) 定理2 4 4 设p = 吼】，】，1 ) 是有限群g 的一个对称有效分 类， ，2 ， 是p 的i o s - 系统，且a 为p 的有效矩阵，则我们有 篇删) = 妻丽m g 这里( j ) = ，l ( 6 ) 丽，响表示在类吲中任一元素取值为1 ，不在这个类中 的g 中任一元素取值为0 的分类p 的类特征函数 特别对于【e 】p ，我们有 丽i o l 锹) = 妻解 定理2 4 7 设p = ( 【口1 1 ，限l ，】) 是群g 的一个对称有效分类，e p l i ，c ( o ) 是p 的关联矩阵如果存在两个可逆矩阵t 和a = ( b h 。 使得 见一t d i a g ( 凡1 ，a 。2 ，a ，k ) t 一1 ，$ = 1 ，2 ，七， 则下列陈述是正确的： ( 1 ) 存在一个可逆对角矩阵d 使得a = t d - 1 ； ( 2 ) a r c ( e ) 一1 a 是可逆对角矩阵； 第零章引言6 ( 3 ) 设= a ，则l 是p 的有效矩阵也就是f = l i 是p 的i o s - 系统 另外，我们有 l = d ( f ) a 日d ( g ) 一， 这里d ( g ) = 高出叼( i 妒1 i ，i 0 4 i ，i 0 4 1 ) 定理3 1 9设g l ，g 2 ，瓯为群g 的n 个子群，且g = g 1 g 2 瓯， l g i = l g + i i c 2 i - l g “对，j ，g q = g q ，若a 为g 的对称有效分类，“) 为 a 的i o s - 系统，那么p l o 耽o o 肌是g 的对称有效分类，( ”o ，( 2 ) o ，( 忭) 为其对应的l o s - 向量 定理3 2 7 设g l ，g 2 是有限群g 的子群，且g = g l g 2 ，l g i = i g l i j ( 邑l ， 假设 p - = “e ， 0 1 】，咿。】，慨】) ；砌= “e ) ，【丌- 1 ，【7 1 2 】，h 1 ) 分别为g 1 与g 2 的两个对称有效分类，如果 h 】g - = g t h 】u = 1 ，2 ，r ) ， 则广义直和张。仡也是g 的有效分类翩与) 2 的l o s - 系统，( 1 ) 与，( 2 ) 的广义 直和，( 1 ) 由，( 2 ) 是p l o m 的i o s - 系统 进一步，设存在两个矩阵b 1 = 或i l + 。，与b 2 = 礞+ 1 ) 使得加边矩阵 ( 硪。) ) 7 和( 礞+ 1 ) 。，) 耐，分别是n 与砌的有效矩阵，若以a 表示no p 2 的 有效矩阵，则我们有 a 却( 1 ) 鼢= b i 戳。0 m ) ， 这里 d ( f ( 2 ) = d i a # ( e ) ，露( e ) ，露2 ( e ) ) 。 定理4 1 5 设p = f f 口l 】，慨】，j ) 为有限群g 的共轭分类，f = ( ，1 ， ， ， ) t 为p 的l o s - 向量令 凡= 淼，江1 ，2 ，t 。， 第零章引言 7 则a 1 a 2 ，k 为群g 的所有不可约特征标 算法( ) 步骤一，利用( 1 2 4 ) 式计算出p 的关联矩阵c ( 0 1 ) ，d ( 0 2 ) ，g ( 靠) ； 步骤二，利用( 1 2 6 ) 式计算出p 的判据矩阵r 1 ，如，凤； 步骤三，求出使得t - 1 忍t ( i = 1 ，2 ，k ) 同时对角化的可逆矩阵t ( 这里 要注意的是，如果r l ，岛，风中有一个矩阵其特征根全是单特征根，那么 计算出其特征空间，容易求出t ，否则尽量找冗l ，忍，风的一维特征空间， 进而使得计算变得更简单一些，实际上在实际计算中c ( 0 1 ) ，e 池) ，c ( 以) ， r l 岛，风都是比较简单的矩阵) ； 步骤四，令a = 由t ，计算d ( ，) - 1 = a r c ( 0 1 ) - 1 a ( 是对角矩阵) ； 步骤五，计算a = o ( f ) a t c ( e i ) ，并令( ，2 ， ) t = a ( 1 1 ，厶，厶) r ； 步骤六，计算= _ 7 噪0 = 1 2 七) ，得到g 的所有不可约特征标 a a , 沁，h 州。 定理5 1 4 设g 是岛的一个n 阶子群，且 旭( z ) p = 1 ，2 ，七 是g 上的一个复值函数系统，f ( x ) 是定义在g - 对称区域dcx ”上的多重函数 设 f 5 1 6 g ) 是线性独立的，且当1 i k 时，黾是一对称的，当 j 时， 风是一零均值的，则我们有 风吩= 钆h j ， 且多重函数 晶= 最。( z ) + j k ( z ) + + 凡扛) 是缸对称的，这里h = h i + h 2 十+ 另外，如果f ( x ) = 最( z ) = 见。( z ) + r ，( $ ) + + 只。( z ) ，则 i g i 丘c = h i + h 2 + + ，k 定理5 3 4 设g 曼s k ，p = ( 0 ， 0 2 l ，1 为群g 的强对称有效分 类， ，五， 是p 的i o s - 系统，若f 为 到彤的任一多重线性映射，则有 f = f t , + f ，2 + + 如， 第零章引言 8 此分解称为关于l o s - 系统 ，五， 的对称分解 定理5 3 8 设g ，p ，五同定理5 3 6 所述，则张量空间茜y 等于所有广义 对称类的直和即 昌y = 吃( g ) = l 定理5 3 1 0 ( 广义对称张量映射的泛性质) 设g s k ，p 为群g 的一个 强对称有效分类，h 为p 的l o s - 系统中的某一个函数，若妒：v ”一缈是关于 g 和，的对称映射，则存在唯一的线性映射r 二( 垓( g ) ，彤) ，使得 t p ( v l ，t j 2 ，) = r ( o ) 0 3 有待于进一步解决的问题 与群g 的分类有关系的幂等正交类系统是群的不可约特征标的推广，具有 唯一性且具有群的不可约特征标所具有的良好的性质，并能描述某种对称性，应 该是一个值得探索的领域但限于作者的水平，所做的工作只是初步和粗浅的 还有大量的问题有待于做进一步的研究例如： ( 1 ) 编写特征标的计算程序，给出某些现在还未给出的某些群的不可约特征 标表 ( 2 ) 利用矩阵的方法及幂等正交类系统进一步刻划群的特征标 ( 3 ) 进一步研究幂等正交类系统在数学其它分支上的应用( 比如推广广义矩 阵函数的概念等) 及在实际中的真正应用 ( 4 ) 如同构造群的不可约特征标表一样，构造群的幂等正交类系统表 ( 5 ) 从对称有效分类中挖掘群的信息 第一章预备知识 为方便，本章将简单叙述一下本文中经常用到的有关有限群表示、群的有 效分类与幂等正交类系统及多重线性代数的一些主要概念与结果本文所涉及 到的群均为有限群，所涉及的问题均在复数域上讨论，并以c 记之用如一表示 k r o n e c k e r 符号 1 1有限群表示及群的特征标 设矿是n 维复向量空间，我们用g 厶) 表示从y 到y 的所有可逆线性 变换，g l 。则表示所有n 阶可逆复矩阵显然g l 。( y ) 与g 厶是同构的两个群， 通常称之为一般线性群 群g 的一个n 阶算子表示是一个从g 到g l 。( y ) 的同态映射t ：g g k ( y ) 群g 的一个n 阶矩阵表示是指一个从g 到g l 。的同态映射a ：g g k 群g 的矩阵表示可用集合的形式a g = a ( 6 ) 悼g 记之 若a ，b 是群g 的两个矩阵表示，若存在k g l 。，使b ( 5 ) = k - 1 a ( s ) k 对一切6 g 都成立，则称群g 的矩阵表示a 和b 是等价的 类似地，群g 的算子表示t ：g g l 。( y ) 与s ：g g l n ( w ) ，称为等价 的，如果存在可逆的l l ( v ) ，使得t ( f i ) = l s ( 5 ) l ，v 5 g 显然群g 的 等价的算子表示可适当选取基使它们诱导为同一矩阵表示 定义1 1 1群g 的n 阶矩阵表示a 称为可约的，如果存在k g l 。，使 得 旷1 郇麝( 豁a 胀g ， ( 1 ， 其中a l ( 6 ) ，如( j ) 分别是m 阶和n m 阶方阵，且1 m n ，如果存在k 使 得式( 1 1 1 ) 中的g ( d = o ，w g ，则称a 为完全可约的如果a 不是可约的， 则称为既约的或不可约的 群g 的n 阶算子表示t 称为可约的，如果在任一组基下的诱导表示是可 约的 第一章预备知识1 0 定理1 1 2g 的算子表示t ：g g l 。( y ) 为可约的充要条件是存在矿 的非平凡子空间彤，使对于t ( a ) 是不变的 定理1 1 3 ( m a s c h k e ) 设a 是有限群g 的礼阶矩阵表示，若a 是可约 的，则a 是完全可约的 定理1 1 4 有限群g 的任何疗阶矩阵表示a 等价于若干个不可约矩阵 表示的直和 定理1 1 5 设a 是有限群g 的7 , 阶不可约矩阵表示，记a p ) = ( a q p ) ) g k ，那么 “一) ( 6 ) = 譬盈a 。， 6 e g 定理1 1 6 若a ( 6 ) = ( o “( 6 ) ) ，b ( 6 ) = ( b i j ( d ) ) p g ) 分别是有限群g 的 ，l 阶和m 阶不可约矩阵表示，则对任意7 r g 有、 驴一m 小 嚣吲神矗幻盒萎i 票等价于b 定理1 1 7 设a ( 6 ) = ( ( j ) ) p g ) 是有限群g 的n 阶不可约矩阵表 示，则舻个函数a q ：g c 是线性无关的 定义1 1 8 设a 是有限群g 的表示，令a ( 6 ) = 打( 6 ) ) ，6 g ，则 a ：g d 称为群g 的由a 提供的特征标，若a 是不可约的，则称a 为不可约 特征标 定理1 1 9 设a 是一个t l 级表示a 的特征标，则 ( 1 ) a ( e ) = n ； ( 2 ) a ( 6 1 ) = 丽，对于6 g 第一章预备知识 ( 3 ) a ( d 口6 1 ) = 6 - 1 ( 口) ，对于正口g 这里e 为群的单位元，页两为a ( 6 ) 的 共轭复数 定理1 1 1 0 设a ，p 是有限群g 的不可约特征标，则 高荟琊m 一丌，= 挚翥羹：i 竺 记有限群g 的全部不可约特征标为 ，( g ) = a 1 ，k 定理1 1 1 1 若a ，b 是有限群g 的两个表示，则a 与b 等价的充要条件 是其特征标相等 定理1 1 1 2 设8 ，b 为群g 的两个元素，如果存在z g 使 n = x i y x 1 则称n 与b 共轭，也称。是b 的共轭元素群中元素的共轭关系是一个等价关 系由此关系决定的群的一个分类，称之为群的共轭分类 数 定理1 1 1 3 有限群g 的全部不可约特征标的个数等于群g 的共轭类个 定理1 1 1 4 设 o i 为有限群g 的包含6 的共轭类，则 料。焉郴丌1 = 。1 ，1 翥翼面 以后我们总用e 来表示群g 的单位元，s k 表示m 次对称群 1 2 群的有效分类与幂等正交类系统 在这一节我们主要给出文【1 1 1 中的若干概念及结论，并对文【l 】1 中群的复值 函数的乘法以及与此相关的概念及结论进行了修改，并对某些印刷错误予以订 第一章预备知识 1 2 正，这主要包括定义1 2 3 ，1 2 4 ，1 2 5 ，1 2 8 ，定理1 2 8 ，1 2 1 5 最后给出一个例 子，说明并不是群g 的每个分类都是有效分类 定义1 2 1 设p = 咿l j ，怯j ，陬】) 为群g 的个分类，g 上的一个复 值函数，称为群g 上关于p 的一个类函数，如果满足 ，p ) = f c o a ，w f 毋j ，j = 1 ，2 ，七( 1 2 1 ) 若一个矩阵a ( 日) 的每一个元素皆为p 上的类函数，则称矩阵a ( p ) = ( p ) ) 。为p 上的类矩阵， 定义1 2 2 设p = 胁】，慨j ，陬n 为群g 的一个分类，厶0 = l ，2 ， 一，k ) 称为群g 关于p 的特征函数，如采 荆= i o 如；a 果, 5 e 6 譬i o a 蚓, d = 1 ，2 ，七) ， ( 1 删 定义1 2 3 设g 为有限群，口为群g 上的两个复懂函数，与9 的多重 积为向，它满足 脚) 2 而1 三朋以一坩g ( 1 j 2 3 ) 以后我们所说的群g 上的两个复函数的积，均指满足( 1 2 ，3 ) 式的多重积， 当，= g 时，m 记为尸 定义1 2 4 群g 上的一个复函数，称为幂等的，若，满足，2 = ，显然 类函数0 是幂等的着，还是类函数，则称，是幂等类函数 在本文中，我们讨论非零幂等类函数 第一章预备知识 定义1 2 5 群g 上的两个复函数 ，2 称为正交的，若 ，2 = 0 定义1 2 6 设p = 咿l l 限1 ，1 为有限群g 的一个分类，分类p 称为有效的，如果存在七个两两正交的非零幂等类函数，l ，2 ， 向量 ，= ( ，l ，2 ， ) t 称为p 的幂等正交类向量 为方便我们将定义1 2 6 中的 ，2 ， 称为g 关于p 的幂等正交类系 统设是群g 关于分类p 的所有类函数构成的集合，则彤关于普通的加法 与数乘作成一个复空间， ，毛，厶为其一组基，每个幂等类函数均在彤中 这里k 表示分类的个数i ( o ) ；( ，l ( ，厶( 口) ，厶( 目) ) r 称为类特征函数向量 定理1 2 7 设p = 【口】，【如1 ，限1 ) 为有限群g 的一个分类，l ，2 ，厶 为群g 关于分类p 的两两正交的类幂等函数，则 ( 1 ) ，2 ，m 是线性独立的； ( 2 ) m k 定理1 2 8 设p = p i l ，胁l ，限1 为有限群g 的共轭分类，则p 为g 的一个有效分类 定理1 2 9 设p = 1 8 1 ) ，陷】，陬b 为有限群g 的有效分类， ，五， 是群g 关于分类p 的一个幂等正交类系统，那么存在一个可逆矩阵a 使得 = n l + 嘞厶4 - 4 - a m k ( i = 1 ，2 ，助， a i a g ( l ( o ) ，厶( 口) ， ( 口) ) = a c ( o ) a r ( o g ) 这里a = ( ) 。，而 删= 驰( p ) 2 网1 怠t p ) t a 特别，当0 i 刚时，我们还有 d i a g ( a l j ，o , 2 j ，o 酊) = a c ( o ) a t ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 第一章预备知识 1 4 以后我们把c ( 日) 徊g ) 称为p 的关联矩阵，如果p 为有效分类，定理1 2 9 中的a 称为幂等正交类向量，= ( ，2 ， ) r 的有效表示 定理1 2 1 0 设p = 咿1 1 ，】，】) 为群g 的一个有效分类，则 c