（光学专业论文）耦合bec系统的量子及动力学研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究玻色原子及由其组成的玻色分子的耦合系统的麓子特征利动力学行为。首 先利用平均场理论把耦合玻色系统的哈密顿量线性化并求解其本征值，发现线性化的哈密顿 量的本征态是相干态，其中玻色原子处于s u ( 1 ，1 ) 相干态而玻色分子处于g l o b a l 相干态和 s u ( 1 ，1 ) 相干态，给出了处于相干态的玻色原子数与玻色分子数随凋谐频的变化而增减的图 像，而且发现耦合玻色系统的u ( 1 ) 对称性自发破缺将导致玻色系统发生玻色爱冈斯坦凝聚。 然后以相干态为初态突然改变外磁场，研究了玻色原子对数目的几率反转以及玻色分子数目 的几率反转，发现了玻色原子对的c o l l a p s e 和r e v i v a l 现象。最后又研究了耦合玻色系统在 没有衰减和有衰减情形下的动力学行为，给出了玻色原子数和坡色分子数的振荡图像。论文 的内容安排如卜： 第一章， 绪论部分，主要介绍所选课题的背景资料，以及选择此课题的主要原因。 第二章，相干态理论是本论文的理论基础，此章介绍s u ( 1 ，1 ) 相干态理论和压缩相干 态理论，并讨论压缩态下分子的统计分布情形。 第三章，介绍玻色原子和玻色分子耦合系统的相干态理论，从线性化后的哈密顿量来看 基态时玻色原子处于s u ( 1 ，1 ) 相干态而玻色分子处于压缩相干态，从而求出基态能量。最后 又在此基础上讨论系统的u ( 1 ) 对称项的自发破缺与玻色凝结的关系。 第四章：介绍耦合b e c 系统的量子特征，主要考虑只激发一个分子和只激发两个原子这 两种情形，并类比量子光学中的- - “f i g 级原子求出其叠加系数的表达式，然后进行数值计算， 并给出玻色原子与玻色分子的粒子数反转随时间变化的幽像。 第五章，通过求解海森堡方程研究耦合b e c 系统的动力学行为，主要考虑无衰减和有 衰减两种情形，并讨论玻色原子数与玻色分子数的l a b i 振荡的频率、振幅以及衰减的速度 与调谐频、耦合参数、衰减参数的关系。 关键词：f e s h b a c h 共振；g l o b a l 相干态：s u ( 1 ，1 ) 相干态； c o l l a p s e 和r e v i v a l ； a b s t r a c t a bs t r a c t w em a i n l ys t u d i e dt h eq u a n t u mc h a r a c t e r i s t i c sa n dd y n a m i cb e h a v i o ro ft h ec o u p l e ds y s t e m o fb o s o na t o m sa n db o s o nm o l e c u l e s f i r s tw ea p p l i e dt h em e a n - f i e l d t h e o r yt ol i n e a r i z et h e c o u p l e db o s es y s t e m sh a m i l t o n i a na n ds o l v e di t se i g e n v a l u e w ef o u n dt h a tt h ee i g e n s t a t ei st h e c o h e r e n ts t a t e ，w h e r et h eb o s o na t o m sa r ei nt h es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t ea n dt h eb o s o nm o l e c u l e s a r ei ng l o b a la n ds u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t e m o r e o v e rw es h o w e dt h ep i c t u r eo ft h en u m b e ro fb o s o n a t o m sa n db o s o nm o l e c u l e sw i t ht h e d e t u n i n gc h a n g en u m e r i c a l l ya n d f o u n dt h a tt h e b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no c c u r si fa n do n l yi ft h eu ( 1 ) s y m m e t r yo ft h eb o s e s y s t e mi s s p o n t a n e o u s l yb r o k e n t h e n ，t h i ss t a t ew a ss e ta st h ei n i t i a ls t a t e ，w es t u d i e db o s o na t o m s a n d b o s o nm o l e c u l e s i n v e r s i o na n df o u n dt h eb o s o na t o m s c o l l a p s ea n dr e v i v a lp h e n o m e n o n a tl a s t w es t u d i e dt h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h eb o s es y s t e mw i t hd e c a ya n dw i t h o u td e c a yi nr e s p o n s et o t h es u d d e n l yc h a n g eo ft h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l da n df o u n db o s o na t o m s a n db o s o nm o l e c u l e s r a b io s c i l l a t i o n s w ei n t r o d u c e dt h eb a s i cr e a s o na n db a c k g r o u n di n f o r m a t i o no fc h o o s i n gt h ei s s u ei nt h e 1s t c h a p t e r i nt h e2 n dc h a p t e gw ei n t r o d u c e dt h es u 0 ，1 ) c o h e r e n ts t a t et h e o r ya n ds q u e e z e dc o h e r e n t s t a t et h e o r t h e nw ed i s c u s s e dt h eb o s o nm o l e c u l e s d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n i nt h e3r dc h a p t e lw ei n t r o d u c e dt h es u o ，1 ) c o h e r e n ts t a t et h e o r yo ft h ec o u p l e ds y s t e mo f b o s o na t o m s a n db o s o nm o l e c u l e s w ef o u n dt h a ti n i t i a ls t a t ei st h ec o h e r e n ts t a t e ，w h e r et h e b o s o na t o m sa r ei nt h es u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t ea n dt h eb o s o nm o l e c u l e sa r ei ng l o b a la n ds u ( 1 ，1 ) c o h e r e n ts t a t ea n do b t a i nt h eg r o u n ds t a t ee n e r g yt h r o u g ht h el i n e a r i z e dh a m i l t o n i a n a tl a s tw e d i s c u s s e dt h er e l a t i o nb e t w e e n s p o n t a n e o u su ( 1 ) s y m m e t r yb r e a k i n ga n db o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n i nt h e4 t hc h a p t e r , w ei n t r o d u c e dt h eq u a n t u mc h a r a c t e r i s t i c so ft h ec o u p l e ds y s t e mo fb o s o n a t o m sa n db o s o nm o l e c u l e s w em a i n l yc o n s i d e r e de x c i t i n gt w ob o s o na t o m s c o n d i t i o na n do n e b o s o nm o l e c u l e sc o n d i t i o n o nt h i sb a s i sw eo b t a i n e di t s s u p e r p o s e dc o e f f i c i e n tc o n t r a s t i n gt h e t w o l e v e la t o mi nq u a n t u mo p t i c sa n dg a v et h ep i c t u r eo ft h en u m b e ro fb o s o na t o m sa n db o s o n m o l e c u l e sw i t ht h ed e t u n i n gc h a n g en u m e r i c a l l yb ym e a n so f n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n 1 1 i nt h e5 t hc h a p t e r , w ei n t r o d u c e dt h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h ec o u p l e ds y s t e mo fb o s o na t o m s a n db o s o nm o l e c u l e sb ym e a n so fs o l v i n gh e i s e n b e r ge q u a t i o nw i t hd e c a ya n dw i t h o u td e c a y a t l a s tw ed i s c u s s e dt h er e l a t i o no fb o s o n a t o m sa n d b o s o nm o l e c u l e s n u m b e ra n di t sr a b i o s c i l l a t i o n sf r e q u e n c ya n da m p l i t u d ew i t ht h et u n ef r e q u e n c ya n dc o u p l e dp a r a m e t e ra n dd e c a y p a r a m e t e r k e y w o r d ：f e s h b a c hr e s o n a n c eo s c i l l a t i o n ；g l o b a lc o h e r e n ts t a t e ：s u ( i ，1 ) c o h e r e n ts t a t e ：c o l l a p s e a n dr e v i v a l i i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 日期：2 嘟112 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名：日 期： 2 q q 昼! 1 2 第一章绪论 第一章：绪论 1 1b e c 相关的实验及理论发展 近年来，有关玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 的实现及其量予统计性质的理论研究与实验探 索取得了飞速的发展。2 0 世纪9 0 年代，碱金属原子气的冷却和凶禁技术取得了突破性的 进展，随后人们将冷却技术应明到玻色一爱l 天l 斯坦凝聚领域。随着玻色一爱冈斯坦凝聚领域的 发展，冷却玻色气体的技术被成功的应用到费米气体中，实现了费米原子气的超流。后来， f e s h b a c h 共振技术应用其中，实现了碱金属费米气从原子的超流到准束缚分子的玻色一爱因 斯坦凝聚的转变乜1 。通过改变磁场强度，人们可以使碱金属费米气在b c s 超流体和分子b e c 间相互转换，从而提供了研究b c s - b e c 过渡过程的独特研究平台。对于由玻色原子和玻色分 子组成的耦合玻色系统，人们首先通过激光冷却和蒸发冷却等方法实现玻色原子的b e c 然后 再利用玻色原子的凝聚体作为“冰箱”来冷却玻色分子，即把凝聚的玻色原子转换成玻色分 子。这其中的关键是冷原子之间的碰撞相互作用，当两个原予相互接近并碰撞时，可以在碰 撞期间用激光对原子进行俘获并把它们转化成分子或削f e s h b a c h 共振将它们转化成分子。 人们对b c s b e c 混合区域的量子特征和动力学行为已经做了深入的研究，然而对下f 由玻色原 子和玻色分子构成的耦合玻色系统的相干态理论和动力学理论却很少出现在研究区域中，这 是一个令人感兴趣的、富有挑战性的课题，对以后的理论和实验有重要的指导价值。 f e s h b a c h 1 共振是对原予的超精细结构而言的，我们知道当原子相互碰撞时可以结合成 双原予分子。由于分子是由两个原子通过弱束缚相互作用形成的，一般寿命比较短 1 ，所 以我们把它叫做准束缚分子。当双原子分子态与散射态的能最相等时，系统发生了f e s h b a c h 共振，此时准分子的束缚能等于磁场能，即易= 万，其中万= b ( 4 e + 、) ，b 为磁 场强度大小，磁场方向与自旋方向平行。心， ，# n y , j 电子磁矩和核磁矩大小。调：霄外 磁场强度，在f e s h b a c h 共振附近，出现了失谐的情况，其失谐能2 v = 万一e 。利用f e s h b a c h 共振技术，改变相互作用强度，实现了原子与分子的相干耦合懈，。在分子的寿命范围内， 体系可处于相干态。当突然改变磁场大小时，出现了原子分子相互转化现象。在低温下，量 子效应起主要作用，本文主要利用平均场理论和s u ( 1 ，1 ) 相干态理论研究该混合体系的量子 特征及其动力学行为。 东南人学顾f j 学位论文 1 2f e s h b a c h 共振 f e s h b a c h 共振舟最早是物理学家f e s h b a c h h 在原子核物理研究中首先发现的。在2 0 世纪9 0 年代初，t i e s i n g a 等预言了在碱金属气体系统中存在f e s h b a c h 共振，他们提出在 这些系统里原子碰撞的散射长度可以通过改变磁场来调：符。在1 9 9 9 年，m i t 的k e t t e r l e 实 验组首先在钠系统中观测到了f e s h b a c h 共振。目前f e s h b a c h 共振已被应用到玻色一爱因斯 坦凝聚领域里的多个方面。 我们知道，采用f e s h b a c h 共振技术可以形成分子，它的形成与原子的超精细结构有关。 在碱金属原子里，最外层电子只有一个电子，当两个碱金属原子碰撞时，他们总的电子自旋 可以处在单重态或三重态。由于原子核的磁矩远小于电子磁矩，原子总的磁矩主要是由电子 磁矩决定的，所以在双原子系统中二重态的磁矩远人于单重态的磁矩。当存在外磁场时，三 重态里最大的塞曼能绝对值远大于单重态的塞曼能绝对值，因此通过调= 肖外加磁场可以改变 三重态和单重态的能量差距。一般来说，在气体里的大多数原子中任两个原子都处在自旋三 重态的散射态上，有少量原子结合成自旋单重态的双原子分子，所以通过改变磁场大小可以 使双原子分子态能量接近散射态。当散射态和分子态能量相同时，系统里发生f e s h b a c h 共 振，此时原予的散射长度发散。在原子气体中，散射长度与原予之间的相互作用强度成正比。 两碱金属原子系统的能量随两原子之间距离的变化如图1 1 图中箭头代表自旋方向，红实 线代表处在总自旋s = 1 的散射态上的原子对能量随两原子距离之间的变化，兰线代表总自 旋s = 0 的单重态的分子束缚能原子之间距离的变化。当处在束缚态的分子的能量( 兰线) 与散射态能量( 红虚线) 相等时，系统中便发生了f e s h b a c h 共振。 s c a t t e r i n gl e n g t ha e n e r g ye n e r c l y i n t e r a t o m i cd i s t a n c e 图1 1 “b 2 e 8 图1 2 第一章绪论 在f e s h b a c h 共振系统中，散射长度口随磁场b 的变化关系( 见图1 2 ) 可以用以下的 简单公式描述一口。( ，一矗) ，其蝇是共振发生的磁场位置。当远离共振时，在岛 两侧，散射长度分别向正无穷和负无穷发散，发散宽度口是一个常数。在b o 的左侧，也就 是散射长度大于零的区域，两原子有排斥作用，在实验中，把外磁场调到小于b o 的位置， 就会有分子形成，然后利用冷却技术把分子冷却就会出现分子的b e c ，在远离b o 的区域我 们把它叫做b e c 区域。在远离磁场b o 的右侧，由r 丁- 散射长度小_ 丁零，原子之间形成弱吸引 作用，使两个自旋不同的费米原子配对，类似超导中的不f u - j 电子配对，所以这个区域我们也 把它叫做b c s 区域。在b e c b c s 的中间区域，我们把他叫做交叉区域。利用f e s h b a c h 共振 可以使散射长度达到任何一个值，任意改变原子间的相互作用，所以目前f e s h b a c h 共振在 玻色一爱因斯坦凝聚领域应用地非常广泛。 1 3 量子简并及分子b e c 的实验实现 近年来，人们采刚各种冷却与凶禁技术实现了费米原子气体的蕈子简并，还实现了由费 米原子构成的玻色分子的b e c 和费米原子对的凝聚等，卜面我们做一f 简单介绍。 1 3 1 费米原子的量子简并的实现 我们知道，具有半整数自旋的粒子称为费米子，如电子、质子、中予和费米原子和分子 等，它们服从费米一狄拉克量子统计。玻色量子简并现象在自然界中普遍存在。然而，由于 费米原子间存在较强的相互作用，在实验上一般很难实现费米原子气体的量子简并。随着激 光冷却和囚禁技术的快速发展以及玻色原子量子简并( 即b e c ) 的实现，使费米原子量子简 并的实现成为可能。由- 丁- 泡利不相容原理，费米原子不能同时处在相同的量子态，因此费米 原子问难以产生有效的弹性碰撞，从而使得费米原子的蒸发冷却速率很低，甚至无效训。为 了解决这一问题，1 9 9 9 年，j i n 小组利j | = l 二二个自旋分晕的费米原子获得了有效的蒸发冷却， 从而实现了费米4 0 k 原子气体的量子简并1 。在实验中，他们首先利用磁光凶禁技术在低真 空室中制各第一个费米4 0k 原子磁光阱( m a g n e t o - o p t i c a l ，t 晤o t ) ，接着利用一激光脉冲把冷 原子推到高真空室中的第二个m o t ，并利用磁光囚禁技术将冷原子冷却到1 5 0 k ，然后再 3 东南大学硕j j 学位论文 将冷原子装入i p ( i o f f e p r i t c h a r d ) 磁阱，由。丁臼旋偏振相同的贡米原子i 司不发生弹性碰 撞，当蒸发冷却到1 0 0 k 时，蒸发冷却效率极低，原子温度无法继续下降，然而，两种不 同自旋态间的费米原子不受泡利不相容原理的限制，可发生有效的弹性碰撞。冈此他们将费 米4 0 k 原予制备在二个自旋态：l f = 9 2 ，m ，= 9 2 ) j i i f = 9 2 ，研f = 7 2 ) ，采用蒸发冷 却到3 0 0 uk 时，他们发现最低能级上的原子数从零增至6 0 ，费米原子的量子简并出现了。 此外，他们还观测了一个非经典动量分布，发现费米原子的总能量大于经典期望值，这一多 余的能量是由于在低于丁砟( 乃是费米温度) 时泡利不相容原理促使原子填充到二次囚 禁势的较高运动态所致，甚至当温度接近0 k 时，理想费米气体中的一个原子仍然具有能量 3 耳4 。的确，在最低的丁耳= 0 5 处，他们测量到的能量仅是丁= o k 时极限的2 2 倍。 在同时囚禁与冷却两种不同自旋态的费米原子时，人们发现当进入有效的餐子简并i 又：域 后，蒸发冷却效率降低，只是冈为可 i 州带子态的逐渐减少，出现了热动力学碰撞的冻结， 这个过程称为泡利冻结。为了克服这个缺点，h u l e t 小组利用费米子6 l i 与玻色子7l i 的混 合气体间的弹性碰撞实现有效的蒸发冷却，使它们同时进入量子简并2 1 。在实验中，他们利 用费米原子6 l i 和已蒸发冷却的玻色原子7l i 混合，由于它们之间的热动力学弹性碰撞而使 费米原子6 l i 冷却到0 2 5 昂，从而实现了费米原子6 l i 的量子简并。2 0 0 2 年，t h o m a s 等人 提出- f - - 神采用c 0 2 激光阱及其光学势蒸发冷却技术实现费米6 l i 原子量子简并的全光学 方法m 1 。首先，他们利用磁光囚禁技术将费米原子6 l i 预冷至1 5 0 2k ，然后装载进入稳定 的单束聚焦的c 0 2 激光阱，通过降低c 0 2 激光功率，实现了费米原子6 l i 的光学蒸发冷却， 使原子温度降至4 k 以下( 即费米温度乃= 8 塍的一半) ，从而实现了】0 5 个费米原子6 l i 的量子简并，实验结果如图1 3 所示。由图中可以看出，当蒸发冷却时间为6 0 s ，且 ，耳= 0 4 8 时，几乎所有原子的速率均小于费米速度v f = 1 4 c m s ，这表明，几乎所有 的费米原子6 l i 均处在费米量子简并状态。 4 第章绪论 v e l o c i t y 图13 费米量子简并砸于数随原子速度的分布 13 2 分子b e c 的实现 从12 节中，我们知道，当两个自由原子与准束缚分子态的能鬻一致时，将发生f e s h b a c h 共振，因此，在f e s h b a c h 共振附近，通过调l y 磁场强度可以有效地改变原于间的相互作 用从而实现原子散射睦鹰的符号改变_ 1 人小的稠谐。近年米，人们采用全光学w 禁与冷却 办法和f e s h b a c h 茫振技术实现了费术原子的量子简井及其超拎分子的产生，井在此基础 上实现了全光型分子的b e c 。 2 0 0 3 年1 i 月，g r i m m 小组首先采用全光学拎却与因禁技术实现了原子t l 的费米量子 简井然后，通过聚焦y a g 擞光的光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 基振技术，实现了超冷气i2 分子；最后通过进一步的光学势蒸发冷却，在y a g 撤光阱中实现了全光型t 12 分子的b e c ， 获得了1 0 5 凝聚分子t l ，分子b e c 的寿命约为2 0 s 。2 0 0 3 年1 2 月，k e t t e r e 小组采用类 似的单束聚焦的y a g 激光囚禁及其光学势蒸发冷却利f e s h b a c h 共振技术，也实现了全光型 t 12 分子的b e c ，获得t 9 x 1 05 个凝聚分子，跃迁温度为6 5 0 n k ，气12 分子b e c 的寿命约为 4 0 0 m s 1 同年1 1 月，j i n 小组首先采h j 全光学冷却与凶禁技术，实现了”k 原于的费米鲎 子简并，然后通过单束聚焦y a g 激光( 昨1 5 5 帆) 的光学势蒸麓冷却取if e s h b a c h 共振技术， e 一=c：cil日一一一c 末南大学硬学位论文 实现了超冷“k ，分子；最后，通过进一步的光学势蒸发冷却，在y a g 激光肼中实现了全光 型“k2 分子的b e c ，获得了2 x l o5 个凝聚分子，实验结果如图14 所示“。其中国14 ( a ) 为共振吸收像，图1 ( b ) 为分子云的一维光学密度分布一实验结果表明，在r = 0 0 6 0 情况下，磁场在l o r e s 内肌2 0 27 8 g 扫描到2 0 15 4 0 时，分子b e c 出现了。 豳匿圆 ok - = 矗二葛_ 一_ 三r 扩 图14 “k2 分子b e c 的实验结果 1 3 3 费米原子对的凝聚 当磁场调谐到f e s h b a c h 共振的b e c ( a o ) 一侧时，原子能形成弱束缚的分子态，其束 缚能严重依赖磁场和f e s h b a c h 共振的失谐蕾，因而采用光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 共振技 术可以实现分子r 毗。而当磁场调谐到f e s h b a c h 共振的b c s ( a ( o ) 一侧时，二个费米原子 通过长程偶极相互作用可以形成费米原子对。同样。利用f e s h b a c h 共振技术，可实现分子 b e c 到费水原子对的凝聚的演化，因此在费米气体情况f 分子b e c 代表b c s b e c 交义区 的弱排斥作用一侧，而费米原子对的凝聚( b c s ) 或等效的费米凝聚为b c s - b e c 交叉区的强 吸引作用的另一侧。2 0 0 4 年1 月，j i n 小组首先采用全光学( 蒸发) 玲却与囚禁技术实现了 ”k 分子b e c ，然后利用f e s h b a c h 麸振技术控制厦子相互作用，实现了第一个费米原子对的 凝聚，获得了1 0 4 个凝聚的费米原子对“。 帝杵* 2 0 0 4 年3 月，k e t t e r l e 小组实现了6 l i 原子的费米原子对凝聚体”1 。他w j 首先在磁阱 中利用气1 费米原子和23 n a 玻色原子可的协同冷却，获得了3 1 0 1 个温度约为0 3 t 耳的 简井气l 原子，接着，利用光学囚禁与光学势蒸发冷却技术制各了3 1 0 6 个l i ：分子的 b e c 。此时磁场为7 7 0 g ，而f e s h b a c h 共振的磁场为8 2 2 3 g ，然后，在实验中，适当增 加光阱深度使磁场能在g o o m s 内实现6 5 0 1 0 2 5 g 的调谐从而实现i 费米原子对凝聚 到t i ，分子的b e c 的演化。在探测样品时，先荚掉光阱秆放原于气体，然后使磁场以 3 0 g 芦的初始速度从8 0 0 g 按指数规律衰减到零，从而实现费米原子对绷紧束缚分子的绝 热转换。形成的分子云吸收成像如圈15 所示，其中二个国的初始温度分别为r 0 * 02 ， 01 和00 5 ，相麻的分子数为2 x 1 0 6 个，费米原子对的凝聚百分比分别为00 ，01 ，06 。 图中实线为径向密度分布，虚线为高斯拟台的热分布。在这里。实现费米原子对到分子的转 换过程是我们理论研究的一个条件。 国i5l i 碾子对凝聚的实验结果 东南大学硕士学位论文 第二章相干态理论 2 1s u ( 1 ，1 ) 相干态理论 s u ( 1 ，1 ) 相干态是与李群相联系一种的j “义的相干态。这类相干态可以由大量的： 卜线性 光学过程产生我们知道，s u ( 1 ，1 ) 群的李代数由生成元k o ，k 组成，它们满足对易关系 k 。，k 】= k 土， k ，疋】= 一2 k o 定义相应的c a s i m i r 算符 c = 露一丢( k + k 一+ k k + ) 选择力学量完全集c ，k o 的本征态l 足，纷) ，有 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 后，胛) = r ( 2 七) n ! r ( n + 2 七) ) 懈k ? lk , 0 ) ，甩= 0 , 1 2 ， ( 2 3 ) 在c ，k o 共同本征态下，各算符满足卜_ 列关系 k 。f 尼，z ) = ( 尼+ n ) l k ，胛) c 旧 ) = k ( k 一1 ) f 后，聆) k 胁) = 拓鬲碉七，n + 1 ) k i 七，甩) = 夏；i f 芝乏_ = 可l 尼，门一1 ) 在c ，k o 共同本征态的基础上，我们定义s u ( 1 ，1 ) 相干态 z ，k ，力) = z ( z ) lk ，刀) ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) ( 2 4 c ) ( 2 4 d ) ( 2 5 ) 这里丁( z ) = e x p ( 旅+ 一z k 一) = e x p ( 厂k + ) e x p ( 脒。) e x p ( 一，k 一) ，z = 一导e x p ( 一印) ， ，= t a n h ( 0 2 ) e x p ( 一f 汐) ，= i n ( 1 一j ，_ i2 ) ，秒( 一o 。，o o ) ，妒【o ，2n 】。 s u ( 1 ，1 ) 相干态满足完备性条件| z ，k ，? ) ( z ，k ，? - i ，利用量子力学知识，很容易计算下 n = 0 列关系式： f + k 。丁= c 。s h ( 0 ) k 。一j 1s i n h ( 0 ) ( p 一，妒k + + p 妒定一) 8 ( 2 6 a ) 第二章相干态理论 丁+ k 。丁= c 。s h 2 ( 2 0 - ) k ：+ e x p ( + i 2 o ) s i n h 2 ( o ) k , ，- e x p ( i 妒) s i n h ( 9 ) k 。 ( 2 6 b ) 在s u ( 1 ，1 ) 相干态下，如果体系的哈密顿量有下列形式，则它的本征值就很容易得出 h = w k o + g k + + g k 一，g = l g l e x p ( i f i ) h z ，k ，”) = g ( z ，以) 【z ，k ，以) 利用( 2 6 ) 一( 2 8 ) 式，计算体系的能量得 e ( z ，刀) = ( 甩+ 七) ( 国2 4 1 9 1 2 ) 1 7 2 其中t a l 也( 口) ：三魁c 。s ( 妒+ 6 ) ，9 + 万：川万，珑：o ，1 ，2 ，。 2 2 压缩相干态理论 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 压缩相干态是相干态的一种，在量子光学中是用来描述态函数的一种方式。根据压缩相 干态的性质，可以实现某一噪音的放大和缩小，这在量子光学及光通讯上有重要应用。下面 介绍一下它的性质。 2 2 1 压缩相干态 光场中，双光子哈密顿量可以表示为以下形式： h ：i h ( g a “一g + 口2 1 这里，g 是双光子耦合常数，双光子场的态欠鲑随时间的演变： i 妒( f ) ) = g ( p + 2 _ g a 2 ) ti o ) 上式中，l0 ) 是用f o r k 态表示的真空态。定义压缩算符s ( f ) s ( f ) = e x p ( 1 孝a 2 1 i 乒+ 2 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 善= re x p ( i t ? ) 是任意的复数，= 蚓。从上式，我们很容易验证压缩算符为幺正算符， 即：s + ( f ) = s 叫( f ) = s ( 一f ) ( 2 1 3 ) 利用g 彳晚= b + - ，b + 五1 阻，阻，b 叮+ ，很容易算山以下关系式 s + ( f ) 口s ( 善) = a c o s h r 一口+ p 坩s i n h r 9 ( 2 1 4 ) 东南大学硕士学位论文 s + ( 孝) 口+ s ( f ) = a + c o s hr a e 一口s i n h ， 定义一个旋转角度为o 2 的复数，有 一十i y 2 = ( x l+ 涝2 ) p 州2 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 其中x 。= j 1 ( 口+ 口+ ) ，义：= 去( 口一口+ ) ，且k ，口+ 】= 1 。如果( 2 1 6 ) 式满足以下关系 s + ( 善) ( y l + f y2 ) s ( f ) = 】，le 一7 + i y 2e 7 ( 2 1 7 ) 符合上述条件的压缩算符右面放一移位算符d ( 口) = p 。口+ 一口，两个算符依次作用在真空态 上时，这个态称为压缩相干态，记为f 口，f ) ，且有 j 口，f ) = s ( 4 ) d ( o r ) i o ) ( 2 1 8 ) 在压缩相干态下，利用( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 式，我们可以计算潭灭算符a ，湮灭算符平方口2 ， 及粒子数a + 口在此态下的平均值。 ( 口) = ( 口，f l 口 口，孝) = a c o s h r 一口p 旧s i n h r ( 口2 ) = ( 口，f i 口2 j 口，善) = 口2c 。s h 2 ，+ ( 口+ ) 2 e 2 i e s 1 n h 2 ， 一2 坩p 坩s i n h 厂c o s h ，一p pc o s h ，| s i n h ，| ( 口+ 口) = i 口j 2 ( c o s h 2 厂+ s i n h 2 厂) 一( 口+ ) 2e as i n hrc o s h ， 一口2 e 一涫s i n h rc o s h r + s i n h 2r ( 口口口) = c 。s h 4 厂w + s i n h 4r ( 2 + 4 1 a 1 2 + 盯) 一s i n h ，c o s h 3 厂r ( 2 1 口1 2 口2 + 口2 ) p 一坩+ ( 2 f 口f 2 口”+ 口+ 2 ) p 口 + s i n h 2 ，c 。s h 2 ，( 4 1 口1 4 + a 4 e 一2 口+ 口”p 2 p + 8 1 口1 2 + 1 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 一s i n h 3 r c o s h 厂【( 2 i 口1 2 口2 + 5 a2 ) p 一，口+ ( 2j 口f2 口”+ 5 口+ 2 ) p 护】 ( 2 2 2 ) 接下来，看一下涨落问题。式( 2 1 6 ) 也可以表示为 z + f 艺= a e x p ( 一i t 9 2 ) 利用式( 2 1 9 ) 一( 2 2 1 ) ，分别计算算符k ，砭的涨落，有 ( 2 2 3 ) ( k ) 2 ( a y e ) 2 ( k 2 ) 一( k 2 ( 野) 一( 霹 z k ：三 4 第二章相十态理论 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 我们知道，对于两个算符彳和b ，满足对易关系_ ，b - - i c ，如果两算符在压缩态下， 不确定度满足关系鲋召= ! 1 c l ，则此态为理想的压缩态。从( 2 2 6 ) 式可以知道，压缩 相干态是一理想的压缩态。因此可以通过增大其中一个力学最的不确定度去减小另一个力学 量的不确定度。 2 2 2 首先，介 压缩态下的光子的统计分布 绍一下q 函数。q 函数是算符反土e 常排序的关联函数，它的定义如下： q ( a ，a ) = t r p s ( 口一a ) 5 ( a 一口+ ) = 1 ，则有 5 ( a + 一口+ ) 7 i 万【a + 一( 口) 】 方程中p 为密度算符，对于q 函数具有! j 1 1 一化性质，即 ，d2 aq ( a ，口) = 1 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 接下来，我们借助于q 函数求解出压缩相干态光场的粒子分布情况。由( 2 2 8 ) 式及压缩相 干态的密度算符p = f ，善) ( ，纠联立有 q ，口) = i 1 似i p f 口) = 妻( 口l ，善) ( ，乡i 口) = 妻| ( 口f ，f ) 1 2 ( 2 3 。) ( 口l ，孝) = ( a i s ( 孝) d ( f 1 ) 0 ) = ( 口l s ( 孝) l ) 专( 口忡( 孝) f ) 专( 口l 跗) 趴伽坝孝) l ) ， r 2 p p ，一4，一4 叫， 疵 啾 啾刮叫 申 且一 h ，1 一万抄忙。巧 惟 沁 咄唑钠协荆髂巾叩叫 皖 乃 乃 乃 东南人学硕f j 学位论文 1 ，i 2 了川s r ( 孝) a + c o s h ，一a e - as i n h ， |) = 专 c o s h ，( 易+ 三) - e - e f l s i n h r c 口p c f ，f ， ( 2 3 1 ) 上式中用到了压缩算符的幺正性及( 2 1 5 ) 式。把上式方程两端乘冈子口，左端移到右端， 得到一个方程 卜厂易可坩倒bc o s h r - o 1 c 喇1 刮班。 求解上方程，我们有 ( 口f s ( 孝) f ) = k e x p ( 一圭l 1 2 + 口f l s e ch r + 圭p 一，口2t a n h ，) 其中k ( 口，口，+ ，一，= ( s e c 办厂) v 2e x 一三f 口1 2 一互1p 旧( 口+ ) 2t a n h 厂 这样把上式代入( 2 3 3 ) 式，就有 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) l 双剑翻= ( s e 叻，) , 2e x p _ 2 桐2 + h 2 ) 十倥s e c 加一三p 口 + 2 _ _ e - j a 2 】t a n 渺) ( 2 3 5 ) 光子的分布函数p ) - - i 0 ，超泊松分布 o = = 0 ， 泊松分布 i s i n h 2 ，| c 。s h 2 厂孑e f 4 r i 时，为亚泊松 分布，此时场的平均光予数( j v ) 对应，丁场分布几率最人处。当f 1 2 0 时，有q 恒大于o ，始终为超泊松分布。此时 ( ( 堋2 ) = i 纠2 【( c 。s h 4 ，| + s i n h 4 厂) 一( c 。s h 2 厂+ s i n h 2 ，) 】+ s i n h 2r 6 0 s h 2 ， - i p2 ( p 一e 2 r ) + s i n h 2 ，l c o s h 2 ，| ( 2 4 2 ) 考虑j 纠2 与s i n h 2 ，的比值，我们发现，当i 誓岛 1 时震荡消失。结果如图2 3 和图2 4 。 s i n h 2 ， 图2 3 夕= 7 7 5 3 5 ，= 0 6 ，) = 2 0 0 图2 3 ，图2 4 为超泊松分布 1 4 幽2 4 夕= 0 9 2 5 2 ，= 2 6 ，( ) = 2 0 0 第三章玻色原子和玻色分子耦合系统的玻色凝结 第三章玻色原子和玻色分子耦合系统的玻色凝结 3 1 耦合系统的哈密顿量的线性化及其基态能量 考虑t = o k 时，在外磁场的作用下，无自旋的玻色原子与玻色分子的耦合系统的哈密 顿量为) x - 2 0 ： h = h 一= p ( 占p 一口) 口；口p + 参口三口乏臼p 口p ：万”鼢小p ； + 莓( e g + 2u 一召) 6 执+ 万gb 6 麦6 麦6 9 。6 9 ：万 9 + g ，( b ga 9 2 + p 口9 伽p + 何c ) ( 3 1 ) 式中第一项为系统中玻色原子的动能，第二项为玻色原子之间的相互作用势能，第三项为玻 色分子的动能，第四项为玻色分子间的相互作用势能，第五项为系统中玻色原子与玻色分子 之间的耦合作用势能。式中a p 和玩分别为原子、分子的潭灭算符，原子的动能为 q = p 2 2 聊，岛= q 2 2 m 为分子的动能，m ，m 分别是原子分子质量，i ：tm = 2 m 。2 y 代表f e s h b a c h 共振的失谐能，可以通过外磁场调节大小。g 口为玻色原子与玻色原子之间的 相互作用，g b 为玻色分子与玻色分子之间的相互作用，g ，为