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硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 摘要 图像恢复一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处 理应用的预处理过程。传统的图像恢复方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、 纹理等图像特征。基于偏微分方程的算法在恢复图像的同时，能够很好的保持图像的 细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。 本文以图像建模研究为主线，针对图像恢复的基本问题，从不同的角度研究了三 类不同的图像恢复模型：第一类模型是基于尺度空间公理体系的恢复模型。主要研究 从方向滤波器的角度分析和设计的各向异性扩散方程；第二类模型是从泛函变分角度 导出的偏微分方程模型，重点研究了当今得到广泛应用的总变差模型和四阶模型：第 三类模型是一种称作冲激滤波的双曲型偏微分方程模型，可用于图像增强或去模糊。 本文主要的改进工作有：( 1 ) 考虑到p - m 在恢复图像过程中会出现阶梯效应，改 进提出了耦合中值滤波和p - m 模型的复扩散模型。改进算法有效的结合了各种模型的 优点，在不影响去噪性能的前提下，提高了图像的视觉效果。( 2 ) 考虑到p m 模型无 法有效的去除散粒噪声点，进行改进，提出了时间加权的选择性扩散模型。改进算法 在恢复效果和收敛速度上，相对于p 。m 模型都有了一定的改善。( 3 ) 考虑到总变差模 型在恢复图像过程中会出现阶梯效应，提出了耦合二阶和四阶偏微分方程的改进模 型。改进算法提高了图像的视觉效果，且收敛速度比四阶模型有了很大的提高。 在应用中，为了后续研究工作更好的开展，结合本文的工作，编写了基于偏微分 方程的图像恢复平台。 关键词：各向异性扩散，时间加权，耦合，t v 模型，冲激滤波 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 a b s t r a c t i m a g er e s t o r a t i o ni sa l w a y so n eo ft h ec 1 0 n c e f l l si ni m a g ep r o c e s s i n ga n di ss t i l la n e c e s s a r yp r e p r o e e s s i n gs t e pf o rm a n yh i g hl e v e la p p l i c a t i o n s t r a d i t i o n a lw a y ss u 丘打 f r o mt h el o s so fe d g e ，l i n e sa n dt e x t u r ew h e nr e s t o r i n gi m a g e s s i n c ep d e - b a s e dm e t h o d s c a nr e s t o r ei m a g e sw h e nk e e pi m a g e s d e t a i l sw e l l ，t h e yh a v eg o t t e nm o r ea n dm o r e c o n c e m sr e c e n t l y t h ed i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h er e s e a r c ho f i m a g em o d e l i n ga n dc o r r e s p o n d i n gi m a g e r e s t o r a t i o na l g o r i t h m s f r o md i f f e r e n tv i e w s ，i ts t u d i e st h r e ei m a g er e s t o r a t i o nm o d e l so f d i f f e r e n tt y p e s f i r s t l y ，t h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e dt h em o d e l sb a s e do nt h es c a l es p a c e t h e o r y i tf o c u s e so nt h ea n i s o t r o p i cd i f f u s i o ne q u a t i o n s s e c o n d l y , m o d e l sb a s e do n c a l e u l n so f v a r i a t i o n sa l ed i s c u s s e dh e r e t va n daf o u r t ho r d e rm o d e la r es t u d i e dh e r e l a s t l y , t h ed i s s e r t a t i o nd i s c u s s e dah y p e r b o l i ce q u a t i o nc a l l e ds h o c kf i l t e r t h i sm o d e lc a n u s e df o re n h a n e e m e n to rd e b l u r 。 m a i nc r e a t i v i e so f t h ed i s s e r t a t i o na r e ( 1 ) p r o p o s i n gac o m p l e xi m a g er e s t o r a t i o n m o d e lb yc o u p l i n gp - mw i t hm e d i u mf i l t e r ( 2 ) p r o p o s i n gas e l e c t i v ed i f f u s i o nm o d e l s b a s e do nat i m ew e i g h t e df u n c t i o n 0 ) p r o p o s i n ga ni m a g er e s t o r a t i o nm o d e lb yc o u p l i n g s e c o n do r d e rw i t hf o u r t ho r d e rm o d e l s ( 4 ) f o rt h ec o n v e n i e n c eo f t h el f i n t h e rr e s e a r c h , i d e v e l o pap d e s - b a s e di m a g er e s t o r a t i o np l a t f o r m k e y w o r d s ：a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ，t i m ew e i g h t e df u n c t i o n ，c o u p l e d ，t vm o d e l ， s h o c kf i l t e r 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名 苇让 砷年c ) 月节日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：丝 沙年6 ，听日 i 】爱士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 1 绪论 1 1 论文背景 研究表明，在人类所接受到的全部信息中，有7 0 以上是通过视觉获得的。和语 音文字信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因而具有更高的实用效 率和广泛的适用性。当图像以数字形式进行处理和传输时，由于具有质量好、成本低、 小型化和易于实现等优点，这种存储和传输格式已经成为该领域的主要发展趋势。但 是，图像在形成、记录、处理和传输过程中，由于成像系统、记录设备、传输介质和 处理方法的不完善，有可能导致图像质量下降，无法完全反映场景的真实内容，称这 种现象为图像退化( i m a g e d e g r a d a t i o n ) 。 造成图像退化的因素很多且比较复杂，不便于逐个分析和建立模型。因此，通常 将退化原因作为线性系统退化的一个因素来加以考虑，从而建立如下的通用图像退化 模型【i j ： 图1 1 1 图像退化模型。 在该模型中，图像退化过程被模型化为一个作用在输入图像， ，y ) 上的系统函数 日( 通常称为点扩散函数) 。它与一个加性噪声n ( x ，力的联合作用产生退化图像 g ( x ，y ) 。图1 1 1 所示，输入和输出具有如下关系： g o ，力= 厂( x ，力h ( x ，力+ 以( 墨y ) ( 1 1 ) 其中，为卷积运算符。在实际中，处理的都是数字图像，所以对式( 1 1 ) 进行离散 化表示为： 材- 1 n - i g 似y ) = f ( m , n ) h ( x - r n ，y 一砂+ 以( x ，力 ( 1 2 ) m s 0h i 0 其中工= 0 ，1 ，m 一1 ，y = 0 , 1 ，n 一1 。函数f ( x ，力和j j i o ，力分别是周期为m 和 的函数，如果函数周期不是m 和，必须对其补零拓延，以避免卷积周期的交叠。 图像恢复( i m a g er e s t o r a t i o n ) 也称为图像复原，简单的说，就是恢复退化了的图 像的过程。可以看出，图像恢复实际上是求图像退化过程的逆过程。图像恢复技术的 目的是使退化了的图像尽可能恢复到原来韵真实面貌。其方法是首先从分析图像退化 的机理入手，即用数学模型来描述图像的退化过程。然后在退化模型的基础上，通过 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 求其逆过程的模式计算，从退化图像中较精确地求出真实图像，恢复图像的原始信息。 图像恢复一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处 理应用的预处理过程。图像恢复在初级视觉处理中占有极其重要的地位，在航空航天、 国防公安、生物医学、文物修复等领域具有广泛的应用。 1 2 传统图像恢复算法 本节简单介绍三种传统的图像恢复算法：逆滤波、维纳滤波和约束最小二乘方恢 复 1 1 ，对后面基于偏微分方程的图像恢复技术起到一个比较的作用a 1 2 1 逆滤波1 1 从图1 1 1 所示的图像退化模型可以得到，在没有噪声的情况下，系统的输入与 输出可表示为如下关系： g g ，力= f ( x ，y ) + h ( x ，) ，) ( 1 3 ) 由卷积定理，对上式进行傅里叶变换褥： g ，订= f ，v ) h ( u ，v ) ( 1 4 ) 得到f 0 ，v ) 的估计户( ，如下： f ，= g ，d h ，v ) = g ，v ) v 6 ，v ) ( 1 5 ) 其中甜，1 ，= o ，1 ，m 一1 ，通过傅里叶逆变换，就可以得到厂的一个估计，： ，瓴y ) = g y ) + w l 夕) ( 1 6 ) 若所有的条件都满足( 滤波器职存在，逆傅里叶变换存在) ，则恢复的信号，( x ，力 与理想信号f ( x ，y ) 相等，于是就有完美的恢复。这种恢复是将不完善的图像通过线 性滤波器而获得的。逻辑上，该滤波器w ，称为逆滤波器，它的传输函数是退化h 的 传输函数的逆： 彤 ，v ) = l h ( u ，力 ( 1 7 ) 由上式可见，如果h ( u ，v ) 在【平面上取0 或很小，就会带来计算上的困难。另一方 面，噪声还会带来更严重的问题。在这种情况下，恢复只能在与原点较近( 接近频域 中心) 的范围内进行。 2 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 1 2 2 维纳滤波【l 】 维纳滤波也就是最小二乘方滤波，它是使原始图像厂和其恢复图像，之间均方误 差最小的恢复算法，即寻找一个使统计误差函数e 2 = 默u 一力2 ) 最小的估计，其中， e 是期望值操作符。 设r ，和b 分别是，和n 的相关矩阵，它们可表示为： 五r - - e 7 ( 1 1 0 ) 蜀= e h i t ( 1 i i ) 巧的第 元素是e 珥 ，代表厂的第f 和第- ，元素的相关这些相关元素的傅里叶 变换称为丘( x ，y ) 和心( x ，y ) 的功率谱，分别记为s ，( 地v ) 和最( ，v ) 推导可得下式： 棚= 志丽揣卜， 在空域被恢复的图像由频率域估计值户国，的傅里叶逆变换给出。 从式( 1 1 2 ) 来看，如果j = 1 ，方括号中的项就是维纳滤波器；如果s 是变量， 就称为参数维纳滤波器；当没有噪声时，瓯0 ，i ，) = 0 ，维纳滤波器退化为逆滤波器。 当s ， ，v ) 和瓯( 地v ) 未知时，上式可用下式来近似( 其中k 是一个预先设定的常 数) ： 棚* 志蒜矗卜， “ 1 2 3 约束最小二乘方恢复嘲 约束最4 , - 乘方恢复是以函数平滑为基础导出的。该恢复方法建立了基于平滑测 度的最优准则，例如可最小化图像的二阶导数( 即拉普拉斯算子) 。为了有实际意义， 恢复过程必须用已知的参数加以约束。因此，需要寻找准则函数c 的最小值，例如函 数c 可定义为： m - i - 1 c = 【矾毛y ) 】2 ( 1 1 4 ) x - oy - o 该函数的约束条件为： 卜研制1 2 ( 1 1 5 ) 3 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 这个最优化问题的频域解决方法由下式给出： 户 ，功。【再瓦i 考手警睾两j g ，叻 其中，日 ，是h ( u ，v ) 的复共轭，是一个需要加以调整地参数， 到满足，g ( u ，是退化图像的傅里叶变换，p ，v ) 是函数： o - 10 1 p 力= i l4 1 l l0 1 0 j ( 1 1 6 ) 以便约束条件得 ( 1 1 7 ) 的傅里叶变换。可以看到，未知量只有，和2 两个。而且，若已知与噪声功率成比 例的删2 ，则通过迭代，厂便可以得到。 也可用其它的平滑性度量，如使用函数余差的内积最小，得到的约束条件为： 恬一谚1 1 2 = 删( 2 + 以2 ) ( 1 1 8 ) 其中，m 和n 代表图像的维数。则这个最优化问题的频域解决方法可表示为： 户 ，d2 l 西篆等茅杀l g ， n - 9 ， 其中，8 为一个待定参数，可由迭代的方法求得。 图1 2 3 1 是用本节中介绍的算法对退化图像进行处理后得到的结果。 ( a ) 原图像( b ) 运动模糊图像 ( c ) 运动模糊加噪声图像 ( d ) 逆滤波 ( e ) 维纳滤波( f ) 约束最小二乘方 图1 2 3 1 传统图像恢复算法实验。 4 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 i 3 基于偏微分方程的图像恢复算法 图像处理有很长的历史，最古老的方法可能来自于一维的信号处理技术。它们主 要是以滤波、频谱分析和概率统计的基本理论为基础的。当今，许多更复杂的图像处 理方法被提出来，归结起来主要有三类研究的方向：随机场模型川、小波1 2 7 l 和偏微 分方程方法 2 1 。随机场模型广泛的以马尔可夫随机场理论为基础，它直接对数字图像 本身进行处理。小波理论从信号处理中继承而来，是以分解技术为基础的。基于偏微 分方程的算法在处理图像的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受 到越来越多的关注。 偏微分方程就是一个含有多个变量的未知函数及其偏导数的方程【l “。偏微分方 程是数学分析领域最重要的分支之一，它同现实世界有着紧密的联系。图像处理中对 偏微分方程的研究是以尺度空间理论为基础的。k o e n d e r i n k l 4 1 和w i t k i n l 5 1 在图像处理 中引入了尺度空间的严格理论。他们指出，对于如下的热传导方程： f 抛，、 j 否邓+ ( 1 2 0 ) - i ，l 。= 其中，c 0 为常数。该方程引入了一个连续的尺度参数，根据尺度t 取值的不同， 就可以得到在不同尺度下处理的图像。设c = 1 ，那么解上面的扩散方程就相当于用 o r = 2 f 高斯滤波器对原图像t b 进行平滑，从而使偏微分方程与传统的滤波过程联系 起来。 偏微分方程在图像恢复中的应用主要可以分为三类：一种是基于尺度空间公理 体系的偏微分方程模型。主要是从方向滤波器的角度分析和设计方向扩散方程。这种 算法的代表为p e r o n a 和m a l i l 【f l l 的各向异性扩散模型( p - m 模型) ，文献 2 3 , 2 5 , 4 3 1 中对该 模型进行了改进。另一种是基于泛函变分角度而导出的偏微分方程。基本思想是确定 图像的能量函数，通过对能量函数的最小化过程，使得图像达到平滑状态。现在得到 广泛应用的总变差模型【1 2 j 3 1 就是这一类，y u - l i 等人还提出了一种四阶方程模型。 另外还要指出，r u d i i l 和o s h c r 提出了一种冲激滤波模型【“】，它是一种双曲型的偏微分 方程模型，可用于图像的增强和去模糊。本文也将对这一模型进行深入的研究。 在图像处理中运用偏微分方程相对于一些传统的图像处理算法有很大的优势，总 结起来，主要有以下原因： 1 ) 偏微分方程的局部特性。图像的一个重要的特性就是它的局部性。对大部分图像 来说，它们都有很多局部的特性，不同于一些全局特性( 比如频率) ，这些特性 不能很好的表示出来。因此，线性算法的效果有限，这时就需要采用非线性的方 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 法。偏微分方程相对于其它线性技术，在自适应方面有很大的优势。 2 ) 存在大量而严格的有关于偏微分方程的数学理论基础。其中包括对收敛性、稳定 性和过程解唯一性( 特别是卷积过程) 等强有力的证明。存在许多好的数值理论 方法为基于偏微分方程的算法的实现提供了很好的理论和实践基础。 3 ) 算法的表示简单明确，大多情况下只是一个方程，从而不需要再记忆和分析那些 复杂而繁琐的算法。而且在很多情况下，算法只需要很小的变动( 如拉普拉斯算 子，散度算子或梯度算子等) 就可以推广到多维情况。 4 ) 算法的理论分析和实现可以方便而高效的实现分离。新算法所有的理论分析，不 管是特征还是行为上的，都可以在连续域中进行，然而算法却可以用离散的数值 方法来完成。 5 ) 最后，也是最重要的原因是其可行性。基于偏微分方程的算法保持了图像大部分 的结构信息，因此相对于一些传统算法存在一定的优势。 1 4 基本数学定义简介 下面给出本文中要用到的一些数学定义： r 2 上的一点记为a = ( q ，吃) ，它的厶范数为： l a j _ ( a 1 2 + a 2 2 ) “2 a 与b 的点乘为： a b 6 i + 吒6 2 图像 的梯度定义为： v u = 也，q ) 其中，以，分别为“关于薯j ，方向的偏导数。 图像“的拉普拉斯算予定义为： 缸= + ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 其中，分别为甜关于薯y 方向的二阶偏导数。 定义图像在口点的曲线曲率( 其中假设i v 甜i o ) 为： 一( 坝口) ：型生塾型掌遁i 口) ( 1 2 5 ) ( + 砖) j 它等效于如下公式： c u r v ( u ) ( a ) 珊静口) ( 1 ，2 6 ) 6 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 其中对于矢量函数4 力= “( x ，力，4 ( x ，y ) ) 的散度定义为： d i v ( a ) ：挚+ 娑 ( 1 2 7 ) 饼 可以证明c m v ( u ) c a ) 是口经过水平线的曲率，即曲线伽( x ) = ”( 口) ) 在a 点上曲率圆的半 径的倒数。 对一个最小化问题或者偏微分方程来说，如果存在唯一的依赖于初始值的解，那 就说该最小化问题或者偏微分方程的解是适定的；否则，说它是病态问题或者是不适 定问题i ”。 函数的正则化就是对不适定问题引入先验知识，使问题适定化，并且使得到的解 满足人们对特定问题的假设 2 1 。 本文采用图像信噪比( s i g n a ln o i s er a t i o ，s n r ) 评估算法的平滑效果，图像信噪 比定义为无噪声图像方差与噪声方差之比，可用如下的方法计算图像信噪比： 册：1 0 l o g 垂 ( 1 2 8 ) 其中，砖、露分别是信号方差与噪声方差。 1 5 本文的主要工作 本文的主要任务是遥过研究基于偏微分方程的图像恢复算法，对已有算法存在的 不足，提出改进，改善算法的处理效果。 本文首先从研究各向异性扩散模型出发。针对p - m 模型存在的不足，简单介绍了 一些文献中提出的改进，其中包括c a r e 模型l 、a l m 模型1 2 等。对已有算法的研究， 加深了对各向异性扩散的认识，为后续工作打下了基础。通过对已有算法的分析，提 出了两种新的图像恢复模型：( 1 ) 耦合中值滤波和p - m 模型的复扩散模型；( 2 ) 时 间加权的选择性扩散模型。实验表明，新算法有效克服了p m 模型使图像分块或去除 散粒噪声不利的缺点，改善了p - m 模型的处理效果。其次，本文研究了从泛函变分角 度而导出的偏微分方程模型，重点研究了当今得到广泛应用的总变差模型，提出了耦 合二阶和四阶偏微分方程的恢复模型。该模型克服了总变差模型在平滑图像渐变区域 会出现阶梯效应的缺点，在图像视觉效果上比总变差模型表现更优，且在收敛速度上 比四阶模型有了很大的提高。本文还系统研究了一种双曲型偏微分方程模型冲激 滤波。对其有噪声敏感性的不足，也介绍了两种改进思想。最后，为了后续研究工作 更好的开展，结合本文的工作，编写了基于偏微分方程的图像恢复平台。 7 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 1 6 论文各章内容安排 本文共分为六章，以下章节的结构如下： 第二章首先由各向同性的热传导方程引出各向异性扩散方程，然后简单介绍对 p - m 模型已有的改进工作，为后续研究打下基础。本章的重点是针对p - m 模型存在 的不足，提出了两种新的改进模型：( 1 ) 耦合中值滤波和p - m 模型的复扩散模型：( 2 ) 时间加权的选择性扩散模型。通过实验说明改进模型的可行性。本章还简单介绍了尺 度空间的相关理论和偏微分方程的数值解法，它是本文研究工作的基础。 第三章首先通过函数正则化和泛函变分思想推导出总变差模型。针对该算法在平 滑图像过程出现的阶梯效应，本文介绍了一种四阶模型。最后，通过分析已有模型， 提出耦合二阶和四阶偏微分方程的恢复模型。新模型有效结合了二阶和四阶模型的优 点，克服了二阶模型存在的阶梯效应。 第四章主要介绍基于冲激滤波的图像恢复算法。针对原始冲激滤波模型对噪声敏 感这一缺点，介绍了两种改进的思想。本章最后通过实验图像和数据表明了改进的可 行性。 第五章对开发的基于偏微分方程的图像恢复平台进行简单的介绍。 第六章，总结全文并指出本文算法的可行性以及需要进一步研究和解决的问题。 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 2 图像恢复的各向异性扩散模型及改进 2 1 引言 热传导方程虽然可以用来平滑噪声图像，但其各向同性的扩散性能，必然造成图 像在去噪的同时，模糊了边缘。研究人员指出应当将扩散过程同图像的特性联系起来， 在不同的区域采取不同的平滑策略，使扩散过程在去噪的同时，实现特征的自动保护， 因此，引入了具有各向异性扩散功能的非线性偏微分方程。 本章通过对p - m 模型的研究和分析，揭示其各向异性的扩散性能。p - m 模型可 以有效地保持边缘信息，但它也有去除散粒噪声不利和结果图像出现阶梯效应等缺点 脚】，本章在总结和分析了已有的恢复算法后，针对上述问题，提出了两种新的改进 模型：( 1 ) 耦合中值滤波和p - m 模型的复扩散模型。基本思想是在不同的图像区域 采用不同的平滑策略，因为不同模型在平滑不同图像区域时存在优劣。( 2 ) 时间加权 的选择性扩散模型。基本思想是在图像平滑开始阶段，模型倾向于线性扩散，去除大 梯度散粒噪声；随着扩散的进行，模型倾向于非线性扩散，保持边缘。本章通过实验， 将改进模型与已有模型进行了比较，说明了其可行性。 本章还简单介绍了尺度空间【2 4 阳2 4 1 的相关理论和偏微分方程数值解法的一些问 题【1 0 p , t o 3 9 1 ，它们是本文研究工作的基础。 2 2 相关工作 2 2 1 尺度空间理论与偏微分方程的联系 从一些滤波的自然规律中，a l v a r e z 等人阱i 证明，滤波后的图像一定是一个偏微 分方程的粘性解。也就是说，尺度空问本质上受一些偏微分方程的控制，这些偏微分 方程以原始图像为初始条件嗍。 图像上的算子族z 为一个尺度空间( 也叫多尺度分析) ，记为 z ，参数t 0 称 为尺度参数。对于给定的图像u o ( a ) ，( r , u o ) ( a ) = u ( t ，a ) 是图像以r 为尺度的分析。线 性扩散是理解尺度空间最古老也是最好的方法，从尺度空间的角度出发，图像“经过 连续的算子族 互l 处理后，将得到一系列更加平滑的图像。原图像对应于尺度t = 0 时 的图像，增加尺度t 就可以得到结构更简单的图像。因为尺度空间理论在图像特性中 引入了层次结构，它构成了从像素相关的图像表达到语义描述的图像表达转变的重要 一步1 5 8 1 对于算子族霉来说，如果存在一个称为“变换滤波器”的算子族囊 j ，使得： 9 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 互+ = 互+ “正，t o ( u ) = 甜 则称算子族z 具有金字塔结构，图2 2 1 1 刻画了这种结构。 jlji 互。 r 砜 王 ( 2 1 ) 图2 2 。1 1 算子族的金字塔结构。 称尺度空间 z ，e 且是递归的，如果对于任意的以r o 和图像甜有： 互。= z z ，兀 ) = 甜 ( 2 2 ) 如果满足该条件，则霉可用互。迭代拜次得到。需要指出的是，因为所有的运算都是 对图像的信息作组合，没有其它的特征在这个过程中加入进来，所以尺度参数r 越大， 图像的内容越简单。 一个多尺度分析 z 。凡满足局部比较原则，若对于所有函数彳和五满足以下条 件； 若在a 的一个领域内有石( b ) 正( b ) ，b a ，则对于足够小的h 有 ( z + ，石) ( a ) 何帆，五) ( a ) ( 2 3 ) 若v a r 2 ，z ( a ) 五( a ) ，则 v b ，v 办 0 ( 互埘石) ( b ) ( 互+ ，石) ( b ) ( 2 4 ) 设r 2 上有一点矗，并设二次式为 l 厂( b ) = 么( b a ) ( b - a ) + p ( b - a ) + c( 2 5 ) 称多尺度分析是正则的，若存在一个函数f ( 4 ，p ，0 ，a ，f ) 对于4 是连续的，使得 坠掣专f ( a ，”，a ，力，力寸o ( 2 6 ) 仃 当多尺度分析是金字塔形式的，并且满足局部比较性和上述的正则性，则当尺度 增加时，多尺度分析就不会生成新的结构，这时，就称它具有因果性。 l o 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 在图像处理中，常对尺度空间加上一些限制，如空间变换和灰度变换的不变性等。 称多尺度分析 霉 是灰度平移不变的，如果v f ，co , u ：豫2 寸r + ，有： z ( o ) = 0 ，z ( 甜+ c ) = 正( “) 十c ( 2 7 ) 尺度空间的灰度平移不变性蕴含着一个性质：如果l + 是线性算子，则存在某个函 数伊，满足i 铂伊( x ) 出= 1 ，使得l + ( “) = “+ 妒，即算子可以等效的表示为图 像1 , 1 和函数妒的卷积。 称多尺度分析 z l 满足平移不变性，如果v o ，h r 2 ，有： 霉瓴“) = 何甜) ( 2 8 ) 其中，r h “( 工) = z f ( x + 。 这里要强调的是，这些公式和不变特性从图像分析的角度来说是很自然的。式 ( 2 1 ) 、( 2 2 ) 表明较粗糙尺度的图像可以从它的一个较精细尺度的图像中得到，而 不需要原始图像。式( 2 3 ) 表示( l 甜) ( x ) 的行为由点工的邻域决定。式( 2 4 ) 表示， 如果一个图像| l ，比图像u 的灰度值亮，多尺度分析以后仍然是这样。式( 2 6 ) 是对z 连续性的一种假设。最后，式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 分别表示没有对灰度值范围的任何先 验假设和任何像素点都是平等的1 2 】。 若多尺度分析z 是因果的，则当h 趋于0 + 时，对于所有的函数声2 和所有的 a 及2 ，存在一个函数f 满足【“i ： ( ( t t + h , , f - f ) h ) ( a ) 一f ( h f ( a ) ，d f ( a ) ，厂( a ) ，a ，f ) ( 2 9 ) 若把上述方程中的，视为帮( ，f ) ，则左边的表达式随着磊趋于0 而趋于罢。可以证明 “ 甜= z ( ) 是下式的解： i o u = f ( d z u , d u ，材，a ，f ) ( 2 1 0 ) 优 其中( ，o ) = o ，从而得出对图像的研究可归结为对上述类型的偏微分方程的研究。 从式( 2 1 0 ) 知，恢复后的图像实际上可以看作是退化图像在一个特殊尺度下的 度量。更确切的说，把图像的恢复看作是一个演化的过程，在时间t = 0 ，u ( o ，) = ( ) 是原始退化图像，然后通过方程( 2 1 0 ) 演化得到恢复后的图像，且图像“的演化过 程取决于它的一阶和二阶偏导数。上述函数f 是一般的形式，本章以下几个小节将给 出，的几种可能的形式，用于图像恢复。 有关尺度空间的相关理论，更详细的研究可以参考文献2 3 , 4 j ，2 4 1 等。 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 2 2 2 热传导方程 偏微分方程的一个经典例子就是熟传导方程，它描述为在r 中，q c r 2 上的一 个函数，有【2 】： 詈地 ( 2 1 21 ) 西( 1 1 ) l u ( x ，y ，o ) = 1 1 0 ，y ) 其边界条件为q 。该方程的解是r 上q r 的函数甜，它描述了在各向同性的介 质中，热量随着时间f 推移的传播方程( u ( x ，t ) 是在x 点上时刻f 的热量) 。将物理中 的概念引入图像中来，可以把整幅图像看作一块热量不同的平板，热传导方程随时 间变化，使得整块平板的温度趋于平衡，高温点向低温点输送能量降温，低温点接 受能量升温，直到迭代时刻终止。图像中的噪声点可以看作是高温的能量点，随方程 的演化，频率逐渐降低，直到被平滑掉。 当式( 2 1 1 ) 应用于图像“时，f 不再表示时间，而是一个尺度参量。从图像出 发，并且解这个方程，就可以得到一系列图像扣( ，f ) ) ，即在尺度t 下的“简化”图像。 因此，偏微分方程出现在多尺度分析领域，它可以应用于去噪、恢复或者应用于模式 识别的一些预处理中 9 1 。 设 q ( = 去c x p ( 一与知( 高斯函数) ( 2 1 2 ) 高斯函数具有多尺度的特性，可以在不同的尺度下去噪，因此得到的图片，在较 小的尺度保持边缘，在较大的尺度下去除噪声，图像比较平滑。 在文献中证明，( ，t ) = g + 是热传导方程的解，即 f a “ j 百“玑( 2 1 3 ) 村( r ，功一( 功i 之。 从而可得在物理中广泛应用的热传导方程，实际上起到了一个高斯卷积的功能。 图2 2 2 。1 为用热传导方程处理的结果： 硕士论文 基于偏微分方程的图像恢复研究 2 2 3p e r o n a - m a l i k 模型 ( a ) 原图像 ( b ) 尺度t = 1 ( c ) 尺度f = 3 图2 2 2 1 热传导方程处理结果。 将非线性扩散方程引入到图像处理领域源于p e r o n a 和m a l i k 在1 9 8 7 年的文章【1 1 1 。 注意到热传导方程可以写为： 冉， 鼍= a u - - d n ( v u ) ， ( 2 1 4 ) 纠 该方程是一个各向同性的扩散方程，即对图像中的每一点，其扩散强度相同( 该方程 的初始模型是在各向同性的介质中进行热传导) 。特别地，图像在同质区域和沿着边 缘同样被平滑了，这就造成结果图像在去噪的同时，模糊了边缘。p e r o n a 和m a l i k 的 方法是在同质区域使得图像平滑，但是沿着边缘使得图像不作变化，甚至增强边缘， 对应的方程为 i l l ： 硕士论文 基于偏微分方程的图像恢复研究 鲁= d i 、r ( g ( i v 甜i ) v “) ( 2 1 5 ) 其中g 是单调递减函数，在零处等于1 ，而在无穷处趋于0 。图像边缘梯度较大，系 数g 较小，扩散较弱，保持边缘：图像内部梯度较小，扩散系数大，方程逼近热传导 方程，扩散强度大，图像被平滑，从而实现了各向异性的扩散能力。例如，g 可取如 图2 2 3 1 示的两个函数： g ( s ) = e x p ( - ( s 勋2 ) ( 2 1 6 ) 或 删。丽1 2 1 7 现在考虑g 。) = 再丽1 ，为了研究对应i v 甜l 很大的点上的情形，可以将方程 重写成如下形式9 j ： 詈= 南+ 等器 眨 百2 百丽+ 面前 2 1 8 ) 其中栌尚和善2 尚1 叫飞名方向如图2 2 3 2 所示 o 1 4 硕士论文 基于偏微分方程的图像恢复研究 ：；= a u = 甜。+ “一 ( 2 1 9 ) 谢 ”1 1 与热传导方程不同，式( 2 1 8 ) 其扩散强度随着i v l 的值不同而变化。式( 2 1 8 ) 第一项表示在与梯度正交的方向上做一维传播，而第二项则根据l v 甜f 的值取正值或负 值，它分别对应于正向热传导和逆向热传导。注意到参数a ，它规定了由i v “i 值确定 的传播类型。这样，式( 2 1 8 ) 可以同时解决分析的问题( 图像在尺度t 上被简化) 和恢复问题( 边缘增强) 。还应该指出，不能保证该方程存在解，也不能保证可能存 在的解是惟一的，也就是说它是一个病态的问题t 9 1 。 图2 2 3 2 图像的梯度方向及梯度正交方向。 2 2 4p e r o n a - m a l i k 模型的改进 p e r o n a 和m a l i k 引入的各向异性扩散模型，虽然一定程度上解决了热传导方程由 于各向同性扩散而造成的图像边缘模糊、细节特征减少等缺点，但也存在着自身的不 足，比如它是病态问题1 。本节针对p - m 模型存在的不足，介绍了三种改进模型。 2 2 4 1p _ m 模型的正则化；c a r t e 模型 p m 模型虽然具有保持边缘的功能，但是它是一个病态问题，需要用正则化方法 加以解决脚l 。c a r t e 等对p - m 的方法进行了改进，提出用更平滑的q * v u 代替v 球， 在这里，g ：是一个平滑核函数，比如高斯函数。因为q + v u = v ( q 甜) - - v g + 却， c a r t e 等提出了如下的正则化模型渊： 罢= d i v ( g q v q + 材9 v “) ( 2 2 0 ) 叫 相对于p _ m 模型，c a r t e 模型具有以下优点： ( 1 ) 如果噪声图像中含有大梯度噪声点，因为噪声点的梯度较大，扩散系数较 小，p 叫模型对去除噪声不利。而c a r t e 模型有效的解决了该问题，因为模型先在一 定尺度下对图像进行了平滑，减弱了噪声的影响。 1 5 硕士论文基于偏微分方程的图像恢复研究 ( 2 ) 不同于p 州模型，方程( 2 2 0 ) 是适定的。 这种方法的思想是，在各向异性的平滑过程中，加入各向同性的操作，虽然能够避 免各向异性带来的不稳定，但实际上已经违背了方法的初衷；由于在每一步迭代都要 进行一次高斯平滑，计算速度非常慢；这种方法和p 埘方程一样，无法找到对应的图像 能量函数；在散度算子括号中包含梯度估计l v 嘭“l 和梯度v “，没有明确的几何解 释。 2 4 4 2a l v a r e z ，l i o n s 和m o r e l 模型 在上文中，提到7c a r t e 等对p - m 模型所做出的改进。a l v a r e z ，l i o n s ，m o r e l 等”1 指出，c a t t e 模型在数学上是适定的( 存在唯一的解) 。但是，当尺度因子o r - - y0 时， 其模型是不稳定的。同时，该模型不具有明确的几何解释。他们给出了自己的模型( 简 称a l m 模型) f ”l ： 詈- g ( 附帅舳i 诗 ( 2 2 ) 其中，g 为高斯平滑核，g ( 力为非增实函数，满足g ( 0 ) = 1 ，l ，i r a g ( o = o 。 当g o ) - - - 1 s j = i o - = o 时，式( 2 2 1 ) 变为： 塑o t = d i v 幽i v u l ( 2 2 2 ) 、 在这种特殊情况下，具有明确的数学解释：该方程对应下述能量的最小化 e ) = 上i v “l 疵砂。式( 2 2 2 ) 对图像边缘两侧实行强平滑，边缘本身实行弱平滑。 式( 2 2 1 ) 中j v 甜i d 如甜，i 轨i ) 为退化扩散项，在局部坐标系下可表示为 i v “i d i v 褊h ( 2 - 2 3 ) 孝与梯度v 的方向正交，因