（材料物理与化学专业论文）半固态合金液相线铸造组织相场模拟研究.pdf

东北大学硕士学位论丈摘要 半固态合金液相线铸造组织相场模拟研究 摘要 半固态成型合金浆料制备新工艺一液相线铸造法可获得均匀、细小的非枝晶组织， 二次加热后能完全转变为均匀、细小的等轴晶，是适于触变成型的理想半固态组织。液 相线铸造法中在浇铸前熔体先降至液相线温度进行保温一段时间，通过等温分解的相场 模拟显示，在近双相区将会发生成分与相的分解过程，这种分解作用促进新相胚芽产生， 有助于大量均匀形核。对凝固过程中晶粒长大的相场动力学模拟的结果表明，晶粒长大 速率随过冷度增大而显著增加，其枝晶形成趋向随过冷度增大而明显增强。说明液相线 铸造是在较小过冷度范围实现了结晶凝固，这种情况下具有很小的长大速率和枝晶形成 趋向，得到细小的非枝晶组织，从而在随后的浇注熔体中获得大量均匀、细小非枝晶组 织；二次加热至双相区，引起部分熔化和重新分解晶化，同样情况会使组织进一步得到 改善。 结合形核理论模型与晶粒长大相场模型，对液相线铸造条件下的凝固动力学过程及所 得到的半固态合金浆料组织进行了计算机模拟，模拟结果显示出液相线铸造条件下形核 与长大的动力学过程及其铸造组织形貌。 关键词：相场模拟；半固态合金；液相线铸造；微观组织 东北大学硕士学位论丈 s t u d yo n s i m u l a t i o no fs t r u c t u r e so fs e m i s o l i d m e t a l s l u r r ym a d eb yt h el i q u i d u sc a s t i n g u s i n g p h a s e f i e l dm e t h o d a b s t r a c t l i q u i d u sc a s t i n g ，an e ws e m i s o l i dm e t a ls l u r r ym a k i n gt e c h n o l o g y ，w a su s e dt og e t u n i f o r m ，f i n en o n - d e n d r i t i cs n l j c _ l l r e st h a tc a l lf u r t h e rb et u r n e di n t ou n i f o r ma n df i n ee q u i a x e d g r a i n sb yr e h e a t i n gp r o c e s s t h es i m u l a t i o no fi s o t h e r m a ld e c o m p o s i t i o no fc o m p o s i t i o na n d p h a s ei nd o u b l ep h a s ea r e as h o w st h a tal o to fu n i f o r ms o l i dn u c l e is h o u l db ep r o m o t e dt of o r m d u r i n gh o l d i n go f t h ec a s t i n gm e l t sa tl i q u i d u st e m p e r a t u r e a sar e s u l t ，t h ef i n ea n du n i f o r m n o n - d e n d r i t i cs t r u c t u r e sa r eo b t a i n e d i ti ss h o w nb yp h a s e f i e l ds i m u l a t i o no fs o l i d i f i c a t i o nt h a t t h ef o r m i n gt e n d e n c yo fd e n d r i t ea n di t sg r o w i n gr a t ea r er e m a r k a b l yi n c r e a s e dw i t he n l a r g i n g u n d e r c o o l i n g u n d e rl i q u i d u sc a s t i n g t h es o l i d i f i c a t i o ni sp e r f o r m e di ns u c har a n g eo f t e m p e r a t u r et h a td e n d r i t e i sh a r d l yf o r m e da n dg r o w i n gr a t ei ss l o w t h e r e f o r e ，t h ef i n e n o n d e n d r i t i cs t n l c t u r e sc a nb eo b t a i n e db yl i q u i d u sc a s t i n g s i m i l a r l y ，r e h e a t i n ga td o u b l e p h a s ea r e aw i l l r e s u l ti nt h ei m p r o v e m e n to ft h es t r u c t u r et h r o u g hp a r t l yr e m e l t i n ga n d r e s o l i d i f i c a t i o n j o i n i n gt h et h e o r e t i c a lm o d e lo f n u c l e a t i o na n dt h ep h a s ef i e l dm o d e lo fg r a i ng r o 叭h ， t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nh a sb e e np e r f o r m e do ft h es o l i d i f i c a t i o nd y n a m i cp r o c e s sa n dt h e s 劬c t l l r eo f t h es e m i - s o l i dm e t a ls l u r r ym a d eb yt h el i q u i d u sc a s t i n g t h ed y n a m i cp r o c e s so f n u c l e a t i o na n dg r a i ng r o w t hu n d e rl i q u i d u sc a s t i n gc o n d i t i o na n dt h em o r p h o l o g yo fr e s u l t e d s o l i d i f i c a t i o ns t r u c t u r eh a v eb e e ns h o w n k e y w o r d s ：s e m i - s o l i dm e t a l ；l i q u i d u sc a s t i n gm e t h o d ；p h a s e - f i e l ds i m u l a t i o n 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研 究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：臼涉 日期：2 0 0 5 1 2 0 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文 的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意，) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字曰期： 东北大学硕士论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 材料是人类赖以生存和发展的物质基础。上世纪7 0 年代以来，人们把信息、 材料、能源作为社会文明的支柱；8 0 年代，出现高技术群为代表的新技术革命， 又把新材料与信息技术和生物技术并列为新技术革命的重要标志。这主要是因为 材料是国民经济建设、国防建设与人民生活所不可缺少的重要组成部分，因而如 何采用简单工艺又获得性能优异的材料成为国内外学者的永恒追求。2 0 世纪9 0 年代，在金属加工技术的研究中，半固态金属成型技术( s s m ) 得到迅速发展。与传 统的固态成型或液态成型技术相比，该技术在节能、提高铸件性能、改善铸件内 外性能等方面具有无可比拟的优越性，极大地拓宽了合会应用领域并在发展会属 基复合材料方面具有十分重要的意义l ”。 半固态金属成型主要包括流变成型和触变成型，尽管这两种技术在工艺上有 所不同，但都要求用于成型的半固态会属浆具有均匀、细小、等轴的非枝晶组织， 因此，获得适用于半固态金属成型的理想组织，是半固态金属成型技术的基础和 关键。液相线铸造法是制备半固态金属浆料的一种新工艺，实验研究表明，它可 获得适合触变成型的理想的半固态组织 2 1 。 通过对材料工艺过程的微观模拟可以提高对大量实验结果的理性认识，有利 于探索规律本质；同时又可减少大量劳动，节省原材料，做少量实验既可达到预 测材料组织和推断其力学性能，并可获得主要工艺参数与微观组织的定量关系， 更有效地通过工艺控制和改善微观组织达到最佳状态。另一方面，用相场动力学 方法可以模拟液一固型、固一固型相变，如过冷液态的凝固，过饱和固溶体在回 火或时效过程中的分解，晶粒或分散沉淀相的竞争性长大等问题。相场动力学的 模拟不仅能够预测其最终热力学平衡态，而且还能模拟相变的演化路径、变化速 率和最终形成的相变产物。演示整个相变的动力学过程，确定相变最终形成的微 结构形态与特性，而这种实际上处于非平衡态下的微结构，正是决定材料性质和 提供优异使用性能的源泉和根据。因此，对介观层次的微结构优化来说，用相场 动力学模型来预测和控制相变动力学过程，从理论和实用两方面都有其重要作用。 东北大学硕士论文第一章绪论 而现今的计算机工具提供了通过理论计算来实现这一模拟过程的技术条件， 与经验方法和实验方法相比，它不仅能加深理论方面的理解与探讨，同时在物质 和时间上都更为经济节省。 近年来，我国在半固态金属成型领域进行了大量的研究，半固态成型技术已 向实用化方向发展，但绝大多数是实验研究成果，有关机理研究方面的工作还相 对较少。为系统地研究半固态成形技术，促进这一技术的完善和发展，基于相场 动力学方法模拟液相线铸造过程中液固相转变的特点和半态组织的形成机理具有 重要意义【2 1 35 1 。 1 1 1 液相线铸造半固态合金 半固态合金是指在成形过程中合金中同时存在固相和液相，即使固态成分高 达4 0 _ _ 6 0 ，仍然像糊状悬浮，具有一定的流动性，而在剪切力较小或为零时， 它又具有固体性质，可搬运贮藏。利用半固态合金独特的性质实现浇铸或压铸成 型的方法称为半固态成型。 半固态成型技术发源于美国，经过2 0 多年的研究与开发，作为一种先进的工 艺方法，因其独特的优势而得到迅速发展，在汽车、通信、计算机及其辅助设备 领域，以及航天、航空、国防等尖端领域都有着广阔的应用前景。 半固态金属成型主要包括流变成型( r h e o c a s t i n g ) 与触变成型( n i x o f o m 血曲 两种技术，以触变成型为主，包括半固态浆的制备、二次加热和触变成型三个技 术环节。尽管这两种半固态成型技术在工艺上有所不同，但都要求用于成型的半 固态金属浆，具有均匀、细小、等轴的非枝晶组织。因而制浆成为半固态金属成 形技术的基础和关键。制备半固态金属浆的方法主要有：机械搅拌法、应变诱导 熔体活化技术、电磁搅拌法、喷射沉积法以及粉末冶金法等技术，可以用来取得 所要求的半固态金属组织，有些己用于实际工业化生产，但仍然各有其不同的缺 点或局限性【”。 近年来，一种新的半固态金属制浆技术液相线铸造制浆法被提1 4 1 ，该技 术是将合金熔体冷却至液相线温度保温一定时间后，进行浇注，以获得具有半固 态触变组织的制浆方法。它具有工艺简单、投资省、生产效率高、适合大规模工 业生产等优点。在a 2 9 1 0 镁合金、7 0 7 5 铝合金等半固态制浆中得到很好的研究， 结果表明：合金在近液相线铸造时枝晶明显退化，不再有高于液相线温度铸造时 东北大学硕士论文第一章绪论 的显微气孔，出现许多细小的近球晶，这种方法可以获得均匀、细小的等轴晶， 是完全适合触变成型的理想的半周态组织。 1 1 2 相场动力学 材料相态的特征量，如化学成分、晶体结构、晶体取向等，在空问上会形成 一种分布，并随时间变化而变化，根据朗道相变理论，这种分布用连续空间函数 来描述，并依此来处理相变动力学问题。相场方法( p h a s ef i e l dm e t h o d ) 作为种 计算技术，可以使研究者在介观尺度上真实地模拟微观组织的形成。对系统中的 不同相，可以用参量妒的一个确定值来表示。例如，我们可以定义庐= l 表示固相， = 0 表示液相，在固液界面上谚的值在o i 之间连续变化0 1 0 1 。 相场方法作为一种新的微观组织数值模拟技术正逐步地为广大研究者所接 受，其发展历程大致分为三个阶段；1 9 7 4 1 9 9 3 年，定性模拟，其中k o b a y a s h i 的工作具有重大意义 6 1 ；1 9 9 3 1 9 9 9 年，理想条件下的定量模拟，w h e e l e r 、 k a r m a 、r a p p e l 、b e c k e r m a r m 等人1 7 】做了大量的理论研究，为相场方法的推广奠 定了基础；1 9 9 9 至今，针对实际工艺和组织形貌的相场方法模拟，逐步建立 了偏晶、包晶、共晶、马氏体转变、再结晶、固态相变、烧结和热浸镀等相场模 型，相场方法逐步实用化。 相场动力学模拟最早出现的c a h n h i l l i a r d 模型，它处理相干系统或保守场中 的相变现象，如过饱和固溶体分解时只涉及化学成分的分解扩散如失稳分解，问 题相对简单而易于取得成效。随后由a l l e n c a h n 发展成能处理包括晶体结构变化、 长程有序、晶体取向等非相干系统的相场动力学，称为g i n z b u r g l a n d a u 方法，可 处理脱溶沉淀的长大、凝固、枝晶形成等问题f 6 】。1 9 9 3 年，利用各向异性的相场 模型实现了纯金属过冷熔体中枝晶生长的三雍模拟，最早对具有复杂形状的枝晶 进行计算，得到与真实凝固组织相似的模拟结果，k o b a y a s h i t 7 的工作处于开创性 阶段，随后w h e e l e r 、m u r r y 等利用w a n g 、f i f e 与p o u l 提出的与热力学一致的 相场模型对过冷纯镍的凝固组织进行了定量模拟，完善了k o b a y a s h i 模型。 1 9 9 6 年，k a r m a r a p p e l 对相场模型进行薄界面厚度限制条件下的渐进分析， 得出了在一定截面厚度下有效的g i b b s t h o m s o n 关系，建立了可模拟大过冷度范 围的新相场模型，k a r m a 利用该模型成功模拟了三维自由枝晶。用于二元合金组 东北大学硕士论文第一章绪论 织模拟的第一个相场模型是w h e e l e r 等人建立的w b m 模型。w a r r e n 等人首先应 用该模型模拟了凝固过程的枝晶长大和溶质分布，为简化模型，忽略了结晶潜热 的释放，将二元合金的凝固近似认为是在等温条件下进行。随后b o e t t i n g 等对此 模型进行改进，加入结晶潜热对枝晶生长的影响。k i m 等人又建立一个新的相场 模型，并利用该模型模拟了等温条件下c u - n i 、f e c a l s i 等二元台金定向凝固过 程的枝晶生长，再现了重溶、溶质偏析等合金凝固的重要特征。近年来，相场模 型丌始考虑溶质场、流场及其它外部场的耦合，以此构造相场模型成为目| j 相场 研究的主流，由纯物质过冷态的结晶模拟理论到包括有成分变化的合金凝固过程 的相场模型探讨；从理想条件下的定量模拟到针对实际工艺和组织形貌的相场模 拟探索，都获得一定的进展，以为更真实地模拟合金凝固过型3 4 j 。 国内相场法的研究起步较晚【1 2 】。清华大学的荆涛等利用相场模型与温度场、 溶质场和流动场等外场的耦合，计算了铝合会非恒温场凝固晶粒的三维生长：张 玉妥等采用相场模型”】，以各向异性模数为4 的金属镍为例，模拟了纯物质凝固 过程过冷溶液中等轴枝晶演化，并进行y - - 维数值模拟：于艳梅等人利用相场法 模拟了过冷纯物质熔体中枝晶的生长过程，研究了各向异性、界面动力学、热扩 散和界面能对枝晶生长的影响。随着相场法在凝固微观组织模拟中的应用越来越 深入和广泛，所建立的相场模型也越来越复杂，相场模型的数值求解方法也在相 应地不断改进。 1 1 3 铸态组织典型相场模型 1 1 3 1 纯金属相场模型 ( 1 ) w b m 模型1 9 j w b m 模型为热力学相容性相场模型，通过自由能函数推导获得温度场和相场 控制方程，可用于等温条件下凝固过程枝晶生长的模拟， c + m - l 】“t ) ) 詈+ l ( t ) p 仰) 等2 彬( t ) ( 1 - 1 ) t 鲁q ( 妒( 酚石1 g w ) + 占2v 2 妒 ( 1 - 2 ) 其中c 为比热容，k 为导热系数，口为相场参量，t 为温度，l 为凝固潜热，m 东北大学硕士论文第一章绪论 是迁移率，s 为与界面区域厚度相关的常数，t 为常数，g ( 妒) 为双阱势函数，p ( 妒) 为待定函数，取p ( 妒) = 庐3 ( 1 0 1 5 + 6 妒2 ) 和p ( 庐) = ( 3 - 2 0 ) 2 分别可得l a n g e r 模型 k o b a y a s h i 模型，“是无量纲温度，s 、口、as 均为相场计算参数。 ( 2 ) l a n g e r 模型 ( 3 ) k o b a y a s h i 模型 詈+ 咖，警呵“ 害鲁v 2 n s 一百1 g ) ( 1 3 ) ( 1 ，4 ) 詈丢詈= v 2 “ s ， 篁m 吐y t 占2v 2 妒+ 舢训( 州2 + 等a r c t 嘶“) ( 1 - 6 ) 1 1 3 2 合金相场模型 由朗道相变理论6 1 ，对于序参量”作为相场参量，对于保守场和非保守场情况 下，均满足金兹堡朗道相场方程，设各相场参量”，i _ 1 ，2 ，3 ，都满足相场 方程，通过耦合联合求解方程组 丁o c ( r t ) = m y 2 淼a0 ( 一1 o r l ( m ：一打l o t 。却l ( r 1 ) o r l ( n ) ：一肋旦 o t 。却2 ( r t ) 东北大学硕士论文第一章绪论 其中：埘为动力学结构算符的对称矩阵，m 为扩散迁移率。在上述原理基础上 对相场、温度场、成分场，可得以下方程1 5 川1 ， 1 ) 相场方程 睁x 。( 1 ，妒2 ) ( 1 - q ，2 ) + v ( 珊2 v ，昙( 卯丝o p 玛o x - + 杀 面o c o i 0 ( o j ( 1 _ 7 ) l 仉 “yv 式中：甜2 为与合金物性参数相关能垒高度，0 为晃面法向与晶体生长主轴的夹 角。 2 ) 温度场方程 塑- d v 2 + 上 研2 其中：d 为热导率。 3 ) 溶质成分场方程 知p ( 1 - r p ) k ) 仔v 鲁佩) ( 1 - 8 ) 【( i 。妒) d ，k v c 。+ ( 1 + 妒) 皿v c 。】 ( 1 - 9 ) 其中：c 为比热，k 为导热系数，t 为绝对温度，m 为迁移率，t 为热扩散时间。 1 2 课题研究意义 对半固态合盒液相线铸造工艺所得结晶组织特征的模拟，可以探究工艺参数 对获得理想组织的影响，从而探讨工艺条件作用本质，取得对该工艺的进一步深 入研究和改进的指导作用。 液相线铸造是将合金熔体冷却至液相线温度保温一定时间后，进行浇铸，从 而获得具有半固态触变组织，即均匀、细小的非枝晶组织，经二次加热后则完全 转变为均匀、细小的等轴晶。金属凝固过程所得到的枝晶组织主要是固态相变的 结果【1 5 l 。而枝晶生长属于自由边界问题，建立在统计物理学基础上的以 g i n z b u r g l a n d a u 相变理论为基础的相场方法用统一的控制方程，相场方程的解可 东北大学硕士论文第一章绪论 以描述金属系统中平衡状态下新相、母相以及固液界面处的复杂生长过程、曲率 以及界面的移动，不必区分固液相及其界面，不必跟踪固液界面，非常适合模拟 枝晶生长，从而能够从凝固理论角度解释其组织演变过程。 从计算机模拟方法来看，相场方法是近年来兴起的一种模拟相变及组织结构 的有效方澍“，因此本研究课题在现有凝固结晶过程的相场模拟理论基础上，针 对该制浆工艺成品组织的特征规律，开展相场模拟研究工作，这对于该工艺规律 与本质的理论探讨和相场模拟方法的发展都应是有意义的。 东北大学硕士论文 第二章模型建立 第二章模型建立 对半固态金属液相线铸造工艺成品组织的特征规律进行相场模拟，需采用 相场方程、温度场方程和成分场方程进行耦合计算。利用熵泛函热力学一致性 原理求自由能密度泛函，( ，t ) 和函数g ( ) 的具体形式，并考虑组元元素在合 金中的化学势，从而推导上述三个场量模型 2 1 与热力学一致( w b m ) 模型 任意选取一个区域v c q ，其内能e 表达式为 e = p d v ( 2 1 ) r 其中e 为内能密度。 由热力学第一定律得 警= 一严 协z ， 其中；为通过区域壤面的热流密度，五为区域表面的法线方向，一为区域表面 积。利用高斯定理将方程( 2 2 ) 变换形式，求导得到 d 矍d ，= - v ：7 ( 2 3 ) 对于任意的v 匕q ，熵函数可以表示为 s = 且s ( 掣) 三2 ：( v ) 2 】d v ( 2 4 ) 其中s ( e ，v ) 为熵密度，s 为与界面区域厚度相关的常数。将方程( 2 3 ) 代入( 2 4 ) 中，并对方程( 2 - 4 ) 求导，则 _ 8 东北大学硕士论文 第二章模型建立 设 警= ；f ( 詈) ，号；+ f k 当o e j o + s 2 v 2 庐 j 昱。兰t f 2 v ( 警v ) d v = f 。v ( 塞 ，+ f t , 皇。妒j o + s 2 v 2 庐 娑o t l j d v c ：一s ， 一( 塞) ，g + s 2 詈v 一 n 幽 g = 珥v ( 割 ，型 a f 鱼 v z l 铆j 。 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 取胁和f 均为j 下数，以保证熵变为正。( 2 3 ) ( 2 7 ) 式变为( 2 - 8 ) ，( 2 9 ) 于是自由能密度泛函厂( 庐，t ) 为 ，( 妒，r ) = 一亍1l f ，a a e ， 由自由能表达式厂= p 一 i s 得到 f 堡 ：f 盟 l 却。l 劬 由热力学关系她= 陆+ ( 甜蜩 f a ( ，r ) 1 8 1 1 r j 。一f 对方程( 2 - 1 2 ) 积分，得到 胛m 挚 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 俨 门川 矿 一r + 0 “双”滢 1 r 一 = 加一西 却一西 东北大学硕士论文 第二章模型建立 其中g ( 妒) 为待定函数，纯物质的熔点温度。由液固共存能量密度 p = e a t ) + p ( ) 三( 丁) = 吒( r ) + 【p ( 庐) - 1 l ( t ) ( 2 1 4 ) 兵甲巳【t ) 和e t , 【t ) 分别为崮相和液相的内能密度，l f ) = 气【t j e s ( t ) 。若 7 1 = ，则l o = 三( ) 就是熔化潜热。j p ( 庐) 待定的函数。 由( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 得 刑刀= 丁 一挚h 删h 】q ( 聃g ) 其中 卵) = 挚f ( 2 - 由方程( 2 1 1 ) 和方程( 2 - 1 5 ) 得 ( _ j o e ) ，v q c 聊c 舻t g w ， 方程( 2 - 8 ) 、( 2 - 9 ) 变为 警+ 掣) + 岍1 挈- 一vm ，v ( 专 协 r 詈= 孵) p 即) _ g ( 卅却2 ( 2 _ 1 9 ) 液相区庐= 0 ，固相区= l 。在不同的温度下，自由能在痧为0 和1 时有极 小值，且自由能的变化是连续晦。写成具体的条件式为 f ( 0 ，) ；f ( 1 ，) ( 2 - 2 0 a ) 矿i 却b 。 a 2 ，l 刮2 k 。 o o 为了满足条件，p ) 和g ( 矿) 必须满足如下的关系 ( 2 2 0 b ) ( 2 2 0 c ) 东北大学硕士论文 第二章模型建立 g ( o ) = c ( t ) g 7 ，一p 7 ( ) q ( ，) 】l 。：。，= 0 ( 痧) 一p “( ) q ( r ) 址。 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 由( 2 - 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 可得g ( 妒) 为一个双阱势函数，在庐= o ，1 处有极小值。只 要满足上述关系的g p ) 和p ( ) 都可以使条件式( 2 3 0 ) 成立， 刚) = 笔( 1 卅2 = 石1 删) ( 2 羽) 口为常数，对于自由能密度有，( o ，) = ，( 1 ，) = 0 r g ( ) = 庐2 ( 1 一妒) 2 。 考虑到由于界面附近液相中热量的传输所引起的枝晶形貌的变化。于是将 液相的自由能密度写成温度的线性函数形式，c 为比热容 e l ( 丁) = e l ( ) 一c ( t 一) ( 2 - 2 5 ) 经过无量纲化，得到的纯物质凝固相场方程及与其耦合的温度场方程，即为 w b m 模型， 挈= 占2 v2+(1-)(痧一三+30fz触“庐(1一)m o t2 鱼2 v 2 “一1 0 t( 庐) 塑o tq 1 7 ( 2 2 6 ) 其中：取函数p ( ) = 3 ( 1 0 1 5 庐十6 庐2 ) 。矿= ( x ，y ，t ) 为相场参量，它是二 维位置x ，y 及时间t 的函数。当( x ，y ，t ) = l 时，表示液相；庐( x ，y ， t ) = o 时，表示固相；其值在o l 之间表示固液相间界。“= “( x ，y ，t ) 为温 度场的无量纲温度。当y = y m + u t ，其中t m 为熔点或液相线温度；t 为熔体 的过冷度( 可见“= o ，t = t m ，“一1 ，t = t m 一t ，“= 0 、x ，t = t m 一( 0 、x ) t ) ， 东北大学硕士论文 第二章模型建立 而q = ( 兰) t 为无量纲过冷度，l 为相变潜热。界面能系数f 是与相界面 宽度及表面张力有关的系数，引入亭的各向异性特征 亭( 目) 2 亭r ( 2 亭( 1 + yc o s 芷e ) ( 22 7 ) 其中：y 为各向异性强度，e 为相界外法线与x 轴问的夹角，盯为模数( 立方 晶体取r = 4 ) 。引入对凝固组织和枝晶成长有重要影响的另一个因素热起伏，在 相场方程( 2 - 2 6 ) 的右边加入一热噪声干扰项 靠= 1 6 0 2 ( 1 一) 2 + 3 0 , a x - 2 u 0 2 ( 1 一矿) 2 + 尺 ( 2 2 8 ) 鲁 卅s 。一 卅卜孙詈 亿：，、 孙印甜内( 删 东北大学硕士论文 第二章模型建立 h ( 妒) = 妒2 ( 3 - 2 妒) ，或 h ( ) = 庐c 6 庐2 1 5 庐+ 1 0 ) 于是，若取= l 表示固态s ，= o 表示液态l ，则固液两相混合的合金自由能密 度表达式为： f ( t 、c 、) = h ( 庐) 厂5 ( c s ) + ( 1 一h ( ) 厂7 ( cl ) + w g ( 妒) ( 2 3 0 ) 其中：w g ( 妒) 来自相场参量对自由能的贡献，g ( 妒) 为关于的一双阱势函数， 取w g ( 矿) = w e2 ( 卜妒) 2 ，w 为某常数，表示势阱高度，cs 和c 。分别为固相 成分和液相成分，则合金平均成分 c = h ( 妒) cs 十( 1 h ( 矿) cl ( 2 3 1 ) 在某一温度下平衡时，在合金固相成分中任一元素的化学势= 尼应等于相 中化学势= 尼。在一维情况下，合金中应有 f ：，( c s ( x ，t ) ) 2f 岛( cl ( x ，t ) ) 利用以上关系式可按照相场方程的基本形式 譬= m ( s 2 v 2 庐一fd ) 西 9 及浓度场扩散方程的基本形式 i a c ：v 学耽 a t f 一“ 而推导出如下形式的相场方程和浓摩场成分方稗 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 去鲁2 v 细) ，。旷一旷( c l - ，( 。( c 川- w g ( ) ( 2 - 3 4 a ) 害= v d ( 庐) v c + v 唧) ) ( c l - cs ) v 矽 ( 2 - 3 4 b ) 其中：m 为相场迁移率，扩散系数d ( t ) = h ( 庐) d + ( 1 一h ( 痧) d7 。d 1 和d 。分 东北大学硕士论文 第二章模型建立 别为合金元素在固相和液相中的扩散系数，e 相场梯度界面能系数，它可具有 各向异性e2e ( ，同于纯物质中的情况。f i ，f 。分别为自由能对庐和c 的导 数，f 。为对c 的二阶导数。采用稀固熔体近似处理，则方程表为 j 1 彳8 a c # ，_ v f 2v 庐+ ( 妒) j 曼；! j i 2 ( l - t - m 。c l ) w g ( 庐) ( 2 - 3 5 ) 害= v d ( 庐) v c + v d ( 萨) 厅( 妒) ( 卜k 。) c 。v ( 2 3 6 ) d t 其中：m8 为液相线斜率，v 。为克原子体积，k8 为成分平衡分配系数 ke ：旦：笠 c c i 二元合金相场方程为 击鲁2 v 加u ) “丁( 旷( c l - cs 叫吼) - w g ( ) ( 2 3 7 ) 塞= v d ( 庐) v c + v 吣) ) ( c l - c 。) 甲庐 ( 2 - 3 8 ) 2 2 2 多元合金的相场模拟的相场方程为 面1 0 西o f 2 v2 + 詈h 蒜鬻粼e 以n 飞w ， ，西 ( 1 一( c l 。+ c 2 。) ( 1 一( c 盖+ c 2 l ) 一 。 浓度场方程为 ( 2 3 9 a ) 鲁州d l ( 州1 _ h ( 业等世+ h ( 声) 业芝型n 东北大学硕士论文 第二章模型建立 c 1 、 1 一( c l l + c 2 ) ( 2 - 3 9 b ) 鲁圳d 2 ( 州1 _ h ( 州业篙型+ h ( 妒) 掣趔) v l n 堕一) 1 一( c l l + c 2 。 ( 23 9 c ) 采用稀固溶体近似相应地引入平衡分配系数，液相线斜率后，各方程用c ，。 和c 。表示后，与温度场方程联合求解，可进行三元合金的相场模拟。 2 3 形核模型 当液体中出现固相晶核时【3 7 】，新相核心形成的同时，系统总的自由能变 化为 a g v = 一= a g , 。v + 吼爿 ( 2 - 4 1 ) 其中：a 瓯是液、固相单位体积的自由能差，v 为固相晶核体积，o r 。是币位而 积界面能，a 为晶核表面能。当晶核为球形时， a g ( ，) _ a g m 。号：r r 3 + g ；s 瓴r 2 ( 2 叫2 ) 根据液、固相自由能随温度晶核胚半径的变化关系( 图3 1 ) 可知，温度tz i j 时，a g f ，1 ，0 ，无凝固晶相形成；当温度rc l 时，随着r 增大，总自由能g 随 晶核胚半径r 增大再逐步变小。在临界半径，为极大值，与其对应的g 为形 核功。临界半径为 ，：兰噍( 2 4 3 ) g 。 形核功为 ag；堑。娶(2-3a g 2 ，h 东北大学硕士论文 第二章模型建立 此时临界核表面积 “娟玎( 惫y ( 2 - 4 5 ) a g = 吼 从能量的角度看，形核过程是一个能量涨落过程。只有靠能量起伏有机会 获得相当形核功g + 大小能量的临界晶核，才可能继续自发长大使凝固过程得 以进行，这也成为形核过程数值模拟的基础。形核功与临界半径都随过冷温度 降低而变小，这将有利于形核。所以在温度不是太低的通常凝固条件下，形核 速率先是随温度降低减小。在非自发形核条件下，形核功具有不同程度的减小， 有利于形核。对于球冠状的晶胚，在同样体积下，浸润角口角越小，等效球面 啦率半径越大，有可能以较小尺寸的晶胚，达到临界尺寸晶核，在较小的过冷 度下，得到较多的临界核。 作为表征单位体积中单位时间内形成晶核数目的形核速率，取决于由几个 原子组成的临界尺寸的晶胚数m ，也取决于液相原子通过固一液界面向晶胚上 吸附并使晶胚尺寸继续长大的吸附速度d n d t 。液相中出现晶胚后，单个原子 和晶胚的混合将引起封闭系统熵值增加现象和自由能降低的自发过程。当帆个 有1 1 个原子组成的晶胚和1 个单个液态原子相混合后其自由能差为 瓯= na g n t a s ( 2 - 4 7 ) 其中：s = l n ( l + n n ) ! ( 虬! l ! ) 】为混合的组态熵，k 为玻尔兹曼常数，计 算可得 z x s = 芷h ( l + 虬) l n ( 1 + m ) 一虬i n n n n i i n n i 】 ( 2 - 4 8 ) 瓯= n a 瓯一, c t l n ( n l + n n ) l n ( n 1 + 帆) 一。1 n 帆一1 1 n n i 】( 2 - 4 9 ) 根据极值条件，等= 。得临界尺寸的晶胚数为 m = n ie x p ( 一q k t ) ( 2 5 0 ) 东北大学硕士论文 第二章模型建立 式中为表示的临界尺寸晶胚的自由能 岍q g a g m 0 心 一丁瓯 晶胚数。斗 示意图1 自由能变化与形核晶胚数目 f i g1 f r e ee n e r g yc h a n g i n gw i t ht h en u m b e ro fn u c l e i 形核速率公式( 2 - 4 2 ) 中原子向晶胚表面吸附速度 塑：u n ：( 2 - 5 1 ) i 训琢 。 珥为临界晶胚表面上能够吸附原子的位置密度，d 原子吸附频率 d = e x p ( - z 、c k t ) ，为原子振动频率，q 为扩散激活能，e x p ( 一a g j k t ) 具有q 能量的液相原子分率 = a ；n 。 ( 2 5 2 ) 式中z 临界晶胚的表面积，h 。单位晶胚面积上能捕获原子的位置密度，得出形 核速率表达式 。= i o e x p - ( g ：+ q ) 7 2 r 】( 2 - 5 3 ) ia = n l t ) o a _ ：n c 设m 等于阿佛加德罗常数，则i 表示每秒每摩尔中的核心数，可见，形核 速率i 决定于两个指数项，一项与形核功晶胚数有关，另一项液相中出现晶胚 东北大学硕士论文 第二章模型建立 后，单个原子和晶胚的混合将引起封闭系统熵值增加现象和自由能降低的自发 过程。与原子扩散有关，它们均随温度变化而改变。在过冷度较小时，形核功 较高，形核速率很小，随着过冷度增大，开始形核速率随之增大，但当过冷度 太大时，由于原子扩散困难，而使形核速率变小。 通常的金属和合金最大白发形核速率处的过冷度约为其熔点温度的0 2 倍，本文的形核过程数值模是针对这一通常条件进行的。 蔓兰查兰堡圭笙圭 堑三主兰簦垫竖塑 第三章计算机模拟弟二草计舁利【模拟 箱二章建立了描述凝固过程的相场模型，由纯物质相场模型得知，模拟纯物质 凝固过程结晶长大形态的关键是联合求解无量纲化处理的相场方程和相关耦合的 温度方程。对于合金则尚需计入成分场方程，这样就可以联合求解相场方程及与其 耦合的温度场方程、成分场方程来做合金的凝固过程和组织的相场模拟。由于这些 方程均为偏微分方程，须利用数值分析方法求得其数值解，其主要过程是先用对相 场模型进行离散，然后用v i s u a lc “6 0 编制相应的计算程序和绘图程序，模拟合 金凝固过程中铸造组织形貌。 3 1 形核过程的数值模拟 根据前述形核模型，形核功g + ：堕。旦乓 和临界半径r + ：一譬 ( 3 1 ) 瓯 均随过冷温度降低而变小，综合各因素得到形核速率为 。27 u 。吖瓯+ q ) 7 丁1 ( 3 - 2 ) ，o = l 4 m 。 在液相场中随机选取( x ，y ) 点，可在这些选点处形成晶胚，并使在晶_ | j f ：处出 现能量涨落，其涨落幅度应与相应过冷温度下的形核功相匹配。不同晶胚因能量涨 落而具有不同的能量值，同时晶胚所具有的能量大小和晶胚尺寸大小有一致的关 系，因而这也反映液相中的晶胚有不同的尺寸分布。当晶胚的能量起伏达到和超过 金属熔液在某一过冷度下的形核功时，则该晶胚有可能自发长大，命其成为一个达 到临界尺寸并随后继续长大的晶核，可令该处及邻近几个( x ，y ) 坐标对应的相场p 具有同相值。随机选点和能量起伏均可利用产生随机数的函数来实现。按照这一思 蔓苎查兰婴兰堕圭一篁三主兰簦垫堡翌 。1 - _ _ _ _ - l 一 。 路用c 或c ”语言编制相应的计算程序，并绘制成图，运行这一程序，做出形核过程的 数值模拟。 3 2 相场模型的有限差分 为实现前述相场模型的计算机模拟，用有限差分方法求解相场方程及相关的耦 合方程。首先用均匀网格对相场及相关场进行离散处理。引入时间步长f ，空间步 长血和a y ，为方便起见，取缸= a y = h 。由于显式差分存在收敛问题，所以在模拟 时时间步长不能过大，按照数学物理方程解题知识：此类方程的收敛条件为 r ( 缸) 2 4 。 对纯物质的相场模型，做相场及温度场方程的差分处理， 鲁+ 扣鲁卅“( 3 - 3 )百+ 五p 言刮锄 其中 p ( 妒) = 11 0 一】5 妒十6 妒2 ) 方程( 3 - 1 ) 和( 3 2 ) 均采用一般显式差分格式，其差分格式为 等十芸群) 2 掣= 皆+ 等 等譬吲一研以，。一纵) 志 碾- ( 蛸1 - 簖1 ) 一昵( 稿1 一螨) 十i 夏8 2 面 矿1 ( 炼1 一配) 一硝一( 簖1 一蛄) + 啬：。一砒) ( 阶弛) + 。础绀群z ) 髟一砂 吖 叫 ， 加 w 扣靴嘶扣 叫 坩 印瓦 蔓型坐笪! 生坠 苎三主生簦垫堡型 。“- _ _ _ - 一二一 + 一、1 。 整理得 + 志眦，( 硝1 喘1 ) 一砒( 列唰) + 志 编r ( 粥1 一蜗1 ) 一蠢，r ( 蛾1 鲒1 ) + 啬- 甜妙1 钟1 ) + 。训。一：谚，) 一百3 0 删2 - 1 ) 2 ( 一谚) + 裔峨+ 寿 + 裔+ 裔叫h r 铸筹 “? 饥2 茜( 吨彬j q + r 1 2 料。( m 酬a t ： 2 1 4 + r 1 2 + 盎( 卅吖2 料。m ( 缸a t 妒 矿2 哳- + 1 _ ( 击+ 击卜州j 卜等们训瑚吣舶训 + 4 ( m 血a t ) z 2 江i - r 2 凇，+ 蔷( 毗吲2 c ：+ l 2 。) 蛸1 + 。( m 缈a t ) z 2 j 吖m 老茜嘲谢2 彤：1 将扰动引入到模型中得 轧2 焉茜( 嘲+ 矿2 列+ 4 m 鲥a t ( 2 卜矿卜矿 + 4 缸, n a 知t 、( _ 厶一口? 一矿l 一口2 r ) 鳙。4 ( m 缸a t l ： 4 矿卜矿k i + r 2 1 ) 形 + 奇+ 击卜矿i j 卜等们训 谚一扣咄加训 十可m 五a 孙tt 圳2 ”，+ r 1 2 。j r 1 2 。j ) 粥+ 4 血m a 圳t 口厶一1 7 + 1q 2 + t - r 2 硝 + 磊舞( 。v 2 f + r z 卜矿n 蠢羔( 一碾+ r z 2 簖1 4 8 0 妒4 ( 1 一庐) 4c e q “? 尺占。m f 0 2 1 东北大学硕士论文 第三章计算机模拟 对于合金凝固的相场模拟则还要考虑耦合的成分方程，这可依据上述同样方 法将成分方程 罢= v d ( 矽) v c + v d ( 妒) h 。( 庐) ( 卜k 。) clv 妒 ( 3 5 )