（航空宇航制造工程专业论文）基于反向模拟法的工艺优化技术研究.pdf

两北丁业人学倾i ：学位论史摘要 摘要 本文主要研究了理想成形理论及其在板料成形过程中的应用，并为板料多 步成形过程的模拟提供了理论算法。 板料成形过程模拟一直是塑性成形领域研究的热点问题，对于确定板料毛 坯形状、计算应力、应变分布、制订合理的成形工艺和模具设计有重要的意义。 本文主要研究了理想成形理论及其在板料成形过程中的应用。基于理想成形理 论，在一步法的工作基础上，建立了多步成形过程分析的有限元模型，提出了 轴对称零件多步成形的模拟算法。本文采用最小功路线即理想成形路线，应 用理想成形理论，在产品构形给定的条件下，研究了多步反向模拟算法。 针对基于理想成形的板料零件，推导了以节点坐标或节点位移为未知量的 线性三角形薄膜单元的变形关系。使用牛顿一瑞费逊迭代法，可快捷地得到棚 始构形或当前构形上的节点坐标。在建立的多步成形有限元算法基础上，用面 向对象的c + 十语言编写了部分多步法算 去的程序。 关键词：理想成形理论有限元素法板料成形多步法 两北t 业人学顽l 学位论史摘要 a b s t r a c t i nt h is t h e s i s ，t h ei d e a lf e r m i n gt h e o r ya n di t sc o r r e s p o n d i n g a p p l i c a t i o na s p e c t sa v ei m p o r t a n t l yi n v e s t i g a t e d i ta l s op r e y i d e sa t h e o r e t i c a l a l g o r it h m o f 。t h e m u l t i p l ef e r m i n gp r o c e s s e s f o rt h e a p p li c a t i o n so fi d e a lf e r m i n gt h e o r yi nt h eb l a n kd e s i g na n dt h ef e r m i n g p r o c e s sa n a l y s i s t h es i m u l a t i o n so ft h eb l a n kf o r m i n gp r o c e s si s a l w a y sav e r yp o p q u e s t i o n i nt h ed o m a i no fp l a s t i c i t y f o r m i n g i th a sv e r yi m p o r t a n t s i g n i f i c a n o ea st om a k i n gc e r t a i nt h ef i g u r eo ft h eb l a n kr o u g h c a s t 、 c a l c u l a t i n gs t r a i na n ds t r e s s 、e s t a b i s h i n gr e a s o n a b l ef o r m i n gc r a f ta n d d e s i g n i n g m o l d i nt h i st h e s i s ，t h ei d e a l f e r m i n gt h e o r y a n di t s c o r r e s p o n d i n ga p p l i e a t i o na s p e c t sd x ep r i m a r i l yi n v e s t i g a t e d b a s e do n t h ei d e a lf e r m i n gt h e o r ya n ds i n g l ef o r m i n gp r o c e s s ，itb u il d st h ef i n it e e l e m e n t m o d e l i n g o f m u l t i p l ef o r m i n gp r o c e s sa n db r i n g sf o r w a r d a s i m u l a t i o na l g o r i t h m sa b o u tt h ea x i s y m m e t r i cp a r t s i nt h i st h e s i s i t i n v e s t i g a t e s as i m u l a t i o n a l g o r i t h m o f m u l t i p l ef e r m i n g p r o c e s sb y a d o p t i n gt h em i n i m u mp l a s t i cw o r kp a t h ，t h a ti st h ei d e a lf e r m i n gp a t h ， a n dp u t t i n gt ou s et h ei d e a lf e r m i n gt h e o r yw h e nt h ep r o d u c ti ss p e c i f l e d a i m e da tt h eb l a n kp a r t sb a s e d0 1 3t h ei d e a l f o r m i n g ，t h ei n v o l r e d f ef o r m u l a eb a s e d0 nt h ek i n e m a t i c so ft h e1i n e a rt r i a n g l em e m b r a n e e l e m e n t s ，w i t ht h en o d ec o o r d i n a t e so rn o d ed i s p l a c e m e n t so fe l e m e n t s b e i n gu n k n o w n ，a r ed e r i r e d u s i n gt h en e w t o n r a p h s o ni t e r a t i o nm e t h o d ， t h en o d ec o o r d i h a t e s0 fe l e m e n t so nt h er e f e r e n c ec o n f i g u r a t i o no ft h e c u r r e n tc o n f i g u r a t i o n ，c a nb eo b t a i n e de f f i c l e n t l y f o u n d e do nt h ef e a l g o r i t l v n sa b o u tt h em u lt i p l ef o r m i n gp r o c e s s ，t h eo b j e c t o r i e n t e df e m p r o g r a m a b o u tt h e a l g o r it h m s o ft h e m u l t i p l ef e r m i n gp r o c e s s js d e v e l o p e d k e y w o r d s ：i d e a l f o r m i n gt h o e r y ，e n i t e e l e m e n tm o d l i n g ( f e m ) ，b l a n k f o r m i n g ，t h em u l t i p l ef o r m i n gp r o c e s s e s i j 两北丁业大学倾小学位论史第一章鳍论 第一章绪论 金属塑性成形是金属加工方法之一。它是利用金属的塑性金属产生塑 性变形的能力，使金属在外力作用下成形的一种加工方法。利用塑性成形方法， 不但能获得强度高、性能好、形状复杂和精度高的工件，而且具有生产率高、 材料消耗少等优点。因而在国民经济中得到广泛的应用。近十几年来，隧着计 算机硬件能力和软件水平的提高，有限元法在金属压力加工行业中得到了广泛 的应用。用有限元法进行成形分析已经取得了一定的进展，它对制造无缺陷、 高质量的零件提供了有指导意义的信息。 1 1 研究的目的和意义 本文的选题来源于航空基余，是一个对于生产和实践来说都很有意义的题 目。因为对冲压件的成形性进行分析是冲压工艺及模具设计中的关键内容，所 以对成形性分析的讵确与否直接影响到后续工作的成败。对于简单零件来说， 如圆筒形件拉深、盒形件拉深、圆孔翻边等可以用一个简单的参数来判断其 成形性。但对于复杂零件的冲压件。如飞机钣金件、汽车车身覆盖件来说，还 没有类似的方法。在我国主要靠设计人员的实际经验和一些简单的局部成形性 分析，这严重影响了冲压模具的开发周期和质量。 现在大多数板材零件制造厂和模具开发上均采用了有限元模拟方法米分析 冲压件的成形性，预测成形中可能出现的缺陷并研究工艺参数对成形过程的影 响。目前主要采用增量有限元法，对成形的全过程进行分析。这样做可以得到 破t 压成形过程的详细信息，但同时需要大量的计算时蚓，在一定程度上影响了 它的应用。所以反向法目i j i 是板料设计的一种报好的方法。反向模拟应用对象 是钣金产品设计单位、模具) r 发制造企业及其他行业的姆一j 巨厂家。不仅能用于 成形性分析，还可用于复杂形状零件的毛坯展j r 和工艺优化。在产品丌发阶段 进行工艺性分机可以避免后续制造中的浪费，缩短玎发周期，可以支持板材零 什的设计、制造的并行性。随着困内备产业对冲压技术水平的要求n 益提高， 对工艺性分析工具的需求也 1 趋迫切，这对企业提高水平，增强竞争力是十分 重要的。 影响成形工艺的因素有模具形状、板坯轮廓、扳坯厚度、压边力、摩擦和 两北t 业人举碘l 学位论文 籀一章绻沦 润滑情况等。基于流动理论增量有隈元法可以全面考虑以上因素，是目1 j 最 精确的方法。但是在板料成形工艺设计时，对于设计人员柬说最重骚的是，根 据产鑫模鍪逐速褥羁援蕤豹毛坯震开影获，戮藏寒翔瑟王麓霹行蕊：疆突教坯 形状对成形的影响并根搦给定的板料毛坯形状计算成形后续要去除的废料部 分，以戴柬判断工艺合理性。有限元增量法耗时太多，鼗然不能满足设讨人受 实对计舞的需要，所以反向法目前是确定板坯形状的一种很好的方法。 反向模拟的原理是将产品的几何形状直接映射到平板毛坯。施加必要的几 霉约束，簸嚣褥羁藏形螽鑫产磊模登上翡变形分京清嚣。对哥麓整溪静破裂、 起皱的趋势和部位进行预测，为改进产品设计和模具工艺设计提供参考。山于 这一方法扶产品形状入手褥列毛坯形状积最终蛇或形状况，所以稼之为“反蠢 法”。 反向法第一次提出来时，当时考虑了以下几个方面：使用的单元是三角形 膜摹元；夫簿塑戆的薅鼗盛囊；采蠲黎整全量变形理论( 考虑聿季辩簿自舅毪) ； 解非线性方程的隐式静态算法；根据工具的运动考虑水平或垂直节点力。以后 经过对凝向法豹谖髂，季晕出了这样的缝论：反自法不仅在诗葬时闽上菲露枣效， 而且在些典型润题上得到非常精确纳结果。张后来，反向法又在其他几个方 面有了提高和发展：采用了薄板壳三角元，考虑了弯曲的黪响；或用四节点翘 鼗薄膜熬透形零元；勰j 线褴平衡方稼魏耨算法秘蒙略译蘩。 反向法在现阶段的使用还是有其局限性的，随着有限元法和计簿机软件的 发展，它必将会褥到更好豹骚究弱傻瘸。 1 2 圈内外研究现状 ! 瑟令多世纪骇寒，会攥残形过程憋分扳蠹蹩楗瓣力学帮鎏毯力学敷菠制 造领域许多研究人员感兴越的研究方向之一，尤其在过去的三十年曜，由于数 值计算方法和复杂数学力学模型的发展，会属成形分析技术已经取得了显著的 成采。蔟中反巍法是一释缀好静方法，反向法静求解过程与一般菲线性有戳既 的一个增量步类似，故计算时删大为减少。目前蕊于这种思想的研究已有一姥 残鬃，瑷褒茨褰熬纯软终为麴拿大f t i 公司熬f a s t f o r m 墨霾法国熬a 懿、a i r 公溺 的h y p e r f o r m 。在国外一必厂家也得到应用。我国在板材成形模拟方面研究的 尊位蠢：哈工大、上海交大、华中理王大学、北康航空航天大学等，但主要从 事瓒量有限元分析。捂翁，我国还未熊开发出藏熬的商晶纯软髑二。 在现有的研究中，主要采用刚塑性材料模捌、薄膜元进行分析，忽略了板 j q 北l 业( 学峨 j 学位论卫锵一带绪论 毒辛交形中懿弯趣靛应嚣弹性变澎豹影栽。京圈辨，m a j l e g g isa ，1 e e0 采燕j 三 角形薄膜元研究了板料成形反向模拟的一步法，并用此求做了一个方杯实验， 没有考虑驽蠲箭谶索【1 2 ) 。此后，j l b a t o z ，y 穑g u o f m e r e i e r 研究了考虑 弯髓效应的投斟戍形反囱摸拟法的一步法，瞧采鲻蛇单元是三謦形扳夷元，在 三角形板巍元的三个顶点上，每个点有5 个自出度。三个主方向的位移和两个 方淘戆转角，在三莛形三条途蕊中点上，又有两个螽由发，是褥个方淘静转螽， 这样就考虑进去了弯曲效应( ? 。在阑内，刘莱英博士丰富了弹塑性有限变形时 的理想成形理论，使其符合务疆的燮性变形特点，在此藜础上稚导了弹塑性理 想威彤斡形变理论以及煺量形式。地系统翅蔓途述了理想藏形理论在援糕设诗鼓 及成形过程分析中的应用方法。在产品的构形给定时，从理想成形的必要条件 出发，耨澎交瑾论瘦弱予摹步或形j 建程，镄到了癍稻子摄精设计的方程。德采 用三角形薄膜元，推导了以节点坐搦i 或节点位移为未知魑的反向模拟法的一步 法有限元算法，并成功丌发了可用于板料设计的原型程序系统，给出了轴对称 饽秘方鑫形 牛的没诗实剿 2 5 】，珏王大救王耍红颈又在三危形溪黢元兹基磷 上，采用了考虑弯曲效应的三角形板壳元，推导了反向模拟法的步法有限元 算法。楚采灞静经移甬数豫了三个圭方囱静位移驻多 ，遥包括两个方囱驹转角， 另外在计算左变形张量的时候，也考虑了厚度的影响。这样，她的算法就在薄 膜元的基础上更进了一步。 ，3 本文毛拜究内容 本文磺究戆主要内寥是发趣模拟法的多步法靛理论舞法；磅突厚囊异攘本 构关系在板料成彤中的应用：采用 掰向对数的c 十十语言+ 来丌发窘现一b 述算法的 较捧。 本文的研究内容可以分为以f 几点： 1 研究理想成形理论及其在板料成形过程中的应用。在假定物质元变形历史的 蠡提下，塑憋凌搜与翅囊 元豹垃掺有关。若程定靛变形路线秀最小塑牲功路 线，即为理想成形路线。理想成形理论可以应用于板料成形过程模拟的各个 除段。 2 坝究威向模拟法岭多步法的理论转法，并且建立有黻元求锵方程。在本论文 中，研究多步法的算法是一个最大的难点。术文建立了基于理想成形理论的 有骧露模型，攫导了以节点坐捶戏节点艇移为来鬟瑟茧救线量生三角 蓼薄膜擎元 的变形关系。使用n e w t o n r a p h s o n 迭代法呵快捷地得到中间形状曲晰的 阿北1 ：业大学颂j ：学位论文始一章捕论 节点坐标。在进行n e w l o n - r a p h s o n 迭代时，首先要假定一个中州形状曲面， 这也是本文研究中的一个难点。对于复杂曲面，还没有一种合理的方法来确 定中自j 形状曲面。 3 最后，采用面向对象的c + + 爵苦编写反向模拟法的多步法理论算法部分的 有限元程序。用面向对象语占编程。能对有限元程序构架具有良好的适应性 和扩充性并将极大地简化有限元程序。 皿北r 业人学倾l 学位论史 笫一章有限变形理论摧础 第二章有限变形理论基础 板料的成形是材料加工技术的重要分支在国民经济的各个部门中应用极 其广泛。金属板料成形作为板料的主要深度加工方法在整个国民经济和社会 发展中占有非常重要的地位。然而，板料的成形过程是十分复杂的，主要表现 在材料塑性变形的物理非线性以及由板料大位移引起的几何非线性。所以，小 变形理论对于板料成形就不能适用，必须采用有限变形理沦。 2 1 有限变形理论 在小变形固体力学中，因为变形很小，因而忽略了物体受力后在空间位置 的改变，但在有限变形中，出于变形很大，则必须考虑这种变化。为了描述物 体变形前后两种不同的状态，引入了参考状态和变形状态。 在某一瞬时，物体在空唰所占据的区域v 称为物体的构形 ( c o n f i g u r a t i o n ) 。令在时间f = 0 时，物体的初始构形为圪，并参考于一固定 的直角坐标系扛 ，物体的任一质点p 的位置可e b 一向量p ( x 。，x ：，屯) 或其质点 坐标x ，x ：和x ，确定。构型称为物体的参考状态。在后来的某一瞬时f ，物体 被移到空间另一位置，其构形为v ，这时的状态称为变形状态。描述这变形 状态，用另一直角坐标系矗， 。构形中的p 点，变形后被移到空间的p 点，可 由一向量p ( y 1 ，y 2y 3 ) 确定。 同一质点变形前后有关系 y ，= y ( x l ，x 2 ，x j ，) ，f = 1 ，2 ，3 ( 2 1 ) y 。是x 。的单值连续函数- 其雅可比( j a c o b i ) 行列式的值不等r 零。由定 义，娃然有 y ，= ( 工1 ，x 2 * x 3 ，0 ) = x ，i = l ，2 ，3 ( 2 2 ) 如果取“为质点沿置轴方向的位移，那么显然有 铲q 托t 业大学磺l 学经论文 攥上牵南限变蟛理论基础 y 。= x ，+ “，( x i ，j 2 ，x 3 ，t ) ，i = 1 , 2 ，3 ( 2 3 ) 藏霉或囱量形式，骞 p ：p 批 袁，蚤= l ，2 ，3 ，是以皴土黪零位向爨。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 把墨，如，黾葶b ，作独立变嶷来搂述物体的运动( 或变形) ，称为螺曩描述 ( m a t e r i a ld e s c r i p t i o n ) 或拉格朗同( l a g r a n g e ) 描述而膏i ，x 2 ，z ，和f 称为 拉格朗闷变量。这种擂述是跟随着运动的质点研究质点的运动状态。 舅一中撰述运动( 竣变影) 豹方法辣为空阉糖透( s p a t i a ld e s c r i p t i o n ) 。 在空阕描述中，取y i ，y 2 ，y 3 秘f 炸独立变量。这 中描述又称欧挝( e u l e r ) 描述， m ，y ：，y ，和f 称为欧拉变蹙。空间描述的磺究方式不是跟随黄遥渤的腰点研究疑 运动状态，两是毳珏究各誉同鼹矮点经过空瓣菜定点y ；，岁，翻y ，时豹状悫。 或者谨，拉格朗f 搦述是以变形耱的状悫，即以已翔蛉勰始橡形为参鸯 状态来描述物体的运动，雨殴拉描述则是以当前的构形矿为参考状态来描述物 蟀静运磅状态。 2 2 有限变形魄癍变分囊 规始掏形中的质点尹，焚坐标为x ，。物体笈，变形后，点尹移爨了现时酶 点p ，坐标为蔓。此时，点p 与点p 之削的关蒙为 x ，= x 。留l ，x 2 + 爿，) ( 2 。8 ) 式( 2 2 3 ) 商位移的反受挟关系为 。= x ，0 ，x 2 ，x j ) ( 2 7 ) 煽擘嗽 + 十 卜 m。弛峨 + + 十 k，。ii y 工“ = i f = p p h ，jttleill 申其 婀北下业 学坶i j 。学位论义 媾二蕈柯限变形理论基础 采蔼麓卡尔壹热坐标系，上蕊藕式又可敬表示为 x 。= x 。+ “ x ，= x f 一“ 其孛# ，是矮点在变形撩朗貔建移矢爨静努量。 ( 2 ，8 ) ( 2 9 ) 在仞始构形中的点j p 和飙相邻点q 之刚的线元用出。来表示，而在现实构形 中相应的点p 和其褶邻点q 之闻的线鼐用麻表示。由上耐滔个式子可以得到 杈= 参妈= ( 筹菪卜= 一+ 薏p ， = 警瓯。 等一善卜，= b 一考p ， 于是，有 如。；屯啦= 吒誊帆等疵，= 等等武丸 2 。1 0 ) ( 2 ，l l ( 2 1 2 ) 鼎= 瓯也威，= 吒簧积一善积，= 萋薏甄删， 旺 觚瓣褥翻 j 2 s d 2 s 。= 磊献, ，鹾d x , ，d x + 趔，一蟊积，扰，= ( 薏薏一磊卜槲， 疵诫举离一等等蛐，= 卜8 魂x , o 引x l 1 酗， 由土两式可定义 铲文蠹慧一暖 7 ( 2 1 4 ) ( 2 。1 5 ) ( 2 。1 6 ) 堕! ! ! ：些叁堂塑! ：兰些鎏苎 墨三童鱼终塞堑些垫苎皇璺 圹如一等纠 ( 2 1 7 ) 嚣。怒戳初始构形为参考构形，用物质坐标描述，称作g r e e n 应变张量a m e 。是竣现眩捣澎必参考稳澎，蹙锈鼹坐搽x ；越逑，舔佟 i m a n s l 应变张量。 g r e e n 成变张量和m m a n s ij 藏变张量均为二阶对称张量。 剥用戏( 2 2 5 ) 斧n ( 2 2 6 ) ，g r e e n 应变张爨露a l m a n s i 应变张量又可以 写成 毛= 圭( 詈誉乜) = 水矗+ 等) ( 磊制一毛 = 土2 k + 丝a x , + 兰十簧薏咆 = 土2 ( 参+ 鼍+ 器薏o x = 一l 一十一1 - 一一i i 甜，瓤，科。，j 铲粒等警) = 扣卜警卜剀 ；圭卜一b 一瓦a - 一筹+ 瓦6 u , 虿o u , = 1 2 ( 善+ 篱一警鬻 i 彘，教，氐。瓠， 当憾移很小时， 盟 1 ，堕 1 a x l7 。x i 子爨任意嚣数f 麓镳褒 瑟o f ；两o f 瓦o x _ = 等h 一蓍 = 瓦o f 一署善* 两o f o x o x 瓤? 酸? 瓠i烈? q ；3；溅；瓠；8 a t 8 ( 2 1 8 ) ( 2 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 口q 北t 业人拳坝l 学位论义 旃一章青限变形理论接拙 可以褥到 导：善 ( 2 ，2 2 ) 勰，惫。 - 我们根据式( 2 3 7 ) 和( 2 3 9 ) 可以得到 铲毛= 丢( 若十差卜；( 等+ 等) ( 2 。2 3 ) 从上式可以看出，在小变形情况下，g r e e nj | 蹙变张量和a l m a n s i 应变张量部 退化成了c a u c h y 成变张量。 2 3 肖限变形蚋应力分量 在笛卡尔直始搬标系中，c a u c h y 成力原理为 妃= 气”枷 ( 2 2 4 ) 浚关系是在魏突镌形孛羰壤势力学撬条嫠季鼙戮的，蠢怒褒实撼影审蠹元l 作用的力矢的分量，盯。称为c a u c h y 成力张量( 或e u l e r 成力张量) ，v ，是面元 单位乡 法矢静努璧，翻是西元豹瑟积。c a u c h y 或为是定义予现靖稳澎豹与交形 相关的真实应力。 大多数爨薄力学娥题蟪求瓣，霭要攒囊变影凌谤浚逮赛豢馋。甄臻实 构形上的边界条件事先并不知道，只祷在问题求解后才能确定。如聚变形过襁 巾的平徵方程采用物质描述在初始构形l 的定义，则变形体的边界可辔先确定。 基于这种考虑，掴禽予现实稳形面元上的干# 埽力矢矗r ，在翻始掏形中对应的鬣 元上定义了一个力矢d r o ，在力矢d t 和力矢d r o 之问规定了两种对应关系： 1 l a g r a n g e 对应规则，韶j ，= a t , 2 k i r c h h o f f 辩瘟蕊羯，a r o , = o 献x , d t ， 对于l 。a g r a n g e 对废觌则，采用类似于c a u c h y 成力原理的方法定义拐 始构形上静痖力张爨， d r o ，= d i = t i 。v o d a o ( 2 。2 5 ) 两北下业大学顿1 一学位论文 辩1 二常青限燮形理诧幕娥 t 称作b a g r a n g e 应力张量，或f i r s tp i o l a - k i r c h h o f f 应力张量。l 是 t 时刻定义于镯始构形上的威力张量。 b 予 v 。f 出。；剃，删。：罢2 警幽疵。 ( 2 2 6 ) v 。r 出。剐舭剃，删 副班蔷嚣幽疵m 娌2 6 在上式等式两端左乘当，得到 o x “ 豢妣嘞誉等筹凼成 汜z ， 根攒排列张量的性质- 有 瓦o x , 瓦o x j 酉0 2 ( 叫m 隆1瓦瓦瓦叫m 雨1 又幽质量守懂褥 ( 2 2 8 ) 云= 南= 剖 旺z 。， 将式( 2 。4 4 ) 、( 2 4 5 ) 鞠( 2 4 6 ) 弋入式( 2 4 3 ) 中，有 当，。d a - - - - e 。mj v m 擞n 根据式( 2 4 2 ) 和式( 2 4 7 ) 推出 ，a k 。= 旦v 。d a ( 2 3 0 ) p o 讪烈嘞羽吗，等瑚 汜。t ， 于怒樗到l a g r a n g e 应力张量与c a u c h y 应力张量之闻靛关系 ( 2 3 2 ) 同理，对予k ir c h h o f f 对应规则，也可采用类似予c a u c h y 应力原理 的方法定义初娥构形上的应力张量， ( 2 3 3 ) 出 坠嘞 吼 坠砜成一p = l 姒 m i l 积 堕峨 | l ，m 羽 洱北1 一业人学吼l ：学杖论立辩二章古限坐孵螋蛇基地 s 。称为k i r c h h o f f 应力张量，或s e c o n dp i o l a k i r c h h o f f 应力张量。根 据式( 2 5 0 ) 和式( 2 。4 7 ) 可以得到 帆，弛= 誊掣，删= 譬誊等砜 汜s a ， 故可以褥到 = 参誊等d “ 旺3 s ， 上式表示k i r c h h o f f 应力张量和c a u c h y 应力张量之间的转换关系。 k i r c h h o f f 痤力张羹t ，帮l a g r a n g e 蔽刃臻量巧蹙变形过程中，定义 于初始构形上的应力张量。s 为二阶对称张量，而巳为二阶非对称张基。这给 l a g r a n g e 应力的应用带来了不使。根搦e i r c h h o f f 对应规则，d t 和d 死之问的 对应关系，同枣露始构形和现瓣构形中瓣疲擞元之间趣关系 删。= 豢峨 汜s e ) 瓣。 。 完全相同，可以认为，d 咒是d r 按照与变形相同的方式被“伸臻和转动” 后得到的，k i r c h h o f f 成力张量就是用这种“变形”了的以1 和衲始构形中 对应的蠢露b 烈。柬定义的。这# 定义浆k i r c h h o f f 痊力张曩具有一个+ 势重援 的性质，即当质点在邻域内作刚性运动时，在固定于空问的坐标系中e i r c h h o f f 应力张燮的蔷分量保持不变。 l q j li - 业人学顺l j 学位论义 帮兰章理恕成形理论发j i 一：板料中的心用 第三章理想成形理论及其在板料中的应用 本章首先根据理想成形的定义讨论理想变形的运动学关系，然后在假定变 形满足主应变方向相对于物质固定不变的前提下，得到了塑性变形功为最小时 主应变比需满足的条件。推导了基于理想成形理论的形变理论。此外，本章还 讨论了理想成形理论在板料成形中的应用方法。 3 1 理想成形理论 3 1 1 理想变形运动学 ( _ ) 理想变形 r i c h m o n d 在会属成形问题中，将消耗摩擦功为最小的成形定义为“理想成 形”；h i n 在均匀有限应变下，将变形功为最小的路径定义为“变形优化”的 路径，并研究了变形功为最小时需要的条件。虽然问题的提法略有不同但其 本质都是塑性变形功为最小这一事实，或者说，最小塑性功构成了理想变形的 力学基础。鉴于此，本文将理想变形统一定义为变形功取得最小的变形。现在， 假定材料沿晟小功路径变形，或者说，变形功满足最小塑f 生功的条件，即：一 是变形主轴相对于物质固定；二是主自然应变( 主伸长的对数) 比保持不变。 ( j 理想变形的运动学 ( 1 ) 变形主轴相对于物质固定 在一般的均匀变形过程中，除诸如纯剪切等特殊隋形外，一般来说变形的 主轴相对于物质线并不固定。这时，对数应变率的导数和旋转变形率张量的关 系是极其复杂的。但是，当变形过程中，变形的主轴始终对应于固定的物质线 时它们之间的关系就变得十分简单。下面采用直接记法推导之。 右c a u c h y g r e e n 伸长张量u 可以分解为 u ( t ) = 肘( ，) - a ( ，) - m 。( f ) ( 3 1 ) 弧北1 ：业入学颂l ：学位论史第二章理想j 蛀彤理论放j l ；( t i 板 ： 中的应用 式中， 是由u 的特征向量( 主方向) 组成的正交矩阵，并且满足 m = m ，a 是山u 的特征值。) ( 口= 1 , 2 ，3 ) 组成的对角张量，f 是时间。旋转 的e u l e r 应变率可以表示为 d ：三移旷十u - i o ) ：，( 3 2 ) = m 卜1 + 圭。从- i + a - i m 。m p 为了方便起见。上式中略去了时间参量f 。根据张量对数的定义，对数应变 定义为 占j ( ) = 朋( f ) l na ( t ) m ( f ) ( 3 3 ) 它是一个l a g r a n g e 的量。对上式取物质时间导数，可得到它的速率形式 叠= m m 。+ i l ；f l n a m 。+ m i n a a ；t ( 3 4 ) 比较式( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，可以看到，和d 之间的关系是极其复杂，甚至 难以用直接法写出它们。 若变形中的变形主轴相对于物质固定时，主方向的物质导数厨= 0 ，出式 ( 3 3 ) 和( 3 4 ) 便可得到如下的关系 亡f ，= d ( 3 5 ) 即，变形主轴相对于物质固定不变时，对数应变率即等于l a g r a n g j a n 主轴 坐标f f f l 旋转变形率。可以写成分量形式为 ( 1 n u ) = d ( 3 6 ) 当变形主轴对应于柑同的物质线时，根据式( 3 1 ) 和( 3 3 ) ，d 和善，对 戌的物质线同u 以及气在时刻f ，对鹰的物质线始终重台，即 1 3 婀北1 。业人学坝i ：学位论义 掉三章_ i ! i ! 魁成彤媸论放j c “扳料中劬随用 和 i u ( ，) = m ( t ，) - a ( f ) m ( r f ) l u ( ，) = m ( t ，) a ( t ) 硝。( t ，) h ( r ) = m ( tr ) a ( t ) a “( f ) m 。( ，r ) 1 吼( ，) = m ( t ，) i n a ( f ) m ( tr ) 式中，o t j 。综台考虑式( 3 5 ) 、( 3 7 ) 和( 3 8 ) 可以得到 ( 3 7 ) ( 3 8 ) d ( f ) = 叠c l ) ( f ) = m ( t ，) a ( t ) a “( f ) m ( ，) ( 3 9 a ) 上式意味着，当变形中的变形主轴相对于物质固定时，d 的主方向相对于 物质也是固定的并且同u ( t ，) 的方向重合。这时，旋转变形率d 也成为 l a g r a n g e 性质的量。 ( 2 ) 主应变比的对数保持定比 对于光滑的凸屈服面材料变形中满足主自然应变比保持恒定的条件，即 譬叫0 q ( 3 9 b ) h ( ，) = a ( t ) 毛( f ，) 式中，口( f ) 是时间，的函数，满足条件 。a d t = l 并且吐总是正的。对于晟 柑 小功路线而苦，条件( 3 9 a ) 是不充分的，因为不满足主自然应变比保持固定的 条件( 3 9 b ) ；条件( 3 9 b ) 也是不充分的，因为变形中主应变的方向对于物质不 固定即 f 是与路径相关的。当变形不满足条件( 3 9 a ) 时，虽然形式上 c ( t ) = f d d t 仍然存在但一般不具备任何物理意义：相反，对数应变s ，是定义 。 在两个已知构形之问的，它不依赖于变形历史，与路径无关。但当变形的差轴 相对丁物质固定时，s 即等效于g ，。 矸北t 业人举坝i j 学位论立筑二带理想贼j 哆删论技j e n 扳料中的向朋 如浆( 3 9 a ) 释( 3 9 b ) r p 瀚条件同辩残立，羽有 裂嚣搿 皑 l s 秘) = 嚣l f ) = 窃) f f ，) 3 1 2 晟小变形功 h ill 最早考虑了凸届雅黼、菲硬化的刚塑性材料酌戴小功问题。结论是， 只要变形过程中，变形的主轴对应于固定的物质线。则变形功取得最小值。n a d a i 论述了溺一翊莲，餐德援涉及了经典懿l e v y - t i s e s 耱瓣的乎蘧变形，最嚣将阉 题归结为在主应变空间中弧长的比较。尽管他没有提供精确的证明，但他推测 只要应力主轴和旋变主轴时刻重合，熙参照于匿定的物质线，则当主童然应变 眈保待键定时，黧性变形功取得最小假。此后，m1 1 精确地证明了塑性变形功 为最小时需满足的两个条件：( 1 ) 变形的主轴相对于物质保持固定；( 2 ) 主自 然应交魄保持强定。最遥，c h u n g 霸r i c h m o n d 又诞鞠，瓣予满是t r e s c a 嚣瓣 条件的材料，仅需最大伸长主轴相对于物质固定即可。 嚣簌鹣润题楚在摇定豹稠戆籀形鞭最终稳彩之淘，寻我最小鎏穗功疆线需 满足的条件。重点放在推导鼹小功的条件并阐明它们的意义精确的证明i i l l 已经证明过。推导隈予不可愿缩的嚣塑瞧毒手辩，蕻塑性功壤量可以邂过毒效威 力厅和肖效应变的增量办表示。 擎经薅积戆溪蛙功霹孩表示为 w - - - - 土p d d t 。向万 ( 3 1 1 ) p 。 。 式中，口，d 分绷为c a u c h y 应力和e u l e r 燹彤率张量。上式说鞠，单位体积 的塑性变形功可出总的有效成变万= ( j d 万) 和材料的工作硬化特性拶( 万) 确定。方 程( 3 11 ) 还暗示着，当炎形路线具有最小的有效应变时，塑性交形功取得最 小值。因此，仅需臻寻求变：f 骺取得最小有敛应燮时满足的祭件。 3 。2 理想戒形理论在扳辩成形中的应绢 3 2 静态平衡祭件 般非均匀变形过程韵变形功可以表示为 弧北r 业大学颂l ：学位论殳第二幸理想成彤理论及j t - 6 ：扳辩中的成用 w = ( 妒施加+ 【p 。- 出砂 = n 胁盯+ p5 ) 赢抄+ j ( p d 础b y ( 3 1 2 ) 式中，盯，d ，b 和“分别表示单位面积的外力，柯西应力张量。变形率张 量，单位质量的体力以及位移；p ，s ，v 和r 分别表示变形体的密度，表面积，体 积和时间。若将成形过程看作一个稳态的变形过程，忽略速度变化产生的影响 于是式( 3 1 2 ) 右端的第一项为零，得到 w = j ( f 盯d 础= “p 办扣 ( 3 1 3 ) 式中石和吾( = 肛) 分别表示有效应力和相应的有效应变，是物质初始的 体积。在上面两方程中，考虑了塑眭变形的不可压缩性。 根据上面的定义，总体塑性变形功依赖于每个物质元的变形历史。也依 赖于每个物质元在最后构形中的位置x ( u ) 。当每个物质元的变形历史事先指定 时则总体塑性功仅依赖于物质点的位移，或者说仅依赖于有效应变g ( u ) ， 因此，在指定物质元的变形路线后，总体塑性功矿依赖于最后构形中的变形分 布，即 w = 0 ) = 信0 ) ) ( 3 1 4 ) 3 2 2 总体塑性功极值条件 根据前面的定义，当总体塑性功驳的相对极小值时，即为一般的非均匀变 形的理想变形路线。在指定每个物质元的变形路线后，总体塑性功达到极值 的必要条件为 生型：o( 3 j 5 ) d 露 不管指定的变形路线如何，方程( 3 。1 5 ) q 的必要条f 都是有效的。指定 6 西北_ 业大学硕j ：学位论文 第三章理想隘彤理论及j h i ：板料中的脚用 的变形路径不同，方程的解i 也就不同。在理想变形理论中，指定的变形路线 为极值功路线，因而，取得的极小值也是该路线下的极小值。这罩假定极小功 路线就是变形优化的成形路线，而不是在所有的可能变形路线中，总体塑性功 确定就是最小值。 对刚开始位于轮廓面上的点，在整个变形过程中，始终位于轮廓面上。物 质点的最后位置定义为 x = x + “( 3 1 6 ) 上的值是未知待求的，物质点位于毛坯表面上等价于物质点需满 足下面的约束条件 x ，= x ，口，x ：) ( 3 1 7 ) 因此对于位于毛坯表面的每个物质点x 而占，仅有两个分量式独立的。方 程( 3 1 5 ) 也仅是这两个独立分量的函数。 当成形件的最后构形( 工件完整的构形由轮廓和尺寸边界构成) 完全给定， 而毛坯的轮廓己知，尺寸边界未知时，方程( 3 1 5 ) 可以表示为物质点的初始位 置x 的函数，即 翌型：o( 3 1 8 ) 烈 因为物质点的最终位罱z 已知，故d x = 一d u 。 将方程( 3 1 5 ) 表示为分量的形式 蓦翳oxox 3 x !， 硝i 7 1 l 硝i 。捌 i 。、 旦删：f 里+ 旦型切 2 7 2 l2 就3 。吖2 j 2 式中j 指工件表面上的第j 个物质元。将方程( 3 1 9 ) 中的两式相加，得 蹦北i ：业人学填l 学位论义第二三章埋怨成彤理论段j 确扳抖中的 砖用 d g 。- d x 。= 0( f 2 0 ) 其中d g 7 是初始构形上物质元单位面积一l 作用的外力，即 a a x j i a 矿 a r ， a o x ， 3 2 3 基于理想成形理论的板料设计 f d x 。1 d x k 料，。 ( 3 2 1 ) kj 在板料设计阶段，使用些相对简单的技术来快速地得到相对精确的毛料 尺寸边界、预测工件的厚度变化和大概的应变分布情况是非常实用的。技术人 员可以使用得到的初步参数，比较不同的设计方案，选择较为合理的产品设计： 计算相对精确的毛料形状和尺寸边界，以作为进一步成形优化的初始值和依据。 因此可以说，板料设计和成形过程分析的作用不可相互替代。事实上，在晟近 的几十年，对于板料设计阶段模拟的需求和兴趣正在不断增长。 板料设计的方法分为两类：几何设计法和力学设计法。几何设计法主要是 按照面积不变的假设进行成形件的展开计算和变形计算的，其本质可以看作是 不可展曲面的数字展开。这方面的主要工作是儿何映射法。力学方面主要的方 法有，滑移线场法、边界元素法以及有限元素法等。此外，还有使用物理模型 的相似性理论进 j 二成形模拟的电液模拟法或物理比拟法。有限元素法是月前应 用最为广泛的模拟方法。基于理想成形理沦的板料设计方法不但可以欹得毛料 的切始边界尺寸，考察产品的成形性能；而且可以获得成形件的中删构形，外 力的历史等重要信息。本章讨论的重点放在问题的提法和方法的阐述上，而不 涉及板料设计的具体细节。 毛料的尺寸边界及可成形性 在板料设计阶段，成形件的构形( 完整的轮廓和尺寸边界) 一般是完全 给定的，毛料的轮廓也是己知的，但其尺寸边界却是未知的。为了得到优化的 毛料尺寸，根据理想成形的必要条件，有 i i l-_l，j_j ，2 j 3 扣扣掘 ，f，l = 船 堕j ! l 些叁兰塑! ：兰丝垫苎 塑三至些塑些! ! 些堡些! ! 鱼堡型生塑生旦 掣婴：0 ( 3 2 2 ) 批 式中，p 是由所有物质点的初始位置爿构成的点集。由于毛料的轮廓给定， 对于可看作薄膜的板料成形，物质点仅能在轮廓面上移动，因此，节点坐标必 须满足一下的约束条件 扎= 墨( x l ，x2 ) ( 3 2 3 ) 式中，为节点工的分量。在满足几何约束条件( 3 2 3 ) 的条件下，求解 上面的方程( 3 2 2 ) 即可获得毛料的尺寸边界。关于方程的求解详见下一章。 求得物质点的初始位置x 后，即可根据初始构形和最后构形中物质点的对 应位置，得到成形件中的变形分布，即优化的变形分布。应当指出采用的应 变度量不同，计算方法及其计算结果也是不同的。具体的计算方法见下一章， 且假定最小功路线为优化的变形路线。 一个成功的成形过程必然不包含由于过度拉伸引起的局部颈缩和压缩引起 的起皱，或者说，局部颈缩和起皱必须控制在可容许的范围内。将计算得到的 应变分布同材料的成形极限相比较，即可在殴计阶段预测所设计工件的成形性 能a 即，如果优化的应变分布位于成形极限范围之内则工件可以成形：如果 超过了该材料的成形极限，则需要更换具有更高成形 极限的材料，或者进行再设计。需要指出，特殊材料的成形极限是同成形 路线相关的。这罩不考虑这一点，假定最小功路线上的成形极限即为材料的真 实成形极限。 ( j 理想成形的变形协调条件 在理想成形理沦中，指定物质元沿最小功路线变形。对于光滑屈服面材料， 这电意味着右伸长张量u ( x ，t ) 满足方程( 3 8 ) 。根据理想成形的必要条件 ( 3 1 5 ) - 不但可以得到成形件中的变形分布u ( ，) ，而且可以获得变形中各 个时刻，的变形分却。但是，方程( 3 1 5 ) 是一个纯数学关系，并没有考虑变形 1 9 两北丁业大学填i 。学位论文 招三章耻想啦彤理论发1 l n 板料中的城用 中的变形协调条件( 或者称之为相容性) 。在中问构形上可能存在物质元之问出 于不满足变形协调条件而相互干涉的情形。下面详细讨论理想成形时的变形协 调条件。 中问构形x ( x ，) 满足变形协调条件的前提是，变形梯度f 是连续、可积的。 为了强调变形梯度是时间的函数，将其显式地表示为 郴，f ) = 嘉叫蛐w ( 孙) ( 3 2 4 ) 它是正定的，连续的。变形梯度f 是连续的假设事实上是映射存在的必然 结果。从方程( 3 2 4 ) 的定义，f 的可积性条件可以表示为 对于x ，( x ) ( 3