（机械电子工程专业论文）梁结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究.pdf

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法求得相应的振动 响应情况。 最后，为了验证小波有限元法求解结构振动响应问题的有效性并检验上述模 型的计算精度与计算效率，文中对梁的自由振动以及移动集中载荷作用下的受迫 振动问题进行了数值实验，并将分析结果与传统有限元模型作对比。研究表明小 波有限元法较之传统有限元法在结构总自由度相等的情况下，前者的计算精度更 高：而在保证计算精度的情况下，前者大大提高了计算效率，从而为高效计算复 杂梁结构动力学问题提供了一种新的途径。 关键词：小波有限元，梁结构，振动响应，d a u b e c h i e s 小波，h 砌l t o n 原理 作者：许佳 指导老! j 币：朱忠奎副教授 璺b s t 哺c ta p p l i c a t i o nr e s e a r c ho fw a v e l e tf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nv i b 嗽i o nr c s p o n 辩o fb e a l l ls t n l c t i l m a p p l i c a t i o nr e s e a u r c ho f h v e l e tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i n b r a t i o nr e s p o n s eo fb e a ms t r u c t u r e a b s t r a c t h 陀c e n ty e a r s ，an e wn u m e r i c m 锄m y s i sm e m o dn 甜n e dw a v e l e tf l 血t ee l e i i 】i e n t m e t l l o d ( w f e m ) h 雒b e e nt o o ks h a p eb yi n 廿o d u c i n gw a v e l e tt i l e o d ri n t o 仃a d i t i o n a l f e m t h i sm e t h o dk e e p sm 锄ya d v 锄t a g e so ft r a m t i o n a jf e m ，w t l i c hi n c l u d e sm s c m t e 印p r o x i 眦t i o n 锄ds o l v i i l gb o u n d a r yc o n d i t i o n se a s i l y s i m u l t 锄c o u s l y b e c 卸s eo ft l l e 砌l t i m s o l u t i o np r o p e r t ) ，o fw a v e l e t 如n c t i o n ，w f e mc 锄i m p r o v et 1 1 e 孔c u r 孔yo f c a l c u l a t i o nw i m o u tc h 锄舀n gt h eo r i g i n a jm e s h b o mt 1 1 es t a b i l i t yo fa l g o r i t l l m 觚dt t 坨 s p l e i e do fc o m p u t i n ga r ee x c e l l e n t i n a d d i t i o n ， t l l ec o m p u 谢o n a je f n c i e n c yo f t e nd c c r e a s e s s h 扣p l y w i m m e i m p r o v e m e n to fa c c u r yw h e n 删i t i o n a l lf e m i su s e dt os o l v ev i b 枷o n 陀s p o n o f c o m p l e xs 仃u c t u 他s t h e r e f o 陀， i n0 r d e rt 0o v e r c o n 圮屺 m f f i c u l t y a ne f l f i c i e n t e v a l u a t i o nm e t h o di sp 陀n t e d ，w h i c hi sb 硒e do nt i l em o s tc o m m o nb e 锄m o d e li n e n g i n e e f i n gp r a c t i c e 柚di n a l 【e sf u l lu s eo ft i l ec h a r a c t e r i s t i c so fw f e m i tc 勰p r o v i d e an e wi d e af o rt i l e 陀a r c hw o r ki nt l l ef i e l do fm e c h 觚i c a ld y i l 删c s c o n s i d e r i n gt t l a d a u b e c h i e sw a v e l e ti sl a c ko ft l l e 锄2 l l 如c mm a t i l e m a t i c 砒 懿p 陀s s i o n ，t l l em e m o do fc 址c u l 撕n gm el o w p 弱sf i l 魄c o e f f i c i e n t s ，f h n c t i o nv m u e 锄d i t sd e r i v 撕v e si s 垂v e na c c o r d i n gt 0t l l eb 硒i cl l l e 0 巧0 fw a v e l e t 锄m y s i s t h e n ，t t l e c o m p u t a 血o n 甜m e t h o df o rc o 仰e c t i o nc o e f ! f i c i e n to fw f e ms t i 肋e s s 锄d1 0 a dm 撕c e s i sd e r i v e di nd e t a i l h o w e v e r t i l ec 址c u l a t i o nr e s u l t s 硼d i f f e 陀n tw h e nt l l en u m b e ro f c o m p l e m e n te q u a t i o n sc h 柚g e i nt h j st l l e s i s ，an e wc q u a t i o ni su s e dt om a k eu pf o rt l l e d e f i c i e n c y a n db o t i lt h en u m e r i c a ls t a b i l i t y 如dt l l e c u r 孔yo fs o l v i n gp r o c e s sa 他 i i l c n ：a s e d s u b q u e n t l y aw a v e l e tb e 锄e l e 珈b n tu 鸵df o rv i b m t i o n 陀s p o n i sc o n s t m c t e d b yr e p l i n gt h el o wo 川e rp o l ”o m 湖o f 仃a d i t i o n mf e m 弱t l l el i n e a rc o m b i n a t i o no f s c m i n gf u n c t i o n so fd 卸b e c i l i 鹤w a v e l e l1 1 u u g hu s i n gt l l i se l e m e n tt 0 卸山y s i st l l e n a p p l i c a “o nr e s r c ho fw h v e i e tf i n i t ee l e m e n tm e t | l o di nv i b r a t i o nr e s p o n s eo fb 姗s t c t u 佗 a b s t r a c t e n e r g yo fw h o l es y s t c m 锄dc o n s i d e r i n gh 删l t o np r i n c i p l e ，m ed y n 砌cm o d e lf o r b e m o u l l i e u l e r b e 锄i sb u i l tb a s e do nw f e m t h ev i b r a t i o n 陀s p o n s ec 锄b es o l v e d b y n e w m a r k m e t i l o d f i n a j l y i no r d e rt 0v e r i f y i n gt l l ev a l i d i t yo fw f e m 锄dt e s t i n gt h ec a l c u l a t i o n c u r a c y 锄dc 0 m p u t a t i o n a je f f i c i e n c yo f s u c hm o d e l ，f 打 v i b r a t i o n锄df b r o e d v i b r a t i o np r o b l e mu n d e rm 0 v i n gl o a da 陀s o l v e dt m - o u g hm en u m e r i c 出e x p e r i m e n t si n t 1 1 i sm e s i s ，锄dm e 锄a j ”i c a jr e s u l t sa r ec o m p a 陀dw i mt r a d i t i o n a jf e m a c c o r d i n gt o m e 陀s e a r c h ，w f e mi ss u p e r i o rt of e mo nt i l ec m c u l a t i o na c c u r a c yw h e nm et o t a l f 诧e d o mo fs t m c t u 他i st i l es a m e a n d ，f o ri d e n t i c 甜c 出c u l a t i o n 觚u r a c y 、7 汀吧mc 锄 i m p r o v et l l ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yg r e a u y s ot h ew f e mm o d e lp r o v i d c sah i g i l l y e f f i c i e n tc a l c u l a t i o nm e m o df o rc o m p u t i n gc o m p l e xd ) ，i l 砌c s p r o b l e mo fb e 锄 s t r l j c t u r e k e y w o r d s ：w a v c l e tf i n 沁 e l e m e n t ，b e 锄s t l l l c t u 他， b r a t i o n 陀s p o n 踞。 d 叫b e c h i e sw a v e l e t ，h 绷l i l t o np r i n c i p l e i w r i t t e nb y ：j i ax u s u p e r v i s e db y ：z h o n g k u iz h u 梁结构振动响心的小波有限元法实现及心用研究目录 目录 摘j 墓i a b s t i 。a c t 第一章绪论1 1 1 课题研究背景及意义1 1 2 小波有限元法研究现状5 1 3 论文主要内容及章节安排7 第二章小波及其多分辨分析9 2 1 小波函数9 2 2 多分辨分析l o 2 2 1 多分辨分析的定义1 0 2 2 2 两尺度方程1 2 2 2 3 小波空间l3 2 2 4 分解与重构算法1 4 2 3 本章小结。1 5 第三章d 卸b e c h i e s 小波及联系系数计算1 6 3 1d 鲫b e c h i e s 小波。1 6 3 1 1d 跏b e c h i e s 小波的定义1 6 3 1 2d 卸b e c h i e s 小波低通滤波系数计算。1 7 3 1 3d a u b e c h i e s 小波尺度函数导数值的计算1 9 3 2 联系系数计算2 3 3 2 1 引言2 3 3 2 2 刚度矩阵联系系数计算。2 5 3 2 3 载荷矩阵联系系数计算2 8 3 3 本章小结3 0 第四章b e m o u l l i e u l e r 梁振动小波有限元方程3 1 4 1 小波有限元构造3l 4 1 1 梁结构力学模型3 l 4 1 2 小波b e m o u l l i e u l e r 梁单元3 2 目录 梁结构振动响应的小波有限元法实现及戍用研究 4 2 小波有限元动力学方程3 5 4 3 结构振动响应的分析方法3 7 4 4 本章小结一3 9 第五章基于小波有限元法的b e m o u l l i e u l e r 梁振动响应分析4 0 5 1 梁结构振动响应的解析算法4 0 5 2 算例分析4 3 5 2 1 两端简支b e m o u l l i e u l e r 梁的自由振动4 3 5 2 2 受移动集中载荷且两端简支的b e m o u l l i e u l e r 梁4 4 5 3 本章小结51 第六章结论与展望5 2 6 1 全文总结5 2 6 2 展望5 2 参考文献。5 4 攻读硕士学位期间的研究成果。“ 致谢6 5 粱结构振动响心的小波自限无法实现及心用研究 第一章 第一章绪论 1 1 课题研究背景及意义 科学和工程中的力学问题一般可归结为偏微分方程的定解问题。由于这类问 题的复杂性，一般很难得到解析解，因此数值方法应运而生，如有限差分法、加 权残值法、有限元法、边界元法以及近年来发展起来的无网格法等。其中，又以 有限元法最为通用。许多实际工程中亟待解决而传统理论又无法分析的复杂问题， 往往都能通过有限元分析的方法得到高精度的近似结果。目前，有限元法已成为 工程中应用最为广泛的数值分析方法，国际上9 0 的机械产品与设备都要运用有 限元法进行分析，从而完成对原始设计的修改与优化。 追溯历史，早在1 8 7 0 年，英国科学家r a y l e i g h 就提出了通过假设“试函数 的方法来求解复杂的微分方程，之后数学家黜t z 于1 9 0 9 年将这一设想发展成为了 完善的数值近似方法，为现代有限元法的启蒙打下了坚实的基础。2 0 世纪4 0 年代， 由于航空事业的高速发展，要求飞机设计师们能够对飞机结构进行精确的设计和 计算，也正是在这一大背景下，逐渐在工程计算中产生了矩阵力学分析方法，而 这就是产生有限元法基本思想的来源。 1 9 4 3 年，c o u r a n t 在其论文中首次尝试采用三角形区域的多项式函数与最小 位能原理相结合的方法，来求解s t v c n 狮t 扭转问题。1 9 4 5 1 9 5 5 年，a 唱妒s 瞄1 研 究了结构分析中的能量原理以及矩阵分析方法，并取得了很大的进展，为有限元 法的提出奠定了重要的理论基础。1 9 5 6 年，波音公司的n m e r ，m a r t i n 和t 0 p p 以 及美国加利福尼亚大学伯克利分校的学者c l o u g h 把刚架分析中的位移法，推广应 用于弹性力学中的平面问题【3 】，他们把连续体划分为有限多个三角形和矩形单元， 给出了单元中位移函数的近似表达式，并推导了相应的单元刚度矩阵，建立节点 位移与节点作用力之间的平衡方程，从而完成了三角形机翼结构的力学分析。1 9 6 0 年，c l o u g h 进一步研究了弹性力学中的平面应力问题，并第一次提出了“有限单 元法( f i n i t ee l e m e n tm e t i l o d ) 这一术语1 4 】，使人们对于有限元法的特性和功效有了 更加清晰的了解。随后，z i e n k i e w i c z 和c h e u n g 于1 9 7 6 年出版了第一本关于有限 元分析的专著【5 l 。1 9 7 0 年以后，有限元法开始被用于求解非线性问题，o d e n 于1 9 7 2 年完成了有关非线性连续介质方面的著作【6 j ，其内容涉及新型单元和收敛性等方面 第一章粱结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究 的问题。此外，我国科学家对于有限元法的建立和发展同样做出了重要的贡献。 胡海昌于1 9 5 4 年提出了广义变分原理【7 1 ，钱伟长8 1 采用拉格朗日乘子法由基本变 分原理得到了广义变分原理，钱令希【9 】建立了余能变分原理。值得一提的是，冯康 院士在2 0 世纪6 0 年代，独立于西方创立了数值求解偏微分方程的有限元方法， 论证了该方法的可靠性，并给出了有限元近似解的收敛性分析与最优误差估计u 。 虽然，这一时期的理论比较超前，但受限于当时计算机的发展状态与计算能力， 有限元法还仅限于处理一些较为简单的问题。 此后，大量的数学家、力学家、工程师投入到有限元方法的研究与应用之中， 使得这一离散化的数值计算方法生机勃勃。经过几十年的发展，有限元法的应用 领域已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到 稳定性问题、动力学问题及波传播问题；分析的对象也从弹性材料扩展到塑性、 粘弹性、粘塑性及复合材料等，从固体力学的范畴扩展到流体力学、传热学、电 磁学、声学等连续介质领域。有限元法在工程分析中的作用不再局限于分析和校 核，而是扩展到了优化设计，并与计算机辅助设计相结合。 事实上，随着现代力学、计算数学和电子计算机技术的高速发展，有限元法 已成为探知复杂对象内部本质规律的一般分析手段，它在国民经济建设中起到了 至关重要的作用。具体地说，有限元法已经在机械制造、材料加工、航空航天、 近海船舶、土木建筑、电子电器、国防军工、潮汐运动、火山地震、临床医学、 化学反应中物质的传递和扩散以及流固耦合间的相互作用问题等等几乎所有的科 学技术领域中得到了广泛应用。总之，有限元法作为一个具有坚实理论基础和广 泛应用效力的数值分析工具。其以各种不同的变分原理【1 1 一1 3 】为基础，能够分析几 乎所有的连续介质问题和场问题，使得数值化的“虚拟试验 代替了大量实物试 验，让原有的工程设计水平发生了质的飞跃。 由于工程应用需求的不断增加，目前国际上涌现了大量基于传统有限元法原 理的商用有限元软件，如a n s y s 、a d v a 、a b a q u s 、m s c ，d e a s 等。传统 有限元方法理论成熟，原理简单，并且有强大的商业化软件支持，在工程问题的 数值模拟中占据着主导地位。在许多大型工程建设中，有限元数值分析发挥了至 关重要的作用，因此，对传统有限元方法的每一点成功改进都将会产生深远的现 实意义1 4 1 。近些年来，众多学者针对传统有限元法在有限元理论与应用研究方面 存在的不足，提出了一些新型有限元方法： 1 ) 随机有限元法 2 粱结构振动响心的小波有限元法实现及应用研究第一章 随机有限元法的产生源于人们已不再满足于高精度的确定性有限元计算，而 设法寻找一种强有力的工具去研究工程实践中大量的不确定问题。最初的思想是 将传统有限元法与m o n t e c 训。法直接结合。而真正的随机有限元法始于2 0 世 纪7 0 年代初，c 锄b o u 采用了一阶和二阶矩方法研究线弹性问题，该方法将随 变量的影响量进行t a y l o r 展开，故称之为t a y l o r 展开法随机有限元。随后， s h i n o z u k a 【1 7 1 、h 锄d a 【1 钔、h i s a d a 和n a k a g i r i 【1 9 1 在考虑随机变量波动时采用一阶、 二阶摄动技术，提出了摄动随机有限元法。1 9 8 3 年，v r 趴m a r c k e 提出随机场的局 部平均理论，并将它引入到了随机有限元法。1 9 8 0 年以后，s h i n o z u k a 和 y 抽配a 虹n 创造性地将算子的n e u m 猢级数展开法引入m o n t e - c 砌。有限元法 之中，提出了计算精度与计算效率均较高的n e u 嫩皿展开随机有限元法。1 9 9 1 年， s p 锄o s 和g h 锄e m 【2 2 1 等人将随机过程中k a m u e n l 舭v e 展开和g a j e m n 射影方法融 合，建立了相应的随机有限元法列式，并撰写了随机有限元法领域的第一本专著 随机有限元谱方法。 2 ) 样条有限元法 1 9 7 9 年，石钟慈院士巧妙地将样条逼近与传统有限元法相结合，创造性地提 出了样条有限元法2 3 1 。随后，很多学者在这一领域内开展了研究工作，袁驷、龙 驭球矧给出了应力分析的样条单元，秦荣提出了样条子域法2 5 1 ，香港大学张佑兽 提出了样条有限元法闻，而上述样条有限元法在求解工程实际问题中均取得了较 为满意的结果。 3 ) 广义协调元 龙驭球院士在协调元和非协调元之间另辟蹊径极限协调之路，于1 9 8 7 年 提出了广义协调元2 7 1 这一新型单元。从协调角度来看，该单元虽不苛刻地要求精 确协调，但又要求满足必要的基本广义协调条件，以保证随着网格的极限细分， 计算结果能够得到收敛。随后，广义协调元又被成功地移至于其他领域2 8 。则，发 展出了一大批新单元，如膜元、含旋转自由度膜元、厚薄板通用元、压电复合材 料层合板元等等。 4 ) 复合单元法 钟力勰院士于1 9 9 6 年提出了理性有限元概念3 1 3 2 】，即用力学方程的基本解作 为插值逼近的基底函数，把解析方法和数值方法结合起来，得到高效的单元列式。 曾攀教授在此基础之上，研究了如何在单元内把一个经典解析位移场嵌入到常规 有限单元位移场中，发展了一种新的单元技术复合单元( 3 3 3 4 1 ，这种技术既具 3 第一章 梁结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究 有传统有限元法的灵活性，又保持了经典力学分析所具有的高精度特性。 5 ) 数值流形法 2 0 世纪9 0 年代以来，针对传统有限元法在解决岩土结构及其非线性问题时存 在的不足，留美石根华3 孓3 刀博士发展了数值流形法，该方法具有统一处理不连续 介质和连续介质问题的能力，在解决节理、裂隙岩体几何大位移及动静力交叉问 题等方面拥有卓越的表现。 6 ) 无网格法 无网格法的历史最早可以追溯到1 9 7 7 年，l u c y 口引在解决无边界天体物理问题 时所运用的光滑粒子动力学( s p h ) 方法，但在当时该方法并没有得到足够的重视。 直到1 9 9 2 年，n a y r o l e s 【3 9 】等人将移动最小二乘法引入g a l e r k i n 方法，提出了扩散 单元法( d e m ) ，而后美国西北大学工程力学系b e l y t s c h k o 等人又在此基础之上提 出了无单元g 址e 越n 法( e f g ) ，使得无网格法得到了突飞猛进的发展。如今，无网 格法已出现了十余种形式【4 1 1 ，有效地克服了传统有限元法在求解随时间变化的不 连续、大变形问题时，所遇到的网格畸变和单元分裂等问题。 传统有限元法在被广泛应用的同时，也存在着诸多不足，而上述这些新型有 限元理论的提出，为后人在该理论上不断创新起到了良好的借鉴作用。一言以蔽 之，有限元法的本质可归结为变分原理和逼近空间的采用【4 2 】，而该方法的进步和 发展都与逼近空间的扩充与发展紧密相连。此外，每一次理论上的创新总与工程 实践中所遇到的具体问题密不可分。本文所研究的小波有限元理论也不例外。 众所周知，传统有限元法常以线性多项式作为插值基函数，而由w 色i e 飓吣s 定理【4 3 】可知，任何一个有限区间内的连续函数，都可以通过足够高次的代数多项 式逼近到任意的精确程度。因此，当运用传统有限元法解决实际工程中较为复杂 的问题时，为了能够达到一定的求解精度，往往需要使用更高阶的单元，或者使 用更为密集的网格刨分，但这样操作的后果就会使得整体计算量急剧增加，从而 大大降低了求解效率。另一方面，信号处理领域内的小波分析在近三十年的时间 内迅速崛起，现已发展成为一种全新的数值分析方法。小波函数的伸缩和平移可 以表示平方可积实数空间中任意函数，利用小波函数插值能够获得新的有限元逼 近空间【删，故通过将小波分析中所提供的多种基函数作为有限元插值函数，形成 了一种新型的有限元方法一小波有限元方法。同时，由于小波基函数本身所具 有多尺度、多分辨、正交性和紧支性等多种优良特性，使得小波有限元法在处理 上述复杂问题时，只需使用较少的网格刨分就可获得较高的求解精度，且运算速 4 梁结构振动响心的小波有限兀法实现及心用研究第一章 度快，数值稳定性高。不难预见，随着研究和发展小波有限元法的科技工作者不 断增加，这一高性能数值计算方法的应用和影响必将更加广泛而深远。 1 2 小波有限元法研究现状 不同学科、不同研究者之间相互碰撞的火花点燃了小波分析，可以说这一理 论的形成是数学家、物理学家和工程师们共同努力的结果，反映了大科学时代学 科间相互渗透、相互综合的强烈趋势。随着小波分析理论的同益成熟，其应用领 域也变得极为广泛【4 5 卅7 1 ，包括：数学领域的许多学科；信号处理与图像处理；量 子场论与理论物理；语音分析与处理；地震勘探：医学成像与诊断；工业c t ；流 体湍流；天体识别；军事电子对抗与武器智能化；大型设备的故障诊断等等。因 此，无人能够完全了解小波分析应用与研究的全部情况，转而选择其中与自己研 究方向相关的内容进行跟踪、消化，并展开深入的研究工作。 小波分析在数值计算中的应用较之在信号处理方面的应用要稍晚一些。2 0 世 纪9 0 年代初，b e y l l 【i n 【4 8 4 9 】、l a t t o 【5 0 1 和a l p e r t 【5 1 1 最早开展了小波在数值计算方面的 应用研究。由于小波函数的多尺度特性，其能够在不同的分辨率下灵活地表示任 意的函数。故j a m 帕【5 2 】、a m 麟n u n g a l 5 3 1 、d a h m e n 【钏、q i 锄【蚓等众多学者从各自的 应用角度出发，运用小波数值算法成功地求解了一些经典的常微分方程和偏微分 方程。早些的这些研究工作产生了巨大影响，并极大地推动了小波在数值计算中 的应用。 此后，国际上很多研究机构和大学投入到了这一领域的研究之中。1 9 9 4 年， s w e l d e n s 【蚓和j a w e n l l 【5 7 1 进行了小波在数值分析中的应用研究；随后，d a h m e n 【5 8 】 于2 0 0 1 年在其论文中总结了小波方法在求解微分方程领域之中的研究进展，并且 论述了小波多分辨特性、紧支性、消失矩特性、范数等价特性与求解方程的优越 性和普适性之间的关系：c o h e n 【5 9 刊】研究了小波有限容积法和小波多尺度算法， b e n o l u z z a 【6 2 6 3 】在小波配点法、小波数值算法的误差估计和收敛性问题等方面展开 了研究。总的说来，小波方法在求解工程领域中的问题时可以概括为两大类：小 波加权残值法与小波有限元法。 小波加权残值法的研究早于小波有限元法，其将加权残值法与小波分析相结 合，具体的形式包括6 4 j ：小波伽辽金( g a l e r 虹n ) 法6 5 。7 0 】、小波配置( c o l l o c a t i o n ) 法 【7 1 _ 7 4 1 、小波彼德洛夫伽辽金( p e 们v g a j e r i ( i n ) 法7 5 7 8 1 三种。虽然说小波加权残值法 在微分方程数值解的领域内取得了骄人的成绩，但从其应用范围来讲，仍局限于 5 第一章 梁结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究 处理几类边界条件相对简单的问题。然而，工程实践中的问题往往是复杂多变的， 其边界条件更是无规律可言。因此，为了解决上述弊端，小波有限元法应运而生。 通过在传统有限元法中引入小波插值基函数，小波有限元法保持了原方法离散逼 近的特点，能够有效地处理任意区域的复杂边界问题。 k o 【7 9 】于1 9 9 5 年正式提出了小波有限元法，他利用具有正交性与紧支性的 d 鲫b e c l l i 髓小波【踟j 作为基函数，从变分原理出发，构造了逼近空间的规则区域小 波单元，并就一维和二维n e u m 舭m 问题进行了分析。随后，我国台湾学者c h e n 和w u 【8 1 配】采用样条小波代替传统的多项式插值基函数，构造了样条小波单元，并 给出了样条小波单元的升阶算法，成功地解决了桁架和薄膜结构的振动问题。伴 随着小波有限元法的提出，不断有学者投身于这一全新的领域。多年来，美国m 1 1 r 学者a m a 阳n l n g a 一直致力于小波数值方法的研究，其研究的内容从最早的利用小 波方法求解工程问题8 3 1 ，到2 0 0 3 年提出的第二代小波多分辨有限元蚓；p a 仕o n 【8 5 】 构造了基于d 锄b c c h i e s 小波的一维有限元单元；学者m e i 【剐提出了小波随机有限 元法，并运用对梁结构进行了随机分析。c 柚u t 0 和1 a b a c c o 【8 7 髓】从纯数学的角度出 发，构造了双正交小波单元；c 城s t o n 【8 9 】对小波有限元法中的多分辨算法进行了研 究；c 私们【则构造了混合应力单元；h o 【9 1 1 提出了基于弱变分形式的小波有限元法。 2 0 0 0 年以前，国内学者在小波加权残值法和小波有限元法方面的研究较之国 外要来的少一些。徐长发9 2 9 3 1 研究了b 小波有限元法的数值稳定性，为后人正确 地构造样条小波单元提供了一定的理论基础；叶碧泉【9 4 】融合了小波分析和有限元 法，给出了边界层问题的小波有限元解；杜守军【9 5 】构造了多分辨率样条平面元。 兰州大学的周又和l 划利用小波伽辽金法构造了基于d 卸b e c l l i e s 小波的梁、板单元， 并就小波尺度函数的计算问题提出了广义高斯积分法阴】，为求解复杂非线性方程 提供了一种强有力的工具；文献9 8 舯1 将小波伽辽金法运用在了电磁场问题中；张 文森和梅树立【l 删运用小波随机有限元法成功地求解了非线性平稳随机振动f p k 方程。 近几年来，小波有限元方法及其工程应用得到了长足的进步，其中最为闪耀 的工作是由西安交通大学机械自动化研究所何正嘉教授所带领的团队完成的。杨 胜军【l 叭】利用区间b 样条小波，构造了一维区间b 样条小波单元，并提出了自适应 b 样条小波有限元提升算法；马军星【1 0 2 】在其博士论文中，构造了基于d 卸b c c h i 骼 小波的一维梁、杆单元，并成功地运用了这些单元对弹性地基梁和平面桁架等工 程结构进行静力分析；薛继军【1 1 构造了一维非线性d 卸b e c i l i 懿小波单元，并将其 6 粱结构振动响心的小波有限元法实现及应用研究第一章 应用在了钻机井架结构的力学特性分析之中；陈雪峰6 4 1 在其博士论文中，构造了 二维d a u b e c i l i e s 小波有限元，并提出了基于小波有限元法的裂纹故障诊断算法， 为工程实践中早期微弱故障预示提供了新方法。在此基础之上，李兵【1 0 4 1 和向家伟 咧进一步巩固和发展了d 硼b e c i l i e s 小波单元以及区间b 样条小波单元，并利用所 构造的小波单元求解了工程中的裂纹奇异性问题。 综上所述，小波加权残值法的理论研究起步较早，所涉及的应用领域也较为 广阔。与之相比，小波有限元法则仍处于萌芽状态，其构造小波单元的列式过程 还没有得到统一，现有的小波单元库还无法面对纷繁复杂的实际工程问题。故继 续发展和应用小波有限元理论是很有必要的，也是大有可为的。 从上述的研究成果来看，小波有限元理论最早被用来求解简单的数学物理方 程，而到了近些年已经能够完成一些实际工程结构的静力学分析及其裂纹的故障 诊断。但是，将小波有限元理论应用于结构动力学响应方面的研究并不多见。此 外，梁结构作为工程中最为常见的力学模型，对其进行结构振动响应分析具有重 要的实践意义。然而，传统有限元法在解决这类问题时，往往无法同时兼顾计算 效率与计算精度，尤其当运用该方法求解复杂工程问题时更显得力不从心。因此， 本文充分利用d 卸b e c h i e s 小波的紧支性与正交性，构造了可用于结构振动分析的 小波梁单元，并通过典型算例验证了其有效性，为高效计算结构动力响应问题提 供了新的思路。 1 3 论文主要内容及章节安排 为了提高传统有限元法在结构振动响应中的计算效率，本文将小波有限元方 法引入动力响应分析中，利用d 卸b e c h i e s 小波尺度函数的线性组合来代替传统有 限元法中的多项式插值基函数，构造了可用于b 啪o u l l i e u l e r 梁振动分析的小波单 元，而后运用h a r n j l t o n 原理建立了b e m o u l l i e u l e r 梁振动的小波有限元模型，最 后结合n e w m a r k - b 法对梁结构在自由振动和受迫振动两种情况下的动力学问题进 行数值计算，验证了本方法的有效性及精确性。 本文共分六个章节，具体安排如下： 第一章，绪论。阐述了传统有限元理论的历史进程，并列出了几种新型的有 限元理论，为小波有限元法的引出提供了依据。随后，就小波在数值计算中的应 用展开综述，讨论了小波有限元理论的国内外研究现状，指出了本课题研究的背 景及意义。 7 第一章梁结构振动响应的小波有限元法实现及应用研究 第二章，小波及其多分辨分析。本章首先给出了小波分析的发展历史，随后 以定义及定理的形式，具体论述了小波函数以及小波的多分辨特性，为后续章节 的推导工作提供了理论依据。 第三章，d a u b e c l l i e s 小波及联系系数计算。本章先从d 卸b e c t l i e s 小波的定义 出发，计算了d 绷b e c h i e s 小波的低通滤波系数及其导函数的函数值。接着，详细 推导了小波有限元刚度矩阵及载荷矩阵联系系数的计算方法，并就其计算的稳定 性展开论述，提出了个新的补充方程。 第四章，b e m o u l l i e u l e r 梁振动小波有限元方程。提出了可用于梁结构动力学 响应分析的小波单元，并从分析结构总能量的角度出发，利用h 砌l t o n 原理推导 出了粱结构振动的小波有限元动力学方程。最后，给出了求解振动响应的计算方 法。 第五章，b e m o u l l i e u l e r 梁振动响应分析。给出了b e m o u l l i e u l e r 梁自由振动 及受迫振动情况下的解析解。通过梁结构振动中的典型算例，将b e m o u l l i e u l e r 梁的传统有限元模型与小波有限元模型进行对比，论证了应用小波有限元法求解 梁结构振动响应问题的优越性。 第六章，结论与展望。总结了全文的研究工作，并就与本课题相关研究方向 进行展望。 8 粱结构振动响心的小波有限元法实现及应用研究 第一二章 第二章小波及其多分辨分析 小波分析方法的滥觞最早应归于1 9 1 0 年h a a r 【嘶】提出的规范正交基，但当时 并没有出现“小波”这个词。1 9 6 5 年g 出d e r 6 n 【1 0 7 1 给出了再生公式，它的离散形式已 接近小波分解，可仍然无法得到组成正交系这一结论。1 9 8 1 年s n d m b e r g f l 傩1 对h a a r 系标准正交小波基进行改进，并证明了小波函数的存在性。然而，对于小波分析 思想的萌芽起到真正锤炼作用的是法国e l fa q u i t a i 舱公司的地质物理学家j e 锄 m o r l e t 。1 9 8 2 年m o r l e t i l 叫在进行信号分析时首次引入了小波变换的概念，建立了 以他名字命名的m o r l e t 小波。随后，m o r l e t 与理论物理学家g r o s s m 锄n 【0 1 联合研 究，精确地推演出了m o r l e t 提出的积分变换。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 【川】在经 典调和分析与小波变换之间架起了关键桥梁，创造性地构造出二进伸缩、平移小 波基函数，为小波分析科学的诞生和发展做出了重要的贡献。1 9 8 8 年，m 出l a l 将 计算机视觉领域的多尺度分析思想引入到小波分析中，巧妙地构造了小波的多分 辨分析【l1 2 j ，统一了前人提出的各类正交小波构造方法，并进一步提出了塔形快速 算法3 1 1 4 】。比利时数学家d a u b e c h i e s 在此基础上，用迭代的方法构造了著名的紧 支集规范正交d 叫b c c h i e s 小波【舳】。此后，新的具有不同性质的小波基函数不断地 被提出，而m e y e r 、m a j l a t 、d 硼b e c h i e s 等人的工作共同奠定了小波分析的基础。 2 1 ，j 、波函数 h i l b e r t 空间r ( r ) 中的函数沙( x ) ，若其f o u r i e r 变化矽( 国