（机械设计及理论专业论文）双圆孤齿轮齿形参数的有限元分析与优化设计.pdf

太原理工大学硕士学位论文 摘要 双圆弧齿轮的齿形参数是影响着双圆弧齿轮的承载能力和动 态性能的重要因素，由于双圆弧齿轮的轮齿是一个空间螺旋体， 形状非常复杂，加上齿形设计灵活，因而利用先进的设计计算方 法和计算机技术对双圆弧齿轮的齿形参数进行研究具有特别重要 的意义。本文利用有限元方法、模糊优化等现代设计方法，就双 圆弧齿轮的齿形参数对齿轮弯曲强度的影响进行了认真深入的分 析研究，建立了一种寻求最优齿形参数获得合理齿形的方法。 本文利用a l g o rf e a s 有限元软件系统，建立了双圆弧齿轮的 三维有限元模型。整个三维模型通过程序自动生成，然后调入有 限元程序中进行前后处理，实现了有限元分析模型的参数化，可 以快捷方便地对不同齿形参数的齿形进行有限元计算和分析。 由于双圆弧齿轮齿形设计参数具有一定的离散性和模糊性，因 此本文考虑约束条件的离散性和模糊性以及影响传动的种种因素 的模糊性，采用模糊设计方法，建立了双圆弧齿轮齿形参数优化 的数学模型，并结合实际算例进行分析，结果表明了模糊优化设 计的可行性和实用性，是对过去双圆弧齿轮齿形参数普通优化设 计的一种改进和提高。 关键词：双圆弧齿轮齿形参数有限元分析模糊优化 太原理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et o o t hp r o f i l ep a r a m e t e r sa r et h ei m p o r t a n tf a e t o r s a f f e c t i n g l o a dc a p a c i t ya n d d y n a m a t i cc a p a b i f i t y o fd o u b l e c i r c u l a ra r cg e a r s d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r sa r ct h ec o m p l e x s p a c i a lh e l i c a lg e a ba n dt h ed e s i g no ft h ep r o f i l ep a r a m e t e r si s v e r yf l e x i b l e t h e r e f o r e ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt o s t u d yt h et o o t hp r o f i l ep a r a m e t e r so p t i m u mo nd o u b l ec i r c u l a ra r e g e a r sb ym e a n so fm o d e r nd e s i g nm e t h o da n dc o m p u t e rt e c h n i q u e a c c o r d i n gt o t h ee f f e c to ft h ep a r a m e t e r st ob e n d i n gs t r e n g t ho f d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r s ，t h i s p a p e ra p p f i e s m o d e r nd e s i g n m e t h o ds u c ha st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m la n df u z z y o p t i m u mm e t h o d ，a n ds oo n ，t oa r i a l y r s i sa n ds t u d yf u r t h e r , i n o r d e rt oe s t a b l i s ham e t h o do ft h ec o r r e c tt o o t hp r o f i l eb yf m d i n g t h eo p t i m u mt o o t hp r o f i l ep a r a m e t e r s i nt h i sp a p e r , t h ef e mm o d e lo fd o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r si s e s t a b l i s h e db yt h ea l g o rf e a s t h ef e ar o o d e li sg e n e r a t e d a u t o m a t i c l yb yt h ec o m p i l e da n a l y s i sp r o g r a m 。t h e nd e a lw i t hi t i ut h ef e ap r o g r a ma n da c c o m p l i s ht h ep a r a m e t e r i z e df e a m o d e l i tc a nb ea n a l y z e db yf e me m c i e n t l ya n dc o n v e n i e n t l yo n t h et o o t hp r o f i l eo fd i f f e r e n tt o o t hp r o f d ep a r a m e t e r s b e c a u s eo ft h er a n d o m n e s sa n df u 路i n e s so ft h ed e s i g n p a r a m e t e r so fd o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r s ，c o n s i d e r i n gr a n d o m n e s s a n df u z z i n e s so fr e s t r i c tc o n d i t i o n 8a n di n f l u e n c ef a c t o r si nd o n b i e c i r c u l a ra r cg e a r s ，a d o p t i n gf u z z yo p t i m u md e s i g nm e t h o d ，a o p t i m u mm a t h e m a t i c a im o d e lo ft h et o o t hp r o f i l ep a r a m e t e r so f d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r si se s t a b l i s h e d s o m ee x a m p l e sa n dt h e i r a n a l v s i sr e s u l t sa r ea l s os u p p l i e dt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i f i t ya n d p r a c t i c a b i l i t y o ff u z z yo p t i m u md e s i g n c o m p a r ew i t ht h e c o m m o no p t i m u md e s i g nm e t h o di t i sa ni m p r o v e m e n ta n d d e v e l o p m e n t k e yw o r d s ：d o u b l ec i r c u l a ra r cg e a r s ；t o o t hp r o f i l ep a r a m e t e r s ； f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ；f u z z yo p t i m u md e s i g n 太原理工大学硕士学位论文 第一章概述 齿轮传动是应用极其广泛的一种机械传动，具有功率范围大、 传动效率高、传动比准确、使用寿命长、可靠性好等优点。因此 齿轮传动技术成为机械工程技术的重要组成部分，在一定程度上 标志着机械工程技术的水平。由于齿轮传动在机械行业乃至整个 国民经济中的地位和作用，齿轮传动被公认为工业和工业化的象 征。 齿轮传动的设计分齿形设计、齿轮设计、结构设计和系统设计。 齿轮传动的核心在轮齿，轮齿有一定的形状或者是由特殊的曲 面构成的。齿形设计的理论基础是啮合理论，而啮合理论是以几 何学和刚体运动学为依据的专门学科。为了传递等速回转运动， 提高传动效率，最早出现的齿形啮合理论是种平面的刚体的“齿 形机构学”。齿轮的齿形从直线、近似圆弧齿形、摆线齿形逐步发 展到现在以渐开线齿形为主的齿轮传动。随着生产和科学技术的 发展，对高速、重载、大功率的齿轮传动装置，提出了更高的要 求。为了提高齿轮的承载能力和传动平稳性，人们又提出了新的 齿形，如圆弧齿形。 理想的圆弧齿形是凸凹齿廓半径相等，沿整个齿高线接触，但 由于存在制造、安装误差及承载后的系统弹性变形的影响，产生 齿顶棱边接触，引起载荷集中或齿形干涉，为此设计时凸凹齿廓 应有一个半径差。齿轮开始呈点接触状态，齿轮运转后，齿面逐 渐磨损而跑合，使凸凹齿廓圆弧曲率半径趋于相等，变为面接触， 达到理想的啮合状态，因而具有很高的承载能力。但是当齿形参 数和跑合指标选择不合理时，将严重影响圆弧齿轮的承载能力和 使用性能，因而利用现代的计算方法和实验手段研究圆弧齿轮的 1 一 太原理工大学硕士学位论文 齿形参数等综合性能具有特别重要的意义。 i 1 圆弧齿轮传动的特点 1 9 6 0 年，在联邦德国e s s e n 召开的国际齿轮会议上，圆弧齿轮 被定为中心议题，并指出圆弧齿轮具有三个主要优点：1 、能承担 3 - 4 倍相同尺寸的渐开线齿轮的载荷，而在齿面上不产生有害的点 蚀和磨损；2 、对于提高渐开线齿轮承载能力所采用的措施也适用 于圆弧齿轮，如硬化齿面、齿根强化等；3 、齿面易于形成油膜， 其厚度约为渐开线齿轮的1 0 倍。所以圆弧齿轮作为一种新型的动 力传动齿轮在前苏联、中国、东欧各国、印度、埃及、日本、英 国等各国得到程度不同的应用和发展。 圆弧齿轮在我国得到很大的发展并取得了巨大成绩，无论是在 理论研究还是应用成果方面，我国均处于国际先进水平。圆弧齿 轮之所以在应用方面成为仅次于渐开线齿轮的一种高承载能力动 力传动齿轮，其原因我们可用我国著名机械专家、中国科学院雷 天觉学部委员1 9 8 8 年在机械工程学报上的撰文来回答：“圆 弧齿轮有三个突出的特点。第一，一对啮合着的圆弧齿轮，在它 的齿面上跑合后的接触线垂直的方向诱导曲率半径很大，常比直 径相等的渐开线齿轮大十倍或更多。因此在接触线上的赫兹应力 低而不易发生点蚀。第二，近乎沿接触线一对凸凹弧面以定速滑 动这样一对圆弧齿廓互相磨损结果是使二者愈磨愈接近真的圆 弧。二者半径愈磨愈趋于一致，此外当周节不均匀时和相邻齿的 齿面先磨到，而使周节趋向均匀。总之跑合会使圆弧齿轮的误差 减小。我们常能在用旧的圆弧齿轮上看到，虽然因油液不洁而产 生划痕，但在划痕之间却很近乎于镜面。第三，接触线的滚动是 由齿宽的一端滚向另一端，而渐开线的接触线的变动近乎是由齿 奎堕望土查堂堡主堂垡丝苎 根到齿顶。因齿宽一般远大于齿高，在高速时圆弧齿轮的接触线 区域容易形成油膜。” 1 2 圆弧齿轮齿形研究的历史 早在1 9 0 7 年，英国人f r a n kh u m p h r i s 最早发明了圆弧齿形： 1 9 2 2 年，v i c h e r s b o s t o c k b r a m l e y 提出了凸、凹齿面相啮合的 齿轮传动，简称v b b 齿轮。其齿形廓线本质上是摆线，凸齿为长 幅外摆线，凹齿为长幅内摆线。在端面内仍有重合度，在接触强 度方面，由于啮合齿廓具有很大的相对曲率半径，齿面接触应力 比渐开线齿轮小得多。但是这种齿轮由于凹齿齿顶厚度很小，因 而弯曲强度较弱，易于折断。这就限制了v b b 齿轮的应用。1 9 2 6 年美国的e w i l d h a b e r 提出法面为圆弧齿廓的斜齿轮。由于受v b b 齿轮断齿事故的影响，因此没有应用到工业生产上。1 9 5 6 年，前 苏联的学者m l n o v i k o v 又发明了一种端面为圆弧的圆弧齿轮， 但为了制造方便，建议采用法面齿廓为圆弧。他完成了圆弧齿形 齿轮的实用研究，对这种齿轮作了系统的理论分析和强度计算， 在工业上得到广泛的应用，并获得了列宁勋章。w i d h a b e r 齿廓和 n o v i k o v 齿廓非常接近，所以国际上统称为w - n 齿轮 ( w i d h a b e r n o v i k o v 齿轮) 。在齿形参数设计方面，继w n 齿形之 后，六十年代，各国学者分别提出了参数不同的单圆弧齿轮齿形。 前苏联制定了单圆弧齿轮的齿形标准m h 4 2 2 9 6 3 。1 9 6 2 年英国a e i 公司进行了命名为c i r c a r c 的单圆弧齿轮试验，并成功地应用在 w e s t l a n d 公司的l y n x 直升飞机主减速机上。日本的保延诚称：1 9 5 6 年与m ln o v i k o v 同时独立提出了单圆弧齿轮，取名为a c p 齿轮。 1 9 6 5 年美国的g es o p e r 提出了凸凹圆弧中心位于节线两侧的单 圆弧齿形，1 9 6 8 年取得美国专利。1 9 6 7 年我国制定了单圆弧齿轮 太原理工大学硕士学位论文 齿形标准j b 9 2 9 6 7 ，至今仍在工程实际中特别是高速传动中使用。 但是单圆弧齿轮的弯曲强度较低，在加工同一模数单圆弧齿轮时， 需要用两把滚刀，这给加工过程带来不便。为了克服上述缺点， 前苏联首先提出了公切型双圆弧齿轮，即上齿面为凸齿形、下齿 面为凹齿形、凸凹齿廓之间是用公切线相连，并制定了国家标准 p o c t l 5 0 2 3 6 9 。1 9 7 0 年日本的保延诚申请了不同齿形参数的公切 型双圆弧齿轮的专利，商品用s y m m a r c 齿轮命名，目前也是日本 主要应用的一类圆弧齿轮，已形成系列产品。我国也在六十年代 后期提出了s n 一1 、s n - 2 两种公切型双圆弧齿轮齿形，并进行了这 方面的试验和试制工作，结果表明了这种齿形的切线段实际上是 由滚刀的直线刃范成的压力角很小的渐开线，承载齿面在经过轻 微跑合磨损后就导致过渡段接触，不可避免地导致该区域早期疲 劳点蚀，是产生后期疲劳断齿的裂纹源，这是公切型双圆弧齿轮 的严重缺陷。英国r o l1 s - r o y c e 公司的r ms t u d e r 提出了分阶式 双圆弧齿轮，1 9 7 0 年获美国专利。其特点是凸凹齿廓之间不是用 公切线而是用一段圆弧相连。s t u d e r 根据光弹试验的结果提出齿 厚比的最优值为l3 ，该值也成为影响上、下齿面弯曲强度的关键 因素，在后来的研究中倍受注目。苏联人称分阶式双圆弧齿轮是 他们先提出来的，有l 3j 1 o 7 o 1 5 、3 兀1 o 一 0 1 5 两种齿形得到实际应用，其中前一种适用于硬齿面。太原 工学院齿轮研究室( 现太原理工大学齿轮研究所) 、郑州机械所、 哈尔滨工业大学等也先后提出了f s p h 一7 5 、f s p h - 7 9 、$ 7 4 、h i i 等 不同齿形参数的分阶式双圆弧齿形。1 9 8 0 年1 2 月，一机部在上海 召开了全国双圆弧齿轮技术鉴定会，会议对五种基准齿形进行了 审议并责成一机部郑州机械研究所和太原工学院起草全国统一通 4 查堕里三奎兰堡主堂垡丝奎 用齿形，即后来颁布的j b 2 9 4 0 8 1 齿形。1 9 9 0 年在j b 2 9 4 0 8 1 齿 形标准基础上修改并制定了g b l 2 7 5 9 9 1 双圆弧齿轮基本齿廓标 准。分阶式双圆弧齿轮齿根厚度增大，从而大大提高了弯曲强度， 同时避免了非工作齿面接触。由于双圆弧齿轮有承载能力高、制 造工艺简单等突出优点，因而在冶金、矿山、石油、化工等设备 上得到了迅速而广泛的推广和应用，并取得了显著的经济效益。 1 3 本文研究的内容和采用的方法 圆弧齿轮的齿形参数直接影响着圆弧齿轮的承载能力和动态 性能，本课题研究的主要内容是探讨双圆弧齿轮的齿形参数对齿 轮弯曲强度的影响，利用有限元法、模糊优化设计等现代设计方 法进行分析研究，目的是寻求某一种齿高下的最优齿形参数，设 计出弯曲强度更高的齿形。 就理论分析而言，圆弧齿轮的轮齿是一个空日j 螺旋体，形状非 常复杂。利用a l g o rf e a s 有限元软件系统强大的前处理功能， 可以绘出端面的网格图，然后通过平移旋转等命令生成三维模型。 但考虑到本文是对齿形参数进行优化设计，所建立的有限元模型 应随齿形参数的改变而改变，即有限元分析模型应实现参数化。 为了分析方便，整个三维模型通过程序自动生成，然后调入有限 元程序中进行前后处理。这样可以对任意模数、齿数、螺旋角的 齿轮进行有限元分析，同样对同一齿轮参数下的不同齿形参数的 齿轮也可进行有限元分析。 由于双圆弧齿轮齿形设计灵活，且各齿形设计参数具有一定的 离散性和模糊性，应该考虑约束条件的离散性和模糊性以及影响 传动的种种因素的模糊性，故本文采用模糊设计方法，对双圆弧 齿轮齿形参数进行了优化设计。 太原理工大学硕士学位论文 第二章双圆弧齿轮啮合原理 众所周知，目前在工程上用得最广泛的是渐开线齿廓的齿轮， 两渐开线齿廓为相互包络的共轭齿廓，传动过程中，接触点在切 于基圆柱的齿廓公法线上移动，渐开线齿轮齿面在啮合过程的每 一个瞬时在空间是以线接触的。因此称之为“线接触”或“线啮 合制”齿轮传动。但是这种圆柱外齿轮的工作齿面是两个凸齿面 接触，齿面相对曲率半径较小，接触应力较大，所以一般渐开线 齿轮的接触疲劳强度较低。 相对于渐开线齿轮而言，圆弧齿轮属于一种新的啮合制点 啮合制，近年来圆弧点啮合齿轮传动得到较快发展。它将渐开线 齿轮轮齿的凸面与凸面接触，改变为齿廓为圆弧，使凸圆弧齿廓 与凹圆弧齿廓相啮合，这样相对曲率半径得到很大的增加，而且 经过一段时间的跑合后，凸齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐增 大，凹齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐减小，两工作齿面的曲 率半径逐渐趋于相等，这样在受载后，接触点处的接触面积较大， 所以在同等条件下圆弧齿轮的接触强度是很高的。圆弧齿轮在运 转过程中，接触迹沿轴向运动，虽然其端面重合度几乎为零，但 只要轴向重合度大于l 时，可以达到连续传动的目的。此外，由 于圆弧齿轮啮合时，齿面各点的滑动速度均相等，而且数值不大， 有良好的跑合性能，磨损量小，少量磨损后不影响齿廓精度。同 时，啮合过程中，齿面纵向有很高的滚动速度，齿面间容易形成 较厚的油膜。 2 1 双圆弧齿轮的齿面方程式 圆弧齿轮的齿面是基本齿条齿面在相对运动中的包络曲面。以 圆弧齿轮的基本齿廓作为基本齿条的法截面齿形来建立圆弧齿轮 一6 一 太原理工大学硕士学位论文 的齿面方程式。 圆弧齿轮的凸齿面是由基本齿条的凹齿面，包络而成。为 了建立齿面方程，设置几个坐标系( 如图2 1 所示) ： 图2 - i 齿面方程计算图 s 。与基本齿条法截面固连的动坐标； s ，一与基本齿条端面固连的动坐标； s 0 - 一辅助静坐标： s 与齿轮固连的动坐标。 坐标的x n 轴设置在齿条的齿沟，也即齿轮的轮齿对称线上。法 面齿形任一点k 的坐标为 x 。= p s i n a + e y 。= p c o s a f ( 2 1 ) 乙= 0j 将其转换到s 。坐标中， 奎堕堡三查堂堡主堂笪堕奎 x ，= x n = p s i n 口+ 占i 儿：nc o s + 0 。+ “) s i n 卢：( p c o s 口一f ) c o s + “s i n ( 2 2 ) z s = - y s i n f l + ( z 。+ “) c o s = - ( p c o s a - f ) s i n f l + u c o s f l j 式中口“都是参变量。 为了求解齿轮的齿面方程式，现将基本齿条齿面，从s 。坐标 转为s 坐标，即把式( 2 2 ) 转到s 中，得 x = p ( s i n a c o s # 一c o s a c o s , 8 s i n 0 ) + e c o s # + f c o s # s i n # 一u s i n f l s i n # + 足( c o s 妒+ # s i n e ) y = p ( s i n a s i n # 一c o s a c o s c o s ) + e s i n # 一f c o s f l c o s 声 + u s i n p c o s # + r ( s i i l 矿一# c o s 妒) z = 一p c o s a s i n p + fs i n p + u c o s f l ( 2 - 3 ) 齿轮的凸齿面被齿条的凹齿面，所包络，在接触点k 处。 两共轭齿面相切，它们之间的相对运动速度v 必垂直与k 点处两齿 面的公法线。令n 为两齿面的公共法线向量，则有 n v = 0 ( 2 4 ) 上式为基本齿条与齿轮的啮合方程式。 由微分几何可知， 二：盟。生 ( 2 5 ) o c tb u 是k 点在s 。坐标中的向径。 = + ，。j ，+ ：，k ， ( 2 6 ) 在k 点处齿轮的牵连速度为w r ，而齿条的移动速度v ，应与 节点晚的速度一致，即v ，= v 。= w x 月，两者的速度向量和即为相 对速度向量。故 一r 一 太原理工大学硕士学位论文 v = w r v 。= w r w r = w xr o ( 2 7 ) 是k 点在s o 坐标的向径。 2 x ，；+ ( y ，一r q ) ) j ，+ = 。k s ( 2 8 ) 式中r 齿轮节圆半径： 西齿轮的转角。 将式( 2 - 6 ) 和( 2 - 8 ) 代入式( 2 - 4 ) ，整理后得 f c o s p u s i n f l + r 中+ e c t g ac o s f l 2 0 ( 2 - 9 ) 上式即为齿条凹齿面与齿轮凸齿面的啮合方程式。 由微分几何知，将( 2 3 ) 与啮合方程( 2 9 ) 联立。并消去u ， 令p = r c t g f l ，即得到x 轴通过齿形对称线的法面圆弧齿轮凸齿的右 侧齿面方程式： x = s i n a + e + r ) c o s 庐一d c o s + e c t g a ) c o s ps i n 庐 y = 0 s i n a + e + r ) s i n + ( p c o s a + e a g a ) c o s f e o s 矿 剐庐一( p c o s o ts i n 一艮辔咖s 卢一南 用上述方法可求出法面圆弧齿轮各段的通用方程式： x = c p s i n a + e + 矗) c o s 矿千c o s + e c t g c t o ) c o s p s i n # j ，= d s i n o r + e + r ) s i n d c o s t 2 + e c t g a o ) c o s , a c o s z = p 庐干 p c o s as i n 一慨唧c 。s 一南 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 式( 2 - 11 ) 中的上面符号用于右侧齿面，下面符号用于左侧齿面。 式中ao - 一基本齿廓名义压力角，对凸齿取正值，凹齿取负值； 一9 一 太原理工大学硕士学位论文 n 基本齿廓上任意点压力角，对凸齿取正值，凹齿取 负值； b 节圆螺旋角右旋取正值，左旋取负值； e 各段圆弧中心至节线的距离，圆心在节圆以外者取 式中符号，圆心在节圆以内者须将式中e 前的符号 改变； l 各段圆弧中心至x 轴的距离，当x 轴与齿形( 或齿 槽) 对称轴重合时l = f ( f 是各段圆弧中心至齿形 或齿槽的距离) 。当x 轴与齿形( 或齿槽) 对称线 距k n ，m m ( k 为正整数) ，l = k m ，n f 。圆弧中 心和x 轴在齿形或齿槽对称线的同一侧时，f 取负 号，在两侧时，f 取正号。 令式( 2 1 1 ) 中第1 、2 式的0 = 0 ，并简化3 式，可得端面圆 弧齿轮的通用方程式： x = ( p s i n c t + e + 胄) c o s 妒千d c o s 口+ e c t g c t o ) s i n # ，= ( p s i n a + e + r ) s i n c o c o s a + e c t g a o ) c o s ：= p 声士e c t g 面a o 一+ l ( 2 一1 2 ) 2 2 双圆弧齿轮的啮合特性 双圆弧齿轮传动时，齿面接触点是按轴向移动。其工作齿廓 由两段圆弧组成，即分度圆以外的凸齿廓和分度圆以内的凹齿廓， 相应齿面存在两条接触迹线，在瞬时齿面可能同时存在两个接触 点。设同一齿面上的凸、凹面两个接触点间距离为q 。，相邻齿凸、 太原理工大学硕士学位论文 凹面间的接触点间距离为q “。 qr a 2 p ；一q ( 2 1 3 ) 而双圆弧齿轮凸、凹齿面两接触点轴向距离 铴= 坠业型m 霉j 丝些塑s 小i p + 盖 * c o s a * s i n 卢 图2 - 2 双圆弧齿轮接触点( 迹) 分布 齿轮传动时，齿面上各个接触点( 图2 2 ) 相互间保持固定的 距离，并同时沿轴向移动。此时，在齿轮一转中，不同的同时接 触点数啮合时间所占的份额，以及不同的同时啮合轮齿对数啮合 时间所占的份额，即所谓多点接触系数和多对齿啮合系数可以反 映双圆弧齿轮传动的啮合特性，显而易见，由于同一齿面上可能 存在两个接触点，双圆弧齿轮同时接触点数和同时啮合轮齿对数 不断变化，而其变化规律不仅与齿宽b 和除去轴向齿距的剩余齿 宽6 有关，且与凸、凹齿面上接触点间距离g 。有关，还与齿形 参数和齿轮基本参数有关，情况比较复杂。因此，齿形参数直接 影响着齿轮的啮合特性。 太原理工大学硕士学位论文 第三章双圆弧齿轮的齿形设计计算 双圆弧齿轮的齿形是把两个单圆弧齿轮的凸、凹齿廓组合在 一个齿轮的齿廓上。即相啮合的一对齿轮，齿顶部分都是凸齿， 齿根部分都是凹齿。双圆弧齿轮的基本齿廓，目前在生产中所采 用的，基本上有两种类型： 1 用公切线连接凸、凹圆弧的双圆弧齿轮。这种齿轮连接凸、凹 齿面的过渡部分( 齿面的非工作部分) 由滚刀的直线刃范成。因 此一对啮合齿轮过渡部分齿面之间的空隙很小，当工作齿面稍有 磨损，非工作齿面空隙逐渐消失，最后，导致非工作面的接触， 而出现早期点蚀现象。 2 分阶式双圆弧齿轮。将凸、凹齿廓进行切向变位，则形成分阶 式双圆弧齿轮基本齿廓。分阶式双圆弧齿轮用圆弧连接凸、凹工 作齿丽，所以其过渡部分( 非工作齿面) 呈台阶形。这种齿形啮 合时，非工作齿面之间形成一个较大的空隙，避免了前述非工作 齿面发生接触的缺点。这是分阶式双圆弧齿轮的一个优点。另一 个重要优点是，分阶式双圆弧齿轮，增大了凹齿齿根厚度，从而 提高了弯曲强度。 故本论文主要讨论的是分阶式双圆弧齿轮的齿形。 3 1 双圆弧齿轮的基本齿廓 3 1 1 原始参数的确定 对于一般的双圆弧齿轮，基准齿形每侧由四段圆弧组成：凸齿 工作圆弧，凹齿工作圆弧，过渡圆弧及齿根圆弧。3 。原始参数可表 示为以下形式( 如图3 1 所示) ： 太原理工人学硕士学位论文 图3 - 1 双圆弧齿轮基准齿形 1 凸齿齿廓( a b 段) p l 2 p 。 e l = x 。 e = 口l = 躺t n l ( h a 石- - x o 口j = d 2 过渡圆弧( b c 段) p 2 = e 2 = ( p 。+ 尸2 ) 十s i n 6 l + x 。 r = 。+ p 2 ) c o s d 。一，。 xc = 一p f s i n 2 + x f 1 3 太原理工大学硕士学位论文 胪等+ 等+ ，f - p f * c o s 如 口2 = 卤一1 8 0 。 小a r c t a n ( 篝卜8 0 。 4 齿根圆弧( d e 段) n2 e 4 = k h ， 口4 = 口3 盯：= 一9 0 。 对于左侧四段圆弧的原始参数利用对称性可以确定。 1 4 一 黝 _ l 1，一鉴 叭 岛 b 只 西 ，锡 勺一： + 一。一： i i r 太原理丁大学硕士学位论文 3 1 2 双圆弧齿轮的基本设计参数 本文选取双圆弧齿轮的基本设计参数见表3 - 1 所示。 表3 - 1 圆弧齿轮的基本设计参数 齿数：i = = 2 3 6 法面模数聊。( m m ) 4 螺旋角p 1 6 。1 5 齿宽b ( ) 6 0 分度圆直径d 1 = d 2 ( m ) 1 5 0 3 2 双圆弧齿轮齿形的基本设计参数 双圆弧齿轮齿形参数直接影响齿轮的承载能力、轮齿刚度和传 动的动态特性，各参数相互影响、相互制约，其选择原则是：由 各参数确定的齿形，应保证轮齿有较高的弯曲强度和接触强度， 最好符合等强度齿形的设计原则。轮齿在啮合时，要求传动平稳， 无齿形干涉现象。齿形形状要力求简单以便于制造。 3 2 1 独立参数的确定 1 双圆弧齿轮的齿高h 双圆弧齿轮的齿高h 是最基本的齿形参数，齿高的大小直接影 响着轮齿的接触强度和弯曲强度。显而易见，齿高增大，齿面接 触弧长增加，齿面接触应力降低，接触强度提高。但是，齿高增 大，也使弯曲力臂增大，轮齿弯曲强度下降。所以，齿高对轮齿 的弯曲强度具有十分明显的影响。 合理的选取齿高，就是要根据齿轮材质、齿面状况来定。齿面 太原理工大学硕士学位论文 硬度高，齿高可以低些，力求轮齿的弯曲强度和齿面的接触强度 趋于等强度的设计原则，使齿轮达到最大负载能力。对于精滚调 质的软齿面双圆弧齿轮，一般取全齿高h = ( 2 2 2 5 ) i n 。对于齿面 硬度较高( 3 5 0 h b s 左右) 的双圆弧齿轮，全齿高可适当降低。对于 h r c 5 0 的硬齿面双圆弧齿轮全齿高约在1 5 聊。左右，齿高降低还 可减少热处理变形。 此外，不同的工作场合和载荷情况，对齿高有一定要求。对 于起重运输机械，齿高应取小值，以保证有足够的弯曲强度。在高 速传动中，如汽轮机、鼓风机等设备上，齿高可取较大值，使轮 齿具有较好的柔性。这对减小诸如由啮合冲击而产生的动载荷， 齿向误差造成的载荷集中，以及降低振动噪声是十分必要的。 齿轮的全齿高选定后，应再确定齿顶高和齿根高，使齿根高略 大于齿顶高，使径向间隙保持在( 0 1 5 - 0 3 ) m 。之间。 2 凸齿廓圆弧半径p 。 双圆弧齿轮的齿面理论接触点，应在工作圆弧的中点。在轮齿 全齿高已确定时，若压力角增大，齿廓圆弧半径减小，若压力角 减小，齿廓圆弧半径增大。所以，在齿高一定时，压力角和齿廓 圆弧半径的大小存在相互依存的关系。名义压力角大，而齿廓圆 弧半径较小的齿形，齿顶较窄而齿根较厚，力作用点离危险截面 的距离较小，轮齿受弯力矩小，弯曲强度较好。相反，名义压力 角小，而齿廓圆弧半径较大的齿形，具有较大的齿面相对曲率半 径，其齿面接触强度较高。 一般软齿面双圆弧齿轮，齿高较大，凸齿圆弧半径p 。值取在 太原理工大学硕士学位论文 ( i 1 5 1 5 ) m 。范围内，有时还可以超过。硬齿面双圆弧齿轮，齿 高较短，p 。值可小于l m 。凹齿圆弧半径p ，要比p 。大p 。 3 凸、凹齿廓圆弧半径差p 凸、凹齿廓圆弧半径p 值，应根据制造齿轮时所要求的经济 精度而定：如果半径差值太小，就会使接触点的位置，对于制造 误差过于敏感，从而要求很高的制造精度；另方面，如果半径差 值太大，则齿轮跑合缓慢，跑合时间长，这也是不利的。目前， 对于软齿面中、小模数齿轮，凹齿的齿廓圆弧半径比凸齿的齿廓 圆弧半径增大1 0 左右，即p = 0 1 见。对于大模数圆弧齿轮，因 跑合较困难，所以齿廓半径差p 应取得小些。今后，随着工艺方 法的改进，加工精度的不断提高，可以逐步减小a p 值。 对硬齿画双圆弧齿轮，齿廓半径差可取得很小。近年来，硬齿 面双圆弧齿轮常用低温氮化和碳氮共渗，甚至直接采用渗碳淬火 的方法使齿面硬化，实践证明对这种齿轮，模数中等或较小时， 仍有一定的跑合性能。但齿廓圆弧半径差应适当减小，以便热处 理后进行跑合。 4 齿厚比k 双圆弧齿轮的齿厚比k 是凹齿节圆齿厚s ，和凸齿节圆齿厚 配比值，它是由齿廓切向变位形成。 s ， k = s 口 齿厚比的大小主要影响轮齿的弯曲强度。齿厚比大，则凹齿齿 太原理工大学硕士学位论文 根部分增厚，齿根弯曲强度就高。此外。过渡部分台阶较宽，啮 台时，非工作齿面间的空隙较大。但是轮齿应力集中点除在齿根 部分外，齿腰过渡部分的连接处，也是应力集中之处，不应忽视。 过大的齿厚比，使凸齿齿厚减小很多，轮齿最大弯曲应力有可能 在齿腰部分出现，这对整个轮齿的弯曲强度不利。 随齿厚比增大，齿根部分槽宽变窄，齿根圆弧半径l 相应减小。 为避免齿根应力集中，设计齿形时，应使齿根圆弧半径不小于 0 3 5 m 。根据国内的实践经验，一般都取齿厚比k = 1 0 5 - 1 3 。 5 凸齿工艺角d 工艺角的作用是使圆弧齿轮滚刀刀齿有足够的侧后角( 铲磨 后，侧厚角大于1 。3 07 ) ，以减小滚刀的磨损，保证加工齿面的质 量。所以必须在基本齿廓上规定适当大小的工艺角，圆弧齿廓的 凸齿工艺角一般取为( 5 0 - 8 0 ) 。过大的工艺角将减小齿面工作弧 长，降低轮齿的承载能力。凹齿工艺角如应稍大于凸齿工艺角4 ， 以避免齿形干涉。 3 2 2 其他参数 根据上述独立参数的选择，按齿轮的使用条件，先确定这5 个 参数，然后计算出其他的基本齿廓参数，绘制成图。 为了表述清楚各参数的名称及含义，图3 2 为双圆弧齿轮基本 齿廓图。 图3 2 取圆弧齿轮基本齿廓 名义压力角 以齿顶高 齿根高 p 凹齿齿廓圆弧半径 x 。凸齿齿廓圆心移距量 一凹齿齿廓圆心移距量 乇凸齿齿廓圆心偏移量 ，凹齿齿廓圆心偏移量 凸齿接触点处弦齿厚 吃接触点到节线的距离 o 凹齿接触点处槽宽 太原理工大学硕士学位论文 j ：凹齿工艺角 0 齿根圆弧半径 0 齿腰连接圆弧半径 ，一呗4 向间隙 它们之间的关系式如下： ，h a h，h 十幽 a5 了“，2 下 p f p n p 铲* 一s i n 纠 屯：x ，= 昙十a p a p 4s i n 口。 屯钉，2 j + 蟠1 n 口。 驴坐d 等等吐蚓 。厨i 一詈，f ，吐+ 印岫s 旷i 占卜a r e s i np 。s i n 4 + x 。+ z 7 p ， 。p ；- h l 一2 * h i 5 厂x ，2 - i ； 铲1 可瓦；了一 h k = 成+ s i n a o + z 口= p ，+ s i n a o x ， 7 - - 2 。g o s a 。一，。) e f = s 。+ j 太原理工大学硕士学位论文 凸、凹齿廓连接圆弧半径0 的确定如图3 - 3 所示。 图3 - 3 连接半径0 计算图 设凸、凹齿廓用圆弧连接。齿腰部分的连接圆弧应与凸齿圆弧 相切，而与凹齿圆弧相交，其计算方法如下： b c _ 竿一p a * c o s 玩) 一o f * c o s 8 2 - ，) a c 2 p + s i n 8 l + 聋。+ p ，s i n 8 2 一x ， a b = 历了丽 a d ：丝 2 么b a c ：a r c t a i l 丝 4 c 0 = 9 0 。+ 占一z b a c 爿d 02 ：面 太原理工大学硕士学位论文 第四章双圆弧齿轮齿形参数的有限元分析 就理论分析而言，由于双圆弧齿轮的轮齿是一个三维螺旋体， 形状比较复杂，用通常的材料力学或弹性力学方法分析双圆弧齿 轮的变形规律，般难以得到满意的结果，为此，本文采用有限 元法来分析双圆弧齿轮的变形。 有限元法是一种可以获得许多工程问题近似解的数值计算方 法但使用这一方法所获得的各种工程问题的近似解逼近于正确 解的程度，计算结果的稳定性以及是否收敛于正确解，则取决单 元结点的设置，单元类型，网格形态，边界条件的确定。因此， 在利用有限元分析计算变形之前，应首先确定轮齿齿廓形状，边 界约束条件，单元类型的选择和网格划分、单元、结点的合理编 号以及生成螺旋轮齿的计算模型。 4 1 有限元法简介 4 1 1 有限元的发展 随着电子计算机的出现与发展，工程上许多复杂问题可以采用 离散化数值计算方法求近似解而得到简化。有限元法就是这样一 种方法。它最初从结果分析开始，经过4 0 年逐步发展和完善，现 已拥有十分丰富的方法形态，并且由于其算法过程的通用性，以 及对材料组合和几何拓扑的适应性，在相对广泛的领域得到有效 利用，成为求解各种固体力学和结构工程问题的最有效的数值计 算方法，为各行各业工程技术人员所重视。 有限元法是基于变分原理的一种求解数学物理问题的数值计 算方法。其基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元 的组合体，这样的组合体能解析的模拟或逼近求解域。由于单元 能按各种不同的联络方式组合在一起，且单元本身又可以有不同 太原理t 大学硕士学位论文 的几何形状，因此可以模型化形状复杂的求解域。有限元法作为 一种数值分析方法的另一个重要步骤就是用在每一单元内假设的 近似函数来表示求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数 通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。 这样，在一个问题的有限元分析中，未知场函数的节点值就成为 新的未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。 显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度 将不断改进，如果单元满足收敛要求，近似解最后将收敛于精确 解。 近三十年以来，有限元法的理论和应用都得到迅速的、持续不 断的发展。在应用上，已由平面问题扩展到空间问题、板壳问题， 由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题；分析的 对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从固 体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域；在工程分 析中的作用，已从分析和校核扩展到优化设计，并和计算机辅助 设计相结合。 有限元法经过三十多年的发展，已经成为一种比较成熟的计算 方法，在机械传动方面常用于计算齿轮传动各部分的受力，如果 建模合理，计算结果能比较真实的反映实际受力情况。本文选用 计算精度高，前后处理和图形显示功能很强的有限元软件包a l g o r f e a s 程序进行双圆弧齿轮齿形参数的分析。 4 1 2s a p 9 1 简介 s u p e rs a p 9 1 软件是a l g o r 公司开发的，在微机平台上发展 起来的一个有限元分析软件。由于i b m p c 与其兼容机的b i o s 和 m i c r o s o f t 公司的d o s w i n d o w s 操作平台的开放性，使得有限元分 太原理工大学硕士学位论文 析人员可以充分利用微机资源，方便、轻松、直观地形成有限元 网格和对结果进行可视化处理。 该软件大致可分为三个模块： 前处理模块将整体结构或其一部分简化为理想的数学模型， 用离散化的网格代替连续实体结构。该模块由s u p e rd r a wi i 和 d e c o d e r 组成。s u p e rd r a wi i 使用户可以建立丰富多彩的网格模 型，还可以人机对话方式施加载荷和约束。d e c o d e r 是译码器，它 把s u p e rd r a w1 1 形成的图形文件转换成可用于分析计算的数 据文件格式。 分析模块分析计算结构的受力、变形及特性。它由s s a p o h 和s s a p l h 等组成。 后处理模块对计算结果进行分析、整理和归纳。该模块由 s u p e rv i e w 组成，利用它可以对有限元软件分析计算结果进行图 像分析，还可以将校核后的模型文件反向传给前处理模块s u p e r d r a wi i ，作进一步修改、分析。 s a p 9 1 软件包含的单元类型由各向同性和正交各向异性两个分 支组成，前者包括桁架元、薄膜元、二维实体元、三维块体元、 板壳元、四面体单元，后者包括薄膜元、二维实体元、板壳元。 一旦选定单元类型，菜单中关于单元列式、高斯积分阶数、单元 材料性质的信息会自动与之配套。 s a p 9 1 软件的功能除具有静力、动力、线性、非线性结构分析 功能外，还包括一些特殊分析功能，如板壳、梁系统分析；随机 振动响应分析；频率响应分析；间隙元分析；稳态及瞬态场分析： 流体分析：运动学、动力学及仿真分析等。 s a p 9 1 软件提供了与h u t o c a d 、c a d k e y 、m i c r o s t a t i o r 、 太原理工大学硕士学位论文 p e r s o n a l d e s i g n e r 等多种c a d 系统、i g e s 国际图形文换系统和 m jc r o s o f tw o r d 、w o r dp e r f e c t 等字处理和桌面办公系统进行数 据文件直接交换的接口，使它成为一种开放式系统，为实现有限 元网格生成的参数化，构造真正的c a d 系统，具备了一定的基础。 4 2 双圆弧齿轮的三维有限元模型的建立 4 2 1 建模的基本思路 有限元计算结果的好坏，在很大程度上取决于所建立的有限元 模型，而且对某问题进行有限元计算时，相当大的一部分精力是 花在有限元模型的建立上。由此可见有限元建模的重要程度。 由于双圆弧齿轮是一种比较复杂的空间螺旋体，为了建立精确 的有限元计算模型，且实现模型的参数化，本文采用c 语言编制 的程序自动生成节点坐标的输入方式。即首先通过c 程序计算出 一个轮齿的端面坐标，通过旋转、平移计算生成整个轮齿的坐标， 写入数据文件，然后利用a u t o c a d 中的a u