（运筹学与控制论专业论文）含η极大单调映象的广义非线性模糊拟似变分包含.pdf

四川i 大学硕士学位论文 含r 1 一极大单调映象的 广义非线性模糊拟似变分包含 运筹学与控制论专业 研究生兰恒友指导教师黄南京教授 引入并研究一类新的含n 一极大单调映象的广义非线性模糊拟似变分包 含为了利用r l 一极大单调映象的预解算子技巧求解这类广义模糊变分包含， 我们建立了一些新的含误差的迭代算法，并证明了由这类算法产生的迭代序 列的收敛性我们还讨论了求解一类含n 一极大单调映象的广义非线性拟似 变分包含的扰动迭代算法的收敛性和稳定性 第一部分，说明了我们研究的问题产生的客观背景，它来源于经济学、 工程学、社会科学和自然科学以及其他应用科学的某些优化问题，并介绍了 前人的主要工作，进而说明我们的工作的现实意义：第二部分，介绍一些基 本概念，特别是黄和方介绍的n 一极大单调映象的定义：第三部分，将介绍 我们所研究的问题及其特例，并给出一些相关的重要性质和引理：第四部 分和第五部分介绍我们的主要结果第四部分，首先给出一些新的含误差的 迭代算法，然后证明这类含r l 一极大单调映象的广义非线性模糊拟似变分包 含在非紧条件下的解的存在性和由此类迭代算法产生的迭代序列的收敛性： 第五部分，我们讨论了求解一类含r l 一极大单调映象的广义非线性拟似变分 包含的扰动迭代算法的收敛性和稳定性 我们的结果改善和推广了许多已知的相应结果 关键词：广义非线性模糊拟似变分包含含误差的迭代算法n 一极大单调 映象存在性和收敛性稳定性 四川大学硕士学位论文 g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rf u z z y q u a s i v a r i a t i o n a l l i k e i n c l u s i o n si n v o l v i n g m a x i m a l 7 - m o n o t o n em a p p i n g s m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：h e n g y o ul a n a d v i s o r ：p r o f n a n - j i n gh u a n g i i i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e wc l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r f u z z yq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a lr 一m o n o t o n em a p p i n g s w ec o n s t r u c ts o m en e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sw i t he r r o r sf o rs o l v i n gt h e s eg e n e r a l i z e df u z z yv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sb yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ef o r m a x i m a l7 - m o n o t o n e m a p p i n g sa n dp r o v et h e ，c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m s w ea l s od i s c u s st h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo f p e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gac l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a l 町一m o n o t o n em a p p i n g s f i r s t ，w es h o wt h er e a lb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m st h a tw es t u d y , w h i c h c o m e sf r o ms o m eo p t i m i z a t i o np r o b l e m si ne c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，t h es o c i a l a n dp a y s i c a ls c i e n c e s ，a n do t h e ra p p l i e ds c i e n c e ，a n dw ei n t r o d u c et h em a i n w o r k st h a th a v eb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r s ，s oa st os h o wt h a to u rw o r k s w o r t h yo fa t t e n t i o n s e c o n d ，w ei n t r o d u c e s o m eb a s i cc o n c e p t i o n s ，e s p e c i a l l yt h e d e f i n i t i o no fm a x i m a l r - m o n o t o n em a p p i n g i n t r o d u c e db yh u a n ga n df a n g ，a n d i nt h et h r e es e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h es t u d i e dp r o b l e ma n di t ss o m e s p e c a i lc a s e s ， a n dg i v es o m ec o r r e l a t i v ei m p o r t a n tp r o p o s i t i o na n dl e m m a s o u rm a i nr e s u l t s a r ei nt h el a s tt w os e c t i o n s s e c t i o n4i sd e v o t e dt og i v es o m en e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sw i t he r r o r s w i t hs o m en o n c o m p a c t c o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n s ，w ep r o v e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rf u z z yq u a s i - v a r i a t i o n a l - - l i k ei n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a lq - m o n o t o n em a p p i n g sa n dt h ec o n v e r g e n c eo f i t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m s i nt h el a s t ，w ed i s - c u s st h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n ga 四川大学硕士学位沧文 c l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rq u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n si n v o l v i n gm a x i m a l 7 - m o n o t o n em a p p i n g s o u rr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z em a n yk n o w nc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rf u z z yq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ， i t e r a t i v e a l g o r i t h mw i t he r r o r s ，i n a x i m a l7 - m o n o t o n em a p p i n g ，e x i s t e n c ea n d c o n v e r g e n c e ，s t a b i l i t y 四川大学硕士学位论文 l 问题背景 自2 0 世纪6 0 年代中期，c o t t l e ，d a n t i z i g ，l e m k e ，s t a m p a c c h i a 及其他许 多数学工作者提出并研究变分不等式和线性、非线性补问题以来，变分不等式和 线性、非线性补问题在数学规划中已扮演了非常重要的角色，它们集中用于经济 学、工程学、社会科学和自然科学中的建模、计算和许多平衡( 或称为均衡) 问 题的分析刚过去的1 8 2 3 年证明，变分不等式和补问题方面的研究工作已经 取得了持续的进展作为研究经济、运输和对策论的平衡的统一框架一种 能促进平衡问题的高效率的算法框架，在上述问题中的应用使人们的兴趣更加浓 烈，从而激励了这种发展趋势( 可参见p a t r i k s s o n 【1 ，张【2 ，h a r k e r 和p a n g 【3 及其他相关的参考文献) 诚然，在求解平衡模型时；传统的最优化方法和不动点方法均有其自身的优 点和不足，其不足方面主要体现在：面对大规模的平衡问题的求解，传统的最优 化方法和不动点方法或者缺乏普遍适用性，或者计算效率低过去的2 0 余年里， 在填补由最优化方法和不动点方法导致的缺陷方面，有限维变分不等式和非线性 补阿题的重要性已明显地呈现出来，特别是，在其解的存在性、唯一性和灵敏度 理论，在算法理论，在这些熟练的方法应用于运输、计划、区域科学、社会经济分 析、能量建模和博弈论等方面得到了迅速的发展( 参见h a r k e r 和p a n g 【3 1 ) 也正 是这种激励使我们理解了当今潮流般地研究变分不等式和非线性补问题的现状 设- y 舻是一非空闭凸集， u ：r “一ru + o 。为下半连续的真1 凸函数，f ：d o m u n x _ 彤是d o m u n x 上的一向量值连续映象，这里 d o m u c z r ”lu ( x ) 0 通常是事先设定的记 t = t 为从初始累积到第k 步，x ( t ) = x 则( s ) 可自然地成为一种具步长 仉的下述微分包含的显式e u l e r 步骤i ( c s )奎( t ) e - - 0 y ( x ( t ) ) ，5 ( 0 ) = x o 更一般化，以极小化闭凸集gc 日上的连续凸函数f ：h - - + r 为目标的次梯 度投影方法( s p ) 不断地着手选择： ( s p ) 妒+ 1ep c ( x 一v k o f ( x ) ) ，x o c ， k = 0 ，l ， 其中p c 表示在g r 上的正交投影如果将时间连续化，则( s p ) 就等价于连续次 梯度投影方法： ( c s p )圣( t ) p r 。( ) 【一a ，( z ( t ) ) 】，z ( o ) = z o ， 其中 t x = c f ( c z ) i a20 ，c e 为c 在x 处的切线锥面，并且对任意的方向d eh ，都有( 参见p h e l p s 1 8 ) p r 水) = 姆盟，v 。以 连续时间的次梯度投影算法( c s p ) ，可体现产生累积解集的轨道 四川大学硕士学位论文8 ( i v ) 广义变分不等式问题 令r “为n 维欧几里得空间，在毋上给定一关系r ( 即rcr 4 r ”) 及彤 的一子集x ，( ，) 表示内积则计算满足下列条件的所有解( z ，y ) 的问题就称为 广义变分不等式问题g p ( x ，f ) ： ( i ) z x ；( i i ) 0 茎( z 7 一z ，y ) ，v x x ；( i i i ) ( z ，y ) f 当x 是h i l b e r t 空间或自反b a n a c h 空间的闭凸子集，r 为从一个空间到 其对偶空间的一些映象时，许多数学家研究了由极小化问题或偏微分方程导致的 传统变分不等式( 可参见b r 6 z i s 19 ) f a n g 和p e t e r s o n 7 】限制在月“中研究 g p ( x ，r ) ，在没有单调性假设下，退化其解的存在性定理，然后再添加单调性条 件去阐明其解集的性质，最后提出了一个不动点计算方案 变分不等式v i ( x ，f ) 或广义变分不等式问题g p ( x ，f ) 已推广到无限维的 h i l b e r t 空间，甚至b a n a c h 空间，其理论已经为研究出现在纯科学和应用科学之 中的许多问题提供了有效而强有力的工具由于新奇而有创造性的技巧和想法的 应用，( 广义) 变分不等式已经沿不同方向得到了扩展和普及( 可参见【2 0 】- 4 1 】以 及其他相关的参考文献) 1 9 9 4 年，h a s s o u n i 和m o u d a f if 2 6 1 引入并研究了一类变分包含，发展了一 种寻找变分包含的近似解的扰动算法1 9 9 6 年，黄【2 8 】扩展这种技巧，引入 并研究了一类新的具非紧集值映象的广义混合变分不等式，即而a d l y 【2 0 ，d i n g 2 3 ，d i n g 和l u o 【2 5 1 在各种不同的假定条件下已经获得了【2 6 的结果的一些重 要推广我们发现文 2 0 】，【2 3 】， 2 6 】 2 8 】中的所有学者都假设了变分包含或广义 拟变分包含中的泛函是真凸下半连续的最近，d i n g 【2 4 ，s a l a h u d d i n 和r a i s 3 9 1 提出并分析了一类求解h i l b e r t 空间中具非凸泛函的广义非线性拟似变分包 含的迭代概型 不久前，h u a n g 和f a n g 【3 3 】介绍了一类新的卵一极大单调映象，并证明了 h i l b e r t 空间中7 7 一极大单调映象的预解算子的l i p s c h i t z 连续性他们还引入并 研究了一类新的含7 7 一极大单调映象的广义变分包含，建立了一种用叩一极大单 调映象的预解算子技巧求解这类广义变分包含的新算法某些相关工作，可参见 h u a n g 和f a n g 3 4 】及h u a n g e ta 1 【3 5 另一方面，c h a n g 和z h u 2 1 】于1 9 8 9 年首次引入并研究了一类关于模糊 四川大学硕士学位论文9 映象的变分不等式h u a n g 3 0 ，【3 1 ，l e ee ta 1 3 6 h 3 7 ，c h a n g 和h u a n g 【4 2 ， 考虑且研究了几类有关模糊映象的变分不等式和补问题最近，h u a n g 3 2 介 绍并研究了一类一般的非线性模糊变分包含 受【2 2 】，【2 4 ， 2 9 】， 3 3 ， 39 】 4 0 l ， 4 3 _ 4 5 等近期工作的鼓励和激发，本文引 入并研究类新的含咿极大单调映象的广义非线性模糊拟似变分包含为了用 一极大单调映象的预解算子技巧求解这类广义模糊变分包含。我们建立了一些 新的含误差的迭代算法，并证明了由这类算法产生的迭代序列的牧敛性我们还 讨论了求解一类含卵一极大单调映象的广义非线性拟似变分包含的扰动迭代算法 的收敛性和稳定性我们的结果改善和推广了许多已知的相应结果 2 预备知识 全文假设e 为实h i l b e r t 空间，并赋予了内积( ，) 和范数 玑c b ( e j 表 示e 的所有非空有界闭子集簇下面，我们给出一些基本概念作为研究本文主 要结果的准备 定义z 1 映象9 ：e - e 被称为是 ( i ) q 一强单调的，如果存在一常数a 0 ，使得 ( g ( x ) 一9 ( 可) ，z y ) ( 2 1 1 5 5 一y l l 2 ，v 5 5 ，y e ； ( i i ) p l i p s c h i t z 连续的，如果存在一常数p 0 ，使得 | 1 9 ( z ) 一g ( y ) i l z l l x 一可m 忱，yee 定义2 2 设f ：e - e 是一单值映象，t ：e - - 2 e 为集值映象对所有 的。，y e ，称陕象“- ) ：e e _ e 是 ( i ) 关于第一变元，松弛单调的，如果存在常数c 0 ，使得 ( ( z ，) n ( y ，) ，s ( u ) 一，( u ) ) c l l f ( u ) 一f ( v ) 1 1 2 ，v z ，y e ，钍t ( z ) ， ? ( ) ( i i ) 关于第一变元盯一l i p s c h i t z 连续的，如果存在一常数盯 0 ，使得 | | ( z ，一) 一( 9 ，) l | 仃l | z 一可i i ，v x ，y e ； 四川大学硕士学位论文1 0 ( i i i ) t 被称为是( 一h - l i p s c h i t z 连续的，如果存在一常数 0 ，使得 h ( ，( z ) ，丁_ ( 可) ) ( 0 。一j ：，i i ，v z ，口e ， 其中日( ，) 是c b ( e ) 上的h a u s d o r f f 距离，即：对任意给定的a ，bec b ( e ) ， 疗( a ，b ) = m a x s ：u 。p i n fd ( z ，们，s 。u b p 。i n 。fd ( x ，g ) ) 类似地，我们可定义映象( ，) 关于第二变元的l i p s c h i t z 连续性当丁为 单值映象时，我们同样可定义( ，) 关于第一变元的，松弛单调性 定义2 3 映象q ：e eoe 被称为是 ( j ) 单调的，如果 ( x y ，叩( z ，可) ) 0 ，v x ，y f ； ( i i ) 严格单调的，如果 ( 。一y ，叩( z ，g ) ) 0 ，v z ，y e ， 且等号成立的充要条件为z = 可； ( i i i ) 6 一强单调的，如果存在一常数6 o ，使得 ( 茁一y ，卵( z ，f ) ) 6 | | z 一| | 2 ，v x ，y e ； ( i v ) r l i p s c h i t z 连续的，如果存在一常数r 0 ，使得 i ? 7 ( z ，9 ) | | 曼t i i x f | | ，慨，y e 我们注意到”的强单调性可推出田的严格单调性 定义2 4 ( 【3 4 1 ) 设单值映象q ：e xe - e 和集值映象a ：e _ 2 2 ，则称 a 为 f i ) i 竹一单调的，如果 ( 一u ，q ( 上，”) ) 0 ，v 。，y e ，uea ( z ) ，口a ( 可) ； ( i i ) 严格7 7 单调的，如果 ( 一 ，卵( 。，g ) ) 0 ，v x ，y e ，“a ( z ) ，v 以( ) ， 四川大学硕士学位沦文 并且当且仅当x = y 时取等号； ( i i i ) 强卵单调的，如果存在一常数r 0 ，使得 ( u v ，7 7 ( z ，) ) 2r l i x 一2 ，v x ，yee ，“a ( z ) ，v a ( g ) ； ( i v ) 矿极大单调的，如果a 是1 一单调的，且对每一个( 等价地，对某些) a 0 有( f + a a ) ( e ) = e 注2 1 如果对所有的x ，y e ，v ( x ，y ) = x y ，那么定义2 4 中的( i ) 一( i v ) 将分别退化为单调性，严格单调性，强单调性和极大单调性的经典定义 定义2 5 ( 2 5 】) 设町：exe - e 为单值映象我们称真泛函妒：e _ 兄u + o o ) 在点z e 处是町一次可微的，如果存在一点e ，使得 v ( y ) 一v ( x ) 芝( f ，? 7 ( ，z ) ) ，v y e ， 其中f 被称为妒在z 处的研一次梯度妒在g 处的所有7 7 一次梯度的集合记为 咿( z ) ，即定义映象妒：e _ 2 e 为 妒( z ) = f e f 妒( g ) 一妒( z ) ( f ，q ( ，。) ) ，v y f ( 2 1 ) 我们称之为妒在z 处的r j - 次微分 注2 2 如果町( g ，x ) = y z ，v y ，x e ，且妒是e 上的一真凸下半连续泛 函，则定义2 5 退化为泛函妒的次微分的通常定义如果妒在。e 是可微的 且满足 妒( z + a n ( y ，z ) ) 茎a 妒( y ) + ( 1 一a ) 妒( z ) ，v y e ，a 【0 ，1 】 则妒在x 处是卵一次可微的( 参见n o o r e ta 1 【3 8 ，p 4 2 4 ) 定义2 6 ( 【4 6 】) 泛函，：e e _ ru + ) 被称为在y 处是0 一对角 拟凸的( 简记为0 - d q c v ) ，如果对任意的有限集忙- ，x 2 ，一，x n ) ce 和任意的 y ：a ：q ，这里九0 且苎凡= i ，都有 t = lt = l 。嗯f ( x i ，可) so 四川大学硕士学位论文 3 广义非线性模糊拟似变分包含 这部分我们着手推广v i ( x ，f ) 到无限维的h i l b e r t 空间，介绍一类新的含 卵极大单调映象的广义非线性模糊拟似变分包含问题，并给出一个性质和两个 重要引理 假设，( e ) 是e 上的所有模糊集的全体称映象f ：e 一7 ( e ) 为e 上的 模糊映象若f 为e 上一模糊映象，则f ( x ) ( 下面我们记它为b ) 是e 上的 模糊集，且b ( 可) 是y 在r 的隶属函数 设b ，( e ) ，q 0 ，1 】则集合 ( 且) 口= 缸e ib ( x ) q ) 称为b 的一q 一切集 令于，a ：e 一，( e ) 为满足下述条件( i ) 的两模糊映象： ( ，) 存在两映象a ，b ：e _ 【0 ，1 】，使得对所有的z e ，我们有( e ) 。( 。) c b ( e ) 和( 如) n ( z ) c b ( e ) 利用模糊映象于，a ，我们可定义两个集值映象丁和a 如下： t ：e _ c b ( e ) ，。时( 元) 。( 。) a ：e c b ( e ) ，。时( 盈) 6 ( 。) 在下文，t 和a 分别为由模糊映象t 和a 诱导的集值映象 对所有的z ，。e ，我们约定( z ，z ) = z ( z ) 对给定的映象a ，b ：e _ 【0 ，1 】， 模糊映象于，a ：e 叶f ( e ) ，单值映象，g ：e - e ，n ，目：e e - - 1 e ，集值映 象m ：e _ 2 e 和对每一固定的t e ，具g ( e ) n d o m v ( ，t ) d 的叩一极大单 调映象v ( ：t ) ：e 2 e ，我们考虑下列问题： 寻z ，t ，v ，w e ，使得b ( u ) o ( z ) ，a 。( ) 6 ( z ) ，w m ( x ) 且 0 ，( u ) 一n ( x ，u ) + y ( g ) ，w ) 此问题称为广义非线性模糊拟似变分包含 ( 3 1 ) 四川大学硕士学位论文 1 3 如果f s ，m ：e _ 2 e 为经典的集值映象，利用f 和s ，我们可定义如下 两个模糊映象： 户：e _ 厂( e ) ，z 时) ( p ( z ) 雪：e - ，( e ) ，x ) ( s ( z ) 其中x f ( z ) 和x s ( x ) 分别是集合f ( z ) 和s ( 。) 的特征函数对所有的z e 让o ( z ) = 1 ，6 ( 。) = l ，则问题( 3 1 ) 等价于寻z ，u ， ，w e ，使得“f ( 茁) ，“ s ( z ) ，t u m ( z ) 且 0 ，( u ) 一n ( x ，u ) + v ( g ( z ) ， ) ，( 32 ) 该问题称为广义非线性集值拟似变分包含 如果对所有的t e ，y ( ，t ) = 妒( - ，t ) ，这里真泛函妒：e xe _ r u + 。o ) 使得对每一个固定的t e ，p ( r ，t ) ：e - - + r u + 。) 是下半连续和在e 上 叩- 次可微的，妒( ，t ) 表示妒( - ，t ) 的叩一次微分，那么问题( 3 1 ) 就退化为：寻 x ，札，口，w e ，使得元( u ) n ( z ) ，五( ) 6 ( 卫) ，w m ( x ) 且 ( ，( u ) 一n ( x ，u ) ，町( ，g ( 。) ) ) 三妒( g ( z ) ，w ) 一妒( ，w ) ， v y e ( 3 3 ) 与此同时，问题( 3 2 ) 等价于寻x ，u ，v ，w e ，使得“f ( z ) ，v s ( z ) ，m ( x ) 且 ( f ( u ) 一( z ， ) ，q ( 可，g ( z ) ) ) 妒( g ( z ) ，训) 一妒( 玑u ) ， v y e ( 3 4 ) 如果fs 和m 都是单值映象，则问题( 3 2 ) 退化为：寻z e ，使得 0 ，( f 扛) ) 一( z ，s ( z ) ) + y ( g ( 。) ， 彳 ) ) ， ( 3 5 ) 该问题称为广义非线性单值拟似变分包含 注3 1 选择适当的7 7 ，v ，g ，t ，a 和m ，许多不同种类的变分不等式， 补问题和变分包含都可作为广义非线性拟似变分包含( 3 1 ) 的特殊情形( 可参见 2 4 】，( 25 l 【2 9 ， 3 9 】及其他相关的参考文献) 注3 2 若e = r “，y ( ，t ) = 妒( ) ，v t e ，这里真泛函妒：e _ r u + 。) 是下半连续和次可微的，定义函数q ：e _ e 为e ( z ) = ，( f ( z ) ) 一( z ，s ( z ) ) ， 四川大学硕士学位论文1 4 町( ，z ) = y z ，地，y e ，g 三i ，恒等映象，则问题( 3 5 ) 退化为g v i p ( q ，妒，) ， 这里x 为e 的一非空凸子集，此时所需寻找的x d o m 妒nxf 详见p a t r i k s s o n 【1 】) 性质3 1 ( 3 3 】) 设叩：e e 叶e 是l i p s c h i t z 连续和强单调的，使得对 所有的。，y e ，q ( z ，y ) = 一叩( 可，z ) ，且对任意给定的s e ，函数h ( z ，x ) = ( 8 一x ，叼( 。，z ) ) 在z e 处是o - d q c v 的假设妒：e _ r u h o 。) 是下半连 续和卵一次可微泛函则由( 21 ) 定义的目一次微分妒是叩一极大单调的 注3 3 性质3 1 表明q 极大单调映象的存在性我们强调函数妒在性质31 中不必是凸的下面的例子说明满足性质3 1 中所有条件的映象卵：e e _ e 的存在性 例3 1 ( 【2 4 ) 设e = r = ( 一o o ，+ 。o ) 映象7 1 ：e e _ e 定义为 f z f ，如果i x y l 1 ， 7 7 ( 。，y ) = l z y l ( z 一) ，如果1 茎l x yj 2 ， 【2 ( x