（航空宇航制造工程专业论文）轴对称拉深件多步成形反向模拟技术研究.pdf

西北下业大学硕上学位论文 摘 要 轴对称拉深件成形是金属板料成形中的典型方法之一，本文针对该成形过 程提出了一种多步成形反向模拟方法，该方法可以对中间工步形状和毛坯形状 进行优化， 并且可以预测整个零件的 应变分布，据此可以了 解变形过程中的金 属流动规律， 在设计初期具有 一定的指导作用。 本文以理想变形理论为 基础， 在平面 应力假设下，使用二维膜单元和厚向 异性的刚塑性材料模型分析了单元变形关系， 得到了 各成形工步中以 初始构形 上的 节点坐标为基本未知量的有限 元方程。通过求解上述有限 元方程即 可得到 满足理想成形条件的节点坐标，达到优化的目的。 本文使用 c + + 语言编制了反向模拟系统中工程分析模块的计算程序，通过 数值实验验证了算法的可执行性和正确性。该算法简单易实现， 计算效率高， 具有较大的实用价值。 关键词: 理想变形，多工步反向 模拟，板料成形， 轴对称拉深件， 毛坯形状， 有限元方法 西北丁业大学硕卜学位论文 ab s t r a c t a x i s y m e t r i c d e e p d r a w i n g i s v e r y i m p o r ta n t i n s h e e t m e t a l f o r m i n g p r o c e s s e s . i n t h i s p a p e r , a c c o r d i n g t o a x i s y m e t r i c d e e p d r a w i n g p r o c e s s e s , m u l t i - s t e p i n v e r s e s i m u l a t i o n m e t h o d h as b e e n p r e s e n t e d , w h i c h c a n h e l p t o o p t i m i z e t h e i n t e r m e d i a t e s h a p e s a n d t h e b l a n k s h a p e a n d t o g i v e s o m e d e f o r m a t i o n i n f o r m a t i o n o f t h e p a rt . b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n o f i d e a l f o r mi n g t h e o r y a n d p l a i n s t r e s s , t h e f e e q u a t i o n s f o r a x i s y m e t r i c mu l t i - s t e p d e e p d r a w i n g i n v e r s e s i m u l a t i o n a r e f o r m u l a t e d w i t h l i n e a r me mb r a n e e l e m e n t a n d t h e r i g i d - p l a s t i c ma t e r i a l m o d e l . t h e g a i n e d n o d e c o o r d i n a t e s w i l l f o r m t h e c o n t o u r s o f t h e o p t i m u m i n t e r m e d i a t e s h a p e s a n d b l a n k s h a p e a p r o g r a m o f t h e i n v e r s e s i mu l a t i o n s y s t e m f o c u s e d o n t h e c a l c u l a t i o n f u n c t i o n h a s b e e n d e v e l o p e d u s i n g c + + l a n g u a g e . b y a p p l y i n g t h e a l g o r it h m t o a n e x a m p l e , t h e a v a i l a b i l i t y o f t h e m e t h o d i s v a l i d a t e d . t h i s me t h o d i s s i m p l e a n d e ff i c i e n t t o b e e x t e n d e d. k e y wo r d s : i d e a l f o r m i n g , m u l t i - s t e p i n v e r s e s i m u l a t i o n , s h e e t m e t a l f o r m i n g , a x i s y me t r i c d e e p d r a w i n g p a rt , b l a n k s h a p e . f e m m e t h o d 1 1 西北工业大学硕士学位论文第 一 章绪 论 第一章绪论 在金属板料成形中. 成形过程的 准确模拟对于深入研究变形过程的 力学特 性， 分析成形过程的应力、 应变以 及预测成形 载荷是十分必要而有意义的。 成 形性分析对制造无缺陷、高质量的零件提供了具有指导意义的信息，同时也有 助于改进传统的成形工艺，发展先进成形工艺技术。 在饭金零件中，冲压件占据了相当高的比例。冲压件的成形性分析是冲压 工艺及模具设计中的关键内 容， 成形 性分 析的正确性与否直接影响到后续工作 的成败。求出冲压件的展开毛坯， 是分析冲压件变形程度， 设计工艺及拟订工艺 规程的前提。 如果毛坯形状合适， 变形沿毛坯分布不均匀的现象能够得到明显改 善， 成形极限也可有所提高， 并能降 低突耳高 度， 减少切边余量。此外， 采用合理 的毛坯形状， 往往能够使某些需要二次拉深才能成形的制件， 用一次拉深便可达 到制件要求的高度。 1 .1多步法研究背景及意义 求解毛坯展开形状成为冲压工艺 设计中的一个重要而3待 解决的问 题。 板 料成形的过程伴随着几何非线性和物理非线性，再加上摩擦和接触等因素的复 合作 用， 使得变形的机制非常复杂。 这样的情况不但传统的解析方法无能为力， 而且 使用一 般的数值方 法也难以得到满意的 结果。 有限元素法可以综合考虑材 料参 数、工具参数以 及其他工艺参数对成形过程的 影响，因此， 在工 业的设计 和分析中得到了 广泛的 应用。 国内外的许多学者、研究人员研究采用了 “ 反向模拟法”对冲压件的成形 西北工业大学硕士学位论文第 一 章绪 论 第一章绪论 在金属板料成形中. 成形过程的 准确模拟对于深入研究变形过程的 力学特 性， 分析成形过程的应力、 应变以 及预测成形 载荷是十分必要而有意义的。 成 形性分析对制造无缺陷、高质量的零件提供了具有指导意义的信息，同时也有 助于改进传统的成形工艺，发展先进成形工艺技术。 在饭金零件中，冲压件占据了相当高的比例。冲压件的成形性分析是冲压 工艺及模具设计中的关键内 容， 成形 性分 析的正确性与否直接影响到后续工作 的成败。求出冲压件的展开毛坯， 是分析冲压件变形程度， 设计工艺及拟订工艺 规程的前提。 如果毛坯形状合适， 变形沿毛坯分布不均匀的现象能够得到明显改 善， 成形极限也可有所提高， 并能降 低突耳高 度， 减少切边余量。此外， 采用合理 的毛坯形状， 往往能够使某些需要二次拉深才能成形的制件， 用一次拉深便可达 到制件要求的高度。 1 .1多步法研究背景及意义 求解毛坯展开形状成为冲压工艺 设计中的一个重要而3待 解决的问 题。 板 料成形的过程伴随着几何非线性和物理非线性，再加上摩擦和接触等因素的复 合作 用， 使得变形的机制非常复杂。 这样的情况不但传统的解析方法无能为力， 而且 使用一 般的数值方 法也难以得到满意的 结果。 有限元素法可以综合考虑材 料参 数、工具参数以 及其他工艺参数对成形过程的 影响，因此， 在工 业的设计 和分析中得到了 广泛的 应用。 国内外的许多学者、研究人员研究采用了 “ 反向模拟法”对冲压件的成形 西北工业大学硕上学位论文第一章绪论 性进行分析。其优点是计算量小、 便于在产品设计和工 艺设计中应用。反向 模 拟的应用对象是饭金产品设计单位、 模具开发制造企业及其它行业的冲压厂家。 在设计的 初级阶段使用反向 模拟法， 不仅能进行成形性分析， 还可进行复杂 形 状零件的毛坯展开和工艺优化。 在产品开发阶段进行工艺 性分 析可以 避免后 续 制造中的浪费，缩短开发周期，同时可以使饭金零件的设计、制造并行化。随 着对冲压技术水平的要求日益提高，对工艺性分析工具的需求也 日益迫切，因 而应用反向 模拟法对企业提高技术水平， 增强竞争力是十分 重要的。 反向模拟的原理是将产品的几何形状直接映射到平板毛坯，依据一定的形 变理论， 并且施加必要的几何约束， 从而得到成形过程中产品 上的应变分布以 及毛坯形状，对可能出现破裂、起皱 用厚向应变表示)的趋势和部位进行预 测， 为改进产品设计和模具工艺设计提供参 考。由于这一方法从最终的 产品 形 状入手得到毛坯形状和产品的成形状态， 所以 称之为 “ 反向 法” “ 一步法”是基于反向模 拟法的一种逆算饭金零件毛坯的方法。 该方法将 有限元公式应用于两个状态，即原始板坯和最终产品构形。因为整个计算过程 相当于一般增量有限元的一个单步，所以又称为一步法。而 “ 多步法”将一个 或多个中间 工步加入进来一 起考虑，以 便提高计算精度，故称 “ 多步法” 。 多步法是在一步法的 基础上发展起来的一种逆算方法，用于反向 计算板料 拉深件的毛坯大小并进行相应的板料成形性分析。 多步法可以为必须分成多工 步来成形的零件提供有效合理的模拟结果， 而单步法则不能模拟多工步成形过 程。 对于单工步成形的 零件如果使用多步法也可以 得到比 单步法精度更高的优 化毛坯外形和应变分布， 达到 优化的目 的， 所以多 步法有 较大的研究价值。目 前 在国内己 经取得一定研究成果，但是 “ 多 步法”一 直未能推广使用。国外有 一部分学者己 经做出了 结果， 但是国内除了 一些对 “ 多步 法”的评价之外，基 西北t业大学硕士学位论文第一章绪论 本上没有发 现研究成果。 综上 所述，由 于 “ 多步法”的实际应用价值，本文 具 有一定的学术和实用意义。 夸 1 .2多步法研究现状综述 早期的一些研究者基于大 量假设， 提出诸如经验图 解法m 滑移线 场法 2 几何映射法 3 ,4 和一些物理模 拟法川 等算法， 然而 这些方法基于 大量假设， 只 在 有限 的范围内有效。 其中 增量有限元方 法 5 ,6 全面考虑了各种因 素的影响， 是比 较精确的方法，但计算模型十分复杂，计算时间很长，而且计算的收敛性受到 很 大 的 影 响。 b a to z j l 等 人 受到 几 何 映 射 法 的 启 发， 首 先 提出 了 逆 算 毛 坯的 单步法， 经过大量的研究取得了一定的 进展。逆算法也称为反向 模拟技术， 结 合了塑性变形理论和有限元技术，可以高效的计算出精度较好的结果，所以日 益 得 到 广 泛 重 视。 多 步 法随 即 出 现， l e e c h和c h u n g k 9 -2 o )等 人 对 此 模 拟 技 术进行了大量而长期的研究，取得了一定进展。 多步法确定毛坯形状的主 要方法大致分为以 下三种，这些方法各自的 名字 只是为了以示区别，各种方法之间并非完全独立。 1 . 2 . 1反向法 l e e c h 和h u h h 9 ,io 提出 了 一 种 用于 解 决 复 杂3 维问 题的 多 步 反向 分 析算 法，如图( 1 - 1 ) . 西北t业大学硕士学位论文第一章绪论 本上没有发 现研究成果。 综上 所述，由 于 “ 多步法”的实际应用价值，本文 具 有一定的学术和实用意义。 夸 1 .2多步法研究现状综述 早期的一些研究者基于大 量假设， 提出诸如经验图 解法m 滑移线 场法 2 几何映射法 3 ,4 和一些物理模 拟法川 等算法， 然而 这些方法基于 大量假设， 只 在 有限 的范围内有效。 其中 增量有限元方 法 5 ,6 全面考虑了各种因 素的影响， 是比 较精确的方法，但计算模型十分复杂，计算时间很长，而且计算的收敛性受到 很 大 的 影 响。 b a to z j l 等 人 受到 几 何 映 射 法 的 启 发， 首 先 提出 了 逆 算 毛 坯的 单步法， 经过大量的研究取得了一定的 进展。逆算法也称为反向 模拟技术， 结 合了塑性变形理论和有限元技术，可以高效的计算出精度较好的结果，所以日 益 得 到 广 泛 重 视。 多 步 法随 即 出 现， l e e c h和c h u n g k 9 -2 o )等 人 对 此 模 拟 技 术进行了大量而长期的研究，取得了一定进展。 多步法确定毛坯形状的主 要方法大致分为以 下三种，这些方法各自的 名字 只是为了以示区别，各种方法之间并非完全独立。 1 . 2 . 1反向法 l e e c h 和h u h h 9 ,io 提出 了 一 种 用于 解 决 复 杂3 维问 题的 多 步 反向 分 析算 法，如图( 1 - 1 ) . 西北t 业大学硕匕学位论文 第一章绪论 本上没有发现研究成果。综上所述，由于“多步法”的实际应用价值，本文具 有一定的学术和实用意义。 1 2 多步法研究现状综述 早期的一些研究者基于大量假设，提出诸如经验图解法【”、滑移线场法f 2 1 、 几何映射法【3 , 4 】和一些物理模拟法等算法，然而这些方法基于大量假设，只在 有限的范围内有效。其中增量有限元方法m 1 全面考虑了各种因素的影响，是比 较精确的方法，但计算模型十分复杂，计算时间很长，而且计算的收敛性受到 很大的影响。b a t o zjl 7 1 等人受到几何映射法的启发，首先提出了逆算毛坯的 单步法，经过大量的研究取得了一定的进展。逆算法也称为反向模拟技术，结 合了塑性变形理论和有限元技术，可以高效的计算出精度较好的结果，所以日 益得到广泛重视。多步法随即出现，l e ech 和c h u n gk 9 。o 】等人对此模拟技 术进行了大量而长期的研究，取得了一定进展。 多步法确定毛坯形状的主要方法大致分为畎下三种，这些方法各自的名字 只是为了以示区别，各种方法之间并非完全独立。 1 2 1 反向法 l e e c h 和h u h h i 9 , t 0 提出了一种用于解决复杂3 维问题的多步反向分析算 法，如图( 1 1 ) ， 两北- 业大学硕士学位论文 第一章绪论 图( 1 - 1 ) 复杂3 维零件成形反向模拟示意图 应用这一方法可以求出方盒形和蓄油盒等复杂形状钣金零件的初始毛坯形 状、中间形状以及应变分布。该算法是基于虚功原理的，建立的目标函数为： m i n 甲( ) 2 ( ) 一w a x ) ( x ) 一( x ) 铮r ( x ) ；a w 面( 广x ) = o ( 1 - 1 ) 式中( j ) 指塑性功；( ) 指摩擦功；( ) 指压边力做功：( x ) 指 拉延筋做功；x 是初始毛坯上的节点坐标。求解式( 1 ) 先采用共轭梯度法，再用 n e w t o n - - r a p h s o n 法。 中间工步形状采用约束滑移面，为了求出节点在这些中间滑移面上的位移， 定义了三套坐标：局部坐标用来定义每个节点处的约束滑移面；材料坐标用来 计算每个单元塑性变形能的积分；全局坐标用来计算与边界条件相关的各量。 为了使用n e w t o n - - r a p h s o n 法求解每个节点处的调整位移，其余两种坐标都要 转换为局部坐标。 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 这种方法考虑了成形过程中的摩擦力、压边力以及模具几何参数等的影 响。因此，该算法精度较高，但是算法复杂，计算时间相对较长。 1 2 2 全量法 m a j l e s s is a 和l e ed ，1 2 1 提出的算法可以解决轴对称零件问题，方法是把 变形过程分成几个工步，然后分别在每个工步运用塑性全量理论。 分析仅限于薄板，其应力状况可以简化为平面应力。由于零件的对称性， 只取成形零件的母线进行分析，然后在母线上确定线单元，再计算出节点的位 移量。 多步法每一步开始和结束时的零件形状分别定义为该步中的初始和最终 形状。在这两种形状之间运用势能最小原理，使初始形状的试节点的位置得到 优化。 在每一步中，变形的势能分为两部分 甲= 甲+ 甲。 ( 1 - 2 ) 式( 1 - 2 ) r 9 的甲，指的是试节点的变形产生的势能a = f ( f 。耐s ) a v f # a s ( 1 - 3 ) 式( 1 3 ) 中的体积分指应变能，。是指试节点从初始位置变形到最终位置产 生的应变；面积分指面力作的功，于指面力，矿位移。 甲。指的是试节点的调整位移。引起的势能： 。= n p 础) d v 一寥。i d s ( 1 - 4 ) 式( 1 4 ) 中占，指最终应变，面积分代表摩擦力的功，开表示调整位移。 咒是调整位移“，的函数，i 代表节点编号，所以“，的f 确值可以通过每一 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 这种方法考虑了成形过程中的 摩擦力、 压边力以 及模具几何参数等的影 响。因此，该 算法精度较高，但是算法复杂， 计算时间相对较长。 1 . 2 . 2全量法 m a j le s s i s a 和l e e d i i,12 提 出 的 算 法 可以 解 决 轴对 称 零 件问 题， 方 法 是 把 变形过程分成几个工步，然后分别在每个工步运用塑性全量理论。 分析仅限 于薄板，其 应力状况可以简化为平面应力。山 于零件的对称性， 只取成形零件的母线进行分析， 然后在母线上确定线单元， 再计 算出节点的位 移量。 多步法每一步开始和结束时的零件形状分别定义为该步中的初始和最终 形状。在这两种形状之间 运用势能最小原理， 使初始形状的试节点的位置 得到 优化。 在每一步中，变形的势能分为两部分 甲 =甲 x+甲 。( 1 - 2 ) 式( 1 - 2 ) 中的甲 ， 指的是试节点的 变形产生的势能。 t * 一 工 才a d a )d v - 犷yv d s ( 1 - 3 ) 式( 1 - 3 ) 中的体积分指应变能， ， 是指试节点从初始位置变形到最终位置产 生的应变;面积分指面力作的功，于 指面力，pv位移。 甲 。 指的是试节点的调整位移u ， 引 起的势能: t 。 一 b c q d s )d v 一 i f . u d s ( 1 - 4 ) 式 ( 1 - 4 ) 中 s / 指 最 终应 变 ， 面 积 分 代 表 摩 擦 力的 功 ，u 表 示 调 整 位移 。 叭是调 整位移u的函数， i 代表节点编号， 所以。 的正 确值可以 通过每一 西北工业大学硕 卜 学位论文第一章绪论 步的t . 取最小值来得到 ( 1 - 5 ) 由于问题的非线性，每一步的初始节点位置必须通过几次迭代才 一 能得出正 确结果。最后，所有工步都分析完之后，可以得到毛坯的尺寸。在整个分析模 型中，每一步的回弹不计。 使用该方法分析杯形件多工步拉深过程得到了与实验相一致的计算结果。 但研究的实例是各向同 性材料，使用的也并不是一种完全的逆向 法。国内 一部 分学者用类似方法进行了相关研究，在确定摩擦力方向以及收敛性的提高方面 取得了一定进展。 1 . 2 . 3理想成形法 理 想 成形 (i d e a l f o r m in g ) 是由c h u n g k 和r ic h m o n d 0 8 ,14 - 16 提 出 的 。 理想成形的 基本假设:变形是在整体塑性功取得相对极值的条件下得到的;材 料满足希尔准则( 1 9 7 9 ) .整体塑性功可表达为: w 一 工 w d v 二 工 ( f v - d e )d v . ( 1 - 6 ) 、是单位体积上的塑性功，u是等效应力，e是等效应变。 当确定了物质单元的变形路径时，塑性功就只由位移 u 确定， “=x一x ( 1 - 7 ) x . x分别是物质点在初始构形和最终构形中的坐标。 式( 1 - 6 ) 通过 对初始位置矢量x 求导，即可得到优化的初始毛坯形状。 丝 _ 0 i= 1 ,2 ,3 ,. 二 ，,n d丫 ( 1 - 8 ) 理想成形法在不致于过于降低求解精度的条件下，采用经过简化的模型， 西北工业大学硕 卜 学位论文第一章绪论 步的t . 取最小值来得到 ( 1 - 5 ) 由于问题的非线性，每一步的初始节点位置必须通过几次迭代才 一 能得出正 确结果。最后，所有工步都分析完之后，可以得到毛坯的尺寸。在整个分析模 型中，每一步的回弹不计。 使用该方法分析杯形件多工步拉深过程得到了与实验相一致的计算结果。 但研究的实例是各向同 性材料，使用的也并不是一种完全的逆向 法。国内 一部 分学者用类似方法进行了相关研究，在确定摩擦力方向以及收敛性的提高方面 取得了一定进展。 1 . 2 . 3理想成形法 理 想 成形 (i d e a l f o r m in g ) 是由c h u n g k 和r ic h m o n d 0 8 ,14 - 16 提 出 的 。 理想成形的 基本假设:变形是在整体塑性功取得相对极值的条件下得到的;材 料满足希尔准则( 1 9 7 9 ) .整体塑性功可表达为: w 一 工 w d v 二 工 ( f v - d e )d v . ( 1 - 6 ) 、是单位体积上的塑性功，u是等效应力，e是等效应变。 当确定了物质单元的变形路径时，塑性功就只由位移 u 确定， “=x一x ( 1 - 7 ) x . x分别是物质点在初始构形和最终构形中的坐标。 式( 1 - 6 ) 通过 对初始位置矢量x 求导，即可得到优化的初始毛坯形状。 丝 _ 0 i= 1 ,2 ,3 ,. 二 ，,n d丫 ( 1 - 8 ) 理想成形法在不致于过于降低求解精度的条件下，采用经过简化的模型， 西北t业人学硕 十学位论文第一章绪论 如简化摩擦力的处理、假定离散步长内的变形路线等:并且没有考虑实际成形 条件如压边力，模具几何尺寸等的影响， 因而得到的 毛坯精度相对 较低。该 方 法在理想成形的条件下严格 有效，并且算法易于实现， 适合于设计 初始阶段。 如果和试错的 方法结合使用的话，可以 对预测变形结果起到指导作用。 本文选 用的理论基础就是理想成形 理论。关于该理论的具体讨论将在第二 章进行。 1 . 3本章小结 首先介绍了本文的研究背景和 研究意义。 然后， 通过查阅大量的文献资 料， 总 结了多步反向 模拟的主要方法， 讨论了各种方 法的理论基 础，系统比 较了各 种方法的优缺点，通过分析认为，理想成形理论虽然精度不够高， 但是在设计 初期可以 满足一定的工程需要， 并且达到 提高效率的目 的。因此，该方法具有 一定的发展潜力，是一种值得进行深入研究的方法。 西北t业人学硕 十学位论文第一章绪论 如简化摩擦力的处理、假定离散步长内的变形路线等:并且没有考虑实际成形 条件如压边力，模具几何尺寸等的影响， 因而得到的 毛坯精度相对 较低。该 方 法在理想成形的条件下严格 有效，并且算法易于实现， 适合于设计 初始阶段。 如果和试错的 方法结合使用的话，可以 对预测变形结果起到指导作用。 本文选 用的理论基础就是理想成形 理论。关于该理论的具体讨论将在第二 章进行。 1 . 3本章小结 首先介绍了本文的研究背景和 研究意义。 然后， 通过查阅大量的文献资 料， 总 结了多步反向 模拟的主要方法， 讨论了各种方 法的理论基 础，系统比 较了各 种方法的优缺点，通过分析认为，理想成形理论虽然精度不够高， 但是在设计 初期可以 满足一定的工程需要， 并且达到 提高效率的目 的。因此，该方法具有 一定的发展潜力，是一种值得进行深入研究的方法。 西北工业大学硕士学位论文第二章理想变形理论基础 第二章理想变形理论基础 2 . ，理想变形理论 塑性变形是同变形历史相关的。理论上，材料可以经过无穷多变形路线从 初始构形变形到最终构形。当 材料沿 着不同的变形路线变形时， 变形消 耗的功 必然不同。因此可以推测，在满足某些 特定条件的时候， 变形消耗的塑性功为 最小。 均匀变形的理想变形路径定义为塑性变形功取最小值时的变形路径，且沿 最小功路径变形时，物质单元的变形 最小。所以， 在理想变形理论中，假定最 小 功路径就是优化的成形路径是有根据的。即物质元的变形量越大，那么 它越 容易发生破坏;物质元沿最小功路线变形，变形量最小，它破坏的可能性也就 最小，所以是优化的变形。基于理想变形理论的有限元方法就是基于这个假设 进行推导的。需要说明，即使最小功路径被假定为最优化的成形路径，对不同 的 金属而言 ，其可变形性也是不同的。 在 h i l l , n a d a i , d a m a m m e , c h u n g和 r i c h m o n d的工作中 对上述问题都有研究。具体的证明在刘莱英博士的论文2 1 1 中有详细地论述。 ; 2 . 1 . ，最小变形功 h i l l 最早考虑了凸屈服面、 非硬化的刚塑性材料的最小功问题。 其结论是: 只要变形过程中， 变形的主轴对应于固定的物质线， 则变形功取得最小值。 n a d a i 对同一问题进行了 研究， 但其研究中涉及了 经典的l e v y - m i s e : 材料的平面变形， 最后将问题归结为在主应变空间中弧长的比较。尽管他没有提供精确的证明， 西北工业大学硕士学位论文第二章理想变形理论基础 第二章理想变形理论基础 2 . ，理想变形理论 塑性变形是同变形历史相关的。理论上，材料可以经过无穷多变形路线从 初始构形变形到最终构形。当 材料沿 着不同的变形路线变形时， 变形消 耗的功 必然不同。因此可以推测，在满足某些 特定条件的时候， 变形消耗的塑性功为 最小。 均匀变形的理想变形路径定义为塑性变形功取最小值时的变形路径，且沿 最小功路径变形时，物质单元的变形 最小。所以， 在理想变形理论中，假定最 小 功路径就是优化的成形路径是有根据的。即物质元的变形量越大，那么 它越 容易发生破坏;物质元沿最小功路线变形，变形量最小，它破坏的可能性也就 最小，所以是优化的变形。基于理想变形理论的有限元方法就是基于这个假设 进行推导的。需要说明，即使最小功路径被假定为最优化的成形路径，对不同 的 金属而言 ，其可变形性也是不同的。 在 h i l l , n a d a i , d a m a m m e , c h u n g和 r i c h m o n d的工作中 对上述问题都有研究。具体的证明在刘莱英博士的论文2 1 1 中有详细地论述。 ; 2 . 1 . ，最小变形功 h i l l 最早考虑了凸屈服面、 非硬化的刚塑性材料的最小功问题。 其结论是: 只要变形过程中， 变形的主轴对应于固定的物质线， 则变形功取得最小值。 n a d a i 对同一问题进行了 研究， 但其研究中涉及了 经典的l e v y - m i s e : 材料的平面变形， 最后将问题归结为在主应变空间中弧长的比较。尽管他没有提供精确的证明， 西北工业大学硕 卜 学位论文第一章理想变形理论纂础 但他推测出只要应力主轴和 应变主轴 在变形过 程中始终 保持重合， 并相对于 物 质线固定，则当主自然应变比保持恒定时，塑性变形功达到最小值。后来 h i l l 精确地证明了塑险变形功为最小时需满足的两个条件，即塑性变形的主伸长对 应于固定的主物质线;以及塑性变形的主自然应变比保持不变。此时，塑性的 流动理论退化为塑性的形变理论。 c h u n g 和 r i c h m o n d 又证明:a于满足 t r e s c a 屈服 条件的材料仅需满 足最 大伸长主轴线相对于物质固定即可。 那么主要问 题就成为在给定的 初始构形和最终构形 之问，寻找最小塑 性功 路径需满足的条件。推导限于不可压缩的刚塑性材料，其塑性功增量可以通过 有效应力厅和有效应变的增量c i e 表示。 单位体积的塑性功可以表不为: :， 二 j a d s ( 1) 上 式 说 明 ， 单 位 体 积 的 塑 性 变 形 功 可 由 总 的 有 效 应 变 e 一 丁 d e 和 材 料 的 加 工硬化特性q = 到动确定。上式还意味着当变形路线具有最小的 有效应变时， 塑性变形功取得最小值。因此，仅需要寻求变形取得最小有效应变时需要满足 的条件。 2 . 1 . 2理想变形理论在板料成形中的应用 对于大多数金属来说，均匀变形时最小功路线就是优化的成形路线。但在 工 程实践中碰到的多数问 题却是 ( 或者 包含) 非均匀变形。 r i c h m o n d 最 初提出 的 理想 成形理论中，也将均匀变形定义为 整休塑 性功取 得极小值的变形。 对于一般的非 均匀变形过程，认为当 整体塑性功达到最小时， 变形分布 最 为 均匀的理由 是不充分的。 如果材料 本身 不均匀，即使均匀加载， 也会发生 较 9 西北工业大学硕 卜 学位论文第一章理想变形理论纂础 但他推测出只要应力主轴和 应变主轴 在变形过 程中始终 保持重合， 并相对于 物 质线固定，则当主自然应变比保持恒定时，塑性变形功达到最小值。后来 h i l l 精确地证明了塑险变形功为最小时需满足的两个条件，即塑性变形的主伸长对 应于固定的主物质线;以及塑性变形的主自然应变比保持不变。此时，塑性的 流动理论退化为塑性的形变理论。 c h u n g 和 r i c h m o n d 又证明:a于满足 t r e s c a 屈服 条件的材料仅需满 足最 大伸长主轴线相对于物质固定即可。 那么主要问 题就成为在给定的 初始构形和最终构形 之问，寻找最小塑 性功 路径需满足的条件。推导限于不可压缩的刚塑性材料，其塑性功增量可以通过 有效应力厅和有效应变的增量c i e 表示。 单位体积的塑性功可以表不为: :， 二 j a d s ( 1) 上 式 说 明 ， 单 位 体 积 的 塑 性 变 形 功 可 由 总 的 有 效 应 变 e 一 丁 d e 和 材 料 的 加 工硬化特性q = 到动确定。上式还意味着当变形路线具有最小的 有效应变时， 塑性变形功取得最小值。因此，仅需要寻求变形取得最小有效应变时需要满足 的条件。 2 . 1 . 2理想变形理论在板料成形中的应用 对于大多数金属来说，均匀变形时最小功路线就是优化的成形路线。但在 工 程实践中碰到的多数问 题却是 ( 或者 包含) 非均匀变形。 r i c h m o n d 最 初提出 的 理想 成形理论中，也将均匀变形定义为 整休塑 性功取 得极小值的变形。 对于一般的非 均匀变形过程，认为当 整体塑性功达到最小时， 变形分布 最 为 均匀的理由 是不充分的。 如果材料 本身 不均匀，即使均匀加载， 也会发生 较 9 西北工业大学硕 卜 学位论文第-a rt理想变形理论基础 大的应变集中，并导致变形的不均匀。这时，最小塑性功对应的变形往往不是 最为均匀的变形，而是发生局部应变集中的变形。相反，相对极小功对应的变 形一般是较为均匀的变形。因此，在一般的非 均匀变形过程中，必须对理想变 形的定义加以修正，以使得成形零件中的变形分布较为均匀。 修正的理想变形可以表述为总体塑性变形功取得极小值的变形。从这个定 义出发，可以得到非均匀变形时理想变形的必要条件。满足这个必要条件的解 可能有多个。其中既有绝对最小功，也有相对极小功，相对极小功对应的变形 较为均匀。因此，在非均匀变形的 理想变形理论中认为当整体塑性变形功 取得 相对极小值时， 变形得到了 优化。 理想变形理论在板料成形中的 应用称为理 想 成形。 1 .稳态变形时的变形功 若 将板料成形过程看作一个稳态的 变形过程，则可忽略速度变化产生的影 响。此时，一般非均匀变形过程的变形功可以表示为 、 一 f f f -d , , 二 i lj 6 d d t v 一 jlf-, d 4 v ( 2 - 2 ) 式中 五 。 ， d , u 分别为单位面积力， 柯西应力张量、 变形率张量以 及位移; s u t 分别是变形体的表面积、体积以及变形时间: c r 是有效应力;二 是有效应变。 上述变形功显然依赖于变形休内每个物质元的变形历史以及物质元的最 终位: x ( u ) 。若指定了 物质元的变形历史 ( 路线) ，则总变形功仅依赖于 物质 元的 位 移u 或者 u ) ， 也 可以 说w仅 依 赖于 最终 构 形上 的 变形 分 布。 即 13 = u ( u ) ( 2 - 3 ) 在指定变形路线后，变形中需满足的静平衡条件为 西北工业大学硕十学位论文第二章理想变形理论摧础 d w ( u ) _ du 陌 主d v 一 d f , jd u ( 2 - 4 ) 式中积 二 厂 d s ，表示作用在物质元上的表面力。 2 .板料理想成形的极值功条件 最初的理想变形是以变形过程中消耗的塑性功为最小作为应变优化的基 础，但是在非均匀变形时，沿 着绝对最小塑性功路线变形常常有较为严重的局 部应变集中 产生。因此在板料成形问 题中，定义理想成形是在整个塑性功取得 相对极大值的条件下得到。 这个相对极值的条件意味着在成形的最后一刻，变 形体不受边界力的作用而处于平衡状态且变形分布较为均匀。据此，可得整体 塑性功取得极值的必要条件 d w ( u ) d u =0 ( 2 - 5 ) 不管指定的变形路线如何，方程( 2 - 5 ) 中的必要条件都是有效的。指定的变 形路线不同，方程的解也就不同。在理想变形理论中，指定的变形路线为极值 功路线，因而，取得的极小值也是该路线下的极小值。在前文中，将总体塑性 功取得相对极小值时的变形路径，定义为一般的非均匀变形的理想变形路径。 在此定义的前提下，假定极小功路径就是变形优化的成形路线，而不是在所有 可能的 变形路径中， 总体塑性功取得最小值的变形路径。 板料设计的主要任务是，设计产品的毛料形状和尺寸，在设计阶段分析产 品的成形性能，提供优化的成形过程参数等。 此类问 题中， 产品的最终构形和 毛料的初始面轮廓 ( 一般是 平面) 是己 知的， 而成形过程的边界条件并未指定; 相反，物质元的变形路线却是事先指定的，即按照理想成形路线变形，边界轮 廓则作为问题的解输出。 变形体上物质点的初始位置x( 待求) ， 最终构形上对应点的位置x ( 已知) 日 西北工业大学硕一t学位论文第二章理想变形理论基础 以及位移u应满足关系 x = x + u ( 2 - 6 ) 其中x = l x t ,x 2 x 3 是板 料 现时 构 形 上 某 物 质点 的 坐 标， 而x = x x , , x , 则是初始构形该物质点的坐标，u是该物质点在变形前后的位移。其中 x的值 是未知待求的。 当成形件的最终构形 ( 工件完整的构形由轮廓和尺寸边界构成) 完全给定， 而毛坯的轮廓己知，尺寸边界未知时， 方程( 2 - 5 ) 可以 表示为物质点的初始 位置 x的函数，即 d w( x ) = u d义 ( 2 - 7 ) 因为物质点的最终位置x 己知， 故d x = - d u o 由 于物质点位于毛坯面上，等价于 物质点需满足下面的约束条件 x , = x 3 (x 1 , x , )( 2 - 8 ) 因此对于位于毛坯表面的每个物质点x而言，仅有两个分量是独立的。方 程( 2 - 7 ) 也仅是这两个独立分量的函数。 将方程 ( 2 - 7 )表示成分量的形式 a w - , , ( a w a w a c 、， i -几1,=i -+-= imo , ax ; ax ; ax ; ox i, i a w. _ _ ， a w a w 己 y ; 1 . _ ， ， i -a x; =1 +l a x, a x z f a x , a x, a x , ) ( 2 - 9 ) 显然， 当毛坯为 平板时， x j 对x , 、 x 2 的 偏导数为0 。 式中 上标i 指工件表 面上的第j 个物质7 li 将方程( 2 - 9 ) 中的两式相加，得: dgd x =0 ( 2 - 1 0 ) 其中d g， 是初始构形上物质元单位面积上作用的外力，有: 西北工业大学硕士学位论文第二章理想变形理论基础 ( 2 - i 1 ) 武叽践 盯 丝衅丝明丝姚 拟叽雌 dg 理想成形的变形协调条件在参考文献 川中有详细的论述， 在此不再进 行讨 论，而是直接进行公式推导。 互 2 .2多步法理想成形理论的有限元表达 本文研究的多步法包括两种情况，一种是指板料通过多 个工步加工成形， 成形过程需要两套及以上的模具;另一种指的是板料只经过一 个工步即一 套模 具就可以 成形，但是为了 提高 模拟精度， 仍然将这一个工步细分为多个中间过 渡形状进行分析。 与多步法第二种情况相对应的称为一步法口一步法只考虑最终成形的零 件 和初始毛坯两种状态，中间过渡状态不予考虑。由于一步法和多步法所依据的 理论原理都是相同的，因此为了便于描述，只讨论一步法的公式，而多步法只 需将这些公式应用于相邻的两个状态 之间即可。以下的 证明对于这两种方法都 是适用的。 对于板料来说， 某一材料质点m从无 应变状态到等效应变e ， 单位体积上 的变形功为 ， 一 r 6 “ ( 2 1 2 ) 其中v 为等效应力， 整个变形体的变形功为: 、 一 工 w d v 一 工 ( f 6 - d a w , ( 2 - 1 3 ) 由于零件的最终构形是己知的 ( 除厚度外) ，而初始构形的轮廓是己知的， 西北工业大学硕士学位论文第二章理想变形理论基础 ( 2 - i 1 ) 武叽践 盯 丝衅丝明丝姚 拟叽雌 dg 理想成形的变形协调条件在参考文献 川中有详细的论述， 在此不再进 行讨 论，而是直接进行公式推导。 互 2 .2多步法理想成形理论的有限元表达 本文研究的多步法包括两种情况，一种是指板料通过多 个工步加工成形， 成形过程需要两套及以上的模具;另一种指的是板料只经过一 个工步即一 套模 具就可以 成形，但是为了 提高 模拟精度， 仍然将这一个工步细分为多个中间过 渡形状进行分析。 与多步法第二种情况相对应的称为一步法口一步法只考虑最终成形的零 件 和初始毛坯两种状态，中间过渡状态不予考虑。由于一步法和多步法所依据的 理论原理都是相同的，因此为了便于描述，只讨论一步法的公式，而多步法只 需将这些公式应用于相邻的两个状态 之间即可。以下的 证明对于这两种方法都 是适用的。 对于板料来说， 某一材料质点m从无 应变状态到等效应变e ， 单位体积上 的变形功为 ， 一 r 6 “ ( 2 1 2 ) 其中v 为等效应力， 整个变形体的变形功为: 、 一 工 w d v 一 工 ( f 6 - d a w , ( 2 - 1 3 ) 由于零件的最终构形是己知的 ( 除厚度外) ，而初始构形的轮廓是己知的， 西北t业大学硕士学位论文 第二章理想变形理论基础 如果离散化的零件表示为m个单 元，。 个节点， 节点坐标为x ， 对应初始构形 上节点的坐标为 x ，那么其位移: “=x一x ( 2 - 1 4 ) 方程( 2 - 5 ) 可以表示为物质点的初始位w.x的函数: a w( x) a ￥ ( 2 - 1 5 ) 又令: r ( x 1 一 w ( x ) 一 s f二是将作用于各个单元上的等 效节点力列向量集合成总体载荷列向量，从而可得到整个变形体的平衡方程 k r s = f ( 3 - 5 ) 西北工业大学硕士学位论文第三章基于理想成形理论的多步法有限元模拟 式中 ，(x 表 示总 体 刚 度 矩阵 s 表 示总 体 节点 位 移列 向 量 玛表示 总 体等 效 节点 力 列向 量 7 .引入约束 由 于位移约束不存在的原因，上面得到的总体刚度方程一般仍然不可解。 因为不存在位移约束， 变形体可在任意方向 运动， 故总体刚度方 程没有唯一 解。 要想消除方程的奇异性，必须将约束引 入方程。有两 种主要的处理方法:置一 法需要改 变总体刚度阵的某一行和某一列的值，可得到精确的结果;乘大数法 仅需改变阵中一个相应的值即可，比较方便， 但需要选择好该大数的数量级， 过小 会降低精度，过大则容易造成溢出。 s 总体刚度方程的求解 将约束条件引入平衡方程后， 总体刚度方程就成为可求解的正 定阵，可采 用多种线性方程组的解法来求解节点 位移，最基本的解法是g a u s s 消去 法。若 方 程为 非 线 性， 则 还 要考 虑 采 用 迭代 算 法 求 解。 在 很多 解 法中 ， n e w to n -r a p h s o n 方法是最常用的。 夸 3 .2本文有限元建模过程 本文所采用的