（电力系统及其自动化专业论文）基于分形几何和小波变换的弧光故障研究.pdf

a b s t r a c t i np o w e r s y s t e m t h ek i n d s o ff a u l t so f t e no c c u ro nh v t r a n s m i s s i o nl i n e ，a n dt h e s i n g l e - p h a s e t oe a r t ha r c i n gf a u l t sa r et h em a i nf o r m so f t h ef a u l t s m o r e o v e r , a r c i n g f a u l t so f t e ne x i s ti nt h ef o r mo f h i r g hi m p e d a n c e a tf a u l tp o i n ta n dc a nl e a dt os e r i o u s d a n g e r t op o w e r s y s t e ma n dh a m a nb o d y t h e r e f o r e ，i t i si m p o r t a n tt oi d e n t i f ya r c i n g f a u l t sv e r ye f f e c t i v e l y f r a c t a ld i m e n s i o ni so n eo fm a i nf a c t o r so ff r a c t a la n dc h a r a c t e r i z e st h e c o m p l i c a t e dd e g r e ea n df i l l i n gs p a t i a ld e g r e eo f r e s e a r c h e do b j e c t w a v e l e tt r a n s f o r m h a se x c e l l e n tl o c a l i z a t i o nn a t u r ei nt i m ea n df r e q u e n c yd o m a i n ，a n di tc a nc h a n g et h e l i m ea n d f r e q u e n c yw i n d o w sa c c o r d i n g t ov a r i a t i o no f s i g n a l s f r e q u e n c y i nt h i sp a p e lan e wm e t h o db a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n df r a c t a li sp r e s e n t e d ， i no r d e rt od i s t i n g u i s ha m o n gn o r m a ls i g n a l ，a r c i n gf a u l ta n ds w i t c h i n go p e r a t i o n s w h e naf a u l tt a k e sp l a c ei np o w e r s y s t e m ，t h et r a n s i e n tw a v e so fv o i t a g ea n d c u r r e n t a t ed i f f e r e n tf r o mt h ew a v eo fn o r m a ls i g n a lf r a c t a li se f f i c i e n tt oc h a r a c t e r i z em o s t o ft h et r a n s i e n tt y p ef o u n di np o w e rs y s t e ms i g n a l st h ev a r i a b l et r e n do ff r a c t a l d i m e n s i o no fas i g n a li sr e l a t e dw i t hi t s c o m p o s i t i o na n de n e r g y ，w h i c ht a k e s0 n s h a p e vs oi tc a r lc l e a r l ys h o w w h e t h e rt h e r ei sf a u l ti nt r a n s m i s s i o nl i n e w h e na p o w e r n e t w o r ki sn o r m a l l y o p e r a t i n g ，f r a c t a ld i m e n s i o n o f v o l t a g es i g n a l i s1 ，b u tw h e nf a u l t st a k ep l a c e ，i t sf r a c t a ld i m e n s i o nm a yb el a r g e rt h a n1o rs m a l l e r t h a n1b e c a u s eo fa l lk i n d so ff a c t o r ss u c ha st h el o c a t i o no ff a u l to rs a m p l i n gr a t e h o w e v e r , t h e r ea r eo t h e rt r a n s i e n ts i g n a l s ( s w i t c h i n go p e r a t i o n s ) i np o w e rs y s t e m t h e s et r a n s i e n tp r o c e s s e sh a v em a n yc o m m o nc h a r a c t e r i s t i c sw i t ht h a to f a r c i n gf a u l t s o ，a r c i n g f a u l tc a n n o t e f f e c t i v e l y b ei d e n t i f i e d o n l yb y t h a tr e s u l to ff r a c t a l d i m e n s i o n as i g n a lt r a n s f o r m e db yw a v e l e th a st w od i f f e r e n tr e s u l t s o n ei s f r e q u e n c ya n a l y s i s i nd i f f e r e n tc h a n n e l s t h eo t h e ri s e n e r g yr e d u c t i o nw i t h t h e i n c r e a s i n g o fs c a l e t h e s ea r er e l a t e dt ot w of a c t o r so ff r a c t a l d i m e n s i o n ( t h e c o m p l i c a t e dd e g r e ea n df i l l i n gs p a t i a ld e g r e e ) t h ef r a c t a ld i m e n s i o no fa r c i n gf a u l t s i g n a lt r a n s f o r m e db yw a v e l e ti sd i f f e r e n tf r o mt h a to fs w i t c h i n go p e r a t i o n s t h e f r a c t a ld i m e n s i o no f a r c i n gf a u l tw a v ew i l ld e c r e a s ew i t hi n c r e a s i n go fs c a l e ，b u tt h e f r a c t a ld i m e n s i o no f s w i t c h i n go p e r a t i o n sw i l li n c r e a s eo rd e c r e a s ew i t hi n c r e a s i n go f s c a l e i fn o i s ei st h o u g h to fa saf a c t o ri ni d e n t i f y i n ga r c i n gf a u l t ，i ti sag o o d w a y t o e l i m i n a t en o i s ew i t hw a v e l e t a c c o r d i n gt oa n a l y z i n gt h es i g n a lo fe l i m i n a t i n gn o i s e ， i tc a l lc o n c l u d et h a tt h ef r a c t a ld i m e n s i o no fv o l t a g es i g n a lo f a r c i n gf a u l ti sd i f f e r e n t f r o mt h a to fn o r m a ls i g n a la n dw i l ld e c r e a s ew i t hi n c r e a s i n go fs c a l e ；t h e 台a c t a l d i m e n s i o no fv o l t a g es i g n a lo fs w i t c h i n go p e r a t i o n si sa l s od i f f e r e n tf o r mt h a to f n o r m a ls i g n a la n dw i l li n c r e a s eo rd e c r e a s ew i t hi n c r e a s i n go f s c a l e k e yw o r d ：a r c i n gf a u l t ，f r a c t a l ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，s w i t c h i n go p e r a t i o n s ，n o i s e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得玉洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 弘筵 签字日期： 口； 年- 月雩。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索。并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：导师签名 漱起 签字日期： d ) 年f p 月；勺日签字日期：驴，年，z ，月罗口日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 电力系统电弧故障研究的目的，意义及研究现状 电力系统发生故障时，若短路电弧长时间延续，电弧局部温度可达三、四千 摄氏度容易引起短路火灾。因此，准确的判断出弧光故障是否发生具有十分重要 的意义。随着电力系统规模的扩大，高压输电线路日益增多。高压输电线路分布 范围广，穿越地区地形复杂，气候条件多变 1 4 。容易导致故障的发生，这些故 障大多为电弧性故障，而且以单相电弧故障为主。目前在众多的保护算法中，大 多把故障过渡电阻视为一定常电阻未考虑过渡电阻的时变特性，即没有考虑电弧 故障。因此，基于这些算法的保护装置很可能在弧光故障时发生误动作。同时， 系统故障时会产生一个暂态过程，但是还存在着系统正常的暂态过程，例如电容 器开关合闸分闸，负荷的变化等。这两种暂态过程有着很多共同的特点，传统的 保护算法往往不能辨别这两个过程，也使保护装置发生误动作。因此，需要一种 保护算法能够准确，有效的将弧光故障识别出来。 弧光接地或经过一个接地物体( 比如：树木，塔杆等) 接地形成一个高阻故 障。高阻故障常常发生在中压电力系统中( 1 0 k v 3 5 k v 系统) 。在我国3 5 k v 及 以下电力系统中常采用中性点不接地或经消弧线圈接地的运行方式。当发生故障 后，故障电流小，常规的过电流保护很难检测到。高阻故障常常会给电力系统设 备和人身安全带来严重隐患。因此，开展对弧光非线性高阻接地故障的研究具有 重要的理论意义和实用价值。 近年来，国内外学者提出了许多检测弧光故障及其高阻故障的方法。总的来 说，故障辨别方法可以分划分为三大类：频域法，时域法和人工智能法。此外， 时域法和应用分形理论研究弧光接地故障的保护方法正在起步阶段。 ( 1 ) 频域法：将时域的故障电流信号或电压信号转换到频域，然后根据故障信 号频域分量的特点提出的故障辨别方法称为频域法。文献 s i n 用快速傅里叶变 换技术，从畸变的故障电流波形中提取高次谐波分量，提出了一个故障判别方法。 文献 6 提出了一个利用3 次谐波电流辨别故障的方法。为了提高弧光接地故障 保护的可靠性和灵敏度，文献 7 提出了一个多判据检测弧光故障的方法。g i r g i s i 8 】 等提出卡尔曼滤波器从畸形的故障波形中获取各次谐波分量的最佳估计，改进了 用传统的f o u r i e r 方法分析波形所引起的误差。 ( 2 ) 时域法i 9 。o 】：文献 1 2 ，1 3 】根据零序回路与故障相回路拓扑的关系，提出了一 个弧光高阻接地保护和定位的算法。文献 1 4 f f 0 用故障电流的数理统计规律，提 出了一个高阻接地故障保护方法。文献 1 5 】提出了一个架空线弧光高阻接地保护 第一章绪论 的算法。文献 1 6 币l j 用g p s 时间同步技术提出了一个基于故障分量瞬时值的电流 纵差保护算法。算法对高阻故障有较强的判别能力。 ( 3 ) 人工智能方法：e b r o n 【1 7 】，和m o h a m 1 8 】等提出了利用人工神经网络方法探测 高阻故障的算法。文献1 9 1 币l j 用多层前馈神经网络模型辨别弧光高阻故障。 ( 4 ) 时频法：小波分析是近年来发展起来的一个分析暂态信号的有力数学工具， 被广泛用在故障分析，边缘检测，图像处理等领域。文献 2 0 2 2 将小波变换引入 电力系统暂态分析和配电系统保护等研究中，得到了一些很有意义的研究结果。 最近的一些研究工作将注意力集中在弧光故障和开关事件的辨别问题上。文献 2 3 】利用二次样条小波变换对弧光故障和补偿电容开关暂态过程进行了仿真研 究。其主要结论是：在弧光故障电流小波变换的某一尺度下下的弧光点燃和熄灭 的时间点上能清楚的看到一个尖锐的脉冲( 模极大值) ：在小波变换下，在补偿 电容器开关合闸和分闸瞬间的电流波形上，亦可以看到一个尖锐的脉冲( 模极大 值) ：弧光故障信号小波分析的脉冲周期性的出现在弧光点燃和熄灭的时间点上， 而开关信号的脉冲是非周期性的，仅在开关合闸和分闸的瞬间出现。但是，该方 法存在的问题是在弧光故障仿真研究中没有考虑噪声干扰对故障辨别可靠性影 响。如果信号波形被噪声污染，反映弧光故障特性的故障电流小波变换奇异点的 模极大值常常淹没在噪声干扰中。从混有噪声的奇异脉冲峰中辨别周期性的弧光 故障脉冲，仍然有许多问题需要解决。 ( 5 ) 用分形几何理论研究弧光故障：在分形技术中，m a m i s h e v 2 4 】等提出了一个 通过计算信号的分行维数来研究弧光故障的方法。方法主要结论是：系统的暂态 信号波形( 比如负荷扰动等) 和弧光故障信号波形的分维数在1 2 之间；在通 常情况下，弧光故障电流信号波形的分维数比正常电流信号波形分维数大；由于 系统中噪声和其它暂态过程( 电容器开关合闸分闸等) 的存在，仅通过计算分维 数还不能辨别一个弧光故障是否能够发生。 综上所述，经过国内外学者近几十年的努力，故障保护在原理和方法上取得 了长足的进展，但是仍然存在着许多待解决的问题。各种故障保护算法虽各有特 色，但都有其不足和缺点。有的算法在电流很小时不能检测到故障；有的算法不 能将故障与系统正常的暂态开关事件( 如补偿电容器开关的合闸和分闸等) 或负 荷扰动相区别，而给出错误的判断，特别是一些高阻故障。本研究的目的在于应 用小波变换方法和分形几何理论寻找一个实用于电弧故障的有效方法。 1 2 分形几何简介 几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科【2 5 】。在人类理性文明中，它是当 第一章绪论 之无愧的老大哥。数千年来，无论是在思想领域的突破上，还是在科学方法论的 创建上，几何学总是扮演着开路先锋的角色，从古典欧氏空间，解析几何，球面 几何，非欧几何，射影几何，微分几何直到近代的黎曼几何，代数几何，复几 何，辛几何，一般拓扑学，代数拓扑学，微分拓扑学等等无一不是这样。直到现 在，它仍然是一门方兴未艾，蓬勃发展的学科，依然保持着生机和活力。今天， 被誉为开创了二十世纪数学重要阶段的分形几何学，已发展成为科学的方法论： 分形论，并被应用到各色具备的自然科学领域及一些工程技术和社会科学领域之 中，这又是一个有力的佐证。 从数学发展的进程看，十九世纪经典数学研究的对象是欧几里得规则几何结 构和牛顿连续动力学体系：现代数学则是以康托尔集合和皮亚诺曲线为标志 2 “。 这类数学问题不能用欧几里得几何和牛顿连续动力学加以描述。这正是分形几何 产生得土壤。经典几何研究的对象是规则而光滑的几何构型。例如一条几何曲线 总是处处连续，而且处处可微。然而，自然界存在着千姿百态的自然构型：连绵 起伏的群山，奇形怪状的海岸线，蜿蜒曲折的江河，高度无规则的材料裂纹等等。 这样一些变化无穷的曲线，虽然是处处连续的，但并非是处处可微的函数。因此， 传统数学无能为力，把这类几何客体排除在研究之外。事实上，数学家早就发现 这个问题的存在，早在1 8 7 5 年数学家莱蒙德就出，存在一类连续但不可微的函 数，这是经典数学理论陷入危机，于是分形几何应运而生。 如果有人在若干年前问一位物理学家，物理学能解释什么? 那些问题仍至今 悬丽未决? 回答将是简洁的：我们还不能确切的认为宇宙的进化过程和基本粒子 的特性。但对介于这两者之间的事物的认识已令人满意。其实不然，在人类生活 层次，我们刚刚开始认识自然这个层次。因为事实上在这个层次有许多问题至今 物理学也未能做出解释，如湍流和相变问题就是两大难题。分形论对这类难题有 着独特的见解而有利于观察问题的奥秘，加速难题的化解。在化学中高分子化学 是重要的研究方向，工业生产部门已形成庞大的高分子产业，为人类创造财富， 美化生活。高分子化学工业生产中，对凝胶形成的机理，凝胶点的确定，凝胶生 成的控制，成为高分子学家研究的重要课题。但化学和物理学未能在理论上满意 的解决问题。而分形论为化学家深化对高分子的认识提供了有利的工具。在地学 领域，地震，特别是世界上几次大地震给人类带来生命和财产的损失是十分局大 的。但人们从惨痛教训中清醒过来时，深深感到准确预测地震的极端重要性。然 而既往的理论在这里显得苍白无力，一直未能跨越存在的困难。分形论在地震预 测研究的尝试中已取得重要成果，有可能走出一条新路。在实际工程问题中，如 石油开采，一口油井开采到一定程度后，由于地下油压降低，最终导致无法继续 采油，而使油井报废。在实践中人们采取向地下注水的方法以增大压力，继续出 苎二里丝堕 一 油。但到底要多大的注水量。多大的水压力，最终将影响最终产油量的多少。这 里传统的理论未能做出合理的解释。根据分形研究的进展，则有可能大幅度地增 产石油。中医治病的神力为世人所公认，但无论是生物学，生理学，还是物理学， 都未能对中医地治病原理做出满意的解释。分形论则从人体分形着手进行分析， 得出令人耳目一新地结论。所以，分形论引入中医中，必将有力推动中医的新发 展。这里只列举不同学科中少量突出的例子，只是说明传统学科确实面临困难和 挑战。这正是分形论发展的极好时机。 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支，它的研究对象是自然界 和非线性系统中出现的不光滑和不规范的几何形体，分形理论的数学基础是分形 几何【2 7 】。从1 8 7 5 年至1 9 2 5 年，人们已经认识到几类典型几何的分形集，并且 力图对这类集合与经典几何的差别进行描述，分类和刻画。1 9 世纪，尽管人们 已经能区别连续与可微的曲线，但是普遍认为连续而不可微的情况是极为例外 的，并且在理论研究中应该排除这类“怪物”，且特别认为一条连续曲线上不可 微的点应该是极少的。在1 8 7 2 年，维尔期特拉斯证明了一种连续函数在任意一 点均不具有有限或无限导数。这一结果当时曾引起极大震动；但人们认为维尔斯 特拉斯型的函数是极为“病态”的例子。即使如此，人们仍从不同方面推广了上 述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得丰富结果。科赫( v o n k o c h ) 于1 9 0 4 年通过初等方法构造了如今被称为科赫曲线的处处不可微的连续 曲线，并且讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们 认为连续不可微的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是，该曲线是第一个人 为构造的具有局部与整体相似的结构的例子，它被称为自相似结构。 由此可见，分形几何的思想很大程度上来自传统数学的反例。现在它却从正 面进入纯数学之中，并在一些数学领域，如数论，数字的分布，连分数，丢番图 逼近；射影几何中的对偶问题；位势理论中的v i t u s h k i n 猜想的否定回答等问题 中扮演着重要的角色。尤其是，它是描述混沌动力系统奇异吸引子的有力的几何 学。分形几何的诞生，向传统的数学观念提出了新的挑战。它说明，不仅有必要 研究那些光滑的，规则的形，而且更有必要研究那些非光滑和非规则的形。这是 因为，在自然界中，在科学研究的各个领域中，前者凤毛麟角，后者不可胜数。 数学作为自然学科的工具，更应研究那些真实形态的数学规律及其数量关系。分 形几何学为数学工作者开辟了一片广阔的研究领域，提供了用武的园地。分形几 何的奠基者们已在分形集的结构及其分类，测度理论，维数理论，标度变换理论， 动力系统，分形吸引子的结构与维数等方面辛勤耕耘，结出累累硕果，但是还有 不少尚待开掘的宝藏，比如，建立即严格又简单的维数理论及计算方法，很多动 力系统中分形吸引子的维数，m a n d e l b r o t 集的某些性质等等正待有志者去研究， 4 第一章绪论 研究分形集的方法和工具也还有待于建立，发展和完善。 目前，分形维数已被广泛应用于数据压缩，故障诊断，语音识别等许多科学 领域【28 1 。在电力系统中，分形几何理论已被应用于以下几方面： 第一，电力系统负荷特性研究【2 。电力系统负荷特征直接影响电力系统的 稳定运行、经济调度、优化控制等领域，电力负荷系统又是一个多维的非线性系 统，从电力负荷曲线中可以看出其具有不光滑和不可微的特点。经过研究发现， 电力系统负荷具有明显的分形几何特性。 第二，电能质量扰动的检n t 3 0 。通过计算离散信号的分形维数，可以准确 地判断出电能质量的变化。 除此之外，分形理论还被应用在高阻故障的研究方面。 1 3 小波理论简介 小波分析和小波变换是近二十年来迅速发展起来的新兴科学【3 u ，是本世纪 数学研究成果中杰出的代表之一。它作为数学学科的一个分支，汲取了现代分析 学中诸如泛函分析，数值分析，f o u r i e r 分析，样条分析，调和分析等众多分支 的精。由于小波分析在理论上的完美性以及在应用上的广泛性，在短短的几年中， 受到了科学界、工程界的高度重视，并且在信号处理、图像处理、模式识别、量 子场论、天体识别、地震预报、矿产勘测、故障诊断、状态监视、机器视觉、 c t 成像、话音识别、彩色复印、数据电视、音乐、雷达、刑事侦破等十几个学 科领域中得到( 或将得到) 广泛的应用。小波分析为本世纪现代分析学作了完美的 总结。 自1 8 8 2 年傅里叶提出热传导解析理论以来。傅里叶变换成为数学和工程上 广泛使用的工具之一。但傅里叶变换只是单纯的频率分析，适合于长时间内稳定 信号的分析处理。为分析短时间里陡变的信号，发展了窗口傅里叶变换或短时傅 里叶变换。即将信号或函数表示成一系列基函数的叠加，这些基函数是通过对一 个被称作窗函数的时间域上的平移和调n ( i j 频域里的平移) 而得到的。g a b o r 于 1 9 4 6 年最早提出加窗的傅里叶变换，他取的窗函数为高斯窗。加窗的傅里叶变 换尽管为处理瞬变信号提供了一条有效途径，但在应用中也不尽完美。如窗口取 得太小易出现吉布斯现象等。这就促使人们不断寻找更能有效地表示和处理非平 稳信号的工具。为此，小波理论产生了。可以说，经典的傅里叶级数理论认为构 成信号的基本单元为频率不同的正弦波或余弦波。这些正弦波或余弦波充满整个 时间域。在时域上不是局部化的。而小波理论则假定构成信号的基本单元为小波 基，但这些小波基在时间域和频率域上是局部化的，即能量集中在某一时间段和 第一章绪论 频段上，从而可以对信号或函数作局部分析。 目前，小波理论已经被应用于电力系统中，主要在以下几个方面l j q ： 第一，电力设备的状态监视和故障诊断。电力设备状态监视和故障诊断就是 分解和处理电力系统基本设备在运行中产生的各种电磁、机械等物理信号。实时 地判别其状态，以期在故障初期或故障时发出警报。电力设备正常运行时发出的 电磁信号较为平稳，一旦状态异常必然含有奇异，运用小波分析理论对所得的奇 异电磁信号作多分辨分析，将信号分解到不同的尺度上。每个尺度上的分量反映 了原信号的不同频率成份。可以显示出故障信号，从而达到状态监视或故障诊断 的目的。 第二，电力系统谐波分析。电力系统中发生故障时，伴随有高次谐波的产生： 在高压直流输电系统中，换流站的交流侧和直流侧均产生高次谐波。为避免这些 谐波的不良影响。有必要对其加以分析和抑制。小波分析将此类信号变换投影到 不同的尺度上会明显地表现出这些高频，奇异高次谐波信号的特性。 第三，输电线路故障定位。电力系统可靠运行要求及时、准确地得知故障位 置，现有的故障测距方法和故障定位仪已能实现这一功能。但对故障信号的处理 还存在一些问题。如果通过故障录波得到电流、电压信号后。运用小波变换对此 类具有奇异性、瞬时性的故障信号加以分解。在不同的尺度上明显地反映出故障 信号。由此构造出距离函数，进而推断出引起此突变信号的故障时间和地点。最 终反映到故障距离上，达到故障定位的目的。这样将提高故障定位的精度。 第四，抗电磁干扰。电力网产生的大量的电磁干扰信号对提取电力设备运行 行为的特征信号造成一定的困难。小波分析可将包含所需信号和电磁干扰信号的 混合信号应用小波变换分解到不向的尺度上，将与干扰信号相联系的小波系数置 为零( 消除干扰信号) ，再应用重构公式构造出所需的信号，这就实现了所需信 号和干扰信号的分离，达到抗电磁干扰的目的。利用小波分析滤去信号中的白噪 声已有了成功的应用。 1 - 4 本文的主要工作 根据上述国内外科研状况及存在的问题，为了有效地将电弧故障识别出来， 本文提出了一种基于分形几何和小波变换理论的新的弧光分析方法。 目前故障测距的方法主要是阻抗法和行波法。由于噪声等因素的影响，尤其 是在小电流系统高阻弧光故障情况下，使得阻抗法和行波法测距都存在着一些问 题。本文从分形几何理论出发研究故障波形的特点，在一定程度上避开了利用电 压电流值或检测行波波头时间估计故障位置的思路。在弧光故障识别和定位方面 第一章绪论 做了一些有意义的探索。 本文具体工作归纳如下： 第一，研究了两种主要因素，信号的充斥程度和复杂度对时间序列的分形维 数的影响。分别从信号的能量和频率的角度，得出了关于时间序列维数一般变化 规律。 第二，研究电孤自身的特征，利用e m t p 进行仿真。 第三，利用r s 分析法，通过计算分形维数来分析电力系统正常运行和弧光 故障各自波形的特点。进行弧光故障与系统正常运行状态的区分。 第四，研究弧光故障及正常暂态过程( 例如电容器的合闸分闸) 的小波变换 下的特点，结合r s 分析法将二者相互区分开。 第五，考虑噪声情况下的系统正常运行，弧光故障及系统正常暂态( 例如电 容器的合闸分闸) 时的各自波形的特点，利用小波变换将它们进行相互区分。 第= 覃分形几何 2 1 分形几何概论 第二章分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的 线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分 形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。客观自然界中许 多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当 的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反 映着这类层次结构的分形几何学。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺 度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从 而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的诲许 多多尺度( 或者叫标度) ，这叫做“无标度性”的问题。妇物理学中的湍流，湍 流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是 十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许多尺度上 的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态， 就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。 分形几何的研究的对象是欧式空间的一类子集，这类子集结构较复杂。上个 世纪七十年代，美国数学家b ，m a n d e l b r o t 通过对自然界中许多复杂现象层次结构 的研究，提出了一种新的理论分形几何学。近年来，分形理论在地貌形态、 地震活动和细胞繁殖等方面都获得了可喜的应用。m a n d e l b r o t 首先通过对英国几 个海岸线长度的测量，发现了一个向来被人们忽略的问题：测量尺度越小，海岸 线越长，即随着测量所用尺度的不同，海岸线的长度是不确定的，如果用公里作 测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长 度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的 水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制， 取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种 下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子， 使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多 个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。因此他提出 了“英国的海岸线有多长? ”这样一个简单而深刻的问题。 事实上，在自然界存在着许多现象，诸如海岸线、树木、血管和闪电等，当 适当地放大或缩小几何尺寸时，这些现象的整体结构并不改变，即它们具有自相 似的层次结构。m a n d e l b r o t 根据这种自相似性，把自然现象各组成部分以一定方 第= 章分形几何 式与自身整体相似称为分形。 对于什么是分形? 创始人m a n d e l b r o t 曾给分形下过两次定义：h a u s d o r f f 维数严格大于其拓扑维数的集合：其组成部分以某种方式与整体相似的形体。 但是无论采用那一个定义，都排除了某些希望包含在内的集合【3 3 】。如果按一般 的方法，似乎应首先给分形下一个明确的定义，对给定的图形，再根据它是否满 足给出的定义，来判断它是不是分形。但经验己证明，这样的方法对分形几何这 一新兴的数学分支有失之简单化的倾向。正像上述两个定义一样，人们发现这种 简单的定义确难包括分形如此丰富的内容，因此这两个定义也逐渐的不被人所提 及。那么究竟什么是分形呢? 到目前为止还不能给出一个确切的定义，原则上说： 分形是一些简单空间上的一些“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质 3 4 1 ： ( 1 ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( 2 ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨 迹，也不是某些简单方程的解集。 ( 3 ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 ( 4 )一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变 换的迭代产生。 分形几何与传统几何相比有以下的特点：首先，从整体上看，分形几何图形 是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则 的。其次，在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状， 从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似 的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来 描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在 形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。 例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一 部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小 几何尺寸，整个结构不变。 一个分形集由三个要素决定：形状，机遇，维数。人们可以毫不困难的区分 一座山和一朵云，因为它们具有不同的形状。个岛屿的海岸线和科契曲线有近 似的结构和维数，人们仍然能够分辨它们。这种差异的产生是由于海岸线受到自 然界随机因素的作用而显现出的相当紊乱的地貌。相比之下，人们感到一道闪电 远比一条直线复杂性。这种复杂意味着什么? 如何刻画这种复杂性? 分形集的维 9 第二章分彤几何 数回答了这一问题。 2 2 分形维数 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独 立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维， 而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维 空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易 确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。分形理论认为维数也可以是分数，这 类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地 描述客观事物的“非规则”程度，1 9 1 9 年，数学家从测度的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。维数和测 量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。当我们画一根直线，如 果我们用0 维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点：如 果我们用块平面来量它，其结果是0 ，因为直线中不包含平面。那么，用怎样 的尺度来量它才会得到有限值哪? 看来只有用与其同维数的小线段来量它才会 得到有限值，而这里直线的维数为l ( 大于0 、小于2 ) 。对于我们上面提到的英 国的海岸线，其熬体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果 是无穷大，而用平面量，其结果是o ( 此曲线中不包含平面) ，那么只有找一个与 英国的海岸线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1 、小 于2 ，那么只能是小数了，所以存在分数维。 维数是图形最基本的不变量，也是刻画分形集的要素之一。例如，自然界中 的分形集的维数应是标度变换群作用下的不变量。为了刻画曲线占有空间的规 模，其维数应该扩展到l 与2 之间；为了刻画离散点集占有空间的规模，维数应 扩充到0 与1 之间的实数。为了刻画不同曲面占有空间的规模维数应扩展到2 与3 之问的实数。可以说，分形维数的定义体现了分形理论的重要特色，它突破 了拓补学中几何维数都是整数的局限，从整数维到分数维。维数有许多不同的定 义和方法，直观的说，维数是各种分形集充满空间的程度以及复杂度的描述，以 下逐一介绍相似维数，盒维数，信息维数，以及关联维数【3 5 l 。 2 , 2 1 相似维数 对于一些集合，例如c a n t o r 集，v o nk o c h 曲线，s i e r p i n s k i 点集，其局部的图 形与整体是相似的，只要将局部放大一定倍数总可以得到与整体一致的图形，称 1 0 第二章分形几何 之为自相似集。对自相似集f 来说，定义其相似维数为： ( 耻盖 q - 1 ) 其中删是组成f 的相似子集的个数，c 为相似比例系数。若f 为个直线段， 那么它可看作是由比例系数为。：的k 个直线段构成，于是d 。( f ) ：訾= 1 。 庀i n 尼 若f 是个正方形，那么它可看作是由比例系数c = 妻的矿个与之相似的小正方形 构成，那么以( ，) ：粤车：2 。若f 为一个立方体，它可看作是由比例系数。： i n 仁 托 的矿个与之相似的小立方体构成，那么d ，( f ) ：! 三车：3 。这就是说，相似维数 i n c 在这种特例之下与传统维数概念是一致的。 相似维数对具有严格1 9 相似性质的结构是好用的。若生成元固定不变，计算 相似维数十分容易。如果在生成分形的各个阶段( 不同的级) ，生成元的比例不 是常数，或者不可能寻找到恰当的生成元，那么相似维数便失去意义。 2 2 2 盒维数 盒维数也有人称其为容量维数。设f 是平面上的有界点集，根据f 的有界 性，总可以找到一个矩形，使f 包含在这个矩形之中，将这个矩形分割成若干 个边长为s 的小方格，于是必有某些小方格内包含f 中的点，数一数包含f 中的 点的小方格的数目，记为( s ) 。这时定义f 的盒维数也就是容量维数为： d ，( ，) ：l i m i n n ( e )( 2 2 ) 。 r - - - 0 l n ( 1 s 1 我们对平面点集f 引入这个定义，实际上并不限于平面点集。如果f 是一 条直线上的点集，则定义中所蜕的小方格应理解为长度为占的小区间。如果f 是 彤中的一个有界点集，则小方格应理解为中边长占为的立方体。 从定义出发，考虑一个单位长的直线段凡那么用 0 ，1 区间刚好覆盖，。将 【o ，1 区间分割成若干个小区间，每个小区间的长度为占，由于，是【o ，l 】区间上的 全体点，那么每个小区间都有f 中的点，因此包含f 中的点的小区间数目 ( 。= 1 占a 于是按定义得以( f ) = l 。i + m 。i l n n ( n 1 ( 占8 ) ) = 1 。而通常认为线段的维数为1 这正好是一致的。如果考虑一个单位正方形点集f ，分割它为边长为占n d , 方n 第二章分形几何 那么其中包含f 中点的小方格数为( = l i e ：，从而有d 。( f ) ：l i 碑裟= 2 。 l n ( 1 e 同时，定义也提供了在计算机上近似计算点集f 的盒维数的方法。以平面 点集f 为例，计算的准备工作是任意选定一个矩形，使这个矩形完全覆盖点集凡 然后，任意给定一个小的正数占，以s 为边长将覆盖f 的矩形分割成若干个小方 格( 调整矩形的尺寸，这样的分割一定可以作到) 。通过对矩形内所有象素的扫 描。记录含有f 中点的小方格数目，记为n ( 8 ) 。那么比值攀可以看成是 d 。( f ) 的近似值。当加细矩形的分割， 出新的比值。如果两次比值比较接近， 值。 例如以妻取代s 时，重复计算过程，将算 上 则可以认为得到了d 。( f ) 的较准确的近似 这个算法比较简单，值的注意的问题是：覆盖f 的矩形选择的过大将增加 计算量，选择的过小不足以覆盖f 。当f 预先并不明确的情况下，上述算法要结 合分形生成过程同时进行。一般认为只要矩形覆盖，其大小对以( f ) 的计算结 果没有影响，判断计算精度的问题还需进一步研究。 2 2 3 信息维数 在盒维数的定义中，为了求d 。( f ) ，要知道包含f 中点的方格数目。但是这 样的方格包含多少个f 中的点未加考虑。这就是说，d 。( f ) 只意味着表示f 的几 何尺度的信息，而没有反映f 在平面上分布疏密的信息，为了能反映点集在分 布上的信息，定义如下信息维数： 4 ( f ) _ l i r a l n i n ( e ) 万( 2 - 3 ) 其中， ) - 芝。 p il n “l - - 式中p ，是f 中的点落在第i 个方格中的概率。假若所有方格以相等的概率包含f 中的点，则p ，= 1 n ( e ) ，于是1 ( 8 ) = i n n ( e ) 。这样一来，信息维数与盒维数便 是一样的。为计算信息维数，应该计算概率p ，。计算p ，的简单方法是用落在第i 个方格中的点的频率代替概率。 2 2 4 关联维数 第二章分形几何 分形的自相似结构往往表现在统计意义之下，这时，有必要引入关联维数的 概念，这种维数可以从实验中直接测定，从而为复杂分形提供一种手段。 想要计算关联维数，必须要理解嵌入理论和重建相空间思想1 3 。最初提出 相空间重构的目的在于在高维相空间中恢复混沌吸引子。混沌吸引子作为混沌系 统的特征之一，体现着混沌系统的规律性，意味着混沌系统最终会落入某一特定 的轨迹之中，这种特定的轨道就是混沌吸引子。时间序列是一种综合反映，它含 有丰富信息并蕴藏着参与动态全部其他变量的痕迹。为了从单变量时间序列中提 取信息，t a k e n s 提出了对时间序列重建相空间的思想，在另一坐标系中研究时间 序列，使问题得到了简化。根据，t a k e n s 嵌人定理，只要嵌人相空间维数d 足够 大( d 2 d + 1 ) ，它就能足以刻画该尺度层次上的d 维混沌吸引子。 将时间序列x ( t 。) ，x ( t ：) ，x ( r 。) 重新排列在一个d 维的向量空间x ( t ) 中： x ( f ) = x ( d ，x ( t + f ) ，