（系统工程专业论文）时滞随机系统的鲁棒控制.pdf

摘要 实际问题中，大多控制系统不可避免地总要遇到各种不确定性，包括系统本身的 不确定性和外部干扰的不确定性，这些因素都具有随机性。当对系统研究有较高的精 度要求时，充分考虑随机因素的影响就必须用随机模型来描述系统的动态规律。另一 方面，物理系统中普遍存在的时滞现象，往往是造成系统品质恶化甚至不稳定的原因。 因此，研究时滞随机系统的稳定和控制问题具有重要的理论意义和实用价值。 本论文以状态和控制输入多时滞不确定随机系统为研究对象，深入研究状态反馈 鲁棒控制问题，包括鲁棒镇定，鲁棒日控制，保成本控制，h 保成本控制，非脆 弱镇定，非脆弱日。控制，非脆弱保成本控制。主要工作是基于l y a p u n o v 稳定性、时 变有界不确定系统的二次镇定、i t o 公式、s c h u r 辛h 引理、线性矩阵不等式( l m i ) 等重要 理论和方法，把控制问题转化为一个线性矩阵不等式的可行性问题，得到控制器有解 的充分条件，同时给出控制器的显性表达式。借助m a t l a b 中l m i _ z 具箱方便有效地 处理、求解线性矩阵不等式，提供仿真例子验证理论结果的正确性。 关键词：随机系统，不确定，时滞，鲁棒控制，镇定，日控制，保成本 控制，非脆弱控制 a b s t r a c t i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s , m a n yc o n t r o ls y s t e m si n e v i t a b l ye l l c o t m t c f 枷t i e sa n d e x t e r n a ld i s t u r b a n c e s t h e s eu n c e r t a i n t i e sa n dd i s t u r b a n c e su s u a l l yi m p a c ts y s t e m si na s t o c h a s t i cw a y c o n s i d e r i n gt h i s ，i ti sn e c 酷s a r yt oa d o p tas t o c h a s t i cm o d dt od e s c r i b ea n e n g i n e e r i n gd y n a m i cs y s t e n xo nt h eo t h e rh a n d , t i m ed e l a y sa r ef r e q u e n t l yf o u n di nm a n y c o n u v ls y s t e m s ；t h ee x i s t e n c eo ft i m ed e l a y si s u s u a l l yo n eo ft h em a i nc a u s e 8o f i n s t a b i l i t ya n dw o r s ep e r f o r m a n c ef o ras y s t e m t h e r e f o r e , i n v e s t i g a t i n gt h es t a b i l i t ya n d t h ec o n t r o lo fd e l a ys t o c h a s t i cs y s t e m si sv e r yi l u p o r t a l l ti nt h e o r e t i c a la n de n g i n e e r i n g s e 璐e l i sp a p e rc o n s i d e r si m c e r t a i ns t o c h a s t i cs y b t c i l 塔w i t hd e l a y si ns t a t e sa n di n p u t s ；w e m a i n l yf o c u s o i lt h ep r o b l e m so fs t a t ef e e d b a c kr o b u s tc o n t r o li nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ：地 r o b u s ts t a b i l i z a t i o n ；r o b u s t 日c o n t r o l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l , h g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l ；n o n - f r a g i l es t a b i l i z a t i o n ；n o n - f r a g i l eh - c o n t r o l ；a n dn o n - 丘a 鲫eg u a r a n t e e dc o s t c o n t r 0 1 w i t ha p p l i c a t i o n so ft h et h e o r i e sa n d a p p r o a c h e so fl y a p u n o vs t a b i l i t y , q u a d r a t i c s t a b i l i z a t i o no ft i m e - v a r y i n gi l n c 础s y s t e m s ，i t of o r m u l a , s c h u rc o m p l e m e n tl e m m a , l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m d ，w el l r n s f o n nt h ec o n t r o lp r o b l e m si n t oaf e a s i b l ei s s u eo f c e r t a i n _ l m i s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e m sa r eo b t a i n e d 5 皿嵋e x p r e s s i o n so ft h ed e s i r e dc o n t r o l l e ra r eg i v e n v mt h em a t l a bl m ic o n t r o lt o o l b o x , w ep r o v i d es i m u l a t i o ne x a m p l e st oi n u s w a t et h ea p p l i c a t i o na n de f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e dm e t h o d s k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cs y s t e m s ，u n c e r t a i n t y , t i m ed e l a y , r o b u s tc o n t r o l ， s t a b i l i z a t i o n ，h c o n t r o l ，g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l , n o n - f r a g i l ec o n t r o l 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：诈7 月，e l 寿京理工大学硬士学位沦文时滞随机系统的鲁捧控制 第1 章绪论 本章首先简要叙述随机系统和时滞系统的产生背景以及研究现状；然后，介绍了 鲁棒控制理论中一些与本课题相关的基础知识，包括日。控制、保成本控制和非脆弱 控制等方法的形成和研究概况，以及本文所做的主要工作和结构安排；最后，列出本 文中所采用的符号和缩写 1 1 随机系统的概述 一 工业技术、社会经济等领域存在的许多问题，其动态规律皆可用确定模型或随机 模型来描述。确定性系统模型是对实际系统的简化，易于分析和综合，对此类系统进 行研究所需的工具也比较简单；因此，在理想状态下，系统经常被简化为确定性模型。 然而，在工程、航天、交通、经济和管理等实际系统中，总是会存在各种各样的随机 因素的干扰。随着科学技术的飞速发展，原来作为简化的系统模型确定性模型， 远远满足不了工程技术对系统的精度要求。因此，充分考虑随机因素对系统的影响， 有必要用随机模型对系统建模，并用“随机”的观点分析问题和解决问题“1 。 一 进入2 0 世纪以来，为适应物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需要， 有关随机过程的理论和应用的著作大批出现，并取得了丰硕成果。1 9 3 1 年，k o l r n o g o r o v 奠定了随机过程的数学理论基础。1 9 5 1 年，d o o b 的著作论述了随机过程的数学理论。 1 9 5 1 年，i e o 发表了著名的论文嘲，奠定了随机微分方程( s d e ) 的理论基础。随后，对 s d e 的研究收到了广泛重视，已经有好多作者研究了s d e 的稳定性问题m ”。由于随 ：0 1 j _ , y a p u n o v 稳定性理论研究的限制，随机系统的鲁棒控制一直无法得到较大发展。近 年来，随着随机系统日。控制问题的解决啪，随机系统的稳定性和鲁棒控制问题的研 究取得了一定的进展，出现了许多新的研究成果，同时也引进了新的研究方法，并在 实际应用方面取得了明显的成效“”1 1 2 时滞系统的概述 众所周知，在实际系统的控制过程中，作为物理系统的一个固有特性，当物质和 能量沿着一条特定的路径传输时总是会出现时滞。由于时滞的广泛存在( 如气体、液 体的长管路传输，各种化工生产过程以及加热温度控制等) 以及控制系统变得越来越 复杂，我们已经不能对时滞作简单的处理，而是要建立时滞微分、差分方程的数学模 型来研究时滞系统。另一方面，时滞的出现常常会导致系统不稳定和( 或) 较差的系 统性能。因此，我们研究时滞系统，就必须研究时滞系统的稳定性和鲁棒性能问题 绪论硕士论文 近几十年来，国内外的许多专家、学者专注于各种确定性时滞系统的稳定性和鲁 棒性能的研究，取得了许多重要的成果阻”。其中，具有时滞状态和时滞控制的系统 在文献 1 3 】中被考虑，文献 1 7 j 讨论的是系统中存在时变时滞的情况，文献1 1 3 ，1 4 】解 决了时滞系统的无记忆日。控制器的设计问题。这些针对确定系统所取得的研究成果， 为时滞随机系统的研究提供了可行性思路与研究手段目前，已有学者对时滞随机系 统展开了研究，例如：文献 1 5 1 研究的是状态时滞随机系统的鲁棒性能。但是，与确 定性时滞系统大量的研究成果相比，时滞随机系统的研究还不多见，特别是状态和控 制输入多时滞随机系统的研究。所以，对于该类系统的研究亟待展开，并将会成为持 续的研究热点。 1 3 本课题研究方法的国内外现状 在控制系统分析和综合设计问题中，稳定性是首先要考虑的一个系统性能；在闭 环系统稳定的基础上，再追求系统满足一定的性能要求是工程设计的重要目标之一。 具有广泛工程背景的以系统的以范数为性能指标的最优控制理论具有较好的系统性 能，但不足之处是该方法完全依赖于描述被控对象动态特性的数学模型，鲁棒稳定性 有时较差。考虑到系统一定范围的参数不确定及一定限度的未建模动态，许多专家、 学者对不确定系统的鲁棒控制问题进行了广泛的研究。其中，日。优化控制理论在线 性系统设计中受到了极大的关注，并逐渐成为解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善 的理论体系。随着日控制器设计软件包的研制成功，日。控制理论已经成为真正实 用的工程设计理论，并取得了大量的实际应用成果呱“”。文 1 3 ，1 4 将该方法推 广到线性时滞系统，文 1 6 ，1 7 1 中则利用了线性矩阵不等式( u d 技巧给出不确定时 滞系统的日鲁棒控制方法。但是，相对于线性非时滞系统中鲁棒日控制丰硕的研 究成果，不确定时滞系统的鲁棒日控制还有待进一步研究。 另一方面，随着不确定系统鲁棒二次镇定和鲁棒日控制等研究的进一步深入， 保成本控制问题研究再次受到人们的关注。不确定系统的保成本控制最初是f 1 3 c h a n g 等于1 9 7 2 年提出的，随后，大量学者对此做了广泛的研究。文献 2 0 1 采用不确定系 统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方法，提出了二次保成本概念，并给出了最优二次保成 本控制律的设计方法文献 2 1 1 将其推广到了不确定时滞系统，提出了基于r i c c a t i 方 程方法的状态反馈保成本控制律的设计方法。文献 2 2 1 进一步提出了不确定时滞系统 保成本控制问题的l m i 处理方法保成本控制能使不确定系统具有确定的二次型性能 指标上界或使其最小的二次稳定，这就使得人们对系统性能的恶化程度有了一定的了 解。 近年来，鲁棒控制器设计已得到学者们深入的研究，也取得了突破性的进展但 2 南京理工大学硕士学位论文时滞随机系统的鲁棒控制 k e e l 等通过实例指出，传统的鲁棒和最优控制器在具体实现过程中可能会出现不确 定性，从而表现出脆弱性也就是，受到诸多因素的影响( 如由于环境温度的变化引 起元器件老化或失效等原因造成电子元件参数的变化等) ，控制器的参数会发生一定 程度的变化，这极微小的偏移将导致闭环系统的稳定性被破坏和( 或) 性能下降。因此， 所设计的控制器参数必须能够承受某种程度的变化。同样，由于任何一个控制器均不 能满足一个控制系统的所有性能要求，控制器参数的微小变化将会引起其他性能的恶 化。这就要求所设计的控制器系数应有足够的调节余地以满足不同的性能要求，即所 二 设计的控制器应具有一定的非脆弱性。近年来，非脆弱控制问题成为人们感兴趣的课 题哺一棚对线性系统，y a n g 等矧运用硒c c a 疽不等式方法设计了非脆弱日控制器。 文献1 2 6 ，2 7 1 利用l m i 方法设计了具有加性控制器参数变化的非脆弱日状态反馈控制 器。目前，非脆弱控制的研究在国内还只是起步，据了解，只有为数不多的学者对该 课题进行研究。 回顾几十年来鲁捧控制理论的发展和应用，大多数研究成果主要集中在确定性系 统方面( 包括时滞确定性系统) ，较少涉及随机系统，因此，对时滞随机系统鲁棒控 制的研究还需进一步发展。同时，已有的关于时滞随机系统的文献“埘大多集中于只 考虑状态时滞的情况而忽略了控制输入时滞，以及单性能方面的研究多，多性能约束 下控制问题的研究并不多见；另外，对控制器在实际应用中可能出现的不确定性在时 t 滞随机系统背景下的研究几为空白因此，对时滞随机系统鲁棒控制的深入研究是显 而易见具有一定的挑战性。另一方面，在处理问题的方法上，考虑到在解r i c c a t i 方法 获得的r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整， 有时，即使问题本身是有解的，也找不出问题的解，这给实际应用带来了极大的不便； 而l m i j y 法可以很好地弥) b m c c a t i 方法的上述不足，即在解l m i 时，不需要预先调整 任何参数和正定对称矩阵。最近几年，国内外很多学者处理问题的方法已从r i c , c a t i 方法过渡到先进的u 江肪法“刎基于上述分析，本文将利用l m i 方法研究时滞 随机系统的鲁棒控制问题。 1 4 本文的研究内容和结构安捧 本学位论文，主要研究的是状态和控制输入多时滞随机系统的鲁棒控制问题。关 于随机系统的稳定性，一般有依概率稳定性，均方稳定性和几乎必然稳定性。考虑到 工程应用中的方便，本文是基于均方意义下的稳定性，研究鲁棒控制问题，给出了各 种新的有意义的结果全文总共分为六章，具体研究内容如下： 第l 章介绍了时滞、随机系统的研究背景和概况，与本课愿相关的常用控制方 法的研究现状和处理问题的u 讧肪法，以及本文的主要工作和结构安排，最后，列出 3 硕士论文 文中所采用的符号和缩写。 第2 章研究一类状态和控制输入多时滞不确定随机系统的鲁棒随机镇定和鲁 棒随机日控制两个问题。首先，给出鲁棒随机稳定和鲁棒随机日控制的相关定义； 然后，利用相关的引理( 如s c h u r 补引理等) ，以l m i 的形式分别给出鲁棒随机镇定 和鲁棒随机日。控制问题有解的充分条件；最后，根据数值算例中提供的系统信息， 借助m a t l a b 中的l m i 工具箱，求解定理2 4 1 中l m i 系统，验证文中提出方法 的可行性。 第3 章研究一类状态和控制输入多时滞不确定随机系统的保成本控制和日 保成本控制两个问题。首先，对时滞随机系统的保成本控制和圩保成本控制问题 进行分析和定义；然后，借助相关的引理( 如s c h u r 补引理等) 和伊藤( i t o ) 公式，把 控制问题转化为一个l m i 系统的可行性问题，得到这些问题可解的充分条件；最后， 提供的数值算例结果表明，定理3 4 1 中提出的控制器设计方法的有效性。 第4 章我们以状态和控制输入多时滞随机系统为研究对象，设计控制器使得该 系统非脆弱随机可镇定和非脆弱随机日可控。首先，根据非脆弱控制定义，对非脆 弱随机镇定和非脆弱随机点乙控制问题进行分析；然后，结合相关引理( 如s c h u r 辛b i j i 理等) ，利用l m i 方法得到上述问题可解的充分条件，给出控制器的显性表达式；最 后，利用m a t l a b 仿真，验证定理4 4 1 所提出的方法是简单有效的。 第5 章以时滞随机系统为研究对象，综合考虑非脆弱和保成本两种控制方法的 优点，研究该系统的非脆弱保成本控制问题。文中基于l m i 方法得到了这一问题可解 的充分条件，并给出非脆弱保成本控制器的设计方法。最后，利用数值算例中已知信 息，借助m a t l m 的l m i _ t 具箱，处理上述问题得到的l m i 系统，获得有关控制问 题的解，并对所得到的结果进行仿真验证。 第6 章对本文的简单总结和思考，以及该课题还有待解决问题的展望。 1 5 本文所采用的符号和缩写 本文中，所应用的符号和缩写的含义如下： 对于实对称矩阵x 和l ，x y ( x y ) 表示矩阵x y 半正定的( 正定的) ； x s y ( x y ) 表示矩阵x y 半负定的( 负定的) ；j 是适当维数的单位矩阵；肘7 表 示矩阵j l f 的转置；肘1 表示矩阵肘的逆；r 4 表示辟维实数向量；r “表示n x m 实 数矩阵集合；d i a g ( ) 表示对角矩阵；三 ) 表示数学期望；厶【o ”) 表示定义在 o ，一) 上 的平方可积向量函数空间；h 表示欧几里德向量范数；，表示一般岛【o ，* ) 范数； ，f ，p ) 是概率空间，其中q 为样本空间，f 为事件域，p 为可测空间缸f ) 上的概 率测度；当矩阵维数没有特别说明时，认为其维数与矩阵代数运算相兼容。 4 南京理工大学硕士学位论文时滞随机系统的鲁棒控制 第2 章时滞随机系统的鲁棒镇定和鲁棒巩控制 本章研究了一类状态和控制输入多时滞的不确定随机系统的鲁棒随机镇定和 鲁棒随机也控制两个问题。首先，给出系统鲁棒随机稳定和鲁棒随机正乙控制的相 关定义；然后，以l m i 的形式分别给出鲁棒随机镇定和鲁棒随机月r - 控制问题有解 的充分条件，并且得到无记忆状态反馈控制器的表达式；最后，根据数值算例中己 知的系统信息，借助m a t l a b 中的工具箱进行系统仿真，获得有关控制问题的解， 验证文中提出方法的可行性，并给出系统开环和闭环曲线以及干扰抑制比与时间的 关系曲线图。 2 1 引言 在控制理论中，研究线性系统的镇定和日控制具有重要的理论指导意义和工 程实用价值。多年来，国内外许多专家、学者对此进行了广泛的研究，针对不同的 系统形成了许多处理方法，并取得了大量的研究成果“4 “4 怫棚。然而，经典的反馈 控制器设计需要已知被控对象的精确模型( 包括模型的结构和其中的参数) ，事实 上，这在实际工程中往往是很难办到的。因此，基于如何设计控制器足，使得当一 定范围的参数不确定性及一定限度的未建模动态存在时，闭环系统仍能保持稳定并 具有所期望的性能指标的思想( 如图2 1 1 ，其中p 代表对象p 的不确定部分) ，鲁 棒控制逐渐成为控制理论界研究的热点。近年来，有关不确定系统的鲁棒镇定和鲁 棒 - 控制问题的许多解决方案已经提出“”。其中，文献 1 6 。1 7 】已把鲁棒乙控 制理论拓展到时滞系统的研究中 wz 图2 1 1 不确定对象控制系统结构框图 另一方面，由于随机系统在科学和工程的许多领域有重要的应用，因此，大量 的用于研究确定性系统的方法和理论己逐渐被推广到随机系统的研究中，并取得了 一些很好的成果“。4 嘲其中，文献【1 1 ，1 2 】研究了时滞随机系统的随机稳定和镇定 问题文献 1 5 1 主要研究的是时滞不确定随机系统的鲁棒随机镇定和鲁棒随机日控 制的问题。但是，上述文献只是基于系统中存在参数不确定和( 或) 状态时滞的惰 5 + 敏 2 2 系统的描述和预备知识 考虑如下状态和控制输入多时滞的不确定随机系统： 础) = 【( a + a o 黼) + o + a a 。o ) h o 一) + 慨+ 蜀o m ( f ) + ( 目。+ 口。o m o f 2 ) + 或v ( r ) 1 出 + 【( e + e o ) h o ) + ( 日+ 日( f ) ) 毋一q ) + ( b ：+ 口：( r m ( f ) + ( 口。+ a b 2 。o ) k o 一) + 巨v ( r ) 】d 彩( f ) c 2 2 1n ) z o ) = c m ) + d “( f ) ( 2 2 1 占) 如) = 矿o ) 、以e 【_ ，0 】 ( 2 2 1 r ) 其中，如) 时是系统的状态变量，“o ) 吼“是系统的控制输入，止) 吼是定义在 厶【0 ，* ) 上的外部干扰输入，z o ) 吼t 是系统的控制输出。不失一般性，假设嘶) 是 定义在完备概率空间，f ，尸) 上的一维( 1 d ) 标准布朗( b r o 、粕) 运动，满足兰忙础) ) = 0 和兰臼嘶) 2 = 出系统中，a ，如，e ，易，且，钆，岛，易。，b ，e v ，c 和d 是已知的适当维数的实常数矩阵，a o ) ，九o ) ，e o ) ，a e d o ) ，a b o ) ，且。( r ) ， a b ：o ) 和岛。o ) 是未知的不确定时变矩阵函数，满足下面形式 幽( f ) 地o ) 缸o ) 战( f ) 蝇o ) 蝇。o ) 曲：0 ) a b 2 。o ) 】 = 仃g ) 【ln 2n 3n 4n 5n 6n 7n 8 j ( 2 2 2 ) 其中m ，l ，n 2 ，3 ，4 ，n s ，6 ，n 7 和8 是己知的适当维数的实常数矩阵， f o ) 吼“是l e b e s g l l e 可测未知的时变矩阵函数，且满足 ，o ) r ，o ) sj ( 2 2 3 ) 毛和f 2 分别是状态和控制输入有界常时滞，满足 o f l ，0 o ，当 s u p 三1 2 0 ，都有 ，- ：f ( t 1 2 0 ，不确定随机系统( 2 2 1 ) ( 其中，“o ) = o ) 在干扰衰 减度y 下是鲁棒随机稳定的，系指系统是鲁棒随机稳定的，且在零初始条件下，对任 意非零向量v ( f ) 厶【o 一) 和所有容许的不确定a ( f ) ，她o ) ，e ( f ) 和毛矗) ，均有 l z ( f 。：加o ：， 其中 7 ， 眺：= ( 三n ( f 1 2 出垆 引理2 2 1 ( s c h u r 幸卜弓l 理) 对给定的对称矩阵s = 瞪乏 ，其帆是，r 皇隹 的。以下三个条件是等价的： ( i ) s 0 ； ( i i ) s i l 0 ，s 2 2 一s 二昭s 1 2 o ； ( i i i ) s 丝 o 和向量x , y e 卵，有 2 x r d f s y e - l x r d d r x + g y s 7 s y 2 ) 对于任意标量 0 ，如果使w 一由d r 0 成立，有 ( a + d f s f w 。1 ( a + d 殿) 眵一缈d r r a + r ss 7 时滞随机系统的鲁棒镇定和鲁棒日二控制 硕士论文 2 3 鲁棒随机镇定 本节中，我们将研究具有状态时滞和控制输入时滞的不确定随机系统的鲁棒随机 镇定问题。 定理| 2 孔l 时滞不确定随机系统( 2 2 1 a ) 和( 2 2 1 c ) ( 其中，v o ) = o ) 鲁棒随机可镇 定的充分条件是，如果存在标量岛 0 ，岛 o 和矩阵q i o ，q 2 o ，x 0 和y 使得 下面的l m i 成立： 二 q a dq l b l d y x q i 一q l 00 y 7 吒0一q 2 0 x00 一q l l x + 5 y 2 q in e y 0 3 x + 7 y 4 q in 8 y 0 e x + b 囊 e t q tb 2 i y 0 】( n j + y t n j q t n r y 7 ： 0 8 l l 0 o x n j + y r n j q 。町 y 1 峨 o 0 一，l o 其中 q = a x + x a r + 蜀y + r r b l r + e l m m r + q 2 在此情况下，相应的状态反馈控制器取为 “o ) = 础l k = y x 一 x e 7 + 】，7 磁 q 。砑 y r b 乞 o 0 0 ，m m t x o ，岛 o ，玎o ) = i 托) r 如一f l 厂如一f 2 ，j 和引理2 2 2 ，有 碘) r p 幽；( t ) + 哦( f 一f 1 ) + 蛆。o 贼一) 】 = 2 工拶p 虬( f ) 地( f ) 蝇。0 皿) 7 0 ) = 2 如) rp m f ( t ) n 。巩) 毛如) r p 删7 嘲) + 百1 7 7 ( f 厂二l ：玎( f ) ( 2 3 11 ) 和 陋：( r h ( f ) + 易o h o 一_ ) + 8 。o b ( f 一吒) i r 尸仕k ( c h o ) + 日( f h ( f q ) + 口：。o ) m 一乃) 】 = 刁( f 厂旺( f ) 目o ) o 妒p 陂e ) 局( f ) 最。e ) j 7 ( r ) = 叩( f ) r 瞳。+ 伊o ) ，；】r 尸【e 。+ 卵( f ) ，。b o ) s ，7 0 ) r k 乙( p 4 一f ，2 m m 7 r + f 二3 。j 7 0 ) ( 2 3 1 2 ) 其中 l ；i n l + 5 kn 2n 6 置】， 0 = 阪乜b u 置】，n ，。= 【3 + ，k 8 置】 ( 2 3 1 3 ) 因此，由式( 2 3 1 0 ) 式( 2 3 1 3 ) ，可得 工，( 】电) f ) s ，7 0 ) rr 刁o )( 2 3 1 4 ) 其中 f 豆玳 r = f 鬈p - - 0 。 k 7 观p 0 $ 9 “ u 乓 强 n q 删 p r o r 蛆 嘘 百 置 ：吼曼也 硕士论文 因此，根据定3 ( 2 2 1 和文献【7 】， 证毕。 + a r p + t p m m 7 p + 么+ 龟 ( 2 3 1 6 ) 、右乘矩阵d i a g ( p ，磊，p ，) ，并运 由式( 2 3 1 4 ) 可知，对于任意祀) 0 ，有 l y b o ) f ) 0 ，q 2 0 ，x 0 和y 使得下面的l m i 成立： 麒+ x a 7 + 马y + l r 7 砑+ q 2 如q lb 1 j y x x e 7 + l r 7 霹 q 。一q 。0 0 q 1 e ； 。y 7 b 二0- p 2 0 y r 屹 x00 一q 1 0 e x + b 2 ye dq ib 2 d y 0一x 在这种情况下，相应的适当维数的状态反馈控制器为 “o ) = 础) k = 一 2 4 鲁棒随机巩控制 0 ，如果存在标量 毛 0 ，乞 o 和矩阵q i 0 ，q 2 o ，x 0 和y 使得下面的i 成立： 瞄z 珈 亿4 。 l7 矾l 、v ”一” 其中 南京理工大学硕士学位论文 w = 2 = z = q a d q lb l d yb ，l q 。灯- q , 0 0 l y 7 观0- q 2 0 l l 曰j 0 0 - f t j d i a g ( - q i ，- i ，- 7 1 1 ，一乞，岛m m 7 - x ) xx c t + y t d t x n j + y t n jx n j + y t n j 00 q l n 。tq 。町 00 y r n ：y r n ； oo0o ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) x e 7 + y 7 8 2 t 1 巾q t e 乞z al 眨4 二 口j q 由式( 2 3 2 ) 给定，则系统( 2 2 1 ) 是鲁棒随机 乙可控的 在此情况下，相应的状态反馈控制器取为 “( f ) = 戤o l k = y x 4 ( 2 4 5 ) 、 证明。将状态反馈控制器( 2 4 5 ) 作用于系统( 2 2 1 ) ，得到闭环系统形式如下： 出o ) = k ( f ) + 屯( f 一毛) + 气( f 一f 2 ) + b ，v ( f 龇 + 阪( f ) + o 一q ) + ( f 一乞) + e v o 凇础) ( 2 4 6 4 ) z o ) = ( c + d k ) 。 ( 2 4 6 占) 其中，a x ( f ) ：九o ) ，b 1 。( f ) ，e ；o ) ，e a t ) ，b ：。o ) 由式( 2 3 5 ) 给定。 很显然，由式( 2 4 1 ) 可以推导出线性矩阵不等式( 2 3 1 ) 是满足的。因此，根据定 理2 3 1 ，可知闭环系统( 2 4 6 a ) ( 其中，v 0 ) = o ) 是鲁棒随机稳定的。 接着，我们将证明闭环系统( 2 4 6 ) 在零初始条件下( 当t e - 从0 】时，加) = 0 ) ， 对于任意非零向量v o ) 岛【0 ，* ) ，总有： 4 z o 。：m c , 1 1 ： ( 2 4 7 ) 事实上，我们可根据式( 2 3 6 ) 取l y a p l l i l o v 函数形式同式( 2 3 8 ) ，应用如公式m ，有 d y 0 0 l f ) = y ( 如l f + 2 面) r p 陋i ( r h c f ) + 易o ) 撕一f 1 ) + b ：。o ) 谁一f 2 ) + e 嘶m 吐如) ( 2 4 8 ) 其中微分生成元为 、 l v g o l f ) = 2 如) r p 。m ) + 。如一f 1 ) + b i 。础一乃) + 口，v ( c ) 1 + 2 x ( t ) r p a a , o ) 如) + a 。o ) 如一f 1 ) + 乩( f ) 咒砸一f 2 ) 】 + 陋。( f ) + l ( f 一f 1 ) + ( f 一f 2 ) + e m ) p 陋i ( f ) x ( f ) + 日( f ) x ( f f 1 ) + b 。o k o f 2 ) + e v ( f ) 】 + 面) r 匦+ 幺) 一曲一f 1 ) r 幺面一q ) 一如一) r 幺如一f 2 ) ( 2 4 9 ) 由式( 2 3 7 ) ，毛 o ，岛 o ，f ( f ) = k 厂如一瓦，如一乞厂v o r f 和引理2 2 2 ， 1 1 棒镇定和鲁棒也控制硕士论文 和 2 x ( t f p a a x ( r h o ) + 九o ) x ( c o + a a , 。( r ) 足砸一f 2 ) 】 = 2 x ( t f p a a 。o ) 九( f ) 马。c f 遮o p ( f ) = 2 x ( t yp m f ( t 溉。乳) s 岛施y p m m 7 啦) + f f ( f ) r 膏二膏墟f o )( 2 4 1 0 ) 其中 费。= 【l + 虬足n ：n 。ko 】， 艮= ? 恒【e lb m xe 3 由3 x = 心，+ n 1 k 因此，由式( 2 4 9 ) 式( 2 4 1 2 ) ，可褥 工y g o ) ，f ) f ( f ) r 王，f o ) 其中 in s ko 】( 2 4 1 2 ) ( 2 4 1 3 ) 甲 曩p _ ! p q a d l p b 垂i d ：k p b , _ - i p 00 j 4 - g 一。- i k r 0 0bp000 对二费。 v 钙_ q l 灯f 齑 1 i 既p一垂： i 1 “ i：i 且西由式( 2 3 1 6 ) 给定。 令 7 = 三b k 汀z ( f ) 一严v v ( f 她j ， 运用类似文献【1 5 】定理2 的证明方法，可以得到 7 s 三酊b r z ( f ) 一矿v ( f ) r v o ) + y l t 她 ， ( 2 4 1 5 ) ( 2 4 1 6 ) 把式( 2 4 6 b ) 和式( 2 4 1 3 ) 代入式( 2 4 1 6 ) q = ，有 了兰 f 如) r k ( ( c + o r y ( c + 腑) ，o 0 一广，) + 甲h ( 2 4 1 7 ) 另一方面，将式( 2 4 1 ) 两边左乘、右乘矩阵d i a g ( p ，磊，p ，j ，j ，j ，) ， 时滞随机系统的鲁棒控制 并用s c h l 】r 补引理，可以得到砌g ( ( c + n r 厂( c + n r to ，0 ，一广，) + 1 王r 0 。q 2 0 ，x 0 和y 使得下面的u i 成立： 如q 1 q 1 a ：一q l ，吃0 碍0 盖0 c x + d y0 e x + b e l q l b u yb。x x c t + y t d t x e t + y r 哦 00 0 0 q i e ： 一q 2 0 0 0 y 1 明4 0 一矿，0 0 00 一q t 00 000一10 b 2 je，0 0一x 0 ，设计一个无记忆的状态反馈控制器，对于系统容许的所有不确定， 闭环系统在干扰衰减度，下是鲁棒随机稳定的。两个定理均以l m i 的形式表达，可以 利用m a = n 。a b 中的l m i 工具箱方便、简单的求解。最后，给出了数值算例验证了定理 2 4 1 的有效性，绘制出系统开环、闭环状态和控制输出响应曲线以及干扰抑制比与时 间的关系曲线。 南京理工大学硕士学位论文 第3 章时滞随机系统的保成本控制和玩。保成本控制 本章研究具有状态时滞和控制输入时滞的不确定随机系统的随机保成本控制 和随机日保成本控制问题。首先，给出时滞随机系统的保成本控制和h 保成本控 制问题的定义和分析；然后，利用相关的引理( 如s c h u r 补引理等) 和伊藤( i t 0 ) 公式， 把控制问题转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，得到这些问题可解的充 分条件并以l m i 的形式进行表述；最后，提供数值算例说明，定理3 4 1 中提出的 控制器设计方法的有效性，并利用m a t l a b 绘制出相关的仿真曲线。 3 1 引言 事实上，系统实际运行时不可避免地总会存在大量不确定因素和外界干扰，而这 些正是引起系统不稳定和系统性能恶化的主要根源之一。基于这一原因，系统的鲁棒 控制问题逐渐得到了深入的研究。近年来，在鲁棒二次镇定、鲁棒日。控制等方面己 取得了一系列重要的研究成果油“1 。同时，不确定系统的保成本控制问题也再次 受到了人们的重视m “1 。不确定系统的保成本控制最初是由c h 锄g 等”1 于1 9 7 2 年提出 的；基本思想是：考虑到闭环控制系统的鲁棒性能和抗干扰能力，设计控制器，不仅 保证闭环系统是鲁棒稳定的，而且保证由于系统不确定性引起的恶化后的二次型性能 指标函数值具有一个确定的上界。基于这一思想，许多学者针对各种系统做了广泛的 研究。文献【2 0 】采用不确定系统二次镇定的黜c c a l i 方程处理方法，提出了二次保成本 概念，并且给出了最优二次保成本控制律的设计方法。文献 2 1 1 将其推广到了不确定 时滞系统，提出了基于r i c c a 6 方程方法的状态反馈保成本控制律的设计方法。文献 2 2 】 进一步提出了不确定时滞系统保成本控制问题的线性矩阵不等式处理方法。保成本控 制理论一个最大的优点就是：在保证闭环系统鲁棒稳定的同时，保证了由于系统的不 确定性引起的恶化后的二次型性能指标仍小于事先估计的性能指标上界，这就使得人 们对系统性能的恶化程度有了一定的了解 然而，相对于确定性系统保成本控制问题的研究，随机系统的保成本控制问题的 研究成果还很少嘲本章中，我们在确定性系统保成本控制问题研究的基础上，以状 态和控制输入多时滞的不确定随机系统( 其中，假定系统中所有描述不确定性的矩阵 是时变的但满足范数有界) 为研究对象，利用伊藤( i t 0 ) 公式等讨论该类系统的随机保 成本控制和随机日保成本控制问题中控制器的设计。随机保成本控制的主要目的是 设计一个线性无记忆的状态反馈控制器，使得对于所有容许的不确定性闭环系统是均 方渐近稳定的，同时使给定的二次型性能指标函数具有确定上界在随机日保成本 控制问题中要求设计的控制器不仅使闭环系统均方渐近稳定和二次型性能指标函数 1 7 时滞随机系统的保成本控制和巩保成本控制 硕士论文 具有确定上界，同时还要满足给定的王乙性能指标。 3 2 系统的描述和预备知识 考虑由下面状态方程描述的状态和控制输入多时滞不确定随机系统： 础) = 【似+ a o ) l 谁) + ( 以+ 九o 胁0 一彳1 ) + ( 日+ 且( f ) x o ) + 慨。+ b 。o m ( 1 一) + 风v ( f ) 】d f + 【( e + 丝o ) l m ) + 池+ 日o ) ) 如一气) + ( 吃+ b ：( f m o ) + ( b 。+ a 如。o ) g f 2 ) + e ，v o ) 】d 吐如) ( 3 2 i n ) z p ) = c 以) + 肌( f ) ( 3 2 1 功 如) = 加)v t e 卜。o 】 ( 3 2 i n ) 其中，如) 吼“是系统的状态变量，“o ) 吼”是系统的控制输入变量，v o ) 吼是定 义在厶o , - ) 上的外部干扰输入，z ( r ) 魂一是系统的控制输出。不失一般性，假设嘶) 是定义在完备概率空间位，f ，p ) 上的一维( 1 d ) 标准的布朗( b r o w n ) 运动，满足 e 弘嘶) ) = o 和雌嘶) 2 j = 出系统中，a ，e ，如，日，且，b 2 ，日。，b 2 t ，b ， e ，c 和d 是己知的适当维数的实常数矩阵，a ( f ) ，a e ( f ) ，地o ) ，日o ) ，a 8 1 0 ) ， a b ：o ) ，a o ) 和a o ) 是未知的不确定时变矩阵函数，假定满足下面形式 幽( f ) e g ) 她o ) 蛾( f ) 曲，( f ) 衄：o ) 蛾o ) ( f ) 】 = 肥o 批n 2n 3n 4 n 5 n 6n 7n sj ( 3 2 2 ) 其中m ，n t ，2 ，3 ，4 ，肌，n 6 ，7 和n s 是已知的适当维数的实常数矩阵， f o ) 吼“是l 曲鼯9 1 1 e 可测未知的时变矩阵函数，满足 f ( f r f o ) f 、口，f ( 3 2 3 ) f l 和乞分别是系统状态和控制输入时滞，有 o f l ，o 0 为给定的加权正定对称矩阵。 定义3 z1 考虑时滞不确定随机系统( 3 2 1 a ) 、( 3 2 1 c ) ( 其中，v ( f ) = o ) 和性能指 标函数( 3 2 5 ) ，设计控制器，使得对所有系统容许的不确定，闭环系统依定义2 2 1 是 鲁棒随机稳定的，且性能指标函数( 3 2 5 ) 有一确定的上界，则称系统是随机保成本可 控的，且相应的控制器为保成本控制器 定义3 z 2 绘定y 0 ，对于时滞不确定随机系统( 3 2 1 ) 和性能指标函数( 3 2 5 ) ， 设计控制器，使得对所有系统容许的不确定，闭环系统依定义2 2 2 在干扰衰减度，下 1 8 南京理工大学硕士