（航空宇航科学与技术专业论文）基于三体平动点的低能转移轨道设计研究.pdf

国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 摘要 三体平动点是一种宝贵的空问资源，其应用价值在新世纪太空探索中得到各 航天大国的广泛重视。本文以此为背景，在我国平动点技术研究起步伊始之时， 重点研究平动点周期轨道及不变流形转移轨道设计问题。 首先，建立了圆限制性三体轨道动力学方程，并将其无量纲化。从分析动力 学方程入手，得出雅可比积分、零速度面和平动点等重要概念，讨论了其物理意 义，为轨道设计奠定基础。 然后，分别研究了五个平动点的稳定性，在此基础上给出平动点l y a p u n o v 轨 道的一阶近似解和h a l o 轨道的三阶近似解，并分析了其精度。推导了一种普适的 非线性周期轨道迭代算法，以近似解为初值，计算了地月系统和日地系统厶、厶平 动点的l y a p u n o v 轨道和h a l o 轨道，验证了算法的有效性。 进而，讨论了与平动点周期轨道紧密联系的不变流形的概念和计算方法，同 时研究了l a m b e r t 问题在三体环境中的特点，并给出一种有效的迭代计算方法。在 流形轨道和三体l a m b e r t 轨道的基础上，提出一种基于不变流形的转移轨道设计方 法，具体分为一次冲量转移和两次冲量转移两种情况，并以地月系统为例，计算 了地球月球和厶厶平动点h a l o 轨道间的转移轨道。 最后，作为平动点周期轨道、不变流形轨道和l a m b e r t 轨道的综合应用，设计 了一条可以完成日地空间观测和与彗星相遇双任务的探测器轨道，结果表明，三 体环境可以生成更加多样的轨道，完成更多的空间任务。 本文在圆限制性三体动力学基础上，对平动点周期轨道和不变流形的研究取 得一定成果，可为平动点技术的进一步深入研究提供参考。 测 主题词：三体问题；平动点；h a l o 轨道；l y a p u n o v 轨道；不变流形；深空探 第i 页 国防科学技术大学研究牛院硕十学位论文 a b s t r a c t t h r e e - b o d yl i b r a t i o np o i n t sa r ev a l u a b l es p a c er e s o u r c e s ，w h i c hh a v ea r o u s e dg r e a t i n t e r e s ta n di n t e n te v e rs i n c et h i sc e n t u r yb e g a n w i t hd o m e s t i cr e s e a r c hh a v i n gj u s t b e e ns t a r t e du p ，t h i st h e s i sf o c u s e dm a i n l yo nt h ed e s i g nm e t h o do fl i b r a t i o np e r i o d i c o r b i t sa n dr e l a t e di n v a r i a n tm a n i f o l d s f i r s t , c i r c u l a rr e s t r i c t e dt h r e e b o d yp r o b l e m ( c r 3 b p ) w a sf o r m u l a t e da n dm a d e d i m e n s i o n l e s sf o r c o n v e n i e n c e i m p o r t a n tc o n c e p t s s u c ha sj a c o b i i n t e g r a l ， z e r o v e l o c i t ys u r f a c ea n dl i b r a t i o np o i n t sw e r ed e d u c e df r o mt h ed y n a m i c sa n dt h e i r p h r s i c a lm e a n i n gw e r ed i s c u s s e d ，p r o v i d i n gt h ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ef o rt r a j e c t o r y d e s i g n t h e n ，t h es t a b i l i t yo ft h ef i v el i b r a t i o np o i n t sw a sa n a l y z e di nd e p t h s o l u t i o n st o t h ef i r s t o r d e ra n dt h i r d - o r d e ra p p r o x i m a t i o n sw e r eg i v e nr e s p e c t i v e l y ，w i t ha na n a l y s i s o f a c c u r a c yo ft h el a t t e r a ni t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h ee x a c tp e r i o d i cs o l u t i o nw a s i n t r o d u c e da n da p p l i e dt ot h ec o m p u t a t i o no fp e r i o d i co r b i t si nt h ee a r t h - m o o ns y s t e m r e s u l t sc o n f i r m e di t sv a l i d i t y f u r t h e rm o r e ，i n v a r i a n tm a n i f o l d s ，w h i c hc l o s e l yr e l a t e dt ot h ep e r i o d i co r b i t s ， w e r ed i s c u s s e da n di t sn u m e r i c a lo b t a i n i n gm e t h o dw a sg i v e na sw e l l m e a n w h i l e ， l a m b e r t sa r ci nc r 3 b pw a sb r o u g h to u tw i t ha ne f f e c t i v ei t e r a t i v ea l g o r i t h m b a s e do n t h e s et w ot y p e so ft r a j e c t o r i e s ，at r a n s f e rd e s i g nm e t h o dw a sp r o p o s e d t h i sm e t h o d c o n s i s t so ft w op a r t s ，o n e - i m p u l s ea n dt w o - i m p u l s ei n s t a n c e ，d e p e n d i n go nt h ed i s t a n c e b e t w e e nt h em a n i f o l d sa n dp r i m a r i e s a st y p i c a le x a m p l e s ，t r a n s f e r si nt h ee a r t h m o o n s y s t e mw e r ei m p l e m e n t e du s i n gt h i sm e t h o d f i n a l l y ，a sas y n t h e s i z e da p p l i c a t i o no fp e r i o d i co r b i t s ，i n v a r i a n tm a n i f o l d sa n d t h r e e b o d yl a m b e r t sa r c ，af l i g h tt r a j e c t o r ya c c o m p l i s h i n gat w o - g o a lm i s s i o nw a s d e s i g n e d ，w h i c hc o n s i s t so fs u no b s e r v a t i o na n dc o m e te n c o u n t e r i n g t os u mu p ，t h i st h e s i sp u tm o s te m p h a s i so nl i b r a t i o np o i n tp e r i o d i co r b i t sa n d i n v a r i a n tm a n i f o l d s ，a n do b t a i n e ds o m em e a n i n g f u lr e s u l t s w h a th a sb e e na c h i e v e d c o u l ds e r v ea sag o o dr e f e r e n c ef o rf u r t h e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：t h r e e b o o rp r o b l e m ；l i b r a t i o np o i n t s ；h a l oo r b i t ；l y a p u n o v o r b i t ；l n v a r i a n tm a n i f o l d s ；s p a c ee x p l o r a t i o n 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 表目录 表4 1 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的一次冲量转移参数5 2 表4 2 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移参数5 4 表4 3 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的一次冲量转移参数5 7 表4 4 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移参数5 9 表4 5 地球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移参数6 l 表4 6g z 彗星撞击轨道时序及能耗6 9 第页 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 图目录 图1 1 论文篇章结构5 图2 1 两个关键坐标系6 图2 2 地月系统c = 3 1 5 时的零速度面1 2 图2 3x - y 平面对应的c 值( 左) 及其等速度线( 右) 1 2 图2 4 三体平动点位置分布一1 5 图3 ，l彳，= 1 5 0 0 0 k m 时h a l o 轨道数值解( 实线) 和三阶解析解( 虚线) 2 4 图3 2 地月厶平动点h a l o 轨道三阶解析解特征点状态误差2 5 图3 3地月厶平动点h a l o 轨道三阶解析解特征点状态误差2 5 图3 4l y a p u n o v 轨道迭代初值的选取2 9 图3 5h a l o 轨道迭代初值的选取2 9 图3 6 地月厶平动点l y a p u n o v 轨道2 9 图3 7 地月厶平动点l y a p u n o v 轨道3 0 图3 8 地月厶厶平动点l y a p u n o v 轨道参数关系3 0 图3 9 地月厶厶平动点l y a p u n o v 轨道族的c 值3 1 图3 1 0 地月厶平动点h a l o 轨道3 2 图3 1 1地月厶平动点h a l o 轨道3 2 图3 1 2 地月厶厶平动点h a l o 轨道参数关系3 3 图3 1 3地月厶厶平动点h a l o 轨道族的c 值3 3 图3 1 4日地厶平动点l y a p u n o v 轨道3 4 图3 1 5日地厶平动点l y a p u n o v 轨道3 4 图3 1 6 日地厶三2 平动点l y a p u n o v 轨道参数关系3 5 图3 1 7日地厶厶平动点l y a p u n o v 轨道族的c 值3 5 图3 1 8日地厶平动点h a l o 轨道3 6 图3 1 9日地厶平动点h a l o 轨道3 6 图3 2 0日地厶厶平动点h a l o 轨道参数关系3 7 图3 2 1日地厶厶平动点h a l o 轨道族的c 值3 7 图4 1地月厶平动点h a l o 轨道的不稳定流形( 左) 和稳定流形( 右) 4 0 图4 2 地月厶平动点h a l o 轨道的不稳定流形( 左) 和稳定流形( 右) 4 1 图4 3日地厶平动点h a l o 轨道的不稳定流形( 左) 和稳定流形( 右) 4 1 第1 v 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图4 4 图4 5 图4 6 图4 7 图4 8 图4 9 图4 1 0 图4 1 l 图4 1 2 图4 1 3 图4 1 4 图4 1 5 图4 1 6 图4 1 7 图4 1 8 图4 1 9 图4 2 0 图4 2 1 图4 2 2 图4 2 3 图4 2 4 图4 2 5 图4 2 6 图4 2 7 图4 2 8 图4 2 9 图4 3 0 图4 3 1 图4 3 2 图4 3 3 图4 3 4 日地厶平动点h a l o 轨道的不稳定流彤( 左) 和稳定流形( 右) 4 2 三体l a m b e r t 问题迭代算法算例4 4 满足位置速度正交的拼接点位置一4 6 地球至日地平动点的一次冲量转移轨道算法一4 7 能耗a v 与近地轨道高度h 关系4 7 地球至日地厶平动点的转移轨道4 8 近地轨道与速度改变量矿4 8 总能耗a v 与流形拼接点高度吃。关系4 9 地球至日地厶平动点的两冲量转移轨道4 9 近地轨道和两次速度改变量a z , 与皈一5 0 月球到地月厶一次冲量转移的能耗与拼接点高度的关系5 1 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的一次冲量转移轨道5 1 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的一次冲量最小能耗一5 2 月球到地月厶两次冲量转移的能耗与拼接点高度的关系5 3 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移轨道一5 3 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量最小能耗5 4 月球到地月厶一次冲量转移的能耗与拼接点高度的关系5 5 月球到地月厶不| 一幅值h a l o 轨道对应的一次冲量转移轨道一5 6 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的一次冲量最小能耗一5 6 月球到地月厶两次冲量转移的能耗与拼接点高度的关系5 7 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移轨道一5 8 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量最小能耗一5 8 地月厶平动点h a l o 轨道的稳定流形一5 9 地球到地月厶两次冲量转移的能耗与拼接点高度的关系6 0 地球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量转移轨道一6 0 月球到地月厶不同幅值h a l o 轨道对应的两次冲量最小能耗一6 1 地月厶厶平动点等c 值的l y a p u n o v 轨道初值6 2 l y a p u n o v 轨道上几个特征点的f 值6 3 地月厶肛：平动点间的一条异宿轨道一6 3 地月厶平动点h a l o 轨道的稳定流形一6 4 地球与g z 彗星轨道及相遇时刻在日心惯性系中位置6 5 第v 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图4 3 5 图4 3 6 图4 3 7 图4 3 8 图4 3 9 曰地厶不变流形不能覆盖g z 彗星相遇点6 6 拼接轨道设计算法流程6 7 近地轨道向稳定流形的转移6 8 h a l o 轨道捕获点b 和脱离点c 6 8 日心惯性系中的不稳定流形及l a m b e r t 轨道6 9 第页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研 究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：日期：2 0 0 8 年1 1 月2 5 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国防科学技术 大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借 阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文作者签名： 作者指导教师签名： 日期：2 0 0 8 年1 1 月2 5 日 日期：2 0 0 8 年1 1 月2 5 日 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第一章绪论弟一早殖下匕 1 1 问题的提出 进入新世纪以来，深空探测技术得到了各航天大国的重视，美、俄、欧、日 以及印度、巴西等国纷纷公布了本国雄心勃勃的深空探测计划。我国也适时地启 动了“嫦娥”探月工程，第一步“绕月飞行”已获得圆满成功。在这种深空探测 航天技术发展的大背景下，三体平动点的应用潜力和重要地位日益凸现出来。 平动点，又称拉格朗日点，是限制性三体问题零速度面上的五个平衡点，三 个为共线平动点，两个为三角平动点，都位于“大质量天体一小质量天体航天 器 组成的三体系统中两天体相对运动的平面内。而所谓限制性三体问题，是指 在三体系统中，一航天器质点的质量远小于其他两天体质点，可以认为两天体质 点的运动不受航天器质点的影响。若再假设两天体的相对运动轨迹为圆，则成为 圆型限制性三体问题。对于偏心率不大的情形，圆型限制性三体模型是一种较好 的简化模型，能够刻画航天器运动的基本特征，并得到二体问题或双二体问题模 型无法产生的特殊轨道。 平动点的应用价值主要体现在其独有的空间位置。位于平动点的探测器所受 引力与离心力相互平衡，将与两天体保持相对静止，这就为进行长期科学观测提 供了难得的有利条件。但若将探测器准确置于日地厶平动点上，当地面天线对准 探测器时，太阳也在视场内，发回信号将受到太阳强烈的干扰。研究表明，平动 点附近的空间区域具有弱稳定性，不同初始状态的航天器将进行不同形式的运动， 条件适宜则可进行周期运动或准周期运动，相应的轨道称为平面l y a p u n o v 轨道、 空间h a l o 轨道和l i s s a j o u s 轨道，可使上述干扰问题得到解决。h a l o 轨道，即晕轨 道，是围绕共线平动点而又可避免蚀现象的空间周期轨道。“晕”的提法源于地 球上看到的日晕或月晕现象。由于可避免蚀现象，h a l o 轨道的工程应用价值很早 就得到了实现。如1 9 7 8 年n a s a 发射的i s e e 3 ，先后进入日地系统的厶和厶点 附近的h a l o 轨道执行科学任务。 平动点动力学特性还蕴含了过渡到其附近周期轨道的节能通道，为平动点应 用提供了现实途径。三角平动点和共线平动点，实质上即动力系统理论中的中心 点和鞍点。对于中心点，在其周围存在中心流形，即周期和拟周期轨道；对于鞍 点，其邻近的动力学特征极其丰富，既存在中心流形，还存在与之关联的稳定流 形和不稳定流形。当探测器在稳定流形上运行时，可以无动力地向中心流形无限 逼近。如果可从近地停泊轨道处经一次变轨将探测器送入稳定流形，探测器即可 不耗费能量地向目标轨道演化。同理，利用不稳定流形可设计无动力返回地球的 第l 页 图防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 转移轨道。 总之，由于拥有以上特殊的优良性质，平动点及其附近空间是未来太空探索 进程中的一种宝贵的空间资源，在深空探测实践中具有广阔的应用前景。但由于 三体问题的复杂非线性，无论从理论上还是从实践上都有许多问题厦待解决。对 三体轨道的认识离不开对三体动力学的深入研究，这是平动点研究的基础性问题； 而平动点周期轨道是三体问题中最具应用价值的一类轨道，其没计方法是平动点 应用研究中第一步要解决的问题；得到满足科学目标的周期轨道后，如何利用不 变流形进行天体停泊轨道与周期轨道间的双向转移轨道设计，则是紧接着要解决 的重要问题。本文以三体轨道动力学为基础，重点研究平动点附近的周期轨道设 计、不变流形转移轨道设计以及它们在深空探测中的应用，为我国未来的平动点 任务提供一部分基础性技术支持。 1 2 国内外研究现状及趋势 1 7 6 5 年和1 7 7 2 年，e u l e r 和l a g r a n g e 在研究圆限制三体问题时在零速度面上 共发现了五个平衡点，称之为平动点或l a g r a n g e 点。两个世纪后的1 9 6 6 年，美国 航天专家r o b e r tw f a r q u h a r 最先阐述了平动点h a l o 轨道的思想，并研究了自然 晕轨道、有控晕轨道及相关问题【l 】。此后，f a r q u h a r 还向a p o l l o 项目组建议了在地 月厶晕轨道上设置通信卫星以支持a p o l l o 1 7 飞船登陆月背的方案，但由于经费问 题未能实现。 1 9 7 8 年8 月1 2 日，i s e e 3 成功发射飞向日地厶平动点，成为第一颗平动点 轨道飞行器。由于担负了连续测量太阳风、探索地球磁层以及更名为i c e 后与彗 星交会的多重任务，i s e e 3 i c e 项目是一系列新轨道概念( 包括平动点晕轨道、 双月旁转向轨道、调相轨道以及利用月球引力的逃逸轨道等【2 8 】) 的探路者，是航 天技术的典范之作。它揭开了利用三体平动点晕轨道的序幕，使平动点研究从理 论走向了工程实践。1 9 9 5 年1 2 月2 日，由e s a 和n a s a 联合完成的日地厶飞行 器s o h o 成功发射，开创了平动点探测国际合作的新纪元。此后，n a s a 于2 0 0 1 年6 月3 0 日实现了第一个日地厶平动点任务m a p 。两个月后，2 0 0 1 年8 月2 8 日，n a s a 又成功发射g e n e s i s 航天器，它最终不但到达了日地厶平动点晕轨道， 而且从该轨道返回了地球，这是平动点任务利用双向不变流形转移轨道的新突破。 目前已经实现或计划实现的平动点任务【2 l l 均围绕日地厶、厶平动点。日地厶 平动点的任务还包括观测太阳风与带电微粒的a c e ( a d v a n c e dc o m p o s i t i o n e x p l o r e r ，2 0 0 0 ) 和观测地球的t r i a n a ( 2 0 0 1 ) 等。日地厶平动点任务还有用于深 空观测的n g s t ( n e x tg e n e r a t i o ns p a c et e l e s c o p e ，2 0 0 7 ) 、e s a 的远红外望远镜 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 f i r s t ( f a ri n f r a r e ds u b m i l l i m e t r et e l e s c o p e ，2 0 0 7 ) 和研究宇宙微波背景的p l a n c k ( 2 0 0 7 ) 。 如此之多的工程任务之所以能够成功实现，是与国外学者广泛深入的平动点 研究工作分不开的。文献【2 4 】【2 5 】中较详细地对限制性三体问题进行了描述，建立 了动力学方程。关于平动点周期轨道的研究方面，文献 2 0 1 给出平动点周期轨道的 近似解，以及精确解的迭代计算方法；文献【2 7 】则讨论了如何用中心流形产生h a l o 轨道的问题；文献【3 6 】则介绍如何生成厶平动点h a l o 轨道和l y a p u n o v 轨道；文献 4 0 l 贝j j 从动力系统理论的视角深入分析了平动点周期轨道的特性。关于不变流形及 转移轨道设计的研究方面，文献【3 5 】分析了空间不变流形的特性，并将其应用于木 星行星间的转移轨道设计；文献【4 5 】提出一种计算不变流形的简化方法；文献 4 6 】 则着眼于不变流形在星际低能耗转移轨道中的应用；文献【7 】研究了平动点与地球 间的转移问题；文献【8 】则将动力系统理论引入到平动点任务的轨道设计中；文献 【9 】【3 0 】则研究了周期轨道间的异宿轨道问题；文献 3 8 贝s j 研究了与l i s s a j o u s 轨道联 系的不变流形问题。 总的说来，近年来对平动点应用研究主要有三个方向： 平动点与编队飞行技术相交叉而形成的平动点的编队飞行方向。目前已公 布的预计在十年内实施的窄间项目有c o n s t e l l a t i o n x 、t p f 、g a i a 、d a r w i n 等【2 1 1 ，这些项目瞄准的是日地厶和厶平动点的优异的磁、热、力环境。 利用地月厶、厶平动点辅助对月球开发和利用月球资源的研究。由于地 月平动点轨道设计相比日地平动点难些，目前尚在理论研究与仿真验证阶 段，相信不久将来就会出现工程应用。 本世纪初由m a r t i nl o 等人提出的“行星际高速公路”计划( i n t e r p l a n e t a r y s u p e r h i g h w a ys y s t e m ，i p s l 3 9 1 ) ，其内容是建立一条由“地球一地月厶晕 轨道一日地厶晕轨道一太阳与目标行星的厶或厶晕轨道一目标行星绕飞 轨道”组成的星际航行轨道。初步研究表明，这样的轨道比传统的由“地 心轨道段一日心轨道段一目标行星轨道段 组成的星际轨道更为节省燃 耗，是低能转移轨道。 这三个研究方向分别与深空探测三个方面内容相对应，由此平动点技术与深 空探测关系之密切可见一斑。平动点技术激发了广泛的研究兴趣，成为当前国际 上的研究热点，理论成果不断涌现，也必将成为本世纪深空探测技术的重要组成 部分。 我国虽然已经开始了深空探测的“嫦娥 工程实践，但从本质上说，所依赖 的理论仍是传统意义上的经典二体理论【2 嗣，对平动点特性及其相关问题的研究还 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 很不够。近年来，国内几所名校丌始重视对于平动点技术的研究，从对平动点技 术应用前景、平动点稳定性及不变流形转移轨道等方面做了一些研究【l2 1 。但总的 说来，国内的平动点技术的研究与国际水平还有相当的差距。 综上所述，国际上对日地厶、厶的工程应用已经相当成熟，诸多任务的实践 无疑为平动点研究积累了丰富的工程经验，将会推动平动点理论研究进一步深入； 而国内平动点技术尚处于理论研究的初始阶段，研究成果还未大量涌现，同时又 恰逢我国刚刚迈出深空探测第一步的历史契机，因此是一个在理论和实践上都非 常有前景的研究方向。 1 3 论文的研究内容 本文以平动点应用为背景，着重研究平动点附近的周期轨道，以及基于不变 流彤的转移轨道设计方法，具体章节安排如下： 第一章首先对深空探测平动点的应用背景做简要介绍，接着分析国内外对平 动点技术的研究现状及发展趋势，最后给出全文研究框架和思路。 第二章首先建立圆限制性三体问题的无量纲动力学方程，然后基此得出雅可 比积分，并引出零速度面和平动点，对其概念和物理意义进行分析。本章是平动 点应用研究的基础。 第三章首先分析五个平动点的稳定性，并给出平动点附近周期轨道的一阶近 似解和三阶近似解，以此为迭代初值，结合其后讨论的周期轨道迭代算法，得到 地月系统和日地系统的h a l o 轨道和l y a p u n o v 轨道结果。 第四章在第三章的基础上，首先介绍与平动点周期轨道紧密联系的不变流形 概念及其计算方法，同时讨论三体l a m b e r t 问题的迭代计算方法，然后结合两者给 出一种在三体系统中从引力天体的停泊轨道到h a l o 轨道( 或者反向) 的转移轨道 设计方法，并应用此方法计算地月系统中的典型转移轨道。最后综合第二章和第 三章的内容，给出一条双任务轨道的设计流程及结果。 第五章对全文的内容及成果进行总结，并给出下一步工作建议。 综上所述，本文的篇章结构安排见图1 1 。 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 雅不 可 变 比 流 地 积 阶 第 动i 分平i 近 周f 形 月 双i 第 _ _ 卅 力b + 翻翟b 似 期l +转l系 任i 五 解 _ 轨 翻 三 移1 统 务l 纠。 章 童 学 零一 稳- 4 + 道一 1 体 _ a轨l 转j 轨 音吖 速 三 迭l 叫 道h移 冀旨 结 绪 y ，j 度 y 定代 y a 设轨 坦 y 柬 论 程阶 算 m 设 面性 近 b计道 + 似 法 e 设 计语 平 r 动 解 t 计 问 点 题 图1 1 论文篇章结构 第5 页 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 第二章圆限制性三体轨道动力学 建立动力学方程是研究三体问题的第一步。通过对动力学方程的分析，可得 到圆限制性三体问题中一个重要的初积分，即雅可比积分c ，其实质是一个能量积 分。与雅可比积分紧密联系的零速度面定义了一定初始能量的航天器的运动边界， 而平动点则是在零速度面随c 值连续变化过程中出现的五个特殊的力平衡点，它 们相对于主天体的位置构型始终不变，有重要的应用价值。 2 1 动力学方程 设在一个三体系统中，一质点p ( 第三体) 的质量远小于其它两质点只与只， 且只质量大于只质量，即，z i m ，m ，则可以假定异、只的运动不受p 的影响， 在这样的假设条件下求质点p 的运动规律，称为限制性三体问题。若进一步假设 质点日、罡以角速度面绕其公共质心作匀速圆周运动，则称为圆限制性三体问题， 简称c r 3 b p 或c r t b p 。 为了建立此问题的动力学方程，首先引入两个坐标系，如图2 1 所示。一个是 惯性坐标系d 一翻f ，其原点选在三体系统的质心o 。由于一点p 质量远小于其它 两点的质量，故三体系统的质心d 可以认为就是两体眉与只的质心。该坐标系的 必轴与系统角动量方向一致，d 一勃平面即为质点只与罡的运动平面，0 4 轴在 惯性空间指向不变，o r 轴与之构成右手坐标系。另一坐标系是与异、最质点一起 转动的旋转坐标系o x y z ，原点也是d 点，0 2 轴与吖轴重合，但是呶轴在异、 只质点的连线方向，o y 轴与之垂直。 毋( 墨 图2 1 两个关键坐标系 第6 页 国防科学技术大学研究牛院硕士学位论文 在动坐标系中0 一x y z ，设三个质点的位置矢量为( x i ，0 ，0 ) ， ( x ，y ，z ) ，则质点尸到质心0 与质点丑、只的距离分别为： l 天l ：x 2 + 】，2 + z 2 l 亏，i = ( 墨- x ) 2 + 】，2 + z 2 i 乏3 i = ( k x ) 2 + y 2 + z 2 ( 置，0 ，0 ) ， ( 2 1 ) 对于圆限制性三体问题，两主天体层与罡以恒定角速度绕其质心旋转，有 刀= g ( + m 2 ) 0 3 ( 2 2 ) d = q + d 2 ( 2 3 ) 其中，m 和m ：分别为日与只的质量，d 是两者的距离，q 是毋与质心间的距离， 砬是罡与质心间的距离。易知，五= 一日，置= d 2 。 2 1 1 动力学方程推导一 令 7 ，歹，云) 为旋转坐标系的基矢量，则质点p 的位置矢量可表为 天= 丽+ 巧+ 蕊 ( 2 4 ) 同时，旋转坐标系的角速度矢量可表为，l 云。 注意到7 = 谚，歹= 一刀7 ，石= 0 ，则质点p 的绝对加速度在旋转坐标系中可表 示为 i 赢- - ( x - 2 n y - n 2 ) 7 + ( 少+ 2 船一刀2 y ) 歹+ 荔 ( 2 5 ) 于是根据牛顿定律，得到质点p 的动力学方程为 朋友：一g m r l m ，i _ 3 一_ g m 广z m 一_ - 3 ( 2 6 ) 呓 其中 亏，= ( x 一五) 7 + 巧+ z 露= ( x + q ) 尹+ 巧+ 2 石 五3 = ( x 一五) f + 珍+ 劢= ( x 一砬) f + 珍+ 盈 ，一， 、一一 刚= ( 置- x ) 2 + ，2 + z 2 j 毛l = ( 丘- x ) 2 + y 2 + z 2 令“= g m l 、1 t 2 = g m 2 ，则动力学方程可化简为 天= 一( “，i ：) 亏，一( 鸬腿) 乏， ( 2 7 ) 令对应的投影分量相等，可得 第7 页 国防科学技术大学研究牛院硕十学位论文 ) ( - 2 n 】 - n 2 x = 一丛婪盟一掣2 亿 y + 2 n x 2 n x i 1 2 y ：一丛一丛一2 = 一尝一年 ，i j呓 之= l a l z 。一, u i 2 z 一 ( 2 8 ) 其中，2 刀矿和2 n , 王c 为科氏加速度项，n 2 x 和n 2 y 为离心加速度项。 引入势函数u ( x ，y ，z ) ， 啦l - n 2 ( x 2 + y 2 ) + 等+ 鲁 ( 2 - 9 ) 其实为离心势和引力势的和，则第三体的动力学方程变为口5 1 即 2 1 2 动力学方程推导二 文一2 甩矿：a u _ z a x 矿+ 2 村：型 a y 号o u + 么= 一 8 z ( 2 1 0 ) 由于三体系统为哈密顿系统，根据拉格朗日方程，该系统满足 丢一一o l o r = 。 仁 沈l 扳 、7 将上矢量等式在动坐标系0 一班三个方向上分别投影，则可写成分量形式， 罢f ，曼、1 一丝：o 衍l 越甜 导f ，驾、1 一丝：o 瓦l 万厂万= u 鱼f ，丝、一丝：o d tl 彪o z ( 2 1 2 ) 其中l 为拉格朗日函数 k 卜u 2 聊c 塑d t 塑d t ) + 渤c 等+ 等) c 2 _ 3 ， lji ，；， ，j 、7 而_ d r ：譬+ 历天，将以上各量在动坐标系d 一班中分解，有 a td f 。 第8 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 r = x f + y _ ，+ z k( 2 1 4 ) a a 。：膏7 + 矿歹+ 2 云 ( 2 1 5 ) 历= 1 7 后 ( 2 1 6 ) 代入拉格朗日函数得 三= 圭研 ( 又2 + 矿2 + 2 2 ) + 2 ( 时一髓) 材( x 2 + y 2 ) + 锄c 等+ 等) ( 2 m ) 引入新势函数 儿1 21 7 2 ( x 2 + y 2 ) + g 睁等 它包括两部分，前一项为离心力势，后一项为引力势。于是，可以给出新的矢量 方程形式 氅+ 2 西塑：v u 所2所 ( 2 1 9 1 该方程具备匀速旋转运动的一般特征，用标量形式表达，即为 柏肌- g m sx - d 2 , ：3 叫半卜x 少+ 2 ，反= 一g 疋专+ m 专 + 刀2 y c 2 2 。， 扛g iz i + m 刳 可见与上节导出的方程实质是一样的。 2 1 3 方程的无量纲化 为了研究的方便，引入无因次量表达圆限制性三体动力学方程。 用两主天体的质量和( m + m ：) 将质量无因次化，用两主天体间的距离d 将长 度无凶次化，用圆轨道角速度值1 7 将时间无因次化，即分别取特征量为 m 。= m l + 鸠，。= d ，广= 咒一 ( 2 2 1 ) 并设质量比参数 = 孝 ( 2 2 2 ) 于是有 第9 页 国防科学技术大学研究牛院硕十学位论文 另外注意到 最后得到无因次方程： 其中 ，i = 告，吃= 苦，z = 砉，y = 吾，z = 石z ，仁所 ( 2 ) d x = d x d ，d y = d y d ，d z = d z d ，d t = d r n 以 ( 2 2 4 ) d 2 x 1d y 触 d r 2d r缸 一d 2 y + 2 鱼：塑 d r 2 d r a y d 2 za q d r 2a z ( 2 2 5 ) q ：= 1 ( x 2 + y 2 ) + 生+ 丝 2，： i - , - ( + x ) 2 4 - y 2 _ 1 2 2 1 j ( 2 - 2 6 ) 吃= ( 1 一一x ) 2 + 少2 + 7 , 2 j 2 2 雅可比积分及零速度面 将式( 2 8 ) 中三个式子分别乘以x ，】，和z 后相加，有 磁+ 捃+ 毖一甩2 艘一n 2 订= 一( “啦) ( x + b ) 霄+ 力+ 毖 一( 心秀) ( x b ) 力+ 汀+ z 2 两边积分得 三( n h 2 2 ) 一互1 ，z ( n 】，2 ) 一丛r u 一尝= 一吾 其中为常数，称为雅克比积分，其值由运动的初始条件决定。 将势函数u = 三2 厅2 ( x 2 + 】，2 ) + 等+ 鲁带入上式，雅克比积分表为 - ，= 2 u + 一( 膏2 + 矿2 + 2 2 ) 利用特征量将，无量纲化，得到无量纲化后的雅克比积分为 c = 2 q 一( 戈2 + 夕2 + 2 2 ) 其中 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 肚l ( x 2 + y 2 ) + 半拦r(230)2 为无量纲化后的势函数u 。 由于第三体的机械能可表为 善= 寺( 岩2 + 矿2 + 2 2 ) 一u ( 2 3 1 ) 无量纲化后为 e = 告( 文2 + 夕2 + 三2 ) 一q ( 2 3 2 ) 故雅可比积分与机械能的关系为 c = - 2 e ( 2 3 3 ) 即，一c 为初始动能与初始有效势能( 机械z 日1 匕l - , ) 之和的两倍，c 值越大，表示能量 越小。 雅可比积分只是相对运动方程的一个积分，虽不能确定质点p 的全部运动规 律，但可以给出质点尸运动的一些性质。 对给定的c 值，根据表达式( 2 3 3 ) ，由质点动能不能为负，可以得到势能满足 下式 2 q c ( 2 3 4 ) 势能函数仅是第三体位置的函数，故这个不等式给出质点p 的可能运动范围。 当p 点的相对运动速度为零时，上式取等号，有 c = ( x 2 + y 2 ) + 了雹i i 2 i 0 亏丽- 2 )+ j 鼋i ：盂：亏2 5 2 丽 2 3 5 ) ( + z ) 2 + y 2 + z 2( 1 一一x ) 2 十y 2 + z 2 该方程所确定的空间曲面即为零速度面。不同的c 值对应的零速度面不同，即不 同初始能量条件下，质点p 所能到达的运动边界不同，且由上式易知，零速度面 对称于眦平面和x - y 平面对称。 下图2 2 作出地月系统c = 3 1 5 时的零速度面，因采用无量纲化方程，故不再 标出单位，各轴向单位1 表示一个地月距离，下文同。为了显示其构造，只绘出 整个零速度面的一半，另一半关于x - z 平面对称。 第1 1 页 闷防科学技术大学研究牛院硕十学位论文 23 1 平动点概念 阿2 2 地月系统c = 3 1 5 时的零逮度面 2 3 平动点 c r 3 b pr l l ，存在五个特殊的点，这些点相刘十旋转啦标系始终保持静止，它 们是动力学一程的特解。考察零速度面与x - y 平面变线，即零速度线随c 值的变化 隋况，可以得到五个、f 动点，如幽23 所示，幽中e m f f 代表地月旋转系。 肖c 很人时，交线由二个圆组成，一个是l l 原点为巾心的大网，其余两个是 州绕只、只的小圆，p 点只能在大圆之外或只、只附近运动。随着c 的减小，外 网爪缩变扁，两个内圆延伸变为卵彤 | 线舟厶点丰r 交，此时c = e 。c 再减小，两 卵形帅线合而为一，减小为c = c ，叫，内卵形与外曲线相变于点。当c 继续减 小为g 时，内卵形与外曲线棚堂十厶点。最后，当c 减小为c ，时，不可选区域 变为、两点。 j m m 2 em 目2 3x - y 平面对应的c 值( 左) 及其等速度线( 右) 第1 2 页 黔”i 1 国防